Studimi i vetive të formave gjeometrike, ne kemi provuar një numër teorema. Në të njëjtën kohë, ne mbështeteshim, si rregull, në teorema të provuara më parë. Dhe cilat janë provat e teoremave të parë të gjeometrisë? Përgjigja për këtë pyetje është: Disa deklarata në lidhje me vetitë e formave gjeometrike pranohen si dispozita fillestare, në bazë të të cilave janë provuar teorema dhe të gjithë gjeometrinë është ndërtuar përgjithësisht. Pozicione të tilla fillestare quhen aksiomë.
Disa aksioma janë formuluar në kapitullin e parë (edhe pse nuk u quajtën atje aksioma). Për shembull, aksiomi është deklarata që
Shumë aksioma të tjera, megjithëse nuk u theksuan sidomos, por ishin përdorur në të vërtetë në arsyetimin tonë. Pra, krahasimi i dy segmenteve që ne u kryen duke mbivendosur një segment në një tjetër. Mundësia e mbulesave të tilla vijon nga aksiomat e mëposhtme:
Krahasimi i dy këndeve bazohet në një aksiomë të ngjashme:
Të gjitha këto aksioma janë qartazi të dukshme dhe nuk dyshojnë. Fjala "aksiomë" vjen nga "axios" grek, që do të thotë "i vlefshëm i denjë". Një listë e plotë e planimeterëve të pranuar në rrjedhën tonë të gjeometrisë, ne sjellim në fund të teksteve shkollore.
Një qasje e tillë për ndërtimin e gjeometrisë, kur pozicionet fillestare janë të formuluara së pari - aksiomat, dhe pastaj në bazë të tyre, me arsyetim logjik, janë vërtetuar, është rregulluar edhe në antikitet të thellë dhe u nisën në përbërjen e famshme të "Fillimi" i një shkencëtari të lashtë grek Euclidea. Disa nga euklidi i aksiomit (pjesë e tyre ai e quajti adutrators) Dhe tani përdoren në kurset e gjeometrisë, dhe gjeometria e paraqitur në "standardet" vetë quhet gjeometria euklidiane. Në pikën tjetër, ne do të njihen me një nga akset më të famshme të gjeometrisë.
Konsideroni një arbitrar të drejtë A dhe Pika M, e cila nuk është e shtrirë në të (Figura 110, a). Ne dëshmojmë se përmes pikës m mund të shpenzohen drejt, paralelisht direkt a. Për ta bërë këtë, ne vizatojmë dy vijë të drejtë përmes pikës M: së pari direkt me pingul me një të drejtpërdrejtë A, dhe pastaj direkt b pingul me vijën e drejtë me (Fig. 110, (b). Meqë drejt a dhe b janë pingul në një vijë të drejtë, atëherë ato janë paralele.
Fik. 110.
Pra, përmes pikës M kalon drejt b, paralel me të drejtuar një. Pyetja e mëposhtme lind: A është e mundur të kaloni një vijë tjetër të drejtë, të drejtpërdrejtë paralelisht mua?
Kjo na duket se nëse b "kthehet" edhe në një kënd shumë të vogël rreth pikës m, ajo do të kalojë drejtpërdrejtë një (të drejtë b "në figurën 110.6). Me fjalë të tjera, kjo na duket se përmes pikës m nuk mund të kryhet një tjetër i drejtpërdrejtë (i ndryshëm nga b), drejtpërdrejt paralel a. A është e mundur të vërtetohet kjo deklaratë?
Kjo pyetje ka një histori të madhe. Në "fillimin" euklidea përmban postulat (postulat e pestë të euklidit), nga e cila rrjedh se përmes një pike që nuk qëndron në këtë direkt, mund të kryhet vetëm një drejt, paralel me këtë. Shumë matematikanë duke filluar me kohët e lashta, përpjekjet për të provuar se postulat e pestë euklade, domethënë për ta sjellë atë nga aksiomat e tjera. Megjithatë, këto përpjekje për çdo kohë doli të jetë e pasuksesshme. Dhe vetëm në shekullin e fundit më në fund u konstatua se deklarata për veçantinë e kalimit të drejtpërdrejtë përmes kësaj pike është paralel me këtë të drejtpërdrejtë, nuk mund të provohet në bazë të aksiomës së mbetur të Euklideas, dhe vetë është një aksiomë.
Matematikani i madh rus Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856) luajti një rol të madh në zgjidhjen e kësaj çështjeje të vështirë.
Pra, si një nga pozicionet fillestare, ne e pranojmë linjat paralele të aksiomave.
Deklaratat që janë hequr direkt nga aksiomat ose teorema janë të quajtur pasoja. Për shembull, miratimi 1 dhe 2 (shih f. 35) janë pasojat e teoremës në përgjumur të një trekëndëshi të barabartë të lidhur me zinxhirë.
