Gjeni distancën nga vajza në këtë aeroplan. Ekuacioni normal i avionit. Distanca nga pika në aeroplan. Duke sjellë ekuacionin e përgjithshëm të avionit në normale

Aeroplani në hapësirë \u200b\u200bështë vendosur nga ekuacioni 3x-4y + 2z + 5 \u003d 0, të marrë distancën prej saj në pikën m (3; -2; 6).
Duke pasur parasysh:
$$ x_0 \u003d 3, \\ quad y_0 \u003d -2, \\ quad z_0 \u003d 6 $$

$$ a \u003d 3, \\ quad b \u003d -4, \\ quad c \u003d 2, \\ quad d \u003d 5 $ $
Vendimi:
Për të zgjidhur problemin, ne përdorim formulën për të gjetur distancën nga pika në aeroplan, e cila është e barabartë me kohëzgjatjen e pingulentit, ulur nga kjo pikë në aeroplan:

$$ P \u003d (| një \\ cdot x_0 + b \\ cdot y_0 + c \\ cdot z_0 + d |) \\ mbi \\ sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2 + C ^ 2))

ku A, B, C, D është koeficientët e ekuacionit të avionit, dhe X0, Y0, Z0 - koordinatat e pikës.

Prodhoni një zëvendësim:

$$ \\ Frac (| 3 \\ cdot 3 + (-4) \\ cdot (-2) +2 \\ cdot 6 + 5 |) (\\ sqrt ((3 ^ 2 + (-4) ^ 2 + 2 ^ 2) )) \u003d \\ Frac (| 9 + 8 + 12 + 5 |) (\\ sqrt ((9 + 16 + 4))) \u003d 6,314 $ $ (njësi lineare)
Përgjigje:
Dan ABCDA1B1c1d1 Cube me një avantazh është e barabartë me 1 cm. Llogarit distancën nga pika A1 në aeroplan të përcaktuar nga pikat në, D dhe C1.
Vendimi:
Për të zgjidhur problemin, ne aplikojmë një metodë koordinate. Origjina e sistemit të koordinatave është e vendosur në pikën A. Axis X është në përputhje me buzën e reklamës, aksin y - me buzë të AV, boshti Z me Edge AA1.

Pastaj koordinatat e pikës A1 (0; 0; 1), pikë në (0; 1; 0), D (1; 0; 0), C1 (1; 1; 1). Vendosja në ekuacionin e përgjithshëm për aeroplanin A · x + d \u003d 0 koordinatat e secilës prej pikave, ne marrim një sistem të tre ekuacioneve duke vendosur se cili do të gjejmë koeficientët dhe ekuacionin e X + YZ-1 \u003d 0 Plane.

$$ P \u003d \\ frac (| një \\ cdot x_0 + b \\ cdot y_0 + c \\ cdot z_0 + d |) (\\ sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2 + C ^ 2))) $$, ne prodhojmë Zëvendësimi:

$$ p \u003d \\ frac (| 1 \\ cdot 0 + 1 \\ cdot 0 - 1 \\ cdot 1 - 1 |) (\\ sqrt ((1 + 1 + 1))) \u003d 1,155 cm $$
Përgjigje:
$$ r \u003d 1,155 cm $$
Gjeni distancën në pikat m (2; 4; -7) në aeroplanin Xoy.
Vendimi:
Ekuacioni i avionit Xoy është një rast i veçantë, ekuacioni i saj Z \u003d 0. Aplikoni formulën:

$$ P \u003d \\ frac (| A \\ cdot x_0 + b \\ cdot y_0 + c \\ cdot z_0 + d |) ((a ^ 2 + b ^ 2 + C ^ 2)) $$, ku A \u003d 0, b \u003d 0, c \u003d 1, d \u003d 0, x0 \u003d 2, y0 \u003d 4, z0 \u003d -7.

