Në praktikë, vetëm pikat e referencës nuk janë të mjaftueshme për të lëvizur mjetin, sistemi CNC nuk është i mjaftueshëm, përfaqësimi më i detajuar është i nevojshëm. Për të llogaritur pikat e ndërmjetme dhe lëshimin e komandave të lëvizjes në akset lineare, përdoret një pajisje speciale informatike - interpolator.
Interpolatorët ndahen nga linear dhe rrethore. Interpolator linear përdoret për të testuar lëvizjen drejttilinare të instrumentit. Në hyrje të Interpolatorit, pranohet informacioni mbi koordinatat e pikave referuese, prodhimi për çdo koordinatë formohet nga një sekuencë e impulseve të kërkuara për zhvillimin e një gjeometri të caktuar. Interpolator linear na lejon të punojmë vetëm i drejtpërdrejtë Lëvizje. Megjithatë, të sigurojë i saktë Përputhja e lëvizjes përgjatë direkt të specifikuar është mjaft e vështirë. Trajektorja përfundimtare e lëvizjes përafërsisht i ngjan një linje të thyer (figura më poshtë).
Në procesin e punës, interpolatori i drejtpërdrejtë në mënyrë alternative kontrollon përfshirjen e disqeve. x aks, atëherë y aks (Nëse të drejtpërdrejtë qëndron në aeroplanin XY), duke dërguar numrin e dëshiruar të pulses në makinë. Në figurën e mësipërme, një impuls është dërguar në të drejtën në aksin y, dhe në x - dy pulses. Vlerë d. Përcakton devijimin nga një gjeometri të caktuar. Sepse Rezoluta ju lejon të vendosni një impuls për të lëvizur 0.001 mm, atëherë kurba përfundimtare e thyer mund të konsiderohet i qetë.
Kështu, interpolatori linear llogarit numrin e kërkuar të pulses përgjatë një aksi të veçantë dhe u jep atyre në makinë.
F. - shpejtesia e levizjes;
Për shembull, për programimin e një linje të drejtë të vijës nga pika A. saktësisht B. me shpejtësi 1000 mm / min Është e nevojshme për të formuar kornizën e ardhshme në UE.
Lloji më i thjeshtë dhe i përdorur shpesh i interpolimit lokal është interpolim linear. Është se pikat e specifikuara ( x. i. , y. i.) në ( i \u003d 0. 1, ..., n) janë të lidhura me segmente të drejta dhe funksionin f.(x.) I afrohet thyerja me vertices në këto pika.
Ekuacionet e çdo ndarja të thyer në rastin e përgjithshëm janë të ndryshme. Meqenëse ka intervale n ( x. i. - 1, x. i.), për secilën prej tyre, ekuacioni që kalon drejtpërsëdrejti përmes dy pikave përdoret si ekuacioni i polinomit të interpolimit. Në veçanti, për intervalin I-th, ju mund të shkruani ekuacionin që kalon direkt përmes pikave ( x. i. -1, y. i. -1 ) dhe ( x. i. , y. i.), si
|
y \u003d a i x + b i, x i-1 xx i |
një i \u003d. 
Rrjedhimisht, kur përdorni interpolation lineare, së pari duhet të përcaktoni intervalin në të cilin vlera e argumentit X po bie, dhe pastaj zëvendësoni atë në formulën (*) dhe gjeni vlerën e përafërt të funksionit në këtë pikë
Figura 3-3- Grafiku i varësisë së interpolimit linear.
Ne kryejmë të dhëna eksperimentale
Origjina: \u003d 0 fillimi i grupit të të dhënave - ne e konsiderojmë nga zero
i.: \u003d 1..6 Numri i elementeve në grup
Të dhënat eksperimentale organizohen në dy vektorë 
Perpozimi nga funksionet e integruara të MathCAD
Interpolim linear
Nëse (x i): \u003d Linterp (x, y, x)
Interpolimi i spiunimit kub
CS: \u003d CSPLINE (X, Y)
Ndërtoni një spline kub nga të dhënat eksperimentale
Nëse (x i): \u003d Linterp (x, y, x i)
Interpolimi i spline
Ne vendosëm rendin e interpolimit. Në vektor u duhet të jetë në (n-1) më pak elemente sesa në vektor x., dhe elementi i parë duhet të jetë më pak ose i barabartë me elementin e parë x., dhe kjo e fundit është më e madhe ose e barabartë me elementin e fundit x.
BS: \u003d bspline (x, y, u, n)
Krijo një spline në të dhënat eksperimentale
BSF (X I): \u003d (BS, X, Y, X I)
Ne ndërtojmë një grafik të të gjitha funksioneve të përafrimit në të njëjtin plan koordinate.
Figura 4.1-grafiku i të gjitha funksioneve të përafrimit në të njëjtin plan koordinate.
Në matematikën kompjuterike, interpolimi i funksioneve luan një rol të rëndësishëm, dmth. Ndërtimi i funksionit të caktuar të një tjetri (si rregull, më i thjeshtë), vlerat e të cilave përputhen me vlerat e funksionit të specifikuar në disa pika të numrave. Për më tepër, interpolimi ka kuptim praktik dhe teorik. Në praktikë, shpesh lind problemi i rivendosjes së një funksioni të vazhdueshëm sipas vlerave të tryezës, për shembull, të marra gjatë disa eksperimenteve. Për të llogaritur shumë funksione, rezulton për t'i sjellë ato në mënyrë efektive me polinomi ose funksione racionale të pjesshme. Teoria e interpolimit përdoret në ndërtimin dhe shqyrtimin e formulave quadrime për integrimin numerik, për të marrë metoda për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale dhe integrale. Disavantazhi kryesor i interpolimit polinom është se ajo është e paqëndrueshme në një nga rrjetet më të përshtatshme dhe të përdorura shpesh - një rrjet me nyje të barabarta. Nëse detyra lejon, ky problem mund të zgjidhet duke zgjedhur një rrjet me nyjet Chebyshev. Nëse ne nuk mund të zgjedhim lirisht nyjet e interpolimit ose thjesht ne kemi nevojë për një algoritëm, jo \u200b\u200bshumë të kërkuar për të zgjedhur nyjet, atëherë interpolimi racional mund të jetë një alternativë e përshtatshme për interpolimin polinom.