Shqyrtoni disa nga pasojat e aksiomës së linjave paralele të drejta.
Në të vërtetë, le të drejtat A dhe B të jenë paralele dhe vijë e drejtë me kalon drejt A në pikën m (Figura 111, A). Ne provojmë se direkt me kryqe dhe të drejtën b. Nëse vija e drejtë me nuk ka kaluar direkte b, atëherë ka pasur dy linja të drejta (të drejta a dhe c), paralel me direkt b (Figura 111, b) përmes pikës M. Por kjo bie në kundërshtim me aksiomën e linjave paralele të drejta, dhe, kjo do të thotë se linja e drejtë kalon b.
Fik. 111.
Në të vërtetë, le të drejtë A dhe B paralele me vijën e drejtë me (Fig 112, a). Ne provojmë se një || b. Supozoni se A dhe B drejta nuk janë paralele, unë. Ata ndërpriten në një pikë m (Figura 112,6). Pastaj përmes pikës m i nënshtrohen dy linjave të drejta (a dhe b), paralel me vijën e drejtë me.
Fik. 112.
Por kjo është në kundërshtim me aksiomën e linjave paralele të drejta. Prandaj, supozimi ynë është i pasaktë, dhe për këtë arsye A dhe B janë paralele.
Në çdo teoremë, dy pjesë dallohen: kusht dhe përfundim. Gjendja e teoremës është ajo që është dhënë, dhe përfundimi është ajo që kërkohet për të provuar.
Konsideroni, për shembull, teorema shpreh shenjën e paralelizmit të dy direkt: nëse qoshet themelore janë të barabarta me kryqëzimin e dy sekuestit të drejtpërdrejtë, pastaj paralele të drejta.
Në këtë teoremë, gjendja është pjesa e parë e miratimit: "Kur kalon dy sekant të drejtpërdrejtë, qoshet themelore janë të barabarta me" (kjo është dhënë), dhe përfundimi është pjesa e dytë: "paralel i drejtpërdrejtë" (kërkohet për të provuar).
Teorema e kundërt këtëquhet një teoremë e tillë në të cilën gjendja është përfundimi i këtij teorema, dhe përfundimi është gjendja e këtij teorema. Ne i provojmë teoremat e tre teorema n. 25.
Teoremë
Dëshmi
Le linjat paralele të drejta A dhe B intersected secing mn. Ne dëshmojmë se këndet themelore, për shembull, 1 dhe 2 janë të barabarta (Figura 113).
Fik. 113.
Supozoni se këndet 1 dhe 2 nuk janë të barabarta. Unë do të shtyj nga rreze mn një kënd të PMN, të barabartë me këndin 2, kështu që ∠pmn dhe ∠2 do të jenë më afër këndeve themelore kur kalojnë z. Dhe B të drejtpërdrejtë të MN. Pas ndërtimit, këto vullnet të këndeve themelore janë të barabarta, kështu që MR || b. Ne morëm atë përmes pikës m i nënshtrohen dy linjave të drejta (direkt A dhe MR), paralel të drejtpërdrejtë b. Por kjo është në kundërshtim me aksiomën e linjave paralele të drejta. Pra, supozimi ynë është i pasaktë dhe ∠1 \u003d ∠2. Teorema provohet.
Koment
Në provën e këtij teorema, ne kemi përdorur një mënyrë të arsyetimit, e cila quhet metodën e provave nga e kundërta.
Ne kemi sugjeruar që me kryqëzimin e linjave paralele të drejta A dhe B të sigurimit të MN, këndet themelore 1 dhe 2 nuk janë të barabarta, domethënë, ata sugjeruan të kundërtën se çfarë të provojnë. Bazuar në këtë supozim, duke arsyetuar, kemi ardhur në një kontradiktë me një aksiomë të linjave paralele të drejta. Kjo do të thotë se supozimi ynë është i pasaktë dhe, prandaj, ∠1 \u003d ∠2.
Kjo metodë e arsyetimit shpesh përdoret në matematikë. Ne i kemi përdorur ato më herët, për shembull, në paragrafin 12, me provën se të dy të drejtë, pingul me të tretën, nuk ndërpriten. Ne kemi përdorur të njëjtën metodë në paragrafin 28 në provën e pasojave prej 1 0 dhe 2 0 të aksiomave të linjave paralele të drejta.
Kodër
Në të vërtetë, le të || B, C ⊥ a, i.E. ∠1 \u003d 90 ° (Figura 114). Drejt me kryqe drejt a, kështu që kalon edhe b. Kur kalon linjat paralele të drejta A dhe b formë sekuenciale C të barabartë, këndet themelore janë formuar: ∠1 \u003d ∠2. Që nga ∠1 \u003d 90 °, pastaj dhe ∠2 \u003d 90 °, i.e., me ⊥ b, e cila kërkohej të provojë.
