فاصله را از دختر به این هواپیما پیدا کنید. معادله هواپیما معمولی. فاصله از نقطه به هواپیما. معادله کلی هواپیما را به حالت عادی برسانید

هواپیما در فضا توسط معادله 3x-4Y + 2Z + 5 \u003d 0 تعیین می شود، فاصله را از آن به نقطه m (3، -2؛ 6) تنظیم کنید.
داده شده:
$$ X_0 \u003d 3، \\ Quad Y_0 \u003d -2، \\ Quad Z_0 \u003d 6 $$

$$ A \u003d 3، \\ Quad B \u003d -4، \\ Quad C \u003d 2، \\ Quad D \u003d 5 $$
تصمیم گیری:
برای حل مشکل، ما از فرمول برای پیدا کردن فاصله از نقطه به هواپیما استفاده می کنیم، که برابر طول عمود بر آن است، از این نقطه به هواپیما کاهش می یابد:

$$ p \u003d (| a \\ cdot x_0 + b \\ cdot y_0 + c \\ cdot z_0 + d |) \\ over \\ sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2)) $$

جایی که A، B، C، D ضرایب معادله هواپیما و X0، Y0، Z0 - مختصات نقطه است.

یک جایگزین را تولید کنید:

$$ \\ frac (| 3 \\ cdot 3 + (-4) \\ cdot (-2) +2 \\ cdot 6 + 5 |) (\\ sqrt ((3 ^ 2 + (-4) ^ 2 + 2 ^ 2) ) \u003d \\ frac (| 9 + 8 + 12 + 5 |) (\\ sqrt ((9 + 16 + 4)) \u003d 6،314 $$ (واحدهای خطی)
پاسخ:
Dan ABCDA1B1C1D1 مکعب با یک لبه برابر با 1 سانتی متر است. فاصله را از نقطه A1 به هواپیما تعریف شده توسط نقاط در، D و C1 محاسبه کنید.
تصمیم گیری:
برای حل مشکل، ما یک روش مختصات را اعمال می کنیم. منشاء سیستم مختصات در نقطه A وجود دارد. AXIS X سازگار با لبه AD، محور Y - با لبه AV، محور Z با لبه AA1 است.

سپس مختصات نقطه A1 (0؛ 0؛ 1)، نقاط در (0؛ 1؛ 0)، d (1؛ 0؛ 0)، C1 (1؛ 1؛ 1). قرار دادن معادله کلی برای هواپیما a · x + b · y + c · z + d \u003d 0 مختصات هر یک از نقاط، ما یک سیستم از سه معادله را با تصمیم گیری که ما ضرایب و معادله را پیدا می کنیم، به دست آوریم X + YZ-1 \u003d 0 هواپیما.

$$ p \u003d \\ frac (| a \\ cdot x_0 + b \\ cdot y_0 + c \\ cdot z_0 + d |) (\\ sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2))) $$، ما تولید می کنیم جایگزینی:

$$ p \u003d \\ frac (| 1 \\ cdot 0 + 1 \\ cdot 0 - 1 \\ CDOT 1 - 1 |) (\\ sqrt ((1 + 1 + 1)) \u003d 1،155 سانتی متر $$
پاسخ:
$$ r \u003d 1،155 cm $$
فاصله را به نقاط M (2؛ 4؛ -7) به هواپیما XOY پیدا کنید.
تصمیم گیری:
معادله هواپیما Xoy یک مورد خاص است، معادله آن z \u003d 0 است. فرمول را اعمال کنید:

$$ p \u003d \\ frac (| a \\ cdot x_0 + b \\ cdot y_0 + c \\ cdot z_0 + d |) ((a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2)) $ $، جایی که a \u003d 0، b \u003d 0، c \u003d 1، d \u003d 0، x0 \u003d 2، y0 \u003d 4، z0 \u003d -7.

