Nga kursi shkollor i matematikës dihet se vektori në aeroplan është një segment i drejtuar. Fillimi dhe fundi i tij kanë dy koordinata. Koordinatat e vektorit llogariten duke zbritur nga koordinatat e përfundimit të koordinatave të fillimit.
Koncepti i një vektori gjithashtu mund të shpërndahet në hapësirën n-dimensionale (në vend të dy koordinatave do të binchordinates).
Gradientgradz funksionsz \u003d f (x 1, x 2, ... x n) quhet vektori i funksioneve private të nxjerra në pikën, i.e. Vektor me koordinata.
Mund të vërtetohet se gradienti i funksionit karakterizon drejtimin e rritjes formale të nivelit të funksionit në atë pikë.
Për shembull, për funksionin z \u003d 2x 1 + x 2 (shih Figurën 5.8), gradienti në çdo moment do të ketë koordinatat (2; 1). Është e mundur për të ndërtuar atë në aeroplan në mënyra të ndryshme duke marrë ndonjë pikë si fillimi i vektorit. Për shembull, mund të lidhni një pikë (0; 0) me një pikë (2; 1), ose pika (1; 0) me një pikë (3; 1) ose pikë (0; 3) me një pikë (2 ; 4), ose t .p. (Shih figurën 5.8). Të gjithë vektorët e ndërtuar në këtë mënyrë do të kenë koordinatat (2 - 0; 1 - 0) \u003d (3 - 1; 1 - 0) \u003d (2 - 0; 4 - 3) \u003d (2; 1).
Figura 5.8 shihet qartë se niveli i funksionit po rritet në drejtimin e gradientit, pasi që linjat e nivelit të ndërtuara korrespondojnë me vlerat e nivelit 4\u003e 3\u003e 2.
Figura 5.8 - Funksioni Gradient Z \u003d 2x 1 + x 2
Konsideroni një shembull tjetër - Funksioni Z \u003d 1 / (x 1 x 2). Gradienti i këtij funksioni nuk do të jetë po aq i njëjtë në pika të ndryshme, pasi koordinatat e saj përcaktohen nga formulat (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2))).
Figura 5.9 tregon nivelet e funksioneve të funksionit Bel \u003d 1 / (x 1 x 2) për nivelet 2 dhe 10 (direkt 1 / (x 1 x 2) \u003d 2 tregohet nga vija me pika dhe vija e drejtë 1 / (x 1 x 2) \u003d 10 - linjë solide).
Figura 5.9 - Shkalla e funksionit Z \u003d 1 / (x 1 x 2) në pika të ndryshme
Merrni, për shembull, pikë (0.5; 1) dhe llogarisni gradientin në këtë pikë: (-1 / (0.5 2 * 1); -1 / (0.5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2). Vini re se pika (0.5; 1) qëndron në vijën e nivelit 1 / (x 1 x 2) \u003d 2, forz \u003d f (0.5; 1) \u003d 1 / (0.5 * 1) \u003d 2. të keil me një vektor ( -4; -2) në Figurën 5.9, lidhni pikën (0.5; 1) me një pikë (-3,5; -1), për (-3,5 - 0.5; -1 - 1) \u003d (-4; -2).
Merrni një pikë tjetër në të njëjtin linjë të nivelit, për shembull, pikë (1; 0.5) (z \u003d f (1; 0.5) \u003d 1 / (0.5 * 1) \u003d 2). Llogaritni gradientin në këtë pikë (-1 / (1 2 * 0.5); -1 / (1 * 0.5 2)) \u003d (-2; -4). Të paraqesin atë në Figurën 5.9, të lidhur në pikën (1; 0.5) me një pikë (-1; -3.5), për të (-1 - 1; -3.5 - 0.5) \u003d (-2, - katër).
Merrni një pikë tjetër në të njëjtin linjë të nivelit, por vetëm tani në një tremujor të pandashëm të koordinimit. Për shembull, pika (-0.5; -1) (z \u003d f (-0.5; -1) \u003d 1 / ((- 1) * (- 0.5)) \u003d 2). Gradient në këtë pikë do të jenë të barabartë me (-1 / ((- 0.5) 2 * (- 1)); -1 / ((- 0.5) * (- 1) 2)) \u003d (4; 2). Tregojnë atë në Figurën 5.9, lidh në pikën (-0.5; -1) me një pikë (3.5: 1), per (3,5 - (-0.5); 1 - (-1)) \u003d (4; 2).