Fik. 114.
Teoremë
Dëshmi
Le linjat paralele të drejta A dhe B janë të intersected nga sekuenciale s. Ne provojmë se këndet përkatëse, për shembull 1 dhe 2, janë të barabartë (shih Fig. 102). Si një || b, atëherë këndet themelore 1 dhe 3 janë të barabarta.
Qoshet 2 dhe 3 janë të barabarta si vertikale. E barazisë ∠1 \u003d ∠3 dhe ∠2 \u003d ∠3 Kjo rrjedh se ∠1 \u003d ∠2. Teorema provohet.
Teoremë
Dëshmi
Lë të drejtë paralele A dhe B janë të intersected nga Secant C (shih Fig. 102). Ne dëshmojmë, për shembull, se ∠1 + ∠4 \u003d 180 °. Si një || B, atëherë këndet korresponduese 1 dhe 2 janë të barabarta. Angles 2 dhe 4 ngjitur, prandaj ∠2 + ∠4 \u003d 180 °. Nga barazitë ∠1 \u003d ∠2 dhe ∠2 + ∠4 \u003d 180 ° Kjo vijon se ∠1 + ∠4 \u003d 180 °. Teorema provohet.
Koment
Nëse ndonjë teoremë është vërtetuar, atëherë nuk duhet të bëhet drejtësia e miratimit të referencës. Për më tepër, miratimi i kundërt nuk është gjithmonë i vërtetë. Ne japim një shembull të thjeshtë. Ne e dimë se nëse qoshet janë vertikale, atëherë ato janë të barabarta. Deklarata e kundërt: "Nëse qoshet janë të barabarta, atëherë ato janë vertikale", natyrisht, gabimisht.
Ne dëshmojmë teoremen e këndeve me anët paralele, respektivisht.
Teoremë
Dëshmi
Le të ∠aob dhe ∠a 1 o 1 b 1 - këto kënde dhe oa || O 1 a 1, s || O 1 në 1. Nëse këndi i AOS-it është i vendosur, atëherë këndi dhe 1 o 1 në 1 - të vendosur (shpjegoni pse), kështu që këto qoshe janë të barabarta. Le të jetë një kënd i pacaktuar. Rastet e mundshme të rregullimit të këndeve të AOS dhe A 1 O 1 në 1 janë përshkruar në figurën 115, A dhe B. Linja e 1 në 1 kalon vijën e drejtë rreth 1 a 1 dhe, prandaj, kalon OA të drejtpërdrejtë të drejtpërdrejtë në një pikë të caktuar M. Linjat paralele të drejta dhe 1 deri në 1 janë të kaluara nga SECANT OM, prandaj një nga këndet e formuara kur Kalimi i drejtpërdrejtë rreth 1 në 1 të dyja (këndi 1 në figurën 115) është e barabartë me cepin e AOS (si qoshet themelore). OA paralele e drejtpërdrejtë dhe o 1 a 1 kalohen në seksionin e 1 m, prandaj ose ∠1 \u003d ∠a 1 o 1 b 1 (Figura 115, A), ose ∠1 + ∠a 1 o 1 b 1 \u003d 180 ° (oriz 115, b). Nga barazia ∠1 \u003d ∠aob dhe dy barazitë e fundit, rrjedh se ose ∠aob \u003d ∠a 1 o 1 b 1 (shih Figurën 115, A), ose ∠aob + ∠a 1 o 1 b 1 \u003d 180 ° (shih Fig. 115, B). Teorema provohet.
Fik. 115.
Tani provojmë teoremen e këndeve me partitë përkatëse pingulare.
Teoremë
Dëshmi
Le të jetë ∠aob dhe ∠a 1 o 1 b 1 të jenë të dhënat e këndeve, o ⊥ o 1 a 1, ob ⊥ o 1 b 1. Nëse këndi i AOS-it është i vendosur ose i drejtpërdrejtë, atëherë këndi dhe 1 o 1 në 1 të vendosur ose të drejtë (shpjegoni pse), kështu që këto qoshe janë të barabarta. Le të jetë ∠aob.< 180°, О ∉ О 1 А 1 , О ∉ О 1 В 1 (случаи О ∈ O 1 А 1 , О ∈ О 1 В 1 рассмотрите самостоятельно).
Dy raste janë të mundshme (Figura 116).