یک جایگزین را تولید کنید:

$$ p \u003d \\ frac (| 0 \\ cdot 2 + 0 \\ cdot 4 + 1 \\ cdot (-7)) + 0 | ) (\\ sqrt ((0 ^ 2 + 0 ^ 2 + 1 ^ 2)) \u003d 7 $$
پاسخ:
هواپیما با سه امتیاز با مختصات در سیستم مستطیلی A1 (0؛ 2؛ 1)، B1 (2؛ 6؛ 1)، C1 (4؛ 0؛ -1) تعیین می شود. تعیین در چه فاصله ای از آن یک نقطه با مختصات m (5؛ -3؛ 10) است.
تصمیم گیری:
به منظور تعیین فاصله از نقطه به هواپیما ما از فرمول استفاده می کنیم

$$ p \u003d \\ frac (| a \\ cdot x_0 + b \\ cdot y_0 + c \\ cdot z_0 + d |) (sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2))) $$

برای استفاده از آن، لازم است معادله هواپیما، نقاط خاص A1، B1 و C1 را بدست آورید. ظاهر کلی این معادله a · x + b · y + c z + d \u003d 0. با استفاده از یکی از روش های حذف معادله هواپیما (سیستم معادلات با مختصات نقاط یا تعیین کننده)، معادله هواپیما را پیدا می کنیم، ما $$ 2x-y + 5Z-3 \u003d 0 $$ را به دست می آوریم.

ما ضرایب به دست آمده معادله را جایگزین می کنیم و مختصات نقطه در فرمول:

$$ p \u003d \\ frac (| a \\ cdot x_0 + b \\ cdot y_0 + c \\ cdot z_0 + d |) (\\ sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2))) \u003d \\ frac (| 2 \\ CDOT 5 - (-3) + 5 \\ cdot 10 - 3 |) (\\ sqrt ((2 ^ 2 + (-1) ^ 2 + 5 ^ 2)) \u003d 10،95 $$
پاسخ:
فاصله را از 4x-6Y-4Z + 7 \u003d 0 0 پیدا کنید تا سیستم مختصات O را شروع کنید.
داده شده:
$$ X_0 \u003d 0، \\ Quad Y_0 \u003d 0، \\ Quad Z_0 \u003d 0 $$

$$ A \u003d 4، \\ Quad B \u003d -6، \\ Quad C \u003d -4، \\ Quad D \u003d 7 $$
تصمیم گیری:
مختصات شروع سیستم مختصات O (0؛ 0؛ 0). ما از فرمول استفاده می کنیم:

$$ p \u003d \\ frac (| a \\ cdot x_0 + b \\ cdot y_0 + c \\ cdot z_0 + d |) (sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2))) $$ برای $$ 4 X-6Y-4Z + 7 \u003d 0 $$،

$$ A \u003d 4، $$
$$ b \u003d -6، $$
$$ c \u003d -4، $$
$$ d \u003d 7. $$

معانی جایگزین:

$$ p \u003d \\ frac (| a \\ cdot x_0 + b \\ cdot y_0 + c \\ cdot z_0 + d |) (\\ sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2))) \u003d \\ frac (| 4 \\ CDOT 0 - 6 \\ CDOT 0 - 4 \\ CDOT 0 + 7 |) (\\ sqrt ((4 ^ 2 + (-6) ^ 2 + (-4) ^ 2)) \u003d 0.85 $$
پاسخ:

این مقاله در مورد تعیین فاصله از نقطه به هواپیما می گوید. ما روش مختصات را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد، که به فاصله ای از یک نقطه مشخص از فضای سه بعدی اجازه می دهد. برای تثبیت، نمونه هایی از وظایف مختلف را در نظر بگیرید.

فاصله از نقطه به هواپیما با استفاده از فاصله شناخته شده از نقطه به نقطه، جایی که یکی از آنها مشخص شده است، و دیگری یک طرح در یک هواپیما داده شده است.

هنگامی که یک نقطه M 1 در فضا با یک هواپیما تعیین می شود، سپس هواپیما عمود بر می تواند از طریق نقطه انجام شود. H 1 یک نقطه مشترک از تقاطع آنها است. از اینجا ما به دست می آوریم که بخش M 1 H 1 عمود بر است که از نقطه m 1 به هواپیما χ انجام می شود، جایی که نقطه H 1 پایه عمود بر است.

تعریف 1

آنها فاصله را از یک نقطه مشخص به پایه عمود بر می دانند که از یک نقطه مشخص به هواپیما مشخص شده انجام می شود.

تعریف را می توان در فرمول های مختلف ثبت کرد.