Prodhoni një zëvendësim:

$$ p \u003d \\ frac (| 0 \\ cdot 2 + 0 \\ cdot 4 + 1 \\ cdot (-7)) + 0 | ) (\\ Sqrt ((0 ^ 2 + 0 ^ 2 + 1 ^ 2))) \u003d 7 $ $
Përgjigje:
Aeroplani përcaktohet nga rrufeja e tre pikave me koordinata në sistemin drejtkëndor A1 (0; 2; 1), B1 (2; 6; 1), C1 (4; 0; -1). Të përcaktojë se në cilën distancë nga ajo është një pikë me koordinatat m (5; -3; 10).
Vendimi:
Në mënyrë që të përcaktohet distanca nga pika në aeroplan ne përdorim formulën

$$ P \u003d \\ frac (| A \\ cdot x_0 + b \\ cdot y_0 + c \\ cdot z_0 + d |) (sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2 + C ^ 2))) $$

Për të përfituar nga kjo, është e nevojshme të nxirren ekuacionin e avionit, pikat specifike A1, B1 dhe C1. Pamja e përgjithshme e këtij ekuacioni A · x + b · y + c · z + d \u003d 0. Duke përdorur një nga metodat për heqjen e ekuacionit të avionit (sistemi i ekuacioneve me koordinatat e pikëve ose përcaktuesit) gjejmë ekuacionin e avionit, marrim $ $ 2X-Y + 5Z-3 \u003d 0 $$.

Ne zëvendësojmë koeficientët e marrë të ekuacionit dhe koordinatat e pikës në formulë:

$$ P \u003d \\ frac (| A \\ cdot x_0 + b \\ cdot y_0 + c \\ cdot z_0 + d |) (\\ sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2 + C ^ 2))) \u003d \\ frac (| 2 \\ cdot 5 - (-3) + 5 \\ cdot 10 - 3 |) (\\ sqrt ((2 ^ 2 + (-1) ^ 2 + 5 ^ 2))) \u003d 10,95 $ $
Përgjigje:
Gjeni distancën nga 4x-6y-4z + 7 \u003d 0 0 për të filluar sistemin e koordinatave të O.
Duke pasur parasysh:
$$ x_0 \u003d 0, \\ quad y_0 \u003d 0, \\ quad z_0 \u003d 0 $$

$$ a \u003d 4, \\ quad b \u003d -6, \\ quad c \u003d -4, \\ quad d \u003d 7 $ $
Vendimi:
Koordinatat e fillimit të sistemit të koordinatave o (0; 0; 0). Ne përdorim formulën:

$$ P \u003d \\ frac (| A \\ cdot x_0 + b \\ cdot y_0 + c \\ cdot z_0 + d |) (sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2 + C ^ 2))) $$ për $ $ 4 X-6Y-4Z + 7 \u003d 0 $$,

$$ a \u003d 4, $$
$$ B \u003d -6, $$
$$ C \u003d -4, $$
$$ d \u003d 7. $$.

Kuptimet zëvendësuese:

$$ P \u003d \\ frac (| A \\ cdot x_0 + b \\ cdot y_0 + c \\ cdot z_0 + d |) (\\ sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2 + C ^ 2))) \u003d \\ frac (| 4 \\ cdot 0 - 6 \\ cdot 0 - 4 \\ cdot 0 + 7 |) (\\ sqrt ((4 ^ 2 + (-6) ^ 2 + (-4) ^ 2)) \u003d 0.85 $$
Përgjigje:

Ky artikull tregon për përcaktimin e distancës nga pika në aeroplan. Ne do të analizojmë mënyrën e koordinatave, të cilat do të lejojnë distancën nga një pikë e caktuar e hapësirës tre-dimensionale. Për konsolidim, shqyrtoni shembuj të disa detyrave.

Distanca nga pika në aeroplan ndodhet me anë të një distance të njohur nga pika deri në pikën, ku është specifikuar njëri prej tyre dhe tjetri është një projeksion në një avion të caktuar.

Kur një pikë M 1 është vendosur në hapësirë \u200b\u200bme një aeroplan χ, atëherë aeroplani pingul mund të kryhet përmes pikës. H 1 është një pikë e përbashkët e kryqëzimit të tyre. Nga këtu marrim se segmenti M 1 H 1 është një pingul, i cili kryhet nga pika m 1 në aeroplan χ, ku pika H 1 është baza e pingul.

Përkufizimi 1.

Ata e quajnë distancën nga një pikë e caktuar në bazën e pingul, të cilat kryhen nga një pikë e caktuar në planin e specifikuar.

Përkufizimi mund të regjistrohet në formulime të ndryshme.

