Teoria e kufijve është një nga seksionet e analizës matematikore. Çështja e zgjidhjes së kufijve është mjaft e gjerë, pasi ka dhjetra vendime të zgjidhjeve të llojeve të ndryshme. Ka dhjetra nuanca dhe truket që ju lejojnë të zgjidhni një ose një kufi tjetër. Megjithatë, ne ende përpiqemi të kuptojmë llojet kryesore të kufijve që janë më të zakonshmet në praktikë.
Le të fillojmë me konceptin shumë të kufirit. Por së pari një referencë të shkurtër historike. Ai jetoi në shekullin e 19-të, Frengjisht Augusten Louis Cauch, i cili hodhi themelet e analizës matematikore dhe dha përkufizime të rrepta, përcaktimin e kufirit, në veçanti. Unë duhet të them, kjo ka ëndërruar, ëndërron dhe do të bjerë në ëndrrat e ankthit për të gjithë studentët e fakulteteve fizike dhe matematikore, pasi ka provuar një numër të madh të teoremave të analizës matematikore dhe një teoremë është e neveritshme tjetër. Në këtë drejtim, ne nuk do të konsiderojmë vendosmëri të rreptë të limitit dhe të përpiqemi të bëjmë dy gjëra:
1. Kuptoni se çfarë është kufiri.
2. Mësoni të zgjidhni llojet kryesore të kufijve.
Unë kërkoj falje për disa shpjegime të papërshtatshme, është e rëndësishme që materiali të jetë i kuptueshëm edhe në çajnik, i cili në fakt është detyra e projektit.
Pra, çfarë është kufiri?
Dhe menjëherë një shembull, të cilin gjyshja shkundur ....
Çdo kufi përbëhet nga tre pjesë:
1) të gjithë simbolin e njohur të limitit.
2) të dhënat nën ikonën kufi, në këtë rast. Regjistrimi i lexuar "X po përpiqet për një." Më shpesh - pikërisht, edhe pse në vend të "Iksa" në praktikë ka variabla të tjerë. Në detyra praktike në vendin e njësisë mund të ketë një numër krejtësisht, si dhe pafundësi ().
3) funksionon nën shenjën e limitit, në këtë rast.
Shënoj veten 
Është lexuar si kjo: "kufiri i funksionit në X po kërkon një".
Ne do të analizojmë pyetjen tjetër të rëndësishme - çfarë bën shprehja "x përpiqem për njësi "? Dhe çfarë lloj "kërkon"?
Koncepti i kufirit është koncepti, nëse mund të thuash kështu dinamik. Ne ndërtojmë sekuencën: Së pari, pastaj, ..., 
, ….
Kjo është shprehja "x përpiqem për unitetin "duhet të kuptohet si" X "vazhdimisht merr vlera, të cilat janë pafundësisht afër një dhe praktikisht përkojnë me të.
Si të zgjidhni shembullin e mësipërm? Bazuar në sa më sipër, është e nevojshme që thjesht të zëvendësojë një njësi në një funksion që qëndron nën shenjën e limitit:
Pra, rregulli i parë: Kur të jepet ndonjë kufi, thjesht përpiquni të zëvendësoni numrin në funksion.
Ne shikuar në kufirin më të thjeshtë, por këto janë gjetur në praktikë, dhe jo aq rrallë!
Shembull me pafundësi:
Ne e kuptojmë se çfarë? Ky është rasti kur është për një kohë të pacaktuar, që është, së pari, atëherë, atëherë, atëherë, dhe kështu me radhë në pafundësi.
Dhe çfarë ndodh në këtë kohë me funksionin?
, , 
, …
Pra: nëse, funksioni kërkon minus pafundësi:
Duke folur përafërsisht, sipas sundimit tonë të parë, ne në vend të "Iksa" ne zëvendësojmë pafundësinë dhe marrim përgjigjen.
Një shembull tjetër me pafundësi:
Përsëri, ne fillojmë të rritemi për një kohë të pacaktuar dhe të shohim sjelljen e funksionit: 
Përfundim: Kur funksioni rritet për një kohë të pacaktuar:
Dhe një seri shembujsh:
Ju lutemi të përpiqeni të analizoni në mënyrë të pavarur sa më poshtë dhe të mbani mend llojet më të thjeshta të kufijve:
, , , , 
, , , , 
,
Nëse diku ka dyshime, ju mund të merrni një kalkulator në duart dhe të merrni pak.
Në rast se përpiquni të ndërtoni një sekuencë ,, Nese atehere,.
Shënim: Në mënyrë rigoroze, kjo qasje me ndërtimin e sekuencave nga disa numra është e pasaktë, por është mjaft e përshtatshme për të kuptuar shembujt më të thjeshtë.
Gjithashtu i kushtoj vëmendje gjërave të ardhshme. Edhe nëse një kufi jepet me një numër të madh në krye, po, madje edhe me një milion: është e njëjtë 
Që më herët a vonë "X" do të marrë kuptime të tilla gjigante që një milion në krahasim me ta do të jetë mikrobi më i vërtetë.
Çfarë duhet të mbahet mend dhe të kuptohet nga sa më sipër?
1) Kur të jepet ndonjë kufi, thjesht përpiquni të zëvendësoni numrin në funksion.
2) Ju duhet të kuptoni dhe menjëherë të zgjidhni kufijtë më të thjeshtë, të tilla si 
, etj.
Tani ne do të shohim grupin e kufijve kur, dhe funksioni është një fraksion, në numërator dhe emërues i të cilave janë polinomi
Shembull:
Llogarisni kufirin 
Sipas sundimit tonë, përpiquni të zëvendësoni pafundësinë në funksion. Çfarë marrim në krye? Pafundësi. Dhe çfarë ndodh në fund? Gjithashtu pafundësi. Kështu, ne kemi të ashtuquajturën pasiguri të specieve. Do të ishte e mundur të mendoni se, dhe përgjigja është e gatshme, por në përgjithësi nuk është aspak, dhe ju duhet të aplikoni disa vendime që ne tani e konsiderojmë.
Si të zgjidhni kufijtë e këtij lloji?
Së pari ne shikojmë në numëruesin dhe gjejmë në shkallë të lartë: 
Shkalla më e vjetër në numëron është dy.
Tani ne shikojmë në emëruesin dhe gjithashtu gjeni në shkallë të lartë: 
Shkalla e vjetër e emëruesit është e barabartë me dy.
Pastaj ne zgjedhim shkallën më të madhe të numeratorit dhe emëruesit: në këtë shembull ata përputhen dhe të barabartë me dy herë.
Pra, metoda e zgjidhjes është si më poshtë: Me qëllim të shpalosjes së pasigurisë, është e nevojshme të ndahen numeratori dhe emëruesi në shkallën e lartë.
Këtu është si, përgjigja, dhe jo në të gjitha pafundësi.
Çfarë është thelbësisht e rëndësishme në vendosjen e një zgjidhjeje?
Së pari, ne tregojmë pasiguri nëse është.
Së dyti, është e dëshirueshme të ndërpresë zgjidhjen për shpjegime të ndërmjetme. Unë zakonisht përdor një shenjë, nuk ka ndonjë kuptim matematikor, por nënkupton se zgjidhja është ndërprerë për një shpjegim të ndërmjetëm.
Së treti, në kufi, është e këshillueshme që të martohesh me çfarë dhe ku të kërkoni. Kur puna është bërë nga dora, është më e përshtatshme për ta bërë këtë: 
Për shenjat, është më mirë të përdorësh një laps të thjeshtë.
Natyrisht, nuk mund të bëni asgjë, por atëherë, ndoshta, mësuesi do të vërejë mangësitë në vendimin ose fillon të bëjë pyetje shtesë mbi detyrën. A keni nevojë për të?
Shembulli 2.
Gjeni një kufi 
Përsëri në numërator dhe emërues ne gjejmë në shkallën e lartë: 
Shkalla maksimale në numerike: 3
Diplomë maksimale në emërues: 4
Zgjedh më Vlera në këtë rast është katër.
Sipas algoritmit tonë, për të zbuluar pasigurinë ndajnë numeratorin dhe emëruesin në.
Detyra e plotë e dizajnit mund të duket kështu:
Ne ndajmë numeratorin dhe emëruesin
Shembulli 3.
Gjeni një kufi 
Shkalla maksimale e "Iksa" në numëruesin: 2
Shkalla maksimale "Iksa" në emërues: 1 (mund të shkruhet si)
Për të zbuluar pasigurinë, është e nevojshme të ndahen numeratori dhe emëruesi. Zgjidhja e mbarimit mund të duket kështu:
Ne ndajmë numeratorin dhe emëruesin
Nën rekord, nënkuptohet të mos ndahet në zero (për të ndarë në zero është e pamundur), dhe ndarja në një numër pafundësisht të vogël.
Kështu, kur zbuloni pasigurinë, ne mund të marrim final, zero ose pafundësi.
Kufizime me pasiguri të llojit dhe metodës së zgjidhjes së tyre
Grupi tjetër i kufijve është diçka e ngjashme me të vetmet kufij të konsideruar: në numërator dhe emërues janë polinomi, por "X" nuk kërkon të pafund, por numri i fundosur.
Shembull 4.
Zgjidh limitin 
Së pari, përpiquni të zëvendësoni -1 në fraksion: 
Në këtë rast, të ashtuquajturat pasiguri është marrë.
Rregull i përgjithshëm: Nëse ka polinomi në numërator dhe emërues, dhe ka pasiguri për pikëpamjen, pastaj për zbulimin e saj ju duhet të dekompozoni numeratorin dhe emëruesin për shumëzuesit..
Për këtë, është më shpesh e nevojshme për të zgjidhur ekuacionin katror dhe (ose) për të përdorur formulat e shumëzimit të shkurtuar. Nëse këto gjëra kanë harruar, atëherë vizitoni faqen Formulat matematikore dhe tabelat dhe njohu veten me materialin metodologjik Formulat e kursit të kursit të Matematikës. Nga rruga, është mirë për të shtypur atë, është e nevojshme shumë shpesh, dhe informacioni nga letra absorbohet më mirë.