Duhet të theksohet se në të tri rastet konsiderohen, gradienti tregon drejtimin e rritjes së nivelit të rritjes (drejt vijës 1 / (x 1 x 2) \u003d 10\u003e 2).
Mund të vërtetohet se gradienti është gjithmonë pingul në vijën e nivelit (sipërfaqja e nivelit) që kalon nëpër këtë pikë.
Ne e përcaktojmë konceptin ekstrempër funksionin e shumë variablave.
Funksioni i shumë variablave f (x) ka në pikën X (0) maksimumi (minimumi),nëse ka një lagje të tillë të kësaj pike, që për të gjitha pikat x nga kjo lagje, pabarazitë kryhen (x) f (x (0)) ().
Nëse këto pabarazi janë kryer, si të rreptë, atëherë është quajtur ekstremimi i fortë, dhe nëse jo, atëherë i dobët.
Vini re se ekstremit të përcaktuar në këtë mënyrë vesh lokalintegriteti, meqë këto pabarazi kryhen vetëm për një lagje të një pikë ekstreme.
Ne kemi një kusht të domosdoshëm për ekstremin lokal të funksionit të diferencuar z \u003d f (x 1, .., x n) në pikën është barazia e zero të të gjitha derivateve private të rendit të parë në këtë pikë: 
.
Pikat në të cilat janë kryer këto barazi janë të quajtur i palëvizshëm.
Në një mënyrë tjetër, gjendja e domosdoshme ekstrem mund të formulohet si më poshtë: Në pikën e ekstremit, gradienti është zero. Është e mundur të provohet miratimi më i përgjithshëm - në pikën ekstremuese ata kthehen në derivatet zero në të gjitha drejtimet.
Pikat e palëvizshme duhet t'i nënshtrohen studimeve shtesë - ka kushte të mjaftueshme për ekzistencën e një ekstreme lokale. Për këtë, përcaktohet shenja e diferencës së rendit të dytë. Nëse me ndonjë, jo të barabartë në të njëjtën kohë zero, është gjithmonë negative (pozitive), atëherë funksioni ka një maksimum (minimum). Nëse mund të aplikohet për zero jo vetëm në increments zero, çështja e ekstremës mbetet e hapur. Nëse mund të merrni vlerat pozitive dhe negative, atëherë nuk ka ekstreme në një pikë të palëvizshme.
Në përgjithësi, përkufizimi i shenjës diferenciale është një problem mjaft i komplikuar, të cilin ne nuk do të shqyrtojmë këtu. Për funksionin e dy variablave, mund të provoni se nëse në një pikë të palëvizshme 
Ekstrem është i pranishëm. Në këtë rast, shenja e diferencës së dytë përkon me shenjën 
. nese nje 
, atëherë kjo është maksimumi, dhe nëse 
, atëherë kjo është të paktën. Nese nje 
Pastaj nuk ka ekstrem në këtë pikë, dhe nëse 
Çështja e ekstremës mbetet e hapur.
Shembulli 1.. Gjeni funksione ekstreme 
.
Ne gjejmë derivatet private me diferencimin logaritmik.
ln z \u003d ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) - ln (1 + x 2) - ln (1 + y 2)
Në mënyrë të ngjashme 
.
Gjeni pikë të palëvizshme nga sistemi i ekuacioneve:
Kështu, u gjetën katër pika stacionare (1; 1), (1; -1), (-1; 1) dhe (-1; -1).
Ne gjejmë derivatet private të rendit të dytë:
ln (z x `) \u003d ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)
Në mënyrë të ngjashme 
;
.
Si 
, shenjë e shprehjes 
vetëm OT varet 
. Vini re se në të dyja këto derivativë, emëruesi është gjithmonë pozitiv, kështu që ju mund të konsideroni vetëm shenjën e numeratorit, ose edhe shenjën e shprehjeve x (x 2 - 3) dhe (Y 2 - 3). Ne e definojmë atë në çdo pikë kritike dhe kontrollojmë ekzekutimin e kushteve të mjaftueshme të ekstremit.
