در عمل، تنها نقاط مرجع به اندازه کافی برای حرکت ابزار نیست، سیستم CNC کافی نیست، نمایندگی دقیق تر آن ضروری است. برای محاسبه نقاط متوسط \u200b\u200bو صدور دستورات جنبش در محورهای خطی، یک دستگاه محاسباتی خاص استفاده می شود - interpolator.
Interpolators توسط تقسیم شده است خطی و گرد. Interpolator خطی \u200b\u200bبرای تست حرکت مستقیم دستگاه ابزار استفاده می شود. در ورودی به interpolator، اطلاعات در مورد مختصات نقاط مرجع دریافت می شود، خروجی برای هر مختصات توسط یک دنباله ای از تحرکات مورد نیاز برای توسعه یک هندسه داده شده تشکیل شده است. Interpolator خطی \u200b\u200bبه ما اجازه می دهد تا تنها کار کنیم ساده جنبش. با این حال، ارائه دقیق تطبیق حرکت در امتداد مستقیم مستقیم بسیار دشوار است. مسیر نهایی جنبش تقریبا شبیه یک خط شکسته است (شکل زیر).
در فرآیند کار کردن، Interpolator مستقیم به طور مستقیم کنترل درایوها را کنترل می کند. محور x، سپس محور (اگر مستقیما در هواپیما XY قرار دارد)، تعداد مورد نظر پالس ها را به درایو ارسال می کند. در شکل بالا، یک ضربه به راست در محور Y ارسال می شود، و در X - دو پالس. مقدار d. انحراف از یک هندسه داده شده را تعیین می کند. زیرا قطعنامه به شما اجازه می دهد تا یک ضربه را به حرکت برسانید 0.001 MM، سپس منحنی نهایی شکسته می تواند در نظر گرفته شود صاف.
بنابراین، Interpolator خطی، تعداد مورد نیاز پالس ها را در امتداد یک محور خاص محاسبه می کند و به آنها می دهد.
F. - سرعت جنبش؛
به عنوان مثال، برای برنامه نویسی یک حرکت مستقیم از نقطه آ. دقیقا ب با سرعت 1000 میلیمتر / دقیقه لازم است که فریم بعدی را در UE قرار دهیم.
ساده ترین و اغلب استفاده می شود نوع درونی درونی درون یابی خطی. این است که نقاط مشخص شده ( ایکس. من. , y. من.) در ( i \u003d 0. 1، ...، n) توسط بخش های مستقر و عملکرد متصل می شوند f.(ایکس.) نزدیک به شکسته شدن با رأس ها در این نقاط.
معادلات هر شکست شکسته در مورد عمومی متفاوت است. از آنجا که N فواصل وجود دارد ( ایکس. من. - 1, ایکس. من.)، برای هر یک از آنها، معادله به طور مستقیم از طریق دو نقطه به عنوان معادله چندجملهای interpolation استفاده می شود. به طور خاص، برای فاصله زمانی i-th، شما می توانید معادله مستقیم عبور از نقاط را بنویسید ( ایکس. من. -1, y. من. -1 ) و ( ایکس. من. , y. من.)، مانند
|
y \u003d a i x + b i، x i-1 xx i |
i \u003d. 
در نتیجه، هنگام استفاده از interpolation خطی، ابتدا باید فاصله زمانی را تعیین کنید که در آن مقدار استدلال x در حال سقوط است، و سپس آن را در فرمول (*) جایگزین کنید و مقدار تقریبی تابع را در این نقطه پیدا کنید
شکل 3-3 گراف وابستگی interpolation خطی.
ما داده های تجربی را انجام می دهیم
منبع: \u003d 0 شروع آرایه داده ها - ما از صفر در نظر می گیریم
من.: \u003d 1..6 تعداد عناصر در آرایه
داده های تجربی در دو بردار سازماندهی می شوند 
تکمیل شده توسط توابع ساخته شده در MathCAD ساخته شده است
درون یابی خطی
LF (x i): \u003d linterp (x، y، x)
interpolation جاسوسی مکعبی
CS: \u003d CSPLINE (X، Y)
یک اسپلین مکعبی را با داده های تجربی بسازید
LF (x i): \u003d linterp (x، y، x i)
interpolation spline
ما ترتیب تعامل را تعیین می کنیم. در بردار شما باید (n-1) عناصر کمتر از بردار باشد ایکس.، و اولین عنصر باید کمتر یا برابر با عنصر اول باشد ایکس.، و دومی بزرگتر یا برابر آخرین عنصر X است.
bs: \u003d bspline (x، y، u، n)
یک اسپلین بر روی داده های تجربی ایجاد کنید
BSF (X I): \u003d (BS، X، Y، X I)
ما یک نمودار از تمام توابع تقریب را در همان هواپیما مختصات ساختیم.
شکل 4.1 گراف از تمام توابع تقریبی در همان هواپیما مختصات.
در ریاضیات محاسباتی، interpolation از توابع نقش مهمی ایفا می کند، I.E. ساخت عملکرد مشخص شده از دیگری (به عنوان یک قاعده، ساده تر)، مقادیر آن با مقادیر تابع مشخص شده در برخی نقاط تعداد همخوانی دارد. علاوه بر این، interpolation هر دو معنای عملی و نظری دارد. در عمل، اغلب باعث مشکل بازگرداندن یک تابع پیوسته بر اساس مقادیر جدول آن، به عنوان مثال، در طی برخی از آزمایش ها به دست آمده است. برای محاسبه بسیاری از توابع، به نظر می رسد به طور موثر آنها را با چند جملهای و یا توابع منطقی کسری است. تئوری interpolating در ساخت و بررسی فرمول های چهارگانه برای ادغام عددی، برای به دست آوردن روش های حل معادلات دیفرانسیل و انتگرال استفاده می شود. ضرر اصلی تداخل چندجمله ای این است که در یکی از راحت ترین و اغلب شبکه های مورد استفاده قرار می گیرد - یک شبکه با گره های یکسان است. اگر این کار اجازه می دهد، این مشکل را می توان با انتخاب یک شبکه با گره های Chebyshev حل کرد. اگر ما نمی توانیم آزادانه گره های interpolation را انتخاب کنیم یا به سادگی نیاز به یک الگوریتم داشته باشیم، نه بیش از حد نیاز به انتخاب گره ها، و سپس interpolation عقلانی ممکن است جایگزین مناسب برای interpolation چندجملهای باشد.
