Si të gjeni distancën nga pika në aeroplan. Distanca nga pika në aeroplan. Teoria e detajuar me shembuj (2020). Metodë. Metoda e koordinimit

, Konkurrenca "Prezantimi në mësim"

Klasa: 11

Prezantimi në mësim

Mbrapa përpara

Vëmendje! Pamja e slides përdoret ekskluzivisht për qëllime informative dhe nuk mund të ofrojnë ide për të gjitha aftësitë e prezantimit. Nëse jeni të interesuar për këtë punë, ju lutemi shkarkoni versionin e plotë.

Objektivat:

generalizimi dhe sistematizimi i njohurive dhe aftësive të studentëve;
zhvillimi i aftësive për të analizuar, krahasuar, nxjerrë konkluzione.

Pajisje:

projektor multimedial;
një kompjuter;
sheets me tekstet e detyrave

Pushtimi i strukturës

I. Momenti organizativ

II. Faza e aktualizimit të njohurive (Rrëshqitje 2)

Ne përsërisim se si përcaktohet distanca nga pika në aeroplan.

III. Leksion (6-15 nota)

Në klasë ne konsiderojmë mënyra të ndryshme për të gjetur distancën nga pika në aeroplan.

Metoda e parë: faza-kompjuterike

Distanca nga pika m në aeroplan α:
- e barabartë me distancën në aeroplan α nga një pikë arbitrare P shtrirë në një të drejtpërdrejtë një, e cila kalon përmes pikës m dhe paralel me aeroplanin α;
- e barabartë me distancën në aeroplan α nga një pikë arbitrare P shtrirë në aeroplan β, e cila kalon nëpër pikën m dhe paralel me aeroplanin α.

Le të jenë detyrat e mëposhtme:

№1. Në Kubë një ... D 1 Gjeni distancën nga pika nga 1 në aeroplan AB 1 C.

Mbetet për të llogaritur gjatësinë e gjatësisë së segmentit të 1 N.

№2. Në prizmin e saktë gjashtëkëndor një ... f 1, të gjitha skajet e të cilave janë 1, të marrë distancën nga pika A në aeroplanin e dea 1.

Metoda tjetër: vëllimi i metodës.

Nëse vëllimi i Piramidës AVSM është e barabartë me v, atëherë distanca nga pika m në aeroplan α që përmban δAVs llogaritet nga formula ρ (m; α) \u003d ρ (m; AVC) \u003d
Kur zgjidhin problemet, ne përdorim barazinë e vëllimeve të një figure, të shprehur në dy mënyra të ndryshme.

Specifikoni detyrën e mëposhtme:

№3. Ad piramidale dabc është pingul në planin e bazës së ABC. Gjeni distancën nga një në aeroplan që kalon nëpër mes të brinjëve AU, AC dhe AD, nëse.

Kur zgjidh detyrat metoda e koordinimit Distanca nga pika m në aeroplan α mund të llogaritet nga formula ρ (m; α) \u003d ku m (x 0; y 0; z 0), dhe aeroplani është vendosur nga ekuacioni AX + nga + CZ + D \u003d 0

Specifikoni detyrën e mëposhtme:

№4. Në një kub të vetëm një ... D 1, të marrë distancën nga pika A 1 në planin e VDC 1.

Ne prezantojmë sistemin e koordinatave me fillimin në pikën A, aksi y do të kalojë përgjatë shiritit AU, boshti X përgjatë buzës së reklamës, aksi Z - përgjatë buzës AA 1. Pastaj koordinatat e pikave në (0; 1; 0) d (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Ne do të bëjmë ekuacionin e avionit që kalon nëpër pikat B, D, C 1.

Pastaj - DX - DY + DZ + D \u003d 0 X + Y - Z - 1 \u003d 0. Prandaj, ρ \u003d

Metodën e mëposhtme që mund të përdoret gjatë zgjidhjes së detyrave të këtij lloji - metoda e detyrave referuese.

Përdorimi i kësaj metode është aplikimi i detyrave të njohura të mbështetjes që janë formuluar si teorema.

Specifikoni detyrën e mëposhtme:

№5. Në një Kubë të vetme një ... D 1, të marrë distancën nga pika D 1 në aeroplan AB 1 S.

Konsideroni aplikacionin metodë vektoriale.

