U praksi, samo referentne točke nisu dovoljne za pomicanje alata, CNC sistem nije dovoljan, potreban je njegov detaljniji reprezentacija. Da biste izračunali intermedijarne točke i izdavanje naredbi kretanja na linearnim ose, koristi se poseban računarski uređaj - interpolator.
Interpolatori su podijeljeni sa linearan i kružni. Linearna interpolator koristi se za testiranje pravoinearnog pokreta alata. Na ulazu u interpolator primljeni su informacije o koordinatama referentnih točaka, izlaz za svaku koordinatu formira se slijedom impulsa potrebnih za razvoj određene geometrije. Linearna interpolator omogućava nam samo da radimo neposredan Kretanje. Međutim, osigurajte precizan Usklađivanje pomicanja navedenom direktnom, prilično je teško. Završna puštanja kretanja otprilike podsjeća na slomljenu liniju (na slici ispod).
U procesu izlaska, direktna interpolator, međusobno kontrolira uključivanje pogona. x Os, onda y Os (Ako direktna leži u XY ravnini), slanjem željenog broja impulsa na pogon. Na gornjoj slici, jedan impuls šalje se ravno na osi y i na x - dva impulsa. Vrijednost d. Određuje odstupanje od određene geometrije. Jer Rezolucija vam omogućava da postavite jedan impuls za kretanje dalje 0.001 mm, tada se može uzeti u obzir konačna slomljena krivulja gladak.
Dakle, linearna interpolator izračunava potreban broj impulsa duž određene osi i daje ih na pogon.
F. - brzina kretanja;
Na primjer, za programiranje ravne linije kreću se od točke SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: upravo B. sa brzinom 1000 mm / min Potrebno je formirati sljedeći okvir u ue.
Najjednostavnija i često korištena vrsta lokalne interpolacije je linearna interpolacija. To je navedena tačka ( x. i. , y. i.) na ( i \u003d 0. 1, ..., n) su povezani pravolinskim segmentima i funkcijom f.(x.) Prilazi slomljenim vrhovima u tim bodovima.
Jednadžbe svakog kvara slomljenog u općem slučaju su različite. Budući da postoje n intervali ( x. i. - 1, x. i.) Za svakog od njih jednadžba koja direktno prolazi kroz dvije točke koristi se kao jednadžba interpolacijskog polinoma. Konkretno, za I-th interval možete napisati jednadžbu direktno prolazak kroz bodove ( x. i. -1, y. i. -1 ) i ( x. i. , y. i.), kao
|
y \u003d a i x + b i, x i-1 xx i |
a i \u003d. 
Slijedom toga, kada koristite linearnu interpolaciju, prvo morate odrediti interval u kojem se vrijednost argumenta x pada, a zatim ga zamijeni u formuli (*) i pronađite približnu vrijednost funkcije u ovom trenutku
Slika 3-3- Grafikon linearne ovisnosti o interpolaciji.
Izvodimo eksperimentalne podatke
Porijeklo: \u003d 0 Početak porasta podataka - smatramo iz nule
i.: \u003d 1..6 Broj elemenata u nizu
Eksperimentalni podaci organizirani su u dva vektora 
Obilaženje ugrađenim funkcijama mathcad
Linearna interpolacija
LF (x i): \u003d Linterp (x, y, x)
Interpolacija kubnih špijuniranja
CS: \u003d CSPline (x, y)
Izgradite kubnu spline eksperimentalnim podacima
Lf (x i): \u003d Linterp (x, y, x i)
Interpolacija Spline
Postavili smo redoslijed interpolacije. U vektoru bi trebalo biti uključen (n-1) manje elemenata nego u vektoru x., a prvi element bi trebao biti manje ili jednak prvom elementu x., a potonji je veći ili jednak posljednjem elementu x.
BS: \u003d BSpline (x, y, u, n)
Kreirajte spline na eksperimentalnim podacima
BSF (x i): \u003d (BS, X, Y, x i)
Izgradimo grafikon svih funkcija aproksimacije na istoj koordinatnom ravninu.
Slika 4.1 Grafikon svih aproksimacijskih funkcija na istoj koordinatnom ravninu.
U računarskoj matematici interpolacija funkcija igra značajnu ulogu, tj. Izgradnja navedene funkcije drugog (u pravilu, jednostavnije), čija se vrijednosti podudaraju s vrijednostima navedene funkcije u nekim brojevima. Štaviše, interpolacija ima i praktično i teorijsko značenje. U praksi često nastaje problem obnavljanja kontinuirane funkcije prema svojim vrijednostima tablice, na primjer, dobivena tokom nekog eksperimenta. Za izračunavanje mnogih funkcija, ispostavilo se da ih učinkovito dovode polinomi ili frakcijski racionalni funkcije. Teorija interpolacije koristi se u izgradnji i ispitivanju kvadratnih formula za numeričku integraciju, kako bi se dobile metode za rješavanje diferencijalnih i integralnih jednadžbi. Glavni nedostatak polinomne interpolacije je da je nestabilno na jednoj od najpovoljnijih i često korištenih mreža - rešetka s jednakim čvorovima. Ako zadatak dopušta, ovaj problem se može riješiti odabirom mreže sa Chebyshev čvorovima. Ako ne možemo slobodno odabrati interpolacijske čvorove ili nam jednostavno treba algoritam, a ne previše zahtjevan za odabir čvorova, tada racionalno interpolacija može biti prikladna alternativa polinomnom interpolacijom.