مزایای استفاده از چرخش اسپلین شامل سرعت بالا پردازش الگوریتم محاسبات، از آنجا که اسپلین یک تابع چندجمله ای قطعی است و در طول تعویض، داده ها به طور همزمان با تعداد کمی از نقاط اندازه گیری متعلق به قطعه پردازش می شود که در حال حاضر در نظر گرفته می شود. سطح interpolated تغییرات فضایی یک مقیاس متفاوت را توصیف می کند و در همان زمان صاف است. شرایط دوم باعث می شود که تجزیه و تحلیل مستقیم هندسه و توپولوژی سطح با استفاده از روش های تحلیلی امکان پذیر باشد.
Interpolation معرفی تنظیم عمومی کار
هنگام حل مشکلات عملی مختلف، نتایج تحقیق در قالب جداول نشان می دهد وابستگی یک یا چند مقادیر اندازه گیری شده از یک پارامتر تعریف شده (Argument). این نوع جدول معمولا به صورت دو یا چند ردیف (ستون) ارائه می شود و برای تشکیل مدل های ریاضی استفاده می شود.
توابع مشخص شده در مدل های ریاضی معمولا در جداول فرم نوشته شده اند:
y1 (x) |
y (x0) |
y (x1) |
y (xn) |
||
ym (x) |
y (x0) |
y (x1) |
y (xn) |
اطلاعات محدود ارائه شده توسط چنین جداول در برخی موارد نیاز به به دست آوردن مقادیر توابع YJ (x) (j \u003d 1.2، ...، m) در نقاط X، که همزمان با نقاط گره جدول نیست Xi (I \u003d 0،1،2، ...، n). در چنین مواردی، لازم است برخی از بیان تحلیلی φ j (x) را تعیین کنیم تا مقادیر تقریبی عملکرد تابع y j (x) را در نقاط مشخص دلخواه X محاسبه کنیم. تابع φ j (x) مورد استفاده برای تعیین مقادیر تقریبی عملکرد Y J (x) یک تابع تقریبی نامیده می شود (از نزدیک به لاتین - نزدیک شدن). نزدیکی تابع تقریبی φ j (x) به تابع تقریبی Y J (x) با انتخاب الگوریتم تقریبی مربوطه تضمین می شود.
تمام ملاحظات و نتیجه گیری های بیشتر ما برای جداول حاوی داده های اولیه یک تابع تحت مطالعه (I.E. برای جداول با m \u003d 1) انجام خواهیم داد.
اغلب برای تعیین عملکرد φ (x)، یک بیانیه استفاده می شود، به نام فرمول بندی مشکل interpolation نامیده می شود.
در این فرمول کلاسیک از مشکل درون یابی، لازم است که تابع تحلیلی تقریبی φ (x)، مقادیر آن را در نقاط گره ای x I تعیین کنیم همزمان با ارزش هاY (X I) جدول منبع، I.E. شرایط
φ (x i) \u003d y I (I \u003d 0،1،2، ...، n) |
تابع تقریبی φ (x) ساخته شده به این ترتیب اجازه می دهد تا تقریبی کافی نزدیک به تابع interpolated Y (x) در محدوده مقادیر استدلال [x 0؛ x n] تعریف شده توسط جدول. هنگام تنظیم مقادیر استدلال x، متعلق نیستاین فاصله، مشکل درونگیری به وظیفه استخراج تبدیل می شود. در این موارد دقت
مقادیر به دست آمده با محاسبه مقادیر تابع φ (x) بستگی به فاصله ارزش استدلال x از x 0، اگر x باشد< Х 0 , или от Х n , если Х > x n
در مدل سازی ریاضی، تابع interpolating را می توان برای محاسبه مقادیر تقریبی تابع تحت مطالعه در نقاط متوسط \u200b\u200bزیر مطالعات زیر استفاده کرد [x i؛ x i + 1]. چنین روش نامیده می شود میز مهر و موم.
الگوریتم interpolation توسط روش محاسبه مقادیر تابع φ (x) تعیین می شود. ساده ترین و تجسم آشکار تابع interpolating، جایگزینی تابع مورد مطالعه Y (x) در فاصله [x i؛ X I + 1] با یک خط مستقیم خط اتصال Y I، Y I + 1. این روش یک روش interpolation خطی نامیده می شود.
با درون یابی خطی، مقدار تابع در نقطه X، که بین گره های X I و X I + 1 است، توسط فرمول یک خط مستقیم اتصال دو نقطه جدول مجاور تعیین می شود
y (x) \u003d y (xi) + |
y (xi + 1) - y (xi) |
(x - xi) (I \u003d 0،1،2، ...، n)، |
|
x i + 1 - x i |
|||
در شکل 1 یک نمونه از یک جدول به دست آمده به عنوان یک نتیجه از اندازه گیری یک مقدار خاص y (x) را نشان می دهد. ردیف ها، جدول منبع در پر کردن برجسته شده است. در سمت راست جدول یک نمودار نقطه ای مربوط به این جدول ساخته شده است. مهر و موم جدول به دلیل محاسبه فرمول ساخته شده است
(3) مقادیر تابع تقریبی در نقاط x مربوط به میله های میانی (I \u003d 0، 1، 2، ...، n).