Pra, ne zgjidhim kufirin tonë 
Përhapni numeratorin dhe emëruesin për shumëzuesit
Për të zgjeruar numëruesin në shumëzues, ju duhet të zgjidhni ekuacionin katror: 
Së pari gjeni diskriminues:
Dhe rrënja katrore e saj :.
Nëse diskriminues është i madh, për shembull, 361, ne përdorim një kalkulator, funksioni i nxjerrjes së rrënjëve katrore është në kalkulatorin më të thjeshtë.
! Nëse rrënja nuk është marrë me synimin (një pikëpresje e pjesshme është marrë), ka shumë të ngjarë që diskriminuesi të llogaritet gabimisht ose në detyrën e typo.
Tjetra, ne gjejmë rrënjët: 
Në këtë mënyrë:
Gjithçka. Numër i faktorëve është dekompozuar.
Emërues. Emëruesi është tashmë shumëfishues më i thjeshtë, dhe është e pamundur ta thjeshtësohet.
Natyrisht, ju mund të shkurtoni:
Tani ne zëvendësojmë -1 në shprehjen që mbetet nën shenjën e limitit:
Natyrisht, në punën e kontrollit, në renditje, provimi është kaq i detajuar, vendimi nuk bojë kurrë. Në versionin përfundimtar, dizajni duhet të duket diçka e tillë:
Përhapni numeratorin në shumëzues. 
Shembull 5.
Llogarisni kufirin 
Zgjidhja e parë "e mbarimit"
Përhapni numeratorin dhe emëruesin për shumëzuesit.
Numeratori:
Emëruesi: 
, 
Çfarë është e rëndësishme në këtë shembull?
Së pari, duhet të kuptoni se si është zbuluar numeratori, së pari kemi kryer për një kllapa 2, dhe pastaj kemi përdorur formulën e ndryshimit katror. Kjo formulë duhet të dijë dhe të shohë.
Vendim
Vendim
Vendim
Vendim
Vendim
Vendim
Vendim
Vendim
Vendim
Vendim
Vendim
2. Llogaritni kufirin e sekuencës numerike:
3. Llogaritni kufirin e sekuencës numerike:
4. Llogaritni kufirin e sekuencës numerike:
5. Llogaritni kufirin e sekuencës numerike:
6. Llogaritni kufirin e sekuencës numerike:
7. Llogaritni kufirin e sekuencës numerike:
8. Llogaritni kufirin e sekuencës numerike:
9. Llogaritni kufirin e sekuencës numerike:
10. Llogaritni kufirin e sekuencës numerike:
11. Llogaritni kufirin e sekuencës numerike:
1) Nga numëruesi dhe emëruesi, ne shpërndajmë shumëzuesin, gjë që e bën kontributin më të madh dhe e zvogëlon atë në të
2) në këtë lloj shembujsh duhet të hiqen në emëruesin nga nën rrënjët e shumëzuesit në masën më të madhe
3) Ne duhet ta vendosim atë në faktorin më të madh të përbashkët
4) Në këtë shembull, ajo rritet ndjeshëm më shpejt, kështu që është theksuar si faktori më i madh
5) vlerat dhe përpiqen për zero në. Bazuar në këtë, llogarit kufirin
Vendimet e shumicës së shembujve të tillë është gjetja e shumëzuesit dominues. Nëse është në numërator, kufiri drejtohet në pafundësi, në emërues - në zero. Dhe vetëm kur dhe atje dhe atje ju mund të prerë në këtë fraksion shumëfishues dhe të merrni një kufi në formën e një konstante.
Detyrë:
1. çmontoni vendimet e shembujve të konsideruar
2. Llogaritni kufijtë e mëposhtëm:
Seksioni 2. Fillimi i analizës matematikore
(Punë e pavarur 48 orë.)
2.1. Derivat i funksionit të nënkuptuar (4 orë).
Shembull 1. Gjeni një derivat të një funksioni të nënkuptuar
Vendimi.Që nga y është një funksion nga h.Pastaj do të shqyrtojmë y 2. si një funksion kompleks nga h.. Prandaj, . Diferencimi nga po H. Të dy pjesët e këtij ekuacioni, ne marrim, i.e.
Shembull 2. Gjeni një derivat të implikuar të funksionit
Vendimi. Duke diferencuar në H.
Shembull 3. Gjeni një derivat të një funksioni të nënkuptuar
Vendimi. Duke diferencuar në H. Të dy pjesët e këtij ekuacioni, merrni
1. Gjeni një derivativ F '(x).
2. Gjeni pikat e palëvizshme të këtij funksioni, i.E. Pikët në të cilat
3. Gjeni derivatuesin e dytë f '' (x).
4. Eksploroni shenjën e derivativit të dytë në secilën prej pikave të palëvizshme. Nëse në të njëjtën kohë, derivativi i dytë do të jetë negativ, atëherë funksioni në një pikë të tillë ka një maksimum, dhe nëse është pozitiv, atëherë një minimum. Nëse derivat i dytë është zero, atëherë funksioni ekstrem duhet të kërkohet duke përdorur derivativin e parë.
5. Llogaritni vlerat e funksionit në pikat e ekstremit.
Shembull. Eksploroni ekstremin duke përdorur funksionin e dytë derivativ: f (x) \u003d x 2 - 2x - 3.
Zgjidhja: Gjeni një derivativ: F '(x) \u003d 2x - 2.
Zgjidhja e ekuacionit F '(x) \u003d 0, ne marrim një pikë stacionare x \u003d 1. Tani do të gjejmë derivativin e dytë: F '' (x) \u003d 2.
Që nga derivatja e dytë b) \u003d x 2 - 2x - 3. Pika stacionare është pozitive, f '' (1) \u003d 2\u003e 0, pastaj në x \u003d 1, funksioni ka një minimum: f min \u003d f (1) \u003d -4.
Përgjigje: Pika minimale ka koordinatat (1; -4).
Detyra.
1. Konsideroni dhe shkatërroni zgjidhjet e konsideruara për subjektet e temës.
2. Eksploroni ekstremin duke përdorur funksionin e dytë derivativ:
a) f (x) \u003d 1 - x 4;
b) f (x) \u003d x 3 - 1;
2.3. Një aplikacion që rrjedh për të zgjidhur problemet fizike (11 orë).
2.4. Përpilimi i kryqëzimeve në temën "Integral i caktuar"
2.5 Llogaritja e vëllimit të trupit dhe gjatësia e harkut të kurbës (12 orë)
Kufiri i parë i mrekullueshëm i referohet barazisë së mëposhtme:
\\ fillojnë (ekuacion) \\ lim _ (\\ alpha \\ to (0)) \\ frac (\\ sin \\ alfa) (\\ alfa) \u003d 1 \\ fund (ekuacion)
Që prej $ \\ alfa \\ në (0) $ ka $ \\ sin \\ alfa \\ në (0) $, atëherë thuhet se kufiri i parë i mrekullueshëm zbulon pasigurinë e tipit $ \\ frac (0) (0) $. Në përgjithësi, në formulën (1) në vend të një ndryshore $ \\ alfa $ nën shenjën e sinusit dhe çdo shprehje mund të vendoset në emëruesin, - nëse janë kryer vetëm dy kushte:
Shpesh përdoren edhe hetimet për limitin e parë të mrekullueshëm:
\\ fillojnë (ekuacion) \\ lim _ (\\ alfa \\ në (0)) \\ frac (\\ tg \\ alfa) (\\ alfa) \u003d 1 \\ fund (ekuacion) \\ fillojnë (ekuacion) \\ lim _ (\\ alpha \\ në ( 0)) \\ frac (\\ arcsin \\ alfa) (\\ alpha) \u003d 1 \\ fund (ekuacion) \\ fillojnë (ekuacion) \\ lim _ (\\ alfa \\ to (0)) \\ frac (\\ arctg \\ alfa) (\\ alfa ) \u003d 1 \\ fund (ekuacioni)
Njëmbëdhjetë shembuj janë zgjidhur në këtë faqe. Shembulli nr. 1 është i përkushtuar për provën e formulave (2) - (4). Shembujt Nr. 2, Nr. 3, Nr. 4 dhe Nr. 5 përmbajnë zgjidhje me komente të hollësishme. Shembujt Nr. 6-10 përmbajnë zgjidhje me pothuajse asnjë koment, sepse shpjegimet e hollësishme janë dhënë në shembujt e mëparshëm. Kur zgjidhet, mund të gjenden disa formula trigonometrike.
Vini re se prania e funksioneve trigonometrike me pasigurinë e $ \\ frac (0) (0) $ nuk do të thotë përdorimi i detyrueshëm i kufirit të parë të shquar. Ndonjëherë ka shumë transformime të thjeshta trigonometrike, për shembull, shih.
