Kako pronaći udaljenost od točke do aviona. Udaljenost od točke do aviona. Detaljna teorija sa primerima (2020). Metoda. Koordinata metoda

, Takmičenje "Prezentacija na lekciju"

Klasa: 11

Prezentacija na lekciju

Naprijed

Pažnja! Pregledi za pregled koristi se isključivo u informativne svrhe i ne može pružiti ideje o svim mogućnostima prezentacije. Ako vas zanima ovaj posao, preuzmite punu verziju.

Ciljevi:

generalizacija i sistematizacija znanja i vještina učenika;
razvoj vještina za analizu, usporedbu, izvlačenje zaključaka.

Oprema:

multimedijalni projektor;
kompjuter;
listovi sa zadacima Tekstovi

Zanimanje strukture

I. Organizacioni trenutak

II. Faza aktualizacije znanja (Slajd 2)

Ponavljamo kako se utvrđuje udaljenost od točke do aviona.

III. Predavanje (6-15 razreda)

U razredu smatramo raznim načinima da pronađemo udaljenost od točke u avion.

Prva metoda: faze-računski

Udaljenost od točke M do aviona α:
- jednak udaljenosti do ravnine α sa proizvoljne tačke p leži na direktnom A, koji prolazi kroz tačku m i paralelno sa α avionom;
- jednaka udaljenosti do ravnine α sa proizvoljne tačke P leži u avionu β, koji prolazi kroz tačku m i paralelno s avionom α.

Neka sljedeći zadaci:

№1. Na Kubi A ... D 1 Pronađite udaljenost od tačke od 1 do aviona AB 1 C.

Ostaje za izračunavanje dužine dužine segmenta od 1 N.

№2. U ispravnom šesterokutnom prizmu a ... F 1, čiji su svi rubovi od 1, dobivaju udaljenost od točke A do ravnine DEA 1.

Sljedeća metoda: volumen metode.

Ako je volumen AVSM piramide jednak V, tada se udaljenost od mjesta m do ravnine α koja sadrži δavs izračunava formula ρ (m; α) \u003d ρ (m; avc) \u003d
Prilikom rješavanja problema koristimo jednakost količine jedne brojke, izražene na dva različita načina.

Navedite sljedeći zadatak:

№3. Ad Pyramid Dabc je okomit na ravninu baze ABC-a. Pronađite udaljenost od aviona koja prolazi kroz sredinu rebra AU, AC i oglas, ako.

Prilikom rješavanja zadataka koordinata metoda Udaljenost od tačke M do ravnine α može se izračunati formulom ρ (m; α) \u003d gdje m (x 0; y 0; z 0), a avion je postavljen od jednadžbe AX + by + CZ + D \u003d 0

Navedite sljedeći zadatak:

№4. U jednoj kocki A ... D 1, uzmite udaljenost od tačke A 1 do ravnine VDC 1.

Uvodemo koordinatni sistem s početkom u točki A, osi će proći uz rebranu AU, osi x uz ivicu oglasa, osi z - duž ivice AA 1. Zatim koordinate točaka u (0; 1; 0) d (1; 0; 0;) c 1 (1; 1; 1)
Napravit ćemo jednadžbu aviona koji prolazi kroz bodove B, D, C 1.

Zatim - DX - DY + DZ + D \u003d 0 x + Y - Z - 1 \u003d 0. Stoga, ρ \u003d

Sljedeća metoda koja se može koristiti prilikom rješavanja zadataka ove vrste - način referentnih zadataka.

Upotreba ove metode je primjena poznatih zadataka podrške koji su formulirani kao teoremi.

Navedite sljedeći zadatak:

№5. Na jednoj kubi a ... D 1, unesite udaljenost od tačke d 1 do aviona AB 1 S.

Razmotrite aplikaciju vektorska metoda.

№6. U jednoj kocki ... D 1, uzmite udaljenost od točke A 1 do ravnine VC 1.

Dakle, pogledali smo različite načine koji se mogu koristiti prilikom rješavanja ove vrste zadataka. Izbor ove ili te metode ovisi o specifičnom zadatku i vašim željama.

IV. Rad u grupama

Pokušajte riješiti problem na različite načine.

№1. Kuba A ... D 1 je jednaka. Pronađite udaljenost od vrha do BDC 1 ravnine.