عکس. 1. جدول فشرده از تابع y (x) و نمودار مربوطه
با توجه به برنامه در شکل. 1 می توان دید که نقاط به دست آمده به عنوان یک نتیجه از مهر و موم جدول با استفاده از روش interpolation خطی، بر روی بخش های نقاط اتصال مستقیم جدول منبع قرار می گیرند. دقت خطی
interpolation، اساسا بستگی به ماهیت عملکرد interpolated و در فاصله بین گره های جدول X I، x i + 1 بستگی دارد.
بدیهی است، اگر عملکرد صاف باشد، پس از آن، حتی در فاصله نسبتا بزرگ بین گره ها، گراف با اتصال نقاط خطوط مستقیم ساخته شده، به شما اجازه می دهد تا دقیقا با دقت برآورد شخصیت عملکرد Y (X). اگر تابع به سرعت تغییر کند، فاصله بین گره ها بزرگ است، تابع interpolating خطی اجازه نمی دهد تقریبی نسبتا دقیق به یک تابع واقعی را بدست آوریم.
تابع interpolating خطی را می توان برای تجزیه و تحلیل اولیه کلی و ارزیابی صحت نتایج درونیابی به دست آمده از سایر روش های دقیق تر استفاده کرد. چنین ارزیابی خاصی در مواردی است که محاسبات به صورت دستی انجام می شود.
روش interpolation تابع چندجملهای کانونی بر اساس ساخت یک تابع interpolating به عنوان یک چندجمله ای در فرم [1]
φ (x) \u003d pn (x) \u003d c0 + c1 x + c2 x 2 + ... + cn x n |
ضرایب با چندجملهای I (4) پارامترهای درون یابی آزاد هستند که از شرایط لاگرانژ تعیین می شوند:
pn (xi) \u003d yi، (i \u003d 0، 1، ...، n)
با استفاده از (4) و (5) ما یک سیستم معادلات را می نویسیم
c x + c x 2 |
c x n \u003d y |
|||||||
c x + c x 2 |
c x n. |
|||||||
C x 2 |
c x n \u003d y |
|||||||
بردار راه حل با I (I \u003d 0، 1، 2، ...، n) از سیستم معادلات جبری خطی (6) وجود دارد و می توان یافت اگر در میان گره های X I هماهنگ نیست. تعیین کننده سیستم (6) تعیین کننده Vandermond1 نامیده می شود و عبارت تحلیلی دارد [2].
1 تعیین کننده Vandermond تعیین کننده نامیده می شود
این برابر صفر است اگر و تنها اگر xi \u003d xj برای برخی. (ویکی پدیا - دانشنامه آزاد)
برای تعیین مقادیر ضرایب با I (I \u003d 0، 1، 2، ...، N)
معادلات (5) را می توان در فرم Vector-Matrix نوشته شده است
a * c \u003d y،
جایی که یک ماتریس ضرایب تعیین شده توسط جدول درجه از بردار Arguments x \u003d (Xi 0، XI، XI 2، ...، xin) T (I \u003d 0، 1، 2، ...، n)
x0 2 |
x0 n. |
||||||||
xN 2 |
xn n. |
||||||||
C یک ستون بردار ضرایب با I (I \u003d 0، 1، 2، ...، n)، و Y - بردار ستون مقادیر Yi (I \u003d 0، 1، 2، ...، n) عملکرد interpolated در گره های interpolation.
راه حل این سیستم معادلات جبری خطی می تواند توسط یکی از روش های شرح داده شده در [3] بدست آید. به عنوان مثال، توسط فرمول
c \u003d a - 1 y، |
جایی که A -1 ماتریس معکوس ماتریس A است. برای به دست آوردن یک ماتریس معکوس A -1، می توانید از تابع برنج () استفاده کنید، که در مجموعه ای از توابع استاندارد برنامه مایکروسافت اکسل گنجانده شده است.
پس از مقادیر ضرایب با استفاده از تابع (4) تعیین می شود، مقادیر تابع interpolated ممکن است برای هر مقدار استدلال x محاسبه شود.
ما ماتریس A را برای جدول نشان داده شده در شکل 1 نوشتیم، بدون توجه به خطوط جدول آب بندی.
شکل 2 ماتریس سیستم معادلات برای محاسبه ضرایب چندجملهای کانونی
با استفاده از تابع برنج ()، ما ماتریس A -1 ماتریس معکوس A (شکل 3) را به دست می آوریم. پس از آن، با توجه به فرمول (9)، ما بردار ضرایب C \u003d (C 0، C 1، C 2، ...، C 1، C 2، ...، C n) T، نشان داده شده در شکل . چهار.
برای محاسبه مقادیر چندجملهای کانونی به کانال ستون کانونی Y، مربوط به مقدار x 0، ما فرمول تبدیل شده به فرمول زیر مربوط به خط صفر سیستم (6)
\u003d ((((C 5 |
* x 0 + C 4) * x 0 + C 3) * x 0 + C 2) * x 0 + C 1) * x 0 + C 0 |
|
C0 + x * (C1 + x * (C2 + x * (C3 + x * (C4 + x * C5))))
به جای ضبط "C i" در فرمول وارد شده به یک جدول اکسل، یک مرجع مطلق باید به سلول مربوطه حاوی این ضریب تنظیم شود (نگاه کنید به شکل 4). به جای "x 0" - یک مرجع نسبی به سلول ستون X (نگاه کنید به شکل 5).
y canonical (0) مقادیر که با ارزش در سلول Y لین همزمان می شوند (0). هنگامی که کشش فرمول ثبت شده در سلول های کانونیک (0)، تصادفی و مقادیر Y کانونیک (I) مربوط به نقاط گره اولیه اولیه است
جداول (نگاه کنید به شکل 5).
شکل. 5. نمودار ساخته شده بر روی جداول خطی و کانونیک
مقایسه نمودارهای توابع ساخته شده بر اساس جداول محاسبه شده توسط فرمول های درونی و کانونیکال، ما در تعدادی از گره های متوسط \u200b\u200bمی بینیم که انحراف قابل توجهی از مقادیر به دست آمده با استفاده از فرمول های درونی و کانونیکال می شود. منطقی تر است که دقت بینابینی را قضاوت کنیم، بر اساس دستیابی به اطلاعات اضافی در مورد ماهیت فرآیند شبیه سازی شده.