Për një pikë (1; 1) marrim 1 * (1 2 - 3) \u003d -2< 0. Т.к. произведение
двух отрицательных чисел
\u003e 0, dhe 
<
0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он
равен
=
2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) =
= 8/4
= 2.
Për një pikë (1; -1) marrim 1 * (1 2 - 3) \u003d -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3)
= 2 > 0. sepse Puna e këtyre numrave 
< 0, в этой точке экстремума нет.
Аналогично можно показать, что нет
экстремума в точке (-1; 1).
Për një pikë (-1; -1) marrim (-1) * ((- 1) 2 - 3) \u003d 2\u003e 0. sepse Puna e dy numrave pozitivë 
\u003e 0, dhe 
\u003e 0, në pikën (-1; -1) ju mund të gjeni një minimum. Është 2 * ((- 1) + (-1)) * (1 + (- 1) * (- 1)) / ((1 + (1) 2) * (1 + (- 1) 2) ) \u003d -8/4 \u003d -2.
Per te gjetur globalmaksimumi ose minimumi (vlera më e madhe ose më e vogël e funksionit) është disi më e komplikuar sesa ekstremet lokale, pasi këto vlera mund të arrihen jo vetëm në pikat e palëvizshme, por edhe në kufirin e zonës përkufizuese. Eksploroni sjelljen e funksionit në kufirin e kësaj zone nuk është gjithmonë e lehtë.
Konsideroni formulën e derivativit të funksionit skalar u në drejtimin e λ
Faktorët e dytë janë parashikimet e një vektori të vetëm të drejtuar nga rreze λ. 
Ne marrim vektorin, parashikimet e të cilave në akset e koordinatave do të jenë vlerat e derivateve private në T. P (X, Y, Z).
Kjo vektor quhet gradient i funksionit U (x, y, z) dhe caktoni Graduili
Përkufizimi. Gradienti i funksionit U (x, y, z) quhet vektor, parashikimet e të cilave janë vlera të derivateve private të këtij funksioni, i.e.
Derivatja e funksionit në këtë drejtim është e barabartë me produktin skalar të gradientit të funksionit për një vektor njësi të këtij drejtimi.
Duke zbuluar produktin skalar, ne marrim
,
ku φ është këndi midis vektorit gradu. dhe rreze λ.
Arrin vlerën më të madhe
Pra, ekziston vlera më e lartë e derivativit në këtë Tr, dhe drejtimi i gradit përkon me drejtimin e largimit nga gjykimi, përgjatë të cilit ndryshon funksioni më shpejt.
Ne vendosim marrëdhënien midis drejtimit të gradientit të funksionit dhe sipërfaqeve të fushës skalare.
Teorema. Gradient i funksionit u (x, y, z) në çdo pikë përputhet me normale në sipërfaqen e nivelit të fushës skalare që kalon nëpër këtë pikë.
Dëshmi. Zgjidhni një T. P 0 (X 0, Y 0, Z 0).
Ekuacioni i sipërfaqes
niveli kalon përmes
t. do u (x, y, z) \u003d,
u 0 \u003d u (x 0, y 0, z 0)
Ekuacioni është normal në këtë sipërfaqe në T., do të ketë
Nga këtu rrjedh se vektori udhëzues i normale, duke pasur parashikime 
është një gradient i funksionit U (x, y, z) në t. p 0, bt.d.
Kështu, gradienti në çdo pikë është pingul me aeroplanin tangent në sipërfaqen e nivelit që kalon nëpër këtë pikë, i.e. Projektimi i tij në këtë aeroplan është zero.
Prandaj: Derivat në çdo drejtim duke marrë parasysh sipërfaqen e nivelit që kalon nëpër këtë pikë është zero.
Vetitë kryesore të funksionit të gradientit:
2) grad. 
ku me - Const.
4) grad. 
Të gjitha pronat provohen duke përdorur përkufizimin e një funksioni gradient.
Shembull. Në t. M (1, 1, 1) Gjeni drejtimin e ndryshimit më të madh në fushën skalare dhe madhësinë e këtij ndryshimi.
