Od školskog toka matematike zna se da je vektor u avionu režirani segment. Njegov početak i kraj imaju dvije koordinate. Koordinate vektora izračunavaju se oduzimanjem od koordinata kraja koordinata početka.
Koncept vektora može se distribuirati i na N-dimenzionalni prostor (umjesto dvije koordinate bit će benkrodinati).
GradijentgRADZ Functionsz \u003d F (x 1, x 2, ... x n) naziva se vektorom privatnih izvedenih funkcija u tački, I.E. Vektor sa koordinatama.
Može se dokazati da gradijent funkcije karakterizira smjer formalnog rasta nivoa funkcije u trenutku.
Na primjer, za funkciju Z \u003d 2x 1 + x 2 (vidi sliku 5.8), gradijent će u svakom trenutku imati koordinate (2; 1). Moguće je izgraditi u avionu na različite načine uzimajući bilo koju točku kao početak vektora. Na primjer, možete spojiti tačku (0; 0) sa poistom (2; 1) ili tačkom (1; 0) s poistom (3; 1) ili tačkom (0; 3) sa poantom (2 ; 4) ili t .p. (Vidi sliku 5.8). Svi vektori izgrađeni na ovaj način će imati koordinate (2 - 0; 1 - 0) \u003d (3 - 1; 1 - 0) \u003d (2 - 0; 4 - 3) \u003d (2; 1).
Slika 5.8 jasno se vidi da nivo funkcije raste u smjeru gradijenta, jer izgrađene linije nivoa odgovaraju vrijednostima 4\u003e 3\u003e 2.
Slika 5.8 - Građevnik Funkcija Z \u003d 2x 1 + x 2
Razmotrite još jedan primjer - funkcija Z \u003d 1 / (x 1 x 2). Gradijent ove funkcije neće biti podjednako isti u različitim točkama, jer su njegove koordinate određene formulama (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2)).
Slika 5.9 prikazuje nivo funkcije funkcije Bel \u003d 1 / (x 1 x 2) za nivoe 2 i 10 (Direct 1 / (x 1 x 2) \u003d 2 označen je isprekidanom linijom i ravnom linijom 1 / (x 1 x 2) \u003d 10 - Čvrsta linija).
Slika 5.9 - Gradijenti funkcije Z \u003d 1 / (x 1 x 2) na različitim tačkama
Uzmi, na primjer, poenta (0,5; 1) i izračunati gradijent u ovom trenutku: (-1 / (0,5 2 * 1); -1 / (0,5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2). Imajte na umu da tačka (0,5; 1) nalazi se na liniji nivoa 1 / (x 1 x 2) \u003d 2, forz \u003d f (0,5; 1) \u003d 1 / (0,5 * 1) \u003d 2. za nošenje vektora ( -4; -2) na slici 5.9, spojite tačku (0,5; 1) sa točkom (-3,5; -1), za (-3,5 - 0,5; -1 - 1) \u003d (-4; -2).
Uzmite drugu tačku na istoj liniji na istoj razini, na primjer, tački (1; 0,5) (Z \u003d F (1; 0,5) \u003d 1 / (0,5 * 1) \u003d 2). Izračunati gradijent u ovom trenutku (-1 / (1 2 * 0,5); -1 / (1 * 0,5 2)) \u003d (-2; -4). Da biste ga prikazivali na slici 5.9, spojite tačku (1; 0,5) sa poistom (-1; -3,5), za (-1 - 1; -3,5 - 0,5) \u003d (-2; - četiri).
Uzmite još jednu tačku na istoj liniji nivoa, ali tek sada u nerazmjernom koordinatnom tromjesečju. Na primjer, tačka (-0.5; -1) (Z \u003d F (-0,5; -1) \u003d 1 / ((- 1) * (- 0,5)) \u003d 2). Gradijent u ovom trenutku bit će jednak (-1 / (- 0,5) 2 * (- 1)); -1 / (- 0,5) * (- 1) 2)) \u003d (4; 2). Pokažite na slici 5.9, povezivanjem tačke (-0,5; -1) s poistom (3,5; 1) za (3,5 - (-0.5); 1 - (-1)) \u003d (4; 2).
Treba napomenuti da u sva tri slučaja razmatrana gradijent pokazuje smjer rasta rasta (prema liniji 1 / (x 1 x 2) \u003d 10\u003e 2).