این فصل از بیل ژلن است.
وظیفه: برخی از مشکلات طراحی مهندسی نیاز به استفاده از جداول برای محاسبه مقادیر پارامتر دارند. از آنجا که جداول گسسته هستند، طراح از یک interpolation خطی برای به دست آوردن مقدار پارامتر متوسط \u200b\u200bاستفاده می کند. جدول (شکل 1) شامل ارتفاع بالای زمین (پارامتر کنترل) و سرعت باد (پارامتر محاسبه شده) است. به عنوان مثال، اگر شما نیاز به پیدا کردن سرعت باد، مربوط به ارتفاع 47 متر، پس از آن فرمول باید اعمال شود: 130 + (180 - 130) * 7 / (50 - 40) \u003d 165 m / s.
دانلود یادداشت در فرمت یا نمونه های فرمت
اگر دو پارامتر کنترل وجود داشته باشد چه؟ آیا امکان انجام محاسبات با استفاده از فرمول مشابه وجود دارد؟ جدول (شکل 2) ارزش فشار باد را برای ارتفاع های مختلف و میزان ساختارهای مختلف نشان می دهد. لازم است که فشار باد را در ارتفاع 25 متر و میزان بالای 300 متر محاسبه کنید.
راه حل: ما با گسترش روش مورد استفاده برای یک مورد با یک پارامتر کنترل، مشکل را حل می کنیم. مراحل زیر را انجام دهید.
شروع از جدول نشان داده شده در شکل. 2. سلول های منبع را برای ارتفاع و عرض در J1 و J2 اضافه کنید (شکل 3).
شکل. 3. فرمول ها در سلول های J3: J17 کار MegaFormula را توضیح دهید
برای سهولت استفاده، فرمول ها نام ها را تعریف می کنند (شکل 4).
ردیابی کار فرمول به ترتیب از سلول J3 به سلول J17 حرکت می کند.
با جایگزینی معکوس معکوس، MegaPortulu را جمع آوری کنید. متن فرمول را از سلول J17 در J19 کپی کنید. مرجع J15 را به مقدار در مقدار J15: J7 + (J8-J7) * J11 / J13 جایگزین کنید. و غیره. این فرمول را تشکیل می دهد که شامل 984 کاراکتر است که نمی تواند در این شکل درک شود. شما می توانید آن را در فایل اکسل متصل کنید. مطمئن نیستید که این نوع مگا فرمول در استفاده مفید است.
خلاصه: برای به دست آوردن مقدار پارامتر متوسط، از بین بردن خطی استفاده می شود، اگر مقادیر جدول فقط برای مرزهای محدوده تعیین شود؛ روش محاسبه برای دو پارامتر کنترل پیشنهاد شده است.
این اصطلاح دارای معانی دیگر است، بینابینی را ببینید. در عملکرد، ببینید: interpolynta.دخالت, interpolating (از جانب لات بین پلیس - « صاف، بازتولید شده، به روز شده؛ تغییر یافته") - در محاسبات ریاضیات، روش پیدا کردن مقادیر متوسط \u200b\u200bمقدار با توجه به مجموعه گسسته موجود از مقادیر شناخته شده. اصطلاح "interpolation" برای اولین بار از جان ولایس در رساله خود "ریاضی بی پایان" (1656) استفاده شد.
در تجزیه و تحلیل عملکرد، interpolation اپراتورهای خطی بخش است که فضای Banach را به عنوان عناصر برخی از دسته ها در نظر می گیرد.
بسیاری از کسانی که با محاسبات علمی و مهندسی مواجه هستند، اغلب باید با مجموعه ای از مقادیر به دست آمده به وسیله تجربه و یا به روش نمونه گیری تصادفی عمل کنند. به عنوان یک قاعده، بر اساس این مجموعه، لازم است یک تابع را که در آن مقادیر دیگر به دست آمده می تواند با دقت بالا کاهش یابد، لازم است. این وظیفه تقریبی است. Interpolation به عنوان نوعی تقریبی نامیده می شود، که در آن منحنی تابع ساخته شده دقیقا از طریق نقاط داده موجود عبور می کند.
همچنین یک مشکل نزدیک به interpolation وجود دارد، که تقریبا هر گونه عملکرد پیچیده دیگری، عملکرد ساده تر است. اگر برخی از تابع برای محاسبات تولیدی بسیار پیچیده است، می توانید سعی کنید مقدار آن را در چندین نقطه محاسبه کنید و آنها را بسازید، این، این، تابع interpolate، ساده تر است. البته، استفاده از یک تابع ساده اجازه نمی دهد که همان نتایج دقیق را بدست آوریم که عملکرد اولیه داده می شود. اما در برخی از کلاس ها، وظایف به دست آمده در سادگی به دست آوردند و میزان محاسبات می تواند خطای حاصل را در نتایج ترجمه کند.
همچنین باید ذکر شود و انواع مختلفی از interpolation ریاضی، شناخته شده به عنوان "interpolation of operators". کار کلاسیک در تعامل اپراتورها شامل قضیه Riesz-Thorin و قضیه قضیه Marcinkiewicz (قضیه Marcinkiewicz)، که پایه ای برای انواع آثار دیگر است.
یک سیستم نقاط غیر پلت فرم XI را در نظر بگیرید (\\ displaystyle x_ (i)) (i ∈ 0، 1، ...، n (\\ displaystyle i \\ in (0.1، \\ dots، n))) از برخی از مناطق D ( \\ displayStyle D). اجازه دهید مقادیر تابع f (\\ displaystyle F) تنها در این نکات شناخته شده است:
y I \u003d f (x i)، i \u003d 1، ...، n. (\\ displaystyle y_ (i) \u003d f (x_ (i))، \\ quad i \u003d 1، \\ ldots، n.)