Përkufizimi 2.

Distanca nga pika në aeroplan Ata e quajnë gjatësinë e pingul, të cilat shpenzohen nga një pikë e caktuar në një aeroplan të caktuar.

Distanca nga pika M 1 në aeroplan χ është përcaktuar si më poshtë: distanca nga pika m 1 në aeroplan χ do të jetë më i vogli i pikës së specifikuar në çdo pikë të avionit. Nëse pika H 2 është e vendosur në aeroplan χ dhe nuk është e barabartë me pikën H 2, atëherë ne marrim një trekëndësh drejtkëndëshe të M 2 H 1 H 2 e cila është drejtkëndëshe, ku ka një catat m 2 h 1, m 2 h 2 - hipotenuse. Pra, kështu rrjedh se m 1 orë 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 ajo konsiderohet e zhdrejtë, e cila kryhet nga pika m 1 në aeroplan χ. Ne kemi atë pingul, të kryer nga një pikë e caktuar në aeroplan, është më pak e prirur, e cila kryhet nga pika në planin e specifikuar. E konsideroni këtë rast në figurën më poshtë.

Distanca nga pika në aeroplan - teori, shembuj, zgjidhje

Ka një numër të detyrave gjeometrike, zgjidhjet e të cilave duhet të përmbajnë distancën nga pika në aeroplan. Metodat për identifikimin e kësaj mund të jenë të ndryshme. Për leje, përdoren teorema e Pitagorës ose ngjashmëria e trekëndëshave. Kur, me kusht, është e nevojshme për të llogaritur distancën nga pika në aeroplan, e specifikuar në sistemin e koordinatave drejtkëndore të hapësirës tre-dimensionale, zgjidh metodën e koordinatave. Ky artikull e konsideron këtë metodë.

Me problemin e problemit, ne kemi atë pikën e hapësirës tre-dimensionale me koordinatat m 1 (x 1, y 1, z 1) është dhënë në aeroplan χ, është e nevojshme për të përcaktuar distancën nga m 1 në aeroplan χ. Për të zgjidhur disa mënyra për të zgjidhur.

Metodë e parë

Kjo metodë bazohet në distancën nga pika në aeroplan duke përdorur koordinatat e pikës H 1, të cilat janë baza e pingulit nga pika m 1 në aeroplan χ. Tjetra, është e nevojshme për të llogaritur distancën midis M 1 dhe H 1.

Për të zgjidhur problemin, ekuacioni normal i avionit të specifikuar përdoret në metodën e dytë.

E dyta

Me kusht, ne kemi se H 1 është baza e pingul, e cila u ul nga pika m 1 në aeroplan χ. Pastaj ne përcaktojmë koordinatat (x 2, y 2, z 2) pikë h 1. Distanca e dëshiruar nga m 1 në aeroplan χ është e vendosur sipas formulës M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, ku m 1 (x 1, y 1, z 1) dhe h 1 (x 2, y 2, z 2). Për të zgjidhur, është e nevojshme të njihni koordinatat e pikës H 1.

Ne kemi se H 1 është pika e kryqëzimit të avionit χ me një direct a, i cili kalon përmes pikës m 1 të vendosur pingul në aeroplan χ. Rrjedhimisht, është e nevojshme të përpilohet ekuacioni i kalimit të drejtpërdrejtë përmes pikës së specifikuar pingul në planin e specifikuar. Është atëherë që ne mund të përcaktojmë koordinatat e pikës H 1. Është e nevojshme për të llogaritur koordinatat e kryqëzimit të drejtpërdrejtë dhe të avionit.

Algoritmi për gjetjen e distancës nga pika me koordinatat m 1 (x 1, y 1, z 1) në aeroplan χ:

Përkufizimi 3.

bëjnë ekuacionin e drejtpërdrejtë të një kalimi përmes pikës m 1 dhe në të njëjtën kohë
pingul në aeroplan χ;
gjeni dhe llogarisni koordinatat (x 2, y 2, z 2) pikë h 1, të cilat janë pika
kryqëzimi direkt një me një aeroplan χ;
llogaritni distancën nga m 1 në χ duke përdorur formulën M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

Rrugë e tretë

Në një sistem të caktuar të koordinatave drejtkëndore, koordinatat e X në Z ka një aeroplan χ, atëherë ne marrim ekuacionin normal të aeroplanit të formës Cos α · x + cos β · y + cos · β · p \u003d 0. Nga këtu ne marrim atë distancë m 1 h 1 me një pikë m 1 (x 1, y 1, z 1), kryer në aeroplan χ llogaritur nga formula m 1 h 1 \u003d cos α · x + cos β · y + cos · · z - f. Kjo formulë është e vlefshme, pasi kjo është e vendosur në sajë të teoremës.