Prednosti SPLLING Interpolacije uključuju veliku brzinu obrade algoritma računarstva, jer je Spline komadno polinomna funkcija i tokom interpolacije, podaci se istovremeno obrađuju malim brojem mjernih točaka koji pripadaju fragmentu koji se trenutno razmatra. Interpolirana površina opisuje prostornu varijabilnost različitog obima i u isto vrijeme je glatka. Posljednja okolnost omogućava izravnu analizu geometrije i topologije površine pomoću analitičkih procedura.
Interpolacija. Uvođenje Opće postavke zadatka
Prilikom rješavanja različitih praktičnih problema, rezultati istraživanja izrađuju se u obliku tablica koji prikazuju ovisnost jedne ili više izmjerenih vrijednosti iz jednog definiranja parametra (argument). Ova vrsta tabele obično se prikazuje u obliku dva ili više redaka (stupaca) i koriste se za formiranje matematičkih modela.
Funkcije navedene u matematičkim modelima obično su napisane u tablicama obrasca:
Y1 (x) |
Y (x0) |
Y (x1) |
Y (xn) |
||
Ym (x) |
Y (x0) |
Y (x1) |
Y (xn) |
Ograničene informacije koje su takve tablice u nekim slučajevima zahtijeva da se dobiju vrijednosti funkcija YJ (x) (J \u003d 1,2, ..., m) na bodovima X, koje se ne podudaraju s nodalnim tačkima tablice xi (i \u003d 0,1,2, ..., n). U takvim je slučajevima potrebno odrediti neki analitički izraz φ j (x) za izračunavanje približnih vrijednosti funkcije funkcije Y j (x) u proizvoljno određenim točkama x. Funkcija φ J (x) Koristi se za određivanje približnih vrijednosti funkcije Y j (x) naziva se približnom funkcijom (od latinskog aprila - približava). Blizina približavajuće funkcije φ J (x) na aproksirano funkciju Y j (x) osigurava se odabirom odgovarajućeg algoritma aproksimacije.
Sva daljnja razmatranja i zaključci koje ćemo učiniti za tablice koje sadrže početne podatke jedne funkcije u studiju (I.E. za tablice sa M \u003d 1).
Najčešće određivanje funkcije φ (x), koristi se izjava koja se naziva formulacija problema interpolacije.
U ovoj klasičnoj formulaciji problema interpolacije potrebno je odrediti približnu analitičku funkciju φ (x), vrijednosti u kojima u nodalnim tačkinjima x i podudaraju se sa vrijednostimaY (x i) Izvorni sto, I.E. Uvjeti
φ (x i) \u003d y i (i \u003d 0,1,2, ..., n) |
Približna funkcija φ (x) izgrađena na ovaj način omogućava pribavljanje dovoljno bliskog približavanja interpoliranom funkcijom y (x) u rasponu vrijednosti argumenta [x 0; X n] definiran tablicom. Prilikom postavljanja vrijednosti argumenta X, ne pripadajućiovaj interval, problem interpolacije pretvara se u zadatak ekstrapolacije. U tim slučajevima tačnost
vrijednosti dobivene izračunavanjem vrijednosti funkcije φ (x) ovise o udaljenosti vrijednosti argumenta x iz x 0, ako je x< Х 0 , или от Х n , если Х > X n.
U matematičkom modeliranju, interpolacijska funkcija može se koristiti za izračunavanje približnih vrijednosti funkcije u studiju na srednjim mjestima pod-studija [x i; X i + 1]. Takav postupak se naziva tablica za brtvljenje.
Algoritam interpolacije određen je metodom za izračunavanje vrijednosti funkcije φ (x). Najjednostavnija i očigledna utjecaja interpolacijske funkcije je zamijeniti studijsku funkciju y (x) u intervalu [x i; X I + 1] S ravnom linijom koji povezuju bodove y i, y i + 1. Ova metoda se naziva linearnom interpolacijskom metodom.
Sa linearnom interpolacijom, vrednost funkcije na tački X, koja je između čvorova x i i x i + 1, određena je formulom ravne linije koja povezuje dva susjedna tablica
Y (x) \u003d y (xi) + |
Y (xi + 1) - y (xi) |
(X - xi) (i \u003d 0,1,2, ..., n), |
|
X i + 1 - x i |
|||
Na slici. 1 prikazuje primjer tablice dobivene kao rezultat mjerenja određene vrijednosti y (x). Redovi, izvorni tablica su istaknuta u ispunjavanju. Na desnoj strani tablice izgradio je točkaška dijagram koja odgovara ovoj tablici. Stolni pečat izrađen je zbog izračuna formule
(3) Vrijednosti aproksirane funkcije na bodovima x odgovaraju srednjim šipkama (I \u003d 0, 1, 2, ..., n).
Sl.1. Zbijena tablica funkcije y (x) i odgovarajući dijagram
Prilikom razmatranja rasporeda na Sl. 1 Može se vidjeti da su točke dobivene kao rezultat zaptivača tablice pomoću linearne interpolacijske metode na dijeljevima izravnih spojnih točaka izvorne tablice. Linearna tačnost
interpolacija, u suštini ovisi o prirodi interpolirane funkcije i na daljini između čvorova tablice x i, x i + 1.