وظیفه interpolation این است که برای جستجوی چنین تابع f (\\ displaystyle f) از یک کلاس داده شده از توابع، که
f (x i) \u003d y i، i \u003d 1، ...، n. (\\ displaystyle f (x_ (i)) \u003d y_ (i)، \\ quad i \u003d 1، \\ ldots، n.)
1. اجازه دهید ما یک تابع جدول داشته باشیم، مانند زیر شرح زیر، که برای چندین x (\\ displaystyle x) مقادیر مربوطه F (\\ displayStyle F) را ارزش می دهد:
x (\\ displaystyle x) f (x) (\\ displaystyle f (x))
| 0 | |
| 1 | 0,8415 |
| 2 | 0,9093 |
| 3 | 0,1411 |
| 4 | −0,7568 |
| 5 | −0,9589 |
| 6 | −0,2794 |
Interpolation به ما کمک می کند تا یاد بگیریم که چه مقدار می تواند عملکرد را در یک نقطه به غیر از نقاط مشخص شده (به عنوان مثال، ایکس. = 2,5).
تا به امروز، راه های مختلفی برای interpolation وجود دارد. انتخاب مناسب ترین الگوریتم بستگی به پاسخ به سوالات دارد: به عنوان روش دقیق انتخاب شده، هزینه های استفاده از آن، چقدر صاف یک تابع درون یابی است، که مقادیر داده های داده آن نیاز دارد، و غیره
2. مقدار متوسط \u200b\u200b(روش interpolation خطی) را پیدا کنید.
| 6000 | 15.5 |
| 6378 | ? |
| 8000 | 19.2 |
15.5 + (6378 - 6000) 8000 - 6000 * (19.2 - 15.5) 1 \u003d 16.1993 (\\ displaystyle \u003d 15.5 + (\\ frac ((6378-6000)) (8000-6000)) * (\\ frac (19.2- 15.5)) (1)) \u003d 16.1993)
یک نمونه از interpolation خطی برای عملکرد y \u003d 3 x + x 2 (\\ displaystyle y \u003d 3x + x ^ (2)). کاربر می تواند یک عدد را از 1 تا 10 وارد کند.
ساده ترین راه برای interpolation Interpolation توسط نزدیکترین همسایه است.
در عمل، Interpolation اغلب توسط چندجملهای مورد استفاده قرار می گیرد. این در درجه اول به دلیل این واقعیت است که چند جملهای به راحتی محاسبه می شود، آسان است به تجزیه و تحلیل از مشتقات خود را پیدا کنید و بسیاری از چند جملهای در فضای توابع مداوم (قضیه Weiersstrass).
در کلاس توابع از فضا C2، نمودارهایی که از طریق نقاط آرایه عبور می کنند (Xi، Yi)، I \u003d 0، 1،. . . ، m
تصمیم گیری در میان تمام توابع که از طریق نقاط پشتیبانی (Xi، F (XI) عبور می کنند) و متعلق به فضای ذکر شده است، این SPLINE Cubic S (X) است که شرایط مرزی S00 را برآورده می کند (a) \u003d s00 (b) \u003d 0 ، یک افراطی (حداقل) کاربردی I (F) را فراهم می کند.
اغلب در عمل یک وظیفه جستجو برای ارزش مشخصی از عملکرد ارزش استدلال وجود دارد. این وظیفه با روش های درون گیری معکوس حل می شود. اگر تابع monotonna مشخص شده باشد، سپس درونی شدن معکوس ساده تر می شود که بتواند عملکرد این استدلال را جایگزین کند و بالعکس و پیگیری بعدی آن را جایگزین کند. اگر عملکرد مشخص شده یکنواخت نیست، از این تکنیک استفاده غیرممکن است. سپس، بدون تغییر نقش عملکرد و استدلال، یک فرمول یک یا چند مورد را بنویسید؛ با استفاده از مقادیر شناخته شده این استدلال و با توجه به عملکرد شناخته شده، معادله حاصل را نسبت به استدلال حل می کند.
ارزیابی عضو باقی مانده هنگام استفاده از اولین پذیرش، همانند Interpolation مستقیم خواهد بود، تنها مشتقات از عملکرد مستقیم باید توسط مشتقات از عملکرد تغذیه جایگزین شود. ما خطای روش دوم را تخمین می زنیم. اگر ما یک تابع f (x) و ln (x) را مشخص کردیم - چندجملهای interpolation lagrange، ساخته شده برای این عملکرد در امتداد گره X0، X1، X2،. . . ، xn، سپس
f (x) - ln (x) \u003d (n + 1)! (x- x0). . . (x - xn).
فرض کنید ما باید ارزش X¯ را پیدا کنیم، که در آن F (¯x) \u003d y¯ (Y¯ SET). ما معادله LN را حل خواهیم کرد (x) \u003d y¯. ما یک معنی خاص x¯ به دست می آوریم. جایگزینی در معادله قبلی، ما دریافت می کنیم:
Mn + 1. |
f (x¯) - ln (x¯) \u003d f (x¯) - y¯ \u003d f (x¯) - f (¯x) \u003d |
|||||||||||
|
با استفاده از فرمول Langrowa، ما دریافت می کنیم |
|||||||||||
|
(x¯ - x¯) f0 (η) \u003d |
|||||||||||
|
جایی که η بین x¯ و x¯ وجود دارد. اگر - فاصله ای که شامل x¯ و x¯ و min است |
|||||||||||
از آخرین عبارت نشان می دهد:
| x¯ - x¯ | 6M1 (n + 1)! | $ n (x¯) | .
در این مورد، البته، فرض بر این است که معادله LN (x) \u003d y ¯ ما تصمیم گرفتیم مطمئن شویم.