Avantazhet e interpolimit të spline përfshijnë shpejtësinë e lartë të përpunimit të algoritmit informatikë, pasi që spline është një funksion polinomi i pjesëruar dhe gjatë interpolimit, të dhënat janë të përpunuara njëkohësisht nga një numër i vogël i pikave të matjes që i përkasin fragmentit, i cili aktualisht është duke u shqyrtuar. Sipërfaqja e interpoluar përshkruan ndryshueshmërinë hapësinore të një shkalle të ndryshme dhe në të njëjtën kohë është e qetë. Rrethanat e fundit e bëjnë të mundur një analizë të drejtpërdrejtë të gjeometrisë dhe topologjisë së sipërfaqes duke përdorur procedurat analitike.
Interpolation. Prezantimi Vendosja e përgjithshme e detyrës
Gjatë zgjidhjes së problemeve të ndryshme praktike, rezultatet e hulumtimit bëhen në formën e tabelave që shfaqin varësinë e një ose më shumë vlerave të matura nga një parametër përcaktues (argument). Kjo lloj tabele zakonisht paraqitet në formën e dy ose më shumë rreshtave (kolonave) dhe përdoren për të formuar modele matematikore.
Funksionet e specifikuara në modelet matematikore zakonisht janë të shkruara në tabelat e formës:
Y1 (x) |
Y (x0) |
Y (x1) |
Y (xn) |
||
YM (X) |
Y (x0) |
Y (x1) |
Y (xn) |
Informacioni i kufizuar i ofruar nga tabela të tilla në disa raste kërkon të marrë vlerat e funksioneve YJ (x) (j \u003d 1.2, ..., m) në pikat x, të cilat nuk po përputhen me pikat nodal të tabelës Xi (i \u003d 0,1,2, ..., n). Në raste të tilla, është e nevojshme të përcaktohet një shprehje analitike φ J (x) për të llogaritur vlerat e përafërta të funksionit të funksionit Y J (x) në pikat e specifikuara në mënyrë arbitrare x. Funksioni φ J (x) i përdorur për të përcaktuar vlerat e përafërta të funksionit Y J (x) quhet një funksion përafrues (nga afërsia latine - afrohet). Afërsia e funksionit përafrues φ J (x) në funksionin e përafërt Y J (X) sigurohet duke zgjedhur algoritmin përkatës përafrues.
Të gjitha konsideratat dhe konkluzionet e mëtejshme që ne do të bëjmë për tabelat që përmbajnë të dhënat fillestare të një funksioni në studim (I.E. për tabelat me m \u003d 1).
Më shpesh për të përcaktuar funksionin φ (x), përdoret një deklaratë, e quajtur formulimi i problemit të interpolimit.
Në këtë formulim klasik të problemit të interpolimit, është e nevojshme të përcaktohet funksioni i përafërt analitik φ (x), vlerat e të cilave në pikat nodal x i përkojnë me vleratY (x i) tabela burimore, i.e. Kushte
φ (x i) \u003d y i (i \u003d 0,1,2, ..., n) |
Funksioni i përafërt φ (x) i ndërtuar në këtë mënyrë lejon marrjen e një përafrim mjaft të ngushtë me funksionin e interpoluar y (x) brenda intervalit të vlerave të argumentit [x 0; X n] përcaktuar nga tabela. Kur vendosni vlerat e argumentit X, nuk i përkasinkjo interval, problemi i interpolimit konvertohet në detyrën e ekstrapolimit. Në këto raste saktësi
vlerat e fituara duke llogaritur vlerat e funksionit φ (x) varen nga distanca e vlerës së argumentit x nga x 0, nëse x< Х 0 , или от Х n , если Х > X n.
Në modelimin matematikor, funksioni interpolues mund të përdoret për të llogaritur vlerat e përafërta të funksionit në studim në pikat e ndërmjetme të nën-studimeve [X i; X I + 1]. Një procedurë e tillë është quajtur tabela e vulës.
Algoritmi i interpolimit përcaktohet me metodën për llogaritjen e vlerave të funksionit φ (x). Mishërimi më i thjeshtë dhe i dukshëm i funksionit të interpolimit është të zëvendësojë funksionin e studiuar y (x) në intervalin [X i; X i + 1] me një vijë të drejtë që lidh pikat y i, y i + 1. Kjo metodë quhet një metodë interpolimi lineare.
Me interpolation lineare, vlera e funksionit në pikën X, e cila është midis nyjeve x i dhe x i + 1, përcaktohet nga formula e një linje të drejtë që lidh dy pikat e tabelës ngjitur
Y (x) \u003d y (xi) + |
Y (xi + 1) - y (xi) |
(X - xi) (i \u003d 0,1,2, ..., n), |
|
X i + 1 - x i |
|||
Në Fig. 1 tregon një shembull të një tabele të marrë si rezultat i matjeve të një vlere të caktuar y (x). Rreshtat, tabela e burimit janë theksuar në mbushje. Në të djathtë të tabelës ndërtoi një diagramë pikë që korrespondon me këtë tabelë. Vula e tabelës është bërë për shkak të llogaritjes nga formula
(3) Vlerat e funksionit të përafërt në pikat e X që korrespondojnë me shufrat e mesme (i \u003d 0, 1, 2, ..., n).