Očito, ako je funkcija glatka, čak i na relativno veliku udaljenost između čvorova, grafikon izgrađen povezivanjem tačaka ravnih linija, omogućava vam da tačno precizno procijenite karakter funkcije Y (x). Ako se funkcija promijeni prilično brzo, a udaljenosti između čvorova su velike, linearna interpolacijska funkcija ne dopušta pribavljanje prilično precizne aproksimacije u stvarnoj funkciji.
Linearna interpolacijska funkcija može se koristiti za opću preliminarnu analizu i procjenu ispravnosti rezultata interpolacije dobivenih drugim tačnijim metodama. Posebno relevantna takva procjena postaje u slučajevima kada se izračuni izvode ručno.
Metoda interpolacije funkcije Kanonski polinom zasniva se na izgradnji interpolacijske funkcije kao polinoma u obliku [1]
φ (x) \u003d pn (x) \u003d c0 + c1 x + c2 x 2 + ... + cn x n |
Koeficijenti sa i polinomi (4) su besplatni interpolacijski parametri koji su određeni iz lagange uslova:
Pn (xi) \u003d yi (i \u003d 0, 1, ..., n)
Koristeći (4) i (5) pišemo sistem jednadžbi
C X + C X 2 |
C x n \u003d y |
|||||||
C X + C X 2 |
C X N. |
|||||||
C X 2. |
C x n \u003d y |
|||||||
Vektor rešenja sa I (I \u003d 0, 1, 2, ..., n) sistema linearnih algebričnih jednadžbi (6) postoji i može se naći ako nema podudaranja među čvorovima x I. Odrednica sistema (6) naziva se odrednica Vandermond1 i ima analitički izraz [2].
1 Odrednica Vandermond zvan odrednica
Jedna je nula ako i samo ako je xi \u003d xj za neke. (Wikipedia Materijal - besplatna enciklopedija)
Da biste odredili vrijednosti koeficijenata sa I (i \u003d 0, 1, 2, ..., n)
jednadžbe (5) mogu se napisati u vektorsko-matrijskom obliku
A * c \u003d y,
gDJE A, matrica koeficijenata određena tabelom stepena vektora argumenata x \u003d (Xi 0, Xi, XI 2, ..., Xin) T (I \u003d 0, 1, 2, ..., n)
x0 2. |
x0 N. |
||||||||
xn 2. |
xn N. |
||||||||
C je vektorski stupac koeficijenata sa I (I \u003d 0, 1, 2, ..., n) i y - vektor-stupac vrijednosti yi (i \u003d 0, 1, 2, ..., n) interpolirane funkcije u interpolacijskim čvorovima.
Rješenje ovog sistema linearnih algebričnih jednadžbi može se dobiti jednom od metoda opisanih u [3]. Na primjer, uz formulu
C \u003d A - 1 Y, |
gde je -1 matrica inverzna matrica a. Da biste dobili obrnutu matricu A -1, možete koristiti funkciju mesinga (), koja je uključena u skup standardnih funkcija programa Microsoft Excel.
Nakon vrijednosti koeficijenata s I, određene su pomoću funkcije (4), vrijednosti interpolirane funkcije mogu se izračunati za bilo koju vrijednost argumenta X.
Napisujemo matricu A za tablicu prikazanu na slici 1, bez uzimanja u obzir linije brtvene tablice.
Sl.2 Matrica sistema jednadžbi za izračun koeficijenata kanonskog polinoma
Koristeći funkciju mesinga (), dobivamo matricu A -1 inverzna matrica A (Sl. 3). Nakon toga, prema formuli (9) dobivamo vektor koeficijenata C \u003d (C 0, C 1, C 2, ..., C 1, C 2, ..., C N) T, prikazano na slici . Četiri.
Da biste izračunali vrijednosti kanonskog polinoma u kanal Y Canonic stup, koji odgovaraju vrijednosti x 0, uvodemo formulu koja je pretvorena u sljedeću formulu koja odgovara nulti liniji sistema (6)
\u003d ((((C 5) |
* x 0 + C 4) * x 0 + C 3) * x 0 + C 2) * x 0 + C 1) * x 0 + C 0 |
|
C0 + X * (C1 + X * (C2 + X * (C3 + X * (C4 + X * C5))))
Umjesto snimanja "C i" u formuli unesenoj u excel tablicu, potrebno je postaviti apsolutnu referencu na odgovarajuću ćeliju koja sadrži ovaj koeficijent (vidi Sl. 4). Umjesto "x 0" - relativna referenca na ćeliju stupca X (vidi Sl. 5).
Y Canonical (0) vrijednosti koje se poklapaju s vrijednošću u Y LIN ćeliji (0). Pri istezanju formule zabilježene u kanonski ćeliju (0), slučajnost i vrijednosti y canonicl (i) koji odgovara nodalnim tačkima početnog
tablice (vidi Sl. 5).