Teoremë

Nëse pika m 1 (x 1, y 1, z 1) është specifikuar në një hapësirë \u200b\u200btre-dimensionale që ka një ekuacion normal të avionit të formës cos α · x + cos β · y + cos · · z - p \u003d 0 , pastaj duke llogaritur distancën nga pika në aeroplanin m 1 h 1 është bërë nga formula m 1 h 1 \u003d cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, që nga x \u003d x 1, y \u003d y 1, z \u003d z 1.

Dëshmi

Prova e teoremës reduktohet për të gjetur distancën nga pika për të drejtuar. Prej këtu ne marrim se distanca nga m 1 në aeroplan χ është moduli i ndryshimit në projeksionin numerik të radios vektor M 1 me distancë nga origjina në aeroplan χ. Pastaj ne marrim shprehjen m 1 h 1 \u003d n p n → o m → - f. Vektori normal i avionit χ ka formën n → \u003d cos α, cos β, cos γ, dhe gjatësia e saj është e barabartë me një, npn → om → - projeksioni numerik i vektorit om → \u003d (x 1, y 1 , Z 1) në drejtimin e përcaktuar nga vektori n →.

Aplikoni formulën për llogaritjen e vektorëve skalarë. Pastaj ne marrim një shprehje për të gjetur vektorin e formës n →, om → \u003d n → · npn → om → \u003d 1 · npn → om → \u003d npn → om →, që nga n → \u003d cos α, cos β, cos γ · Z dhe OM → \u003d (x 1, y 1, z 1). Forma e koordinatave të regjistrimit do të marrë formën n →, om → \u003d cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos · · z 1, pastaj m 1 h 1 \u003d npn → om → - p \u003d cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos · · z 1 - f. Teorema provohet.

Nga këtu ne marrim atë distancë nga pika m 1 (x 1, y 1, z 1) në aeroplan χ është llogaritur duke përdorur zëvendësimin në pjesën e majtë të ekuacionit normal të Cos α · x + cos β · y + cos · · z - p \u003d 0 në vend të x, y, z koordinatave x 1, y 1 dhe Z 1. që i përkasin pikës m 1, duke marrë vlerën absolute të vlerës së fituar.

Konsideroni shembuj të gjetjes së distancës nga pika me koordinatat në aeroplanin e specifikuar.

Shembulli 1.

Llogaritni distancën nga pika me koordinatat m 1 (5, - 3, 10) në aeroplan 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0.

Vendim

Ne do ta zgjidhim problemin në dy mënyra.

Metoda e parë do të fillojë me llogaritjen e vektorit udhëzues të drejtpërdrejtë a. Me kusht, ne kemi se ekuacioni i dhënë 2 X - Y + 5 Z - 3 \u003d 0 është ekuacioni i planit të formës së përgjithshme, dhe n → \u003d (2, - 1, 5) është një vektor normal i specifikuar aeroplan. Përdoret si vektori udhëzues direkt A, i cili është pingul me aeroplanin e specifikuar. Ekuacioni kanonik duhet të regjistrohet në hapësirë, duke kaluar nëpër M 1 (5, - 3, 10) me një vektor udhëzues me koordinatat 2, - 1, 5.

Ekuacioni do të marrë formularin x - 5 2 \u003d y - (- 3) - 1 \u003d z - 10 5 ⇔ x - 5 2 \u003d y + 3 - 1 \u003d z - 10 5.