Fig.1. Tabela e kompletuar e funksionit y (x) dhe diagramit përkatës
Kur shqyrton orarin në Fig. 1 Mund të shihet se pikat e fituara si rezultat i vulës së tryezës duke përdorur metodën lineare të interpolimit qëndrojnë në seksionet e pikave të drejtpërdrejta të lidhjes së tabelës së burimit. Saktësi lineare
interpolimi, në thelb varet nga natyra e funksionit të interpoluar dhe në distancën midis nyjeve të tabelës X i, x i + 1.
Natyrisht, nëse funksioni është i qetë, atëherë, madje edhe në një distancë relativisht të madhe midis nyjeve, grafiku i ndërtuar duke lidhur pikat e linjave të drejta, ju lejon të vlerësoni me saktësi saktësisht karakterin e funksionit y (x). Nëse funksioni ndryshon shumë shpejt, dhe distancat midis nyjave janë të mëdha, funksioni interpolues linear nuk lejon të marrë një përafrim mjaft të saktë për një funksion të vërtetë.
Funksioni i interpolimit linear mund të përdoret për analizën e përgjithshme paraprake dhe vlerësimin e korrektësisë së rezultateve të interpolimit të marra nga metoda të tjera më të sakta. Një vlerësim veçanërisht i rëndësishëm i tillë bëhet në rastet kur llogaritjet kryhen manualisht.
Metoda e interpolimit të funksionit polinom kanonik bazohet në ndërtimin e një funksioni interpolues si një polinom në formularin [1]
φ (x) \u003d pn (x) \u003d c0 + c1 x + c2 x 2 + ... + cn x n |
Koeficientët me polynomials I (4) janë parametra të lirë të interpolimit, të cilat përcaktohen nga kushtet e Lagranzhit:
Pn (xi) \u003d yi, (i \u003d 0, 1, ..., n)
Duke përdorur (4) dhe (5) shkruajmë një sistem të ekuacioneve
C X + C X 2 |
C x n \u003d y |
|||||||
C X + C X 2 |
C X N. |
|||||||
C x 2. |
C x n \u003d y |
|||||||
Zgjidhje vektori me i (i \u003d 0, 1, 2, ..., n) të sistemit të ekuacioneve algjebrike lineare (6) ekziston dhe mund të gjendet nëse nuk ka përkondi në mesin e nyjeve X I. Përcaktuesi i sistemit (6) quhet përcaktues i Vandermond1 dhe ka një shprehje analitike [2].
1 Vandermond determinant quhet përcaktues
Është e barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse xi \u003d xj për disa. (Materiale Wikipedia - Enciklopedia e Lirë)
Për të përcaktuar vlerat e koeficientëve me I (i \u003d 0, 1, 2, ..., n)
ekuacionet (5) mund të shkruhen në formë vektoriale të matricës
A * c \u003d y,
ku një, matricën e koeficientëve të përcaktuara nga tabela e gradave të vektorit të argumenteve x \u003d (xi 0, xi, xi 2, ..., xin) t (i \u003d 0, 1, 2, ..., n)
x0 2. |
x0 n. |
||||||||
xN 2. |
xn n. |
||||||||
C është një kolonë vektoriale e koeficientëve me I (i \u003d 0, 1, 2, ..., n), dhe Y - Vector-kolona e vlerave yi (i \u003d 0, 1, 2, ..., n) të funksionit të interpoluar në nyjet e interpolimit.
Zgjidhja e këtij sistemi të ekuacioneve algjebrike lineare mund të merret nga një nga metodat e përshkruara në [3]. Për shembull, nga formula
C \u003d a - 1 y, |
ku A -1 është matrica e matricës anësore a. Për të marrë një matricë të kundërt A -1, ju mund të përdorni funksionin e bronzit (), i cili është i përfshirë në grupin e funksioneve standarde të programit të Microsoft Excel.
Pas vlerave të koeficientëve me unë përcaktohen duke përdorur funksionin (4), vlerat e funksionit të interpoluar mund të llogariten për çdo vlerë të argumentit x.
Ne shkruajmë matricën A për tabelën e treguar në Fig. 1, pa marrë parasysh linjat e tabelës së nënshkrimit.
Fig.2 Matrica e sistemit të ekuacioneve për llogaritjen e koeficientëve të polinomit kanonik
Duke përdorur funksionin e bronzit (), marrim matricën A -1 matricën e kundërt A (Fig. 3). Pas kësaj, sipas formulës (9), ne marrim vektorin e koeficientëve C \u003d (C 0, C 1, C2, ..., C 1, C2, ..., C n) t, treguar në fig . katër.
Për të llogaritur vlerat e polinomit kanonik në kanalin e kolonës kantonike Y, që korrespondon me vlerën x 0, ne prezantoj formulën e konvertuar në formulën e mëposhtme që korrespondon me linjën zero të sistemit (6)
\u003d ((((C5 |
* x 0 + C 4) * x 0 + C 3) * x 0 + C 2) * x 0 + C 1) * x 0 + C 0 |
|
C0 + X * (C1 + X * (C2 + X * (C3 + X * (C4 + X * C5)))))))
Në vend të regjistrimit të "C i" në formulën e futur në një tabelë Excel, një referencë absolute duhet të vendoset në qelizën korresponduese që përmban këtë koeficient (shih Fig. 4). Në vend të "x 0" - një referencë relative në qelinë e kolonës X (shih Fig. 5).
Y Canonical (0) Vlerat që përputhen me vlerën në qelizën Y Lin (0). Kur shtrihen formulën e regjistruar në qelizën kanonike (0), rastësinë dhe vlerat e y canonical (i) që korrespondon me pikat nodal të fillestare
tabelat (shih Fig. 5).