№6. Në një kub të vetëm ... D 1, të marrë distancën nga pika A 1 në planin e VC 1.

Pra, ne pamë në mënyra të ndryshme që mund të përdoren kur zgjidhin këtë lloj të detyrave. Përzgjedhja e kësaj ose kësaj metode varet nga detyra specifike dhe preferencat tuaja.

Iv. Puna në grupe

Mundohuni të zgjidhni problemin në mënyra të ndryshme.

№1. Kuba A ... D 1 është e barabartë. Gjeni distancën nga maja në aeroplanin e BDC.

№2. Në tetrahedrën e duhur të AVD me një avantazh, të marrë distancën nga pika A në aeroplan BDC

№3. Në prizmin e saktë trekëndor të Absa 1 në 1 S 1 të të gjitha skajet e të cilave janë 1, gjeni distancën nga një në planin e BCA 1.

№4. Në piramidën e saktë të ku katërfishtë, të gjitha skajet e të cilave janë të barabarta me 1, të gjejnë distancën nga A në aeroplan SCD.

V. Mësimi i rezultateve, detyrat e shtëpisë, reflektimet

Konsideroni në hapësirë \u200b\u200bnjë aeroplan π dhe një pikë arbitrare m 0. Zgjidhni për një aeroplan njësia Vector Normal N S. fillim Në një moment m 1 ∈ π, dhe le p (m 0, π) të jetë një distancë nga pika m 0 deri në aeroplan π. Pastaj (Figura 5.5)

p (M 0, π) \u003d | PR N M 1 M 0 | \u003d | nm 1 m 0 |, (5.8)

që nga N | \u003d 1.

Nëse është vendosur aeroplan π sistemi i koordinatave drejtkëndore me ekuacionin e saj të përbashkët AX + nga + CZ + D \u003d 0, atëherë vektori i tij normal është vektori me koordinatat (a; b; c) dhe si një vektor i vetëm normal që mund të zgjidhni

Le (x 0; y 0; z 0) dhe (x 1; y 1; z 1) koordinatat e pikave m 0 dhe m 1. Pastaj e barazisë AX 1 + nga 1 + CZ 1 + d \u003d 0 është bërë, pasi pika m 1 i takon aeroplanit, dhe koordinatat e vektorit m 1 m 0: m 1 m 0 \u003d (x 0 -x 1 ; y 0 -y 1; z 0 -z 1). Shkrim produkt Scalar nm 1 m 0 në formë koordinate dhe konvertimin (5.8), ne marrim

që nga AX 1 + nga 1 + CZ 1 \u003d - D. Pra, për të llogaritur distancën nga pika në aeroplan ju duhet të zëvendësoni koordinatat e pikës në ekuacionin e përgjithshëm të avionit, dhe pastaj vlera absolute e rezultatit është të ndara në një shumëzues normalizues, të barabartë me gjatësinë e vektorit normal përkatës.

Kushtet e paralelizmit dhe pingularit

1 °. Kusht shoqërues i dy avionëve

Le të jepen dy aeroplanë:

A. 1 x. + B. 1 y. + C. 1 z. + D. 1 = 0, n. 1 = {A. 1 ; B. 1 ; C. 1 } ≠ 0 ;(1)

A. 2 x. + B. 2 y. + C. 2 z. + D. 2 = 0, n. 2 = {A. 2 ; B. 2 ; C. 2 } ≠ 0 .(2)

Kur ata janë ndarje (i.E., paralel ose përkon)? Natyrisht, do të jetë atëherë dhe vetëm nëse vektorët e tyre normalë kolinear. Duke aplikuar një kriter të pajtueshëm, ne marrim

Propozimi 1. Dy shtylla të avionëve dhe vetëm nëse produkti vektor i vektorëve të tyre normalë është i barabartë me zero vektor:

[n. 1 , n. 2 ] = 0 .

2 °. Koincidenca e dy avionëve

Propozimi 2. Aeroplani (1) dhe (2) përkojnë atëherë dhe vetëm nëse të katër të koeficientit të tyre janë proporcionalë, domethënë, ka një numër të tillë λ

A. 2 \u003d λ. A. 1 , B. 2 \u003d λ. B. 1 , C. 2 \u003d λ. C. 1 , D. 2 \u003d λ. D. 1 . (3)

Dëshmi. Le të përfundojnë kushtet (3). Pastaj ekuacioni i avionit të dytë mund të regjistrohet si:

λ A. 1 x. + λ B. 1 y. + λ C. 1 z. + λ D. 1 = 0.