Sl. 5. Grafikoni izgrađene na linearnim i kanonskim interpolacijskim tablicama
Usporedba grafikona funkcija izgrađenih prema tablicama izračunatim linearnim i kanonskim interpolacijskim formulama, vidimo u višem prekršajnim čvorovima značajno odstupanje vrijednosti dobivenih linearnim i kanonskim interpolacijskim formulama. Razumnije je suditi o tačnosti interpolacije, na osnovu pribavljanja dodatnih informacija o prirodi simuliranog procesa.
Ovo je poglavlje iz Billa Gelen-a.
Zadatak: Neki problemi sa inženjerskom dizajnu zahtijevaju upotrebu tablica za izračunavanje vrijednosti parametara. Budući da su tablice diskretne, dizajner koristi linearnu interpolaciju za dobivanje srednje vrijednosti parametra. Tablica (Sl. 1) uključuje visinu preko zemlje (kontrolni parametar) i brzinu vjetra (izračunati parametar). Na primjer, ako trebate pronaći brzinu vjetra, koji odgovara nadmorskoj visini od 47 metara, tada se formula treba primijeniti: 130 + (180 - 130) * 7 / (50 - 40) \u003d 165 m / s.
Preuzmite bilješku u formatu ili, primjeri u formatu
Šta ako postoje dva kontrolna parametra? Da li je moguće obavljati izračune koristeći istu formulu? Tabela (Sl. 2) prikazuje vrijednosti tlaka vjetra za različite visine i veličinu raspona. Potrebno je izračunati pritisak vjetra na nadmorskoj visini od 25 metara i veličinu raspona 300 metara.
Rješenje: Mi rješavamo problem širenjem metode koja se koristi za slučaj sa jednim kontrolnim parametrom. Obavlja sljedeće korake.
Početak od tablice prikazane na slici. 2. Dodajte izvorne ćelije za visinu i raspon u J1 i J2, odnosno (Sl. 3).
Sl. 3. Formule u ćelijama J3: J17 objasniti rad megaformeđu
Za jednostavnost upotrebe formule definiraju imena (Sl. 4).
Pratite rad formule sekvencijalno se kreće iz j3 ćelije u j17 ćeliju.
Reverznom sekvencijalnom supstitucijom prikupi megaportulu. Kopirajte tekst formule iz ćelije J17 u J19. Zamijenite referencu na J15 na vrijednost u vrijednosti J15: J7 + (J8-J7) * J11 / J13. Itd. Ispada da se formula koja se sastoji od 984 znakova koji se u ovom obliku ne mogu shvatiti. Možete ga pogledati u priloženoj Excel datoteci. Niste sigurni da je ova vrsta megaformla korisna u upotrebi.
Sažetak: Linearna interpolacija koristi se za dobivanje srednje vrijednosti parametra, ako su vrijednosti tablice postavljene samo za granice raspona; Predložena je metoda izračuna za dva kontrolna parametra.
Ovaj izraz ima druga značenja, vidi interpolaciju. U funkciji pogledajte: Interpolynta.Interpolacija, interpolacioni (od Lat. inter-polis - « izglađeno, reproducirano, ažurirano; Transformisan") - u računarskom matematiku, metoda pronalaženja intermedijarnih vrijednosti vrijednosti prema postojećem diskretnom setu poznatih vrijednosti. Izraz "interpolacija" prvi put koristio je Johna Valisa u svom traktatu "beskrajnim aritmetičkim" (1656).
U funkcionalnoj analizi interpolacija linearnih operatora je odjeljak koji razmatra prostor banah kao elemente neke kategorije.
Mnogi od onih koji se suočavaju sa naučnim i inženjerskim proračunima često moraju raditi sa skupovima vrijednosti dobivenih dobijenim putem ili slučajni uzorkovanje. U pravilu, na osnovu ovih skupova potrebno je izgraditi funkciju na kojoj su druge dobivene vrijednosti mogle pasti s velikom tačnošću. Ovaj zadatak se naziva približno. Interpolacija se naziva takvom vrstom aproksimacije u kojoj krivulja izgrađene funkcije točno prolazi kroz dostupne podatke.
Postoji i problem u blizini interpolacije, što je za približavanje bilo koje složene funkcije drugog, jednostavnije funkcije. Ako je neka funkcija previše komplikovana za produktivne izračune, možete pokušati izračunati njegovu vrijednost u nekoliko točaka i izgraditi ih, odnosno interpolate, jednostavnije funkciju. Naravno, upotreba pojednostavljene funkcije ne dopušta pribavljanje istih tačnih rezultata koje bi se početna funkcija data. Ali u nekim razredima, zadaci su postigli dobit u jednostavnosti i stopa računanja može prevesti rezultirajuću grešku u rezultatima.
Treba spomenuti i i potpuno drugačija matematička interpolacija, poznata kao "interpolacija operatora". Klasični rad na interpolaciji operatora uključuje teorem riez-Thorin i Theorem Theorem Marcinkiewicz (Marcinkiewicz teorem), koji su osnova za razne druge radove.
Razmislite o sistemu ne-platformnih bodova XI (\\ Displaystyle x_ (i)) (i ∈ 0, 1, ..., n (\\ displaystyle I \\ in (0,1, \\ točkice, n))) iz neke regije ( \\ DisplayStyle d). Obavijestite vrijednosti funkcije f (\\ displaystyle f) poznate samo na tim tačkama:
Y i \u003d f (x i), i \u003d 1, ..., n. (\\ chanslostyl y_ (i) \u003d f (x_ (i)), \\ quad i \u003d 1, \\ lDots, n.)