تئوری اینترپولوژی هنگام طراحی جداول توابع استفاده می شود. با دریافت چنین کاری، ریاضیدان باید برای شروع محاسبات تعدادی از مسائل تصمیم بگیرد. فرمول باید انتخاب شود، که محاسبه خواهد شد. این فرمول ممکن است از سایت به سایت متفاوت باشد. معمولا، فرمول ها برای محاسبه مقادیر عملکرد بزرگ هستند و از این رو آنها برای به دست آوردن مقادیر مرجع استفاده می شوند و سپس با جایگزینی، جدول را ضخیم می کنیم. فرمول که مقادیر مرجع تابع را می دهد، باید دقت دلخواه جداول را با زیر زیرمجموعه بعدی ارائه دهد. اگر شما نیاز به جداول با یک گام ثابت دارید، ابتدا باید گام خود را تعیین کنید.
بازگشت اول قبلی بعدی آخرین موضوع پرش
اغلب، جدول توابع کامپایل شده به طوری که یک درونی درگیری خطی امکان پذیر است (یعنی درونگرا با استفاده از دو عضو اول فرمول تیلور). در این مورد، عضو باقی مانده خواهد بود
R1 (X) \u003d F00 (ξ) H2T (T - 1).
در اینجا ξ متعلق به فاصله بین دو مقادیر جدول مجاور استدلال است که در آن X، و T بین 0 و 1 نتیجه گیری می شود. محصول T (T - 1) بزرگترین ماژول را می گیرد
ارزش در t \u003d 12. این مقدار برابر با 14 است. بنابراین،
باید به یاد داشته باشید که در کنار این خطا - خطا از روش، با محاسبه عملی مقادیر متوسط، هنوز یک خطای بی خطر و دقت گرد کردن وجود خواهد داشت. همانطور که قبلا دیده ایم، خطای محو شدن در interpolation خطی برابر با خطای مقادیر تابع جدول بندی خواهد بود. خطای گردابی به محاسبات و از برنامه محاسبه بستگی دارد.
بازگشت اول قبلی بعدی آخرین موضوع پرش
تفاوت دوم مرتبه دوم، 8 مرتبه اول، 8
اسپلینت، 15
گره های interpolation، 4
بازگشت اول قبلی بعدی آخرین موضوع پرش
فرمول برای interpolation از داده های جدولی
در یک اقدام دوم هنگامی که مقدار NHP (Q، T) از شرایط استفاده می شود استفاده می شود دارای مقدار متوسط \u200b\u200bبین 100 تن و 300 تن.
(یک استثنا: اگر Q، با شرایط برابر با 100 یا 300، پس از آن interpolation مورد نیاز نیست).
y. o. - تعداد اولیه شما از NHP از وضعیت، در تن
(مربوط به حرف Q)
y. 1 – کمتر
(از جدول 11-16، به طور معمول برابر با 100).
y. 2 – بیشتر نزدیکترین ارزش شما از تعداد NHP، در تن
(از جدول 11-16، معمولا برابر با 300 است).
ایکس. 1 y. 1 (ایکس. 1 واقع بر خلاف y. 1 )، کیلومتر
ایکس. 2 - مقدار جدول عمق انتشار یک ابر هوای آلوده (G T) y. 2 (ایکس. 2 واقع بر خلاف y. 2 )، کیلومتر
ایکس. 0 - ارزش ثانویه G. t. مربوط y. o. (با توجه به فرمول).
مثال.
NHR - کلر؛ q \u003d 120 تن؛
نوع SVSP (درجه مقاومت هوا عمودی) - inversion.
برای پیدا کردن G. t. - مقدار جدول عمق انتشار یک ابر هوای آلوده.
ما جداول 11-16 را مشاهده می کنیم و داده های مربوط به وضعیت شما (کلر، inversion) را پیدا می کنیم.
متناسب با جدول 11
مقادیر را انتخاب کنید y. 1 , y. 2, ایکس. 1 , ایکس. 2 . مهم - سرعت باد 1 متر بر ثانیه، دمای 20 سیستم عامل را بگیرید.
ما مقادیر انتخاب شده را در فرمول جایگزین می کنیم و پیدا می کنیم ایکس. 0 .
مهم - محاسبه صحیح است ایکس. 0 یک مقدار در جایی بین ارزش دارد ایکس. 1 , ایکس. 2 .
پیشنهاد شده توسط الگوریتم لاگرانژ برای ساخت interpolating
توابع با توجه به جداول (1) شامل ساخت یک پلی اتیلن لین (X) interpolation در قالب
واضح است که پیاده سازی شرایط برای (10) (11)، اجرای شرایط (2) فرمول بندی مشکل این درون گیری را تعیین می کند.
لی (x) به صورت زیر ثبت می شود.
توجه داشته باشید که هیچ ضریب تقلید در فرمول فرمول (14) برابر صفر نیست. محاسبه مقدار ثابت CI، شما می توانید از آنها برای محاسبه مقادیر عملکرد interpolated در نقاط مشخص استفاده کنید.
فرمول چندجملهای اینترپولوژی لاگرانژ (11) با توجه به فرمول ها (13) و (14) را می توان در فرم ثبت کرد
|
qi (x - x1) (x - x1) k (x - xi -1) (x - xi +1) k (x - xn) |
استفاده مستقیم از فرمول لاگرانژ منجر به تعداد زیادی از محاسبات تک نوع می شود. برای جداول ابعاد کوچک، این محاسبات را می توان به صورت دستی و در محیط برنامه انجام داد.
در مرحله اول، الگوریتم محاسبات انجام شده توسط دست را در نظر بگیرید. در آینده، محاسبات مشابه باید در محیط زیست تکرار شود.
مایکروسافت اکسل یا OpenOffice.org Calc.
در شکل 6 نمونه ای از جدول منبع تابع interpolated تعیین شده توسط چهار گره را نشان می دهد.