10. ∠aob< 90° (см. рис. 116, а). Проведём луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными, а точки В и С лежали по разные стороны от прямой О А. Далее, проведём луч OD так, чтобы прямые ОВ и OD были взаимно перпендикулярными, а точки С и D лежали по одну сторону от прямой О А. Поскольку ∠AOB = 90° - ∠AOD и ∠COD = 90° - ∠AOD, то ∠AOB = ∠COD. Стороны угла COD соответственно параллельны сторонам угла А 1 О 1 В 1 (объясните почему), поэтому либо ∠COD = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠COD + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. Следовательно, либо ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°.
njëzet. ∠AOB\u003e 90 ° (shih Fig 116, b). Pritini rrezet e OS në mënyrë që këndi i AOC të jetë ngjitur me këndin e AOS-it. Këndi i AOC është i mprehtë, dhe partitë e saj janë përkatësisht pingul në anët e këndit një 1 o 1 në 1. Prandaj, ose .∠ooc + ∠a 1 o 1 b 1 \u003d 180 °, ose ∠aoc \u003d ∠a 1 o 1 b 1. Në rastin e parë, ∠aob \u003d ∠a 1 o 1 b 1, në rastin e dytë, ∠aob + ∠a 1 o 1 b 1 \u003d 180 °. Teorema provohet.
196. Dan trekëndësh ABC. Sa anë të drejtpërdrejtë, paralele të AV, mund të shpenzohen përmes majës me të?
197. Pas një pike që nuk qëndron në një vijë të drejtë, u mbajtën katër linja të drejta. Sa prej këtyre linjave ndërpresin drejt r? Konsideroni të gjitha rastet e mundshme.
198. Direkt A dhe B janë pingul me një vijë të drejtë P, drejt me kryq të drejtpërdrejtë a. A është e drejtë me direct b?
199. Drejt Palalal në anën e trekëndëshit ABS. Provojë se dielli i drejtpërdrejtë dhe AU kalojnë vijën e drejtë.
200. Figura 117 ad || P dhe pq || Dielli. Provojë se linja e drejtë r është kaluar nga AV Direct, AE, AU, Sun dhe Pq.
Fik. 117.
201. Shuma e kalimit të këndeve të gënjyer me kryqëzimin e dy sektit të drejtpërdrejtë paralel është 210 °. Gjeni këto qoshe.
202. Figura 118, drejt a, b dhe c kalohen direkt d, ∠1 \u003d 42 °, ∠2 \u003d 140 °, ∠3 \u003d 138 °. Cila nga linjat e drejta A, B dhe me paralel?
Fik. 118.
203. Gjeni të gjitha këndvështrimet e formuara me kryqëzimin e dy linjave paralele të drejta A dhe B në vijim C nëse:
a) një nga qoshet është 150 °;
b) një nga qoshet në 70 ° më shumë se tjetra.
204. Skajet e segmentit AB qëndrojnë në linjat paralele të drejta A dhe b. Direkt, duke kaluar nëpër mes të këtij segmenti, kalon drejt A dhe B në pikat C dhe D. Provoni se CO \u003d OD.
205. Sipas Figura 119, gjeni ∠1.
Fik. 119.
206. ∠ABC \u003d 70 °, një abcd \u003d 110 °. Mund të drejtojë AV dhe CD të jetë:
a) paralel;
b) intersecting?
207. Përgjigjuni pyetjeve të detyrave 206, nëse ∠avs \u003d 65 °, dhe ∠BCD \u003d 105 °.
208. Diferenca e dy qosheve të njëanshme me kryqëzimin e dy sekuestit të drejtpërdrejtë paralel është 50 °. Gjeni këto qoshe.
209. Figura 120 A || B, C || d, ∠4 \u003d 45 °. Gjeni këndet 1, 2 dhe 3.
Fik. 120.
210. Dy trupa P 1 dhe P 2 janë pezulluar në skajet e temave, të vendosura përmes blloqeve A dhe B (Figura 121). Trupi i tretë P 3 është pezulluar në të njëjtën fije në pikën C dhe balancimin e trupit p 1 dhe p 2. (Në të njëjtën kohë, Ar 1 || BP 2 || CP 3.) Provoni se ∠acb \u003d ∠cap 1 + ∠cbp 2.
Fik. 121.
211. Kalohen dy kryqëzime të drejtpërdrejta paralele. Provojë se: a) Bisecties që kalojnë këndet e gënjyer paralelisht; b) përgjysmuese e këndeve të njëanshme pingul.
212. Drejtpërdrejtë, që përmban lartësitë e AA 1 dhe BB 1 të trekëndëshit ABC, ndërpritet në pikën H, këndi në shurdhër, ∠c \u003d 20 °. Gjeni AHV kënd.
196. Një drejt.
197. Tre ose katër.
201. 105 °, 105 °.
203. b) Katër kënd prej 55 °, katër kënd tjetër prej 125 °.
206. a) Po; b) Po.