Funksioni i gradientit Në pikën është vektori, koordinatat e të cilave janë të barabarta me derivativin privat përkatës dhe tregohet.
Nëse e konsiderojmë vektorin e njësisë E \u003d (), atëherë sipas formulës (3), derivat në drejtim është produkti skalar i gradientit dhe vektori i njësisë që përcakton drejtimin. Dihet se produkti skalar i dy vektorëve është maksimalisht, nëse ato janë të drejtuara në mënyrë të barabartë. Rrjedhimisht, gradienti i funksionit në këtë pikë karakterizon drejtimin dhe rritjen maksimale të funksionit në këtë pikë.
Teoremë . Nëse funksioni është i ndryshëm dhe në pikën m 0 Madhësia e gradientit është e ndryshme nga zero, atëherë gradienti është pingul me vijën e nivelit që kalon përmes kësaj pike dhe drejtohet drejt një rritjeje të funksionit në të njëjtën kohë
Përfundim: 1) Derivatja e funksionit në pikën në drejtimin e përcaktuar nga gradienti i këtij funksioni në pikën e caktuar ka vlerën maksimale në krahasim me derivativin në këtë pikë në ndonjë drejtim tjetër.
Nëse në çdo hapësirë \u200b\u200btë hapësirës ose pjesë të hapësirës, \u200b\u200bështë përcaktuar një vlerë e një sasie të caktuar, atëherë ata thonë se është specifikuar fusha e kësaj vlere. Fusha quhet skalar nëse vlera në shqyrtim është Scalar, i.E. Është karakterizuar mjaft nga vlera e tij numerike. Për shembull, një fushë e temperaturës. Fusha skalare përcaktohet nga funksioni skalar i pikës dhe \u003d / (m). Nëse Decartian Sistemi koordinativ është futur në hapësirë, atëherë nuk është një funksion i tre variablave x, z Yt - koordinatat e pikës M: përkufizim. Sipërfaqja e fushës skalare quhet një sërë pikësh në të cilat funksioni f (m) merr të njëjtën vlerë. Shembull Shembuj Sipërfaqja 1. Gjeni sipërfaqet e analizës vektoriale të fushës skalare në fushën e sipërfaqes së skalarit dhe drejtimin derivativ të vijës së nivelit drejt gradientit derivativ të gradientit vetitë kryesore të gradientit për përcaktimin e gradientit të rregullit të llogaritjes së gradientit -4 sipas përcaktimit të Ekuacioni i nivelit të nivelit do të jetë. Ky është ekuacioni i sferës (me f 0) me qendrën në fillim të koordinatave. Fusha skalare quhet e sheshtë nëse në të gjitha aeroplanët paralel me një aeroplan, fusha është e njëjtë. Nëse avioni specifikuar është marrë për aeroplan XOU, funksioni fushë nuk do të varet nga koordinojnë Z, pra ajo do të jetë vetëm funksioni i argumenteve x dhe y, fusha e sheshtë mund të karakterizohet nga niveli i nivelit - avionë të shumta në të cilën funksioni / (f, y) është dhe vlera është gjithashtu. Ekuacioni nivel Line - Shembull 2. Gjej linjat linjë e linjës skalar në terren i vijës së nivelit të jepen nga ekuacionet në C \u003d 0 ne kemi marrë një palë e drejtpërdrejtë të kemi një familje hyperball (Fig 1.). 1.1. Derivat në drejtim të le të ketë një fushë skalar të përcaktuar nga një funksion skalar dhe \u003d / (AF). Marrë në pikën Afo dhe zgjedhur drejtimin përcaktuar nga vektori I. marrë një pikë m që vektori M0M është paralel me vektor 1 (Fig. 2). Tregoni gjatësinë e vektorit të IOM-it përmes një /, dhe rritjes së funksionit / (AF) - / (AFO) që korrespondon me lëvizjen e D1, përmes di. Raporti përcakton shkallën mesatare të ndryshimit në fushën e skalarit për njësi të njësisë së drejtimit të dorëzuar. Le të tentojmë zero në mënyrë që m0m vektoriale të mbetet paralel me vektorin