Shembull №1
Provojë se $ \\ lim _ (\\ alpha \\ to (0)) \\ frac (\\ tg \\ alfa) (\\ al alfa) (\\ alfa) \u003d 1 $, $ \\ lim _ (\\ alfa \\ në (0)) \\ frac (\\ arcsin \\ Alpha) (\\ alfa) \u003d 1 $, $ \\ lim _ (\\ alpha \\ në (0)) \\ frac (\\ arctg \\ alfa) (\\ alfa) \u003d 1 $.
a) si $ \\ tg \\ alfa \u003d \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha) $, pastaj:
$$ \\ lim _ (\\ alpha \\ to (0)) \\ frac (\\ tg (\\ alfa)) (\\ alfa) \u003d \\ majtas | \\ frac (0) (0) \\ DREJTA | \u003d \\ Lim _ (\\ alpha \\ në (0)) \\ frac (\\ mëkate (\\ alpha)) (\\ alfa \\ cos (\\ alfa)) $$
Që prej $ \\ lim _ (\\ alfa \\ në (0)) \\ cos (0) \u003d 1 $ dhe $ \\ lim _ (\\ alfa \\ to (0)) \\ frac (\\ sin \\ alfa) (\\ al alfa) (\\ al alfa) $, pastaj:
$$ \\ lim _ (\\ alpha \\ në (0)) \\ frac (\\ mëkati (\\ alpha)) (\\ alfa \\ cos (\\ alfa)) \u003d \\ frac (\\ dayle \\ lim _ (\\ alfa \\ në (0 )) \\ Frac (\\ sin (\\ alpha)) (\\ alfa)) (\\ displaystyle \\ lim _ (\\ alpha \\ to (0)) \\ cos (\\ alfa)) \u003d \\ frac (1) (1) \u003d 1 . $$.
b) Ne do të zëvendësojmë $ \\ alpha \u003d \\ sin (y) $. Që prej $ \\ mëkate (0) \u003d 0 $, pastaj nga kushti $ \\ alfa \\ në (0) $ ne kemi $ y në (0) $. Përveç kësaj, ka një lagje të zero, në të cilën $ \\ arcsin \\ alpha \u003d \\ arcsin (\\ sin (y)) \u003d y $, kështu:
$$ \\ lim _ (\\ alpha \\ to (0)) \\ frac (\\ arcsin \\ alfa) (\\ alfa) \u003d \\ majtas | \\ frac (0) (0) \\ drejtë | \u003d \\ Lim_ (y \\ to (0)) \\ frac (y) (\\ sin (y)) \u003d \\ lim_ (y \\ to (0)) \\ frac (1) (\\ frac (\\ ra (\\ sin (y)) ( y)) \u003d \\ frac (1) (\\ displaystyle \\ lim_ (y \\ në (0)) \\ frac (\\ sin (y)) (y)) \u003d \\ frac (1) (1) \u003d 1. $$.
Barazia $ \\ lim _ (\\ alpha \\ në (0)) \\ frac (\\ arcsin \\ alpha) (\\ alfa) \u003d 1 $ është provuar.
c) Do të zëvendësojmë $ \\ alfa \u003d \\ tg (y) $. Që prej $ \\ tg (0) \u003d 0 $, atëherë kushtet $ \\ alfa \\ në (0) $ dhe $ y \\ në (0) $ janë ekuivalente. Përveç kësaj, ka një lagje të zero, në të cilën $ \\ arctg \\ alfa \u003d \\ arctg \\ tg (y)) \u003d y $, prandaj, duke u mbështetur në rezultatet e paragrafit a), ne do të kemi:
$$ \\ lim _ (\\ alpha \\ to (0)) \\ frac (\\ arctg \\ alfa) (\\ alfa) \u003d \\ majtas | \\ frac (0) (0) \\ drejtë | \u003d \\ Lim_ (y \\ në (0)) \\ frac (g) (\\ tg (y)) \u003d \\ lim_ (y \\ në (0)) \\ frac (1) (\\ frac (\\ tg (g)) ( y)) \u003d \\ frac (1) (\\ displaystyle \\ lim_ (y \\ në (0)) \\ frac (\\ tg (y)) (y)) \u003d \\ frac (1) (1) \u003d 1. $$.
Barazi $ \\ lim _ (\\ alpha \\ to (0)) \\ frac (\\ arctg \\ alfa) (\\ alfa) \u003d 1 $ është provuar.
Barazia a), b), c) shpesh përdoren së bashku me kufirin e parë të mrekullueshëm.
Shembull Numri 2.
Llogaritni kufirin e $ \\ lim_ (x \\ to (2)) \\ frac (\\ sin \\ majtas (\\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \\ drejtë)) (\\ frac (x ^ 2-4 ) (X + 7)) $.
Që prej $ \\ lim_ (x \\ në (2)) \\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \u003d \\ frac (2 ^ 2-4) (2 + 7) \u003d 0 $ dhe $ \\ lim_ (x \\ to (2)) \\ sin \\ majtas (\\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \\ drejtë) \u003d \\ sin (0) \u003d 0 $, dmth Dhe numeratori dhe emëruesi i fraraty njëkohësisht kanë tendencë për zero, atëherë këtu kemi të bëjmë me pasigurinë e tipit $ \\ frac (0) (0) $, i.e. bërë. Përveç kësaj, mund të shihet se shprehjet nën shenjën e sinusit dhe emëruesi përkojnë (i.e., dhe):
Pra, të dy kushtet e listuara në fillim të faqes janë përmbushur. Nga kjo rrjedh se formula është e aplikueshme, i.e. $ \\ lim_ (x \\ në (2)) \\ frac (\\ sin \\ majtas (\\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \\ djathtas) (\\ frac (x ^ 2-4) (x + 7)) \u003d 1 $.
Përgjigje: $ \\ lim_ (x \\ to (2)) \\ frac (\\ sin \\ majtas (\\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \\ djathtas) (\\ frac (x ^ 2-4) (x +7)) \u003d $ 1.
Shembull Numri 3.
Gjej $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ mëkatin (9x)) (x) $.
Që prej $ \\ lim_ (x \\ në (0)) \\ mëkatin (9x) \u003d 0 $ dhe $ \\ lim__ (x \\ në (0)) x \u003d 0 $, atëherë kemi të bëjmë me pasigurinë e tipit $ \\ frac (0) (0) $, i.e. bërë. Megjithatë, shprehjet nën shenjën e sinusit dhe në emërtimin nuk përkojnë. Këtu ju duhet të rregulloni shprehjen në emërues nën formën e dëshiruar. Ne kemi nevojë për një shprehje $ 9X $ në emërues, atëherë bëhet e vërtetë. Në fakt, na mungon një shumëzues prej $ 9 $ në një emërues, i cili nuk është aq i vështirë për të hyrë, është thjesht të shumëfishohet shprehja në emëruesin për $ 9 $. Natyrisht, për të kompensuar një shumëzim me $ 9 $ do të ketë menjëherë në $ 9 $ dhe të ndara:
$$ \\ lim_ (x \\ në (0)) \\ frac (\\ Sin (9x)) (x) \u003d \\ majtas | \\ frac (0) (0) \\ drejtë | \u003d \\ Lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ Sin (9x)) (9x \\ cdot \\ frac (1) (9)) \u003d 9 \\ lim_ (x \\ në (0)) \\ frac (\\ mëkat (9x)) (9x) $$
Tani shprehjet në emërues dhe shenjën e sinusit përkonin. Të dyja kushtet për kufirin e $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ sin (9x)) (9x) janë bërë. Rrjedhimisht, $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ sin (9x)) (9x) \u003d 1 $. Dhe kjo do të thotë se:
$ $ 9 \\ lim_ (x \\ në (0)) \\ frac (\\ mëkati (9x)) (9x) \u003d 9 \\ cdot (1) \u003d 9. $$.
Përgjigje: $ \\ lim_ (x \\ në (0)) \\ frac (\\ sin (9x)) (x) \u003d 9 $.
Shembull Numri 4.
Gjej $ \\ lim_ (x \\ në (0)) \\ frac (\\ mëkate (5x)) (\\ tg (8x)) $.
Që prej $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ Sin (5x) \u003d 0 $ dhe $ \\ lim__ (x \\ në (0)) \\ tg (8x) \u003d 0 $, këtu kemi të bëjmë me pasiguri të tipit $ \\ Frac (0) (0) $. Megjithatë, është shkelur forma e kufirit të parë të shquar. Një numërues që përmban $ \\ SIN (5X) $ kërkon një denominator $ 5X $. Në këtë situatë, mënyra më e lehtë për të ndarë numëruesin për $ 5X $, dhe menjëherë $ 5x për të shumëfishuar. Përveç kësaj, ne do të bëjmë një operacion të ngjashëm dhe me emërues, të dominuar dhe ndarjen $ \\ tg (8x) $ 8X $:
$$ \\ lim_ (x \\ në (0)) \\ frac (\\ mëkatin (5x)) (\\ tg (8x)) \u003d \\ majtas \\ frac (0) (0) \\ DREJTA | \u003d \\ Lim_ (x \\ në (0)) \\ frac (\\ frac (\\ mëkati (5x)) (5x) \\ cdot (5x)) (\\ frac (\\ tg (8x)) (8x) \\ cdot (8x) \\ cdot (8x) ) $$.
Reduktuar me $ x $ dhe duke bërë një konstante $ \\ frac (5) (8) $ për një kufi, ne marrim:
$$ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ frac (\\ mëkatin (5x)) (5x) \\ cdot (5x)) (\\ frac (8x)) (8x) \\ cdot (8x) \\ cdot (8x) \\ cdot )) \u003d \\ Frac (5) (8) \\ cdot \\ lim_ (x \\ në (0)) \\ frac (\\ frac (\\ Sin (5x)) (\\ frac (\\ tg (8x)) ( 8x)) $$
Ju lutem vini re se $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ sin (5x)) (5x) plotë plotëson kërkesat për kufirin e parë të shquar. Për të gjetur $ \\ lim_ (x \\ në (0)) \\ frac (\\ tg (8x)) (8x) $, formula është e aplikueshme:
$$ \\ frac (5) (8) \\ cdot \\ lim_ (x \\ në (0)) \\ frac (\\ frac (\\ Sin (5x)) (\\ frac (\\ tg (8x)) (8x )) \u003d \\ Frac (5) (8) \\ cdot \\ frac (\\ displaystyle \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ mëkati (5x)) (\\ displaystyle \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ tg (8x)) (8x)) \u003d \\ frac (5) (8) \\ cdot \\ frac (1) (1) \u003d \\ frac (5) (8). $$.
Përgjigje: $ \\ lim_ (x \\ në (0)) \\ frac (\\ Sin (5x)) (\\ tg (8x)) \u003d \\ frac (5) (8) $.
Shembull Numri 5.
Gjeni $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ cos (5x) - \\ cos ^ 3 (5x)) (x ^ 2) $.
