چگونه فاصله را از نقطه به هواپیما پیدا کنید. فاصله از نقطه به هواپیما. نظریه مفصل با نمونه ها (2020). روش. روش مختصات

, مسابقه "ارائه به درس"

کلاس: 11

ارائه به درس

برگشت به جلو

توجه! اسلایدهای پیش نمایش به طور انحصاری برای اهداف اطلاعاتی مورد استفاده قرار می گیرند و ممکن است ایده هایی در مورد تمام قابلیت های ارائه ارائه ندهند. اگر شما علاقه مند به این کار هستید، لطفا نسخه کامل را دانلود کنید.

اهداف:

تعمیم و سیستماتیک دانش و مهارت های دانش آموزان؛
توسعه مهارت ها برای تجزیه و تحلیل، مقایسه، نتیجه گیری نتیجه گیری.

تجهیزات:

پروژکتور چند رسانه ای؛
یک کامپیوتر؛
ورق های متون وظایف

شغل ساخت

I. لحظه سازمانی

دوم مرحله تحقق دانش (اسلاید 2)

ما تکرار می کنیم که فاصله از نقطه به هواپیما تعیین می شود.

III سخنرانی (6-15 نمره)

در کلاس ما راه های مختلفی را برای پیدا کردن فاصله از نقطه به هواپیما در نظر می گیریم.

روش اول: فاز محاسباتی

فاصله از نقطه m به هواپیما α:
- برابر با فاصله تا هواپیما α از نقطه دلخواه P به طور مستقیم، که از طریق نقطه m عبور می کند و موازی با سطح α عبور می کند؛
- برابر با فاصله تا هواپیما α از نقطه دلخواه P دروغ در هواپیما β، که از طریق نقطه m عبور می کند و موازی با هواپیما α.

اجازه دهید وظایف زیر:

№1. در کوبا ... D 1 فاصله را از نقطه از 1 به هواپیما AB 1 پیدا کنید.

باقی مانده است برای محاسبه طول طول بخش 1 N.

№2. در منشور شش ضلعی صحیح ... F 1، تمام لبه های آن 1، فاصله را از نقطه A به هواپیمای DEA 1 دریافت کنید.

روش بعدی: حجم روش.

اگر حجم هرم AVSM برابر با V باشد، فاصله از نقطه m به هواپیما حاوی α حاوی ΔAVs با فرمول ρ (m؛ α) \u003d ρ (m؛ avc) \u003d محاسبه می شود
هنگام حل مشکلات، ما از برابری حجم یک شکل استفاده می کنیم که به دو روش متفاوت بیان می شود.

کار زیر را مشخص کنید:

№3. AD Pyramid DABC عمود بر هواپیما پایه ABC است. فاصله را از یک هواپیما عبور کنید تا از وسط دنده های Au، AC و AD عبور کنید، اگر.

هنگام حل وظایف روش مختصات فاصله از نقطه m به هواپیما α را می توان با فرمول ρ (m؛ α) محاسبه کرد جایی که m (x 0؛ y 0؛ z 0)، و هواپیما توسط معادله AX + + + CZ + D \u003d 0 تنظیم شده است

کار زیر را مشخص کنید:

№4. در یک مکعب تک ... D 1، فاصله را از نقطه 1 به هواپیما VDC 1 بروید.

ما سیستم مختصات را با شروع در نقطه A معرفی می کنیم، محور Y در امتداد Ribbar Au، Axis X در امتداد لبه AA، محور Z - در امتداد لبه AA 1 عبور می کند. سپس مختصات نقاط در (0؛ 1؛ 0) D (1؛ 0؛ 0؛) C 1 (1؛ 1؛ 1)
ما معادله هواپیما را از طریق نقاط B، D، C 1 انجام خواهیم داد.

سپس - DX - DY + DZ + D \u003d 0 X + Y - Z - 1 \u003d 0. بنابراین، ρ \u003d

روش زیر که می تواند هنگام حل وظایف این نوع استفاده شود - روش وظایف مرجع

استفاده از این روش، اعمال وظایف پشتیبانی شناخته شده است که به عنوان قضیه فرموله شده است.

کار زیر را مشخص کنید:

№5. در یک کوبا تک ... D 1، فاصله را از نقطه d 1 به هواپیما AB 1 S.