تعریف 2

فاصله از نقطه به هواپیما آنها طول عمود بر آن را فرا می گیرند، که از یک نقطه مشخص به یک هواپیما داده شده صرف شده است.

فاصله از نقطه m 1 به هواپیما χ تعیین می شود به شرح زیر است: فاصله از نقطه m 1 به هواپیما χ کوچکتر از نقطه مشخص شده به هر نقطه از هواپیما خواهد بود. اگر نقطه H 2 در هواپیما χ قرار دارد و برابر با نقطه H 2 نیست، سپس یک مثلث مستطیلی از M 2 H 1 H 2 به دست می آوریم که مستطیل شکل است، جایی که یک CATAT M 2 H 1، M 2 H 2 وجود دارد - هیپوتنوئوس. بنابراین، از این رو آن را دنبال می کند که m 1 h 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 این در نظر گرفته شده است، که از نقطه m 1 به هواپیما χ انجام می شود. ما این عمودی را داریم که از یک نقطه مشخص به هواپیما انجام می شود، کمتر تمایل دارد، که از نقطه به هواپیما مشخص شده انجام می شود. این مورد را در شکل زیر در نظر بگیرید.

فاصله از نقطه به هواپیما - نظریه، نمونه ها، راه حل ها

تعدادی از وظایف هندسی وجود دارد که راه حل های آنها باید فاصله را از نقطه به هواپیما داشته باشد. روش های شناسایی این می تواند متفاوت باشد. برای مجوز، قضیه فیثاگورا یا شباهت مثلث ها استفاده می شود. هنگامی که، با شرایط، لازم است که فاصله را از نقطه به هواپیما محاسبه کنید، مشخص شده در سیستم مختصات مستطیلی از فضای سه بعدی، روش مختصات را حل کنید. این مورد این روش را در نظر می گیرد.

با مشکل مشکل، ما باید نقطه ای از فضای سه بعدی با مختصات m 1 (x 1، y 1، z 1) به هواپیما χ داده شود، لازم است که فاصله از m 1 به هواپیما χ. برای حل چند راه برای حل.

روش اول

این روش بر مبنای فاصله از نقطه به هواپیما با استفاده از مختصات نقطه H 1 است که پایه عمود بر نقطه M 1 به هواپیما χ است. بعد، لازم است فاصله بین M 1 و H 1 را محاسبه کنید.

برای حل مشکل، معادله طبیعی هواپیما مشخص شده در روش دوم استفاده می شود.

راه دوم

با شرایط، ما این را که H 1 پایه عمود بر است، که از نقطه M 1 به هواپیما χ کاهش یافته است. سپس ما مختصات (x 2، y 2، z 2) را تعیین می کنیم. فاصله دلخواه از m 1 به هواپیما χ با توجه به فرمول m 1 h 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2، جایی که m 1 (x 1، y 1، z 1) و h 1 (x 2، y 2، z 2). برای حل، لازم است که مختصات نقطه H 1 را بدانیم.

ما این است که H 1 نقطه تقاطع هواپیما χ با مستقیم A است که از طریق نقطه m 1 عبور می کند عمود بر هواپیما χ. این به این معنی است که لازم است که معادله مستقیم عبور از نقطه مشخص شده عمود بر هواپیما مشخص شده را کامپایل کنید. پس از آن ما می توانیم مختصات نقطه H 1 را تعیین کنیم. لازم است که محاسبه مختصات تقاطع مستقیم و هواپیما محاسبه شود.

الگوریتم برای پیدا کردن فاصله از نقطه با مختصات m 1 (x 1، y 1، z 1) به هواپیما χ:

تعریف 3

معادله مستقیم را از طریق نقطه M 1 و در همان زمان انجام دهید
عمود بر هواپیما χ؛
پیدا کردن و محاسبه مختصات (x 2، y 2، z 2) امتیازات H 1، که نقاط است
تقاطع مستقیم با یک هواپیما χ؛
محاسبه فاصله از m 1 به χ با استفاده از فرمول m 1 h 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

راه سوم

در یک سیستم مختصات مستطیلی مشخص شده، مختصات X در Z دارای یک هواپیما χ است، سپس معادله طبیعی از هواپیما فرم COS α · x + COS β · y + cos γ z z - P \u003d 0 را به دست می آوریم. از اینجا ما به دست می آوریم که فاصله m 1 h 1 با نقطه m 1 (x 1، y 1، z 1)، انجام شده بر روی هواپیما χ محاسبه شده توسط فرمول m 1 h 1 \u003d cos α · x + cos β · y + cos γ z - p. این فرمول معتبر است، زیرا این تشکر از قضیه است.

