Pronađite udaljenost od kćeri u ovaj avion. Normalna jednadžba ravnine. Udaljenost od točke do aviona. Dovodeći opću jednadžbu aviona u normalu

Ravnina u prostoru postavlja se 3x-4Y + 2Z + 5 \u003d 0 jednadžbama, uzimajte udaljenost od toga do tačke M (3; -2; 6).
S obzirom:
$$ X_0 \u003d 3, \\ Quad y_0 \u003d -2, \\ Quad Z_0 \u003d 6 $$

$$ a \u003d 3, \\ quad b \u003d -4, \\ quad c \u003d 2, \\ quad d \u003d 5 $$
Odluka:
Da bismo rešili problem, koristimo formulu za pronalaženje udaljenosti od točke do aviona, što je jednako duljini okomite, spuštene iz ove točke u ravninu:

$$ P \u003d (| A \\ CDOT X_0 + B \\ CDOT Y_0 + C \\ CDOT Z_0 + D |) \\ OVER \\ SQRT ((A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2)) $$

ako je A, B, C, D koeficijenti izjednačene sa ravninom i X0, Y0, Z0 - koordinate točke.

Proizvode zamjenu:

$$ \\ frac (| 3 \\ CDOT 3 + (-4) \\ CDOT (-2) +2 \\ CDOT 6 + 5 |) (\\ sqrt ((3 ^ 2 + (-4) ^ 2 + 2 ^ 2) )) \u003d \\ Frac (| 9 + 8 + 12 + 5 |) (\\ sqrt ((9 + 16 + 4))) \u003d 6.314 $$ (linearne jedinice)
Odgovor:
DAN ABCDA1B1C1D1 kocka s rubom jednaka je 1 cm. Izračunajte udaljenost od točke A1 do ravnine definirane tačacima u, D i C1.
Odluka:
Da biste riješili problem, primjenjujemo koordinatnu metodu. Podrijetlo koordinatnog sustava nalazi se u točki A. Axis X kompatibilan je s rubom oglasa, osi y - s ivicom AV, z osi sa AA1 rubom.

Zatim koordinate točke A1 (0; 0; 1), bodovi u (0; 1; 0), d (1; 0; 0), C1 (1; 1; 1). Stavljanje u opću jednadžbu za avion A · x + b · y + c · z + d \u003d 0 koordinata svake bodove, dobijamo sistem tri jednadžbe odlučujući koji ćemo pronaći koeficijente i jednadžbu X + yz-1 \u003d 0 ravnina.

$$ P \u003d \\ frac (| A \\ CDOT X_0 + B \\ CDOT Z_0 + D |) (\\ SQRT ((A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2))) $$, proizvodimo Zamjena:

$$ P \u003d \\ frac (| 1 \\ CDOT 0 + 1 \\ CDOT 0 - 1 \\ CDOT 1 - 1 |) (\\ sqrt ((1 + 1 + 1))) \u003d 1,155 cm $$
Odgovor:
$$ R \u003d 1.155 cm $$
Pronađite udaljenost do bodova m (2; 4; -7) u Xoy ravninu.
Odluka:
Xoy ravnina jednadžbi je poseban slučaj, jednadžba z \u003d 0. Nanesite formulu:

$$ P \u003d \\ frac (| A \\ CDOT X_0 + B \\ CDOT Y_0 + C \\ CDOT Z_0 + D |) ((A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2)) $$, gdje je \u003d 0, b \u003d 0, c \u003d 1, d \u003d 0, x0 \u003d 2, y0 \u003d 4, z0 \u003d -7.