207. a) Jo; b) Po.
208. 115 ° dhe 65 °.
209. ∠1 \u003d 135 °, ∠2 \u003d 45 °, ∠3 \u003d 135 °.
210. Shënim. Konsideroni vazhdimin e rrezeve të WED 3.
Ne përdorëm aksioma të tjera, edhe pse nuk i theksuan veçanërisht ato. Pra, krahasimi i 2 segmenteve që ne u kryen me mbulesë. Mundësia e mbivendosjeve të tilla vijon nga aksiomi "në çdo rreze që nga fillimi i tij, ju mund të shtyni segmentin e barabartë me këtë, dhe për më tepër, vetëm një"
Këto aksioma nuk dyshojnë dhe me ndihmën e tyre janë vërtetuar nga akuza të tjera. Kjo metodë filloi shumë kohë më parë dhe u përshkrua në përbërjen e "fillimit" të shkencëtarit të Euklidisë. Disa nga aksiomat e euklidisë - postulates tani përdoren në gjeometrinë dhe vetë gjeometrinë, të përcaktuara në "fillimin", quhet gjeometria euklidiane.
Teorema në qoshet e formuara nga dy paralele dhe sekuenciale. Kushti është ajo që është dhënë. Përfundim - Çfarë kërkohet për të provuar. Teorema, e kundërta e kësaj - teorema, në të cilën gjendja është përfundimi i këtij teorema, dhe përfundimi është gjendja e këtij teorema.
Koment. Nëse ndonjë teoremë është vërtetuar, atëherë drejtësia nuk duhet të jetë e drejtë. Për më tepër, miratimi i kundërt nuk është gjithmonë i vërtetë. Për shembull, "këndet vertikale janë të barabarta". Deklarata e kundërt: "Nëse këndet janë të barabarta, atëherë ato janë vertikale" - natyrisht, gabimisht.
Përfunduar një student të klasës së 7 "G" MBO "OK" Lyceum №3 "Gavrilov Dmitry
Aksiomë
Vjen nga "axios" grek, që do të thotë "e vlefshme, e mirë". Vendosja, marrë pa dëshmi logjike për shkak të bindjes së menjëhershme, pozitës së vërtetë fillestare të teorisë. (Fjalor Sovjetik Enciklopedik)
Për të shijuar prezantimet paraprake, krijoni veten një llogari (llogari) Google dhe hyni në të: https://accounts.google.com
Aksioma e linjave paralele të drejtuara ka kryer një student të klasës së 7 "G" MBO "OK" Liceum nr. 3 "Gavrilov Dmitry 2015-2016 Ac.G (Mësues Konarev T.N.)
Përkufizime dhe fakte të famshme. Përfundoni propozimin. 1. Linja e drejtë quhet sekuenciale për të drejtuar A dhe B, nëse ... 2. Kur kalon dy sekueste të drejtpërdrejta, është formuar ... e qosheve jo të vermuara. 3. Nëse AV dhe C të drejtë kalojnë direkt në D, atëherë vija e drejtë në D është quajtur ... 4. Nëse pikat b dhe d qëndrojnë në gjysmë aeroplanët e ndryshëm në lidhje me folësin e sekuestit, pastaj qoshet e jush Dhe DCA quhen ... 5. Nëse pikat b dhe d qëndrojnë në një gjysmë aeroplan në krahasim me altoparlantin e sekuestit, atëherë këndet e juve dhe DCA quhen ... 6. Nëse e brendshme do të rrisë këndet themelore të Një palë janë të barabartë, atëherë brendësia do të rrisë qoshet themelore të një palë tjetër ... DC dhe me në dab
Kontrolloni punën. një. ... nëse i kalon ato në dy pika 2. 8 3. ... duke kënduar 4. ... që jetojnë të gënjyer 5. ... njëanshëm 6. ... e barabartë
Gjeni pajtueshmërinë A) A B M 1) A | | b, pasi kalimi i brendshëm i këndeve themelore janë të barabarta me b) 2) A | | b, meqë këndet përkatëse janë të barabarta me) A B3) A | | B, pasi shuma e qosheve të brendshme të njëanshme është 180 ° 50 º 130 º 45 º 45 º M A B M A 150 º 150º
Në aksiomat e gjeometrisë
Aksiomi vjen nga "Axios" grek, që do të thotë "i vlefshëm i denjë për". Pozita e marrë pa dëshmi logjike në bazë të bindjes së drejtpërdrejtë, pozitën e vërtetë fillestare të teorisë. Fjalor Sovjetik Enciklopedik
Nëpërmjet dy pikave kalon drejt, dhe për më tepër, vetëm një është se sa direkt mund të kryhet përmes dy pikave të shtrirë në aeroplan?