Može se dokazati da je gradijent uvijek okomit na liniju razine (površinu nivoa) prolazi kroz ovu točku.
Definiramo koncept ekstremza funkciju mnogih varijabli.
Funkcija mnogih varijabli F (x) ima u točki X (0) maksimum (minimum),ako postoji tako susjedstvo ove točke, da se za sve točke X iz ovog susjedstva obavljaju nejednakosti (x) f (x (0)) ().
Ako se ove nejednakosti izvode, kao stroga, tada se naziva ekstremijom jak, a ako ne, onda slab.
Imajte na umu da je ekstrem definiran na ovaj način nošenje lokalniintegritet, jer se ove nejednakosti izvode samo za neko susjedstvo ekstremske točke.
Imamo potrebni uvjet za lokalni ekstremitet različitog funkcije Z \u003d F (x 1, .., x n) u tom trenutku je jednakost nule svih privatnih derivata prvog reda u ovom trenutku: 
.
Podace u kojima se izvrši ova jednakost nazivaju se stacionarno.
Na drugačiji način, potrebni ekstremijski uvjet može se formulisati na sljedeći način: na mjestu ekstremnog, gradijent je nula. Moguće je dokazati općenitije odobrenje - u ekstremskoj točki pretvaraju se u nulte derivati \u200b\u200bu svim smjerovima.
Stacionarne točke treba podvrgnuti dodatnim studijama - postoje dovoljni uvjeti za postojanje lokalnog ekstremizacije. Za to određuje se znak razlike drugog reda. Ako sa bilo kojim, nije jednak istovremeno nula, uvijek je negativan (pozitivan), a zatim funkcija ima maksimum (minimum). Ako se može primijeniti na nulu ne samo na nultu korake, pitanje Ekstrema ostaje otvorena. Ako možete uzeti i pozitivne i negativne vrijednosti, tada nema ekstremiranja u stacionarnom trenutku.
Općenito, definicija diferencijalnog znaka je prilično kompliciran problem, što ovdje nećemo smatrati. Za funkciju dvije varijable možete dokazati da ako u stacionarnoj tački 
Izuzetno je prisutan. U ovom slučaju znak drugog diferencijala poklapa se sa znakom 
. ako a 
, onda je to maksimalno, a ako 
, onda je to barem. Ako a 
Tada u ovom trenutku nema ekstremama i ako 
Pitanje Ekstremme ostaje otvoreno.
Primjer 1.. Pronađite ekstremne funkcije 
.
Nalazimo privatne derivate logaritamskom diferencijacijom.
ln Z \u003d lN 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) - ln (1 + x 2) - ln (1 + y 2)
Slično 
.
Pronađite stacionarne bodove iz sistema jednadžbi:
Tako su pronađene četiri stacionarne tačke (1; 1), (1; -1), (-1; 1) i (-1; -1).
Pronalazimo privatne derivate drugog reda:
ln (z x `) \u003d ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)
Slično 
;
.
Kao 
, znak izražavanja 
samo OT ovisi 
. Imajte na umu da je u oba ova derivata, nazivnik uvijek pozitivan, tako da možete razmotriti samo znak brojača ili čak znak izraza X (x 2 - 3) i (y 2 - 3). To definiramo u svakoj kritičnoj točki i provjeravamo izvršenje dovoljnih uvjeta ekstremiranja.
Za tačku (1; 1) dobivamo 1 * (1 2 - 3) \u003d -2< 0. Т.к. произведение
двух отрицательных чисел
\u003e 0 i 
<
0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он
равен
=
2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) =
= 8/4
= 2.
Za tačku (1; -1) dobivamo 1 * (1 2 - 3) \u003d -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3)
= 2 > 0. Jer Rad ovih brojeva 
< 0, в этой точке экстремума нет.
Аналогично можно показать, что нет
экстремума в точке (-1; 1).
Za tačku (-1; -1) dobivamo (-1) * ((- 1) 2 - 3) \u003d 2\u003e 0 Rad dva pozitivna brojeva 
\u003e 0 i 
\u003e 0, u točki (-1; -1) možete pronaći minimum. To je 2 * ((- 1) + (-1)) * (1 + (- 1) * (- 1)) / ((1 + (- 1) 2) * (1 + (- 1) 2) ) \u003d -8/4 \u003d -2.