Fik. 5. Listat e ndërtuara në tabelat e interpolimit linear dhe kanonikë
Krahasimi i grafikëve të funksioneve të ndërtuara sipas tabelave të llogaritura nga formulat lineare dhe kanonike të interpolimit, ne shohim në një numër nyjesh të ndërmjetme një devijim të rëndësishëm të vlerave të fituara duke përdorur formula lineare dhe kanonike të interpolimit. Është më e arsyeshme të gjykohet saktësia e interpolimit, në bazë të marrjes së informacionit shtesë mbi natyrën e procesit të simuluar.
Ky është kapitulli nga Bill Gelen.
Detyra: Disa probleme të dizajnit të inxhinierisë kërkojnë përdorimin e tabelave për të llogaritur vlerat e parametrave. Meqenëse tabelat janë diskrete, projektuesi përdor një interpolim linear për të marrë një vlerë të parametrave të ndërmjetme. Tabela (Figura 1) përfshin lartësinë mbi terren (parametri i kontrollit) dhe shpejtësia e erës (parametri i llogaritur). Për shembull, nëse keni nevojë të gjeni shpejtësinë e erës, që korrespondon me lartësinë prej 47 metrash, atëherë formula duhet të aplikohet: 130 + (180-130) * 7 / (50 - 40) \u003d 165 m / s.
Shkarko shënim në format ose, shembuj në format
Po sikur të ketë dy parametra të kontrollit? A është e mundur të kryeni llogaritjet duke përdorur formulën e njëjtë? Tabela (Figura 2) tregon vlerat e presionit të erës për lartësi të ndryshme dhe madhësinë e strukturave span. Është e nevojshme për të llogaritur presionin e erës në një lartësi prej 25 metrash dhe madhësinë e hapësirës 300 metra.
Zgjidhja: Ne e zgjidhim problemin duke zgjeruar metodën e përdorur për një rast me një parametër të kontrollit. Kryeni hapat e mëposhtëm.
Filloni nga tabela e treguar në Fig. 2. Shto qelizat burimore për lartësi dhe hapësirë \u200b\u200bnë J1 dhe J2, respektivisht (Fig. 3).
Fik. 3. Formulat në qelizat J3: J17 shpjegoni punën e megaformula
Për lehtësinë e përdorimit, formulat përcaktojnë emrat (Fig. 4).
Gjurmoni punën e formulës në mënyrë të vazhdueshme duke lëvizur nga qeliza J3 në qelizën J17.
Nga zëvendësimi i kundërt vijues, mblidhni megaportulu. Kopjoni tekstin e formulës nga qeliza J17 në J19. Zëvendësoni referencën në J15 në vlerën në vlerën e J15: J7 + (J8-J7) * J11 / J13. Etj. Rezulton një formulë që përbëhet nga 984 karaktere që nuk mund të perceptohen në këtë formë. Ju mund ta shikoni atë në skedarin e bashkangjitur të Excel. Nuk jam i sigurt se ky lloj megaformula është i dobishëm në përdorim.
Përmbledhje: Interpolimi linear përdoret për të marrë një vlerë të parametrave të ndërmjetme, nëse vlerat e tabelës janë të vendosur vetëm për kufijtë e vargjeve; Metoda e llogaritjes për dy parametra kontrolli është propozuar.
Ky term ka kuptime të tjera, shih interpolimin. Në funksion, shih: Interpolynta.Interpolim, interpolues (nga Lat. ndër-polis - « zbutur, riprodhuar, përditësuar; I transformuar") - Në llogaritjen e matematikës, metodën e gjetjes së vlerave të ndërmjetme të vlerës sipas grupit ekzistues diskrete të vlerave të njohura. Termi "interpolation" për herë të parë e përdori John Valis në traktatin e tij "aritmetikë të pafund" (1656).
Në një analizë funksionale, interpolimi i operatorëve linear është një seksion që e konsideron hapësirën e banach si elemente të një kategorie.
Shumë nga ata që përballen me llogaritjet shkencore dhe inxhinierike shpesh duhet të veprojnë me grupe të vlerave të fituara nga me përvojë ose me marrjen e mostrave të rastësishme. Si rregull, në bazë të këtyre grupeve, është e nevojshme të ndërtohet një funksion në të cilin vlerat e tjera të marra mund të bien me saktësi të lartë. Kjo detyrë quhet përafrim. Interpolimi quhet një lloj përafrimi i tillë, në të cilin kurba e funksionit të ndërtuar kalon saktësisht përmes pikave të disponueshme të të dhënave.
Ekziston gjithashtu një problem afër interpolimit, i cili është për të përafruar çdo funksion kompleks të një funksioni tjetër, më të thjeshtë. Nëse disa funksione janë shumë të ndërlikuara për llogaritjet prodhuese, mund të përpiqeni të llogarisni vlerën e saj në disa pika dhe t'i ndërtoni ato, domethënë, të interpoloni, funksionin më të thjeshtë. Natyrisht, përdorimi i një funksioni të thjeshtuar nuk lejon të marrë të njëjtat rezultate të sakta që do të jepet funksioni fillestar. Por në disa klasa, detyrat arritën fitimet në thjeshtësinë dhe shkalla e llogaritjes mund të përkthejë gabimin që rezulton në rezultatet.
Duhet gjithashtu të përmendet dhe një shumëllojshmëri krejtësisht e ndryshme e interpolimit matematik, i njohur si "interpolimi i operatorëve". Puna klasike për interpolimin e operatorëve përfshin teoremen Riesz-Thorin dhe Teoremin Marcinciewicz Teorema (Marcinkiewicz Teorema), të cilat janë bazë për një shumëllojshmëri të veprave të tjera.
Konsideroni një sistem të pikave jo-platformë xi (\\ displaystyle x_ (i)) (i ∈ 0, 1, ..., n (\\ displaystyle i \\ në (0.1, \\ dots, n)) nga disa rajoni D ( \\ DisplayStyle D). Le vlerat e funksionit f (\\ displaystyle f) njihen vetëm në këto pika:
Y i \u003d f (x i), i \u003d 1, ..., n. (\\ displaystyle y_ (i) \u003d f (x_ (i)), \\ quad i \u003d 1, \\ ldots, n.)