Proizvode zamjenu:

$$ P \u003d \\ frac (| 0 \\ CDOT 2 + 0 \\ CDOT 4 + 1 \\ CDOT (-7)) + 0 | ) (\\ Sqrt ((0 ^ 2 + 0 ^ 2 + 1 ^ 2))) \u003d 7 $$
Odgovor:
Ravnina je određena reper tri boda sa koordinatama u pravokutnom sistemu A1 (0; 2; 1), B1 (2; 6; 1), C1 (4; 0; -1). Odredite na koji je udaljenost od nje tački sa koordinata M (5; -3; 10).
Odluka:
Da bismo odredili udaljenost od točke do aviona koristimo formulu

$$ P \u003d \\ frac (| A \\ CDOT X_0 + B \\ CDOT Y_0 + C \\ CDOT Z_0 + D |) (SQRT (SQRT ((A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2))) $$

Da biste ga iskoristili, potrebno je izvući jednadžbu ravnine, specifične točke A1, B1 i C1. Opći izgled ove jednadžbe A · X + B · Y + C · Z + D \u003d 0. Koristeći jednu od metoda za uklanjanje jednadžbe ravnine (sustav jednadžbi s koordinatama točaka ili odrednica) nalazimo jednadžbu aviona, dobivamo $$ 2x-y + 5Z-3 \u003d 0 $$.

Zamjenjujemo dobijene koeficijente jednadžbe i koordinate točke u formuli:

$$ P \u003d \\ frac (| A \\ CDOT X_0 + B \\ CDOT Z_0 + D |) (\\ SQRT ((A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2))) \u003d \\ frac (| 2 \\ CDOT 5 - (-3) + 5 \\ CDOT 10 - 3 |) (\\ sqrt ((2 ^ 2 + (-1) ^ 2 + 5 ^ 2))) \u003d 10,95 $$
Odgovor:
Pronađite udaljenost od 4x-6Y-4Z + 7 \u003d 0 0 za pokretanje koordinatnog sustava O.
S obzirom:
$$ x_0 \u003d 0, \\ quad y_0 \u003d 0, \\ quad z_0 \u003d 0 $$

$$ a \u003d 4, \\ quad b \u003d -6, \\ quad c \u003d -4, \\ quad d \u003d 7 $$
Odluka:
Koordinate početka koordinatnog sustava o (0; 0; 0). Koristimo formulu:

$$ P \u003d \\ frac (| A \\ CDOT X_0 + B \\ CDOT Z_0 + D |) (SQRT (SQRT ((A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2))) $$ za $$ 4 X-6Y-4Z + 7 \u003d 0 $$,

$$ a \u003d 4, $$
$$ B \u003d -6, $$
$$ C \u003d -4, $$
$$ d \u003d 7. $$.

Značenja zamjena:

$$ P \u003d \\ frac (| A \\ CDOT X_0 + B \\ CDOT Z_0 + D |) (\\ SQRT ((A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2))) \u003d \\ frac (| 4 \\ CDOT 0 - 6 \\ CDOT 0 - 4 \\ CDOT 0 + 7 |) (\\ sqrt ((4 ^ 2 + (-6) ^ 2 + (-4) ^ 2)) \u003d 0,85 $$
Odgovor:

Ovaj članak govori o određivanju udaljenosti od točke u avion. Analizirat ćemo metodu koordinata, što će omogućiti udaljenost od određene točke trodimenzionalnog prostora. Za konsolidaciju, razmislite o primjerima nekoliko zadataka.

Udaljenost od točke do aviona nalazi se pomoću poznate udaljenosti od točke do točke, gdje je određeno, a drugi je projekcija na određenom ravninu.

Kada je tačka M 1 postavljena u prostoru s ravninom χ, tada se okomita ravnina može provesti kroz točku. H 1 je zajednička tačka njihovog raskrižja. Odavde dobijamo da je segment m 1 h 1 okomit, koji se izvodi sa točke M 1 do ravnine χ, gdje je tačka H 1 baza okomitske.

Definicija 1.

Oni nazivaju udaljenost od određene točke u bazu okomite, koji se izvode iz određene točke u određenu ravninu.

Definicija se može zabilježiti u različitim formulacijama.

Definicija 2.