I. Përkufizimi. Nëse ekziston një kufi i caktuar i raportit (5), ajo quhet derivati \u200b\u200bi funksionit në këtë pikë Afo në drejtimin e paraqitur I dhe treguar simbolin e ZG! ^. Pra, sipas përkufizimit, ky përkufizim nuk lidhet me zgjedhjen e sistemit të koordinatave, i.e. vesh ** variant. Ne gjejmë një shprehje për një derivat në drejtim të sistemit kartezian të koordinatave. Lëreni funksionin / dallimin në pikë. Konsideroni vlerën / (AF) në pikën. Pastaj rritja e plotë e funksionit mund të shkruhet në formën e mëposhtme: ku dhe personazhet do të thotë se derivativët privatë llogariten në pikën afof. Prandaj këtu madhështinë JFI, ^ thelbi i udhëzuesve të kositjes së vektorit. Që nga vektorët e IOM-it dhe unë jemi të veshur, kozmetikë e tyre udhëzuese janë të njëjta: që nga m afo, duke hequr dorë duke qeshur gjatë gjithë kohës në një vijë të drejtë, paralel me vektorin 1, atëherë qoshet janë konstante sepse është më në fund i barazisë (7 ) dhe (8) të marrim eamouan IP 1. Derivatet private janë nxjerrë nga funksionet dhe në drejtimet e koordinuar Schlschlennoe NNF-SHEMBULL 3. Gjej funksionin derivativ drejt vektori i vektorit ka një gjatësi. cosines tij udhëzues: në bazë të formulës (9) kemi faktin që, do të thotë se fusha skalar në një pikë në këtë drejtim të moshës - për fushën e sheshtë, derivati \u200b\u200bnë drejtimin e kam në pikën llogaritet nga formula ku a është një kënd i formuar nga vektori i me aksin Oh. Zmmchmum 2. Formula (9) për të llogaritur derivativin në drejtim I në këtë pikë Afofi mbetet në fuqi dhe pastaj kur pika m përpiqet për pikën e mout nga një kurbë për të cilën vektori i është tangjent në pikën e korrespondencës . 4. Njehsoni derivat skalar fushë në pikën AFO (L, 1). Parabola që i përkasin kësaj kurbë (në drejtim të rritjes së abscissë). Drejtimi] Parabola në pikën është drejtimi i tangjent me parabolën në këtë pikë (Figura 3). Le tangjen e parabolës në pikën e formave të AFO me aksin oh një kënd rreth. Pastaj nga ku ngritja e këmbësorëve tangente do të llogarisë vlerat dhe në atë pikë. Ne tani kemi formulën (10) që marrim. Gjeni një derivat të fushës skalare në pikën në drejtimin e rrethit të vektorit të rrethit të rrethit ka formën. Ne gjejmë një vektor të vetëm tangjent me perimetrin e pikës korrespondon me vlerën e parametrave të vlerës së r në pikën afof do të jetë e barabartë me marrjen e udhëzuesit që tokat tangente në rrethin në pikën llogarisin vlerat e Derivatet private të kësaj fushe skalare në pikën do të thotë derivativi i dëshiruar. Gradienti i fushës skalare është fusha skalare përcaktohet nga funksioni skalar që synon të diferencohet. Përkufizimi. Gradienti skalar fushë "Në këtë pikë M është quajtur vektor caktuar nga simboli Grad dhe dhe barazinë përcaktuar nga barazia është se ky vektor varur në funksion / dhe M palosjen, e cila llogarit derivat i saj. Pusssg 1 - një vektor i vetëm në drejtim atëherë formula për derivat në drejtim mund të shkruhet në formën e mëposhtme :. Në këtë mënyrë, derivati \u200b\u200bi funksionit dhe në drejtim 1 është e barabartë me produktin skalar e gradient e funksionit dhe (M) për Ort 1 ° drejtim I. 2.1. Vetitë kryesore të gradientit të teoremës 1. Gradienti i fushës skalare është pingul në sipërfaqen e nivelit (ose në vijën e nivelit, nëse fusha e sheshtë). (2) Ne kryejmë përmes një pike arbitrare m të