Që prej $ \\ lim_ (x \\ to (0)) (\\ cos (5x) - \\ cos ^ 3 (5x)) \u003d 1-1 \u003d 0 $ (unë do të ju kujtoj se $ \\ cos (0) \u003d 1 $) dhe $ \\ lim_ (x \\ në (0)) x ^ 2 \u003d 0 $, atëherë kemi të bëjmë me pasigurinë e tipit $ \\ frac (0) (0) $. Megjithatë, për të aplikuar kufirin e parë të mrekullueshëm për të hequr qafe kosinën në numërator, duke shkuar në sinus (në mënyrë që të aplikoni formulën) ose tangente (për të aplikuar formulën). Ju mund ta bëni këtë në një konvertim të tillë:
$$ \\ cos (5x) - \\ cos ^ 3 (5x) \u003d \\ cos (5x) \\ cdot \\ majtas (1- \\ cos ^ 2 (5x) \\ drejtë) $$$$ \\ cos (5x) - \\ cos ^ 3 (5x) \u003d \\ cos (5x) \\ cdot \\ majtas (1- \\ cos ^ 2 (5x) \\ drejtë) \u003d \\ cos (5x) \\ cdot \\ sin ^ 2 (5x). $$
Le të kthehemi në kufi:
$$ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ cos (5x) - \\ cos ^ 3 (5x)) (x ^ 2) \u003d \\ majtas \\ frac (0) (0) \\ drejtë | \u003d \\ Lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ cos (5x) \\ cdot \\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) \u003d \\ lim_ (x \\ në (0)) \\ majtas (\\ cos (5x) \\ cdot \\ frac (\\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) \\ drejtë) $$
Pjesa e $ \\ frac (\\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) $ është tashmë afër asaj forme, e cila kërkohet për kufirin e parë të shquar. Ne do të punojmë pak me fraksionin e $ \\ frac (\\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) $, duke e shkaktuar atë në kufirin e parë të mrekullueshëm (vini re se shprehjet në numërator dhe sinus duhet të përputhen):
$$ \\ frac (\\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) \u003d \\ frac (\\ sin ^ 2 (5x)) (25x ^ 2 \\ cdot \\ frac (1) (25)) \u003d 25 \\ cdot \\ Frac (\\ sin ^ 2 (5x)) (25x ^ 2) \u003d 25 \\ cdot \\ majtas (\\ frac (\\ Sin (5x)) (5x) \\ drejtë) ^ 2 $ $
Le të kthehemi në kufirin në shqyrtim:
$$ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ majtas (\\ cos (5x) \\ cdot \\ frac (\\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) \\ drejtë) \u003d \\ lim_ (x \\ në (0 në (0 )) \\ majtas (25 \\ cos (5x) \\ cdot \\ majtas (\\ frac (\\ mëkati (5x)) (5x) \\ drejtë) ^ 2 e drejtë) \u003d \\\\ \u003d 25 \\ cdot \\ lim_ (x \\ në ( 0)) \\ cos (5x) \\ cdot \\ lim_ (x \\ në (0)) \\ majtas (\\ frac (\\ mëkatin (5x)) (5x) \\ drejtë) ^ 2 \u003d 25 \\ cdot (1) \\ cdot ( 1 ^ 2) \u003d 25. $$.
Përgjigje: $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ cos (5x) - \\ cos ^ 3 (5x)) (x ^ 2) \u003d 25 $.
Shembull Numri 6.
Gjeni një kufi prej $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (1- \\ cos (6x)) (1- \\ cos (2x)) $.
Që prej $ \\ lim_ (x \\ në (0)) (1- në (6x)) \u003d 0 $ dhe $ \\ lim_ (x \\ në (0)) (1- cos (2x) \u003d 0 $, ne kanë të bëjnë me pasigurinë e $ \\ frac (0) (0) $. Kujtoni atë me ndihmën e kufirit të parë të shquar. Për ta bërë këtë, le të shkojmë nga koina për të sinus. Që prej $ 1- \\ cos (2 \\ alfa) \u003d 2 \\ sin ^ 2 (\\ alfa) $, pastaj:
$ $ 1- \\ cos (6x) \u003d 2 \\ sin ^ 2 (3x); \\; 1- \\ cos (2x) \u003d 2 \\ sin ^ 2 (x). $$
Duke u kthyer në kufirin e specifikuar për të sinus, ne do të kemi:
$$ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (1- \\ cos (6x)) (1- \\ cos (2x)) \u003d \\ majtas | \\ frac (0) (0) \\ DREJTA | \u003d \\ Lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (2 \\ mëkati ^ 2 (3x)) (2 \\ Sin ^ 2 (x)) \u003d \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ sin ^ 2 (3x)) (\\ mëkati ^ 2 (x)) \u003d \\\\ \u003d \\ lim_ (x \\ në (0)) \\ frac (\\ frac (\\ mëkati ^ 2 (3x)) ((3x) ^ 2) \\ Cdot (3x) ^ 2) (\\ frac (\\ sin ^ 2 (x)) (x ^ 2) \\ cdot (x ^ 2)) \u003d \\ lim_ (x \\ në (0)) \\ frac (\\ majtas Frac (\\ mëkate (3x)) (3x) \\ drejtë) ^ 2 \\ cdot (9x ^ 2)) (\\ majtas (\\ frac (\\ sin (x)) (x) \\ drejtë) ^ 2 \\ cdot (x ^ 2)) \u003d 9 \\ cdot \\ frac (\\ displaystyle \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ majtas (\\ frac (\\ mëkati (3x)) (3x) \\ drejtë) ^ 2) (\\ displaystyle \\ lim_ (x \\ To (0)) \\ majtas (\\ frac (\\ sin (x)) (x) \\ drejtë) ^ 2) \u003d 9 \\ cdot \\ frac (1 ^ 2) (1 ^ 2) \u003d 9. $$.
Përgjigje: $ \\ lim_ (x \\ në (0)) \\ frac (1- \\ cos (6x)) (1- cos (2x)) \u003d 9 $.
Shembull Numri 7.
Llogaritni kufirin e $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ cos (\\ alpha (x)) - \\ cos (\\ beta (x))) (x ^ 2) $ nën kusht $ \\ alfa \\ neq \\ beta $.
Shpjegime të hollësishme u dhanë më parë, këtu thjesht vërehet se pasiguria e $ \\ frac (0) (0) $ është ri-prezantohet. Le të shkojmë nga koina për sinuset duke përdorur formulën
$$ \\ cos \\ alfa- \\ cos \\ beta \u003d -2 \\ mëkat \\ frac (\\ alfa + \\ beta) (2) \\ cdot \\ ra \\ frac (\\ alfa- \\ beta) (2). $$
Duke përdorur formulën e specifikuar, ne marrim:
$$ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ cos (\\ alpha (x)) - \\ cos (\\ beta (x))) (x ^ 2) \u003d \\ majtas \\ frac (0) ( 0) \\ DREJTA | \u003d \\ Lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (-2 \\ mëkat \\ frac (\\ alpha (x) + \\ beta (x)) (2) \\ cdot \\ frac (\\ alpha (x) - \\ Beta (x)) (2)) (x ^ 2) \u003d \\\\ \u003d -2 \\ cdot \\ lim_ (x \\ në (0)) \\ frac (\\ sin \\ majtas (x \\ cdot \\ frac (\\ alpha + \\ Beta) (2) \\ drejtë) \\ cdot \\ sin \\ majtas (x \\ cdot \\ frac (\\ alfa- \\ beta) (2) \\ drejtë)) (x ^ 2) \u003d -2 \\ cdot \\ lim_ (x \\ në (0)) \\ majtas (\\ frac (\\ sin \\ majtas (x \\ cdot \\ frac (\\ alfa + \\ beta) (2) \\ drejtë)) (x) \\ cdot \\ frac (\\ sin \\ majtas (x \\ cdot \\ Frac (\\ alfa- \\ beta) (2) \\ drejtë)) (x) \\ drejtë) \u003d \\\\ \u003d -2 \\ cdot \\ lim_ (x \\ në (0)) \\ majtas (\\ frac (\\ sin \\ majtas (x \\ cdot \\ frac (\\ alpha + \\ beta) (2) \\ drejtë)) (x \\ cdot \\ frac (\\ alfa + \\ beta) (2)) \\ cdot \\ frac (\\ alfa + \\ beta) (2 ) \\ Cdot \\ frac (\\ sin \\ majtas (X \\ cdot \\ frac (\\ alfa- \\ beta) (2) \\ drejtë)) (x \\ cdot \\ frac (\\ alfa- \\ beta) (2)) \\ cdot \\ Frac (\\ alfa- \\ beta) (2) \\ drejtë) \u003d \\\\ \u003d - \\ frac ((\\ alfa + \\ beta) \\ cdot (\\ alfa- \\ beta)) (2) \\ lim_ (x \\ në (0 ))) \\ Frac (\\ sin \\ majtas (x \\ cdot \\ frac (\\ alfa + \\ beta) (2) \\ drejtë)) (x \\ cdot \\ frac (\\ alfa + \\ beta) (2)) \\ cdot \\ lim_ (X \\ në (0)) \\ frac (\\ sin \\ majtas (x \\ cdot \\ frac (\\ alfa- \\ beta) (2) \\ drejtë)) (x \\ cdot \\ frac (\\ alfa- \\ beta) (2 )) \u003d - \\ frac (\\ alpha ^ 2- \\ beta ^ 2) (2) \\ cdot (1) \\ cdot (1) \u003d \\ frac (\\ beta ^ 2- \\ alfa ^ 2) (2). $$.
Përgjigje: $ \\ lim_ (x \\ në (0)) \\ frac (\\ cos (\\ alpha (x)) - \\ cos (\\ beta (x))) (x ^ 2) \u003d \\ frac (\\ beta ^ 2- \\ Alpha ^ 2) (2) $.
Shembull Numri 8.
Gjeni limitin e $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ tg (x) - \\ sin (x)) (x ^ 3) $.