برنامه را در نظر بگیرید روش بردار

№6. در یک مکعب تک ... D 1، فاصله را از نقطه 1 به هواپیما VC 1 بروید.

بنابراین، ما به شیوه های مختلفی نگاه کردیم که می تواند هنگام حل این نوع وظایف مورد استفاده قرار گیرد. انتخاب این یا آن روش بستگی به وظیفه خاص و ترجیحات شما دارد.

IV کار گروهی

سعی کنید مشکل را به روش های مختلف حل کنید.

№1. کوبا ... D 1 برابر است. فاصله را از بالای صفحه به BDC 1 پیدا کنید.

№2. در سمت راست tetrahedra از AVD با لبه، فاصله را از نقطه A به هواپیما BDC دریافت کنید

№3. در منشور مثلثی درست ABSA 1 در 1 S 1 از تمام لبه های آن 1، فاصله را از A به هواپیما BCA 1 پیدا کنید.

№4. در پیمایش SAPCD Quadrangular درست، تمام لبه های آن برابر با 1، فاصله را از A به هواپیما SCD پیدا کنید.

V. درس نتایج، تکالیف، بازتاب

در فضای برخی از هواپیما π و نقطه دلخواه m 0 را در نظر بگیرید. برای یک هواپیما انتخاب کنید بردار عادی واحد n S. شروع در برخی از نقطه m 1 ∈ π، و اجازه دهید P (m 0، π) فاصله ای از نقطه m 0 به هواپیما Π باشد. سپس (شکل 5.5)

p (m 0، π) \u003d | PR n m 1 m 0 | \u003d | nm 1 m 0 |، (5.8)

از آنجا که | n | \u003d 1

اگر هواپیما Π تنظیم شده باشد سیستم مختصات مستطیلی با معادله مشترک آن AX + BY + CZ + D \u003d 0، سپس بردار طبیعی آن، بردار با مختصات (a؛ b؛ c) و به عنوان یک بردار معمولی شما می توانید انتخاب کنید

اجازه دهید (x 0؛ y 0؛ z 0) و (x 1؛ y 1؛ z 1) مختصات نقاط M 0 و M 1. سپس برابری تبر 1 + توسط 1 + CZ 1 + D \u003d 0 ساخته شده است، از آنجا که نقطه M 1 متعلق به هواپیما است، و مختصات بردار m 1 m 0: m 1 m 0 \u003d (x 0 -x 1 ؛ y 0 -y 1؛ z 0 -z 1). نوشتن حاصلضرب عددی nm 1 m 0 در فرم مختصات و تبدیل (5.8)، ما دریافت می کنیم

از آنجا که تبر 1 + توسط 1 + CZ 1 \u003d - D. بنابراین برای محاسبه فاصله از نقطه به هواپیما شما نیاز به جایگزینی مختصات نقطه در معادله عمومی هواپیما، و سپس مقدار مطلق نتیجه است تقسیم به یک ضریب عادی، برابر طول بردار طبیعی مربوطه است.

شرایط موازی و عمود بر

1 درجه. شرایط همدم دو هواپیما

اجازه دهید دو هواپیما داده شود:

آ. 1 ایکس. + ب 1 y + C. 1 z. + D. 1 = 0, n. 1 = {آ. 1 ; ب 1 ; C. 1 } ≠ 0 ;(1)

آ. 2 ایکس. + ب 2 y + C. 2 z. + D. 2 = 0, n. 2 = {آ. 2 ; ب 2 ; C. 2 } ≠ 0 .(2)

هنگامی که آنها محفظه هستند (به عنوان مثال، موازی یا همزمان)؟ بدیهی است، پس از آن خواهد بود و تنها اگر بردارهای طبیعی خود را تشکیل می دهند. با استفاده از معیار نسبی، ما دریافت می کنیم

پیشنهاد 1 دو محفظه هواپیما سپس و تنها اگر محصول بردار بردارهای معمولی آنها برابر با بردار صفر باشد:

[n. 1 , n. 2 ] = 0 .