λ ≠ 0, përndryshe do të ishte A. 2 = B. 2 = C. 2 = D. 2 \u003d 0, i cili bie në kundërshtim me gjendjen n. 2 ≠ 0 . Rrjedhimisht, ekuacioni i fundit është ekuivalent me ekuacionin (1), që do të thotë se dy aeroplanët përkojnë.

Tani, pra, përkundrazi, dihet se këto aeroplanë përkojnë. Pastaj vektorët e tyre normalë kolinear, që është, ka një numër të tillë λ të tillë që

A. 2 \u003d λ. A. 1 , B. 2 \u003d λ. B. 1 , C. 2 \u003d λ. C. 1 .

Ekuacioni (2) tani mund të rishkruhet në formë:

λ A. 1 x. + λ B. 1 y. + λ C. 1 z. + D. 2 = 0.

Multipled ekuacion (1) në λ, ne marrim ekuacionin ekuivalent të avionit të parë (T. K. λ ≠ 0):

λ A. 1 x. + λ B. 1 y. + λ C. 1 z. + λ D. 1 = 0.

Të marrë një pikë ( x. 0 , y. 0 , z. 0) nga avioni i parë (dhe rrjedhimisht, i dyti) dhe zëvendëson koordinatat e saj në dy ekuacionet e fundit; Ne do të marrim barazi besnike:

λ A. 1 x. 0 + λ B. 1 y. 0 + λ C. 1 z. 0 + D. 2 = 0 ;

λ A. 1 x. 0 + λ B. 1 y. 0 + λ C. 1 z. 0 + λ D. 1 = 0.

Sulfing nga lart poshtë, ne marrim D. 2 - λ. D. 1 \u003d 0, i.e. D. 2 \u003d λ. D. 1, qed.

3 °. Kushtimi i perpendikimit të dy avionëve

Natyrisht, është e nevojshme për këtë që vektorët normalë janë pingul me të.

Propozimi 3. Dy aeroplanë pingul pingulenti atëherë dhe vetëm nëse produkti skalar i vektorëve normalë është zero:

(n. 1 , n. 2) = 0 .

Le të jepet ekuacioni i avionit

Sëpatë. + Nga + Cz. + D. = 0, n. = {A.; B.; C.} ≠ 0 ,

dhe pika M. 0 = (x. 0 , y. 0 , z. 0). Ne nxjerrim formulën e distancës nga pika në aeroplan:

Një pikë arbitrare Q. = (x. 1 , y. 1 , z. 1) të shtrirë në këtë aeroplan. Koordinatat e saj po kënaqin ekuacionin e avionit:

Sëpatë. 1 + Nga 1 + Cz. 1 + D. = 0.

Vini re tani se distanca e dëshiruar d. Në mënyrë të barabartë vlera absolute e projektimit të vektorit në drejtimin e vektorit n. (Këtu ne marrim projektimin si një vlerë numerike, dhe jo si vektor). Tjetra, aplikoni formulën për llogaritjen e parashikimit:

Formula e ngjashme është e vlefshme për distancën d. Nga pika M. 0 = (x. 0 , y. 0) aeroplan në një vijë të drejtë të përcaktuar nga ekuacioni i përbashkët Sëpatë. + Nga + C. = 0.

Përcaktimin e distancës midis: 1 - pikës dhe avionit; 2 - Drejt dhe avioni; 3 - Planes; 4 - Kryqëzimi i drejtpërdrejtë konsiderohet bashkërisht, pasi që algoritmi i zgjidhjes për të gjitha këto probleme është në thelb i njëjtë dhe përbëhet nga ndërtime gjeometrike që duhet të kryhen për të përcaktuar distancën midis pikës së specifikuar A dhe aeroplanit α. Nëse ka ndonjë ndryshim, ai përbëhet vetëm në rastet 2 dhe 3, përpara se të vazhdojë të zgjidhë problemin, ai ndjek një M (rast 2) ose aeroplan β (rasti 3) të shënojë një pikë arbitrare A. në përcaktimin Distancat midis ndër-vendit i drejtpërdrejtë i dorëzojnë ato në aeroplanët paralele α dhe β, të ndjekura duke përcaktuar distancën midis këtyre avionëve.