Zadatak interpolacije je traženje takve funkcije F (\\ DisplayStyle f) iz određene klase funkcija, koji
F (x i) \u003d y i, i \u003d 1, ..., n. (\\ displaystyle f (x_ (i)) \u003d y_ (i), \\ quad i \u003d 1, \\ ldots, n.)
1. Neka imamo funkciju tablice, poput sljedećeg opisanog u nastavku, koji za nekoliko X (\\ Displaystyle X) cijeni odgovarajuće vrijednosti f (\\ displaystyle f):
X (\\ displaystyle x) f (x) (\\ displaystyle f (x))
| 0 | |
| 1 | 0,8415 |
| 2 | 0,9093 |
| 3 | 0,1411 |
| 4 | −0,7568 |
| 5 | −0,9589 |
| 6 | −0,2794 |
Interpolacija nam pomaže da naučimo koja vrijednost može takva funkcija na tačku koja nije navedena točka (na primjer, x. = 2,5).
Do danas postoji mnogo različitih načina interpolacije. Izbor najprikladnijeg algoritma ovisi o odgovorima na pitanja: kao što je tačno odabrana metoda, koji su troškovi korištenja, koliko glatka je interpolacijska funkcija, koja je potrebna itd.
2. Pronađite srednju vrijednost (način linearne interpolacije).
| 6000 | 15.5 |
| 6378 | ? |
| 8000 | 19.2 |
15.5 + (6378 - 6000) 8000 - 6000 * (19.2 - 15.5) 1 \u003d 16.1993 (\\ DisplayStyle? \u003d 15,5 + (\\ frak ((6378-6000)) (8000-6000)) * (\\ frac ((19.2- 15.5)) (1)) \u003d 16.1993)
Primjer linearne interpolacije za funkciju y \u003d 3 x + x 2 (\\ displaystyle y \u003d 3x + x ^ (2)). Korisnik može unijeti broj od 1 do 10.
Najjednostavniji način interpolacije je interpolacija najbližeg susjeda.
U praksi se interpolacija najčešće koristi polinomi. To je prvenstveno zbog činjenice da su polinomi jednostavni za izračunavanje, lako je analitički pronaći svoje derivate i mnogo polinoma čvrsto u prostoru kontinuiranih funkcija (Weierstrass Teorem).
na klasi funkcija iz prostora C2, čiji grafikoni prolaze kroz točke polja (XI, Yi), i \u003d 0, 1 ,. . . , m.
Odluka. Među svim funkcijama koje prolaze kroz bodove za podršku (XI, F (XI)) i pripadaju spomenutom prostoru, to je kubična spline S (X) koja zadovoljava granične uvjete S00 (a) \u003d S00 (B) \u003d 0 , pruža ekstrem (minimum) funkcionalan i (f).
Često u praksi postoji zadatak traženja navedene vrijednosti funkcije vrijednosti argumentacije. Ovaj zadatak se rješava metodama obrnute interpolacije. Ako je navedena monotona funkcionira, tada je obrnuta interpolacija najlakše zamijeniti funkciju argumenta i obrnuto i naknadno interpolatiranje. Ako navedena funkcija nije monotona, nemoguće je koristiti ovu tehniku. Zatim, bez promjene uloga funkcije i argumenta, napišite jednu ili drugu interpolacijsku formulu; Koristeći poznate vrijednosti argumenta i, s obzirom na funkciju poznate, riješi rezultirajuću jednadžbu u odnosu na argument.
Procjena preostalog člana Kada se koristi prvi prijem, bit će isti kao i sa direktnom interpolacijom, samo derivati \u200b\u200biz izravne funkcije treba zamijeniti derivati \u200b\u200biz funkcije feed. Procjenjujemo grešku druge metode. Ako smo naveli funkciju f (x) i ln (x) - interpolacijski polinom Lagrangea, izgrađen za ovu funkciju duž čvorova x0, x1, x2. . . , Xn, onda
f (x) - ln (x) \u003d (n + 1)! (X- x0). . . (X - XN).
Pretpostavimo da moramo pronaći vrijednost x¯, na kojoj f (¯x) \u003d y¯ (y¯ set). Rešit ćemo u ln jednadžbu (x) \u003d y¯. Dobivamo određeno značenje x¯. Zamjena u prethodnoj jednačini, dobivamo:
MN + 1. |
f (x¯) - ln (x¯) \u003d f (x¯) - y¯ \u003d f (x¯) - f (¯x) \u003d |
|||||||||||
|
Koristeći Formulu Langrowa, dobivamo |
|||||||||||
|
(X¯ - X¯) F0 (η) \u003d |
|||||||||||
|
gde je η između X¯ i X¯. Ako - interval koji sadrži x¯ i x¯ i min |
|||||||||||
iz posljednjeg izraza podrazumijeva:
| X¯ - X¯ | 6m1 (N + 1)! | $ N (X¯) | .
U ovom slučaju, naravno, pretpostavlja se da jednadžba ln (x) \u003d Y¯ odlučili smo sigurno.