2 درجه هماهنگی دو هواپیما

پیشنهاد 2 هواپیما (1) و (2) پس از آن همزمان و تنها اگر تمام چهار ضلعی آنها متناسب باشند، یعنی این تعداد λ وجود دارد

آ. 2 \u003d λ. آ. 1 , ب 2 \u003d λ. ب 1 , C. 2 \u003d λ. C. 1 , D. 2 \u003d λ. D. 1 . (3)

شواهد و مدارک. اجازه دهید شرایط (3) تکمیل شود. سپس معادله هواپیما دوم را می توان ثبت کرد:

λ آ. 1 ایکس. + λ ب 1 y + λ C. 1 z. + λ D. 1 = 0.

λ ≠ 0، در غیر این صورت آن خواهد بود آ. 2 = ب 2 = C. 2 = D. 2 \u003d 0، که با این شرایط مخالف است n. 2 ≠ 0 . در نتیجه، معادله آخر معادل معادله (1) است، به این معنی که دو هواپیما همزمان هستند.

در حال حاضر، پس از آن، برعکس، شناخته شده است که این هواپیما همزمان است. سپس بردارهای طبیعی خود را پوشش می دهند، یعنی چنین تعداد λ چنین است

آ. 2 \u003d λ. آ. 1 , ب 2 \u003d λ. ب 1 , C. 2 \u003d λ. C. 1 .

معادله (2) اکنون می تواند در فرم بازنویسی کند:

λ آ. 1 ایکس. + λ ب 1 y + λ C. 1 z. + D. 2 = 0.

معادله ضرب (1) بر روی λ، ما معادله معادل اول هواپیما را به دست می آوریم (T. K. λ λ 0):

λ آ. 1 ایکس. + λ ب 1 y + λ C. 1 z. + λ D. 1 = 0.

کمی نقطه ( ایکس. 0 , y 0 , z. 0) از اول (و در نتیجه، دوم) هواپیما و مختصات خود را در دو معادله آخر جایگزین کنید؛ ما برابری وفاداری را دریافت خواهیم کرد:

λ آ. 1 ایکس. 0 + λ ب 1 y 0 + λ C. 1 z. 0 + D. 2 = 0 ;

λ آ. 1 ایکس. 0 + λ ب 1 y 0 + λ C. 1 z. 0 + λ D. 1 = 0.

سولفید از بالا پایین تر، ما دریافت می کنیم D. 2 - λ. D. 1 \u003d 0، I.E. D. 2 \u003d λ. D. 1، QED.

3 درجه شرایط عمود بر دو هواپیما

بدیهی است، لازم است که این بردارهای طبیعی عمود بر آن باشند.

پیشنهاد 3 دو هواپیما عمود بر آن و تنها اگر محصول اسکالر بردارهای طبیعی صفر باشد:

(n. 1 , n. 2) = 0 .

اجازه دهید معادله هواپیما داده شود

تبر. + توسط + cz + D. = 0, n. = {آ.; ب; C.} ≠ 0 ,

و نقطه M. 0 = (ایکس. 0 , y 0 , z. 0). ما فرمول فاصله را از نقطه به هواپیما دریافت می کنیم:

یک نقطه دلخواه را بگیرید Q. = (ایکس. 1 , y 1 , z. 1) دروغ گفتن در این هواپیما. مختصات آن، معادله هواپیما را برآورده می کنند:

تبر. 1 + توسط 1 + cz 1 + D. = 0.

اکنون توجه داشته باشید که فاصله دلخواه d. به همان اندازه ارزش مطلق طرح برداری بردار است در جهت بردار n. (در اینجا ما طرح را به عنوان یک مقدار عددی، و نه به عنوان بردار). بعد، فرمول را برای محاسبه پروژکتور اعمال کنید:

فرمول مشابهی برای فاصله معتبر است d. از نقطه M. 0 = (ایکس. 0 , y 0) هواپیما به یک خط مستقیم مشخص شده توسط معادله مشترک تبر. + توسط + C. = 0.

تعیین فاصله بین: 1 - نقطه و هواپیما؛ 2 - مستقیم و هواپیما؛ 3 - هواپیما؛ 4 - مستقیم مستقیم حرکت می کند به طور مشترک، از آنجا که الگوریتم راه حل برای همه این مشکلات اساسا یکسان است و شامل ساختارهای هندسی است که باید برای تعیین فاصله بین نقطه مشخص شده A و هواپیما α انجام شود. اگر برخی از تفاوت ها وجود داشته باشد، تنها در موارد 2 و 3، قبل از ادامه دادن به حل مشکل، بر روی یک M (Case 2) یا هواپیما β (مورد 3) به یاد می آورد که نقطه ای دلخواه A. در تعیین تعیین شده است فاصله بین کشور های متقابل مستقیم آنها را به طور مستقیم آنها را به هواپیما موازی α و β به دنبال تعیین فاصله بین این هواپیماها.