Ju duhet të përcaktoni pikat e kryqëzimit. Për ta bërë këtë, kombinoni butësisht ekuacionet në sistemin e tranzicionit nga ekuacionet kanonike me ekuacionet e dy linjave të drejta të ndërlidhura. Kjo pikë do të marrë atë nga 1. Ne e marrim këtë

x - 5 2 \u003d y + 3 - 1 \u003d z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) \u003d 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) \u003d 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) \u003d - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0 5 y + z + 5 \u003d 0 ⇔ x + 2 y + 1 \u003d 0 5 X - 2 Z - 5 \u003d 0

Pas së cilës është e nevojshme për të zgjidhur sistemin

x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0 ⇔ x + 2 y \u003d 1 5 x - 2 z \u003d 5 2 x - y + 5 z \u003d 3.

Le të kthehemi në sundimin e sistemit në Gauss:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ ⇒ z \u003d 0 6 \u003d 0, y \u003d - 1 10 · 10 + 2 · z \u003d - 1, x \u003d - 1 - 2 · y \u003d 1

Ne marrim se H 1 (1, - 1, 0).

Ne prodhojmë llogaritjet në distancë nga pika e specifikuar në aeroplan. Ne marrim pikën m 1 (5, - 3, 10) dhe h 1 (1, - 1, 0) dhe të merrni

M 1 h 1 \u003d (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0-10) 2 \u003d 2 30

Zgjidhja e dytë e zgjidhjes është që të fillojë të sjellë ekuacionin e specifikuar 2 X - Y + 5 Z - 3 \u003d 0 në formë normale. Ne përcaktojmë shumëzuesin normalizues dhe marrim 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 \u003d 1 30. Prandaj ekuacioni i aeroplanit 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 \u003d 0. Llogaritja e pjesës së majtë të ekuacionit është bërë nga zëvendësimi i x \u003d 5, y \u003d - 3, z \u003d 10, dhe ju duhet të merrni distancën nga m 1 (5, - 3, 10) deri në 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0 nga moduli. Ne marrim shprehje:

M 1 h 1 \u003d 2 30 · 5 - 1 30 · - 3 + 5 30 · 10 - 3 30 \u003d 60 30 \u003d 2 30

Përgjigje: 2 30.

Kur aeroplani χ është vendosur në një nga metodat e seksionit të metodave të vendosjes së avionit, atëherë është e nevojshme të filloni të merrni ekuacionin e aeroplanit χ dhe të llogarisni distancën e dëshiruar duke përdorur ndonjë metodë.

Shembulli 2.

Në hapësirën tre-dimensionale, pikat janë vendosur me koordinatat m 1 (5, - 3, 10), a (0, 2, 1), b (2, 6, 1), c (4, 0, - 1). Llogaritni distancën nga M 1 në aeroplan A në C.

Vendim

Për të filluar, është e nevojshme të regjistrohen ekuacionin e avionit që kalon nëpër tre pikat me koordinatat M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - një).

x - 0 Y - 2 Z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 \u003d 0 ⇔ XY - 2 Z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 \u003d 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 \u003d 0 ⇔ 2 x - + 5 z - 3 \u003d 0

Nga këtu rrjedh se detyra ka një zgjidhje të ngjashme me atë të mëparshme. Kjo do të thotë se distanca nga pika m 1 në aeroplan A në C ka një vlerë prej 2 30.

Përgjigje: 2 30.

Gjetja e distancës nga një pikë e caktuar në aeroplan ose në aeroplan me të cilin ata janë paralel, më të përshtatshëm, duke aplikuar formulën m 1 h 1 \u003d cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos · · z 1 - p . Nga këtu marrim se ekuacionet normale të avionëve merren në disa veprime.

Shembulli 3.

Gjeni distancën nga pika e specifikuar me koordinatat m 1 (- 3, 2, - 7) në planin e koordinuar të X në Z dhe aeroplani i dhënë nga ekuacioni 2 y - 5 \u003d 0.

Vendim

Plani i koordinatave O në Z korrespondon me ekuacionin e specieve x \u003d 0. Për aeroplanin o z, është normale. Prandaj, është e nevojshme për të zëvendësuar në të majtë të vlerës së shprehjes x \u003d - 3 dhe të marrë modulin e vlerës së distancës nga pika me koordinatat m 1 (- 3, 2, - 7) në aeroplan. Ne marrim një vlerë të barabartë me 3 \u003d 3.