Teorija interpolacije koristi se prilikom izrade tablica funkcija. Nakon što je primio takav zadatak, matematičar mora odlučiti za početak računanja niz pitanja. Treba izabrati formulu koja će se izračunati. Ova formula može varirati od web lokacije do mjesta. Obično su formule za izračunavanje vrijednosti funkcije glomazne i stoga se koriste za dobivanje nekih referentnih vrijednosti, a zatim, pod odbranom, zadebljamo tablicu. Formula koja daje referentne vrijednosti funkcije trebalo bi pružiti željenu preciznost tablica sa sljedećim podnačerom. Ako trebate napraviti tablice sa stalnim korakom, prvo morate odrediti svoj korak.
Povratak prvi Prethodni Sljedeći Zadnji prijevoz tema
Najčešće se tablica funkcija sastaju tako da je moguće linearno interpolacija (to je interpolacija koristeći prva dva člana taylor formule). U ovom slučaju će preostali član biti
R1 (x) \u003d F00 (ξ) H2T (T - 1).
Ovdje pripada intervalu između dvije susjedne tablice argumentacije, u kojoj se X i T zaključuje između 0 i 1. Proizvod T (T - 1) uzima najveći modul
vrijednost na T \u003d 12. Ova vrijednost jednaka je 14. Dakle,
Mora se imati na umu da pored ove pogreške - greška metode, uz praktičan izračun srednjih vrijednosti, još uvijek će biti neustrašiva greška i tačnost zaokruživanja. Kao što smo vidjeli prije, greška izblijedjele u linearnu interpolaciju bit će jednaka grešci tabeliranih vrijednosti funkcija. Greška zaokruživanja ovisit će o računarstvu i iz programa izračuna.
Povratak prvi Prethodni Sljedeći Zadnji prijevoz tema
razdvojene razlike u drugoj narudžbi, 8 prvog reda, 8
spline, 15.
interpolacijski čvorovi, 4
Povratak prvi Prethodni Sljedeći Zadnji prijevoz tema
Formula za interpolaciju tabelarnih podataka
Koristi se u drugoj akciji kada je količina NHP (Q, T) iz stanja ima intermedijalnu vrijednost između 100 tona i 300 tona.
(Izuzetak: Ako q, pod uvjetom jednako 100 ili 300, tada nije potrebna interpolacija).
y. o. - Vaš početni broj NHP-a iz stanja, u tonama
(odgovara slovu Q)
y. 1 – manji
(iz tabele 11-16, obično jednako 100).
y. 2 – više Najbliže vašoj vrijednosti broja NHP-a, u tonama
(iz tabele 11-16, obično jednak 300).
x. 1 y. 1 (x. 1 Nalazi se naprotiv y. 1 ), KM.
x. 2 - vrijednost tablice dubine širenja zaraženog zračnog oblaka (G T), respektivno y. 2 (x. 2 Nalazi se naprotiv y. 2 ), KM.
x. 0 - sekundarna vrijednost G. t. relevantan y. o. (Prema formuli).
Primjer.
NHR - hlor; Q \u003d 120 t;
Vrsta SVSP-a (stepen vertikalnog otpora zraka) - inverzija.
Naći G. t. - vrijednost tablice dubine širenja zaraženog oblaka zraka.
Vidimo tablice 11-16 i pronalazimo podatke koji odgovaraju vašem stanju (hlor, inverzija).
Odgovara tablici 11.
Odaberite Vrijednosti y. 1 , y. 2, x. 1 , x. 2 . Bitan - Brzina vjetra uzima 1 m / s., Uzmite temperaturu - 20 OS.
Zamjenjujemo odabrane vrijednosti u formuli i pronalazimo x. 0 .
Bitan - Proračun je tačan ako x. 0 imat će vrijednost negdje između x. 1 , x. 2 .
Predložio algoritmu lagange za izgradnju interpolacije
funkcije prema tablicama (1) uključuje izgradnju interpolacijskog polinoma ln (x) u obliku
Očito je da provedba uvjeta za (10) (11) određuje provedbu uslova (2) formulacije problema interpolacije.
Li (x) se bilježe na sljedeći način.
Imajte na umu da nijedan multiplikator u nazivniku formule (14) nije jednak nuli. Izračunavanje vrijednosti CI konstante, možete ih koristiti za izračunavanje vrijednosti interpolirane funkcije na navedenim točkama.
Formula interpolacijskog polinoma Lagrangea (11) uzimajući u obzir formule (13) i (14) može se zabilježiti u obliku
|
qi (x - x0) (x - x1) k (x - xi -1) (x - xi +1) k (x - xn) |
Direktna upotreba lagrange formule dovodi do velikog broja računarstva s jednim tipom. Za stolove male dimenzije, ovi proračuni mogu se obavljati ručno i u programskom okruženju.
U prvoj fazi razmotrite algoritam proračuna izvedenih rukom. Ubuduće se isti proračuni trebaju ponoviti u okolišu.
Microsoft Excel ili OpenOffice.org Calc.
Na slici. 6 prikazuje primjer izvorne tablice interpolirane funkcije određene četiri čvora.