Që prej $ \\ lim_ (x \\ në (0)) (\\ tg (x) - \\ sin (x)) \u003d 0 $ (ju kujtoj se $ \\ mëkatin (0) \u003d \\ tg (0) \u003d 0 $) dhe $ \\ lim_ (x \\ në (0)) x ^ 3 \u003d 0 $, këtu kemi të bëjmë me pasigurinë e tipit $ \\ frac (0) (0) $. Ne do ta zbulojmë atë si vijon:
$$ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ tg (x) - \\ sin (x)) (x ^ 3) \u003d \\ majtas \\ frac (0) (0) \\ DREJTA | \u003d \\ Lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ frac (\\ sin (x)) (\\ cos (x)) - \\ sin (x)) (x ^ 3) \u003d \\ lim_ (x \\ to ( 0)) \\ frac (\\ sin (x) \\ cdot \\ majtas (\\ frac (1) (\\ cos (x)) - 1 \\ drejtë) (x ^ 3) \u003d \\ lim_ (x \\ në (0)) \\ Frac (\\ sin (x) \\ cdot \\ majtas (1- \\ cos (x) \\ drejtë) (x ^ 3 \\ cdot \\ cos (x)) \u003d \\\\ \u003d \\ lim_ (x \\ në (0)) \\ Frac (\\ sin (x) \\ cdot (2) \\ sin ^ 2 \\ frac (x) (2)) (x ^ 3 \\ cdot \\ cos (x)) \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot \\ Lim_ (x \\ to (0)) \\ majtas (\\ frac (\\ sin (x)) (x) \\ cdot \\ majtas (\\ frac (\\ sin \\ frac (x) (2)) (\\ frac (x) ( 2)) \\ djathtas) ^ 2 \\ cdot \\ frac (1) (\\ cos (x)) \\ drejtë) \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot (1) \\ cdot (1 ^ 2) \\ cdot (1 ) \u003d \\ Frac (1) (2). $$.
Përgjigje: $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ tg (x) - \\ sin (x)) (x ^ 3) \u003d \\ frac (1) (2) $.
Shembull Numri 9.
Gjeni $ \\ lim__ (x \\ në (3)) \\ frac ((1- \\ cos (x-3)) ((x-3) \\ tg \\ frac (x-3) (2)) $.
Që prej $ \\ lim_ (x \\ në (3)) (1- \\ cos (x-3)) \u003d 0 $ dhe $ \\ lim_ (x \\ në (3)) (x-3) \\ tg \\ frac (x - 3) (2) \u003d 0 $, atëherë ekziston një pasiguri e tipit $ \\ frac (0) (0) $. Para se të kaloni në dhënien e informacioneve shpjeguese, është e përshtatshme për të zëvendësuar variablin në mënyrë të tillë që variabli i ri nxiton në zero (vini re se $ \\ alfa \\ në 0 formulat e ndryshueshme). Mënyra më e lehtë për të hyrë në ndryshorin $ t \u003d x-3 $. Megjithatë, për lehtësinë e transformimeve të mëtejshme (ky përfitim mund të shihet gjatë vendimit të mëposhtëm) Vlen të bëhet një zëvendësim i tillë: $ T \u003d \\ frac (x-3) (2) $. Vërej që të dy zëvendësimet janë të zbatueshme në këtë rast, thjesht zëvendësimi i dytë do të lejojë më pak punë me fraksione. Që prej $ x në (3) $, pastaj $ t \\ në (0) $.
$$ \\ lim_ (x \\ në (3)) \\ frac (1- \\ cos (x-3)) ((x-3) \\ tg \\ frac (x-3) (2)) \u003d \\ majtas | \\ frac (0) (0) \\ drejtë | \u003d \\ Majtas | \\ fillojnë (të përafruar) & t \u003d \\ frac (x-3) (2); \\\\ & t \\ në (0) \\ fund (në linjë) \\ drejtë | \u003d \\ Lim_ (t \\ në (0)) \\ frac (1- \\ cos (2t)) (2t \\ cdot \\ tg (t)) \u003d \\ lim_ (t \\ në (0)) \\ frac (2 \\ mëkatit ^ 2t) (2t \\ cdot \\ tg (t)) \u003d \\ lim_ (t \\ në (0)) \\ frac (\\ më ra) (t \\ tg (t)) \u003d \\\\ \u003d \\ lim_ (t \\ në (0)) \\ frac (\\ sin ^ 2t) (t \\ cdot \\ frac (\\ sin (t)) (\\ cos (t))) \u003d \\ lim_ (t \\ në (0)) \\ frac (\\ mëkat (T) \\ cos (t)) (t) \u003d \\ lim_ (t \\ në (0)) \\ majtas (\\ frac (\\ sin (t)) (t) \\ cdot \\ cos (t) e drejtë) \u003d \\ Lim_ (t \\ për (0)) \\ frac (\\ mëkatin (t)) (t) \\ cdot \\ lim_ (t \\ në (0)) \\ cos (t) \u003d 1 \\ cdot (1) \u003d 1. $$.
Përgjigje: $ \\ lim_ (x \\ në (3)) \\ frac (1- \\ cos (x-3)) ((x-3) \\ \\ frac (x-3) (2)) \u003d 1 $.
Shembull Numri 10.
Gjeni limitin $ \\ lim_ (x \\ to \\ frac (\\ pi) (2)) \\ frac (1- \\ sin (x)) (\\ majtas (\\ frac (\\ pi) (2) -x \\ drejtë) ^ 2) $.
Kemi të bëjmë me pasigurinë e $ \\ frac (0) (0) $. Para se të kaloni në zbulimin e saj, është e përshtatshme për të zëvendësuar variablën në mënyrë të tillë që variabli i ri do të nxitojë në zero (vini re se formulat e ndryshueshme $ \\ alfa \\ në (0) $). Mënyra më e lehtë për të hyrë në variabël $ t \u003d \\ frac (\\ pi) (2) -x $ është e njëjtë. Që prej $ x në \\ frac (\\ pi) (2) $, pastaj $ t \\ në (0) $:
$$ \\ lim_ (x \\ to \\ frac (\\ pi) (2)) \\ frac (1- \\ sin (x)) (\\ majtas (\\ frac (\\ pi) (2) -x \\ drejtë) ^ 2) \u003d \\ majtas | \\ frac (0) (0) \\ drejtë | \u003d \\ Majtas | \\ fillojnë (të përafruar) & t \u003d \\ frac (\\ pi) (2) -x; \\\\ & t \\ to (0) \\ end (në linjë) \\ drejtë | \u003d \\ Lim_ (t \\ në (0)) \\ frac (1- \\ mëkat \\ majtas (\\ frac (\\ pi) (2) -t \\ drejtë)) (t ^ 2) \u003d \\ lim_ (t \\ në (0 )) \\ Frac (1- \\ cos (t)) (t ^ 2) \u003d \\\\ \u003d \\ lim_ (t \\ në (0)) \\ frac (2 \\ mëkatit ^ 2 \\ frac (t) (2)) ( T ^ 2) \u003d 2 \\ lim_ (t \\ në (0)) \\ frac (\\ më ra ^ 2 \\ frac (t) (2)) (t ^ 2) \u003d 2 \\ lim_ (t \\ në (0)) \\ Frac (\\ mëkati ^ 2 \\ frac (t) (2)) (\\ frac (t ^ 2) (4) \\ cdot (4)) \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot \\ lim_ (t \\ për ( 0)) \\ majtas (\\ frac (\\ sin \\ frac (t) (2)) (\\ frac (t) (2)) \\ drejtë) ^ 2 \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot (1 ^ 2 ) \u003d \\ Frac (1) (2). $$.
Përgjigje: $ \\ Lim_ (x \\ në \\ frac (\\ pi) (2)) \\ frac (1- \\ sin (x)) (\\ majtas (\\ frac (\\ fac (\\ pi) (2) -x \\ drejtë) ^ 2) \u003d \\ Frac (1) (2) $.
Shembulli 11.
Gjeni kufijtë e $ \\ lim_ (x \\ to \\ frac (\\ pi) (2)) \\ frac (1- \\ Sin (x)) (\\ cos ^ 2x) $, $ \\ lim_ (x \\ në \\ frac ( 2 \\ pi) (3)) \\ frac (\\ tg (x) + \\ sqrt (3)) (2 \\ cos (x) +1) $.
Në këtë rast, ne nuk do të duhet të përdorim kufirin e parë të mrekullueshëm. Ju lutemi vini re: të dyja në kufijtë e parë dhe të dytë ka vetëm funksione dhe numra trigonometrike. Shpesh, në shembujt e këtij lloji, është e mundur të thjeshtësohet shprehja e vendosur nën shenjën e limitit. Në të njëjtën kohë, pasi tha thjeshtësimi dhe reduktimi i disa faktorëve, pasiguria zhduket. Kam sjellë këtë shembull vetëm me një qëllim: për të treguar se prania e funksioneve trigonometrike nën shenjën e një kufiri nuk do të thotë domosdoshmërisht përdorimi i kufirit të parë të shquar.
Që prej $ \\ lim_ (x \\ në \\ frac (\\ pi) (2)) (1- sin (x)) \u003d 0 $ (ju kujtoj se $ \\ sin \\ frac (\\ pi) (2) \u003d 1 $) dhe $ \\ lim_ (x \\ në \\ frac (\\ pi) (2)) \\ cos ^ 2x \u003d 0 $ (ju kujtoj $ \\ cos \\ frac (\\ pi) (2) \u003d 0 $), atëherë ne kemi rast me pasigurinë e tipit $ \\ frac (0) (0) $. Megjithatë, kjo nuk do të thotë që ne duhet të përdorim kufirin e parë të mrekullueshëm. Për të zbuluar pasigurinë, është e mjaftueshme për të konsideruar se $ \\ cos ^ 2x \u003d 1- \\ sin ^ 2x $:
$$ \\ lim_ (x \\ to \\ frac (\\ pi) (2)) \\ frac (1- \\ Sin (x)) (\\ cos ^ 2x) \u003d \\ majtas \\ frac (0) (0) \\ DREJTA | \u003d \\ Lim_ (x \\ to \\ frac (\\ pi) (2)) \\ frac (1- \\ sin (x)) (1- \\ më sin ^ 2x) \u003d \\ lim_ (x \\ në \\ frac (\\ pi) ( 2)) \\ frac (1- \\ sin (x)) ((1- \\ Sin (x)) (1+ \\ SIN (x))) \u003d \\ lim_ (x \\ në \\ frac (\\ pi) (2) ) \\ Frac (1) (1 + \\ mëkat (x)) \u003d \\ frac (1) (1 + 1) \u003d \\ frac (1) (2). $$.