Detyra e interpolimit është që të kërkojë një funksion të tillë f (\\ displaystyle f) nga një klasë e caktuar e funksioneve, të cilat
F (x i) \u003d y i, i \u003d 1, ..., n. (\\ displaystyle f (x_ (i)) \u003d y_ (i), \\ quad i \u003d 1, \\ ldots, n.)
1. Le të kemi një funksion të tabelës, si më poshtë përshkruar më poshtë, e cila për disa x (\\ displaStyle X) vlerëson vlerat përkatëse të f (\\ displaystyle f):
X (\\ displaystyle x) f (x) (\\ displaystyle f (x))
| 0 | |
| 1 | 0,8415 |
| 2 | 0,9093 |
| 3 | 0,1411 |
| 4 | −0,7568 |
| 5 | −0,9589 |
| 6 | −0,2794 |
Interpolimi na ndihmon të mësojmë se çfarë vlere mund të ketë një funksion të tillë në një pikë tjetër përveç pikave të specifikuara (për shembull, x. = 2,5).
Deri më sot, ka shumë mënyra të ndryshme për të interpoluar. Zgjedhja e algoritmit më të përshtatshëm varet nga përgjigjet e pyetjeve: si metodë e saktë e selektueshme, cilat janë kostot e përdorimit të tij, sa i butë është një funksion interpolimi, i cili shuma e pikave të të dhënave që kërkon, etj.
2. Gjeni një vlerë të ndërmjetme (metoda e interpolimit linear).
| 6000 | 15.5 |
| 6378 | ? |
| 8000 | 19.2 |
15.5 + (6378 - 6000) 8000 - 6000 * (19.2 - 15.5) 1 \u003d 16.1993 (\\ Displaystyle \u003d 15.5 + (\\ frac ((6378000)) (\\ frac ((19.2- 15.5)) (1)) \u003d 16.1993)
Një shembull i interpolimit linear për funksionin y \u003d 3 x + x 2 (\\ displaystyle y \u003d 3x + x ^ (2)). Përdoruesi mund të hyjë në një numër nga 1 në 10.
Mënyra më e thjeshtë për të interpoluar është interpolimi nga fqinji më i afërt.
Në praktikë, interpolimi përdoret më shpesh nga polinomi. Kjo është kryesisht për shkak të faktit se polinomet janë të lehta për t'u llogaritur, është e lehtë për të gjetur analitikisht derivatet e tyre dhe shumë polinomi të shtrënguara në hapësirën e funksioneve të vazhdueshme (teorema e Weierstrass).
në klasën e funksioneve nga hapësira C2, grafikët e të cilave kalojnë nëpër pikat e grupit (xi, yi), i \u003d 0, 1 ,. . . , m.
Vendimi. Ndër të gjitha funksionet që kalojnë nëpër pikat mbështetëse (xi, f (xi)) dhe i përkasin hapësirës së përmendur, është spline kub (x) që plotëson kushtet kufitare s00 (a) \u003d s00 (b) \u003d 0 , ofron një ekstrem (minimum) funksional I (f).
Shpesh në praktikë ekziston një detyrë për të kërkuar vlerën e specifikuar të funksionit të vlerës së argumentit. Kjo detyrë zgjidhet nga metodat e interpolimit të kundërt. Nëse funksioni i specifikuar i monotonës, atëherë interpolimi i kundërt është më i lehtë për të bërë të mundur zëvendësimin e funksionit të argumentit dhe anasjelltas dhe interpolimit të mëvonshëm. Nëse funksioni i specifikuar nuk është monoton, është e pamundur të përdoret kjo teknikë. Pastaj, pa ndryshuar rolet e funksionit dhe argumentit, shkruani një formulë një ose një tjetër interpolation; Përdorimi i vlerave të njohura të argumentit dhe, duke marrë parasysh funksionin e njohur, zgjidhjen e ekuacionit që rezulton në lidhje me argumentin.
Vlerësimi i anëtarit të mbetur kur përdorimi i pritjes së parë do të jetë i njëjtë me atë të interpolimit të drejtpërdrejtë, vetëm derivatet nga funksioni i drejtpërdrejtë duhet të zëvendësohen me derivatet nga funksioni i ushqimit. Ne vlerësojmë gabimin e metodës së dytë. Nëse jemi të specifikuar një funksion f (x) dhe ln (x) - polinomi i interpolimit të Lagranzhit, i ndërtuar për këtë funksion përgjatë nyjeve X0, X1, X2 ,. . . , XN, atëherë
f (x) - ln (x) \u003d (n + 1)! (X- x0). . . (X - xn).
Supozoni se ne kemi nevojë për të gjetur vlerën e X¯, në të cilën f (¯x) \u003d y¯ (vendosur y¯). Ne do të zgjidhim ekuacionin e LN (X) \u003d y¯. Ne marrim një kuptim të caktuar të X¯. Duke zëvendësuar në ekuacionin e mëparshëm, ne marrim:
Mn + 1. |
f (x¯) - ln (x¯) \u003d f (x¯) - y¯ \u003d f (x¯) - f (¯x) \u003d |
|||||||||||
|
Duke përdorur formulën langrowa, ne marrim |
|||||||||||
|
(X¯ - x¯) f0 (η) \u003d |
|||||||||||
|
ku η është midis X¯ dhe X¯. Nëse - intervali që përmban X¯ dhe X¯ dhe min |
|||||||||||
nga shprehja e fundit nënkupton:
| X¯ - X¯ | 6m1 (n + 1)! | $ n (x¯) | .
Në këtë rast, natyrisht, supozohet se ekuacioni ln (x) \u003d y¯ kemi vendosur me siguri.