Udaljenost od točke do aviona Oni nazivaju dužinu okomite, koji su proveli iz određene točke u određenu ravninu.

Udaljenost od točke M 1 do ravnine χ se određuje na sljedeći način: Udaljenost od tačke m 1 do ravnine χ će biti najmanja od navedene točke do bilo koje točke aviona. Ako se tačka H 2 nalazi u ravnini χ i nije jednak točki H 2, a zatim dobijamo pravokutni trokut m 2 h 1 h 2 koji je pravougaonog, gde se nalazi katanac m 2 h 1, m 2 h 2 - Hypotense. Dakle, stoga slijedi da je m 1 h 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 smatra se kosi, koja se izvodi sa točke M 1 u avion χ. Imamo to okomito, izvedene iz određene točke u avion, manje je sklon, koji se izvodi iz točke do određenog ravnina. Razmislite o ovom slučaju na donjoj slici.

Udaljenost od točke do aviona - teorija, primjeri, rješenja

Postoji niz geometrijskih zadataka čija rješenja moraju sadržavati udaljenost od točke u avion. Metode za identifikaciju to mogu biti različite. Za dozvolu koristi se teorema pitagore ili sličnosti trouglova. Kada je, po stanju, potrebno izračunati udaljenost od točke u ravninu, naveden u pravougaonom koordinatnom sustavu trodimenzionalnog prostora, riješite koordinatnu metodu. Ova stavka razmatra ovu metodu.

Problemom problema imamo da se točka trodimenzionalnog prostora sa koordinatama M 1 (X 1, y 1, z 1) dat u ravnini χ, potrebno je odrediti udaljenost od M 1 do Avion χ. Za rješavanje nekoliko načina za rješavanje.

Prva metoda

Ova se metoda temelji na udaljenosti od točke u avion koristeći koordinate točke H 1, koja su osnova okomište sa tačke M 1 do ravnine χ. Zatim je potrebno izračunati udaljenost između M 1 i H 1.

Da biste riješili problem, u drugoj metodi koristi se normalna jednadžba navedenog ravnina.

Drugi način

Pod uvjetom, imamo da je H 1 osnova okomit, koja je spuštena sa točke M 1 do ravnine χ. Zatim utvrđujemo koordinate (x 2, y 2, z 2) bodova H 1. Željena udaljenost od m 1 do ravnine χ nalazi se prema formuli m 1 h 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, gdje m 1 (x 1, y 1, z 1) i H 1 (x 2, y 2, z 2). Za rješavanje toga, potrebno je znati koordinate točke H 1.

Imamo da je H 1 tačka raskrižja ravnine χ sa direktnom A, koja prolazi kroz tačku M 1 koja se nalazi okomito u ravninu χ. Slijedi da je potrebno sastaviti jednadžbu direktnog prolaska kroz navedenu točku okomito na navedenu ravninu. Tada možemo utvrditi koordinate točke H 1. Potrebno je izračunati koordinate raskrižja izravnog i ravnine.

Algoritam za pronalaženje udaljenosti od točke s koordinata M 1 (x 1, y 1, z 1) do ravnine χ:

Definicija 3.

napravite jednadžbu izravnog prolaska kroz tačku M 1 i istovremeno
okomito u avion χ;
pronađite i izračunajte koordinate (x 2, y 2, z 2) bodova H 1, koji su bodovi
raskrižje direktno a ravnine χ;
izračunajte udaljenost od m 1 do χ koristeći formulu m 1 h 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

Treći način

U određenom pravokutnom koordinatnom sustavu, koordinate X u Z imaju avion χ, a zatim dobivamo normalnu jednadžbu ravnine obrasca Cos α · x + cos β · y + cos γ γ · z - p \u003d 0. Dobivamo da je udaljenost m 1 h 1 s tačkom m 1 (x 1, y 1, z 1), izvedena u ravnini χ izračunati formulom m 1 h 1 \u003d cos α · y + cos γ γ · z - str. Ova je formula valjana, jer se to utvrđuje zahvaljujući teoremi.