شکل 6. جدول حاوی داده های منبع برای چهار گره عملکرد interpolated
در ستون سوم جدول، ما مقادیر ضرایب QI محاسبه شده توسط فرمول ها (14) را نوشتیم. در زیر، رکورد این فرمول ها برای n \u003d 3 است.
q0 \u003d y0 / (x0-x1) / (x0-x2) / (x0-x3) q1 \u003d y1 / (x1-x0) / (x1 x2) / (x1-x3) (16) Q2 \u003d y2 / (x2 -x0) / (x2-x1) / (x2-x3) q3 \u003d y3 / (x3-x0) / (x3-x1) / (x3-x2)
گام بعدی در اجرای محاسبات دستی محاسبات Li (x) مقادیر (j \u003d 0،1،2،3)، انجام شده توسط فرمول ها (13) است.
ما این فرمول ها را برای جدول جدول با چهار گره در نظر می گیریم:
l0 (x) \u003d q0 (x - x1) · (x-x2) · (x-x3)،
l1 (x) \u003d q1 (x - x0) · (x - x2) · (x-x3)،
l2 (x) \u003d q2 (x - x1) · (x - x3) · (x - x3)، (17) l3 (x) \u003d q3 (x - x0) · (x - x1) · (x - x2) .
ما مقادیر چندجملهای Li (xj) را محاسبه می کنیم (j \u003d 0،1،2،2،3) و آنها را به سلول های جدول ارسال می کنیم. مقادیر تابع (x)، با توجه به فرمول (11)، به عنوان یک نتیجه از جمع آوری valueLi (xj) بر روی ردیف به دست می آید.
فرمت جدول، که شامل ستون های مقادیر محاسبه شده LI (XJ) و ستون مقادیر (x)، در شکل 8 نشان داده شده است.
شکل. 8. جدول با محاسبات دستی، با توجه به فرمول ها (16)، (17) و (11) برای تمام مقادیر استدلال XI ساخته شده است
شکل گیری تشکیل جدول نشان داده شده در شکل. 8، با توجه به فرمول ها (17) و (11)، می توان مقدار تابع interpolated را برای هر مقدار از استدلال x محاسبه کرد. به عنوان مثال، برای توابع \u003d 1 محاسبه مقادیر Li (1) ( I \u003d 0،1،2،3):
l0 (1) \u003d 0.7763؛ L1 (1) \u003d 3،5889؛ L2 (1) \u003d - 1،5155؛ L3 (1) \u003d 0.2966.
جمع کردن مقادیر Li (1) به دست آوردن مقدار رابط (1) \u003d 3،1463.
پیاده سازی الگوریتم بینابینی آغاز می شود، و همچنین با محاسبات دستی از فرمول فرمول برای محاسبه ضرایب QI در شکل. 9 ستون های جدول را با مقادیر مشخص شده از این استدلال، تابع interpolated و ضرایب را نشان می دهد. به سمت راست این جدول، فرمول های ثبت شده در ستون های سلولی ثبت شده برای محاسبه مقادیر ضریب coelficientsqi.
sUN 2: "\u003d B2 / ((A2-A3) * (A2-A4) * (A2-A5))" æ Q0
sC3: "\u003d B3 / ((A3-A4) * (A3-A5) * (A3-A2) *" æ Q1
sUN4: "\u003d B4 / ((A4-A5) * (A4-A2) * (A4-A3))" æ Q2
sUN5: "\u003d B5 / ((A5-A2) * (A5-A3) * (A5-A4) * (A5-A4))" æ Q3
شکل. 9 ضرایب Qi جدول و فرمول های محاسباتی
پس از ورود به فرمول Q0 به سلول C2، از سلول های C3 به C5 خارج می شود. پس از آن، فرمول ها در این سلول ها مطابق با (16) به شکل نشان داده شده در شکل تنظیم می شوند. نه.
Yurch (Xi)، اصلاح فرمول (17)، فرمول را برای محاسبه مقادیر Li (x) (I \u003d 0،1،2،3) در سلول های ستون های D، E، F و G. به CellD2 برای محاسبه مقدار L0 (x0)، فرمول را بنویسید:
\u003d $ C $ 2 * ($ a2- $ $ 3) * ($ a2- $ 4) * ($ a2- $ 5 $)،
ما مقادیر L0 (XI) را به دست می آوریم (I \u003d 0،1،2،2،3).
فرمت مرجع $ A2 باعث می شود که فرمول برای ستون، F، G برای تشکیل فرمول های محاسباتی برای Calculationli (x0) (I \u003d 1،2،3) گسترش یابد. هنگام کشش فرمول در خط، استدلال ستون شاخص تغییر نمی کند. برای Calculationli (X0) (I \u003d 1،2،3)، پس از کشش Formula0 (X0)، لازم است آنها را با فرمول ها تنظیم کنید (17).
موسسه N فرمول اکسل فرمول برای جمع آوری (X) توسط فرمول
(11) الگوریتم.
در شکل 10 جدول را در برنامه مایکروسافت اکسل اجرا می کند. نشانه صحت فرمول های ضبط شده در سلول های ثبت شده در سلول ها و عملیات محاسباتی انجام شده، ماتریس مورب LI (xj) (I \u003d 0،1،2،3) است (j \u003d 0،1،2 ، 3)، تکرار نتایج داده شده در شکل. 8، و ستون مقادیر همزمان با مقادیر تابع interpolated در گره های جدول منبع.
شکل. 10. جدول مقادیر Li (XJ) (j \u003d 0،1،2،3)، و XJ (XJ)
برای محاسبه مقادیر در برخی از نقاط متوسط \u200b\u200bبه اندازه کافی
سلول های ستون A، با شروع از سلول های 6، مقادیر استدلال هایی را که برای تعیین مقادیر تابع interpolated مورد نیاز است، وارد کنید. برجسته
در آخرین (5th) خط سلول سلولی OTL0 (XN) Doyrach (XN) و کشش فرمول های ثبت شده در سلول های انتخاب شده به رشته حاوی آخرین
مقدار مشخص شده از استدلال X.