Konsideroni secilën prej rasteve të vërejtura të zgjidhjes së problemeve.

1. Përcaktimi i distancës ndërmjet pikës dhe avionit.

Distanca nga pika në aeroplan përcaktohet nga kohëzgjatja e segmentit pingul, ulet nga pika në aeroplan.

Prandaj, zgjidhja e kësaj detyre përbëhet nga zbatimi i qëndrueshëm i operacioneve grafike të mëposhtme:

1) nga pika dhe ulni pingulin në aeroplan α (Fig. 269);

2) Ne gjejmë pikën e kryqëzimit të këtij pingul me avionin M \u003d A ∩ α;

3) të përcaktojë gjatësinë e segmentit.

Nëse avioni α i pozitës së përgjithshme është, në mënyrë që të ulë pingulentin në këtë aeroplan, është e nevojshme të përcaktohet përpara drejtimit të parashikimeve horizontale dhe të përparme të këtij avioni. Gjetja e pikës së takimit të kësaj pingul me një avion gjithashtu kërkon ndërtime shtesë gjeometrike.

Zgjidhja e problemeve thjeshtësohet nëse aeroplani α zë një pozicion privat në krahasim me aeroplanët e parashikimeve. Në këtë rast, kryerja e parashikimeve të pingulit dhe pika e takimit të tij me aeroplan kryhet pa asnjë ndërtim shtesë ndihmës.

Shembull 1. Përcaktoni distancën nga pika A në planin e para-projektimit α (Fig. 270).

Vendimi. Nëpërmjet një "ne kryejmë projektimin horizontal të pingul l" ⊥ h 0α, dhe përmes një "- projektimi i saj i parë l" ⊥ f 0α. Ne vërejmë pikën m "\u003d l" ∩ f 0α. Që nga jam || π 2, pastaj [një "m"] \u003d\u003d | Am | \u003d D.

Nga shembulli i konsideruar, mund të shihet se si thjesht duhet të zgjidhet detyra kur aeroplani zë një pozicion projektimi. Prandaj, nëse të dhënat fillestare janë vendosur në planin e pozicionit të përgjithshëm, pastaj para se të vazhdojë me zgjidhjen, avioni duhet të transferohet në pozicionin pingul me çdo plan të parashikimit.

Shembull 2. Përcaktoni distancën nga pika në një aeroplan të specifikuar δAVs (Fig. 271).

1. Transferoni aeroplanin δVs në pozicionin e projektimit *. Për ta bërë këtë, shkoni nga Xπ 2 / π 1 në x 1 π 3 / π 1 System: Drejtimi i aksit të ri X 1 është zgjedhur pingul me projektimin horizontal të planit horizontal të trekëndëshit.

2. Ne projektojmë δVs në një aeroplan të ri π 3 (aeroplan δVs është në mënyrë të gjallë në π 3, në [c "1 v"]).

3. Ne projektojmë pikën në të njëjtin plan për (në "→ në" 1).

4. Pas pikës në "1, ne kryejmë (në" 1 m "1) ⊥ segment [c" 1 v "]. Distanca e dëshiruar d \u003d | k" 1 m "1 |.

Zgjidhja e problemeve thjeshtohet nëse avioni është vendosur nga gjurmët, pasi ajo zhduket nevoja për të kryer parashikimet e linjave të nivelit.

Shembull 3. Përcaktoni distancën nga pika në aeroplanin α, duke pasur parasysh gjurmët (Fig. 272).

* Transferimi më racional i planit të trekëndëshit në pozicionin e projektimit është një mënyrë për të zëvendësuar avionët e parashikimeve, pasi në këtë rast është e mjaftueshme për të ndërtuar vetëm një parashikim ndihmës.

Vendimi. Ne zëvendësojmë aeroplanin π 1 me aeroplan π 3, për këtë ne kryejmë një aks të ri x 1 ⊥ f 0α. Në H 0α, ne shënojmë një pikë arbitrare 1 "dhe ne përcaktojmë projektimin e saj të ri horizontal në aeroplan π 3 (1" 1). Pas pikave x α 1 (x α 1 \u003d h 0α 1 ∩ x 1) dhe 1 "1, ne kryejmë H 0α 1. Ne përcaktojmë projektimin e ri horizontal të pikës në → k" 1. Nga pika në "1 undit pingul në H 0α 1 dhe vini re pikën e kryqëzimit të saj me H 0α 1 - m" 1. Gjatësia e segmentit K "1 m" 1 do të tregojë distancën e dëshiruar.