Ka një zgjidhje të ngjashme në Demidovich Resebnik (Nr. 475). Sa i përket kufirit të dytë, si në shembujt e mëparshëm të këtij seksioni, ne kemi pasigurinë e tipit $ \\ frac (0) (0) $. Pse ngrihet? Ajo lind, sepse $ \\ tg \\ frac (2 \\ pi) (3) \u003d - \\ sqrt (3) $ dhe $ 2 \\ cos \\ frac (2 \\ pi) (3) \u003d - $ 1. Ne i përdorim këto vlera në mënyrë që të konvertojmë shprehjet në numërator dhe në emërues. Qëllimi i veprimeve tona: për të regjistruar shumën në numërator dhe emërues në formën e një pune. Nga rruga, shpesh është brenda kufijve të një specie të ngjashme është e përshtatshme për të zëvendësuar ndryshoren e bërë me një llogaritje të tillë në mënyrë që variabli i ri nxiton në zero (shih, për shembull, shembujt nr. 9 ose nr. 10 në këtë faqe ). Megjithatë, në këtë shembull, nuk ka kuptim në zëvendësimin e kuptimit, edhe pse, nëse dëshiron, zëvendësimi i ndryshores $ t \u003d x- \\ frac (2 \\ pi) (3) $ është i lehtë për t'u zbatuar.
$$ \\ lim_ (x \\ në \\ frac (2)) \\ frac (\\ tg (x) + \\ sqrt (3)) (2 \\ cos (x) +1) \u003d \\ lim_ (x \\ Për të \\ frac (2 \\ pi) (3)) \\ frac (\\ tg (x) + \\ sqrt (3)) (2 \\ cdot \\ majtas (\\ cos (x) + \\ frac (1) (2) \\ drejtë )) \u003d \\ Lim_ (x \\ për \\ frac (2)) \\ frac (\\ tg (x) - \\ tg \\ frac (2) (3)) (2 \\ cdot \\ majtas Cos (x) - \\ cos \\ frac (2 \\ pi) (3) \\ drejtë)) \u003d \\\\ \u003d \\ lim_ (x \\ në \\ frac (2)) \\ frac (\\ frac (\\ mëkat \\ majtas (x- \\ frac (2 \\ pi) (3) \\ drejtë)) (\\ cos (x) \\ cos \\ frac (2)) (3))) (- 4 \\ sin \\ frac (x + \\ Frac (2 \\ pi) (3)) (2) \\ mëkat \\ frac (x- \\ frac (2 \\ pi) (3)) (2)) \u003d \\ lim_ (x \\ në \\ frac (2 \\ pi) ( 3)) \\ frac (\\ sin \\ majtas (x- \\ frac (2 \\ pi) (3) \\ drejtë)) (- 4 Sin \\ frac (x + \\ frac (2)) (2)) (2) ) \\ Sin \\ frac (x- \\ frac (2 \\ pi) (3)) (2) \\ cos (x) \\ cos \\ frac (2)) \u003d \\\\ \u003d \\ lim_ (x \\ to \\ Frac (2 \\ pi) (3)) \\ frac (2 \\ mëkat \\ frac (x- \\ frac (2 \\ pi) (3)) (2) \\ cos \\ frac (x- \\ frac (2 \\ pi) (3)) (2)) (4 \\ mëkat \\ frac (x + \\ frac (2)) (2) \\ sin \\ frac (x- \\ frac (2 \\ pi) (3)) (2) \\ cos (x) \\ cos \\ frac (2)) \u003d \\ lim_ (x \\ to \\ frac (2 \\ pi) (3)) \\ frac (\\ cos \\ frac (x- \\ frac (x- \\ frac Frac (2 \\ pi) (3)) (2)) (2 \\ Sin \\ frac (x + \\ frac (2)) (2) \\ cos (x) \\ cos \\ frac (2 \\ PI) (3)) \u003d \\\\ \u003d \\ frac (1) (- 2 \\ cdot \\ frac (\\ sqrt (3)) (2) \\ cdot \\ majtas (- \\ frac (1) (2) \\ drejtë) \\ Cdot \\ majtas (- \\ frac (1) (2) \\ drejtë)) \u003d - \\ frac (4 ) (\\ Sqrt (3)). $$.
Siç mund ta shihni, nuk kemi pasur për të aplikuar kufirin e parë të mrekullueshëm. Natyrisht, nëse dëshironi, kjo mund të bëhet (shih shënimin më poshtë), por nuk ka nevojë për këtë.
Cila do të jetë zgjidhja duke përdorur kufirin e parë të shquar? Shfaq Fshih
Kur përdorni limitin e parë të shquar, ne marrim:
$$ \\ lim_ (x \\ to \\ frac (2)) \\ frac (\\ ra \\ majtas (x- \\ frac (2 \\ pi) (3) \\ drejtë)) (- 4 \\ mëkat \\ frac (X + \\ frac (2 \\ pi) (3)) (2) \\ mëkat \\ frac (x- \\ frac (2 \\ pi) (3)) (2) \\ cos (x) \\ cos \\ frac (2 \\ PI) (3)) \u003d \\\\ \u003d \\ lim_ (x \\ në \\ frac (2)) \\ majtas (\\ frac (\\ sin \\ majtas (x- \\ frac (2 \\ pi) (3) \\ Djathtas)) (x- \\ frac (2 \\ pi) (3)) \\ cdot \\ frac (1) (\\ frac (\\ ra \\ frac (x- \\ frac (2 \\ pi) (3)) (2) (2) ) (\\ Frac (x- \\ frac (2 \\ pi) (3)) (2))) \\ cdot \\ frac (1) (- 2 \\ ra \\ frac (x + \\ frac (2 \\ pi) (3) ) (2) \\ cos (x) \\ cos \\ frac (2 \\ pi) (3)) \\ drejtë) \u003d 1 \\ cdot (1) \\ cdot \\ frac (1) (- 2 \\ cdot \\ frac (\\ sqrt (\\ sqrt ( 3)) (2) \\ cdot \\ majtas (- \\ frac (1) (2) \\ drejtë) \\ cdot \\ majtas (- \\ frac (1) (2) \\ drejtë)) \u003d - \\ frac (4) (\\ Sqrt (3)). $$.
Përgjigje: $ \\ Lim_ (x \\ për \\ frac (\\ pi) (2)) \\ frac (1- \\ Sin (x)) (\\ cos ^ 2x) \u003d \\ frac (1) (2) $, $ \\ lim_ ( x \\ për \\ frac (2)) \\ frac (\\ tg (x) + \\ sqrt (3)) (2 \\ cos (x) +1) \u003d - \\ frac (4) (\\ sqrt ( 3)) $.
Zakonisht kufiri i dytë i mrekullueshëm është shkruar në këtë formë:
\\ Fillojnë (ekuacion) \\ lim_ (x \\ to \\ infty) \\ majtas (1+ \\ frac (1) (x) \\ drejtë) ^ x \u003d e \\ ekuacion
Numri $ e $ specifikuar në anën e djathtë të barazisë (1) është iracional. Vlera e përafërt e këtij numri është: $ e \\ përafërsisht (2 (,) 718281828459045) $. Nëse ju bëni një zëvendësim prej $ t \u003d \\ frac (1) (x) $, atëherë formula (1) mund të rishkruhet në formën e mëposhtme:
\\ Fillojnë (ekuacion) \\ lim_ (t \\ në (0)) \\ biggl (1 + t \\ biggr) ^ (\\ frac (1) (t)) \u003d e \\ ekuacion
Sa për kufirin e parë të mrekullueshëm, nuk ka rëndësi se çfarë shprehjeje është në vend të ndryshores $ x $ në formulë (1) ose në vend të ndryshores $ T $ në formulë (2). Gjëja kryesore është të ekzekutosh dy kushte:
Thuhet se kufiri i dytë i mrekullueshëm zbulon pasigurinë e $ 1 ^ \\ INFTY $. Vini re se në formulën (1) nuk specifikojmë se çfarë lloj infiniteti ($ + \\ infty $ ose $ - \\ infty $) është fjalim. Në cilëndo nga këto raste, formula (1) është e vërtetë. Në formulën (2), variabli $ t $ mund të përpiqet për zero si në të majtë dhe në të djathtë.
Vini re se ka edhe disa pasoja të dobishme nga kufiri i dytë i shquar. Shembuj për përdorimin e një kufiri të dytë të shquar, si dhe pasojat e tij, janë shumë të njohura me përpiluesit e llogaritjeve standarde tipike dhe punimeve të kontrollit.
Shembull №1
Llogaritni kufirin e $ \\ lim_ (x \\ to \\ infty) \\ majtas (\\ frac (3x + 1) (3x-5) \\ drejtë) ^ (4x + 7) $.
Vini re menjëherë se themeli i shkallës (i.e. $ \\ frac (3x + 1) (3x-5) $) tenton të unitetit:
$$ \\ lim_ (x \\ to \\ infty) \\ frac (3x + 1) (3x-5) \u003d \\ majtas | \\ frac (\\ infty) (\\ infty) \\ drejtë | \u003d \\ Lim_ (x \\ to \\ infty) \\ frac (3+ \\ frac (1) (x)) (3- \\ frac (5) (x)) \u003d \\ frac (3 + 0) (3-0) \u003d një. $$.
Në këtë rast, treguesi (shprehja $ 4X + 7 $) ka tendencë të pafund, dmth.e. $ \\ Lim_ (x \\ në \\ infty) (4x + 7) \u003d \\ infty $.