Në çdo rreze, është e mundur të shtyni segmentin e barabartë me këtë, dhe për më tepër, vetëm një nga sa segmente të kësaj gjatësi mund të shtyhen nga fillimi i rrezes?
Nga çdo rreze në një anë të caktuar, ju mund të shtyni një kënd të barabartë me këtë qoshe të pabarabartë, dhe për më tepër, vetëm një nga qoshet e barabartë me këtë mund të shtyhet nga kjo rreze në një gjysmë aeroplan të dhënë.
axioms Theorem korrespondencë logjike ese e famshme e "fillimit" Gjeometria Euklidiane Ndërtimi logjik i gjeometrisë
Linjat paralele të aksiomave
Ma ne provojë se përmes pikës m mund të shpenzohen drejt, paralel me vijën dhe me në një ┴ me në ┴ dhe іі
A është e mundur të kalosh një vijë tjetër të drejtë, paralel të drejtpërdrejtë e? dhe m në 1 dhe a është e mundur të provojë atë?
Shumë matematikë, që nga kohërat e lashta, u përpoqën të provonin këtë deklaratë, dhe në "fillimin" euklida, kjo deklaratë quhet postulati i pestë. Përpjekjet për të provuar se postulat e pestë euklidi nuk u kurorëzua me sukses, dhe vetëm në shekullin XIX më në fund u konstatua se deklarata për veçantinë e kalimit të drejtpërdrejtë përmes kësaj pike është paralel me këtë direkt, nuk mund të provohet në bazë të Pjesa tjetër e aksiomës euklideus, dhe vetë është një aksiomë. Matematikani rus Nikolai Ivanovich Lobachevsky luajti një rol të madh në zgjidhjen e kësaj çështjeje.
Posta e pestë euklide 1792-1856 Nikolai Ivanovich
"Pas një pike që nuk është e shtrirë në këtë direkt, vetëm një të drejtpërdrejtë, paralel me këtë". "Pas një pike që nuk qëndron në këtë direkt, ju mund të kaloni një paralel të drejtë me këtë." Cila nga këto deklarata është aksiomë? Cilat janë dallimi në mes të deklaratave të mësipërme?
Pas një pike, jo të shtrirë në këtë direkt, vetëm një vijë të drejtë, paralel me këtë. Pohimet që rrjedhin nga aksiomat ose teorema quhen pasoja. Corollary 1. Nëse kalon direkt një nga dy linjat paralele të drejta, atëherë ai kalon tjetrën. Një ii b, c b ⇒ c një aksiomë paralelizmi dhe pasojat e saj. Një kodëror 2. Nëse dy të drejtë paralelisht me vijën e tretë të drejtë, ato janë paralele. Një II C, B II C A II B A B C C B
Konsolidimi i njohurive. Test Mark "+" Deklaratat e sakta dhe "-" shenjë "-" - e gabuar. Opsioni 1 1. Aksioma quhet deklaratë matematikore mbi vetitë e formave gjeometrike, duke kërkuar dëshmi. 2. Nëpërmjet dy pikave kalon drejt. 3. Në çdo rreze që nga fillimi, është e mundur të shtyhet segmentet e barabartë me atë të dhënë, dhe sa shumë shumë. 4. Pika nuk shtrihet në këtë linjë të drejtpërdrejtë, vetëm një vijë e drejtë, paralelisht me këtë. 5. Nëse dy të drejta paralele me të tretën, atëherë ata janë paralel me njëri-tjetrin. Opsioni 2 1. Axioma quhet deklaratë matematikore mbi vetitë e formave gjeometrike të marra pa prova. 2. Nëpërmjet dy pikave kalon drejt, dhe për më tepër, vetëm një. 3. Pas një pike që nuk qëndron në këtë linjë, vetëm dy të drejtpërdrejta, paralel me këtë. 4. Nëse direkt kalon një nga dy linjat paralele të drejta, atëherë është pingul me një tjetër të drejtpërdrejtë. 5. Nëse kalon direkt një nga dy linjat paralele të drejta, ajo kalon tjetrën.
Opsioni i përgjigjes së brumë 1 1. - "2." - "" - "4." + "5. +" Opsioni 2 "+" + "" - "-" "+"
"Gjeometria është e mbushur me aventura, sepse çdo detyrë fsheh aventurën e mendimit. Zgjidhni detyrën - kjo do të thotë të mbijetoni aventurën ". (V. Arbond)
Së pari, merrni parasysh dallimin midis koncepteve të shenjës, pronës dhe aksiomës.
Përkufizimi 1.
Shenjë Ata e quajnë një fakt të caktuar që ju mund të përcaktoni të vërtetën e gjykimit për objektin e interesit.
Shembulli 1.