2. Përcaktimi i distancës midis të drejtës dhe avionit.

Distanca në mes të drejtës dhe aeroplanit përcaktohet nga kohëzgjatja e segmentit pingul, ulur nga një pikë e drejtpërdrejtë arbitrare në aeroplan (shih Fig. 248).

Prandaj, zgjidhja për problemin për të përcaktuar distancën midis vijës së drejtë m dhe aeroplanit α nuk ndryshon nga ato që konsiderohen në paragrafin 1 të shembujve për të përcaktuar distancën midis pikës dhe avionit (shih Fig. 270 ... 272). Si një pikë, ju mund të merrni ndonjë pikë që i përkasin linjës së drejtë m.

3. Përcaktimi i distancës midis avionëve.

Distanca midis avionëve përcaktohet me vlerën e segmentit pingul, të ulur nga pika e marrë në të njëjtin plan, në aeroplan tjetrin.

Ky përcaktim nënkupton që algoritmi për zgjidhjen e problemit për të gjetur distancën midis avionëve α dhe β ndryshon nga e njëjta algoritmi për zgjidhjen e problemit për të përcaktuar distancën midis vijës së drejtë m dhe aeroplanit është vetëm fakti që është e drejtë duhet t'i përkasin aeroplanit α, dmth, për të përcaktuar distancën midis avionëve α dhe β duhet të jetë:

1) për të marrë m të drejtpërdrejtë në aeroplan;

2) të ndajë në një vijë të drejtë m arbitrare a;

3) nga pika dhe hiqni lëni pingular l në aeroplan β;

4) të përcaktojë pikën m - pikën e mbledhjes së l-së pingulare me aeroplan β;

5) të përcaktojë shumën e segmentit.

Në praktikë, është e këshillueshme që të përdoret një algoritëm një zgjidhjeje, e cila do të ndryshojë nga sa më sipër në atë, para se të vazhdojë me përmbushjen e artikullit të parë, aeroplani duhet të përkthehet në pozicionin e projektimit.

Përfshirja në algoritmin e këtij operacioni shtesë thjeshton ekzekutimin e të gjithëve pa përjashtim të sendeve të tjera, të cilat në fund të fundit çon në një vendim më të thjeshtë.

Shembull 1. Përcaktoni distancën midis avionëve α dhe β (Figura 273).

Vendimi. Shkoni nga sistemi Xπ 2/1 në x 1 π 1/3. Në lidhje me aeroplanin e ri π 3, aeroplan α dhe β zënë një pozitë projektimi, kështu që distanca midis frontit të ri, gjurmët e f 0α 1 dhe f 0β 1 është e dëshiruar.

Në praktikën inxhinierike, shpesh është e nevojshme për të zgjidhur problemin për ndërtimin e një avioni paralel me këtë dhe distancën e largët nga ajo. Shembulli i mëposhtëm 2 ilustron zgjidhjen për një detyrë të tillë.

Shembull 2. Është e nevojshme për të ndërtuar parashikimet e avionit β paralel me këtë aeroplan α (m || n), nëse dihet se distanca midis tyre është D (Fig. 274).

1. Në aeroplan α, ne kryejmë horizontal h (1, 3) arbitrar (1, 3) dhe në pjesën e përparme të f (1,2).

2. Nga pika 1, ne pushojmë në pingular l në aeroplan α (l "⊥ h", l "⊥ f").

3. Në perpendikularin, ne shënojmë një pikë arbitrare A.

4. Përcaktoni gjatësinë e segmentit - (pozita tregon një drejtim me metrikisht të pandryshuar të L).

5. Dekoroni në një vijë të drejtë (1 "A 0) nga pika 1" Cut \u003d D.

6. Ne shënojmë për parashikimet l "dhe l" pikë në "dhe B" që korrespondon me pikën në 0.

7. Pas pikës në aeroplan β (h 1 ∩ f 1). Në β || α, është e nevojshme të mos pëlqejnë gjendjen H 1 || H dhe f 1 || f.

4. Përkufizimi i distancës midis ndër-vendit drejt.

Distanca ndërmjet kryqëzimit të drejtpërdrejtë përcaktohet nga gjatësia e pingules, e përfunduar midis avionëve paralelë, të cilat i përkasin kryqëzimeve.