Pas konvertimit, ekuacioni normal i avionit 2 y - 5 \u003d 0 do të shihet y - 5 2 \u003d 0. Pastaj ju mund të gjeni distancën e dëshiruar nga pika me koordinatat m 1 (- 3, 2, - 7) në aeroplan 2 y - 5 \u003d 0. Zëvendësimi dhe llogaritja, marrim 2 - 5 2 \u003d 5 2 - 2.

Përgjigje: Distanca e dëshiruar nga M 1 (- 3, 2, - 7) në O në Z ka një vlerë prej 3, dhe në 2 y - 5 \u003d 0 është 5 2-2.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi zgjidhni atë dhe shtypni Ctrl + Enter

, Konkurrenca "Prezantimi në mësim"

Klasa: 11

Prezantimi në mësim

Mbrapa përpara

Vëmendje! Pamja e slides përdoret ekskluzivisht për qëllime informative dhe nuk mund të ofrojnë ide për të gjitha aftësitë e prezantimit. Nëse jeni të interesuar për këtë punë, ju lutemi shkarkoni versionin e plotë.

Objektivat:

generalizimi dhe sistematizimi i njohurive dhe aftësive të studentëve;
zhvillimi i aftësive për të analizuar, krahasuar, nxjerrë konkluzione.

Pajisje:

projektor multimedial;
një kompjuter;
sheets me tekstet e detyrave

Pushtimi i strukturës

I. Momenti organizativ

II. Faza e aktualizimit të njohurive (Rrëshqitje 2)

Ne përsërisim se si përcaktohet distanca nga pika në aeroplan.

III. Leksion (6-15 nota)

Në klasë ne konsiderojmë mënyra të ndryshme për të gjetur distancën nga pika në aeroplan.

Metoda e parë: faza-kompjuterike

Distanca nga pika m në aeroplan α:
- e barabartë me distancën në aeroplan α nga një pikë arbitrare P shtrirë në një të drejtpërdrejtë një, e cila kalon përmes pikës m dhe paralel me aeroplanin α;
- e barabartë me distancën në aeroplan α nga një pikë arbitrare P shtrirë në aeroplan β, e cila kalon nëpër pikën m dhe paralel me aeroplanin α.

Le të jenë detyrat e mëposhtme:

№1. Në Kubë një ... D 1 Gjeni distancën nga pika nga 1 në aeroplan AB 1 C.

Mbetet për të llogaritur gjatësinë e gjatësisë së segmentit të 1 N.

№2. Në prizmin e saktë gjashtëkëndor një ... f 1, të gjitha skajet e të cilave janë 1, të marrë distancën nga pika A në aeroplanin e dea 1.

Metoda tjetër: vëllimi i metodës.

Nëse vëllimi i Piramidës AVSM është e barabartë me v, atëherë distanca nga pika m në aeroplan α që përmban δAVs llogaritet nga formula ρ (m; α) \u003d ρ (m; AVC) \u003d
Kur zgjidhin problemet, ne përdorim barazinë e vëllimeve të një figure, të shprehur në dy mënyra të ndryshme.

Specifikoni detyrën e mëposhtme:

№3. Ad piramidale dabc është pingul në planin e bazës së ABC. Gjeni distancën nga një në aeroplan që kalon nëpër mes të brinjëve AU, AC dhe AD, nëse.

Kur zgjidh detyrat metoda e koordinimit Distanca nga pika m në aeroplan α mund të llogaritet nga formula ρ (m; α) \u003d ku m (x 0; y 0; z 0), dhe aeroplani është vendosur nga ekuacioni AX + nga + CZ + D \u003d 0

Specifikoni detyrën e mëposhtme:

№4. Në një kub të vetëm një ... D 1, të marrë distancën nga pika A 1 në planin e VDC 1.

Ne prezantojmë sistemin e koordinatave me fillimin në pikën A, aksi y do të kalojë përgjatë shiritit AU, boshti X përgjatë buzës së reklamës, aksi Z - përgjatë buzës AA 1. Pastaj koordinatat e pikave në (0; 1; 0) d (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Ne do të bëjmë ekuacionin e avionit që kalon nëpër pikat B, D, C 1.

Pastaj - DX - DY + DZ + D \u003d 0 X + Y - Z - 1 \u003d 0. Prandaj, ρ \u003d

Metodën e mëposhtme që mund të përdoret gjatë zgjidhjes së detyrave të këtij lloji - metoda e detyrave referuese.