nivelit të nivelit dhe \u003d const dhe të zgjedhin një kurbë të qetë L në këtë sipërfaqe që kalon nëpër pikën m (Figura 4). Le të jem një varg, tangjent në kurbë l në pikën M. që nga sipërfaqja e nivelit dhe (m) \u003d dhe (m |) për çdo pikë mj, pastaj në anën tjetër, \u003d (Gradu, 1 °). Prandaj. Kjo do të thotë që vektorët Grad dhe 1 ° janë ortogonalë, kështu që pragjet e Krishtlindjeve grad dhe ortogonal për çdo tangjent në nivelin e nivelit në pikën M. Kështu, është ortogonale në sipërfaqen e nivelit në pikën M. teorema 2. gradient synon një rritje në funksion në terren. Më parë, ne dëshmuam se gradienti i fushës skalare është i drejtuar përgjatë normës në sipërfaqen e nivelit, i cili mund të jetë i orientuar ose drejt një rritjeje të funksionit dhe (m), ose drejt uljes së tij. Tregoni nga niveli normal i sipërfaqes së sipërfaqes, të orientuar drejt një rritjeje të funksionit TI (M) dhe të gjeni një funksion të nxjerrë dhe në drejtimin e kësaj normale (Fig. 5). Ne kemi që nga gjendja fig.5 dhe për këtë arsye analiza vektoriale e sipërfaqes skalare të sipërfaqes dhe vijës së nivelit të nivelit në drejtim të gradientit të gradientit derivativ të fushës skalare vetitë kryesore të përkufizimit të gradientit të gradientit rregullat për llogaritjen e gradient nga këtu del se Grad dhe dërguar në të njëjtën anë si ne përzgjedhur Normal n, dmth në drejtim të rritjes së funksionit dhe (M). Teorema 3. Gjatësia e gradientit është e barabartë me derivativin më të madh në drejtimin në këtë pikë të fushës, (këtu Shah $ është marrë në të gjitha llojet e drejtimeve në këtë pikë të Majut M). Ne kemi ku - këndi midis vektorëve 1 dhe grad n. Që nga shembulli më i madh i vlerës 1. Gjeni drejtimin e imamonisë më të madhe të fushës skalare në një pikë, si dhe madhësinë e këtij ndryshimi më të madh në pikën e caktuar. Drejtimi i ndryshimeve më të mëdha në fushën e skalarit tregohet nga vektori. Ne kemi në mënyrë që ky vektor të përkufizojë drejtimin e rritjes më të madhe në këtë fushë në një majë. Madhësia e ndryshimit më të lartë në këtë fushë në këtë pikë është 2.2. Përkufizimi invariant i gradientit të vlerave që karakterizojnë vetitë e objektit që studiohet dhe pavarësisht nga përzgjedhja e sistemit të koordinatave quhen invariantë të këtij objekti. Për shembull, gjatësia e kurbë është një invariant për këtë kurbë, dhe kënd e tangjent me kurbë me aksin nuk është një invariant. Bazuar në provuar mbi tre vetitë e gradientit të fushës skalare, është e mundur të japim përkufizimin e mëposhtëm të gradientit. Përkufizimi. Gradient i fushës skalare është vektori i drejtuar nga normale në sipërfaqen e nivelit në drejtim të rritjes së funksionit në terren dhe që ka gjatësi të barabartë me derivativin më të lartë në drejtim (në këtë pikë). Le - një vektor i vetëm i normës, i drejtuar drejt një rritjeje në fushë. Pastaj shembull 2. Gjeni një gradient distancë është një pikë fikse, një m (x, y, z) është ai aktual. 