تئوری محدودیت ها یکی از بخش های تجزیه و تحلیل ریاضی است. سوال از راه حل محدودیت ها بسیار گسترده است، زیرا ده ها تن از تصمیمات از گونه های مختلف وجود دارد. ده ها تن از ظرافت و ترفندها وجود دارد که به شما امکان می دهد یک یا چند محدودیت را حل کنید. با این حال، ما هنوز سعی می کنیم انواع اصلی محدودیت هایی را که در عمل شایع تر هستند را درک کنیم.
بیایید با مفهوم محدودیت شروع کنیم. اما ابتدا یک مرجع تاریخی کوتاه مدت. او در قرن نوزدهم زندگی می کرد، فرانسوی آگوست لوئیس کچ، که پایه های تجزیه و تحلیل ریاضی را گذاشت و تعاریف دقیق، تعیین محدودیت را به طور خاص تعریف کرد. من باید بگویم، این بسیار کوشی رویای، رویای و رویاهای کابوس را به تمام دانش آموزان دانشکده های فیزیکی و ریاضی کاهش می دهد، زیرا تعداد زیادی از قضیه تجزیه و تحلیل ریاضی را ثابت کرده است و یک قضیه دیگر منزجر کننده است. در این راستا، ما تعیین دقیق محدودیت را در نظر نمی گیریم و سعی می کنیم دو چیز را انجام دهیم:
1. درک محدودیت چیست.
2. یادگیری برای حل انواع اصلی محدودیت ها.
من برای برخی از توضیحات نامناسب عذرخواهی می کنم، مهم است که مواد حتی به قوری قابل فهم باشند، که در واقع، وظیفه پروژه است.
پس محدودیت چیست؟
و بلافاصله یک مثال، که مادربزرگ لرزش ....
هر محدودیتی شامل سه بخش است:
1) تمام علامت محدود شناخته شده.
2) سوابق تحت آیکون محدود، در این مورد. رکورد خواندن "X در تلاش برای یک است." اغلب - دقیقا، اگر چه به جای "Iksa" در عمل، متغیرهای دیگر وجود دارد. در وظایف عملی در سایت واحد ممکن است به طور کامل هر عدد، و همچنین بی نهایت () وجود داشته باشد.
3) توابع تحت نشانه محدودیت، در این مورد.
خود را ثبت کنید 
این به عنوان خوانده شده مانند این است: "محدودیت عملکرد در X به دنبال یکی است."
ما سوال مهم بعدی را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد - عبارت "X چیست؟ تلاش کردن به واحد "؟ و چه نوع "به دنبال"؟
مفهوم محدودیت مفهوم است، اگر بتوانید بگویید پویا. ما دنباله ای را ساختیم: ابتدا، سپس، ... 
, ….
این عبارت "x تلاش کردن به وحدت "باید به عنوان" X "قابل درک باشد، به طور مداوم ارزش ها را می گیرد، که بی نهایت نزدیک به یک و تقریبا همزمان با آن است.
چگونه به عنوان مثال بالا را حل کنیم؟ بر اساس موارد فوق، لازم است به سادگی یک واحد را به یک تابع ایستاده در زیر علامت محدود جایگزین کنید:
بنابراین، اولین قاعده: هنگامی که هر محدودیتی داده می شود، شما فقط سعی می کنید شماره را در تابع جایگزین کنید.
ما به ساده ترین حد نگاه کردیم، اما این در عمل یافت می شود، و نه به ندرت!
مثال با بی نهایت:
ما درک می کنیم؟ این مورد زمانی است که آن را به طور نامحدود افزایش می دهد، یعنی، سپس، پس از آن، سپس، و غیره به بی نهایت.
و چه اتفاقی می افتد در این زمان با عملکرد؟
, , 
, …
بنابراین: اگر عملکرد به دنبال منفی بی نهایت باشد:
به گفته اولین قاعده ما، ما به جای "Iksa" ما بی نهایت را جایگزین می کنیم و جواب می دهیم.
مثال دیگر با بی نهایت:
باز هم، ما شروع به افزایش به طور نامحدود، و نگاه به رفتار عملکرد: 
نتیجه گیری: هنگامی که عملکرد به طور نامحدود افزایش می یابد:
و مجموعه ای دیگر از نمونه ها:
لطفا سعی کنید به طور مستقل تجزیه و تحلیل زیر و به یاد داشته باشید ساده ترین نوع محدودیت ها:
, , , , 
, , , , 
,
اگر جایی شک و تردید وجود دارد، شما می توانید یک ماشین حساب را به دست بگیرید و کمی کمی بگیرید.
در صورتی که سعی کنید یک دنباله را بسازید، اگر پس از آن،.
توجه: به شدت صحبت کردن، این رویکرد با ساخت توالی از چندین عدد نادرست است، اما کاملا مناسب برای درک ساده ترین نمونه ها است.
همچنین به چیز بعدی توجه کنید. حتی اگر یک محدودیت با تعداد زیادی در بالای صفحه داده شود، بله، حتی با یک میلیون نفر: این همه یکسان است 
از آنجایی که دیر یا زود "X" چنین معانی غول پیکر را انجام می دهد که یک میلیون در مقایسه با آنها، میکروب واقعی ترین خواهد بود.
چه چیزی باید به یاد داشته باشید و از موارد فوق درک کنید؟
1) هنگامی که هر محدودیتی داده می شود، شما فقط سعی می کنید شماره را به تابع جایگزین کنید.
2) شما باید درک کنید و بلافاصله ساده ترین محدودیت ها را حل کنید، مانند 
، ، و غیره.
در حال حاضر ما به گروهی از محدودیت ها نگاه خواهیم کرد، و عملکرد یک کسری است، در عددی و عددی که چند جمله ای هستند
مثال:
محاسبه محدودیت 
با توجه به قانون ما، سعی کنید بی نهایت را به تابع جایگزین کنید. ما در بالا چه می کنیم؟ بی نهایت. و چه اتفاقی می افتد؟ همچنین بی نهایت بنابراین، ما به اصطلاح عدم قطعیت گونه ها داریم. ممکن است فکر کنید که و پاسخ آماده است، اما به طور کلی این همه نیست، و شما باید برخی از تصمیماتی را که در حال حاضر در نظر بگیریم اعمال کنید.
چگونه می توان محدودیت های این نوع را حل کرد؟
ابتدا ما به عددی نگاه می کنیم و به درجه بالایی پیدا می کنیم: 
درجه قدیمیتر در عددی دو است.
در حال حاضر ما به جانباز نگاه می کنیم و همچنین به درجه بالایی پیدا می کنیم: 
درجه مسن تر از دو برابر دو برابر است.
سپس ما بیشترین درجه بالاترین عددی را انتخاب می کنیم: در این مثال آنها هماهنگ و برابر دو برابر هستند.
بنابراین، روش راه حل به شرح زیر است: به منظور افشای عدم قطعیت، لازم است که عددی و نامزدی را به درجه ارشد تقسیم کنید.
در اینجا آن را مانند، پاسخ، و نه در تمام بی نهایت.
در تصمیم گیری یک راه حل اساسا مهم است؟
اول، ما عدم قطعیت را نشان می دهیم اگر این باشد.
ثانیا، مطلوب است که راه حل توضیحات میان را قطع کنید. من معمولا از علامت استفاده می کنم، معنای ریاضی را تحمل نمی کند، اما نشان می دهد که راه حل برای یک توضیح متوسط \u200b\u200bمتوقف می شود.
ثالثا، در حد، توصیه می شود ازدواج کنید و کجا بروید. هنگامی که کار از دست ساخته شده است، راحت تر این کار را انجام می دهد: 
برای مارک ها بهتر است از یک مداد ساده استفاده کنید.
البته، شما نمیتوانید کاری انجام دهید، اما شاید، شاید معلم، کاستی های تصمیم را متوجه شود یا شروع به پرسش های اضافی در مورد این کار کند. آیا به آن نیاز دارید؟
مثال 2
یک محدودیت پیدا کنید 
باز هم در عددی و نامزدی ما به درجه بالایی پیدا می کنیم: 
حداکثر درجه در عددی: 3
حداکثر درجه در Dentinator: 4
انتخاب کنید اکثر ارزش در این مورد چهار است.
با توجه به الگوریتم ما، برای افشای عدم قطعیت، عددی و عددی را تقسیم کنید.
وظیفه طراحی کامل ممکن است به نظر برسد:
ما عددی و عددی را تقسیم می کنیم
مثال 3
یک محدودیت پیدا کنید 
حداکثر درجه "IKSA" در عددی: 2
حداکثر درجه "Iksa" در نامزدی: 1 (می تواند به عنوان نوشته شده است)
برای افشای عدم قطعیت، لازم است که عددی و عددی را تقسیم کنید. راه حل پایان ممکن است به نظر برسد:
ما عددی و عددی را تقسیم می کنیم
تحت رکورد، این امر مستلزم تقسیم بر صفر نیست (تقسیم بر صفر آن غیر ممکن است)، و تقسیم به تعداد کمی کوچک است.
بنابراین، هنگام افشای عدم قطعیت، ما می توانیم دریافت کنیم نهایی، صفر یا بی نهایت.
محدود کردن عدم قطعیت نوع و روش حل آنها
گروه بعدی محدودیت ها چیزی شبیه به محدودیت های در نظر گرفته شده است: در عددی و نامزدی چندجملهای هستند، اما "X" به بی نهایت، اما به شماره محدود.
مثال 4
محدودیت را حل کنید 
اول، سعی کنید جایگزین -1 در کسری: 
در این مورد، عدم قطعیت به اصطلاح به دست می آید.
قانون کلی: اگر چند جمله ای در عددی و نامزدی وجود داشته باشد، عدم اطمینان از دیدگاه وجود دارد، سپس برای افشای آن شما باید عددی و عددی را برای ضرب کننده ها تجزیه کنید..