Fondacioni i diplomës tenton të unitet, tregues i shkallës - në pafundësi, i.e. Ne kemi të bëjmë me pasigurinë e $ 1 ^ \\ infty $. Aplikoni formulën për zbulimin e kësaj pasigurie. Në bazë të shkallës së formulës, shprehja është $ 1 + \\ frac (1) (x) $, dhe në shembullin ne jemi themeli i shkallës së kësaj: $ \\ frac (3x + 1) (3x- 5) $. Prandaj, veprimi i parë do të jetë një përshtatje formale e shprehjes $ \\ frac (3x + 1) (3x-5) nën formën e $ 1 + \\ frac (1) (x) $. Për të filluar, shtoni dhe zbrisni njësinë:
$$ \\ lim_ (x \\ në \\ infty) \\ majtas (\\ frac (3x + 1) (3x-5) \\ drejtë) ^ (4x + 7) \u003d | 1 ^ \\ infty | \u003d \\ Lim_ (x \\ në \\ infty) \\ majtas (1+ \\ frac (3x + 1) (3x-5) -1 \\ drejtë) ^ (4x + 7) $$
Duhet të theksohet se është e lehtë të shtoni një njësi të tillë. Nëse jemi të detyruar të shtojmë një njësi, atëherë është e nevojshme dhe zbres, në mënyrë që të mos ndryshojmë vlerat e të gjithë shprehjes. Për të vazhduar vendimin, e konsideroni këtë
$$ \\ frac (3x + 1) (3x-5) -1 \u003d \\ frac (3x + 1) (3x-5) - \\ frac (3x-5) (3x-5) \u003d \\ frac (3x + 1- 3x + 5) (3x-5) \u003d \\ frac (6) (3x-5). $$.
Që prej $ \\ frac (3x + 1) (3x-5) -1 \u003d \\ frac (6) (3x-5) $, pastaj:
$$ \\ lim_ (x \\ to \\ infty) \\ majtas (1+ \\ frac (3x + 1) (3x-5) -1 \\ drejtë) ^ (4x + 7) \u003d \\ lim_ (x \\ në \\ infty) \\ Majtas (1+ \\ frac (6) (3x-5) \\ drejtë) ^ (4x + 7) $$
Ne vazhdojmë "montim". Në shprehjen $ 1 + \\ frac (1) (x) formulat $ në numerator fraksion është 1, dhe në shprehjen tonë $ 1 + \\ frac (6) (3x-5) $ në numërator ka $ 6 $. Për të marrë një $ 1 $ në një numërator, më e ulët $ 6 $ në një emërues duke përdorur konvertimin e mëposhtëm:
$ $ 1+ \\ frac (6) (3x-5) \u003d 1 + \\ frac (1) (\\ frac (3x-5) (6)) $$
Në këtë mënyrë,
$$ \\ lim_ (x \\ to \\ infty) \\ majtas (1+ \\ frac (6) (3x-5) \\ drejtë) ^ (4x + 7) \u003d \\ lim_ (x \\ në \\ infty) \\ majtas (1+ \\ Frac (1) (\\ frac (3x-5) (6)) \\ drejtë) ^ (4x + 7) $$
Pra, baza e shkallës, i.e. $ 1 + \\ frac (1) (\\ frac (3x-5) (6)) $, ngjitur me formularin $ 1 + \\ frac (1) (x) $, i cili kërkohet në formulën. Tani le të fillojmë të punojmë me një tregues të shkallës. Vini re se në formulën e shprehjes në aspektin e shkallës dhe në emëruesin, të njëjtën:
Pra, në shembullin tonë, treguesi i shkallës dhe emëruesi duhet të jepet në të njëjtën formë. Për të marrë shprehjen e $ \\ frac (3x-5) (6), thjesht duke dyshuar në shkallën e shkallës në këtë pjesë. Natyrisht, për të kompensuar një shumëzim të tillë, do të jetë e nevojshme të shumohen në fraksionin e kundërt, i.e. Në $ \\ frac (6) (3x-5) $. Pra, ne kemi:
$$ \\ lim_ (x \\ to \\ infty) \\ majtas (1+ \\ frac (1) (\\ frac (3x-5) (6)) \\ drejtë) ^ (4x + 7) \u003d \\ lim_ (x \\ to \\ Infty) \\ majtas (1+ \\ frac (1) (\\ frac (3x-5) (6)) \\ drejtë) ^ (3x-5) (6) \\ cdot \\ frac (3) (3x-5 (3x-5 (3x-5 ) \\ Cdot (4x + 7)) \u003d \\ lim_ (x \\ to \\ infty) \\ majtas (\\ majtas (1+ \\ frac (1) (\\ frac (3x-5) (6) \\ (\\ Frac (3x-5) (6)) \\ drejtë) ^ (\\ frac (6 \\ cdot (4x + 7)) (3x-5)) $$
Veçmas, konsideroni kufirin e fraksionit $ \\ frac (6 \\ cdot (4x + 7)) (3x-5), të vendosura në shkallë:
$$ \\ lim_ (x \\ to \\ infty) \\ frac (6 \\ cdot (4x + 7)) (3x-5) \u003d \\ majtas \\ frac (\\ infty) (\\ infty) \\ drejtë | \u003d \\ Lim_ (x \\ to \\ infty) \\ frac (6 \\ cdot \\ majtas (4+ \\ frac (7) (x) \\ drejtë) (3- \\ frac (5) (x)) \u003d 6 \\ cdot \\ Frac (4) (3) \u003d 8. $$.
Përgjigje: $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ biggl (\\ cos (2x) \\ biggr) ^ (\\ frac (1) (\\ sin ^ 2 (3x))) \u003d e ^ (- \\ frac (2) (9)) $.
Shembull Numri 4.
Gjeni limitin e $ \\ lim_ (x \\ to + \\ infty) x \\ majtas (\\ ln (x + 1) - \\ ln (x) \\ drejtë) $.
Që nga $ x\u003e 0 $ ne kemi $ \\ ln (x + 1) - \\ ln (x) \u003d \\ ln majtas (\\ frac (x + 1) (x) \\ drejtë) $, pastaj:
$$ \\ lim_ (x \\ to + \\ infty) x majtas (\\ ln (x + 1) - \\ ln (x) \\ drejtë) \u003d \\ lim_ (x \\ to + \\ infty) \\ majtas (x \\ cdot \\ ln majtas (\\ frac (x + 1) (x) \\ drejtë) \\ drejtë) $$
Mbyllja e pjesës së $ \\ frac (x + 1) (x) $ në sasinë e fraksioneve $ \\ frac (x + 1) (x) \u003d 1 + \\ frac (1) (x) $ Ne marrim:
$$ \\ lim_ (x \\ to + \\ infty) \\ majtas (x \\ cdot \\ ln majtas (\\ frac (x + 1) (x) \\ drejtë) \\ drejtë) \u003d \\ lim_ (x \\ to + \\ infty) \\ Majtas (x \\ cdot \\ ln majtas (1+ \\ frac (1) (x) \\ drejtë) \\ drejtë) \u003d \\ lim_ (x \\ to + \\ infty) \\ majtas (\\ l \\ majtas (\\ l \\ + 1) (x) \\ drejtë) ^ x \\ drejtë) \u003d \\ ln (e) \u003d 1. $$.
Përgjigje: $ \\ lim_ (x \\ to + \\ infty) x majtas (\\ ln (x + 1) - \\ ln (x) \\ drejtë) \u003d 1 $.
Shembull Numri 5.
Gjeni limitin $ \\ lim_ (x \\ to (2)) \\ biggl (3x-5 \\ biggr) ^ (\\ frac (2x) (x ^ 2-4)) $.
Që prej $ \\ lim_ (x \\ në (2)) (3x-5) \u003d 6-5 \u003d 1 $ dhe $ \\ lim_ (x \\ në (2)) \\ frac (2x) (x ^ 2-4) \u003d \\ INFTY $, atëherë kemi të bëjmë me pasigurinë e llojit të $ 1 ^ \\ infty $. Shpjegimet e hollësishme jepen në Shembullin Nr. 2, këtu jemi të kufizuar në një zgjidhje të shkurtër. Marrja e një zëvendësimi prej $ t \u003d x-2 $, ne marrim:
$$ \\ lim_ (x \\ to (2)) \\ biggl (3x-5 \\ biggr) ^ (\\ frac (2x) (x ^ 2-4)) \u003d \\ majtas \\ fillojnë (të përafruar) & t \u003d x- 2; \\; x \u003d t + 2 \\\\ & t \\ në (0) \\ fund (në linjë) \\ drejtë | \u003d \\ Lim_ (t \\ në (0)) \\ biggl (1 + 3t \\ biggr) ^ (\\ frac (2t + 4) (t ^ 2 + 4t)) \u003d \\\\ \u003d \\ lim_ (t \\ në (0) ) \\ Biggl (1 + 3t \\ biggr) ^ (1) (3T) \\ cdot 3t \\ cdot \\ frac (2t + 4) (t ^ 2 + 4t)) \u003d \\ lim_ (t \\ në (0) ) \\ majtas (\\ biggl (1 + 3t \\ biggr) ^ (\\ frac (1) (3t)) \\ drejtë) ^ (\\ frac (6 \\ cdot (t + 2)) (t + 4)) \u003d e ^ 3. $$.