قضیه

اگر نقطه m 1 (x 1، y 1، z 1) در یک فضای سه بعدی مشخص شده است که دارای معادله طبیعی از هواپیما فرم COS α · x + COS β · y + COS γ · z - p \u003d 0 است ، سپس محاسبه فاصله از نقطه به M 1 H 1 هواپیما از فرمول m 1 h 1 \u003d cos α · x + cos β · y + cos γ z - P، از آنجا که x \u003d x 1، y \u003d y 1، z \u003d z 1.

شواهد و مدارک

اثبات قضیه برای پیدا کردن فاصله از نقطه به طور مستقیم کاهش می یابد. از اینجا ما دریافت می کنیم که فاصله از m 1 به هواپیما χ ماژول تفاوت در طرح عددی بردار شعاع M 1 با فاصله از منشاء به هواپیما χ است. سپس ما بیان m 1 h 1 \u003d n p n → o m → - p را به دست می آوریم. بردار طبیعی هواپیما χ دارای فرم n → \u003d cos α، cos β، COS γ است، و طول آن برابر با یک، npn → OM → - طرح عددی بردار OM → \u003d (x 1، y 1 ، z 1) در جهت تعیین شده توسط بردار n →.

فرمول را برای محاسبه بردارهای اسکالر اعمال کنید. سپس ما یک عبارت را برای پیدا کردن بردار فرم n →، OM → n → · npn → OM → \u003d 1 · npn → OM → \u003d npn → OM →، از آنجا که n → \u003d cos α، cos β، cos γ · Z و OM → \u003d (x 1، y 1، z 1). فرم مختصات ضبط فرم N →، OM → \u003d COS α · x 1 + COS β · y 1 + COS γ · z 1، سپس m 1 h 1 \u003d npn → OM → P \u003d cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ z 1 - p. قضیه ثابت شده است.

از اینجا ما دریافت می کنیم که فاصله از نقطه m 1 (x 1، y 1، z 1) به هواپیما χ با استفاده از جایگزینی به قسمت چپ معادله طبیعی COS α · x + cos β · y محاسبه می شود + COS γ · Z - P \u003d 0 به جای X، Y، Z مختصات x 1، y 1 و z 1. متعلق به نقطه M 1، با توجه به مقدار مطلق ارزش به دست آمده.

نمونه هایی از پیدا کردن فاصله را از نقطه با مختصات به هواپیما مشخص شده در نظر بگیرید.

مثال 1

فاصله را از نقطه با مختصات M 1 (5، - 3، 10) به هواپیما 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0 محاسبه کنید.

تصمیم

ما این مشکل را به دو روش حل خواهیم کرد.

روش اول با محاسبه بردار راهنمای هدایت مستقیم آغاز خواهد شد. با شرایط، ما این معادله داده شده 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0 معادله هواپیما فرم کلی است، و n → (2، - 1، 5) یک بردار طبیعی مشخص شده است سطح. این به عنوان بردار راهنمای هدایت یک، که عمود بر هواپیما مشخص شده است استفاده می شود. معادله کانونیک در فضا ثبت می شود، عبور از m 1 (5، - 3، 10) با یک بردار راهنمای با مختصات 2، - 1، 5.

معادله فرم X را دریافت می کند X - 5 2 \u003d Y - (- 3) - 1 \u003d Z - 10 5 ⇔ X - 5 2 \u003d Y + 3 - 1 \u003d Z - 10 5.