№2. U desnoj tetrahedra AVD-a s rubom dobijte udaljenost od točke A do BDC ravnine

№3. U ispravnom trokutastom prizmu ABSA 1 u 1 S 1 od svih ivica od 1, pronađite udaljenost od aviona BCA 1.

№4. U ispravnoj četverođenoj sabcd piramidi, čiji su svi rubovi jednaki 1, pronalaze udaljenost od ravnine SCD-a.

V. Rezultat ishoda, domaći zadatak, odraz

Razmislite u prostoru neke ravnine π i proizvoljna tačka M 0. Odaberite za avion jedinica Normalni vektor N S. početak U nekom trenutku m 1 ∈ π, i pustite P (m 0, π) udaljenost od tačke m 0 do ravnine π. Zatim (Sl. 5.5)

p (m 0, π) \u003d | PR N M 1 M 0 | \u003d | Nm 1 m 0 |, (5.8)

od | n | \u003d 1.

Ako je avion Π postavljen u pravokutni koordinatni sustav sa zajedničkom jednadžbom AX + by + CZ + D \u003d 0, tada je njegov normalan vektor vektor s koordinatama (A; b; c) i kao jedan normalan vektor možete odabrati

Neka (x 0; y 0; z 0) i (x 1; y 1; z 1) koordinate točaka m 0 i m 1. Tada je jednakost sjekira 1 + po 1 + CZ 1 + D \u003d 0, jer tačka m 1 pripada ravnini, a koordinate vektora m 1 m 0: m 1 m 0 \u003d (x 0 -x 1 ; y 0 -y 1; z 0 -z 1). Pisanje skalarni proizvod NM 1 m 0 u koordinatnom obliku i pretvaranje (5.8), dobivamo

od AX 1 + za 1 + CZ 1 \u003d - D. Dakle, izračunajte udaljenost od točke u avion morate zamijeniti koordinate točke u općoj jednadžbi aviona, a zatim je apsolutna vrijednost rezultata podijeljeno na normaliziranje multiplikatora, jednako duljini odgovarajućeg normalnog vektora.

Uvjeti paralelizma i okomitost

1 °. Companion Stanje dva aviona

Neka se daju dva aviona:

SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: 1 x. + B. 1 y. + C. 1 z. + D. 1 = 0, n. 1 = {SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: 1 ; B. 1 ; C. 1 } ≠ 0 ;(1)

SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: 2 x. + B. 2 y. + C. 2 z. + D. 2 = 0, n. 2 = {SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: 2 ; B. 2 ; C. 2 } ≠ 0 .(2)

Kada su pretinac (I.E., paralelno ili podudaranje)? Očito će biti tada i samo ako su njihovi normalni kolinovski vektori. Primjenjujući opći kriterij, dobivamo

Prijedlog 1. Dva odjeljka za avioni tada i samo ako je vektorski proizvod njihovih normalnih vektora jednak nulti vektoru:

[n. 1 , n. 2 ] = 0 .

2 °. Slučajnost dva aviona

Prijedlog 2. Avion (1) i (2) podudara se tada i samo ako su sva četiri njihovog koeficijenta proporcionalna, odnosno postoji takav broj λ koji

SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: 2 \u003d λ. SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: 1 , B. 2 \u003d λ. B. 1 , C. 2 \u003d λ. C. 1 , D. 2 \u003d λ. D. 1 . (3)

Dokaz. Neka se uslovi (3) završe. Tada se jednadžba druge ravnine može zabilježiti kao:

λ SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: 1 x. + λ B. 1 y. + λ C. 1 z. + λ D. 1 = 0.

λ ≠ 0, inače bi to bilo SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: 2 = B. 2 = C. 2 = D. 2 \u003d 0, što je u suprotnosti sa uslom n. 2 ≠ 0 . Slijedom toga, posljednja jednačina ekvivalentna je jednadžbi (1), što znači da se dva aviona podudaraju.

Sada, naprotiv, poznato je da se ta avion poklapa. Tada su njihovi normalni vektori kolinore, odnosno postoji takav broj λ takav

SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: 2 \u003d λ. SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: 1 , B. 2 \u003d λ. B. 1 , C. 2 \u003d λ. C. 1 .

Jednadžba (2) sada može prepisati u obrascu:

λ SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: 1 x. + λ B. 1 y. + λ C. 1 z. + D. 2 = 0.