Teorema

Ako je tačka m 1 (x 1, y 1, z 1) naveden u trodimenzionalnom prostoru koji ima normalnu jednadžbu ravnine oblika cos α · x + cos β · y + cos γ γ · z - p \u003d 0 , a zatim izračunavanje udaljenosti od točke do M 1H 1 ravnina izrađena je od formule m 1 h 1 \u003d cos λ · y + cos γ γ · z - p, od x \u003d x 1, y \u003d y 1, z \u003d z 1.

Dokaz

Dokaz teoreme svodi se na pronalaženje udaljenosti od točke u direktnoj. Odavde dobijamo da je udaljenost od m 1 do ravnine χ modul razlike u numeričkoj projekciji radijus vektora M 1 sa udaljenosti od porijekla do ravnine χ. Zatim dobijamo izraz m 1 h 1 \u003d n p n → o m → - str. Normalni vektor aviona χ ima obrazac n → \u003d cos α, cos β, cos γ, a njegova dužina jednaka je jednoj, npn → om → - numerička projekcija vektorskog vektora → \u003d (x 1, y 1 , Z 1) u smjeru koje odredi vektor n →.

Primijenite formulu za izračunavanje skalarnih vektora. Zatim dobivamo izraz da bismo pronašli vektor obrasca n →, om → \u003d n → · npn → om → 1 · npn → om → \u003d npn → om →, jer n → \u003d cos γ α, cos β, cos γ · Z i om → \u003d (x 1, y 1, z 1). Koordinatni oblik snimanja će se obratiti n →, om → \u003d cos α · x 1 + cos γ · y 1 + cos γ · z 1, zatim m 1 h 1 \u003d npn → om · - p \u003d cos α · X 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - str. Teorem se dokazuje.

Odavde dobijamo da se udaljenost od tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) do ravnine χ izračunava zamjenom na lijevi dio normalne jednadžbe Cos α · x + cos β α · y + cos β · y + cos γ · z - p \u003d 0 umjesto x, y, z koordinata x 1, y 1 i 1 i 1 i 1 i z 1. Pripadaju tački M 1, uzimajući apsolutnu vrijednost dobivene vrijednosti.

Razmotrite primjere pronalaženja udaljenosti od točke s koordinatama do određenog ravnina.

Primjer 1.

Izračunajte udaljenost od točke s koordinatama M 1 (5, - 3, 10) do aviona 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0.

Odluka

Problem ćemo riješiti na dva načina.

Prva metoda će započeti s izračunavanjem vektora vodiča Direkcija a. Pod uvjetom imamo da zadanu jednadžbu 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0 jednačina je ravnine općeg oblika, a n → \u003d (2, - 1, 5) je normalan vektor navedenog Ravnina. Koristi se kao vektor vodiča, koji je okomit na navedenu ravninu. Kanonska jednadžba treba zabilježiti u prostoru, prolazeći kroz M 1 (5, - 3, 10) s vektorom vodiča s koordinatama 2, - 1, 5.

Jednadžba će dobiti obrazac X - 5 2 \u003d Y - (- 3) - 1 \u003d Z - 10 5 ⇔ X - 5 2 \u003d Y + 3 - 1 \u003d Z - 10 5.

Trebali biste definirati mjesta raskrižja. Da biste to učinili, nježno kombinirajte jednadžbe u sustav za prijelaz iz kanoničke na jednadžbe dva presijecana ravna linija. Ova tačka će ga iznijeti od 1. To shvatamo

x - 5 2 \u003d Y + 3 - 1 \u003d Z - 10 5 ⇔ - 1 · (X - 5) \u003d 2 · (Y + 3) 5 · (X - 5) \u003d 2 · (Z - 10) 5 · ( y + 3) \u003d - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0 5 y + z + 5 \u003d 0 ⇔ x + 2 y + 1 \u003d 0 5 X - 2 z - 5 \u003d 0

Nakon čega je potrebno riješiti sistem

x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0 ⇔ x + 2 y \u003d 1 5 x - 2 z \u003d 5 2 x - y + 5 z \u003d 3.