شما باید نقاط تقاطع را تعریف کنید. برای انجام این کار، به آرامی معادلات را به سیستم متصل کنید تا از کانونی به معادلات دو خط مستقیم متقاطع منتقل شود. این نکته آن را از 1 می گیرد. ما این را دریافت می کنیم

x - 5 2 \u003d y + 3 - 1 \u003d z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) \u003d 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) \u003d 2 · (z - 10) 5 · ( Y + 3) \u003d - 1 · (Z - 10) ⇔ ⇔ X + 2 Y + 1 \u003d 0 5 X - 2 Z - 5 \u003d 0 5 Y + Z + 5 \u003d 0 ⇔ X + 2 Y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0

پس از آن لازم است سیستم را حل کنید

x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0 ⇔ x + 2 y \u003d 1 5 x - 2 z \u003d 5 2 x - y + 5 z \u003d 3

اجازه دهید ما را به حکومت سیستم در گاوس تبدیل کنیم:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 1 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ ⇒ z \u003d 0 6 \u003d 0، y \u003d - 1 10 · 10 + 2 · z \u003d - 1، x \u003d - 1 - 2 · y \u003d 1

ما آن را H1 (1، - 1، 0) دریافت می کنیم.

ما محاسبات فاصله را از نقطه مشخص شده به هواپیما تولید می کنیم. ما نقطه M 1 (5، - 3، 10) و H 1 (1، - 1، 0) را می گیریم و دریافت می کنیم

m 1 h 1 \u003d (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 \u003d 2 30

راه حل دوم راه حل این است که شروع به آوردن معادله مشخص شده 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0 به فرم عادی. ما ضریب عادی را تعیین می کنیم و ما 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 \u003d 1 30 به دست می آوریم. از این رو معادله هواپیما 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 \u003d 0. محاسبه بخش سمت چپ معادله توسط جایگزینی x \u003d 5، y \u003d - 3، z \u003d 10، و شما باید فاصله را از m 1 (5، - 3، 10) تا 2 x - Y + 5 Z - 3 \u003d 0 توسط ماژول. ما بیان می کنیم:

m 1 h 1 \u003d 2 30 · 5 - 1 30 · - 3 + 5 30 · 10 - 3 30 \u003d 60 30 \u003d 2 30

پاسخ: 2 30.

هنگامی که هواپیما χ در یکی از روش های بخش های بخش تنظیم هواپیما تنظیم می شود، لازم است که معادله ی χ را بدست آورید و فاصله دلخواه را با استفاده از هر روش محاسبه کنید.

مثال 2

در فضای سه بعدی، نقاط با مختصات M 1 (5، - 3، 10)، A (0، 2، 1)، B (2، 6، 1)، C (2، 6، 1)، C (4، 0، - 1) تنظیم می شوند. فاصله را از m 1 به هواپیما a در C محاسبه کنید.

تصمیم

برای شروع، لازم است که معادله هواپیما را از طریق سه نقطه با مختصات m 1 (5، - 3، 10)، a (0، 2، 1)، B (2، 6، 1)، C (4، 0، - یکی).

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 بیشتر 2 - 2 1 1 - 0 بر گیونه ها - 2 - 1 - 1-7 - 1 8 X + 4 Y - 20 Z + 12 \u003d 0 ⇔ 2 X - Y + 5 Z - 3 \u003d 0

از اینجا این به این معنی است که این کار یک راه حل مشابه برای قبلی دارد. این بدان معنی است که فاصله از نقطه m 1 به هواپیما A در C دارای مقدار 2 30 است.

پاسخ: 2 30.

پیدا کردن فاصله از یک نقطه داده شده در هواپیما یا به هواپیما که آنها موازی هستند، راحت تر، استفاده از فرمول M 1 H 1 \u003d COS α · x 1 + COS β · y 1 + COS γ z 1 - P . از اینجا ما دریافت می کنیم که معادلات طبیعی این هواپیما ها در چندین اقدام به دست می آیند.

مثال 3

فاصله را از نقطه مشخص شده با مختصات m 1 (- 3، 2، - 7) به سطح مختصات X در Z و هواپیما داده شده توسط معادله 2 y - 5 \u003d 0 پیدا کنید.

تصمیم

هواپیما مختصات O در z مربوط به معادله گونه x \u003d 0 است. برای هواپیما O Z، طبیعی است. بنابراین، لازم است که در سمت چپ مقدار بیان x \u003d - 3 جایگزین شود و ماژول ارزش فاصله را از نقطه با مختصات M 1 (- 3، 2، - 7) به هواپیما برسانید. ما یک مقدار برابر با 3 \u003d 3 بدست می آوریم.