Teoria e interpolimit përdoret gjatë hartimit të tabelave të funksioneve. Duke marrë një detyrë të tillë, matematikan duhet të vendosë për fillimin e llogaritjes një numër çështjesh. Formula duhet të zgjidhet, e cila do të llogaritet. Kjo formulë mund të ndryshojë nga faqja në vend. Zakonisht, formulat për llogaritjen e vlerave të funksionit janë të rënda dhe për këtë arsye ato përdoren për të marrë disa vlera referimi dhe pastaj, me anë të nënshtrimit, ne e themi tryezën. Formula që jep vlerat e referencës së funksionit duhet të sigurojë saktësinë e dëshiruar të tabelave me nënndarjen e ardhshme. Nëse keni nevojë të bëni tabela me një hap të vazhdueshëm, së pari duhet të përcaktoni hapin e saj.
Mbrapa së pari më parë Subjekti tjetër i fundit
Më shpesh, tabela e funksioneve janë përpiluar në mënyrë që një interpolim linear është i mundur (që është, interpolation duke përdorur dy anëtarët e parë të formulës Taylor). Në këtë rast, anëtari i mbetur do të jetë
R1 (X) \u003d F00 (ξ) H2T (T - 1).
Këtu ξ i takon intervalit midis dy vlerave të tabelës ngjitur të argumentit, në të cilin X, dhe T është përfunduar në mes 0 dhe 1. Produkti T (T - 1) merr modulin më të madh
vlera në T \u003d 12. Kjo vlerë është e barabartë me14. Kështu që,
Duhet të mbahet mend se pranë këtij gabimi - gabimi i metodës, me llogaritjen praktike të vlerave të ndërmjetme, do të ketë ende një gabim të patrembur dhe saktësinë e rrumbullakosjes. Siç kemi parë më parë, gabimi i venitur në interpolation lineare do të jetë i barabartë me gabimin e vlerave të funksionit të tabeluar. Gabimi i rrumbullakosjes do të varet nga informatika dhe nga programi i llogaritjes.
Mbrapa së pari më parë Subjekti tjetër i fundit
dallimet e ndara të rendit të dytë, 8 Rendi i Parë, 8
spline, 15.
nyjet e interpolimit, 4
Mbrapa së pari më parë Subjekti tjetër i fundit
Formula për interpolimin e të dhënave tabelare
Të përdorura në një veprim të dytë kur shuma e NHP (Q, T) nga gjendja ka një vlerë të ndërmjetme midis 100 ton dhe 300 ton.
(Nje perjashtim: Nëse Q, me kusht të barabartë me 100 ose 300, atëherë interpolimi nuk është i nevojshëm).
y. o. - Numri juaj fillestar i NHP nga gjendja, në ton
(korrespondon me letrën Q)
y. 1 – më i vogël
(Nga Tabela 11-16, zakonisht e barabartë me 100).
y. 2 – më shumë Më të afërt me vlerën tuaj të numrit të NHP, në ton
(Nga Tabela 11-16, zakonisht e barabartë me 300).
x. 1 y. 1 (x. 1 Të vendosura në të kundërtën y. 1 ), km.
x. 2 - Vlera e tabelës së thellësisë së përhapjes së një re të ajrit të infektuar (g t), respektivisht y. 2 (x. 2 Të vendosura në të kundërtën y. 2 ), km.
x. 0 - Vlera dytësore G. t. i rëndësishëm y. o. (sipas formulës).
Shembull.
NHR - klori; Q \u003d 120 t;
Lloji i SVSP (shkalla e rezistencës vertikale të ajrit) - inversion.
Per te gjetur G. t. - Vlera e tabelës së thellësisë së përhapjes së një reje ajrore të infektuar.
Ne shohim tabelat 11-16 dhe gjejmë të dhënat që korrespondojnë me gjendjen tuaj (klor, inversion).
Përshtatet tabelën 11.
Zgjidh vlerat y. 1 , y. 2, x. 1 , x. 2 . I rëndësishëm - Shpejtësia e erës merr 1 m / s., Merrni temperaturën - 20 OS.
Ne zëvendësojmë vlerat e zgjedhura në formulën dhe gjejmë x. 0 .
I rëndësishëm - Llogaritja është e saktë nëse x. 0 do të ketë një vlerë diku midis x. 1 , x. 2 .
Sugjeruar nga algorithm Lagrange për ndërtimin e interpolimit
funksionet sipas tabelave (1) përfshin ndërtimin e një polinomi të interpolimit ln (x) në formën e
Është e qartë se zbatimi i kushteve për (10) (11) përcakton zbatimin e kushteve (2) të formulimit të problemit të interpolimit.
Li (x) regjistrohen si më poshtë.
Vini re se asnjë shumëzues në emëruesin e formulës (14) nuk është i barabartë me zero. Llogaritja e vlerës së konstanteve të CI, ju mund t'i përdorni ato për të llogaritur vlerat e funksionit të interpoluar në pikat e specifikuara.
Formula e polinomeve të interpolimit të Lagranzhit (11) duke marrë parasysh formulat (13) dhe (14) mund të regjistrohen në formë
|
qi (x - x0) (x - x1) k (x - xi -1) (x - xi +1) k (x - xn) |
Përdorimi i drejtpërdrejtë i formulës së Lagranzhit çon në një numër të madh të informatikës me një tip. Për tabelat e një dimensioni të vogël, këto llogaritjet mund të kryhen si manualisht dhe në mjedisin e programit.
Në fazën e parë, e konsideroni algoritmin e llogaritjeve të kryera me dorë. Në të ardhmen, llogaritjet e njëjta duhet të përsëriten në mjedis.
Microsoft Excel ose OpenOffice.org Calc.
Në Fig. 6 tregon një shembull të tabelës burimore të funksionit të interpoluar të përcaktuar nga katër nyje.