Drejt janë paralelisht nëse siguruesi i tyre përbën mbulim të barabartë të këndeve themelore.
Përkufizimi 2.
Pronës Është formuluar kur ka besim në drejtësinë e gjykimit.
Shembulli 2.
Me paralel të drejtpërdrejtë, sekuestri i tyre formon mbulim të barabartë të këndeve themelore.
Përkufizimi 3.
Aksiomë Thirrni një deklaratë të tillë që nuk kërkon prova dhe pranohet si e vërtetë pa të.
Çdo shkencë ka aksiomat në të cilat po ndërtohen gjykimet e mëvonshme dhe provat e tyre.
Ndonjëherë aksiomat e paralel të drejtpërdrejtë pranojnë si një nga vetitë e linjave paralele të drejta, por në të njëjtën kohë, prova të tjera gjeometrike janë ndërtuar mbi drejtësinë e saj.
Teorema 1.
Pas një pike që nuk qëndron në një vijë të caktuar, në aeroplan mund të kryhet vetëm një drejt, i cili do të jetë paralel me atë të specifikuar.
Prova Acceioma nuk kërkon.
Teorema 2.
Pronë1. Prona e tranzicionit të paralelizmit direkt:
Kur një nga dy linjat paralele të drejta është paralel me të tretin, atëherë e dyta do të jetë paralel me të.
Prona kërkojnë dëshmi.
Dëshmi:
Le të ketë dy direct paralele $ A $ dhe $ b $. Direct $ me $ paralele direkte $ a $. Kontrolloni nëse do të ketë një $ të drejtpërdrejtë me $ paralele dhe të drejtpërdrejtë $ b $.
Për provën, ne do të përdorim gjykimin e kundërt:
Paramendoni se ky opsion është i mundur, në të cilin direkt $ c $ është paralel me një nga të drejtpërdrejtë, për shembull, direkt $ A $, dhe tjetri është një direct $ b $ - kalon në një moment $ k $.
Ne marrim një kontradiktë sipas aksiomës së linjave paralele të drejta. Situata në të cilën dy linja të drejta janë duke intersecting në një pikë, përveç paralel me të njëjtin direct $ a $. Një situatë e tillë është e pamundur, prandaj, mund të rivendoset $ b $ dhe $ c $ mund të rivendoset.
Kështu, është vërtetuar se nëse një nga dy linjat e drejta paralele është paralel me të tretën e djathtë, atëherë vija e dytë e drejtë është paralel me vijën e tretë të drejtë.
Teorema 3.
Pronës 2.
Nëse një nga dy linjat paralele kryqëzon të tretën, atëherë do të ndërpritet dhe vijën e dytë të drejtë.
Dëshmi:
Le të ketë dy paralele drejt $ A $ dhe $ b $. Gjithashtu, le të ketë disa direct $ c $, i cili kalon një nga paralelisht direkt, për shembull, drejtpërdrejt $ A $. Është e nevojshme të tregohet se Direct $ me $ cross dhe vija e dytë e drejtë është një direct $ b $.
Ne ndërtojmë prova me metodën nga e kundërta.
Paramendoni se direkt $ me $ nuk kalon direct $ b $. Pastaj përmes pikës $ në $ ka dy $ A $ dhe $ me $, të cilat nuk ndërpresin drejtpërdrejt $ b $, i.E. janë paralele me të. Por kjo situatë bie në kundërshtim me aksiomën e linjave paralele të drejta. Pra, supozimi ishte i pasaktë dhe direkt $ me $ do të kalojë drejtpërdrejt $ b $.
Teorema provohet.
Vetitë e qosheveqë formojnë dy paralele drejt dhe vijues: Këndet e gjalla janë të barabarta, Anglat përkatëse janë të barabarta, * shuma e qosheve të njëanshme është e barabartë me $ 180 ^ (\\ circ) $.
Shembulli 3.
Dy paralele të drejtë dhe të tretë të drejtë, pingul një prej tyre. Provoni se ky direkt është pingul me një tjetër linjat paralele të drejta.
Dëshmi.
Le të kenë direkt $ a \\ paralele b $ dhe $ c \\ perp një $.
Që nga $ Direct $ me $ Cross Direct $ A $, atëherë sipas pasurisë së linjave paralele të drejtë, ajo do të kalojë dhe të drejtpërdrejtë $ b $.
Seksioni i $ c $ kalimi i vijës paralele të drejtë $ A $ dhe $ b formon kënde të barabarta të brendshme të brendshme me ta.
Sepse $ C \\ perp një $, atëherë qoshet do të jetë $ 90 ^ (\\ circ) $.
Rrjedhimisht, $ c \\ perp b $.
Prova e përfunduar.