برای این، اغلب لازم است برای حل معادله مربع و (یا) برای استفاده از فرمول های ضرب اختصاصی. اگر این چیزها فراموش شده باشند، سپس از صفحه دیدن کنید فرمول های ریاضی و جداول و خود را با مواد متدولوژی آشنا کنید فرمول دوره مدرسه ریاضی داغ. به هر حال، بهتر است آن را چاپ کنید، بسیار ضروری است، و اطلاعات از کاغذ بهتر جذب می شود.
بنابراین، ما محدودیت ما را حل می کنیم 
عددی و عددی را برای چندگانگی گسترش دهید
به منظور گسترش عددی در multipliers، شما باید معادله مربع را حل کنید: 
ابتدا تبعیض آمیز را پیدا کنید:
و ریشه مربع از آن :.
اگر تبعیض بزرگ باشد، به عنوان مثال، 361، ما از یک ماشین حساب استفاده می کنیم، تابع استخراج ریشه مربع در ساده ترین ماشین حساب است.
! اگر ریشه بازیابی نشده باشد (یک نقطه ضعف کسری به دست آمده است)، به احتمال زیاد، این احتمال وجود دارد که تبعیض به صورت اشتباه محاسبه شود.
بعد، ما ریشه ها را پیدا می کنیم: 
به این ترتیب:
همه چيز. عددی بر عوامل تجزیه شده است.
مخرج. نامزدی در حال حاضر ساده ترین ضریب است، و آن را غیر ممکن است که آن را ساده سازی کنید.
بدیهی است، شما می توانید بر روی:
در حال حاضر ما جایگزین -1 در بیان است که تحت نشانه محدودیت باقی می ماند:
به طور طبیعی، در کار کنترل، در جدول رده بندی، امتحان بسیار دقیق است، تصمیم هرگز رنگ نیست. در نسخه پایان، طراحی باید چیزی شبیه به این باشد:
شمارۀ ضرب کننده را گسترش دهید. 
مثال 5
محاسبه محدودیت 
اولین راه حل "پایان"
عددی و نامزدی را برای چندگانگی گسترش دهید.
صورت کسر:
مخرج: 
, 
در این مثال مهم است؟
اول، شما باید بدانید که چگونه عددی را نشان می دهد، ابتدا ما برای یک براکت 2 انجام دادیم، و سپس فرمول تفاوت مربع را استفاده کرد. این فرمول باید بداند و ببیند.
تصمیم
تصمیم
تصمیم
تصمیم
تصمیم
تصمیم
تصمیم
تصمیم
تصمیم
تصمیم
تصمیم
2. حد مجاز توالی عددی را محاسبه کنید:
3. محاسبه حد توالی عددی:
4. محاسبه حد توالی عددی:
5. محاسبه حد توالی عددی:
6. محاسبه حد توالی عددی:
7. محاسبه حد توالی عددی:
8. حد مجاز توالی عددی را محاسبه کنید:
9. حد مجاز توالی عددی را محاسبه کنید:
10. حد مجاز از توالی عددی را محاسبه کنید:
11. حد مجاز توالی عددی را محاسبه کنید:
1) از عددی و نامزدی، ما چند برابر را اختصاص می دهیم، که باعث می شود بزرگترین کمک و کاهش آن بر روی آن باشد
2) در این نوع نمونه ها باید در نامزد شدن از زیر ریشه ضریب تا حد بیشتر از آن استفاده شود
3) ما باید آن را تا بزرگترین فاکتوریل مشترک قرار دهیم
4) در این مثال، آن را به طور قابل توجهی سریع تر رشد می کند، بنابراین آن را به عنوان بیشترین عامل برجسته است
5) ارزش ها و تلاش برای صفر در. بر اساس این، محاسبه محدودیت
تصمیمات بیشتر این نمونه ها، یافتن ضریب غالب است. اگر آن را در یک عددی قرار دهید، مرز به بی نهایت هدایت می شود، در نامزدی - به صفر. و تنها زمانی که و آنجا وجود دارد و در آنجا می توانید به این کسری ضریب تقسیم کنید و به صورت ثابت ثابت کنید.
وظیفه:
1. تصمیمات نمونه های مورد نظر را جدا کنید
2. محدودیت های زیر را محاسبه کنید:
بخش 2. شروع تجزیه و تحلیل ریاضی
(کار مستقل 48 ساعت.)
2.1. مشتق عملکرد ضمنی (4 ساعت).
مثال 1. پیدا کردن یک مشتق از یک تابع ضمنی
تصمیم گیریاز آنجا که Y یک تابع از h.سپس ما را در نظر خواهیم گرفت y 2 به عنوان یک تابع پیچیده از h.. از این رو ،. تمایز توسط PO H. هر دو بخش از این معادله، ما دریافت می کنیم، I.E.
مثال 2. یک مشتق تابع ضمنی را پیدا کنید
تصمیم گیری تمایز در H.
مثال 3. یک مشتق از یک تابع ضمنی پیدا کنید
تصمیم گیری تمایز در H. هر دو بخش از این معادله، دریافت کنید
1. پیدا کردن مشتق F '(X).
2. نقاط ثابت این تابع را پیدا کنید، به عنوان مثال امتیازاتی که در آن
3. دومین مشتق F '' (X) را پیدا کنید.
4. نشانه ای از مشتق دوم را در هر یک از نقاط ثابت بررسی کنید. اگر در همان زمان، مشتق دوم منفی خواهد بود، پس تابع در چنین نقطه ای حداکثر، و اگر مثبت باشد، حداقل. اگر مشتق دوم صفر باشد، تابع افراطوم باید با استفاده از اولین مشتقات مورد استفاده قرار گیرد.
5. مقادیر تابع را در نقاط افراطی محاسبه کنید.
مثال. Extremum را با استفاده از تابع مشتق دوم کاوش کنید: f (x) \u003d x 2 - 2x - 3.
راه حل: پیدا کردن مشتق: f '(x) \u003d 2x - 2.
حل معادله F '(x) \u003d 0، ما نقطه ثابت X \u003d 1 را به دست می آوریم. ما اکنون دومین مشتق را پیدا خواهیم کرد: F '' '(x) \u003d 2.
از آنجا که مشتق دوم ب) \u003d x 2 - 2x - 3. نقطه ثابت مثبت، f '' (1) \u003d 2\u003e 0، سپس در x \u003d 1، تابع حداقل: f min \u003d f (1) \u003d -4
پاسخ: حداقل نقطه هم مختصات (1، -4) است.
وظایف
1. راه حل های در نظر گرفته شده را در نظر بگیرید و از موضوع موضوع موضوع استفاده کنید.
2. با استفاده از تابع مشتق دوم، افراط را بررسی کنید:
a) f (x) \u003d 1 - x 4؛
ب) f (x) \u003d x 3 - 1؛
2.3. یک برنامه مشتق شده برای حل مشکلات فیزیکی (11 ساعت).
2.4 جمع آوری crosns در موضوع "یکپارچه خاص"
2.5 محاسبه حجم بدن و طول قوس منحنی (12 ساعت)
اولین محدودیت فوق العاده به برابری زیر اشاره دارد:
\\ شروع (معادله) \\ lim _ (\\ alpha \\ to (0)) \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ alpha) \u003d 1 \\ end (معادله)
از آنجا که $ \\ alpha \\ to (0) $ دارای $ \\ sin \\ alpha \\ to (0) $ است، پس گفته می شود که اولین محدودیت فوق العاده، عدم قطعیت نوع $ \\ frac (0) (0) $ را نشان می دهد. به طور کلی، در فرمول (1) به جای یک متغیر $ \\ alpha $ تحت نشانه سینوسی و هر گونه بیان ممکن است در نامزدی قرار گیرد، - اگر تنها دو شرایط انجام شود:
اغلب تحقیقات اولین محدودیت فوق العاده نیز مورد استفاده قرار می گیرد:
\\ شروع (معادله) \\ lim _ (\\ alpha \\ to (0)) \\ frac (\\ tg \\ alpha) (\\ alpha) \u003d 1 \\ end (معادله) \\ begin (معادله) \\ lim _ (\\ alpha \\ _ 0)) \\ frac (\\ arcsin \\ alpha) (\\ alpha) \u003d 1 \\ end (معادله) \\ begin (معادله) \\ lim _ (\\ alpha \\ to (0)) \\ frac (\\ arctg \\ alpha) (\\ alpha ) \u003d 1 \\ end (معادله)
یازده نمونه در این صفحه حل می شود. به عنوان مثال 1 به اثبات فرمول اختصاص داده شده است (2) - (4). مثالهای شماره 2، شماره 3، شماره 4 و شماره 5 شامل راه حل هایی با نظرات دقیق است. مثالها شماره 6-10 شامل راه حل هایی با تقریبا هیچ نظری نیست، زیرا توضیحات مفصلی در نمونه های قبلی ارائه شده است. هنگام حل، برخی از فرمول های مثلثاتی را می توان یافت.
من توجه دارم که حضور توابع مثلثاتی با عدم قطعیت $ \\ frac (0) (0) $ به معنای استفاده اجباری از اولین محدودیت قابل توجه نیست. گاهی اوقات به اندازه کافی تحولات مثلثاتی ساده وجود دارد، به عنوان مثال، ببینید.