پس از تبدیل، معادله طبیعی هواپیما 2 Y - 5 \u003d 0 مشاهده خواهد شد Y - 5 2 \u003d 0. سپس شما می توانید فاصله دلخواه را از نقطه با مختصات m 1 (- 3، 2، - 7) به هواپیما 2 y - 5 \u003d 0 پیدا کنید. جایگزینی و محاسبه، ما 2 تا 5 2 \u003d 5 2 - 2 به دست می آوریم.

پاسخ: فاصله دلخواه از m 1 (- 3، 2، - 7) به O در Z دارای مقدار 3، و به 2 y - 5 \u003d 0 است 5 2 - 2.

اگر اشتباه در متن را متوجه شوید، لطفا آن را انتخاب کنید و Ctrl + Enter را فشار دهید

, مسابقه "ارائه به درس"

کلاس: 11

ارائه به درس

برگشت به جلو

توجه! اسلایدهای پیش نمایش به طور انحصاری برای اهداف اطلاعاتی مورد استفاده قرار می گیرند و ممکن است ایده هایی در مورد تمام قابلیت های ارائه ارائه ندهند. اگر شما علاقه مند به این کار هستید، لطفا نسخه کامل را دانلود کنید.

اهداف:

تعمیم و سیستماتیک دانش و مهارت های دانش آموزان؛
توسعه مهارت ها برای تجزیه و تحلیل، مقایسه، نتیجه گیری نتیجه گیری.

تجهیزات:

پروژکتور چند رسانه ای؛
یک کامپیوتر؛
ورق های متون وظایف

شغل ساخت

I. لحظه سازمانی

دوم مرحله تحقق دانش (اسلاید 2)

ما تکرار می کنیم که فاصله از نقطه به هواپیما تعیین می شود.

III سخنرانی (6-15 نمره)

در کلاس ما راه های مختلفی را برای پیدا کردن فاصله از نقطه به هواپیما در نظر می گیریم.

روش اول: فاز محاسباتی

فاصله از نقطه m به هواپیما α:
- برابر با فاصله تا هواپیما α از نقطه دلخواه P به طور مستقیم، که از طریق نقطه m عبور می کند و موازی با سطح α عبور می کند؛
- برابر با فاصله تا هواپیما α از نقطه دلخواه P دروغ در هواپیما β، که از طریق نقطه m عبور می کند و موازی با هواپیما α.

اجازه دهید وظایف زیر:

№1. در کوبا ... D 1 فاصله را از نقطه از 1 به هواپیما AB 1 پیدا کنید.

باقی مانده است برای محاسبه طول طول بخش 1 N.

№2. در منشور شش ضلعی صحیح ... F 1، تمام لبه های آن 1، فاصله را از نقطه A به هواپیمای DEA 1 دریافت کنید.

روش بعدی: حجم روش.

اگر حجم هرم AVSM برابر با V باشد، فاصله از نقطه m به هواپیما حاوی α حاوی ΔAVs با فرمول ρ (m؛ α) \u003d ρ (m؛ avc) \u003d محاسبه می شود
هنگام حل مشکلات، ما از برابری حجم یک شکل استفاده می کنیم که به دو روش متفاوت بیان می شود.

کار زیر را مشخص کنید:

№3. AD Pyramid DABC عمود بر هواپیما پایه ABC است. فاصله را از یک هواپیما عبور کنید تا از وسط دنده های Au، AC و AD عبور کنید، اگر.

هنگام حل وظایف روش مختصات فاصله از نقطه m به هواپیما α را می توان با فرمول ρ (m؛ α) محاسبه کرد جایی که m (x 0؛ y 0؛ z 0)، و هواپیما توسط معادله AX + + + CZ + D \u003d 0 تنظیم شده است

کار زیر را مشخص کنید:

№4. در یک مکعب تک ... D 1، فاصله را از نقطه 1 به هواپیما VDC 1 بروید.

ما سیستم مختصات را با شروع در نقطه A معرفی می کنیم، محور Y در امتداد Ribbar Au، Axis X در امتداد لبه AA، محور Z - در امتداد لبه AA 1 عبور می کند. سپس مختصات نقاط در (0؛ 1؛ 0) D (1؛ 0؛ 0؛) C 1 (1؛ 1؛ 1)
ما معادله هواپیما را از طریق نقاط B، D، C 1 انجام خواهیم داد.