Përdorimi i kësaj metode është aplikimi i detyrave të njohura të mbështetjes që janë formuluar si teorema.

Specifikoni detyrën e mëposhtme:

№5. Në një Kubë të vetme një ... D 1, të marrë distancën nga pika D 1 në aeroplan AB 1 S.

Konsideroni aplikacionin metodë vektoriale.

№6. Në një kub të vetëm ... D 1, të marrë distancën nga pika A 1 në planin e VC 1.

Pra, ne pamë në mënyra të ndryshme që mund të përdoren kur zgjidhin këtë lloj të detyrave. Përzgjedhja e kësaj ose kësaj metode varet nga detyra specifike dhe preferencat tuaja.

Iv. Puna në grupe

Mundohuni të zgjidhni problemin në mënyra të ndryshme.

№1. Kuba A ... D 1 është e barabartë. Gjeni distancën nga maja në aeroplanin e BDC.

№2. Në tetrahedrën e duhur të AVD me një avantazh, të marrë distancën nga pika A në aeroplan BDC

№3. Në prizmin e saktë trekëndor të Absa 1 në 1 S 1 të të gjitha skajet e të cilave janë 1, gjeni distancën nga një në planin e BCA 1.

№4. Në piramidën e saktë të ku katërfishtë, të gjitha skajet e të cilave janë të barabarta me 1, të gjejnë distancën nga A në aeroplan SCD.

V. Mësimi i rezultateve, detyrat e shtëpisë, reflektimet

Konsideroni në hapësirë \u200b\u200bnjë aeroplan π dhe një pikë arbitrare m 0. Zgjidhni për një aeroplan njësia Vector Normal N S. fillim Në një moment m 1 ∈ π, dhe le p (m 0, π) të jetë një distancë nga pika m 0 deri në aeroplan π. Pastaj (Figura 5.5)

p (M 0, π) \u003d | PR N M 1 M 0 | \u003d | nm 1 m 0 |, (5.8)

që nga N | \u003d 1.

Nëse është vendosur aeroplan π sistemi i koordinatave drejtkëndore me ekuacionin e saj të përbashkët AX + nga + CZ + D \u003d 0, atëherë vektori i tij normal është vektori me koordinatat (a; b; c) dhe si një vektor i vetëm normal që mund të zgjidhni

Le (x 0; y 0; z 0) dhe (x 1; y 1; z 1) koordinatat e pikave m 0 dhe m 1. Pastaj e barazisë AX 1 + nga 1 + CZ 1 + d \u003d 0 është bërë, pasi pika m 1 i takon aeroplanit, dhe koordinatat e vektorit m 1 m 0: m 1 m 0 \u003d (x 0 -x 1 ; y 0 -y 1; z 0 -z 1). Shkrim produkt Scalar nm 1 m 0 në formë koordinate dhe konvertimin (5.8), ne marrim

që nga AX 1 + nga 1 + CZ 1 \u003d - D. Pra, për të llogaritur distancën nga pika në aeroplan ju duhet të zëvendësoni koordinatat e pikës në ekuacionin e përgjithshëm të avionit, dhe pastaj vlera absolute e rezultatit është të ndara në një shumëzues normalizues, të barabartë me gjatësinë e vektorit normal përkatës.

Le të ketë një aeroplan . Ne kryejmë normale
përmes origjinës së koordinatave të O. Le
- qoshet e formuara nga normale me akset e koordinimit.
. Le te jete - Pritini gjatësinë normale
para kryqëzimit me një aeroplan. Duke konstatuar zyrën e famshme të kosinës normale , tërhiqni ekuacionin e avionit .

Le te jete
) - Plani Arbitrar Point. Vektori i një normale të vetme ka koordinatë. Ne gjejmë projektimin e vektorit
në normale.

Që nga pika M. i takon aeroplanit

Ky është ekuacioni i një avioni të caktuar të quajtur normal .

Distanca nga pika në aeroplan

Le të jepet avioni ,M.*
- pika e hapësirës, d. - distanca e saj nga aeroplani.