Okrenimo se u pravilo sistema u Gaussu:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ ⇒ z \u003d 0 6 \u003d 0, y \u003d - 1 10 · 10 + 2 · Z \u003d - 1, x \u003d - 1 - 2 · y \u003d 1

Dobijamo da je H 1 (1, - 1, 0).

Izračunavamo izračune udaljenosti od navedenog u avion. Uzimamo tačku M 1 (5, - 3, 10) i H 1 (1, - 1, 0) i get

M 1 h 1 \u003d (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 \u003d 2 30

Drugo rješenje rješenja je početi donositi navedenu jednadžbu 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0 u normalan oblik. Određujemo opterećenje multiplikatora i dobivamo 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 \u003d 1 30. Otuda jednadžba aviona 2 30 · X - 1 30 · Y + 5 30 · Z - 3 30 \u003d 0. Izračun lijevog dijela jednadžbe vrši se zamjenom x \u003d 5, y \u003d - 3, z \u003d 10, a trebate uzeti udaljenost od m 1 (5, - 3, 10) do 2 x - Y + 5 z - 3 \u003d 0 modulom. Dobijamo izraz:

M 1 h 1 \u003d 2 30 · 5 - 1 30 · - 3 + 5 30 · 10 - 3 30 \u003d 60 30 \u003d 2 30

Odgovor: 2 30.

Kada se avion χ postavlja u jednoj od metoda odjeljka metoda podešavanja aviona, tada je potrebno početi dobiti jednadžbu χ ravnine i izračunati željenu udaljenost pomoću bilo koje metode.

Primer 2.

U trodimenzionalnom prostoru tačke su postavljene sa koordinate M 1 (5, - 3, 10), a (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1). Izračunajte udaljenost od M 1 do ravnine A u C.

Odluka

Za početak, potrebno je zabilježiti jednadžbu aviona koja prolazi kroz tri boda koordinata M 1 (5, - 3, 10), a (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - jedno).

x - 0 Y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 \u003d 0 ⇔ xy - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 \u003d 0 ⇔ ⇔ - - 8 x + 4 y - 20 z + 12 \u003d 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0

Odavde slijedi da zadatak ima slično rješenje za prethodni. To znači da je udaljenost od tačke m 1 do ravnine A u C ima vrijednost 2 30.

Odgovor: 2 30.

Pronalaženje udaljenosti od određene točke u avionu ili u avion s kojom su paralelni, prikladniji, primjenjujući formulu M 1 H 1 \u003d cos λ · y 1 + cos γ γ · z 1 - cos γ γ · z 1 - p . Odavde dobijamo da se normalne jednadžbe aviona dobivaju u nekoliko radnji.

Primjer 3.

Pronađite udaljenost od navedene točke koordinata M 1 (- 3, 2, - 7) do koordinatne ravnine X u Z i avioni koji je data jednadžba 2 y - 5 \u003d 0.

Odluka

Koordinatni ravnini o u Z odgovara jednadžbi vrsta x \u003d 0. Za avion o z, normalno je. Stoga je potrebno zamijeniti lijevo od vrijednosti izraza X \u003d - 3 i uzmite modul vrijednosti udaljenosti od točke koordinata M 1 (- 3, 2, - 7) u avion. Dobivamo vrijednost jednaku 3 \u003d 3.

Nakon konverzije, normalna jednadžba aviona 2 y - 5 \u003d 0 bit će pregledana y - 5 2 \u003d 0. Tada možete pronaći željenu udaljenost od točke koordinata M 1 (- 3, 2, - 7) do aviona 2 y - 5 \u003d 0. Zamjena i izračunavanje, dobivamo 2 - 5 2 \u003d 5 2 - 2.