مثال №1
ثابت کنید که $ \\ lim _ (\\ alpha \\ to (0)) \\ frac (\\ tg \\ alpha) (\\ alpha) \u003d 1 $، $ \\ im _ \\ \\ \\ \\ \\ argsin \\ \\ arcsin \\ آلفا) (\\ alpha) \u003d 1 $، $ \\ lim _ (\\ alpha \\ to (0)) \\ frac (\\ arctg \\ alpha) (\\ alpha) \u003d 1 $.
a) به عنوان $ \\ tg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha) $، سپس:
$$ \\ lim _ (\\ alpha / to (0)) \\ frac (\\ tg (\\ alpha)) (\\ alpha) \u003d \\ lev | \\ frac (0) (0) \\ right | \u003d \\ lim _ (\\ alpha \\ to (0)) \\ frac (\\ sin (\\ efflea)) (\\ alpha \\ cos (\\ alpha)) $$
از آنجا که $ \\ lim _ (\\ alpha \\ to (0)) \\ cos (0) \u003d 1 $ و $ \\ lim _ (\\ alpha \\ to (0)) \\ frac (\\ \\ sin \\ alpha) (\\ alpha) \u003d 1 $، سپس:
$$ \\ lim _ (\\ alpha \\ to (0)) \\ frac (\\ sin (\\ alpha)) (\\ alpha \\ cos (\\ alpha)) \u003d \\ frac (\\ discountle \\ lim _ (\\ alpha \\ to (0 ) \\ frac (\\ sin (\\ alpha)) (\\ alpha)) (\\ displaystyle \\ lim _ (\\ alpha \\ to (0)) \\ cos (\\ alpha)) \u003d \\ frac (1) (1) \u003d 1 . $$
ب) ما $ \\ alpha \u003d \\ sin (y) $ را جایگزین خواهیم کرد. از آنجا که $ \\ sin (0) \u003d 0 $، پس از شرایط $ \\ alpha \\ to (0) $ ما $ y \\ to (0) $. علاوه بر این، یک محله صفر وجود دارد، که در آن $ \\ arcsin \\ alpha \u003d \\ arcsin (\\ sin (y)) \u003d y $، بنابراین:
$$ \\ lim _ (\\ alpha \\ to (0)) \\ frac (\\ arcsin \\ alpha) (\\ alpha) \u003d \\ lev | \\ frac (0) (0) \\ right | \u003d \\ lim_ (y \\ to (0)) \\ frac (y) (\\ sin (y)) \u003d \\ lim_ (y \\ to (0)) \\ frac (1) (\\ frac (\\ sin (y)) ( y) \u003d \\ frac (1) (\\ displaystyle \\ lim_ (y \\ to (0)) \\ frac (\\ sin (y)) (y)) \u003d \\ frac (1) (1) \u003d 1. $$
برابری $ \\ lim _ (\\ alpha \\ to (0)) \\ frac (\\ arcsin \\ alpha) (\\ alpha) \u003d 1 دلار ثابت شده است.
ج) ما $ \\ alpha \u003d \\ tg (y) $ را جایگزین خواهیم کرد. از آنجا که $ \\ tg (0) \u003d 0 $، پس از آن شرایط $ \\ alpha \\ to (0) $ و $ y \\ to (0) $ معادل است. علاوه بر این، یک محله صفر وجود دارد، که در آن $ \\ arctg \\ alpha \u003d \\ arctg \\ tg (y)) \u003d y $، بنابراین، با تکیه بر نتایج پاراگراف a)، ما خواهد شد:
$ $ \\ lim _ (\\ alpha \\ to (0)) \\ frac (\\ arcttg \\ alpha) (\\ alpha) \u003d \\ lev | \\ frac (0) (0) \\ right | \u003d \\ lim_ (y \\ to (0)) \\ frac (y) (\\ tg (y)) \u003d \\ lim_ (y \\ to (0)) \\ frac (1) (\\ frac (\\ tg (y)) ( y) \u003d \\ frac (1) (\\ displaystyle \\ lim_ (y \\ to (0)) \\ frac (\\ tg (y)) (y)) \u003d \\ frac (1) (1) \u003d 1. $$
برابری $ \\ lim _ (\\ alpha \\ to (0)) \\ frac (\\ arctgtg \\ alpha) (\\ alpha) \u003d 1 دلار ثابت شده است.
برابری a)، b)، c) اغلب همراه با اولین حد فوق العاده استفاده می شود.
مثال شماره 2
محاسبه محدودیت $ \\ lim_ (x \\ to (2)) \\ frac (\\ sin \\ left (\\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \\ right)) (\\ frac (x ^ 2-4 ) (x + 7)) $.
از آنجا که $ \\ lim_ (x \\ to (2)) \\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \u003d \\ frac (2 ^ 2-4) (2 + 7) \u003d 0 $ و $ \\ lim_ (x \\ 2) \\ sin \\ left (\\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \\ right) \u003d \\ sin (0) \u003d 0 $، یعنی و عددی و عددی از فریتینی به طور همزمان به صفر می رسند، در اینجا ما با عدم قطعیت نوع $ \\ frac (0) (0) $، I.E. انجام شده. علاوه بر این، می توان آن را دیده می شود که عبارات تحت نشانه سینوسی و نامزدی همزمان (به عنوان مثال، و):
بنابراین هر دو شرایط ذکر شده در ابتدای صفحه انجام می شود. از این به شرح زیر است که فرمول قابل اجرا است، I.E. $ \\ lim_ (x \\ to (2)) \\ frac (\\ sin \\ left (\\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \\ right)) (\\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \u003d 1 $.
پاسخ: $ \\ lim_ (x \\ to (2)) \\ frac (\\ sin \\ left (\\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \\ right)) (\\ frac (x ^ 2-4) (x +7) \u003d $ 1.
مثال شماره 3
$ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ sin (9x)) (x) $ را پیدا کنید.
از آنجا که $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ sin (9x) \u003d 0 $ و $ \\ lim__ (x \\ to (0)) x \u003d 0 $، ما با عدم قطعیت نوع $ \\ frac برخورد می کنیم (0) (0) $، I.E. انجام شده. با این حال، عبارات تحت نشانه سینوسی و در نامزدی هماهنگ نیستند. در اینجا شما باید بیان را در نامزدی تحت فرم دلخواه تنظیم کنید. ما نیاز به بیان $ 9x $ در نامزدی داریم، سپس درست می شود. در حقیقت، ما ضخامت 9 دلار به $ 9 را در یک نامزدی نداریم، که برای ورود به آن بسیار دشوار نیست، این است که به سادگی بیان را در نامزدی برای $ 9 $ افزایش دهیم. به طور طبیعی، برای جبران ضرب توسط $ 9 $ بلافاصله در 9 دلار خواهد بود و تقسیم می شود:
$$ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ sin (9X)) (x) \u003d \\ left | \\ frac (0) (0) \\ right | \u003d \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ sin (9x)) (9x \\ cdot \\ frac (1) (9)) \u003d 9 \\ lim_ (x \\ به (0)) \\ frac (\\ sin (9x)) (9x) $$
در حال حاضر بیانات در نامزدی و نشانه سینوسی همزمان بود. هر دو شرایط برای محدودیت $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ sin (9x)) (9x) $ ساخته شده است. در نتیجه، $ \\ lim_ (x \\ به (0)) \\ frac (\\ sin (9x)) (9x) \u003d 1 $. و این به این معنی است که:
$$ 9 \\ lim_ (x \\ به (0)) \\ frac (\\ sin (9x)) (9x) \u003d 9 \\ cdot (1) \u003d 9. $$
پاسخ: $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ sin (9x)) (x) \u003d 9 $.
مثال شماره 4
$ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ sin (5x)) (\\ tg (8x)) $ را پیدا کنید.
از آنجا که $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ sin (5x) \u003d 0 $ و $ \\ lim__ (x \\ to (0)) \\ tg (8x) \u003d 0 $، در اینجا ما با عدم اطمینان نوع $ برخورد می کنیم \\ frac (0) (0) $. با این حال، فرم اول محدودیت قابل توجه نقض شده است. یک عددی که حاوی $ \\ sin (5x) $ است، نیاز به یک مبلغ 5 برابر دلار دارد. در این وضعیت، ساده ترین راه برای تقسیم Nomerator برای $ 5x $، و بلافاصله 5x $ به ضرب. علاوه بر این، ما عملیات مشابهی را انجام خواهیم داد و با Dentinator، تحت سلطه و تقسیم $ \\ TG (8x) $ 8X $:
$$ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ sin (5x)) (\\ tg (8x)) \u003d \\ left | \\ frac (0) (0) \\ right | \u003d \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ frac (\\ sin (5x)) (5x) \\ cdot (5x)) (\\ frac (\\ tg (8x)) (8x) \\ cdot (8x) ) $$
کاهش به $ x $ و ساخت یک دلار ثابت \\ frac (5) (8) $ برای یک حد، ما دریافت می کنیم:
$$ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ frac (\\ sin (5x)) (5x) \\ cdot (5x)) (\\ frac (\\ tg (8x)) (8x) \\ cdot (8x) ) \u003d \\ frac (5) (8) \\ cdot \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ frac (\\ sin (5x)) (5x)) (\\ frac (\\ tg (8x)) ( 8x)) $$
لطفا توجه داشته باشید که $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ sin (5x)) (5x) $ به طور کامل مورد نیاز برای اولین محدودیت قابل توجه است. برای پیدا کردن $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ tg (8x)) (8x) $، فرمول قابل اجرا است:
$$ \\ frac (5) (8) \\ cdot \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ frac (\\ sin (5x)) (5x)) (\\ frac (\\ tg (8x)) (8x ) \u003d \\ frac (5) (8) \\ cdot \\ frac (\\ displaystyle \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ sin (5x)) (5x)) (\\ displayStyle \\ lim_ (x \\ (0)) \\ frac (\\ tg (8x)) (8x)) \u003d \\ frac (5) (8) \\ cdot \\ frac (1) (1) \u003d \\ frac (5) (8). $$
پاسخ: $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ sin (5x)) (\\ tg (8x)) \u003d \\ frac (5) (8) $.
مثال شماره 5
پیدا کردن $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ cos (5x) - \\ cos ^ 3 (5x)) (x ^ 2) $.
از آنجا که $ \\ lim_ (x \\ to (0)) (\\ cos (5x) - \\ cos ^ 3 (5x)) \u003d 1-1 \u003d 0 $ (من به شما یادآوری می کنم که $ \\ cos (0) \u003d 1 $) و $ \\ lim_ (x \\ to (0)) x ^ 2 \u003d 0 $، سپس ما با عدم قطعیت نوع $ \\ frac (0) (0) $ مقابله می کنیم. با این حال، برای اعمال اولین محدودیت فوق العاده برای خلاص شدن از کوزین در عددی، رفتن به سینوس (به منظور پس از آن فرمول) و یا مماس (برای اعمال فرمول). شما می توانید این کار را در چنین تبدیل انجام دهید:
$$ \\ cos (5x) - \\ cos ^ 3 (5x) \u003d \\ cos (5x) \\ cdot \\ سمت چپ (1- \\ cos ^ 2 (5x) \\ right) $$$$ \\ cos (5x) - \\ cos ^ 3 (5x) \u003d \\ cos (5x) \\ cdot \\ left (1- \\ cos ^ 2 (5x) \\ right) \u003d \\ cos (5x) \\ cdot \\ sin ^ 2 (5x). $$
بیایید به حد مجاز برگردیم:
$ $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ cos (5x) - \\ cos ^ 3 (5x)) (x ^ 2) \u003d \\ leve | \\ frac (0) (0) \\ right | \u003d \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ cos (5x) \\ cdot \\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) \u003d \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ left (\\ \\ cos (5x) \\ cdot \\ frac (\\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) \\ right) $$
کسری از $ \\ frac (\\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) $ در حال حاضر نزدیک به آن فرم است، که برای اولین محدودیت قابل توجه مورد نیاز است. ما کمی با کسری از $ \\ frac (\\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) $ کار خواهیم کرد، باعث می شود که آن را به اولین حد فوق العاده (توجه داشته باشید که عبارات در عددی و سینوس باید مطابقت داشته باشند):
$$ \\ frac (\\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) \u003d \\ frac (\\ sin ^ 2 (5x)) (25x ^ 2 \\ cdot \\ frac (1) (25)) \u003d 25 \\ cdot \\ FRAC (\\ sin ^ 2 (5x)) (25x ^ 2) \u003d 25 \\ cdot \\ left (\\ frac (\\ sin (5x)) (5x) \\ right) ^ 2 $$
بیایید به حد قابل بررسی بازگردیم:
$ $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ left (\\ cos (5x) \\ cdot \\ frac (\\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) \\ right) \u003d \\ lim_ (x به (0 ) \\ left (25 \\ cos (5x) \\ cdot \\ سمت چپ (\\ frac (\\ sin (5x)) (5x) \\ right) ^ 2 \\ right) \u003d \\\\ \u003d 25 \\ cdot \\ lim_ (x \\ به ( 0)) \\ cos (5x) \\ cdot \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ left (\\ frac (\\ sin (5x)) (5x) \\ right) ^ 2 \u003d 25 \\ cdot (1) \\ cdot ( 1 ^ 2) \u003d 25. $$
پاسخ: $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ cos (5x) - \\ cos ^ 3 (5x)) (x ^ 2) \u003d 25 $.
مثال شماره 6
یک محدودیت از $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (1- \\ cos (6x)) (1- \\ cos (2x)) $ پیدا کنید.
از آنجا که $ \\ lim_ (x \\ to (0)) (1- \\ to (6x)) \u003d 0 $ و $ \\ lim_ (x \\ to (0)) (1- \\ cos (2x)) \u003d 0 $، ما با عدم قطعیت $ \\ frac (0) (0) $ مقابله می کنند. با کمک اولین محدودیت قابل توجه، آن را به یاد بیاورید. برای انجام این کار، بیایید از Cosine به سینوس برویم. از آنجا که $ 1- \\ cos (2 \\ alpha) \u003d 2 \\ sin ^ 2 (\\ alpha) $، سپس:
$$ 1- \\ cos (6x) \u003d 2 \\ sin ^ 2 (3x)؛ \\؛ 1- \\ cos (2x) \u003d 2 \\ sin ^ 2 (x). $$
تبدیل شدن به محدودیت مشخص شده به سینوس، ما خواهیم داشت:
$ $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (1- \\ cos (6x)) (1- \\ cos (2x)) \u003d \\ left | \\ frac (0) (0) \\ right | \u003d \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (2 \\ sin ^ 2 (3x)) (2 \\ sin ^ 2 (x)) \u003d \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ sin ^ 2 (3x)) (\\ sin ^ 2 (x)) \u003d \\\\ \u003d \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ frac (\\ sin ^ 2 (3x)) ((3x) ^ 2) \\ CDOT (3x) ^ 2) (\\ frac (\\ sin ^ 2 (x)) (x ^ 2) \\ cdot (x ^ 2)) \u003d \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ left FRAC (\\ sin (3x)) (3x) \\ right) ^ 2 \\ CDOT (9x ^ 2)) (\\ left (\\ frac (\\ sin (x)) (x) \\ right) ^ 2 \\ cdot (x ^ 2) \u003d 9 \\ CDOT / FRAC (\\ displaystyle \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ left (\\ frac (\\ sin (3x)) (3x) \\ right) ^ 2) (\\ displaystyle \\ lim_ (x \\ به (0)) \\ left (\\ frac (\\ sin (x)) (x) \\ right) ^ 2) \u003d 9 \\ cdot \\ frac (1 ^ 2) (1 ^ 2) \u003d 9. $$
پاسخ: $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (1- \\ cos (6x)) (1- \\ cos (2x)) \u003d 9 $.
مثال شماره 7
محاسبه محدودیت $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ cos (\\ alpha (x)) - \\ cos (\\ beta (x))) (x ^ 2) $ تحت شرایط $ \\ alpha \\ neq \\ beta $.
توضیحات مفصل قبلا داده شده است، در اینجا به سادگی توجه داشته باشید که عدم قطعیت $ \\ frac (0) (0) $ دوباره حضور دارد. بیایید از کوزین به سینوس ها با استفاده از فرمول برویم
$$ \\ cos \\ alpha- \\ cos \\ beta \u003d -2 \\ sin \\ frac (\\ alpha + \\ beta) (2) \\ cdot \\ sin \\ frac (\\ alpha- \\ beta) (2). $$
با استفاده از فرمول مشخص شده، ما دریافت می کنیم:
$ $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ cos (\\ alpha (x)) - \\ cos (\\ beta (x))) (x ^ 2) \u003d \\ left | \\ frac (0) (0) 0) \\ right | \u003d \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (-2 \\ sin \\ frac (\\ alpha (x) + \\ beta (x)) (2) \\ cdot \\ sin \\ frac (\\ alpha (x) - \\ بتا (x)) (2)) (x ^ 2) \u003d \\\\ \u003d -2 -2 \\ cdot \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ sin \\ left (x \\ \\ cdot \\ frac (\\ alpha + \\ بتا) (2) \\ right) \\ cdot \\ sin \\ سمت چپ (x \\ cdot \\ frac (\\ alpha- \\ beta) (2) \\ right)) (x ^ 2) \u003d -2 \\ cdot \\ lim_ (x \\ به (0)) \\ left (\\ frac (\\ sin \\ left (x \\ \\ cdot \\ frac (\\ alpha + \\ beta) (2) \\ right)) (x) \\ cdot \\ frac (\\ sin \\ left \\ frac (\\ alpha- \\ beta) (2) \\ right)) (x) \\ right) \u003d \\\\ \u003d -2 \\ cdot \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ left (\\ frac (\\ sin \\ left (x \\ cdot \\ frac (\\ alpha + \\ beta) (2) \\ right)) (x \\ cdot \\ frac (\\ alpha + \\ beta) (2)) \\ cdot \\ frac (\\ alpha + \\ beta) (2 ) \\ cdot \\ frac (\\ sin \\ left (x \\ cdot \\ frac (\\ alpha- \\ beta) (2) \\ right)) (x \\ cdot \\ frac (\\ alpha- \\ beta) (2)) \\ cdot \\ Frac (\\ alpha- \\ beta) (2) \\ right) \u003d \\\\ \u003d - \\ frac ((\\ alpha + \\ beta) \\ cdot (\\ alpha- \\ beta)) (2) \\ lim_ (x \\ به (0 ) \\ frac (\\ sin \\ left (x \\ \\ cdot \\ frac (\\ alpha + \\ beta) (2) \\ right)) (x \\ cdot \\ frac (\\ alpha + \\ beta) (2)) \\ cdot \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ sin \\ left (x \\ \\ cdot \\ frac (\\ alpha- \\ beta) (2) \\ right)) (x \\ cdot \\ frac (\\ alpha- \\ beta) (2 ) \u003d - \\ FRAC (\\ frac (alpha ^ 2- \\ beta ^ 2) (2) \\ cdot (1) \\ cdot (1) \u003d \\ frac (\\ beta ^ 2- \\ alpha ^ 2) (2). $$
پاسخ: $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ cos (\\ alpha (x)) - \\ cos (\\ beta (x))) (x ^ 2) \u003d \\ frac (\\ beta ^ 2- \\ آلفا ^ 2) (2) $.
مثال شماره 8
محدودیت $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ tg (x) - \\ sin (x)) (x ^ 3) $ را پیدا کنید.
از آنجا که $ \\ lim_ (x \\ to (0)) (\\ tg (x) - \\ sin (x)) \u003d 0 $ (به شما یادآوری می کند که $ \\ sin (0) \u003d \\ tg (0) \u003d 0 $) و $ \\ lim_ (x \\ to (0)) x ^ 3 \u003d 0 $، در اینجا ما با عدم قطعیت نوع $ \\ frac (0) (0) $ مقابله می کنیم. ما آن را به شرح زیر نشان خواهیم داد:
$$ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ tg (x) - \\ sin (x)) (x ^ 3) \u003d \\ lev | \\ frac (0) (0) \\ right | \u003d \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ frac (\\ sin (x)) (\\ cos (x)) - \\ sin (x)) (x ^ 3) \u003d \\ lim_ (x \\ به ( 0)) \\ frac (\\ sin (x) \\ cdot \\ سمت چپ (\\ frac (1) (\\ cos (x)) - 1 \\ right)) (x ^ 3) \u003d \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ sin (x) \\ cdot \\ سمت چپ (1- \\ cos (x) \\ right)) (x ^ 3 \\ cdot \\ cos (x)) \u003d \\\\ \u003d \\ lim_ (x \\ به (0)) \\ frac (\\ sin (x) \\ cdot (2) \\ sin ^ 2 \\ frac (x) (2)) (x ^ 3 \\ cdot \\ cos (x)) \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot \\ LIM_ (x \\ to (0)) \\ left (\\ frac (\\ sin (x)) (x) \\ cdot \\ left (\\ frac (\\ sin \\ frac (x) (2)) (\\ frac (x) ( 2) \\ right) ^ 2 \\ cdot \\ frac (1) (\\ cos (x)) \\ right) \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot (1) \\ cdot (1 ^ 2) \\ cdot (1 ) \u003d \\ frac (1) (2). $$
پاسخ: $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ tg (x) - \\ sin (x)) (x ^ 3) \u003d \\ frac (1) (2) $.
مثال شماره 9
پیدا کردن $ \\ lim__ (x \\ to (3)) \\ frac ((1- \\ cos (x-3)) ((x-3) \\ tg \\ frac (x-3) (2)) $.
از آنجا که $ \\ حد_ (X \\ به (3)) (1- \\ COS (X-3)) \u003d 0 $ و $ \\ حد_ (X \\ به (3)) (X-3) \\ TG \\ FRAC (X - 3) (2) \u003d 0 $، پس از آن یک عدم قطعیت نوع $ \\ frac (0) (0) $ وجود دارد. قبل از تغییر به افشای آن، مناسب است که جایگزین متغیر به گونه ای باشد که متغیر جدید به صفر برسد (توجه داشته باشید که $ \\ alpha \\ تا 0 $ formulas formulas). ساده ترین راه برای ورود به متغیر $ t \u003d x-3 $. با این حال، برای راحتی بیشتر تحولات (این سود می تواند در این دوره از تصمیم زیر دیده می شود) آن را به ارزش ساخت چنین جایگزینی است: $ T \u003d \\ FRAC (X-3) (2) $. من یادآوری می کنم که هر دو جایگزین در این مورد قابل استفاده هستند، به سادگی جایگزینی دوم، کار کمتر را با کسری انجام می دهد. از آنجا که $ x \\ به (3) $، سپس $ t \\ به (0) $.
$$ \\ lim_ (x \\ to (3)) \\ frac (1- \\ cos (x-3)) ((x-3) \\ tg \\ frac (x-3) (2)) \u003d \\ left | \\ frac (0) (0) \\ right | \u003d \\ left | \\ begin (aligned) & t \u003d \\ frac (x-3) (2)؛ \\\\ & t \\ to (0) \\ end (aligned) \\ right | \u003d \\ lim_ (t \\ to (0)) \\ frac (1- \\ cos (2T)) (2T \\ cdot \\ tg (t)) \u003d \\ lim_ (t \\ to (0)) \\ frac (2 \\ sin ^ 2T) (2T \\ cdot \\ tg (t)) \u003d \\ lim_ (t \\ to (0)) \\ frac (\\ sin ^ 2t) (t \\ cdot \\ tg (t)) \u003d \\\\ \u003d \\ lim_ (t \\ به (0)) \\ frac (\\ sin ^ 2t) (t \\ cdot \\ frac (\\ sin (t)) (\\ cos (t))) \u003d \\ lim_ (t \\ to (0)) \\ frac (\\ sin (T) \\ COS (T)) (T) \u003d \\ حد_ (T \\ برای (0)) \\ چپ (\\ FRAC (\\ گناه (T)) (T) \\ فرمود \\ COS (T) \\ حق) \u003d \\ حد_ (T \\ برای (0)) \\ FRAC (\\ گناه (T)) (T) \\ فرمود \\ حد_ (T \\ برای (0)) \\ COS (T) \u003d 1 \\ فرمود (1) \u003d 1. $$
پاسخ: $ \\ lim_ (x \\ to (3)) \\ frac (1- \\ cos (x-3)) ((x-3) \\ tg \\ frac (x - 3) (2)) \u003d 1 $.
مثال شماره 10
محدودیت $ \\ lim_ (x \\ to \\ frac (\\ pi) (2)) \\ frac (1- \\ sin (x)) (\\ left (\\ frac (\\ pi) (2) -x \\ right) ^ را پیدا کنید 2) $.
ما با عدم قطعیت $ \\ frac (0) (0) $ مقابله می کنیم. قبل از تغییر به افشای آن، مناسب است که متغیر را جایگزین کنید به طوری که متغیر جدید به صفر برسد (توجه داشته باشید که فرمول متغیر $ \\ alpha \\ to (0) $). ساده ترین راه ورود به متغیر $ t \u003d \\ frac (\\ pi) (\\ pi) (2) -x $ یکسان است. از آنجا که $ x \\ به \\ frac (\\ pi) (2) $، سپس $ t \\ to (0) $:
$$ \\ lim_ (x \\ به \\ frac (\\ pi) (2)) \\ frac (1- \\ sin (x)) (\\ left (\\ frac (\\ pi) (2) -x \\ right) ^ 2) \u003d \\ left | \\ frac (0) (0) \\ right | \u003d \\ left | \\ begin (aligned) & t \u003d \\ frac (\\ pi) (2) -x؛ \\\\ & t \\ to (0) \\ end (aligned) \\ right | \u003d \\ حد_ (T \\ برای (0)) \\ FRAC (1- \\ گناه \\ چپ (\\ FRAC (\\ PI) (2) -t \\ راست)) (T ^ 2) \u003d \\ حد_ (T \\ برای (0 ) \\ frac (1- \\ cos (t)) (t ^ 2) \u003d \\\\ \u003d \\ lim_ T ^ 2) \u003d 2 \\ حد_ (T \\ برای (0)) \\ FRAC (\\ گناه ^ 2 \\ FRAC (T) (2)) (T ^ 2) \u003d 2 \\ حد_ (T \\ برای (0)) \\ Frac (\\ sin ^ 2 \\ frac (t) (2)) (\\ frac (t ^ 2) (4) \\ cdot (4)) \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot \\ lim_ (t \\ t / 0)) \\ left (\\ frac (\\ sin \\ frac (t) (2)) (\\ frac (t) (2)) \\ right) ^ 2 \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot (1 ^ 2) ) \u003d \\ frac (1) (2). $$
پاسخ: $ \\ حد_ (X \\ به \\ FRAC (2) (\\ PI)) \\ FRAC (1- \\ گناه (x)) (\\ چپ (\\ FRAC (\\ PI) (2) -x \\ راست) ^ 2) \u003d \\ frac (1) (2) $.
مثال شماره 11
محدودیت های $ \\ lim_ (x \\ to \\ frac (\\ pi) (2)) \\ frac (1- \\ sin (x)) (\\ cos ^ 2x) $، $ \\ lim_ (x \\ to \\ frac ( 2 \\ ص) (3)) \\ FRAC (\\ TG (X) + \\ SQRT (3)) (2 \\ COS (X) 1) $.
در این مورد، ما نباید از اولین محدودیت فوق العاده استفاده کنیم. لطفا توجه داشته باشید: هر دو در ابتدا و در محدودیت دوم تنها توابع و اعداد مثلثاتی وجود دارد. اغلب، در نمونه هایی از این نوع، ممکن است بیان بیان شده در زیر نشانه محدودیت را ساده کند. در عین حال، پس از گفتن ساده سازی و کاهش برخی عوامل، عدم اطمینان ناپدید می شود. من این مثال را تنها با یک هدف آورده ام: نشان می دهد که حضور توابع مثلثاتی تحت نشانه محدودی، لزوما به معنای استفاده از اولین محدودیت قابل توجه نیست.
از آنجا که $ \\ lim_ (x \\ به \\ frac (\\ pi) (2)) (1- \\ sin (x)) \u003d 0 $ (به شما یادآوری کنید که $ \\ sin \\ frac (\\ pi) (2) \u003d 1 $) و $ \\ lim_ (x \\ \\ به \\ frac (\\ pi) (\\ pi)) \\ cos ^ 2x \u003d 0 $ (به شما یادآوری کنید که $ \\ cos \\ frac (\\ pi) (\\ pi) (2) \u003d 0 $)، سپس ما داریم مورد با عدم قطعیت نوع $ \\ frac (0) (0) $. با این حال، این بدان معنا نیست که ما باید از اولین محدودیت فوق العاده استفاده کنیم. برای افشای عدم قطعیت، به اندازه کافی به نظر می رسد که $ \\ cos ^ 2x \u003d 1- \\ sin ^ 2x $:
$$ \\ lim_ (x \\ به \\ frac (\\ pi) (2)) \\ frac (1- \\ sin (x)) (\\ cos ^ 2x) \u003d \\ lev | \\ frac (0) (0) \\ right | \u003d \\ lim_ (x \\ to \\ frac (\\ pi) (2)) \\ frac (1- \\ sin (x)) (1- \\ sin ^ 2x) \u003d \\ lim_ (x \\ تا \\ frac (\\ pi) ( 2) \\ frac (1- \\ sin (x)) ((1- \\ sin (x)) (1+ \\ sin (x))) \u003d \\ lim_ (x \\ to \\ frac (\\ pi) (2) ) \\ frac (1) (1+ \\ sin (x)) \u003d \\ frac (1) (1 + 1) \u003d \\ frac (1) (2). $$
یک راه حل مشابه در Demidovich Reshebnik وجود دارد (شماره 475). همانطور که برای حد دوم، همانطور که در نمونه های قبلی این بخش، عدم قطعیت نوع $ \\ frac (0) (0) $. چرا او بوجود می آید؟ این به دلیل $ \\ tg \\ frac (2 \\ pi) (3) \u003d - \\ sqrt (3) $ و $ 2 \\ cos \\ frac (2 \\ pi) (3) \u003d - $ 1 ما از این مقادیر استفاده می کنیم تا عبارات را در عددی و در نامزدی تبدیل کنیم. هدف از اقدامات ما: برای ضبط مجموع در عددی و نامزدی در قالب یک کار. به هر حال، اغلب در محدوده یک گونه مشابه مناسب است که جایگزین متغیر ساخته شده با چنین محاسباتی شود تا متغیر جدید به صفر برسد (به عنوان مثال، نمونه های شماره 9 یا شماره 10 در این صفحه را ببینید ) با این حال، در این مثال، هیچ معنایی در جایگزینی معنی وجود ندارد، اگر چه، اگر مورد نظر، جایگزینی متغیر $ t \u003d x- \\ frac (2 \\ pi) (3) $ آسان برای پیاده سازی است.
$$ \\ حد_ (X \\ به \\ FRAC (2 \\ ص) (3)) \\ FRAC (\\ TG (X) + \\ SQRT (3)) (2 \\ COS (X) 1) \u003d \\ حد_ (X \\ به \\ frac (2 \\ pi) (3)) \\ frac (\\ tg (x) + \\ sqrt (3)) (2 / cdot \\ left (\\ cos (x) + \\ frac (1) (2) \\ right ) \u003d \\ lim_ (x \\ to \\ frac (2 \\ pi) (3)) \\ frac (\\ tg (x) - \\ tg \\ frac (2 \\ pi) (3)) (2 \\ cdot \\ left (\\ \\ cos (x) - \\ cos \\ frac (2 \\ pi) (3) \\ right)) \u003d \\\\ \u003d \\ lim_ (x \\ به \\ frac (2 \\ pi) (3)) \\ frac (\\ frac (\\ sin \\ left (x- \\ frac (2 \\ pi) (3) \\ right)) (\\ cos (x) \\ cos \\ frac (2 \\ pi) (3))) (- 4 \\ sin \\ frac (x + \\ FRAC (2 \\ PI) (3)) (2) \\ گناه \\ FRAC (x \\ FRAC (2 \\ PI) (3)) (2)) \u003d \\ حد_ (X \\ به \\ FRAC (2 \\ ص) ( 3)) \\ FRAC (\\ گناه \\ چپ (x \\ FRAC (2 \\ PI) (3) \\ راست)) (- 4 \\ گناه \\ FRAC (X + \\ FRAC (2 \\ PI) (3)) (2 ) \\ SIN \\ FRAC (x \\ FRAC (2 \\ PI) (3)) (2) \\ COS (X) \\ COS \\ FRAC (2 \\ PI) (3)) \u003d \\\\ \u003d \\ حد_ (X \\ برای \\ FRAC () 2 \\ SIN \\ FRAC (x \\ FRAC (2 \\ ص) (3) (2 \\ ص) (3)) \\ FRAC (2) \\ COS \\ FRAC (x \\ FRAC (2 \\ PI) ) (3) (2)) (- 4 \\ گناه \\ FRAC (X + \\ FRAC (2 \\ PI) (3)) (2) \\ گناه \\ FRAC (x \\ FRAC (2 \\ PI) (3)) (2) \\ COS (X) \\ COS \\ FRAC (2 \\ PI) (3)) \u003d \\ حد_ (X \\ به \\ FRAC (2 \\ ص) (3)) \\ FRAC (\\ COS \\ FRAC (x \\ FRAC (2 \\ PI) (3)) (2)) (- 2 \\ گناه \\ FRAC (X + \\ FRAC (2 \\ PI) (3)) (2) \\ COS (X) \\ COS \\ FRAC (2 \\ PI) (3)) \u003d \\\\ \u003d \\ FRAC (1) (- 2 \\ فرمود \\ FRAC (\\ SQRT (3)) (2) \\ فرمود \\ چپ (- \\ FRAC (1) (2) \\ راست) \\ فرمود \\ چپ (- \\ FRAC (1) (2) \\ حق)) \u003d - \\ FRAC (4 ) (\\ sqrt (3)). $$
همانطور که می بینید، ما مجبور نیستیم اولین محدودیت فوق العاده را اعمال کنیم. البته، اگر مورد نظر، این را می توان انجام داد (توجه داشته باشید در زیر)، اما نیازی به این نیست.
راه حل راه حل با استفاده از اولین محدودیت قابل توجه خواهد بود؟ نمایش \\ مخفی کردن
هنگام استفاده از اولین محدودیت قابل توجه، ما دریافت می کنیم:
$$ \\ حد_ (X \\ به \\ FRAC (2 \\ ص) (3)) \\ FRAC (\\ گناه \\ چپ (x \\ FRAC (2 \\ PI) (3) \\ راست)) (- 4 \\ گناه \\ FRAC (X + \\ FRAC (2 \\) PI) (3) (2) \\ SIN \\ FRAC (x \\ FRAC (2 \\ PI) (3)) (2) \\ COS (X) \\ COS \\ FRAC (2 \\ PI) (3)) \u003d \\\\ \u003d \\ حد_ (X \\ به \\ FRAC (2 \\ PI) (3)) \\ چپ (\\ FRAC (\\ گناه \\ چپ (x \\ FRAC (2 \\ PI) (3) \\ راست)) (x \\ FRAC (2 \\ ص) (3)) \\ فرمود \\ FRAC (1) (\\ FRAC (\\ SIN \\ FRAC (x \\ FRAC (2 \\) PI) (3) (2) ) (\\ FRAC (x \\ FRAC (2 \\ PI) (3)) (2))) \\ فرمود \\ FRAC (1) (- 2 \\ گناه \\ FRAC (X + \\ FRAC (2 \\ PI) (3) ) (2) \\ COS (X) \\ COS \\ FRAC (2 \\ ص) (3)) \\ راست) \u003d 1 \\ فرمود (1) \\ فرمود \\ FRAC (1) (- 2 \\ فرمود \\ FRAC (\\ SQRT ( 3)) (2) \\ فرمود \\ چپ (- \\ FRAC (1) (2) \\ right) به \\ فرمود \\ چپ (- \\ FRAC (1) (2) \\ حق)) \u003d - \\ FRAC (4) (\\ SQRT (3)). $$
پاسخ: $ \\ lim_ (x \\ \\ به \\ frac (\\ pi) (2)) \\ frac (1- \\ sin (x)) (\\ cos ^ 2x) \u003d \\ frac (1) (2) $، $ \\ lim_ x \\ به \\ frac (2 \\ pi) (3)) \\ frac (\\ tg (x) + \\ sqrt (3)) (2 \\ cos (x) +1) \u003d - \\ frac (4) (\\ sqrt (\\ sqrt 3)) $.
معمولا دومین حد فوق العاده در این فرم نوشته شده است:
\\ شروع (معادله) \\ lim_ (x \\ \\ به \\ infty) \\ left (1+ \\ frac (1) (x) \\ right) ^ x \u003d e \\ معادله
شماره $ E $ مشخص شده در سمت راست برابری (1) غیر منطقی است. مقدار تقریبی این تعداد عبارتند از: $ E \\ APPROX (2 (،) 718281828459045) $. اگر شما جایگزین $ t \u003d \\ frac (1) (x) $، پس از آن فرمول (1) را می توان در فرم زیر بازنویسی کرد:
\\ شروع (معادله) \\ lim_ (t \\ t / to (0)) \\ biggl (1 + t \\ bigggr) ^ (\\ frac (1) (t)) \u003d e \\ معادله
همانطور که برای اولین محدودیت فوق العاده، مهم نیست که به جای متغیر $ x $ در فرمول (1) یا به جای متغیر $ T $ در فرمول (2) باشد. نکته اصلی این است که دو شرایط را اجرا کنید:
گفته شده است که محدودیت فوق العاده دوم، عدم قطعیت $ 1 ^ \\ infty $ را نشان می دهد. توجه داشته باشید که در فرمول (1) ما مشخص نیست که چه نوع بی نهایت ($ + \\ infty $ یا $ - \\ infty $) سخنرانی است. در هر یک از این موارد، فرمول (1) درست است. در فرمول (2)، متغیر $ T $ می تواند برای صفر هر دو در سمت چپ و راست تلاش کند.
من توجه دارم که چندین عواقب مفید از حد قابل توجهی وجود دارد. مثالها برای استفاده از یک حد قابل توجه دوم، و همچنین عواقب آن، با کامپایلرهای محاسبات استاندارد استاندارد و کارهای کنترل بسیار محبوب هستند.
مثال №1
محاسبه محدودیت $ \\ lim_ (x \\ به \\ infty) \\ سمت چپ (\\ frac (3x + 1) (3x-5) \\ right) ^ (4x + 7) $.
بلافاصله توجه داشته باشید که پایه و اساس درجه (I.E. $ \\ FRAC (3x + 1) (3x-5) $) تمایل به وحدت:
$$ \\ lim_ (x \\ \\ به \\ infty) \\ frac (3x + 1) (3x-5) \u003d \\ left | \\ frac (\\ infty) (\\ infty) \\ right | \u003d \\ lim_ (x \\ to \\ infty) \\ frac (3+ \\ frac (1) (x)) (3- \\ frac (5) (x)) \u003d \\ frac (3 + 0) (3-0) \u003d یکی $$
در این مورد، شاخص (بیان $ 4X + 7 $) تمایل به بی نهایت، I.E. $ \\ lim_ (x \\ به \\ infty) (4x + 7) \u003d \\ infty $.
پایه و اساس درجه تمایل به وحدت، شاخص درجه - به بی نهایت، I.E. ما با عدم قطعیت $ 1 ^ \\ infty $ برخورد می کنیم. فرمول را برای افشای این عدم قطعیت اعمال کنید. در پایه درجه فرمول، بیان $ 1 + \\ frac (1) (x) $، و در مثال ما پایه و اساس درجه این است: $ \\ frac (3x + 1) (3x- 5) $. بنابراین، اولین اقدام به صورت رسمی عبارتند از عبارت $ \\ frac (3x + 1) (3x-5) $ تحت فرم $ 1 + \\ frac (1) (x) $. برای شروع، اضافه کردن و تفریق واحد:
$ $ \\ lim_ (x \\ به \\ infty) \\ left (\\ frac (3x + 1) (3x-5) \\ right) ^ (4x + 7) \u003d | 1 ^ \\ infty | \u003d \\ lim_ (x \\ to \\ infty) \\ left (1+ \\ frac (3x + 1) (3x-5) -1 \\ right) ^ (4x + 7) $$
لازم به ذکر است که یک واحد مانند آن آسان است. اگر ما مجبور به اضافه کردن واحد، پس لازم است و تفریق، به منظور تغییر ارزش کل بیان. برای ادامه تصمیم، این را در نظر بگیرید
$$ \\ frac (3x + 1) (3x-5) -1 \u003d \\ frac (3x + 1) (3x-5) - \\ frac (3x-5) (3x-5) \u003d \\ frac (3x + 1- 3x + 5) (3x-5) \u003d \\ frac (6) (3x-5). $$
از آنجا که $ \\ frac (3x + 1) (3x-5) -1 \u003d \\ frac (6) (3x-5) $، سپس:
$ $ \\ lim_ (x \\ به \\ infty) \\ left (1+ \\ frac (3x + 1) (3x-5) -1 \\ right) ^ (4x + 7) \u003d \\ lim_ (x \\ to \\ infty) \\ چپ (1+ \\ frac (6) (3x-5) \\ right) ^ (4x + 7) $$
ما همچنان "اتصالات" را ادامه می دهیم. در بیان $ 1 + \\ frac (1) (x) فرمول های $ در کسری کسر 1، و در بیان ما $ 1 + \\ frac (6) (3x-5) $ در Numerator وجود دارد $ 6 $. برای دریافت $ 1 $ در یک حساب کاربری، کمتر از $ 6 $ به یک نامزد با استفاده از تبدیل زیر کاهش می یابد:
$$ 1+ \\ frac (6) (3x-5) \u003d 1 + \\ frac (1) (\\ frac (3x-5) (6)) $$
به این ترتیب،
$$ \\ lim_ (x \\ به \\ infty) \\ left (1+ \\ frac (6) (3x-5) \\ right) ^ (4x + 7) \u003d \\ lim_ (x \\ تا \\ infty) \\ left (1+ \\ frac (1) (\\ frac (3x-5) (6)) \\ right) ^ (4x + 7) $$
بنابراین، مبنای درجه، I.E. $ 1 + \\ frac (1) (\\ frac (3x-5) (6)) $، مجاور فرم $ 1 + \\ frac (1) (x) $، که در فرمول مورد نیاز است. حالا شروع به کار با شاخص درجه بندی کنید. توجه داشته باشید که در فرمول بیان از لحاظ درجه و در نامزدی، همان:
بنابراین، به عنوان مثال، شاخص درجه و نامزدی باید به همان فرم داده شود. به منظور به دست آوردن بیان $ \\ frac (3x-5) (6) $، به سادگی با تردید نرخ درجه در این بخش. به طور طبیعی، برای جبران چنین ضرب، لازم است که در کسری معکوس افزایش یابد، به عنوان مثال در $ \\ frac (6) (3x-5) $. بنابراین، ما داریم:
$ $ \\ lim_ (x \\ به \\ infty) \\ left (1+ \\ frac (1) (\\ frac (3x-5) (6)) \\ right) ^ (4x + 7) \u003d \\ lim_ (x \\ \\ Infty) \\ left (1+ \\ frac (1) (\\ frac (3x-5) (6)) \\ right) ^ (\\ frac (3x-5) (6) \\ cdot \\ frac (6) (3x-5 ) \\ cdot (4x + 7)) \u003d \\ lim_ (x \\ to \\ infty) \\ left (\\ left (1+ \\ frac (1) (\\ frac (3x-5) (6)) \\ right) ^ (\\ Frac (3x-5) (6)) \\ right) ^ (\\ frac (6 / cdot (4x + 7)) (3x-5)) $$
به طور جداگانه، محدودیت کسری را در نظر بگیرید $ \\ frac (6 / cdot (4x + 7)) (3x-5) $، واقع در درجه:
$$ \\ حد_ (X \\ به \\ کلیت) \\ FRAC (6 \\ فرمود (4X + 7)) (3X-5) \u003d \\ چپ | \\ FRAC (\\ کلیت) (\\ کلیت) \\ راست | \u003d \\ lim_ (x \\ to \\ infty) \\ frac (6 \\ cdot \\ left (4+ \\ frac (7) (x) \\ right)) (3- \\ frac (5) (x)) \u003d 6 \\ cdot \\ Frac (4) (3) \u003d 8. $$
پاسخ: $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ biggl (\\ cos (2x) \\ bigggr) ^ (\\ sin ^ 2 (3x))) \u003d e ^ (- \\ frac (2) (9)) $.
مثال شماره 4
پیدا کردن محدودیت $ \\ lim_ (x \\ to + \\ infty) x \\ left (\\ ln (x + 1) - \\ ln (x) \\ right) $.
از آنجا که در $ x\u003e 0 $ ما $ \\ ln (x + 1) - \\ ln (x) \u003d \\ ln \\ left (\\ frac (x + 1) (x) \\ right) $، سپس:
$$ \\ lim_ (x \\ به + \\ infty) x \\ left (\\ ln (x + 1) - \\ ln (x) \\ right) \u003d \\ lim_ (x \\ to + \\ infty) \\ left (x \\ cdot \\ LN \\ چپ (\\ FRAC (X + 1) (x) \\ راست) \\ راست) $$
محاسبه کسری از $ \\ frac (x + 1) (x) $ در مقدار کسری $ \\ frac (x + 1) (x) \u003d 1 + \\ frac (1) (x) $ ما دریافت می کنیم:
$$ \\ حد_ (X \\ به + \\ کلیت) \\ چپ (X \\ فرمود \\ LN \\ چپ (\\ FRAC (X + 1) (x) \\ راست) \\ راست) \u003d \\ حد_ (X \\ به + \\ کلیت) \\ چپ (X \\ فرمود \\ LN \\ چپ (1+ \\ FRAC (1) (x) \\ راست) \\ حق) \u003d \\ حد_ (X \\ به + \\ کلیت) \\ چپ (\\ L \\ چپ (\\ FRAC (X + 1) (x) \\ راست) به توان x \\ راست) \u003d \\ LN (E) \u003d 1. $$
پاسخ: $ \\ lim_ (x \\ \\ to + \\ infty) x \\ left (\\ ln (x + 1) - \\ ln (x) \\ right) \u003d 1 $.
مثال شماره 5
محدودیت $ \\ lim_ (x \\ to (2)) \\ biggl (3x-5 \\ biggr) ^ (\\ frac (2x) (x ^ 2-4)) را پیدا کنید.
از آنجا که $ \\ حد_ (X \\ به (2)) (3X-5) \u003d 6/5 \u003d 1 $ و $ \\ حد_ (X \\ به (2)) \\ FRAC (2x) به (X ^ 2-4) \u003d \\ Infty $، سپس ما با عدم قطعیت نوع $ 1 ^ \\ infty $ برخورد می کنیم. توضیحات مفصلی به عنوان مثال شماره 2 داده می شود، در اینجا ما محدود به یک راه حل کوتاه هستیم. ساخت جایگزینی $ t \u003d x-2 $، ما دریافت می کنیم:
$ $ \\ lim_ (x \\ to (2)) \\ biggl (3x-5 \\ bigggr) ^ (\\ frac (2x) (x ^ 2-4)) \u003d \\ left | \\ begin (aligned) & t \u003d x- 2؛ \\؛ X \u003d T + 2 \\\\ & T \\ برای (0) \\ پایان (تعهد) \\ RIGHT | \u003d \\ lim_ (t \\ to (0)) \\ biggl (1 + 3t \\ biggr) ^ (\\ frac (2T + 4) (t ^ 2 + 4T)) \u003d \\\\ \u003d \\ lim_ (t \\ to (0) ) \\ biggl (1 + 3T \\ biggr) ^ (\\ frac (1) (3T) \\ cdot 3T \\ cdot \\ frac (2T + 4) (t ^ 2 + 4t)) \u003d \\ lim_ (t \\ to (0) ) \\ left (\\ biggl (1 + 3t \\ bigggr) ^ (\\ frac (1) (3T)) \\ right) ^ (\\ frac (6 / cdot (t + 2)) (t + 4)) \u003d e ^ 3 $$
شما می توانید این مثال را حل کنید و با استفاده از جایگزینی: $ t \u003d \\ frac (1) (x-2) $. البته، پاسخ یکسان خواهد بود:
$ $ \\ lim_ (x \\ to (2)) \\ biggl (3x-5 \\ bigggr) ^ (\\ frac (2x) (x ^ 2-4)) \u003d \\ left | \\ begin (aligned) & t \u003d \\ frac (1) (X-2)؛ \\؛ X \u003d \\ FRAC (2T + 1) (T) \\\\ & T \\ برای \\ کلیت \\ پایان (تعهد) \\ راست | \u003d \\ lim_ (t \\ to \\ infty) \\ left (1+ \\ frac (3) (t) \\ right) ^ (t \\ cdot \\ frac (4T + 2) (4T + 1)) \u003d \\\\ \u003d \\ lim_ (t \\ to \\ infty) \\ left (1+ \\ frac (1) (\\ frac (t) (3)) \\ right) ^ (\\ frac (t) (3) \\ cdot \\ frac (3) (t) \\ cdot \\ frac (t \\ cdot (4T + 2)) (4T + 1)) \u003d \\ lim_ (t \\ to \\ infty) \\ left (\\ left (1+ \\ frac (1) (\\ frac (t) (\\ frac 3)) \\ right) ^ (\\ frac (t) (3)) \\ right) ^ (\\ frac (6 \\ cdot (2t + 1)) (4T + 1)) \u003d e ^ 3. $$
پاسخ: $ \\ حد_ (X \\ به (2)) \\ biggl (3X-5 \\ biggr) ^ (\\ FRAC (2x) به (X ^ 2-4)) \u003d 3 E ^ $.
مثال شماره 6
پیدا کردن محدودیت $ \\ lim_ (x \\ به \\ infty) \\ سمت چپ (\\ frac (2x ^ 2 + 3) (2x ^ 2-4) \\ right) ^ (3x) $.
ما متوجه می شویم که عبارت $ \\ frac (2x ^ 2 + 3) (2x ^ 2-4) $ تلاش می کند (2x ^ 2-4)، ارائه $ x \\ به \\ infty $:
$$ \\ lim_ (x \\ به \\ infty) \\ frac (2x ^ 2 + 3) (2x ^ 2-4) \u003d \\ left | \\ frac (\\ infty) (\\ infty) \\ right | \u003d \\ lim_ (x \\ \\ infty) \\ frac (2+ \\ frac (3) (x ^ 2)) (2- \\ frac (4) (x ^ 2)) \u003d \\ frac (2 + 0) (2 -0) \u003d 1 $$
بنابراین، در یک حد معین، ما با عدم قطعیت نوع $ 1 ^ \\ infty $، که با استفاده از حد قابل توجه دوم نشان داده می شود، برخورد می کنیم:
$$ \\ lim_ (x \\ به \\ infty) \\ left (\\ frac (2x ^ 2 + 3) (2x ^ 2-4) \\ right) ^ (3x) \u003d | 1 ^ \\ infty | \u003d \\ lim_ (x \\ to \\ infty) \\ left (1+ \\ frac (2x ^ 2 + 3) (2x ^ 2-4) -1 \\ right) ^ (3x) \u003d \\\\ \u003d \\ lim_ (x \\ به \\ infty) \\ left (1+ \\ frac (7) (2x ^ 2-4) \\ right) ^ (3x) \u003d \\ lim_ (x \\ به \\ infty) \\ left (1+ \\ frac (1) (\\ frac (2x ^ 2-4) (7)) \\ right) ^ (3x) \u003d \\\\ \u003d \\\\ \\\\ lim_ (x \\ \\ به \\ infty) \\ left (1+ \\ frac (1) (\\ frac (2x ^ 2-4 ) \\ right) ^ (\\ frac (2x ^ 2-4) (7) \\ cdot \\ frac (7) (2x ^ 2-4) \\ cdot 3x) \u003d \\ lim_ (x \\ to \\ infty) \\ left (\\ left (1+ \\ frac (1) (\\ frac (2x ^ 2-4) (7)) \\ right) ^ (\\ frac (2x ^ 2-4) (7)) \\ right) ^ ( \\ frac (21x) (2x ^ 2-4)) \u003d e ^ 0 \u003d 1. $$
پاسخ: $ \\ lim_ (x \\ \\ \\ \\ infty) \\ left (\\ frac (2x ^ 2 + 3) (2x ^ 2-4) \\ right) ^ (3x) \u003d 1 $.
هنگام حل وظایف برای پیدا کردن محدودیت ها، برخی از محدودیت ها باید به یاد داشته باشید تا هر بار که دوباره آنها را محاسبه نکنند. ترکیب این محدودیت های شناخته شده، ما با استفاده از خواص مشخص شده در بند 4، محدودیت های جدید پیدا خواهیم کرد. برای راحتی، ما شایع ترین پیش از موارد را ارائه می دهیم: محدودیت 1 LIM X - AXA 2 LIM 1 \u003d 0 3 LIM X- ± ± × ± 00 4 LIM -L، \u003d OO X-\u003e O \\ X \\ 5 LIM SIN * - l x-x 6 lim f (x) \u003d f (a) اگر f (x) به طور مداوم xa باشد، اگر شناخته شده باشد، عملکرد پیوسته است، سپس به جای پیدا کردن محدودیت، مقدار تابع را محاسبه کنید. مثال 1. پیدا کردن LIM (X * -6L: + 8). از آنجا که بسیاری از-\u003e 2
تابع عضو پیوسته است، سپس LIM (x * -6x4-8) \u003d 2 * -6-2 + 8 \u003d 4. X- + 2 x * _2x 4-1 مثال 2. پیدا کردن LIM -G. . اول، ما پیش از X + 1 X ~ از امور خطر را پیدا می کنیم: LIM [XG - \\ - B) \u003d 12 + 5-1 \u003d 6؛ این به اندازه X-U1 صفر نیست، به این معنی است که شما می توانید اموال 4 § 4، و سپس x ™ I * "+ · 12 + 5-1" "6 1. محدودیت xx denominator صفر است، بنابراین املاک 4 § 4 را نمی توان اعمال کرد. از آنجا که شماره شماره ثابت و معیار [X2X) -\u003e - 0 در x - 1، کل کسر به طور نامحدود به طور نامحدود در ارزش مطلق افزایش می یابد، یعنی لیم "1 x - * - - 1 x * + x مثال 4. پیدا کردن LIM \\ -LL * "!" "محدودیت نامزدی ZERO: LIM (XG-6LG + 8) \u003d 2 * -6-2 + 8 \u003d 0، بنابراین X Property 4 § 4 قابل اجرا نیست اما محدودیت عددی نیز صفر است: LIM (X2 - 5D؛ + 6) \u003d 22 - 5-2-F 6 \u003d 0. بنابراین، تعداد عددی و نامزدی در همان زمان صفر هستند. با این حال، شماره 2 ریشه و عددی و عددی است، بنابراین کسری را می توان با تفاوت X-2 (توسط قضیه Mouture) کاهش می یابد. در حقیقت، X * -5X + 6 (X-2) (X-3) X-3 X "-6x + 8 ~ (X-2) (X-4) ~~ X-4" در نتیجه X -F - مثال 6 G X-3 -1 1 5. پیدا کردن LIM HP (عدد صحیح، مثبت). x co hp \u003d x * x. . X، P بار به عنوان هر چند ضلعی به طور نامحدود رشد می کند، پس کار نیز به طور نامحدود رشد می کند، یعنی Lim XP \u003d OO. مثال X OO 6. پیدا کردن LIM HP (n عدد صحیح، مثبت). x -\u003e - با hp \u003d x x ... x. از آنجایی که هر چندرری در ارزش مطلق رشد می کند، منفی باقی مانده، در مورد حتی درجه، کار به طور نامحدود رشد می کند، باقی مانده مثبت، یعنی LIM * n \u003d + OO (حتی حتی). * - * - در صورتی که درجه عجیب و غریب، ارزش مطلق کار در حال رشد است، اما منفی باقی مانده است، I.E. LIM HP \u003d - OO (با عجیب و غریب). P-00 مثال 7. پیدا کردن LIM. x x - * - co * اگر t\u003e قرار دهید، سپس می توانید بنویسید: m \u003d n + kt که k\u003e 0. بنابراین، HT B LIM - \u003d - \u003d LIM - \u003d - \u003d LIM X. بالا YN X-S\u003e A X Yu به عنوان مثال 6 آمد 6. اگر آنها از XM I Lim Lim Lim T. X - درباره X- * YL X -\u003e CO استفاده می کردند 0. X- * OO X * نتیجه این مثال توصیه می شود که در فرم زیر به یاد داشته باشید: عملکرد قدرت سریعتر رشد می کند، شاخص بیشتر درجه. $ x_zchg + 7
مثال 8. پیدا کردن LIM G L -G - \u003d. در این مثال، X- * ® "J *" MRH-O و Numerator و نامزدی به طور نامحدود افزایش می یابند. ما عددی و نامزدی را به درجه بزرگتر X تقسیم می کنیم. چینی ها، سپس 3 7_ مثال 9. پیدا کردن لیرا. ساختن تحول- * g ^، ما لیرا را دریافت می کنیم .. ^ \u003d lim x co + 3 7 3 از زمان Lim -5 \u003d 0، lim -، \u003d 0، سپس محدودیت از Dentinator Rade- * ® X X - + - CD X Veins صفر، در حالی که محدودیت عددی 1. بنابراین، کل کسری به طور نامحدود افزایش می یابد، یعنی t. 7x HM X- + U مثال 10. پیدا کردن LIM محاسبه محدود کردن S-snominator، به یاد داشته باشید که COS * به طور مداوم است: لیرا (2 + COS X) \u003d 2 + Cozy \u003d 2. سپس X -\u003e - S LIM (L-FSIN *) مثال 15. ما LIM * را پیدا خواهیم کرد<*-e>2 و LIM E "(X" A) \\ poly - + ± ω x ± با نیمکت (L: - a) 2 \u003d z؛ از آنجا که (l؛ -a) 2 همیشه نادیده گرفته می شود و به طور نامحدود همراه با X، سپس با متغیر X- ± متغیر Z- * سیستم عامل رشد می کند. بنابراین، ما CT £ دریافت می کنیم<*-«)* = X -> ± 00 S \u003d LIM ER \u003d OO (به گزارش به §5 مراجعه کنید). g - * ■ با شبیه به LIM E ~ (x - a) 2 \u003d lim e ~ z \u003d q، از آنجا که x ± OH m - (x- a) G نامحدود کاهش می یابد در x-\u003e ± OO (نگاه کنید به اظهارنامه به §