Në mënyrë që të kryejnë avionë të përbashkëta paralele α dhe β përmes linjave të drejtë m dhe f, është e mjaftueshme deri në pikën një (një ∈ m) për të kryer një p të drejtë, paralel me vijën e drejtë f, dhe përmes pikës në (në ∈ f) - dir direkt, paralel me m. Ndërhyrja e vijave të drejta M dhe P dhe K përcaktojnë avionë paralele reciproke α dhe β (shih Fig. 248, e). Distanca midis avionëve α dhe β është e barabartë me distancën e dëshiruar midis M dhe f.

Ju gjithashtu mund të ofroni një mënyrë tjetër për të përcaktuar distancën midis ndër-vend të drejtpërdrejtë, që është se me ndihmën e çdo metode të transformimit të parashikimeve ortogonale, një nga linjat e kalimit është përkthyer në pozicionin e projektimit. Në këtë rast, një projektim i drejtë është degjeneruar deri në pikën. Distanca midis parashikimeve të reja të kryqëzimeve (pika a "2 dhe segmenti c" 2 d "2) është e dëshiruar.

Në Fig. 275 Zgjidhja i jepet përkufizimit të distancës midis kalimit të drejtpërdrejtë A dhe B, dhënë nga segmentet [AV] dhe [CD]. Zgjidhja kryhet në sekuencën e mëposhtme:

1. Ata përkthejnë një nga linjat e ndërlidhura (a) në pozicionin paralel me aeroplanin π 3; Për ta bërë këtë, kalimi nga sistemi i planeve të projektimit Xπ 2/1 në x 1 π 1/3 të ri, aks x 1 kryhet në projeksion paralel horizontal direkt a. Përcaktoni "1 [një" 1 në "1] dhe b" 1.

2. Duke zëvendësuar aeroplanin π 1, aeroplani π 4 Translate direkt

dhe në pozitën e një "2, pingul në aeroplan π 4 (Aksi i ri X 2 është kryer pingul në" 1).

3. Ndërtimi i një projeksioni të ri horizontal të drejtpërdrejtë B "2 - [c" 2 d "2].

4. Largësia nga pika A "2 për të drejtuar C" 2 d "2 (segment (një" 2 m "2] (është e dëshiruar.

Duhet të kihet parasysh se përkthimi i njërit prej linjave të kalimit në pozicionin e projektimit nuk është asgjë tjetër pasi transferimi i avionëve paralelizëm në të cilin gjithashtu mund të përfundohet A dhe B.

Në fakt, unë përkthej drejt një në pozicionin pingul në aeroplan π 4, ne sigurojmë ngritjen e çdo aeroplani që përmban të drejtën A, duke përfshirë aeroplanin α, duke përfshirë aeroplanin α, të përcaktuar nga A dhe M (një ∩ m, M || b). Nëse ne tani kryejmë një n, paralel një dhe intersecting drejtë b, atëherë ne marrim aeroplan β, i cili është aeroplani i dytë i paralelizmit, në të cilën kryqëzohen drejt dhe B janë përfunduar. Që nga β || α, atëherë β ⊥ π 4.

Le të ketë një aeroplan . Ne kryejmë normale
përmes origjinës së koordinatave të O. Le
- qoshet e formuara nga normale me akset e koordinimit.
. Le te jete - Pritini gjatësinë normale
para kryqëzimit me një aeroplan. Duke konstatuar zyrën e famshme të kosinës normale , tërhiqni ekuacionin e avionit .

Le te jete
) - Plani Arbitrar Point. Vektori i një normale të vetme ka koordinatë. Ne gjejmë projektimin e vektorit
në normale.

Që nga pika M. i takon aeroplanit

Ky është ekuacioni i një avioni të caktuar të quajtur normal .

Distanca nga pika në aeroplan

Le të jepet avioni ,M.*
- pika e hapësirës, d. - distanca e saj nga aeroplani.