در شکل 11 جدول را نشان می دهد که در آن مقادیر مقدار تابع در سه نقطه محاسبه می شود: x \u003d 1، x \u003d 2 و x \u003d 3. جدول یک ستون اضافی را با تعداد جدول داده های اولیه معرفی کرد.
شکل. 11. محاسبه مقادیر تابع interpolated با استفاده از فرمول های لاگرانژ
برای وضوح بیشتری از نمایش نتایج درونیابی، ما یک جدول را ساختیم که شامل یک ستون دستور داده شده برای افزایش مقادیر استدلال x، ستون مقادیر منبع تابع (x) و ستون
ایوان Shestakovich
ساده ترین، اما اغلب نسبتا دقیق تر درونی خطی است. هنگامی که شما در حال حاضر دارای دو نقطه شناخته شده (x1 u1) و (x2 y2)، و شما نیاز به پیدا کردن مقادیر در یک روز از برخی از x که بین x1 و x2 است. سپس فرمول ساده است.
Y \u003d (U2-U1) * (X-X1) / (X2-X1) + U1
به هر حال، این فرمول کار می کند و در مقادیر x خارج از شکاف x1..x2 کار می کند، اما این در حال حاضر نامعلوم است و در فاصله قابل توجهی از این شکاف، خطای بسیار بیشتری را ارائه می دهد.
بسیاری از تشک های دیگر وجود دارد. روش های interpolation - من به شما توصیه می کنم که یک آموزش یا رومیک و اینترنت را بخوانید.
روش تداخل گرافیک از مطالعه حذف نمی شود - در کتابچه راهنمای کاربر از طریق نقاط شناخته شده و برای X مورد نظر از گرافیک U.؛)
رمان
شما دو معنی دارید و تقریبا وابستگی (خطی، درجه دوم، ..)
برنامه این تابع از طریق دو نقطه شما عبور می کند. شما نیاز به یک مقدار در جایی بین. خوب، شما بیان می کنید!
مثلا. در قرص در دمای 22 درجه، فشار بخارات اشباع 120،000 PA و در 26،124،000 PA. سپس در دمای 23 درجه 121000 PA.
یک شبکه مختصات بر روی نقشه وجود دارد (تصویر).
این دارای نقاط مرجع شناخته شده (N\u003e 3)، داشتن دو مقدار X، Y - مختصات در پیکسل ها و مختصات در متر است.
لازم است مقادیر مختصات متوسط \u200b\u200bدر متر را پیدا کنید، دانستن مختصات در پیکسل ها.
interpolation خطی مناسب نیست - خطای بیش از حد در خارج از خط.
این عبارتی است: (XC - Coord. در متر در اوه، XP - Coord. در پیکسل، OH، XC3 ارزش مورد نظر OH)
XC3 \u003d (XC1-XC2) / (XP1-XP2) * (XP3-XP2) + XC2
YC3 \u003d (YC1-YC2) / (YP1-YP2) * (YP3-YP2) + YC2
نحوه پیدا کردن همان فرمول برای پیدا کردن XC و YC، با توجه به دو (به عنوان اینجا)، و n نقاط مرجع معروف؟
Joka Fern Lowd.
قضاوت توسط فرمول های صادر شده، محورهای سیستم های مختصات در پیکسل ها و در متر هماهنگ است؟
به عبارت دیگر، به طور مستقل XP -\u003e XC و به طور مستقل YP -\u003e YC interpolates. اگر نه، پس از آن شما باید از دو بعدی Interpolation XP، YP-\u003e XC و XP، YP-\u003e YC استفاده کنید، که این کار را تا حدودی پیچیده می کند.
علاوه بر این نشان می دهد که مختصات XP و XC با برخی وابستگی ها همراه است.
اگر شخصیت وابستگی شناخته شود (مثلا فرض می شود، ما فرض می کنیم که xc \u003d a * xp ^ 2 + b * xp + c)، شما می توانید پارامترهای این وابستگی را بدست آورید (برای وابستگی وابسته a، b، ج) با استفاده از تجزیه و تحلیل رگرسیون (روش کوچکترین مربع). در این روش، اگر شما یک وابستگی خاص XC (XP) را مشخص کنید، می توانید فرمول را برای پارامترهای بسته به داده های مرجع بدست آورید. این روش اجازه می دهد تا، به ویژه، برای پیدا کردن و وابستگی خطی، که بهترین رضایت این مجموعه داده ها را فراهم می کند.
معایب: در این روش، مختصات XC به دست آمده با توجه به نقاط مرجع XP ممکن است از مشخص شده متفاوت باشد. به عنوان مثال، به عنوان مثال، تقریبی مستقیم صرف شده در نقاط تجربی دقیقا از طریق این نکات خود عبور نمی کند.
اگر تطبیق دقیق مورد نیاز باشد و ماهیت وابستگی ناشناخته باشد، شما باید از روش های interpolation استفاده کنید. ساده ترین ریاضیات چندجملهای درون یابی لاگرانژ، دقیقا از طریق نقاط مرجع عبور می کند. با این حال، به موجب درجه بالایی از این چندجمله، با تعداد زیادی از نقاط مرجع و کیفیت بینابینی ضعیف، بهتر است از آن استفاده نکنیم. مزیت یک فرمول نسبتا ساده است.
بهتر است از اسپلین های interpolation استفاده کنید. ماهیت این روش این است که در هر محل بین دو نقطه مجاور، وابستگی به وسیله چندجمله ای درگیر شد و شرایط صافی در نقاط دوخت دو فواصل ثبت می شود. مزیت این روش کیفیت درون یابی است. معایب - تقریبا غیرممکن است که فرمول کلی را حذف کنید، شما باید ضرایب چندجملهای را در هر سایت الگوریتمی پیدا کنید. یکی دیگر از نقاط ضعف پیچیدگی تعمیم در درون یابی دو بعدی است.