Ju mund ta zgjidhni këtë shembull dhe në një tjetër, duke përdorur zëvendësimin: $ t \u003d \\ frac (1) (x-2) $. Sigurisht, përgjigja do të jetë e njëjtë:
$$ \\ lim_ (x \\ to (2)) \\ biggl (3x-5 \\ biggr) ^ (\\ frac (2x) (x ^ 2-4)) \u003d \\ majtas \\ fillojnë (të përafruar) dhe t \u003d \\ frac (1) (x-2); \\; x \u003d \\ frac (2t + 1) (t) \\\\ & t \\ në \\ infty \\ fund (në linjë) \\ drejtë | \u003d \\ Lim_ (t \\ për të \\ infty) \\ majtas (1+ \\ frac (3) (t) \\ drejtë) ^ (t \\ cdot \\ frac (4t + 2) (4t + 1)) \u003d \\\\ \u003d \\ lim_ (t \\ në \\ infty) \\ majtas (1+ \\ frac (1) (\\ frac (t) (3)) \\ drejtë) ^ (\\ frac (t) (3) \\ cdot \\ frac (3) (t) \\ Cdot \\ frac (t \\ cdot (4t + 2)) (4t + 1)) \u003d \\ lim_ (t \\ në \\ infty) \\ majtas (\\ majtas (1+ \\ frac (1) (\\ frac (t) ( 3)) \\ drejtë) ^ (\\ frac (t) (3)) \\ djathtas) ^ (\\ frac (6 \\ cdot (2t + 1)) (4t + 1)) \u003d e ^ 3. $$.
Përgjigje: $ \\ lim_ (x \\ to (2)) \\ biggl (3x-5 \\ biggr) ^ (\\ frac (2x) (x ^ 2-4)) \u003d e ^ $ 3.
Shembull Numri 6.
Gjeni limitin $ \\ lim_ (x \\ to \\ infty) \\ majtas (\\ frac (2x ^ 2 + 3) (2x ^ 2-4) \\ drejtë) ^ (3x) $.
Ne gjejmë se çfarë shprehje $ \\ frac (2x ^ 2 + 3) (2x ^ 2-4) është përpjekur (2x ^ 2-4), me kusht $ x \\ për të \\ infty $:
$$ \\ lim_ (x \\ to \\ infty) \\ frac (2x ^ 2 + 3) (2x ^ 2-4) \u003d \\ majtas | \\ frac (\\ infty) (\\ infty) \\ drejtë | \u003d \\ Lim_ (x \\ to \\ infty) \\ frac (2+ \\ frac (3) (x ^ 2)) (2- \\ frac (4) (x ^ 2)) \u003d \\ frac (2 + 0) (2 -0) \u003d 1. $$.
Kështu, në një kufi të caktuar, ne kemi të bëjmë me pasigurinë e llojit prej $ 1 ^ \\ infty $, e cila do të zbulohet duke përdorur kufirin e dytë të shquar:
$$ \\ lim_ (x \\ to \\ infty) \\ majtas (\\ fac (2x ^ 2 + 3) (2x ^ 2-4) \\ drejtë) ^ (3x) \u003d | 1 ^ ^ infty | \u003d \\ Lim_ (x \\ to \\ infty) \\ majtas (1+ \\ frac (2x ^ 2-4) -1 \\ drejtë) ^ (3x) \u003d \\\\ \u003d \\ lim_ (x \\ to \\ Infty) \\ majtas (1+ \\ frac (7) (2x ^ 2-4) \\ drejtë) ^ (3x) \u003d \\ lim_ (x \\ to \\ infty) \\ majtas (1+ \\ frac (1) (\\ frac (2x ^ 2-4) (7)) \\ drejtë) ^ (3x) \u003d \\\\ \u003d \\ lim_ (x \\ to \\ infty) \\ majtas (1+ \\ frac (1) (2x ^ 2-4 ) (7)) \\ djathtas) ^ (\\ frac (2x ^ 2-4) (7) \\ cdot \\ frac (7) (2x ^ 2-4) \\ cdot 3x) \u003d \\ lim_ (x \\ në \\ infty) \\ majtas (\\ majtas (1+ \\ frac (1) (\\ frac (2x ^ 2-4) (7)) \\ djathtas) ^ (2x ^ 2-4) (7)) \\ ( \\ Frac (21x) (2x ^ 2-4)) \u003d e ^ 0 \u003d 1. $$.
Përgjigje: $ \\ lim_ (x \\ në \\ infty) \\ majtas (\\ frac (2x ^ 2 + 3) (2x ^ 2-4) \\ drejtë) ^ (3x) \u003d 1 $.
Kur zgjidh detyrat për gjetjen e kufijve, disa kufizime duhet të mbahet mend në mënyrë që çdo herë që të mos i llogarisë ato përsëri. Kombinimi i këtyre kufijve të njohur, ne do të gjejmë përdorimin e pronave të specifikuara në § 4, kufijtë e rinj. Për lehtësi, ne japim para rasteve më të zakonshme: kufijtë 1 lim x - AXA 2 lim 1 \u003d 0 3 lim x- ± x ± 00 4 Lim -L, \u003d OO x-\u003e o \\ x \\ 5 Lim Sin * - l x -o x 6 lim f (x) \u003d f (a) Nëse f (x) është e vazhdueshme kur dihet se funksioni është i vazhdueshëm, atëherë në vend të gjetjes së limitit, llogarit vlerën e funksionit. Shembull 1. Gjeni Lim (X * -6L: + 8). Që nga shumë-\u003e 2
Funksioni anëtar është i vazhdueshëm, pastaj lim (x * -6x4- 8) \u003d 2 * -6-2 + 8 \u003d 4. X- + 2 x * _2x 4-1 Shembulli 2. Gjeni lim -g. . Së pari, ne gjejmë para-x + 1 x ~ të çështjeve të rrezikshme: Lim [XG - \\ - b) \u003d 12 + 5-1 \u003d 6; Nuk është e barabartë me X-U1 zero, kjo do të thotë që ju mund të aplikoni pronën 4 § 4, atëherë x ™ Unë * "+ · 12 + 5-1" "6 1. Kufiri i denominatorit XX është zero, prandaj , Prona 4 § 4 nuk mund të zbatohet. Që nga numri i numerator-konstant, dhe emëruesi [x2x) -\u003e - 0 në x - 1, atëherë pjesa e tërë rritet për një kohë të pacaktuar në vlerën absolute, dmth. Lim "1 x - * - - 1 x * + x Shembull 4. Gjeni lim \\ -ll * "" "" "" "" "" "limiti i emërtimit është zero: lim (xg-6lg + 8) \u003d 2 * -6-2 + 8 \u003d 0, prandaj X Property 4 § 4 Nuk aplikohet. Por kufiri i numeratorit është gjithashtu zero: lim (x2 - 5d; + 6) \u003d 22 - 5-2-f 6 \u003d 0. Pra, numri i numeratorit dhe emëruesi janë në të njëjtën kohë zero. Megjithatë, numri 2 është rrënja dhe numeratori dhe emëruesi, kështu që fraksioni mund të reduktohet me diferencën X-2 (nga teorema e Mouture). Në fakt, x * -5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x "-6x + 8 ~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" rrjedhimisht, x -f - 6 g x-3 -1 1 Shembull 5. Gjeni lim HP (n integer, pozitiv). X co hp \u003d x * x. . X, P herë si çdo shumëzues rritet për një kohë të pacaktuar, atëherë puna gjithashtu rritet për një kohë të pacaktuar, që është, lim xp \u003d oo. X OO Shembull 6. Gjeni lim HP (n integer, pozitiv). X -\u003e - me hp \u003d x x ... x. Meqë çdo shumëzues rritet në vlerë absolute, duke mbetur negativ, në rastin e shkallës së barabartë, puna do të rritet për një kohë të pacaktuar, duke mbetur pozitiv, që është, lim * n \u003d + oo (me n edhe). * - * - Në rast të shkallës së çuditshme, vlera absolute e punës po rritet, por mbetet negative, i.E. Lim HP \u003d - OO (me të çuditshëm). P - 00 Shembull 7. Gjeni lim. X X - * - CO * Nëse t\u003e vënë, atëherë ju mund të shkruani: m \u003d n + kt ku k\u003e 0. Prandaj, ht b lim - \u003d - \u003d lim - \u003d - \u003d lim x. Up YN X-S\u003e Një X Yu erdhi për shembull 6. Nëse ata përdorën XM I Lim Lim Lim Lim T. X - Rreth X- * YL X -\u003e Co Këtu Numeratori mbetet i vazhdueshëm, dhe emëruesi rritet në vlerë absolute, kështu që limon 0. X- * OO X * Rezultati i këtij shembulli rekomandohet që të mbahet mend në formën e mëposhtme: Funksioni i energjisë rritet më shpejt, aq më shumë tregues i shkallës. $ x_zchg + 7
Shembull 8. Gjeni lim G l -g - \u003d. Në këtë shembull, X- * ® "J *" MRH-OH-O dhe numëruesi dhe emëruesi rriten për një kohë të pacaktuar. Ne ndajmë numerin dhe emëruesin në shkallën e vjetër X, I.E. Kineze, pastaj 3 7_ Shembull 9. Gjeni Lira. duke e bërë transformimin- * g ^, ne të marrë lira .. ^ \u003d lim x co + 3 7 3 që nga lim -5 \u003d 0, lim -, \u003d 0, pastaj kufiri e denominatorit Rade- * ® X X - + - CD X Veins zero, ndërsa kufiri i numeratorit është 1. Prandaj, të gjithë fraksionet rriten për një kohë të pacaktuar, domethënë. 7x hm x- + u Shembull 10. Gjej Lim Llogaritni Kufizimi s emërues, duke kujtuar se cos * -function është e vazhdueshme: Lira (2 + cos x) \u003d 2 + komod \u003d 2. Pastaj x -\u003e - s lim (l-fsin *) Shembull 15. Ne do të gjejmë lim *<*-e>2 dhe lim e "(x" a) \\ poly - + ± ω x ± me stol (l: - a) 2 \u003d z; Që nga (l; -A) 2 është gjithmonë i lënë pas dore dhe për një kohë të pacaktuar rritet së bashku me x, pastaj me x- ± variabël të ri Z- * OS. Prandaj, ne marrim një CT £<*-«)* = X -> ± 00 S \u003d Lim ER \u003d OO (shih vërejtjen në §5). g - * ■ me të ngjashme me lim e ~ (x - a) 2 \u003d lim e ~ z \u003d q, që nga x ± oh m - (x- a) g uljet e pakufizuar në x-\u003e ± oo (shih vërejtjen për §