Fig.6. Tabela që përmban të dhënat e burimit për katër nyje të funksionit të interpoluar
Në kolonën e tretë të tabelës, ne shkruajmë vlerat e koeficientëve qi të llogaritur nga formulat (14). Më poshtë është rekordi i këtyre formulave për n \u003d 3.
q0 \u003d y0 / (x0-X1) / (x0-X2) / (x0-X3) Q1 \u003d y1 / (X1-x0) / (X1 X2) / (X1-X3) (16) Q2 \u003d Y2 / (X2 -x0) / (x2-x1) / (x2-x3) Q3 \u003d y3 / (x3-x0) / (x3-x1) / (x3-x2)
Hapi tjetër në zbatimin e llogaritjeve manuale është llogaritjet e vlerave Li (X) (j \u003d 0,1,2,3), të kryera nga formula (13).
Ne i shkruajmë këto formula për tabelën e tabelës me katër nyje në shqyrtim:
l0 (x) \u003d Q0 (x - X1) · (x - X2) · (x-X3),
l1 (x) \u003d Q1 (x - x0) · (x - x2) · (x-x3),
l2 (x) \u003d P2 (x - X0) · (x - X1) · (x - X3), (17) L3 (x) \u003d Q3 (x - x0) · (x - X1) · (x - X2) .
Ne llogarisim vlerat e polinomeve Li (xj) (j \u003d 0,1,2,3) dhe shkruaj ato në qelizat e tabelës. Vlerat e funksionit (X), sipas formules (11) do të merret si rezultat i mbledhje e valuesli (XJ) në rreshtave.
Formati i tabelës, i cili përfshin kolonat e vlerave të llogaritura të Li (XJ) dhe vlerat e kolonës (x), është paraqitur në Fig. 8.
Fik. 8. Tabela me llogaritje manuale, bërë sipas formulës (16), (17) dhe (11) për të gjitha vlerat e argumentit XI
Plotësimi i formimit të tabelës së treguar në Fig. 8, sipas formulës (17) dhe (11), është e mundur për të llogaritur vlerën e funksionit interpoluara për çdo vlerë të argumentit x. Per shembull, për funksionet \u003d 1 llogaritur vlerat e LI (1) ( i \u003d 0,1,2,3):
l0 (1) \u003d 0.7763; L1 (1) \u003d 3,5889; L2 (1) \u003d - 1,5155; l3 (1) \u003d 0.2966.
Përmbledhja e vlerave të Li (1) Merrni vlerën e ndërfaqes (1) \u003d 3,1463.
Zbatimi i algoritmit të interpolimit fillon, si dhe me llogaritjet manuale nga regjistrimi i formulës për llogaritjen e koeficientëve qi në Fig. 9 tregon kolonat e tabelës me vlerat e specifikuara të argumentit, funksionin e interpoluar dhe koeficientët. Në të djathtë të kësaj tabele, formulat regjistruara në qelizat kolona janë dhënë për të llogaritur vlerat e coefficientsqi.
sun 2: "\u003d B2 / ((A2-A3) * (A2-A4) * (A2-A5))" q0 æ
sC3: "\u003d B3 / ((A3-A4) * (A3-A5) * (A3-A2))" æ q1
sUN4: "\u003d B4 / ((A4-A5) * (A4-A2) * (A4-A3))" æ Q2
sun5: "\u003d B5 / ((A5-A2) * (A5-A3) * (A5-A4))" æ Q3
Fik. 9 Tabela e koeficientëve qi dhe formulat kompjuterike
Pas hyrjes në Formula Q0 në qelizën C2, ajo është tërhequr nga qelizat nga C3 deri në C5. Pas kësaj, formulat në këto qeliza përshtaten në përputhje me (16) në formën e treguar në Fig. nëntë.
Yurch (xi), Realizimi i formulës (17), shkruani formulën për llogaritjen e vlerave të Li (X) (i \u003d 0,1,2,3) në qelizat e kolonave d, e, f dhe G. në celularin për të llogaritur Vlera e l0 (x0), shkruani formulën:
\u003d $ C $ 2 * ($ A2- $ A $ 3) * ($ A2- $ A $ 4) * ($ A2- $ A $ 5),
ne marrim vlerat e L0 (XI) (I \u003d 0,1,2,3).
Formati i referencës $ A2 bën të mundur zgjatjen e formulës për kolonën, F, G për të formuar formulat kompjuterike për llogaritjen (x0) (i \u003d 1,2,3). Kur shtrirja e formulës në linjë, argumentet e kolonës së indeksit nuk ndryshon. Për llogaritjen (x0) (i \u003d 1,2,3), pas shtrirjes së formulës0 (x0), është e nevojshme t'i rregulloni ato sipas formulave (17).
Institucioni N Poster Excel Formula për SummationLi (X) nga formula
(11) algoritëm.
Në Fig. 10 tregon një tabelë të zbatuar në programin e Microsoft Excel. Shenja e korrektësisë së formulave të regjistruara në qelizat e regjistruara në qeliza dhe operacionet kompjuterike të bëra është matrica diagonale që rezulton (xj) (i \u003d 0,1,2,3), (j \u003d 0,1,2 , 3), duke përsëritur rezultatet e dhëna në Fig. 8, dhe kolona e vlerave të përputhjes me vlerat e funksionit të interpoluar në nyjet e tabelës burimore.
Fik. 10. Tabela e vlerave te Li (XJ) (J \u003d 0,1,2,3), dhe, XJ (XJ)
Për të llogaritur vlerat në disa pika të ndërmjetme
qelizat e një kolonë, duke filluar me cells6, hyjnë vlerat e argumenteve për të cilat është e nevojshme për të përcaktuar vlerat e funksionit interpoluar. Nxjerr në pah
në linjën e fundit (5) të tabelës së qelizës OTL0 (XN) Doyrach (XN) dhe zgjas formulat e regjistruara në qelizat e zgjedhura në vargun që përmban të fundit
vlera e specifikuar e argumentit x.