4 Ne kemi ku - një vektor i vetëm drejtimi. Rregullat për llogaritjen e gradientit ku C është një numër i vazhdueshëm. Formulat e mësipërme merren direkt nga përcaktimi i gradientit dhe vetitë e derivateve. Sipas sundimit të diferencimit të punës, prova është e ngjashme me provën e pronave të jetë f (dhe) - një funksion i ndryshëm skalar. Pastaj 4 sipas përkufizimit të foshnjës ne aplikojmë për të gjithë kushtet e pjesës së djathtë të diferencimit të funksionit kompleks. Ne marrim, në veçanti, formula (6) vijon nga formula. Shembull 3. Derivat Maith në drejtim të radius-Windows r nga funksioni sipas formulës (3) dhe sipas rezultatit të formulës, si rezultat, ne marrim Shembull 4. Le të jepet një fushë e sheshtë skalare - distanca nga disa aeroplanë deri në dy pika fikse të këtij avioni. Konsideroni një elips arbitrar me fokus fj dhe f] dhe të provojë se çdo rreze e hassiness që doli nga një fokus i elips, pas reflektimit nga elipsi bie në fokusin tjetër. Funksioni Line (7) Analiza e vektorit të esencës fushën Scalar të sipërfaqes dhe gradientit derivativ derivativ derivativ gradient kryesor pronat kryesore të gradientit Përkufizimi i gradientit të gradientit rregullat për llogaritjen e ekuacionit të gradientit (8) përshkruajnë një familje të elipsve me fokus në pikat f) dhe fj . Sipas rezultatit të shembullit 2, ne kemi kështu gradientin e fushës së specifikuar është e barabartë me Vector PQ Diagonal Rhombus ndërtuar mbi orts g? dhe vektorët e rrezeve. shpenzuar në pikën p (x, y) nga fok f f | dhe FJ, dhe për këtë arsye, ajo qëndron në përgjysmues të këndit mund të tallen nga këto vektorë rreze (Figura 6). Thoromo 1 PQ gradient është pingul me elips (8) në pikën. Pasuar nga Fig.6. Normal për Ellipse (8) në çdo pikë ndan në gjysmën e këndit midis vektorëve të rrezeve të kryera në këtë pikë. Nga këtu, dhe nga fakti se këndi i rënies së raveonit në cepin e reflektimit, ne marrim: një rreze drite, e cila doli nga një fokus i elipsit, i reflektuar prej tij, domosdoshmërisht bie në një fokus tjetër të kësaj elips.
Përkufizimi 1.
Nëse për çdo palë $ (x, y) $ të vlerave të dy variablave të pavarur nga një zonë e caktuar është vënë në përputhje me një vlerë të caktuar prej $ z $, atëherë thuhet se $ Z $ është funksioni i dy variabla $ (x, y) $. Emërtimi: $ z \u003d f (x, y) $.
Konsideroni funksionin $ Z \u003d F (x, y) $, i cili përcaktohet në një zonë në hapësirën $ Oxy $.
Prandaj,
Përkufizimi 3.
Nëse për çdo $ tre (x, y, z) $ nga vlerat e tre variablave të pavarura nga një vënë caktuar zonë në përputhje me një vlerë të caktuar prej $ W $, atëherë thuhet se $ W $ është një funksion i tre variabla $ (x, y, z) $ në këtë fushë.
Përcaktim: $ w \u003d f (x, y, z) $.
Konsideroni funksionin $ w \u003d f (x, y, z) $, i cili është përcaktuar në një zonë në hapësirën $ Oxyz $.
Për një funksion të caktuar, ne përcaktojmë një vektor për të cilin parashikimet në aksin e koordinatave janë vlerat e derivateve private të funksionit të specifikuar në një pikë $ \\ frac (\\ pjesshëm z) (\\ pjesshëm x) Frac (\\ pjesshëm z) (\\ pjesshëm y) $.
Përkufizimi 4.
Gradient i funksionit të dhënë $ w \u003d f (x, y, z) është quajtur Vector $ \\ "Infrightarrow (Gradw) $ të llojit në vijim:
Teorema 3.
Le në një fushë skalare $ w \u003d f (x, y, z) $ definuar fushën e gradientit
\\ [\\ Neveritar (Gradw) \u003d \\ frac (\\ pjesshëm w) \\ cdot \\ \\ neveritar (i) + \\ frac (\\ pjesshme w) \\ cdot \\ \\ neveritar (j) + \\ frac (\\ Pjesshëm w) (\\ pjesshëm z) \\ cdot \\ neveritar (k). \\]
$ \\ Frac Derivati \u200b\u200b(\\ pjesshem W) (\\ pjesshem S) $ në drejtim të vektor $ \\ overrightarrow e specifikuar (S) $ $ \\ overrightarrow gradient vector projektim (gradw) $ te specifikuar vektor $ \\ overrightarrow (S) $ .
Shembull 4.