هر یک از موارد ذکر شده از حل مشکلات را در نظر بگیرید.

1. تعیین فاصله بین نقطه و هواپیما.

فاصله از نقطه به هواپیما با طول بخش عمودی تعیین می شود، که از نقطه به هواپیما کاهش می یابد.

بنابراین، راه حل این وظیفه شامل پیاده سازی سازگار از عملیات گرافیکی زیر است:

1) از نقطه و پایین عمود بر هواپیما α (شکل 269)؛

2) ما نقطه ای از تقاطع این عمود بر هواپیما m \u003d a ∩ α پیدا می کنیم؛

3) تعیین طول بخش.

اگر سطح α از موقعیت کلی است، به منظور کاهش عمود بر این هواپیما، لازم است پیش از تعیین جهت پیش بینی های افقی و جلوی این هواپیما باشد. پیدا کردن نقطه دیدار این عمود بر یک هواپیما نیز نیاز به ساخت و ساز های هندسی اضافی دارد.

حل مسئله ساده است اگر هواپیما α موقعیت خصوصی را نسبت به هواپیماهای پیش بینی ها اشغال کند. در این مورد، انجام پیش بینی های عمود بر و نقطه جلسه آن با هواپیما بدون هیچ گونه ساخت و ساز کمکی اضافی انجام می شود.

مثال 1. فاصله A را از نقطه A به صفحه پروژکتور جلو α تعیین کنید (شکل 270).

تصمیم گیری از طریق "ما طرح افقی عمودی از عمود بر L" ⊥ H 0α، و از طریق "پروژکتور جلو آن L" ⊥ f 0α را انجام می دهیم. ما نقطه m "\u003d l" ∩ f 0α را ذکر می کنیم. از آنجا که من || Π 2، سپس ["m"] \u003d\u003d | AM | \u003d D.

از مثال مورد نظر، می توان دید که چگونه این کار به سادگی حل می شود زمانی که هواپیما موقعیت طرح ریزی را اشغال می کند. بنابراین، اگر داده های اولیه به هواپیما موقعیت عمومی تنظیم شود، قبل از ادامه راه حل، هواپیما باید به موقعیت عمود بر هر هواپیما از طرح منتقل شود.

مثال 2. فاصله را از نقطه به یک هواپیما مشخص کنید ΔAVs (شکل 271).

1. انتقال هواپیما ΔAVS به موقعیت طرح *. برای انجام این کار، از سیستم Xπ 2 / π 1 تا X 1 π 3 / π 1 بروید: جهت محور جدید X 1 عمود بر طرح افقی هواپیما افقی مثلث را انتخاب می کند.

2. ما ΔAV ها را به یک هواپیما جدید π 3 (هواپیما ΔAVs به صورت اسپری در π 3، در [C "1 V" 1]).

3. ما نقطه را به همان صفحه به (به "به" به "1).

4. پس از نقطه به "1، ما انجام می شود (به" 1 متر "1) ⊥ بخش [C" 1 V "1]. فاصله دلخواه d \u003d | k" 1 m "1 |.

حل مسئله ساده است اگر هواپیما توسط پایه ها تنظیم شود، از آنجایی که نیاز به انجام پیش بینی خطوط سطح را از بین می برد.

مثال 3. تعیین فاصله از نقطه به هواپیما α، داده های داده شده (شکل 272).

* انتقال منطقی ترین هواپیما مثلث به موقعیت طرح ریزی، راهی برای جایگزینی هواپیماهای پیش بینی ها است، زیرا در این مورد به اندازه کافی برای ساخت تنها یک طرح کمکی است.

تصمیم گیری ما جایگزین هواپیما π 1 با هواپیما π 3، برای این ما یک محور جدید x 1 ⊥ f 0α را انجام می دهیم. در H 0α، ما یک نقطه دلخواه 1 را علامت گذاری می کنیم "و ما طرح افقی جدید خود را بر روی هواپیما π 3 (1" 1) تعیین می کنیم. پس از نقاط x α 1 (x α 1 \u003d h 0α 1 ∩ x 1) و 1 "1، ما H 0α را انجام می دهیم 1. ما طرح جدید افقی جدید نقطه را به → K" 1 تعیین می کنیم. از نقطه به "1 حذف عمود بر H 0α 1 و توجه داشته باشید نقطه تقاطع آن با H 0α 1 - M" 1. طول بخش k "1 m" 1 فاصله دلخواه را نشان می دهد.

2. تعیین فاصله بین راست و هواپیما.

فاصله بین راست و هواپیما با طول بخش عمودی تعیین می شود، که از نقطه مستقیم خودسرانه به هواپیما کاهش می یابد (نگاه کنید به شکل 248).

بنابراین، راه حل مشکل برای تعیین فاصله بین خط مستقیم M و هواپیما α از آنهایی که در بند 1 در پاراگراف 1 در نظر گرفته شده اند، برای تعیین فاصله بین نقطه و هواپیما متفاوت نیست (نگاه کنید به شکل 270 ... 272). به عنوان یک نقطه، شما می توانید هر نقطه متعلق به خط مستقیم m.

3. تعیین فاصله بین هواپیما.

فاصله بین هواپیماها با ارزش بخش عمودی تعیین می شود، که از نقطه ای که در همان هواپیما گرفته شده است، در هواپیما دیگر کاهش یافته است.

این تصمیم نشان می دهد که الگوریتم برای حل مشکل برای پیدا کردن فاصله بین هواپیماها α و β متفاوت از الگوریتم مشابه برای حل مشکل برای تعیین فاصله بین خط مستقیم M و هواپیما α تنها این واقعیت است که مستقیم است باید متعلق به هواپیما α باشد، یعنی، برای تعیین فاصله بین هواپیماها α و β باید باشد:

1) به طور مستقیم M در هواپیما؛

2) تخصیص در یک خط مستقیم M دلخواه؛

3) از نقطه و عمود بر L به هواپیما Β؛

4) تعیین نقطه M نقطه از جلسه عمود بر L با هواپیما β؛

5) مقدار بخش را تعیین کنید.

در عمل، توصیه می شود از یک الگوریتم راه حل دیگری استفاده کنید، که تنها از آن فقط در آن متفاوت است، قبل از انجام تحقق اولین مورد، هواپیما باید به موقعیت پروجکشن ترجمه شود.

گنجاندن در الگوریتم این عملیات اضافی، اجرای همه را بدون استثناء موارد دیگر، که در نهایت منجر به تصمیم ساده تر می شود، ساده می کند.

مثال 1. فاصله بین هواپیماهای α و β را تعیین کنید (شکل 273).

تصمیم گیری از سیستم Xπ 2 / π 1 تا X 1 π 1 / π 3 بروید. با توجه به هواپیما جدید π 3، هواپیما α و β یک موقعیت پروجکشن را اشغال می کنند، بنابراین فاصله بین جلوی جدید، اثرات F 0α1 و F 0β 1 مورد نظر است.

در عمل مهندسی، اغلب لازم است برای حل مشکل برای ساخت یک هواپیما موازی با این و فاصله از راه دور از آن ضروری است. مثال زیر 2 راه حل این کار را نشان می دهد.

مثال 2 لازم است که پیش بینی های هواپیما بتا موازی با این هواپیما α (m || n) را بسازیم، اگر شناخته شده باشد، فاصله بین آنها D است (شکل 274).

1. در هواپیما α، ما Horizontal Horizontal H (1، 3) و جلو F (1،2) را انجام می دهیم.

2. از نقطه 1، ما به عمود بر L به هواپیما α (l "⊥ h"، l "⊥ f").

3. در عمود بر L، ما یک نقطه دلخواه را علامت گذاری می کنیم.

4. طول بخش را تعیین کنید - (موقعیت نشان دهنده یک جهت متقابل متریک از مستقیم L) است.

5. تزئین در یک خط مستقیم (1 "0) از نقطه 1" cut \u003d d.

6. ما در مورد پیش بینی های L "و L" اشاره می کنیم "و B" مربوط به نقطه در 0 است.

7. پس از نقطه در هواپیما β (H 1 ∩ f 1). به β || α، لازم است که شرایط H 1 || H و F 1 || f

4. تعریف فاصله بین کشور متقابل مستقیم.

فاصله بین مستقیما در حال حرکت مستقیما با طول عمر تعیین می شود، بین هواپیماهای موازی، که متعلق به خطوط متقابل است، به پایان رسید.

به منظور انجام هواپیما موازی متقابل α و β از طریق خطوط مستقیم M و F، آن را از طریق نقطه a (a ∈ m) برای انجام یک p، موازی با خط مستقیم F و از طریق نقطه در (در ∈ f) - مستقیم K، موازی با مستقیم m. خطوط مستقیم متقاطع M و P و K خطوط موازی متقابل را تعیین می کنند α و β (نگاه کنید به شکل 248، e). فاصله بین هواپیماها α و β برابر با فاصله مطلوب بین M و F مستقیم عبور می کند.

شما همچنین می توانید راه دیگری برای تعیین فاصله بین کشور متقابل کشور ارائه دهید، به این معنی که با کمک هر روش تحول پیش بینی های متعامد، یکی از خطوط عبور به موقعیت طرح ریزی ترجمه شده است. در این مورد، یک پیش بینی مستقیم به نقطه دگرگون شده است. فاصله بین پیش بینی های جدید خطوط متقاطع (نقطه "2 و بخش C" 2 D "2) مورد نظر است.

در شکل 275 راه حل به تعریف فاصله بین عبور مستقیم A و B، داده شده توسط بخش ها [AV] و [CD] داده می شود. راه حل در دنباله ای زیر انجام می شود:

1. آنها یکی از خطوط متقاطع (a) را به موقعیت موازی با هواپیما ترجمه می کنند؛ برای انجام این کار، انتقال از سیستم هواپیماهای پروژکتور Xπ 2 / π 1 به جدید X 1 π 1 / π 3، محور X 1 در پروژکتور افقی موازی مستقیم انجام می شود. "1 [A" 1 را در "1) و B" 1 تعیین کنید.

2. با جایگزینی هواپیما π 1، هواپیما π 4 ترجمه مستقیم

و در موقعیت "2، عمود بر هواپیما π 4 (محور جدید X 2 عمود بر" 1) انجام می شود.

3. ساخت یک طرح افقی جدید مستقیم B "2 - [C" 2 D "2].

4. فاصله از نقطه "2 به طور مستقیم C" 2 د "2 (بخش (2 متر" 2] (مورد نظر است.

باید به خاطر داشته باشید که ترجمه یکی از خطوط عبور به موقعیت پیش بینی، هیچ چیز دیگری به عنوان انتقال هواپیماهای موازی است که در آن مستقیم A و B نیز می تواند نتیجه گیری شود.

در حقیقت، من به طور مستقیم به موقعیت عمود بر هواپیما π 4 ترجمه می شود، ما اطمینان از عمود بر هر هواپیما حاوی مستقیم A، هواپیما π 4، از جمله هواپیما α، تعیین شده توسط مستقیم A و M (a ∩ m، متر || ب). اگر ما در حال حاضر مستقیما، موازی A را مستقیما انجام می دهیم، به طور مستقیم به طور مستقیم عمل می کنیم، سپس ما بتا را به دست می آوریم، که دومین هواپیما موازی است که به طور مستقیم و B به طور مستقیم و B به پایان می رسد. از β || α، سپس β ⊥ π 4.

بگذارید یک هواپیما وجود داشته باشد . ما عادی را انجام می دهیم
از طریق منشا مختصات O. اجازه دهید
- گوشه های تشکیل شده توسط عادی با محورهای مختصات
. بیایید - طول برش طبیعی
قبل از تقاطع با یک هواپیما. توهین کردن راهنماهای معروف کوزین طبیعی است ، معادله هواپیما را بردارید .

بیایید
) - هواپیما نقطه دلخواه. بردار تک طبیعی هم مختصات دارد. ما طرح برداری از بردار را پیدا می کنیم
در حالت عادی

از نقطه M. متعلق به هواپیما است

این معادله یک هواپیما داده شده است طبیعی .

فاصله از نقطه به هواپیما

اجازه دهید هواپیما داده شود ,M.*
- نقطه فضا، d. - فاصله آن از هواپیما.

تعریف. انحراف نکته ها m * از هواپیما شماره نامیده می شود ( + d.), اگر یک M.* دروغ در طرف دیگر از هواپیما که در آن جهت مثبت نشان داده شده است ، و شماره (- d.) اگر نقطه در طرف دیگر هواپیما قرار دارد:

قضیه. اجازه دهید هواپیما با یک واحد طبیعی تعیین شده توسط معادله طبیعی:

بیایید M.*
- نقطه انحراف فضا T. M.* از هواپیما به عنوان یک عبارت تنظیم شده است

شواهد و مدارک. طرح ریزی t
* تعریف عادی Q.. انحراف m * از هواپیما برابر است

قانون. برای پیدا کردن انحراف t. M.* از هواپیما، لازم است که مختصات هواپیما را در معادله طبیعی جایگزین کنید. M.* . فاصله از نقطه به هواپیما است .

معادله کلی هواپیما را به حالت عادی برسانید

اجازه دهید همان هواپیما با دو معادله داده شود:

معادله عمومی

معادله عادی

از آنجا که هر دو معادلات یک هواپیما را مشخص می کنند، ضرایب آنها متناسب با:

سه برابر سه برابر به یک مربع ساخته شده اند:

از اینجا پیدا خواهیم کرد - ضریب عادی:

. (10)

ضرب معادلات عمومی هواپیما به چند ضلعی عادی، ما معادله طبیعی هواپیما را به دست می آوریم:

نمونه هایی از وظایف در موضوع "هواپیما".

مثال 1 معادله هواپیما را بسازید عبور از نقطه مشخص شده
(2،1، -1) و هواپیما موازی.

تصمیم. عادی به هواپیما :
. از آنجا که هواپیما موازی است، طبیعی است به هواپیما مورد نظر طبیعی است . با استفاده از معادله هواپیما عبور از نقطه مشخص شده (3)، ما برای هواپیما به دست می آوریم معادله:

پاسخ:

مثال 2 پایه عمود بر از ابتدای مختصات در هواپیما کاهش یافته است ، نقطه است
. معادله هواپیما را پیدا کنید .

تصمیم. بردار
عادی به هواپیما است . نقطه M. 0 متعلق به هواپیما است شما می توانید از معادله هواپیما عبور از نقطه مشخص شده استفاده کنید (3):

پاسخ:

مثال 3 ساخت یک هواپیما عبور

و هواپیما عمود بر :.

بنابراین، به طوری که برخی از نقطه M. (ایکس., y, z.) متعلق به هواپیما بود ، لازم است که سه بردار
محفظه وجود داشت:

=0.

باقی مانده است که تعیین کننده تعیین کننده و منجر به بیان بیان به نوع معادله عمومی (1).

مثال 4 سطح تعیین شده توسط معادله کلی:

یک انحراف نقطه را پیدا کنید
از یک هواپیما داده شده.

تصمیم. ما معادله هواپیما را به شکل عادی ارائه می دهیم.

جایگزین در معادله طبیعی به دست آمده از نقطه مختصات m *.

پاسخ:
.

مثال 5 آیا هواپیما بخش عبور می کند؟

تصمیم. بریدن au هواپیما عبور کرد، انحرافات و از هواپیما باید علائم مختلفی داشته باشد:

مثال 6 تقاطع سه هواپیما در یک نقطه.

سیستم یک راه حل واحد دارد، بنابراین سه هواپیما دارای یک نقطه مشترک هستند.

مثال 7 پیدا کردن بیسکتور یک زاویه دیجیتال که توسط دو هواپیمای پیش تعیین شده تشکیل شده است.

بیایید و - انحراف از برخی از نقطه
از هواپیما اول و دوم.

در یکی از محاصره هواپیما (مربوط به گوشه ای که در آن منشا آغاز مختصات است)، این انحراف برابر با ماژول و علامت است، و از طرف دیگر برابر ماژول هستند و مخالف هستند امضاء کردن.

این معادله اولین هواپیمای بیسوارتی است.

این معادله دومین هواپیمای دوزیستانه است.

مثال 8 تعیین محل دو نقطه داده و نسبت به زاویه های دوگرانی که توسط این هواپیماها تشکیل شده است.