سپس - DX - DY + DZ + D \u003d 0 X + Y - Z - 1 \u003d 0. بنابراین، ρ \u003d

روش زیر که می تواند هنگام حل وظایف این نوع استفاده شود - روش وظایف مرجع

استفاده از این روش، اعمال وظایف پشتیبانی شناخته شده است که به عنوان قضیه فرموله شده است.

کار زیر را مشخص کنید:

№5. در یک کوبا تک ... D 1، فاصله را از نقطه d 1 به هواپیما AB 1 S.

برنامه را در نظر بگیرید روش بردار

№6. در یک مکعب تک ... D 1، فاصله را از نقطه 1 به هواپیما VC 1 بروید.

بنابراین، ما به شیوه های مختلفی نگاه کردیم که می تواند هنگام حل این نوع وظایف مورد استفاده قرار گیرد. انتخاب این یا آن روش بستگی به وظیفه خاص و ترجیحات شما دارد.

IV کار گروهی

سعی کنید مشکل را به روش های مختلف حل کنید.

№1. کوبا ... D 1 برابر است. فاصله را از بالای صفحه به BDC 1 پیدا کنید.

№2. در سمت راست tetrahedra از AVD با لبه، فاصله را از نقطه A به هواپیما BDC دریافت کنید

№3. در منشور مثلثی درست ABSA 1 در 1 S 1 از تمام لبه های آن 1، فاصله را از A به هواپیما BCA 1 پیدا کنید.

№4. در پیمایش SAPCD Quadrangular درست، تمام لبه های آن برابر با 1، فاصله را از A به هواپیما SCD پیدا کنید.

V. درس نتایج، تکالیف، بازتاب

در فضای برخی از هواپیما π و نقطه دلخواه m 0 را در نظر بگیرید. برای یک هواپیما انتخاب کنید بردار عادی واحد n S. شروع در برخی از نقطه m 1 ∈ π، و اجازه دهید P (m 0، π) فاصله ای از نقطه m 0 به هواپیما Π باشد. سپس (شکل 5.5)

p (m 0، π) \u003d | PR n m 1 m 0 | \u003d | nm 1 m 0 |، (5.8)

از آنجا که | N | \u003d 1

اگر هواپیما Π تنظیم شده باشد سیستم مختصات مستطیلی با معادله مشترک آن AX + BY + CZ + D \u003d 0، سپس بردار طبیعی آن، بردار با مختصات (a؛ b؛ c) و به عنوان یک بردار معمولی شما می توانید انتخاب کنید

اجازه دهید (x 0؛ y 0؛ z 0) و (x 1؛ y 1؛ z 1) مختصات نقاط M 0 و M 1. سپس برابری تبر 1 + توسط 1 + CZ 1 + D \u003d 0 ساخته شده است، از آنجا که نقطه M 1 متعلق به هواپیما است، و مختصات بردار m 1 m 0: m 1 m 0 \u003d (x 0 -x 1 ؛ y 0 -y 1؛ z 0 -z 1). نوشتن حاصلضرب عددی nm 1 m 0 در فرم مختصات و تبدیل (5.8)، ما دریافت می کنیم

از آنجا که تبر 1 + توسط 1 + CZ 1 \u003d - D. بنابراین برای محاسبه فاصله از نقطه به هواپیما شما نیاز به جایگزینی مختصات نقطه در معادله عمومی هواپیما، و سپس مقدار مطلق نتیجه است تقسیم به یک ضریب عادی، برابر طول بردار طبیعی مربوطه است.

بگذارید یک هواپیما وجود داشته باشد . ما عادی را انجام می دهیم
از طریق منشا مختصات O. اجازه دهید
- گوشه های تشکیل شده توسط عادی با محورهای مختصات
. بیایید - طول برش طبیعی
قبل از تقاطع با یک هواپیما. توهین کردن راهنماهای معروف کوزین طبیعی است ، معادله هواپیما را بردارید .

بیایید
) - هواپیما نقطه دلخواه. بردار تک طبیعی هم مختصات دارد. ما طرح برداری از بردار را پیدا می کنیم
در حالت عادی

از نقطه M. متعلق به هواپیما است

این معادله یک هواپیما داده شده است طبیعی .

فاصله از نقطه به هواپیما

اجازه دهید هواپیما داده شود ,M.*
- نقطه فضا، d. - فاصله آن از هواپیما.