Përkufizimi. Devijim pikë M * Nga aeroplani quhet numri ( + d.), nese nje M.* qëndron në anën tjetër nga aeroplani ku tregohet drejtimi pozitiv , dhe numri (- d.) Nëse pika është e vendosur në anën tjetër të avionit:

Teoremë. Lëreni aeroplanin me një normale të vetme vendosur nga ekuacioni normal:

Le te jete M.*
- Devijimi i hapësirës së pikës t. M.* Nga avioni është vendosur si një shprehje

Dëshmi. Projektimi t.
* Caktoni normal Q.. Devijim M * Nga aeroplani është i barabartë

Rregull. Per te gjetur devijim t. M.* Nga aeroplani, është e nevojshme të zëvendësohen koordinatat e avionit në ekuacionin normal. M.* . Distanca nga pika në aeroplan është .

Duke sjellë ekuacionin e përgjithshëm të avionit në normale

Lëreni të njëjtin aeroplan të jepet nga dy ekuacione:

Ekuacion i përgjithshëm

Ekuacioni normal.

Meqenëse të dyja ekuacionet specifikojnë një aeroplan, koeficientët e tyre janë proporcionalë me:

Tre barazimet e para janë ngritur në një shesh dhe dele:

Nga këtu do të gjejmë - Normalizimi i shumëzuesit:

. (10)

Shumëzimi i ekuacionit të përgjithshëm të avionit në shumëzuesin normalizues, marrim ekuacionin normal të avionit:

Shembuj të detyrave në temën "aeroplan".

Shembulli 1. Bëj një ekuacion avioni duke kaluar nëpër pikën e specifikuar
(2,1, -1) dhe aeroplan paralel.

Vendim. Normale për të aeroplan :
. Meqenëse aeroplani është paralel, atëherë normal është dhe normale në aeroplanin e dëshiruar . Duke përdorur ekuacionin e avionit duke kaluar nëpër pikën e specifikuar (3), marrim për aeroplan ekuacioni:

Përgjigje:

Shembulli 2. Baza e pingulit, ulur nga fillimi i koordinatave në aeroplan , është pikë
. Gjeni ekuacionin e avionit .

Vendim. Vektor
është normale në aeroplan . Pikë M. 0 i takon aeroplanit. Ju mund të përdorni ekuacionin e avionit duke kaluar nëpër pikën e specifikuar (3):

Përgjigje:

Shembulli 3. Ndërtoj një aeroplan kalim

dhe aeroplan perpendikulare :.

Prandaj, kështu që një pikë M. (x., y., z.) i përkisnin aeroplanit , është e nevojshme që tre vektor
kishte ndarje:

=0.

Mbetet për të zbuluar përcaktuesin dhe për të udhëhequr shprehjen e marrë në llojin e ekuacionit të përgjithshëm (1).

Shembulli 4. Aeroplan vendosur nga ekuacioni i përgjithshëm:

Gjeni një devijim pikë
nga një aeroplan i caktuar.

Vendim. Ne paraqesim ekuacionin e avionit në formë normale.

Zëvendësim në ekuacionin normal të marrë të pikës së koordinatës M *.

Përgjigje:
.

Shembull 5. Nëse avioni i segmentit kalon.

Vendim. Te presesh Au Kryqëzuar aeroplan, devijime dhe nga aeroplani duhet të ketë shenja të ndryshme:

Shembulli 6. Kryqëzimin e tre aeroplanëve në një moment.

Sistemi ka një zgjidhje të vetme, prandaj, tre aeroplanë kanë një pikë të përbashkët.

Shembulli 7. Gjetja e përgjysmuesit të një këndi dihedral të formuar nga dy avionë të paracaktuar.

Le te jete dhe - devijimi i një pike
nga aeroplanët e parë dhe të dytë.

Në një nga përgjysmuesit e avionëve (që korrespondon me qoshen në të cilën origjina është fillimi i koordinatës), këto devijime janë të barabarta me modulin dhe shenjën, dhe në anën tjetër janë të barabarta me modulin dhe janë të kundërta me modulin shenjë.

Ky është ekuacioni i avionit të parë të Bisectural.

Ky është ekuacioni i aeroplanit të dytë të Bisectural.

Shembulli 8. Përcaktimin e vendndodhjes së dy pikave të të dhënave dhe në krahasim me këndet e Dugranit të formuara nga këto aeroplanë.