Përkufizimi. Devijim pikë M * Nga aeroplani quhet numri ( + d.), nese nje M.* qëndron në anën tjetër nga aeroplani ku tregohet drejtimi pozitiv , dhe numri (- d.) Nëse pika është e vendosur në anën tjetër të avionit:

Teoremë. Lëreni aeroplanin me një normale të vetme vendosur nga ekuacioni normal:

Le te jete M.*
- Devijimi i hapësirës së pikës t. M.* Nga avioni është vendosur si një shprehje

Dëshmi. Projektimi t.
* Caktoni normal Q.. Devijim M * Nga aeroplani është i barabartë

Rregull. Per te gjetur devijim t. M.* Nga aeroplani, është e nevojshme të zëvendësohen koordinatat e avionit në ekuacionin normal. M.* . Distanca nga pika në aeroplan është .

Duke sjellë ekuacionin e përgjithshëm të avionit në normale

Lëreni të njëjtin aeroplan të jepet nga dy ekuacione:

Ekuacion i përgjithshëm

Ekuacioni normal.

Meqenëse të dyja ekuacionet specifikojnë një aeroplan, koeficientët e tyre janë proporcionalë me:

Tre barazimet e para janë ngritur në një shesh dhe dele:

Nga këtu do të gjejmë - Normalizimi i shumëzuesit:

. (10)

Shumëzimi i ekuacionit të përgjithshëm të avionit në shumëzuesin normalizues, marrim ekuacionin normal të avionit:

Shembuj të detyrave në temën "aeroplan".

Shembulli 1. Bëj një ekuacion avioni duke kaluar nëpër pikën e specifikuar
(2,1, -1) dhe aeroplan paralel.

Vendim. Normale për të aeroplan :
. Meqenëse aeroplani është paralel, atëherë normal është dhe normale në aeroplanin e dëshiruar . Duke përdorur ekuacionin e avionit duke kaluar nëpër pikën e specifikuar (3), marrim për aeroplan ekuacioni:

Përgjigje:

Shembulli 2. Baza e pingulit, ulur nga fillimi i koordinatave në aeroplan , është pikë
. Gjeni ekuacionin e avionit .

Vendim. Vektor
është normale në aeroplan . Pikë M. 0 i takon aeroplanit. Ju mund të përdorni ekuacionin e avionit duke kaluar nëpër pikën e specifikuar (3):

Përgjigje:

Shembulli 3. Ndërtoj një aeroplan kalim

dhe aeroplan perpendikulare :.

Prandaj, kështu që një pikë M. (x., y., z.) i përkisnin aeroplanit , është e nevojshme që tre vektor
kishte ndarje:

=0.

Mbetet për të zbuluar përcaktuesin dhe për të udhëhequr shprehjen e marrë në llojin e ekuacionit të përgjithshëm (1).

Shembull 4. Aeroplan vendosur nga ekuacioni i përgjithshëm:

Gjeni një devijim pikë
nga një aeroplan i caktuar.

Vendim. Ne paraqesim ekuacionin e avionit në formë normale.

Zëvendësim në ekuacionin normal të marrë të pikës së koordinatës M *.

Përgjigje:
.

Shembulli 5. Nëse avioni i segmentit kalon.

Vendim. Te presesh Au Kryqëzuar aeroplan, devijime dhe nga aeroplani duhet të ketë shenja të ndryshme:

Shembulli 6. Kryqëzimin e tre aeroplanëve në një moment.

Sistemi ka një zgjidhje të vetme, prandaj, tre aeroplanë kanë një pikë të përbashkët.

Shembulli 7. Gjetja e përgjysmuesit të një këndi dihedral të formuar nga dy avionë të paracaktuar.

Le te jete dhe - devijimi i një pike
nga aeroplanët e parë dhe të dytë.

Në një nga përgjysmuesit e avionëve (që korrespondon me qoshen në të cilën origjina është fillimi i koordinatës), këto devijime janë të barabarta me modulin dhe shenjën, dhe në anën tjetër janë të barabarta me modulin dhe janë të kundërta me modulin shenjë.

Ky është ekuacioni i avionit të parë të Bisectural.

Ky është ekuacioni i aeroplanit të dytë të Bisectural.

Shembulli 8. Përcaktimin e vendndodhjes së dy pikave të të dhënave dhe në krahasim me këndet e Dugranit të formuara nga këto aeroplanë.