تعریف. انحراف نکته ها m * از هواپیما شماره نامیده می شود ( + d.), اگر یک M.* دروغ در طرف دیگر از هواپیما که در آن جهت مثبت نشان داده شده است ، و شماره (- d.) اگر نقطه در طرف دیگر هواپیما قرار دارد:

قضیه. اجازه دهید هواپیما با یک واحد طبیعی تعیین شده توسط معادله طبیعی:

بیایید M.*
- نقطه انحراف فضا T. M.* از هواپیما به عنوان یک عبارت تنظیم شده است

شواهد و مدارک. طرح ریزی t
* تعریف عادی Q.. انحراف m * از هواپیما برابر است

قانون. برای پیدا کردن انحراف t. M.* از هواپیما، لازم است که مختصات هواپیما را در معادله طبیعی جایگزین کنید. M.* . فاصله از نقطه به هواپیما است .

معادله کلی هواپیما را به حالت عادی برسانید

اجازه دهید همان هواپیما با دو معادله داده شود:

معادله عمومی

معادله عادی

از آنجا که هر دو معادلات یک هواپیما را مشخص می کنند، ضرایب آنها متناسب با:

سه برابر سه برابر به یک مربع ساخته شده اند:

از اینجا پیدا خواهیم کرد - ضریب عادی:

. (10)

ضرب معادلات عمومی هواپیما به چند ضلعی عادی، ما معادله طبیعی هواپیما را به دست می آوریم:

نمونه هایی از وظایف در موضوع "هواپیما".

مثال 1 معادله هواپیما را بسازید عبور از نقطه مشخص شده
(2،1، -1) و هواپیما موازی.

تصمیم. عادی به هواپیما :
. از آنجا که هواپیما موازی است، طبیعی است به هواپیما مورد نظر طبیعی است . با استفاده از معادله هواپیما عبور از نقطه مشخص شده (3)، ما برای هواپیما به دست می آوریم معادله:

پاسخ:

مثال 2 پایه عمود بر از ابتدای مختصات در هواپیما کاهش یافته است ، نقطه است
. معادله هواپیما را پیدا کنید .

تصمیم. بردار
عادی به هواپیما است . نقطه M. 0 متعلق به هواپیما است شما می توانید از معادله هواپیما عبور از نقطه مشخص شده استفاده کنید (3):

پاسخ:

مثال 3 ساخت یک هواپیما عبور

و هواپیما عمود بر :.

بنابراین، به طوری که برخی از نقطه M. (ایکس., y., z.) متعلق به هواپیما بود ، لازم است که سه بردار
محفظه وجود داشت:

=0.

باقی مانده است که تعیین کننده تعیین کننده و منجر به بیان بیان به نوع معادله عمومی (1).

مثال 4 سطح تعیین شده توسط معادله کلی:

یک انحراف نقطه را پیدا کنید
از یک هواپیما داده شده.

تصمیم. ما معادله هواپیما را به شکل عادی ارائه می دهیم.

جایگزین در معادله طبیعی به دست آمده از نقطه مختصات m *.

پاسخ:
.

مثال 5 آیا هواپیما بخش عبور می کند؟

تصمیم. بریدن au هواپیما عبور کرد، انحرافات و از هواپیما باید علائم مختلفی داشته باشد:

مثال 6 تقاطع سه هواپیما در یک نقطه.

سیستم یک راه حل واحد دارد، بنابراین سه هواپیما دارای یک نقطه مشترک هستند.

مثال 7 پیدا کردن بیسکتور یک زاویه دیجیتال که توسط دو هواپیمای پیش تعیین شده تشکیل شده است.

بیایید و - انحراف از برخی از نقطه
از هواپیما اول و دوم.

در یکی از محاصره هواپیما (مربوط به گوشه ای که در آن منشا آغاز مختصات است)، این انحراف برابر با ماژول و علامت است، و از طرف دیگر برابر ماژول هستند و مخالف هستند امضاء کردن.

این معادله اولین هواپیمای بیسوارتی است.

این معادله دومین هواپیمای دوزیستانه است.

مثال 8 تعیین محل دو نقطه داده و نسبت به زاویه های دوگرانی که توسط این هواپیماها تشکیل شده است.