Vendimi:
Shprehje për gradientin që gjejmë nga formula
\\ [\\ Neveritar (Gradw) \u003d \\ frac (\\ pjesshëm w) \\ cdot \\ \\ neveritar (i) + \\ frac (\\ pjesshme w) \\ cdot \\ \\ neveritar (j) + \\ frac (\\ Pjesshëm w) (\\ pjesshëm z) \\ cdot \\ neveritar (k). \\]
\\ [\\ Frac w) (\\ pjesshëm x) \u003d 2x; \\ frac (\\ pjesshëm w) (\\ pjesshëm y) \u003d 4y; \\ frac (\\ pjesshëm w) (\\ pjesshëm z) \u003d 2. \\]
Prandaj,
\\ [\\ Westarrow (Gradw) \u003d 2x \\ cdot \\ westarrow (i) + 4y \\ cdot \\ \\ \\ \\ \\ \\] \\ not \\ \\]. \\]
Shembulli 5.
Përcaktojnë gradientin e një funksioni të dhënë
në pikën $ m (1; 2; 1) $. Llogarit $ \\ majtas (| \\ westarrow (gradz) | \\ drejtë) _ (m) $.
Vendimi:
Shprehje për gradientin në një pikë të caktuar që gjejmë nga formula
\\ [\\ majtas (\\ westwarrow (gradw) \\ drejtë) _ (m) \u003d \\ majtas (\\ frac w) (\\ pjesshme x) \\ drejtë) _ (m) \\ cdot \\ westarrow (i) + majtas (\\ Frac (\\ W pjesshem) (\\ y pjesshem) \\ drejta) _ (M) \\ cdot \\ Overrightarrow (j) + \\ majtas (\\ Frac (\\ pjesshem W) (\\ pjesshem Z) \\ drejta) _ (M) \\ cdot \\ westarrow (k). \\]
Derivatet private kanë formën:
\\ [\\ Pjesshëm w) (\\ pjesshëm x) \u003d 2x; \\ frac (\\ pjesshme w) (\\ pjesshëm y) \u003d 4y; \\ frac (\\ pjesshëm w) (\\ pjesshëm z) \u003d 6z ^ (2) . \\]
Derivatet në pikën $ m (1; 2) $:
\\ [\\ Frac (pjesshëm w) (\\ pjesshëm x) \u003d 2 \\ cdot 1 \u003d 2; \\ frac (\\ pjesshëm w) (\\ pjesshme y) \u003d 4 \\ cdot 2 \u003d 8; \\ frac (\\ pjesshëm w) ( \\ Pjesshëm z) \u003d 6 \\ cdot 1 ^ (2) \u003d 6. \\]
Prandaj,
\\ [\\ majtas (\\ nuvrightarrow (Gradw) \\ drejtë) _ (m) \u003d 2 \\ cdot \\ westarrow (i) +8 \\ cdot \\ \\ \\ \\ \\] +6 \\] \\]
\\ [\\ Majtas (| \\ overrightarrow (gradw) | \\ duhur) _ (m) \u003d \\ sqrt (2 ^ (2) + 8 ^ (2) + 6 ^ (2)) \u003d \\ sqrt (4 + 64 + 36 ) \u003d \\ Sqrt (104). \\]
Listoni disa pronat e gradientit:
Derivat i një funksioni të dhënë në një pikë të caktuar në drejtim të një $ \\ mbingarkesë (s) $ është vlera më e madhe nëse drejtimi i këtij vektori $ \\ mbingarkesë (s) $ përkon me drejtimin e gradientit. Në këtë rast, kjo vlerë më e madhe e derivativit përkon me gjatësinë e vektorit të gradientit, i.e. $ | \\ Westarrow (Gradw) | $
Derivat i funksionit të specifikuar në drejtim të vektorit, i cili është pingul me vektorin e gradientit, i.E. $ \\ Overrightarrow (gradw) $ është 0. Që $ \\ varphi \u003d \\ frac (\\ pi) (2) $, atëherë $ \\ cos \\ varphi \u003d 0 $; Rrjedhimisht, $ \\ frac (\\ pjesshëm w) (\\ pjesshëm s) \u003d | \\ westarrow (gradw) | \\ cdot \\ cos \\ varphi \u003d 0 $.