Në Fig. 11 tregon një tabelë në të cilën vlerat e vlerës së funksionit llogariten në tre pika: x \u003d 1, x \u003d 2 dhe x \u003d 3. Tabela paraqiti një kolonë shtesë me numrin e tabelës së të dhënave fillestare.
Fik. 11. Llogaritja e vlerave të funksionit të interpoluar duke përdorur formulat e Lagranzhit
Për qartësi më të madhe të ekranit të rezultateve të interpolimit, ne ndërtojmë një tabelë që përfshin një kolonë të urdhëruar për të rritur vlerat e argumentit x, kolonën e vlerave burimore të funksionit (x) dhe kolonës
Ivan Shestakovich
Interpolimi më i thjeshtë, por shpesh jo mjaft i saktë është linear. Kur ju tashmë keni dy pika të njohura (x1 U1) dhe (Y2 x2), dhe ju duhet të gjeni vlerat në një ditë të disa X e cila është në mes X1 dhe X2. Pastaj formula është e thjeshtë.
Y \u003d (U2-u1) * (x-X1) / (X2-X1) + u1
Nga rruga, kjo formulë punon dhe në vlerat e X jashtë hendekut x1..x2, por kjo tashmë është quajtur një ekstracupim dhe në një distancë të konsiderueshme nga ky hendek jep një gabim shumë më të madh.
Ka shumë mjete të tjera. Metodat e interpolimit - Unë ju këshilloj të lexoni një tutorial ose zhurmë dhe internet.
Metoda e interpolimit grafik nuk është e përjashtuar - në manual për të aguar orarin përmes pikave të njohura dhe për të dëshiruar x nga grafika e u.;)
Novelë
Ju keni dy kuptime. Dhe përafërsisht varësia (lineare, kuadratike, ..)
Orari i këtij funksioni kalon përmes dy pikave tuaja. Ju keni nevojë për një vlerë diku midis. Epo, ju shprehni!
Për shembull. Në tabletë në një temperaturë prej 22 gradë, presionin e avujve ngopura te 120.000 ZM, dhe në 26,124,000 Pa. Pastaj në një temperaturë prej 23 gradë 121000 pa.
Ka një rrjet të koordinuar në hartë (imazh).
Ajo ka disa pika të njohura të referencës (n\u003e 3), duke pasur dy vlera të X, Y - koordinatat në piksele, dhe koordinon në metra.
Është e nevojshme për të gjetur vlerat e koordinatave të ndërmjetme në metra, duke ditur koordinatat në pixels.
Interpolimi linear nuk është i përshtatshëm - shumë gabim jashtë vijës.
Kjo është: (XC - COOCK. Në metra në të gjithë OH, XP - COOCK. Në Pixels, OH, XC3 është vlera e dëshiruar e OH)
Xc3 \u003d (xc1-xc2) / (xp1-xp2) * (xp3-xp2) + xc2
YC3 \u003d (YC1-YC2) / (yp1-yp2) * (YP3-yp2) + YC2
Si për të gjetur të njëjtën formulë për gjetjen XC dhe YC, dhënë jo dy (si këtu), dhe n pikat e famshme referimi?
Joka Fern Lowd.
Duke gjykuar nga formulat e lëshuara, akset e sistemeve të koordinatave në pixels dhe në metra përputhen?
Kjo është, në mënyrë të pavarur interpolates XP -\u003e XC dhe në mënyrë të pavarur YP -\u003e YC. Nëse jo, atëherë ju duhet të përdorni dy-dimensionale Interpolation XP, YP-\u003e XC dhe XP, YP-\u003e YC, i cili e komplikon detyrën disi.
Më tej nënkupton që koordinatat e XP dhe XC janë të lidhur me disa varësi.
Nëse karakteri i varësisë është i njohur (ose supozohet, për shembull, ne supozojmë se xc \u003d a * xp ^ 2 + b * xp + c), atëherë ju mund të merrni parametrat e kësaj varësie (për varësinë e varur a, b, C) duke përdorur analizën e regresionit (metoda e shesheve të vogla). Në këtë metodë, nëse specifikoni një varësi të veçantë të XC (XP), ju mund të merrni një formulë për parametrat e varësisht nga të dhënat e referencës. Kjo metodë lejon, në veçanti, për të gjetur dhe varësinë lineare, e cila është më e kënaqshme e kësaj grupi të të dhënave.
Disavantazhi: Në këtë metodë, koordinata e XC e marrë sipas pikave referuese të XP mund të ndryshojë nga specifika. Të tilla, për shembull, një përafrim i drejtpërdrejtë i shpenzuar në pikat eksperimentale nuk kalon pikërisht përmes këtyre pikave vetë.
Nëse kërkohet përputhja e saktë dhe natyra e varësisë është e panjohur, ju duhet të përdorni metodat e interpolimit. Matematika më e thjeshtë është polinomi i interpolimit i Lagranzhit, pikërisht kalon nëpër pikat referuese. Megjithatë, në sajë të shkallës së lartë të këtij polinomi, me një numër të madh të pikave referuese dhe cilësi të dobët të interpolimit, është më mirë të mos e përdorësh atë. Avantazhi është një formulë relativisht e thjeshtë.
Është më mirë të përdorni splines interpolation. Thelbi i kësaj metode është se në çdo vend midis dy pikave ngjitur, varësia u interpolua nga polinomi, dhe kushtet e zbutjes regjistrohen në pikat e qepjes së dy intervaleve. Avantazhi i kësaj metode është cilësia e interpolimit. Disavantazhet - Është pothuajse e pamundur të hiqni formulën e përgjithshme, ju duhet të gjeni koeficientët e polinomit në çdo faqe algoritmike. Një tjetër disavantazh është kompleksiteti i përgjithësimit në interpolation dy-dimensionale.