Sl.6. Tabela koja sadrži izvorne podatke za četiri čvora interpolirane funkcije
U trećem stupcu tablice pišemo vrijednosti QI koeficijenata izračunatih formulama (14). Ispod je zapis ovih formula za n \u003d 3.
q0 \u003d Y0 / (X0-X1) / (X0-X2) / (X0-X3) Q1 \u003d Y1 / (X1-X0) / (X1 X2) / (X1-X3) / (16) Q2 \u003d Y2 / (X2 -x0) / (x2-x1) / (x2-x3) Q3 \u003d Y3 / (X3-X0) / (X3-X1) / (X3-X2)
Sljedeći korak u provedbi ručnog proračuna su proračuni vrijednosti LI (x) (J \u003d 0,1,2,3), koje izvode formula (13).
Ove formule pišemo za tablicu tablice sa četiri čvora koji se razmatraju:
l0 (X) \u003d Q0 (X - X1) · (X - X2) · (X-X3),
l1 (x) \u003d Q1 (X - X0) · (X - X2) · (X-X3),
l2 (x) \u003d Q2 (X - X0) · (X - X1) · (X - X3), (17) L3 (X) \u003d Q3 (X - X1) · (X - X1) · (X - X2) .
Izračunavamo vrijednosti li polinoma (XJ) (J \u003d 0,1,2,3) i napišite ih u ćelije tablice. Vrijednosti funkcije (x), prema formuli (11) bit će dobivene kao rezultat sažetka vrijednosti (XJ) na redovima.
Format tablice, koji uključuje stupce izračunate vrijednosti LI (XJ) i stupca vrijednosti (x), prikazan je na slici 8.
Sl. 8. Tabela s ručnim proračunima, izrađena prema formulama (16), (17) i (11) za sve vrijednosti XI argumenta
Ispunjavanje formiranja tablice prikazano na slici. 8, prema formulama (17) i (11), moguće je izračunati vrijednost interpolirane funkcije za svaku vrijednost argumenta X. Na primjer, za funkcije \u003d 1 izračunajte vrijednosti li (1) ( I \u003d 0,1,2,3):
l0 (1) \u003d 0.7763; L1 (1) \u003d 3,5889; L2 (1) \u003d - 1,5155; L3 (1) \u003d 0,2966.
Sumping vrijednosti li (1) dobivaju vrijednost sučelja (1) \u003d 3,1463.
Implementacija interpolacijskog algoritma počinje, kao i s ručnim proračunima iz Formule zapisa za izračunavanje QI koeficijenata na Sl. 9 Prikazuje stupce tablice s navedenim vrijednostima argumenta, interpolirane funkcije i koeficijentimaQUI. Desno od ove tablice, formule zabilježene u stupcima ćelija date su za izračun vrijednosti koeficijenataQi.
sun 2: "\u003d B2 / ((A2-A3) * (A2-A4) * (A2-A5))" æ Q0
sW3: "\u003d B3 / ((A3-A4) * (A3-A5) * (A3-A2))" æ Q1
sun4: "\u003d B4 / ((A4-A5) * (A4-A2) * (A4-A3))" æ Q2
sun5: "\u003d B5 / ((A5-A2) * (A5-A3) * (A5-A4))" æ Q3
Sl. 9 QI koeficijenti stola i računarske formule
Nakon unosa Formule Q0 u C2 ćelije, izvuče se iz ćelija od C3 do C5. Nakon toga formule u tim ćelijama prilagođavaju se u skladu s (16) u obliku prikazanu na slici. devet.
Yur (xi), Realizacija formule (17), napišite formulu za izračunavanje vrijednosti LI (x) (I \u003d 0,1,2,3) u ćelijama stupaca D, E, F i G. u CellD2 za izračunavanje Vrijednost L0 (X0), zapišite formulu:
\u003d $ C $ 2 * ($ A2- $ $ 3) * ($ A2- $ $ 4) * ($ A2- $ $ 5),
dobijamo vrijednosti L0 (XI) (i \u003d 0,1,2,3).
Format referentnih $ A2 omogućava rastezanje formule za stupac, F, G za formiranje računalnih formula za kalkulaciju (X0) (I \u003d 1,2,3). Prilikom istezanja formule na liniji, argumenti stupca indeksa ne mijenjaju se. Za izračunavanje (X0) (i \u003d 1,2,3), nakon istezanja formula0 (x0), potrebno je prilagoditi ih formulama (17).
Institucija n poster Excel formula za sažeti (x) po formuli
(11) algoritam.
Na slici. 10 prikazuje tablicu implementirana u programu Microsoft Excel. Znak ispravnosti formula zabilježenih u ćelijama zabilježenim u ćelijama i izrađenim računskim operacijama je rezultirajuća dijagonalna matrica li (xj) (i \u003d 0,1,2,3), (J \u003d 0,1,2) , 3), ponavljajući rezultate date na slici. 8, a stupac vrijednosti podudaranja s vrijednostima interpolirane funkcije u čvorovima izvorne tablice.
Sl. 10. Tabela vrijednosti LI (XJ) (J \u003d 0,1,2,3), i, XJ (XJ)
Da biste izračunali vrijednosti u nekim međuvremenim bodovima dovoljno
stanice stupca A, počevši od ćelija6, unesite vrijednosti argumenata za koje je potrebno odrediti vrijednosti interpolirane funkcije. Istaći
u posljednjem (petom) liniji ćelijskog stola Otl0 (XN) Doyrac (XN) i rastezanje formula zabilježenih u odabranim ćelijama na niz koji sadrži posljednje
navedena vrijednost argumenta X.
Na slici. 11 prikazuje tablicu u kojoj se vrijednosti vrijednosti funkcije izračunavaju u tri točke: x \u003d 1, x \u003d 2 i x \u003d 3. Tabela je ugradila dodatni stupac s brojem startne tablice podataka.
Sl. 11. Izračun vrijednosti interpolirane funkcije pomoću lagranih formula
Za veću jasnoću prikaza rezultata interpolacije, izgrađujemo tablicu koja uključuje stupac naređenog za povećanje vrijednosti argumenta X, stupac izvornih vrijednosti funkcije (x) i stupca
Ivan Shestakovich
Najjednostavniji, ali često nije prilično tačna interpolacija linearna. Kada već imate dvije poznate bodove (X1 U1) i (x2 y2), a morate pronaći vrijednosti u danu nekih x koji je između X1 i X2. Tada je formula jednostavna.
Y \u003d (u2-u1) * (x-x1) / (x2-x1) + U1
Uzgred, ova formula djeluje i na vrijednostima x izvan GAP-a X1..x2, ali to se već naziva ekstrakupacijom i na znatnoj udaljenosti od ovog razmaka daje vrlo veću grešku.
Postoji mnogo drugih prostirki. Interpolacijske metode - savjetujem vam da pročitate tutorial ili rummage i internet.
Metoda grafičke interpolacije nije isključena - u priručniku da se zove raspored kroz poznate bodove i za željenu X iz grafike u.;)
Roman
Imate dva značenja. I približno ovisnost (linearna, kvadratna, ..)
Raspored ove funkcije prolazi kroz vaša dva boda. Treba vam vrijednost negdje između. Pa, izražavate!
Na primjer. U tabletu na temperaturi od 22 stepena, pritisak zasićenih pare od 120.000 PA, i na 26.124.000 pa. Zatim na temperaturi od 23 stepena 121000 pa.
Na karti (slika) postoji koordinatna mreža (slika).
Ima neke poznate referentne točke (N\u003e 3), imaju dvije vrijednosti x, y - koordinata u pikselima i koordinate u metrima.
Potrebno je pronaći intermedijarne koordinatne vrijednosti u metrima, znajući koordinate u pikselima.
Linearna interpolacija nije prikladna - previše greške izvan linije.
Ovo je: (XC - koordinacija. U metrima preko oh, XP - koordinacija. U pikselima, Oh, XC3 je željena vrijednost oh)
Xc3 \u003d (XC1-XC2) / (XP1-XP2) * (XP3-XP2) + XC2
Yc3 \u003d (yc1-yc2) / (yp1-yp2) * (yp3-yp2) + yc2
Kako pronaći istu formulu za pronalazak XC-a i YC-a, date ne dva (kao ovdje), a n poznate referentne točke?
Joka Fern Lowd.
Sudeći po izdatim formulama, osi koordinatnog sistema u pikselima i u metrima podudaraju se?
To je, samostalno interpolaci XP -\u003e XC i samostalno yp -\u003e yc. Ako ne, onda trebate koristiti dvodimenzionalnu interpolaciju XP, yp-\u003e XC i XP, yp-\u003e yc, što ne pomalo uplipje zadatak.
Dalje podrazumijeva da su koordinate XP i XC-a povezane s nekom ovisnošću.
Ako je znak ovisnosti (ili pretpostavljen, na primjer, pretpostavljamo da je XC \u003d A * XP ^ 2 + b * XP + C), tada možete dobiti parametre ove ovisnosti (za ovisnu ovisnost A, B, C) Korištenje regresijske analize (metoda najmanji kvadrati). U ovoj metodi, ako odredite određenu ovisnost XC (XP), možete dobiti formulu za parametre ovisno o referentnim podacima. Ova metoda omogućava, posebno za pronalaženje i linearna ovisnost, koja najbolje zadovoljava ovaj skup podataka.
Nedostatak: U ovoj metodi, XC koordinata dobivena prema XP referentnim točkama može se razlikovati od navedenog. Takav, na primjer, aproksimacija direktna potrošena na eksperimentalne točke ne prolazi upravo kroz ove tačke same.
Ako je potrebno precizno podudaranje i priroda ovisnosti je nepoznata, morate koristiti interpolacijske metode. Najjednostavnija matematički je interpolacijski polinom Lagrangea, precizno prolazeći referentnim točkama. Međutim, na osnovu visokog stupnja ovog polinomnog, s velikim brojem referentnih točaka i lošeg kvaliteta interpolacije, bolje je ne koristiti. Prednost je relativno jednostavna formula.
Bolje je koristiti interpolacijsko spajanje. Suština ove metode je da je na svakoj web lokaciji između dva susjedna točka, ovisnost interpolirana polinoma, a uvjeti glatkoće evidentiraju se na šivaćim mjestima dvaju intervala. Prednost ove metode je kvaliteta interpolacije. Nedostaci - Gotovo je nemoguće ukloniti opću formulu, morate pronaći koeficijente polinoma na svakoj algoritmičkoj lokaciji. Drugi nedostatak je složenost generalizacije na dvodimenzionalnoj interpolaciji.