Pomnožite jednadžbu (1) na λ, dobivamo ekvivalentnu jednadžbu prvog ravnina (T. K. λ ≠ 0):

λ SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: 1 x. + λ B. 1 y. + λ C. 1 z. + λ D. 1 = 0.

Uzeti neku poenta ( x. 0 , y. 0 , z. 0) od prvog (i posljedično, drugog) ravnine i zamijenite njegove koordinate u posljednje dvije jednadžbe; Bićemo vjerna jednakost:

λ SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: 1 x. 0 + λ B. 1 y. 0 + λ C. 1 z. 0 + D. 2 = 0 ;

λ SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: 1 x. 0 + λ B. 1 y. 0 + λ C. 1 z. 0 + λ D. 1 = 0.

Sulfing odozgo niže, dobivamo D. 2 - λ. D. 1 \u003d 0, I.E. D. 2 \u003d λ. D. 1, QED.

3 °. Stanje okomitost dva aviona

Očito je potrebno za to da su normalni vektori okomit na.

Prijedlog 3. Dvije avione okomito tada i samo ako je skalarni proizvod normalnih vektora nula:

(n. 1 , n. 2) = 0 .

Neka se daje jednadžba aviona

SJEKIRA. + Od + CZ. + D. = 0, n. = {SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:; B.; C.} ≠ 0 ,

i bod M. 0 = (x. 0 , y. 0 , z. 0). Izlazimo na formulu udaljenosti od točke u avion:

Uzmi proizvoljnu tačku TUŽILAC WHITING - PITANJE: = (x. 1 , y. 1 , z. 1) ležeći u ovom avionu. Njegove koordinate zadovoljavaju jednadžbu ravnine:

SJEKIRA. 1 + Od 1 + CZ. 1 + D. = 0.

Napomena sada da je željena udaljenost d. Jednako tako apsolutna vrijednost projekcije vektora na smjeru vektora n. (Ovdje preuzmemo projekciju kao numeričku vrijednost, a ne kao vektor). Dalje, primijenite formulu za izračun projekcije:

Slična formula vrijedi za udaljenost d. Iz točke M. 0 = (x. 0 , y. 0) ravnina do ravne linije navedene zajedničkom jednadžbom SJEKIRA. + Od + C. = 0.

Utvrđivanje udaljenosti između: 1 - točke i ravnine; 2 - direktan i ravnina; 3 - avioni; 4 - Cross-Moving Direct smatra se zajedničkima, jer je algoritam rješenja za sve ove probleme u suštini isto i sastoji se od geometrijskih konstrukcija koje je potrebno izvršiti kako bi se utvrdila udaljenost između navedene točke i aviona α. Ako postoji razlika, sastoji se samo da u slučajevima 2 i 3, prije nego što nastavi rješavanje problema, slijedi direktan m (slučaj 2) ili avionom β (slučaj 3) zabilježiti proizvoljnu točku A. u određivanju Udaljenosti između poprečne države unaprijed zaključuju ih u paralelne avione α i β praćeno određivanjem udaljenosti između tih aviona.

Razmotrite svaki od navedenih slučajeva rješavanja problema.

1. Određivanje udaljenosti između točke i aviona.

Udaljenost od točke do ravnine određena je duljinom okomitskog segmenta, spuštenog sa točke u avion.

Stoga se rješenje ovog zadatka sastoji od dosljedne primjene sljedećih grafičkih operacija:

1) od točke i spustite okomito u ravninu α (Sl. 269);

2) pronalazimo tačku raskrižje ove okomitke ravnine M \u003d A ∩ α;

3) odrediti dužinu segmenta.

Ako je α ravnina općeg položaja, kako bi se smanjio okomito na ovaj avion, potrebno je unaprijed odrediti smjer horizontalnih projekcija i prednjeg dijela ovog aviona. Pronalaženje stanovišta ove okomište sa avionom također zahtijeva dodatne geometrijske konstrukcije.

Rešavanje problema je pojednostavljeno ako avion α zauzima privatni položaj u odnosu na avione projekcija. U ovom slučaju obavljanje projekcija okomiče i tačke sastanka sa ravninom vrši se bez dodatnih pomoćnih konstrukcija.

Primjer 1. Odredite udaljenost od točke A do pročelje-projekcijskog ravnine α (Sl. 270).

Odluka. Kroz "Izvodimo horizontalnu projekciju perpendikulara l" ⊥ h 0α, i kroz "- njenu prednju projekciju l" ⊥ F 0α. Primjećujemo tačku M "\u003d l" ∩ F 0α. Od Am || π 2, a zatim [a "m"] \u003d\u003d | AM | \u003d D.

Iz razmatranog primjera može se vidjeti kako se jednostavno zadatak riješiti kada avion zauzima projekcijski položaj. Stoga su, ako su početni podaci postavljeni na ravninu opće pozicije, a zatim prije nego što nastavite s otopinom, avion treba prenijeti na položaj okomito na bilo koji rain projekcije.

Primjer 2. Odredite udaljenost od točke do ravnine navedene ΔAVS (Sl. 271).

1. Prenesite avion δavs na projektni položaj *. Da biste to učinili, idite iz Xπ 2 / π 1 do X 1 π 3 / π 1 sustav: Smjer nove osi X 1 je odabrano okomito na vodoravnu projekciju vodoravnoj ravnine trougla.

2. Projektiramo δavs u novi avion π 3 (ravnine ΔAVS je poviskiran u π 3, u [C "1 V" 1]).

3. Projektiramo tačku na isti avion da (na "→ na" 1).

4. Nakon tačke na "1, izvodimo (do" 1 m "1) ⊥ segment [C" 1 V "1]. Željenu udaljenost d \u003d | k" 1 m "1 |.

Rješavanje problema pojednostavljeno je ako avion postavi stopama, jer nestaje potreba za provedbom projekcija linija nivoa.

Primjer 3. Odredite udaljenost od točke do ravnine α, s obzirom na tragove (Sl. 272).

* Najracionalniji prijenos ravnine trougla u projektni položaj način je za zamjenu aviona projekcija, jer je u ovom slučaju dovoljno izgraditi samo jednu pomoćnu projekciju.

Odluka. Zamijenimo avion π 1 s avionom π 3, za to izvodimo novu osovinu x 1 ⊥ f 0α. Na H 0α označavamo proizvoljnu tačku 1 "i određujemo njegovu novu vodoravnu projekciju u ravnini π 3 (1" 1). Nakon bodova x α 1 (x α 1 \u003d h 0α 1 ∩ x 1) i 1 "1, izvodemo H 0α 1. Mi određujemo novu vodoravnu projekciju tačke na → k" 1. Od točke do "1 izolirajte okomito na h 0α 1 i zabilježite tačku njenog raskrižja sa H 0α 1 - M" 1. Dužina segmenta K "1 m" 1 će ukazivati \u200b\u200bna željenu udaljenost.

2. Određivanje udaljenosti između ravnog i ravnine.

Udaljenost između ravnog i ravnine određena je dužinom okomitog segmenta, spuštena iz proizvoljne direktne točke u avion (vidi Sl. 248).

Stoga se rješenje problema utvrditi udaljenost između ravne linije M i ravnine α ne razlikuje se od onih koji su se razmatrali u stavku 1. primjera kako bi se utvrdila udaljenost između točke i aviona (vidi Sl. 270 ... 272). Kao poen, možete preuzeti bilo koju točku koja pripada ravnoj liniji m.

3. Određivanje udaljenosti između aviona.

Udaljenost između aviona određena je vrijednošću okomitskog segmenta, spuštena sa točke koja se uzima na istoj ravnini, na drugom ravninu.

Ova odlučnost podrazumijeva da se algoritam za rješavanje problema pronalaženje između aviona α i β razlikuje od istog algoritma za rješavanje problema kako bi se utvrdila udaljenost između ravne linije M i ravnine samo činjenica da je samo činjenica mora pripadati ravnini α, tj. da utvrdi udaljenost između aviona α i β trebaju biti:

1) da se direktno poduzete u avionu;

2) raspoređuju na ravnu liniju sa proizvoljnim tačkama a;

3) od poenta i izomirajte okomit l u avion β;

4) odrediti tačku M - tačka sastanka perpendikulara L sa avionom β;

5) Odredite iznos segmenta.

U praksi je preporučljivo koristiti još jedan algoritam rješenja, koji će se razlikovati od gore navedenog samo u tome, prije nego što nastavi s ispunjavanjem prve stavke, avion treba prevesti u položaj projekcije.

Uključivanje u algoritam ove dodatne operacije pojednostavljuje izvršenje svih bez izuzetka drugih stavki, što u konačnici dovodi do jednostavnije odluke.

Primjer 1. Odredite udaljenost između aviona α i β (Sl. 273).

Odluka. Idite s xπ 2 / π 1 do x 1 π 1 / π 3 sustav. U odnosu na novi avion π 3, avion α i β zauzimaju projekcijski položaj, tako da je udaljenost između novog frontalnog, tragova F 0α 1 i F 0β 1 željeni.

U inženjerskoj praksi često je potrebno riješiti problem za izgradnju aviona paralelno s ovim i udaljenim udaljenostima od njega. Sljedeći primjer 2 ilustrira rješenje takvog zadatka.

Primjer 2. Potrebno je izgraditi projekcije ravnine β paralelno s ovom ravninom α (M || N), ako je poznato da je udaljenost između njih d (Sl. 274).

1. U ravnini α, izvodimo proizvoljnu horizontalnu H (1, 3) i prednjoj strani f (1,2).

2. Od točke 1 počivamo u okomit l u avion α (l "⊥ h", l "⊥ f").

3. Na perpedikulaciju L, obilježimo proizvoljnu tačku A.

4. Odredite dužinu segmenta - (položaj označava metrički neuredni smjer direktnog l).

5. Ukrasite ravnu liniju (1 "a 0) od točke 1" CUT \u003d D.

6. Primjećujemo na projekcijama L "i L" ukazuje na "i B" koji odgovaraju točki u 0.

7. Nakon točke u ravnini β (h 1 ∩ f 1). Do β || α, potrebno je ne voljeti stanje H 1 || H i F 1 || f.

4. Definicija udaljenosti između poprečne zemlje ravno.

Udaljenost između premještanja poprečnog kretanja određena je okominom dužinom, zaključena između paralelnih aviona, koji pripadaju poprečnim linijama.

Da bi se izvršio međusobno paralelni avioni α i β kroz ravne linije M i F, dovoljna je kroz točku A (A ∈ m) da izvrši ravno p, paralelno s ravnom linijom f i kroz točku u (u ∈ F) - Direktno K, paralelno sa direktnim m. Presijecavanje ravnih linija M i P i K određuju međusobno paralelne ravnine α i β (vidi Sl. 248, E). Udaljenost između aviona α i β jednaka je željenoj udaljenosti između pomicanja ravnog m i f.

Također možete ponuditi drugi način za određivanje udaljenosti između direktnog poprečnog država, što je da uz pomoć bilo koje metode transformacije ortogonalnih projekcija, jedan od prelaznih linija preveden je u položaj projekcije. U ovom slučaju, jedna projekcija ravna se degenerira u točku. Udaljenost između novih projekcija poprečnih linija (točka A "2 i segment C" 2 D "2) je željena.

Na slici. 275 Rješenje se daje definiciji udaljenosti između prelaska ravno A i B, dat segmentima [AV] i [CD]. Rješenje se izvodi u sljedećem redoslijedu:

1. prevode jednu od poprečnih redaka (a) na položaj paralelno sa avionom π 3; Da biste to učinili, prelazak iz sistema projekcijskog plana Xπ 2 / π 1 na novi X 1 π 1 / π 3, Axis X 1 vrši se u paralelnoj vodoravnoj projekciji. Odredite "1 [" "1 u" 1] i b "1.

2. Zamjenom aviona π 1, avion π 4 Prevedi direktno

a u položaju "2, okomito u avion π 4 (nova os x 2 izvrši se okomito na" 1).

3. Izgradite novu horizontalnu projekciju izravnog B "2 - [C" 2 D "2].

4. Udaljenost od točke A "2 do direktora C" 2 D "2 2 (segment (" 2 m "2] (je željena.

Treba imati na umu da prijevod jedne od prelaza u projektnoj poziciji nije ništa drugo kao prijenos paralelnih aviona u kojem se mogu zaključiti izravna A i B.

U stvari, prevodim ravno na položaj okomito u ravnine π 4, osiguravamo okomitost bilo kojeg aviona koja sadrži ravni A, avion π 4, uključujući ravninu α, određenu ravno A i M (a ∩ m, M || B). Ako sada provodimo ravno n, paralelno i presijecajući ravno B, tada dobijamo avion β, koji je drugi ravnina paralelizma, u koji se zaključuju prekriženi ravni i b. Od β || α, onda β ⊥ π 4.

Neka bude avion . Izvodimo normalno
kroz porijeklo koordinata O. Neka
- uglovi formirani normalnim sa koordinatnim osi.
. Neka bude - Izrežite dužinu normalnog
pre raskrižja sa avionom. Pretpostavljanje poznatih zbinskih vodiča Normalno , povucite jednadžbu aviona .

Neka bude
) - avionski avion. Vektor samohrane normale ima koordinate. Pronalazimo projekciju vektora
u normalu.

Od poigra M. pripada avionu

Ovo je jednadžba date aviona koja se zove normalan .

Udaljenost od točke do aviona

Neka se avion dam ,M.*
- tačka prostora, d. - Njegova udaljenost od aviona.

Definicija. Odstupanje bodovi M * Iz aviona se zove broj ( + d.), ako a M.* nalazi se na drugoj strani iz aviona u kojoj se navodi pozitivan smjer , a broj (- d.) Ako se tačka nalazi na drugoj strani ravnine:

Teorema. Pustiti avion sa jednom normalnom postavi normalnom jednadžbom:

Neka bude M.*
- Odstupanje prostora za tačku t. M.* iz aviona je postavljen kao izraz

Dokaz. Projekcija t.
* Normalno označava TUŽILAC WHITING - PITANJE:. Odstupanje M * iz aviona je jednak

Pravilo. Naći odstupanje t. M.* Iz aviona je potrebno zamijeniti koordinate aviona u normalnoj jednadžbi. M.* . Udaljenost od točke do aviona je .

Dovodeći opću jednadžbu aviona u normalu

Neka se ista avina daju dvije jednadžbe:

Opća jednadžba

Normalna jednadžba.

Budući da obje jednadžbe određuju jednu ravninu, njihovi koeficijenti su proporcionalni:

Prva tri jednakost podignuta su u kvadrat i savijaju:

Odavde ćemo pronaći - Normaliziranje multiplikatora:

. (10)

Pomnožavanje opće jednadžbe aviona na normaliziranje multiplikatora, dobivamo normalnu jednadžbu ravnine:

Primjeri zadataka na temi "avion".

Primjer 1. Napraviti jednadžbu aviona prolazeći kroz navedenu točku
(2,1, -1) i paralelni avion.

Odluka. Normalno za avion :
. Budući da je avion paralelan, onda normalan je i normalan do željene ravnine . Korištenje jednadžbe aviona koja prolazi kroz navedenu točku (3), dobivamo za avion jednadžba:

Odgovor:

Primer 2. Baza okomiče, spuštena je s početka koordinata u avionu , je li poenta
. Pronađite jednadžbu ravnine .

Odluka. Vektor
je normalan u avion . Tačka M. 0 pripada avionu. Možete koristiti jednadžbu aviona koji prolazi kroz navedenu točku (3):

Odgovor:

Primjer 3. Izgraditi avion prolazak

i okomito ravnina :.

Stoga, tako da neki trenutak M. (x., y., z.) pripadao avionu , potrebno je da tri vektor
bilo je pretinca:

=0.

Ostaje da otkrije odrednica i vodi izraz dobiven prema vrsti opće jednadžbe (1).

Primjer 4. Avion postavite ukupnu jednadžbu:

Pronađite tačku
iz određenog aviona.

Odluka. Predstavljamo jednadžbu aviona u normalan oblik.

Zamjena u dobivenoj normalnoj jednadžbi koordinatne točke M *.

Odgovor:
.

Primjer 5. Da li se prelazi ravni segmentni ravni.

Odluka. Izrezati Au Prekriženi avion, odstupanja i iz aviona mora imati različite znakove:

Primjer 6. Sjecište od tri aviona u jednom trenutku.

Sistem ima jedinstveno rješenje, dakle, tri aviona imaju jednu zajedničku tačku.

Primjer 7. Pronalaženje bisektora na dihedralnom uglu formirane od strane dva unaprijed određena aviona.

Neka bude i - odstupanje od neke tačke
iz prvih i drugih aviona.

Na jednom od bisektora aviona (što odgovara uglu u kojem je porijeklo početak koordinate), ta su odstupanja jednaka modulu i znaku, a na drugom su jednakim modulu i suprotni su znak.

Ovo je jednadžba prve bisekturalne ravnine.

Ovo je jednadžba druge bisekturalne ravnine.

Primjer 8. Određivanje lokacije dvije tačke podataka i u odnosu na DUGRANske uglove formirane ovim avionima.