§ 1 Axiom paralel direkt
Ne zbulojmë se cilat aprovime quhen aksioma, ne paraqesim shembuj të aksiomës, ne formulojmë aksiomat e linjave paralele të drejta dhe shqyrtojmë disa nga pasojat e saj.
Kur studiojnë forma gjeometrike dhe pronat e tyre, ka nevojë për dëshmi të deklaratave të ndryshme - teorema. Me provën e tyre, ata shpesh mbështeten në teorema të provuara më parë. Çështja lind: Cilat janë provat e teoremave të parë? Në gjeometrinë, disa dispozita fillestare u miratuan, në bazë të tyre dhe janë provuar teorema të mëtejshme. Pozicione të tilla fillestare quhen aksioma. Axiom është pranuar pa prova. Fjala aksiomë vjen nga fjala greke "Axios", që do të thotë "e vlefshme e denjë për".
Ne jemi tashmë të njohur me disa aksioma. Për shembull, aksiomi është një deklaratë: përmes dy pikave ka të drejtpërdrejtë, dhe me vetëm një.
Kur krahasojmë dy segmente dhe dy kënde, ne aplikuam një segment në tjetrin, dhe këndi u imponua në një kënd tjetër. Mundësia e mbulesave të tilla vijon nga aksiomat e mëposhtme:
· Në çdo rreze, është e mundur të shtyhet segmenti i barabartë me këtë, dhe për më tepër vetëm një;
· Nga çdo rreze në një anë të caktuar, ju mund të shtyni një kënd të barabartë me këtë qoshe të pabarabartë, dhe vetëm një.
Gjeometria - Shkenca e lashtë. Pothuajse dy mijëvjeçari, gjeometria u studiua sipas përbërjes së famshme të "fillimit" të një shkencëtari të lashtë grek Euclidea. Euklidi filloi së pari pozicionet fillestare - postulates, dhe pastaj në bazë të tyre, nëpërmjet arsyetimit logjik, ka pasur akuza të tjera. Gjeometria e përcaktuar në "fillimin" quhet gjeometria euklidiane. Në dorëshkrimet e shkencëtarit ka një deklaratë të quajtur postulat e pestë, rreth të cilave mosmarrëveshjet u ndezën një kohë shumë të gjatë. Shumë matematikanë u përpoqën të provonin postulën e pestë euklidea, i.e. Për ta sjellë atë nga aksiomat e tjera, por çdo herë që provat ishin të paplota ose shkuan në një fund të vdekur. Vetëm në shekullin XIX më në fund u zbulua se postulat e pestë nuk mund të provohej në bazë të aksiomës së mbetur të Euklideas, dhe vetë është një aksiomë. Matematikani rus Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856) luajti një rol të madh në zgjidhjen e kësaj çështjeje. Pra, postulati i pestë është një aksiomë e linjave paralele të drejta.
Aksioma: Pas një pike që nuk qëndron në këtë linjë, vetëm një vijë e drejtë, paralelisht me këtë.
§ 2 nevertectices nga aksiomat paralele direkt
Deklaratat që hiqen direkt nga aksiomat ose teorema quhen pasoja. Shqyrtoni disa nga pasojat e aksiomës së linjave paralele të drejta.
Corollary 1. Nëse direkt kalon një nga dy linjat paralele të drejta, ai kalon tjetrën.
Danarisht: Drejt A dhe B janë paralele, drejt me kryqe drejt një në pikën A.
Provoni: Drejt me kryqe drejt b.
Dëshmi: Nëse drejt me nuk ka kaluar direkte B, atëherë deri në pikën A, do të kishte dy të drejta A dhe C, paralelisht b. Por kjo bie në kundërshtim me aksiomën e linjave paralele të drejta: vetëm një kalime të drejtpërdrejta, paralele, gjatë një pike që nuk shtrihet në këtë direkt. Pra, drejt me kryqe të drejtpërdrejta b.
Corollary 2. Nëse dy paralel të drejtpërdrejtë me vijën e tretë të drejtë, atëherë ato janë paralele.
Dano: Drejt A dhe B janë paralele me të drejtpërdrejtë me të. (A || c, b || c)
Provoni: Drejt dhe paralel i drejtpërdrejtë b.
Dëshmi: Supozoni se A dhe B të drejtë nuk janë paralele, unë. Ata ndërpresin në një pikë A. Pastaj përmes pikës dhe kalojnë dy të drejtë A dhe B, paralel me vijën e drejtë me. Por sipas aksiomës së paralel të drejtpërdrejtë nëpërmjet pikës, jo të shtrirë në këtë linjë, ka vetëm një vijë të drejtë, paralelisht me këtë. Pra, supozimi ynë është i pasaktë, prandaj, a dhe b janë paralele.
Lista e referencave:
Imazhet e përdorura:
