از دوره مدرسه ریاضیات شناخته شده است که بردار در هواپیما یک بخش هدایت شده است. آغاز و پایان او دو مختصات دارد. مختصات بردار با محاسبه مختصات از مختصات پایان مختصات از ابتدا محاسبه می شود.
مفهوم یک بردار همچنین می تواند به فضای N-Dimensional توزیع شود (به جای دو مختصات، Benchordinates وجود خواهد داشت).
شیبfunctionszz \u003d f (x 1، x 2، ... x n) بردار توابع مشتق شده خصوصی در نقطه، I.E. بردار با مختصات.
می توان ثابت کرد که گرادیان عملکرد، جهت رشد رسمی سطح عملکرد را در نقطه مشخص می کند.
به عنوان مثال، برای تابع z \u003d 2x 1 + x 2 (نگاه کنید به شکل 5.8)، گرادیان در هر نقطه هماهنگ خواهد شد (2؛ 1). این امکان وجود دارد که با استفاده از هر نقطه ای به عنوان آغاز بردار، آن را در هواپیما به روش های مختلف بسازید. به عنوان مثال، شما می توانید یک نقطه (0؛ 0) را با یک نقطه (2؛ 1) یا نقطه (1؛ 0) با یک نقطه (3؛ 1) یا نقطه (0؛ 3) با یک نقطه (2 ؛ 4)، یا t .p. (نگاه کنید به شکل 5.8). تمام بردارها ساخته شده در این راه مختصات (2 - 0، 1 - 0) \u003d (3 - 1؛ 1 - 0) \u003d (2 - 0، 4 - 3) \u003d (2؛ 1).
شکل 5.8 به وضوح دیده می شود که سطح عملکرد در جهت گرادیان رشد می کند، زیرا خطوط سطح ساخته شده به مقادیر سطح 4\u003e 3\u003e 2 مربوط می شود.
شکل 5.8 - عملکرد گرادیان z \u003d 2x 1 + x 2
مثال دیگری را در نظر بگیرید - تابع z \u003d 1 / (x 1 x 2). گرادیان این تابع در نقاط مختلف به همان اندازه یکسان نیست، زیرا مختصات آن توسط فرمول ها تعیین می شود (-1 / (x 1 2 x 2)؛ -1 / (x 1 x 2 2))).
شکل 5.9 سطح تابع عملکرد عملکرد bel \u003d 1 / (x 1 x 2) را برای سطوح 2 و 10 نشان می دهد (مستقیم 1 / (x 1 x 2) \u003d 2 توسط خط نقطه نقطه، و خط مستقیم 1 / (x 1 x 2) \u003d 10 - خط جامد).
شکل 5.9 - گرادیان عملکرد z \u003d 1 / (x 1 x 2) در نقاط مختلف
به عنوان مثال، نقطه (0.5؛ 1) و محاسبه گرادیان در این نقطه: (-1 / (0.5 2 * 1)؛ -1 / (0.5 * 1 2)) \u003d (-4؛ - 2). توجه داشته باشید که نقطه (0.5؛ 1) در خط سطح 1 / (x 1 x 2) \u003d 2، forz \u003d f (0.5؛ 1) \u003d 1 / (0.5 * 1) \u003d 2. به بطری با بردار ( -4؛ -2) در شکل 5.9، نقطه (0.5؛ 1) را با یک نقطه (-3،5، -1) وصل کنید (-3،5 - 0.5؛ -1 - 1) \u003d (-4؛ -2)
به عنوان مثال، یک نقطه دیگر را در همان سطح سطح، نقطه (1، 0.5) (z \u003d f (1، 0.5) \u003d 1 / (0.5 * 1) \u003d 2). محاسبه گرادیان در این نقطه (-1 / (1 2 * 0.5)؛ -1 / (1 * 0.5 2)) \u003d (-2؛ -4). برای تصویر برداری آن را در شکل 5.9، نقطه (1، 0.5) را با یک نقطه (-1؛ -3.5)، برای (-1 - 1؛ -3.5 - 0.5) \u003d (-2؛ - چهار) وصل کنید.
یک نقطه دیگر را در همان خط سطح، اما فقط در حال حاضر در یک چهارم مختصات جداگانه. به عنوان مثال، نقطه (-0.5؛ -1) (z \u003d f (-0.5؛ -1) \u003d 1 / (((- 1) * (- 0.5)) \u003d 2). گرادیان در این نقطه برابر با (-1 / (((- 0.5) 2 * (- 1))؛ -1 / ((((- 0.5) * (- 1) 2)) \u003d (4؛ 2). آن را در شکل 5.9 نشان دهید، اتصال نقطه (-0.5؛ -1) با یک نقطه (3.5؛ 1)، برای (3.5 - (-0.5)؛ 1 - (-1)) \u003d (4؛ 2).
لازم به ذکر است که در هر سه مورد در نظر گرفته شده، گرادیان جهت رشد رشد سطح رشد را نشان می دهد (به سمت خط 1 / (x 1 x 2) \u003d 10\u003e 2).
می توان ثابت کرد که گرادیان همیشه عمود بر خط سطح (سطح سطح) عبور از این نقطه است.
ما مفهوم را تعریف می کنیم نقاط بحرانیبرای عملکرد بسیاری از متغیرها.
عملکرد بسیاری از متغیرها f (x) در نقطه x (0) حداکثر (حداقل)،اگر چنین محله ای از این نکته وجود داشته باشد، برای همه نقاط X از این محله، نابرابری ها انجام می شود (x) f (x (x (0)) ().
اگر این نابرابری ها انجام می شود، به عنوان سختگیرانه، پس از آن افراطیوم نامیده می شود قوی، و اگر نه، پس ضعیف.
توجه داشته باشید که افراطون به این ترتیب تعریف می شود محلییکپارچگی، از آنجا که این نابرابری ها فقط برای برخی از محله های یک نقطه افراطی انجام می شود.
ما یک شرط لازم برای افراطون محلی از تابع قابل تم گیری z \u003d f (x 1، ..، x n) در این نقطه برابری صفر از تمام مشتقات خصوصی اول در این مرحله است: 
.
امتیازاتی که این برابری انجام می شود نامیده می شود ثابت.
به روش های مختلف، شرایط فوق العاده افراطی را می توان به صورت زیر فرموله کرد: در نقطه افراطی، گرادیان صفر است. ممکن است تصدیق عمومی تر را ثابت کند - در نقطه افراطی، آنها در تمام جهات به مشتقات صفر تبدیل می شوند.
نقاط ثابت باید تحت مطالعات اضافی قرار گیرد - شرایط کافی برای وجود یک افراطون محلی وجود دارد. برای این، نشانه ای از دیفرانسیل دوم مرتبه تعیین می شود. اگر با هر چیزی، در همان زمان صفر نیست، همیشه منفی (مثبت)، پس از آن عملکرد حداکثر (حداقل). اگر ممکن است به صفر برسد، نه تنها به صفر افزایش می یابد، مسئله Extremma باز است. اگر شما می توانید هر دو مقدار مثبت و منفی را مصرف کنید، در یک نقطه ثابت، افراطی وجود ندارد.
به طور کلی، تعریف علامت دیفرانسیل یک مشکل نسبتا پیچیده است، که ما در اینجا در نظر نمی گیریم. برای عملکرد دو متغیر، شما می توانید ثابت کنید که اگر در یک نقطه ثابت 
افراطون موجود است در این مورد، علامت دیفرانسیل دوم هماهنگ با علامت است 
. اگر یک 
، پس این حداکثر، و اگر 
، سپس این حداقل است. اگر یک 
سپس در این مرحله هیچ افراطی وجود ندارد و اگر 
سوال Extremma باز است.
مثال 1. پیدا کردن توابع شدید 
.
ما مشتقات خصوصی را با تمایز لگاریتمی پیدا می کنیم.
ln z \u003d ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) - ln (1 + x 2) - ln (1 + y 2)
به طور مشابه 
.
پیدا کردن نقاط ثابت از سیستم معادلات:
بنابراین، چهار نقطه ثابت (1، 1)، (1؛ -1)، (-1؛ 1) و (-1؛ -1) یافت شد.
ما مشتقات خصوصی سفارش دوم را پیدا می کنیم:
ln (z x `) \u003d ln 2 + ln (1 - x 2) -2LN (1 + x 2)
به طور مشابه 
;
.
مانند 
، علامت بیان 
فقط OT بستگی دارد 
. توجه داشته باشید که در هر دو این مشتقات، جانباز همیشه مثبت است، بنابراین شما می توانید تنها علامت عددی یا حتی علامت عبارات x (x 2 - 3) و (y 2 - 3) را در نظر بگیرید. ما آن را در هر نقطه بحرانی تعریف می کنیم و اجرای شرایط کافی افراطی را بررسی می کنیم.
برای یک نقطه (1؛ 1) ما 1 * (1 2 - 3) \u003d -2 دریافت می کنیم< 0. Т.к. произведение
двух отрицательных чисел
\u003e 0، و 
<
0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он
равен
=
2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) =
= 8/4
= 2.
برای یک نقطه (1؛ -1) ما 1 * (1 2 - 3) \u003d -2 دریافت می کنیم< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3)
= 2 > 0. از آنجا که کار این اعداد 
< 0, в этой точке экстремума нет.
Аналогично можно показать, что нет
экстремума в точке (-1; 1).
برای یک نقطه (-1؛ -1) ما به دست می آوریم (-1) * ((- 1) 2 - 3) \u003d 2\u003e 0. از آنجا که کار دو عدد مثبت 
\u003e 0، و 
\u003e 0، در نقطه (-1؛ -1) شما می توانید حداقل پیدا کنید. این 2 * ((- 1) + (-1)) * (1 + (- 1) * (- 1)) / ((1 + (- 1) 2) * (1 + (- 1) 2) ) \u003d -8/4 \u003d -2.
برای پیدا کردن جهانیحداکثر یا حداقل (بزرگترین یا کوچکترین ارزش عملکرد) تا حدودی پیچیده تر از افراطون محلی است، زیرا این مقادیر را نمی توان نه تنها در نقاط ثابت، بلکه در مرز منطقه تعریف نیز به دست آورد. کاوش رفتار عملکرد در مرز این منطقه همیشه آسان نیست.
فرمول مشتق شده از تابع اسکالر U را در جهت λ در نظر بگیرید
عوامل دوم، پیش بینی های یک بردار تک است که توسط پرتو λ هدایت می شود. 
ما بردار را می گیریم، پیش بینی هایی که در محورهای مختصات، مقادیر مشتقات خصوصی در T. p (x، y، z) انتخاب شده است.
این بردار گرادیان تابع U (x، y، z) نامیده می شود و graduili را تعیین می کند
تعریف. گرادیان عملکرد U (x، y، z) بردار نامیده می شود، پیش بینی هایی که مقادیر مشتقات خصوصی این تابع هستند، I.E.
مشتق عملکرد در این جهت برابر با محصول اسکالر از گرادیان عملکرد در هر واحد بردار این جهت است.
نشان دادن محصول اسکالر، ما دریافت می کنیم
,
جایی که φ زاویه بین بردار است gradu و پرتو λ.
به بزرگترین ارزش می رسد
بنابراین، بالاترین مقدار مشتق شده در این TR وجود دارد، و جهت Grad U با جهت پرتو از محاکمه، که در آن عملکرد سریع تر تغییر می کند، هماهنگ است.
ما رابطه بین جهت گرادیان عملکرد و سطوح میدان اسکالر را ایجاد می کنیم.
قضیه گرادیان تابع U (x، y، z) در هر نقطه همزمان با نرمال به سطح سطح میدان اسکالر عبور از این نقطه است.
شواهد و مدارک. یک دلخواه خود را انتخاب کنید. P 0 (x 0، y 0، z 0).
معادله سطح
سطح عبور از طریق
t آیا شما (x، y، z) \u003d،
u 0 \u003d U (x 0، y 0، z 0)
معادله به این سطح طبیعی است در T.، وجود خواهد داشت
از اینجا این است که بردار راهنمای طبیعی، داشتن پیش بینی ها 
یک گرادیان عملکرد U (x، y، z) در t است. P 0، BT.D.
بنابراین، شیب در هر نقطه عمود بر سطح مماس به سطح سطح عبور از این نقطه، به عنوان مثال طرح خود را در این هواپیما صفر است.
از این رو: مشتق شده در هر جهت با توجه به سطح سطح عبور از این نقطه صفر است.
خواص اصلی عملکرد گرادیان:
2) grad. 
کجا با - const
4) grad. 
تمام خواص با استفاده از تعریف عملکرد شیب ثابت شده است.
مثال. در T M (1، 1، 1) جهت بزرگترین تغییر در میدان اسکالر و میزان این تغییر را پیدا کنید.
تابع گرادیان در نقطه، بردار، مختصات آن برابر با مشتق خصوصی مربوطه است و نشان داده شده است.
اگر ما واحد بردار E \u003d () را در نظر بگیریم، سپس با توجه به فرمول (3)، مشتق شده در جهت محصول Scalar از گرادیان و بردار واحد تعریف جهت است. شناخته شده است که محصول اسکالر دو بردار حداکثر می شود، اگر آنها به همان اندازه کارگردانی شوند. در نتیجه، گرادیان عملکرد در این مرحله، جهت و حداکثر رشد عملکرد را در این نقطه مشخص می کند.
قضیه . اگر تابع متفاوت است و در نقطه m 0 مقدار گرادیان از صفر متفاوت است، سپس گرادیان عمود بر خط سطح عبور از این نقطه است و به سمت افزایش عملکرد در همان زمان هدایت می شود
نتیجه گیری: 1) مشتق عملکرد در نقطه ای از جهت تعیین شده توسط گرادیان این تابع در نقطه مشخص شده دارای حداکثر مقدار نسبت به مشتق شده در این نقطه در هر جهت دیگر است.
اگر در هر نقطه از فضا یا بخشی از فضا، یک مقدار از مقدار مشخص تعریف شده است، پس آنها می گویند که زمینه این مقدار مشخص شده است. این میدان اسکالر نامیده می شود اگر ارزش مورد نظر Scalar، I.E. این کاملا با مقدار عددی آن مشخص شده است. به عنوان مثال، زمینه ای از درجه حرارت. میدان اسکالر توسط عملکرد اسکالر نقطه و \u003d / (متر) مشخص شده است. اگر سیستم مختصات دکتین در فضا معرفی شود، پس از سه متغیر X، YT Z - مختصات نقطه M: تعریف وجود دارد. سطح میدان اسکالر مجموعه ای از نقاط است که در آن تابع f (m) مقدار مشابهی را می گیرد. مثال مثال سطح 1. سطوح تجزیه و تحلیل بردار میدان اسکالر را پیدا کنید زمینه سطح اسکالر سطح سطح Scalar و جهت مشتقات خط سطح سطح به سمت گرادیان گرادیان مشتق شده، خواص گرادیان اصلی تعیین کننده شادی از قاعده محاسبات گرادیان -4 با توجه به تعریف معادله سطح سطح خواهد بود. این معادله حوزه (با F 0) با مرکز در ابتدای مختصات است. فیلد اسکالر اگر در تمام هواپیماها موازی با برخی از هواپیما، مسطح باشد، میدان همان است. اگر هواپیما مشخص شده برای هواپیمای Xou گرفته شده باشد، عملکرد فیلد به مختصات Z بستگی ندارد، یعنی تنها عملکرد استدلال X و Y خواهد بود، میدان مسطح را می توان با سطح سطح - چند هواپیما مشخص کرد که در آن تابع / (f، y) است و ارزش نیز است. معادله خط سطح - مثال 2. پیدا کردن خطوط خط خط خط خط اسکالر خط سطح توسط معادلات در c \u003d 0 داده می شود ما یک جفت مستقیم دریافت می کنیم یک خانواده hyperball (شکل 1). 1.1. مشتق شده در جهت اجازه دهید یک میدان اسکالر تعریف شده توسط یک تابع اسکالر و \u003d / (AF) باشد. نگاهی به نقطه AFO و انتخاب جهت تعریف شده توسط بردار I. یک نقطه دیگر را انتخاب کنید تا بردار M0M موازی با بردار 1 باشد (شکل 2). طول بردار IOM را از طریق A /، و افزایش عملکرد / (AF) - / (AFO) مربوط به حرکت D1، از طریق دی، نشان می دهد. این نسبت میزان میانگین تغییر در میدان اسکالر را در طول واحد جهت ارسال تعیین می کند. اکنون اجازه دهید به صفر برسیم تا بردار M0M موازی با بردار I. تعریف شود. اگر محدودیت محدودی نسبت به نسبت وجود داشته باشد (5)، آن را مشتق عملکرد در این نقطه AFO به جهت ارسال شده I و نماد ZG! ^ نامیده می شود. بنابراین، با تعریف، این تعریف مربوط به انتخاب سیستم مختصات نیست، I.E. Wears ** نوع. ما یک عبارت برای مشتق شده در جهت سیستم مختصات دکارتی پیدا می کنیم. اجازه دهید تابع / تمایز در نقطه. ارزش / (AF) را در نظر بگیرید. سپس افزایش کامل تابع را می توان در فرم زیر نوشته شده است: کجا و شخصیت ها به این معنی است که مشتقات خصوصی در نقطه AFO محاسبه می شود. از این رو در اینجا مقادیر JFI، ^ ماهیت راهنماهای کوزین بردار است. از آنجا که بردارهای IOM و من پوشش داده می شوند، کدو های راهنمای آنها یکسان هستند: از آنجا که M AFO، از دست دادن تمام وقت در یک خط مستقیم، موازی با بردار 1، سپس گوشه ها ثابت هستند، زیرا در نهایت از بین می رود (7 ) و (8) ما IEMOUAN IP 1. مشتقات خصوصی از توابع و در جهت مختصات schlschlennoe nnf به دست می آیند 3. پیدا کردن تابع مشتق شده به سمت بردار بردار طول دارد. راهنمای او Czines: با توجه به فرمول (9) ما این واقعیت را داریم که به این معنی است که میدان اسکالر در یک نقطه در این جهت - برای میدان مسطح، مشتق شده در جهت من در نقطه محاسبه شده توسط فرمول که در آن محاسبه می شود A یک زاویه ای است که توسط بردار I با محور آه تشکیل شده است. Zmmchmum 2. فرمول (9) برای محاسبه مشتق شده در جهت من در این نقطه AFO باقی می ماند در نیروی و پس از آن زمانی که نقطه M برای نقطه ای از Mo توسط منحنی که برای آن بردار من در نقطه مکاتبات است، تلاش می کند . 4. محاسبه مشتق از میدان اسکالر در نقطه AFO (L، 1). پارابولا متعلق به این منحنی (در جهت افزایش Abscissa). جهت] Parabolas در نقطه، جهت مماس به پارابولا در این نقطه است (شکل 3). اجازه دهید مماس پارابولا در نقطه AFO با محور آه یک زاویه درباره آن باشد. سپس از جایی که مضمون های راهنمایی می توانند مقادیر را محاسبه کنند و در نقطه. ما در حال حاضر فرمول (10) ما دریافت می کنیم. پیدا کردن یک مشتق از میدان اسکالر در نقطه در جهت دایره بردار دایره ای از دایره، فرم را پیدا کنید. ما یک بردار یک بردار را پیدا میکنیم تا محدوده نقطه مربوط به مقدار پارامتر مقدار R مقدار R در نقطه AFO برابر با دریافت داوطلبان راهنمای پیشین به دایره در نقطه محاسبه مقادیر مشتقات خصوصی این میدان اسکالر در نقطه به معنی مشتق مورد نظر است. گرادیان میدان اسکالر، میدان اسکالر توسط عملکرد اسکالر تعیین می شود که در نظر گرفته شده به نظر می رسد متفاوت است. تعریف. گرادیان میدان اسکالر "در این نقطه M، بردار تعیین شده توسط نماد grad نامیده می شود و برابری تعریف شده توسط برابری این است که این بردار وابسته به عملکرد / و تاشو M است که مشتق آن را محاسبه می کند. Pussg 1 - یک بردار تک در جهت سپس فرمول مشتق شده در جهت را می توان در فرم زیر نوشته شده است :. بنابراین، مشتق عملکرد و در جهت 1 برابر با محصول اسکالر گرادیان عملکرد و (M) بر روی ORT 1 ° جهت I. 2.1 است. خواص اصلی گرادیان قضیه 1. گرادیان میدان اسکالر عمود بر سطح سطح (یا به خط سطح، اگر میدان مسطح) عمود بر سطح سطح باشد. (2) ما از طریق یک نقطه دلخواه از سطح سطح و \u003d const انجام می دهیم و یک منحنی صاف L را در این سطح عبور می کنیم که از نقطه m عبور می کند (شکل 4). اجازه دهید من یک آیه، مماس به منحنی L در نقطه M باشد. از آنجا که بر روی سطح سطح و (m) \u003d و (m |) برای هر نقطه MJ EL، سپس از طرف دیگر، \u003d (gradu، 1 °) از این رو. این به این معنی است که بردارهای Grad و 1 ° متعامد هستند، بنابراین، شب کریسمس، به هر مفاصل به سطح سطح M میلادی، به هر مفاصل به سطح سطح می رسد. بنابراین، آن را متعامد به سطح سطح در نقطه M. قضیه 2. گرادیان با هدف افزایش عملکرد میدان هدف است. پیش از این، ما ثابت کردیم که گرادیان میدان اسکالر در امتداد سطح طبیعی به سطح سطح، که می تواند گرا یا به سمت افزایش عملکرد و (M) یا به سمت کاهش آن هدایت شود، هدایت می شود. به وسیله n سطح طبیعی سطح سطح، به سمت افزایش عملکرد Ti (M) هدایت می شود و یک تابع مشتق شده و در جهت این طبیعی (شکل 5) را پیدا کنید. ما از آنجایی که تحت شرایط 5 قرار داریم، و بنابراین تجزیه و تحلیل بردار سطح اسکالر سطح و خط مشتق سطح در جهت گرادیان گرادیان مشتق از میدان اسکالر، خواص اصلی تعریف غیرمستقیم گرادیان گرادیان قوانین محاسبه گرادیان از اینجا این است که به دنبال آن است و به همان طرف به عنوان Normal N، I.E. در جهت افزایش عملکرد و (M) ارسال می شود. قضیه 3. طول گرادیان برابر با بزرگترین مشتق شده در جهت در این زمینه میدان است (در اینجا شاه $ در این نقطه از M Paju گرفته می شود). ما کجا - زاویه بین بردارها 1 و grad n. از آنجا که بزرگترین مثال ارزش 1. پیدا کردن مسیر بزرگترین امامنی از میدان اسکالر در یک نقطه و همچنین میزان بزرگترین تغییر در نقطه مشخص شده است. جهت بزرگترین تغییرات در میدان اسکالر توسط بردار نشان داده شده است. ما به طوری که این بردار جهت بزرگترین افزایش میدان را در خرج کردن تعریف می کند. مقدار بالاترین تغییر در این زمینه در این مرحله 2.2 است. تعریف غیرمستقیم از گرادیان مقادیر مشخصه خواص جسم مورد مطالعه و مستقل از انتخاب سیستم مختصات، به نام invariats از این شی نامیده می شود. به عنوان مثال، طول منحنی یک نامطلوب از این منحنی است، و زاویه مماس به منحنی با محور، غیر قابل تغییر نیست. بر اساس سه ویژگی بالاتر از سه ویژگی شیب میدان اسکالر، ممکن است تعریف غیرمستقیم زیر را از گرادیان ارائه دهد. تعریف. گرادیان میدان اسکالر، بردار به صورت طبیعی به سطح سطح در جهت افزایش عملکرد میدان و داشتن طول برابر با بالاترین مشتق در جهت (در این نقطه) است. بگذارید - یک بردار تک طبیعی، به سمت افزایش در زمینه هدایت شود. سپس مثال 2. پیدا کردن گرادیان فاصله، برخی از نقطه ثابت، M (X، Y، Z) فعلی است. 4 ما کجا - یک بردار تک جهت. قوانین برای محاسبه گرادیان که C یک عدد ثابت است. فرمول های بالا به طور مستقیم از تعیین گرادیان و خواص مشتقات به دست می آیند. با توجه به حکومت تمایز کار، اثبات مشابه اثبات خواص F (و) - یک تابع اسکالر قابل تم گیری است. سپس 4 با تعریف Fadient ما به تمام شرایط قسمت راست تمایز عملکرد پیچیده اعمال می کنیم. به طور خاص، فرمول (6) از فرمول به دست می آید. مثال 3. مشتق Maith در جهت Radius-Windows R از عملکرد با توجه به فرمول (3) و با توجه به نتیجه فرمول، به دست آمده، ما به دست آوردن مثال 4. اجازه دهید یک میدان اسکالر صاف داده شود - فاصله از برخی از خطوط نقطه تا دو نقطه ثابت این هواپیما داده شود. یک بیضی دلخواه را با فوکوس FJ و F در نظر بگیرید] و ثابت کنید که هر پرتو از بی احترامی که از یک تمرکز بیضی خارج شد، پس از انعکاس از بیضی بیضی به تمرکز دیگر. خط عملکرد خط (7) تجزیه و تحلیل بردار اساسی میدان مغناطیسی از سطح و خط مشتق شده مشتق شده گرادیان گرادیان گرادیان گرادیان خواص اصلی گرادیان تعریف نامناسب از گرادیان قوانین برای محاسبه معادله گرادیان (8) توصیف یک خانواده از بیضی ها با تمرکز در نقاط F) و FJ . با توجه به نتیجه مثال 2، ما به این ترتیب، گرادیان میدان مشخص شده برابر با بردار مورب PQ Robbus ساخته شده بر روی Orts G است؟ و بردارهای شعاع صرف شده در نقطه P (X، Y) از Foci F | و FJ، و بنابراین، آن را بر روی بیسکوکتور زاویه قرار می گیرد می تواند توسط این بردارهای شعاع (شکل 6) خم شود. Gradient Thoromo 1 PQ عمود بر بیضی (8) در نقطه است. به دنبال آن FIG.6. طبیعی به بیضی (8) در هر نقطه تقسیم نیمی از زاویه بین بردارهای شعاع انجام شده در این نقطه. از اینجا، و از این واقعیت که زاویه سقوط Ravon گوشه ای از انعکاس، ما دریافت می کنیم: یک پرتو نور، که از یک تمرکز از بیضی، منعکس شده از او، لزوما به تمرکز دیگری از این بیضی می افتد.
تعریف 1
اگر برای هر جفت $ (X، Y) از مقادیر دو متغیر مستقل از یک منطقه خاص، مطابق با مقدار مشخصی از $ z $ قرار گرفته است، پس گفته می شود که $ z $ عملکرد است دو متغیر $ (x، y) $. تعیین: $ z \u003d f (x، y) $.
عملکرد $ z \u003d f (x، y) $ را در نظر بگیرید، که در برخی از مناطق در فضای $ oxy $ تعیین می شود.
از این رو،
تعریف 3
اگر برای هر سه دلار (x، y، z) از مقادیر سه متغیر مستقل از یک منطقه خاص مطابق با ارزش مشخصی از $ w $، گفته شده است که $ W $ یک تابع از سه متغیر $ (X، Y، Z) $ در این منطقه.
تعیین: $ w \u003d f (x، y، z) $.
عملکرد $ w \u003d f (x، y، z) $ را در نظر بگیرید، که در برخی از مناطق در فضای $ oxyz $ تعریف شده است.
برای یک تابع داده شده، ما یک بردار را تعریف می کنیم که پیش بینی ها در محور مختصات، مقادیر مشتقات خصوصی تابع مشخص شده در برخی از امتیاز $ \\ frac (\\ partial z) است. \\ Frac (\\ partial Z) (\\ partial y) $.
تعریف 4
گرادیان تابع داده شده $ w \u003d f (x، y، z) $ بردار $ \\ overrrightarrow (gradw) $ از نوع زیر نامیده می شود:
قضیه 3.
اجازه دهید در برخی از میدان اسکالر $ w \u003d f (x، y، z) $ تعریف میدان گرادیان
\\ [overrrightarrow (gradw) \u003d \\ frac (\\ partial w) (\\ partial x) \\ cdot \\ overrrightarrow (i) + \\ frac (\\ partial w) (\\ partial y) \\ cdot \\ overrrightarrow (j) + \\ frac (\\ Partial W) (\\ partial z) \\ cdot \\ overrrightarrow (k). \\]
$ \\ FRAC مشتق شده (\\ partial W) (\\ partial s) $ در جهت بردار مشخص شده $ \\ overrrightarrow (s) $ \\ overrightarrow طرح برداری بردار (gradw) $ به بردار مشخص شده $ \\ overrightarrow (s) $ .
مثال 4
تصمیم گیری:
بیان برای گرادیان ما توسط فرمول پیدا می کنیم
\\ [overrrightarrow (gradw) \u003d \\ frac (\\ partial w) (\\ partial x) \\ cdot \\ overrrightarrow (i) + \\ frac (\\ partial w) (\\ partial y) \\ cdot \\ overrrightarrow (j) + \\ frac (\\ Partial W) (\\ partial z) \\ cdot \\ overrrightarrow (k). \\]
\\ [\\ frac (\\ partial w) (\\ partial x) \u003d 2x؛ \\ frac (\\ partial w) (\\ partial y) \u003d 4Y؛ \\ frac (\\ partial w) (\\ partial z) \u003d 2. \\]
از این رو،
\\ [overrrightarrow (gradw) \u003d 2x \\ cdot \\ overrrightarrow (i) + 4Y \\ cdot \\ overrrightarw (j) +2 \\ cdot \\ overrrightarrow (k). \\]
مثال 5
گرادیان یک تابع داده را تعیین کنید
در نقطه $ m (1؛ 2؛ 1) $. محاسبه $ \\ left (| \\ overrrightarrow (gradz) | \\ right) _ (m) $.
تصمیم گیری:
بیان برای گرادیان در یک نقطه مشخص شده ما توسط فرمول پیدا می کنیم
\\ [\\ left (\\ leverrightarrow (gradw) \\ right) _ (m) \u003d \\ left (\\ frac (\\ partial w) (\\ partial x) \\ right) _ (m) \\ cdot \\ overrrightarrow (i) + \\ lef (\\ frac (\\ partial w) (\\ partial y) \\ right) _ (m) \\ cdot \\ overrrightarrow (j) + \\ left (\\ frac (\\ partial w) (\\ partial z) \\ right) _ (m) \\ cdot \\ overrrightarrow (k). \\]
مشتقات خصوصی فرم را دارند:
\\ [\\ frac (\\ partial w) (\\ partial x) \u003d 2x؛ \\ frac (\\ partial w) (\\ partial y) \u003d 4Y؛ \\ frac (\\ partial w) (\\ partial z) \u003d 6Z ^ (2) . \\]
مشتقات در نقطه $ m (1؛ 2) $:
\\ [\\ frac (\\ partial w) (\\ partial x) \u003d 2 \\ cdot 1 \u003d 2؛ \\ frac (\\ partial w) (\\ partial y) \u003d 4 \\ cdot 2 \u003d 8؛ \\ frac (\\ partial w) \\ partial z) \u003d 6 \\ cdot 1 ^ (2) \u003d 6. \\]
از این رو،
\\ [\\ left (overrrightarrow (gradw) \\ right) _ (m) \u003d 2 \\ cdot \\ overrrightarrow (i) +8 \\ cdot \\ overrightarw (j) +6 \\ cdot \\ overrrighrow (k) \\]
\\ [\\ left (| \\ overrrightarrow (gradw) | \\ right) _ (m) \u003d \\ sqrt (2 ^ (2) + 8 ^ (2) + 6 ^ (2)) \u003d \\ sqrt (4 + 64 + 36 ) \u003d \\ sqrt (104). \\]
فهرست برخی خواص گرادیان:
مشتق از یک تابع داده شده در یک نقطه مشخص در جهت برخی از $ \\ overrrightarrow (s) $، بزرگترین ارزش است اگر جهت این بردار $ \\ overrrightarrow (ها) $ cabulcides با جهت گرادیان است. در این مورد، این بزرگترین ارزش مشتق شده با طول بردار گرادیان، I.E. $ | \\ overrrightarrow (gradw) | $
مشتق عملکرد مشخص شده در جهت بردار، که عمود بر بردار گرادیان است، I.E. $ \\ overrrightarrow (gradw) $ $ 0. از $ \\ varphi \u003d \\ frac (\\ pi) (2) $، سپس $ \\ cos \\ varphi \u003d 0 $؛ در نتیجه، $ \\ frac (\\ partial w) (\\ partial s) \u003d | \\ overrrightarrow (gradw) | \\ cdot \\ cos \\ varphi \u003d 0 $.