Naći globalanmaksimalni ili minimum (najveća ili najmanja vrijednost funkcije) nešto je složenija od lokalnog ekstremiranja, jer se ove vrijednosti mogu postići ne samo u stacionarnim točkama, već i na granici područja definicije. Istražite ponašanje funkcije na granici ovog područja nije uvijek jednostavno.
Razmotrite formulu derivata skalarne funkcije u smjeru λ
Drugi faktori su projekcije jedinstvenog vektora usmjerene na snop λ. 
Uzimamo vektoru, čija će projekcije na koordinatnim osovinama bit će vrijednosti privatnih derivata u odabranom T. P (x, y, z).
Ovaj vektor naziva se gradijent funkcije u (x, y, z) i odrediti Graduili
Definicija. Gradijent funkcije U (X, Y, Z) naziva se vektor, čiji su projekcije vrijednosti privatnih derivata ove funkcije, tj.
Derivat funkcije u ovom smjeru jednak je skalarnom proizvodu gradijenta funkcije po jedinici vektora ovog smjera.
Otkrivanje skalarnog proizvoda, dobivamo
,
gde je φ ugao između vektora gRADU. i snop λ.
Dostiže najveću vrijednost
Dakle, postoji najveća vrijednost derivata u ovom TU, a grad u smjeru poklapa se s smjerom snopa odlazim sa suđenja, uz koji se funkcija brže mijenja.
Uspostavljamo odnos između smjera gradijenta funkcije i površina skalarnog polja.
Teorem. Gradijent funkcije U (x, y, z) na svakoj tački poklapa se sa normalnim na površini razine skalarnog polja koja prolazi kroz ovu točku.
Dokazi. Odaberite proizvoljni T. P 0 (x 0, y 0, z 0).
Jednadžba površine
razina koja prolazi kroz
t. hoćete li (x, y, z) \u003d,
u 0 \u003d u (x 0, y 0, z 0)
Jednadžba je normalna na ovu površinu u T., bit će
Odavde slijedi da je vodič vektor normalnih, ima projekcije 
je gradijent funkcije u (x, y, z) u t. p 0, bt.d.
Dakle, gradijent u svakoj tački je okomit na tangentnu ravninu na površinu nivoa koji prolazi kroz ovu tačku, I.E. Njegova projekcija u ovoj avionu je nula.
Dakle: Derivat u bilo kojem smjeru uzimajući u obzir površinu nivoa koji prolazi kroz ovu točku je nula.
Glavna svojstva funkcije gradijenta:
2) Grad. 
gdje sa - Konst.
4) Grad. 
Sva se nekretnina dokazuju koristeći definiciju funkcije gradijenta.
Primjer. U t. M (1, 1, 1) Pronađite smjer najvećih promjena u skalarnom polju i veličinu ove promjene.
Gradient Funkcija U točki je vektor, od kojih su koordinate jednake odgovarajućem privatnom derivatu i naznačene su.
Ako razmotrimo jedinicu Vector E \u003d (), zatim prema formuli (3), derivat u smjeru je skalarni proizvod gradijenta i vektora jedinice koji određuju smjer. Poznato je da skalarni proizvod dva vektora maksimalno je, ako su podjednako režirani. Slijedom toga, gradijent funkcije u ovoj točki karakterizira smjer i maksimalni rast funkcije u ovom trenutku.
Teorema . Ako je funkcija različita i na tački m 0 Veličina gradijenta razlikuje se od nule, a zatim gradijent je okomit na liniju nivoa koji prolazi kroz ovu točku i usmjerava se na povećanje funkcije istovremeno
Zaključak: 1) Derivat funkcije na mjestu u smjeru određeno gradijent ove funkcije u navedenom trenutku ima maksimalnu vrijednost u odnosu na derivat u ovom trenutku u bilo kojem drugom smjeru.
Ako je na svakoj tački prostora ili dijela prostora definirano vrijednost određenog iznosa, kažu da je polje ove vrijednosti navedena. Polje se naziva skalar ako je vrijednost koja se razmatrala skalarna, tj. Sasvim je karakterizirana njenom numeričkom vrijednošću. Na primjer, polje temperature. Scalarno polje određeno je skalarne funkcije tačke i \u003d / (m). Ako se u prostoru uvodi decartijanskog koordinatnog sustava, tada postoji funkcija tri varijable x, yt z - koordinate točke M: definicija. Površina skalarnog polja naziva se skup točaka u kojima funkcija f (m) uzima istu vrijednost. Primjer površine 1. Pronađite površine vektora skalarnog polja Površina skalarnog površinskog i ravne linije izvedenih izvedenih dijelova prema gradijentima izvedenog gradijenta Glavna gradijentna svojstva Invariantna odlučnost gradijenta izračunavanja gradijenta --4 prema definiciji Razina jednadžba nivoa bit će. Ovo je jednadžba sfere (s F 0) sa centrom na početku koordinata. Scalarno polje naziva se ravno ako u svim avionima paralelno s nekim avionom, polje je isto. Ako se navedeni rain uzima za Xou ravni, funkcija polja neće ovisiti o koordinatnoj z, tj. Bit će samo funkcija argumenata x i y, ravni polje može biti karakteriziran nivoom nivoa - više razine U kojoj je funkcija / (f, y) i vrijednost je također. Jednadžba linije nivoa - Primjer 2. Pronađite linije linije linije skalarnog polja linije razine date jednadžbe na C \u003d 0 Dobili smo par izravnog koji dobivamo porodicu Hyperball (Sl. 1). 1.1. Derivat u smjeru neka postoji skalarno polje definirano skalarne funkcije i \u003d / (AF). Uzmite AFO točku i odaberite smjer koji je definirao Vector I. Uzmite još jednu tačku M tako da je vektor M0M paralelni sa vektorom 1 (Sl. 2). Označite dužinu vektora IOM-a putem A / i prirasta funkcije / (AF) - / (AFO) koji odgovara kretanju D1, putem di. Omjer određuje prosječnu stopu promjene na skalarnom polju po dužini jedinice dostavljenog smjera. Neka se sada nula nula tako da vektor M0M ostaje paralelni sa vektorom I. Definicija. Ako postoji ograničena granica omjera (5), naziva se derivatom funkcije u ovom mjestu AFO do podnesenog smjera I i označavam simbol ZG! ^. Dakle, po definiciji, ova definicija nije povezana s izborom koordinatnog sustava, I.E. nosi ** varijantu. Pronalazimo izraz za derivat u pravcu kartezijskog sistema koordinata. Neka funkcija / razlikuju u toku. U obzir u obzir vrijednost / (AF). Tada se potpuni priraštaj funkcije može napisati u sljedećem obrascu: gdje i znakovi znače da se privatni derivati \u200b\u200bizračunavaju na mjestu AFO. Otuda, ovdje magnitude JFI, ^ suština kosinusnih vodiča vektora. Od vektora IOM-a i ja su presvučeni, njihov vodič su isti: Budući da je A AFO, odustajući se sa osmjehom cijelo vrijeme na ravnu liniju, paralelno sa vektorom 1, tada su uglovi konstantni, jer je uglovi konstantni, jer je uglovi konstantni, jer je uglovi konstantni jer je konačno izjednačenih (7 ) i (8) dobivamo Eamouan IP 1. Privatni derivati \u200b\u200bizvedeni su iz funkcija i u pravcima koordinate Schlschlennoe NNF-Primer 3. Pronađite derivatnu funkciju prema vektoru vektora ima dužinu. Njegov vodič: Prema formuli (9) Imamo činjenicu da, znači da skalarno polje u ovom smjeru starosti - za ravno polje, derivat u smjeru kojeg sam u točki izračunava na kojoj se izračunava formula A je ugao koji je formiran vektorom I sa osovinom oh. ZMMChMum 2. Formula (9) Da bi izračunali derivativ u smjeru I u ovom trenutku AFO ostaje na snazi, a zatim kada tačka m nastoji krivulja za kojom je vektor u toj tačku prepisku . 4. Izračunajte derivat skalarnog polja u točki AFO (L, 1). Parabola koja pripada ovoj krivulji (u pravcu povećanja apscisa). Smjer] Parabola u tom trenutku je smjer tangenta u parabolu (Sl. 3). Neka je tangenta parabole na mjestu AFO oblika sa osi o oh u kutu. Tada će odakle te tangenti za vođenje kosinusa izračunati vrijednosti i u trenutku. Sada imamo formulu (10) koju dobijamo. Pronađite derivat skalarnog polja na mjestu u smjeru kružnog vektorske jednadžbe kruga ima obrazac. Pronalazimo jedinstvenu vektoru tangenta na opseg tačke odgovaraju vrijednosti parametra vrijednosti R na AFO točku bit će jednaka primitku vodiča za kosineze u krug u cilju izračunavanje vrijednosti Privatni derivati \u200b\u200bovog skalarnog polja na tački znači željeni derivat. Gradijent skalarnog polja je skalarno polje određeno skalarne funkcije koja je namijenjena diferenciranju. Definicija. Gradijent skalarnog polja "Na ovom tačku M naziva se vektor koji je označen simbolom Grad i jednakost definirana jednakošću je da ovaj vektor ovisi o funkciji / i sklopivom M, koji izračunava svoj derivat. PASGG 1 - Jedan vektor u smjeru, tada formula za derivat u smjeru može se napisati u sljedećem obrascu:. Stoga je izvedenica funkcije i u smjeru 1 jednak skalarnom proizvodu gradijentacije funkcije i (m) na smjeru Ort 1 ° I. 2.1. Glavna svojstva teoremskog gradijenta 1. Gradijent skalarnog polja je okomito na površinu nivoa (ili na nivou nivoa, ako je ravni polje). (2) Izvodimo proizvoljnim tački M nivoa nivoa i \u003d Const i odabir glatke krivulje l na ovoj površini koja prolazi kroz tačku M (Sl. 4). Neka budem stih, tangent na krivulju l na tački M. od na površini nivoa i (m) \u003d i (m |) za bilo koji poenta MJ EL, a zatim na drugoj strani, \u003d (GRADUA, 1 °). Stoga. To znači da su gradski i 1 ° vektori pravokutni, tako, baš je grad i ortogonal u bilo kojem tangetu nivoa nivoa na tački M., na taj način je ortogonalno na površinu nivoa na tački M. Teorem 2. Gradijent je usmjeren na povećanje funkcije polja. Prije toga dokazali smo da je gradijent skalarnog polja usmjeren u normalu na površinu nivoa, što se može orijentirati ili prema povećanju funkcije i (m) ili prema padu. Označite n normalnom nivou površine, orijentiran na povećanje funkcije TI (M) i pronađite izvedenu funkciju i u smjeru ove normalne (Sl. 5). Otkad smo pod uvjetom fig.5 i stoga vektorska analiza skalarne površine i nivoa derivata nivoa u smjeru derivatnog gradijenta od skalarnog polja normalno n, tj. U smjeru povećanja funkcija i (m). Teorem 3. Dužina gradijenta jednaka je najvećem derivatu u smjeru na ovom mjestu polja (ovdje Shah $ uzima se na svim vrstama smjerova u ovom trenutku M Paju). Imamo kut između vektora 1 i Grada n. Od najveće vrijednosti primjera 1. Nađite smjer najvećeg imamonije skalarnog polja u poen kao i veličinu ove najveće promjene u navedenoj točki. Smjer najvećih promjena na skalarnom polju označen je vektorom. Imamo tako da ovaj vektor definira smjer najvećeg povećanja polja u prstohvatu. Veličina najviših promjena u polju u ovom trenutku je 2.2. Invariantna definicija gradijent vrijednosti koje karakterizira svojstva objekta koji se proučavaju i neovisni o izboru koordinatnog sustava nazivaju se invarijanti ovog objekta. Na primjer, duljina krivulje je invarijant ove krivulje, a ugao tangente na krivulju sa osi nije invarijant. Na osnovu dokazanih gornjih tri objekata gradijenta Scalarnog polja moguće je dati sljedeću invarijantnu definiciju gradijenta. Definicija. Gradijent skalarnog polja je vektor usmjeren normalnim na površini nivoa u smjeru povećanja funkcije polja i dužine jednak najvišem derivatu u smjeru (u ovom trenutku). Neka - jedan vektor normalne, usmjeren prema povećanju polja. Tada je primjer 2. Pronađite gradijent na daljinu neko je fiksna točka, a m (x, y, z) je trenutni. 4 Imamo gdje - jedan vektor za jednu smjeru. Pravila za izračunavanje gradijenta gdje je c stalni broj. Gore navedene formule dobivaju se izravno od određivanja gradijenta i svojstava derivata. Prema pravilu diferencijacije rada, dokaz je sličan dokazu nekretnina F (i) - različita skalarna funkcija. Zatim 4 po definiciji definitivne primjenjujemo na cijeli pojmove desnog dijela diferencijacije složene funkcije. Konkretno, posebno, formula (6) slijedi iz formule. Primer 3. Maith derivat u pravcu radijusa-Windows R iz funkcije prema formuli (3) i prema rezultatima formule, kao rezultat toga dobivamo Primjer 4. Neka se daje ravni skalarni polje - udaljenosti iz nekih pointnih aviona do dvije fiksne točke ovog aviona. Razmislite o proizvoljnoj elipsu sa fokusom FJ i F] i dokazati da svaki zrak grize koji je izašao iz jednog fokusa elipse, nakon što se odraz iz elipse padne u drugi fokus. Funkcijska linija (7) Vektorska analiza površinske površinske i linije derivatni derivatni derivatni gradijentni gradijent glavnih svojstava Gradijentna invarijantna definicija gradijenta Pravila za izračunavanje gradijentne jednadžbe (8) Opišite porodicu elipse sa fokusom na bodove F) i FJ . Prema rezultiranju primjera 2, imamo tako gradijent određenog polja jednaka vektoru PQ dijagonalnog romba izgrađenog na Orts G? i polumjerski vektori. proveo na tački p (x, y) iz foka F | I FJ, i zato se nalazi na bisektoru ugla može se rugati ovim vektorima radijusa (Sl. 6). Thoromo 1 PQ gradijent je okomit na elipsu (8) u točku. A zatim Sl.6. Normalno za elipse (8) U bilo kojem trenutku dijeli se u pola ugla između polumjerskih vektora izvedenih u ovom trenutku. Odavde, i iz činjenice da ugao pada na uglu refleksije, dobivamo: zraka svjetlosti, koja je izašla iz jednog fokusa elipse, odražavajući se u njega, nužno u još jedan fokus ove elipse.
Definicija 1.
Ako za svaki par $ (x, y) $ od vrijednosti dvije nezavisne varijable iz određenog područja stavlja se u skladu s određenom vrijednošću od $ Z $, a zatim se kaže da je funkcija $ Z $ funkcija Dve varijable $ (x, y) $. Oznaka: $ Z \u003d F (x, y) $.
Razmislite o funkciji $ Z \u003d F (x, y) $, koja se određuje u nekoj oblasti u prostoru $ oksiju $.
Otuda,
Definicija 3.
Ako za svaku tri $ (x, y, z) $ od vrijednosti tri neovisne varijable iz određenog područja stavljaju u skladu s određenom vrijednošću od $ w $, tada se kaže da je $ w $ funkcija od Tri varijable $ (x, y, z) $ na ovom području.
Oznaka: $ W \u003d F (x, y, z) $.
Razmislite o funkciji $ W \u003d F (x, y, z) $, koja je definirana u nekoj površini u prostoru $ oksiz $.
Za određenu funkciju definiramo vektor za koji su projekcije na osi koordinate vrijednosti privatnih derivata navedene funkcije u nekom trenutku $ \\ frac (\\ djelomično x); \\ Frak (\\ djelomični z) (\\ djelomični y) $.
Definicija 4.
Gradijent zadane funkcije $ W \u003d F (x, y, z) $ naziva se vektorski $ \\ prevladavac (GRADW) $ od sljedećeg tipa:
Theorem 3.
Neka u nekom skalarno polje $ W \u003d F (x, y, z) $ definiralo je polje gradijent
\\ [\\ Preventighrrow (GRADW) \u003d \\ frac (\\ Partial W) (\\ Partial X) \\ CDOT \\ Oversighrrow (I) + \\ frac (\\ Partial W) (\\ Partial Y) \\ CDOT \\ Oversighrrow (J) + \\ frac (\\ Partial w) (\\ djelomično z) \\ CDOT \\ prevladavanje (k). \\]
$ \\ Frac derivat (\\ Partial W) $ u smjeru navedenog vektorskih $ \\ prelaska $ $ $ \\ prevladavanje gradijent vektorske vekcijske projekcije (GRADW) $ na navedeni vektorski $ \\ Van (e) $ .
Primjer 4.
Odluka:
Izraz za gradijent koji nalazimo po formuli
\\ [\\ Preventighrrow (GRADW) \u003d \\ frac (\\ Partial W) (\\ Partial X) \\ CDOT \\ Oversighrrow (I) + \\ frac (\\ Partial W) (\\ Partial Y) \\ CDOT \\ Oversighrrow (J) + \\ frac (\\ Partial w) (\\ djelomično z) \\ CDOT \\ prevladavanje (k). \\]
\\ [\\ Frac (\\ deo w) (\\ djelomični x) \u003d 2x; \\ frac (\\ djelomični w) (\\ djelomični y) \u003d 4y; \\ frac (\\ djelomični z) \u003d 2. \\]
Otuda,
\\ [\\ prevladavanje (GRADW) \u003d 2x \\ CDOT \\ Oversighrrow (I) + 4Y \\ CDOT \\ AUTERINGRWARW (J) +2 \\ CDOT \\ AUTERINGRWARROW (K). \\]. \\]. \\]. \\]. \\]. \\]. \\]. \\]. \\]. \\]. \\]. \\]. \\]. \\]. \\]. \\]. \\]. \\]. \\]. \\]. \\]. \\]. \\]
Primjer 5.
Odredite gradijent određene funkcije
u tački $ m (1; 2; 1) $. Izračunajte $ \\ lijevo (| \\ prevladavanje (gradz) | \\ desno) _ (m) $.
Odluka:
Izraz za gradijent u određenoj tački našli smo formulom
\\ [\\ lijevo (\\ prevladavanje (GRADW) \\ desno) _ (m) \u003d \\ lijevo (\\ frac (\\ djelomični w) (\\ djelomično x) \\ desno) _ (m) \\ cdot \\ preinač (i) + \\ lijevo (\\ Frac (\\ djelomični w) \\ desno) _ (m) \\ CDOT \\ Oversighardrrow (j) + \\ lijevo (\\ frac (\\ djelomično w) \\ desno) _ (\\ djelomično) _ (m) \\ CDOT \\ Oversighrrow (k). \\]
Privatni derivati \u200b\u200bimaju obrazac:
\\ [\\ Frac (\\ delial w) (\\ djelomični x) \u003d 2x; \\ frac (\\ djelomični w) (\\ djelomični y) \u003d 4y; \\ frac (\\ djelomični z) \u003d 6z ^ (2) . \\]
Derivati \u200b\u200bu tački $ m (1; 2) $:
\\ [\\ Frac (\\ dertial w) (\\ djelomični x) \u003d 2 \\ cdot 1 \u003d 2; \\ frac (\\ djelomični w) (\\ djelomični y) \u003d 4 \\ cdot 2 \u003d 8; \\ frak (\\ djelomični w) ( \\ Djelomični z) \u003d 6 \\ cdot 1 ^ (2) \u003d 6. \\]
Otuda,
\\ [\\ lijevo (\\ prevladavanje (GRADW) \\ desno) _ (m) \u003d 2 \\ CDOT \\ Oversighrrow (i) +8 \\ CDOT \\ AniversightRW (j) +6 \\ CDOT \\ Oversighrrow (k) \\]
\\ [\\ lijevo (| \\ prevladač (gradw) | \\ desno) _ (m) \u003d \\ sqrt (2 ^ (2) + 8 ^ (2) + 6 ^ (2)) \u003d \\ sqrt (4 + 64 + 36 ) \u003d \\ Sqrt (104). \\]
Navesti neke ocjenjivačka svojstva:
Derivati \u200b\u200bodređene funkcije u određenoj točki u smjeru od $ \\ prevladavanja $ (e) $ je najveća vrijednost ako se smjer ovog vektora $ \\ \\ prevladava (e) $ poklapa s smjerom gradijenta. U ovom slučaju, ova najveća vrijednost derivata poklapa se sa dužinom vektora gradijenta, I.E. $ | \\ Oversighrrow (gradw) | $
DERIVATIVE navedene funkcije u smjeru vektora, koji je okomit na gradijent vektora, I.E. $ \\ prevladavanje (GRADW) $ 0 od $ \\ varphi \u003d \\ frac (\\ pi) (2) $, zatim $ \\ cos \\ varphi \u003d 0 $; Slijedom toga, $ \\ frac (\\ djelomični w) (\\ djelomični s) \u003d | \\ prevladavanje (GRADW) | \\ CDOT \\ cos \\ varphi \u003d 0 $.