Odgovor: Željena udaljenost od m 1 (- 3, 2, - 7) do o u Z ima vrijednost 3, a do 2 y - 5 \u003d 0 je 5 2 - 2.

Ako primijetite grešku u tekstu, odaberite ga i pritisnite Ctrl + Enter

, Takmičenje "Prezentacija na lekciju"

Klasa: 11

Prezentacija na lekciju

Naprijed

Pažnja! Pregledi za pregled koristi se isključivo u informativne svrhe i ne može pružiti ideje o svim mogućnostima prezentacije. Ako vas zanima ovaj posao, preuzmite punu verziju.

Ciljevi:

generalizacija i sistematizacija znanja i vještina učenika;
razvoj vještina za analizu, usporedbu, izvlačenje zaključaka.

Oprema:

multimedijalni projektor;
kompjuter;
listovi sa zadacima Tekstovi

Zanimanje strukture

I. Organizacioni trenutak

II. Faza aktualizacije znanja (Slajd 2)

Ponavljamo kako se utvrđuje udaljenost od točke do aviona.

III. Predavanje (6-15 razreda)

U razredu smatramo raznim načinima da pronađemo udaljenost od točke u avion.

Prva metoda: faze-računski

Udaljenost od točke M do aviona α:
- jednak udaljenosti do ravnine α sa proizvoljne tačke p leži na direktnom A, koji prolazi kroz tačku m i paralelno sa α avionom;
- jednaka udaljenosti do ravnine α sa proizvoljne tačke P leži u avionu β, koji prolazi kroz tačku m i paralelno s avionom α.

Neka sljedeći zadaci:

№1. Na Kubi A ... D 1 Pronađite udaljenost od tačke od 1 do aviona AB 1 C.

Ostaje za izračunavanje dužine dužine segmenta od 1 N.

№2. U ispravnom šesterokutnom prizmu a ... F 1, čiji su svi rubovi od 1, dobivaju udaljenost od točke A do ravnine DEA 1.

Sljedeća metoda: volumen metode.

Ako je volumen AVSM piramide jednak V, tada se udaljenost od mjesta m do ravnine α koja sadrži δavs izračunava formula ρ (m; α) \u003d ρ (m; avc) \u003d
Prilikom rješavanja problema koristimo jednakost količine jedne brojke, izražene na dva različita načina.

Navedite sljedeći zadatak:

№3. Ad Pyramid Dabc je okomit na ravninu baze ABC-a. Pronađite udaljenost od aviona koja prolazi kroz sredinu rebra AU, AC i oglas, ako.

Prilikom rješavanja zadataka koordinata metoda Udaljenost od tačke M do ravnine α može se izračunati formulom ρ (m; α) \u003d gdje m (x 0; y 0; z 0), a avion je postavljen od jednadžbe AX + by + CZ + D \u003d 0

Navedite sljedeći zadatak:

№4. U jednoj kocki A ... D 1, uzmite udaljenost od tačke A 1 do ravnine VDC 1.

Uvodemo koordinatni sistem s početkom u točki A, osi će proći uz rebranu AU, osi x uz ivicu oglasa, osi z - duž ivice AA 1. Zatim koordinate točaka u (0; 1; 0) d (1; 0; 0;) c 1 (1; 1; 1)
Napravit ćemo jednadžbu aviona koji prolazi kroz bodove B, D, C 1.

Zatim - DX - DY + DZ + D \u003d 0 x + Y - Z - 1 \u003d 0. Stoga, ρ \u003d

Sljedeća metoda koja se može koristiti prilikom rješavanja zadataka ove vrste - način referentnih zadataka.

Upotreba ove metode je primjena poznatih zadataka podrške koji su formulirani kao teoremi.

Navedite sljedeći zadatak:

№5. Na jednoj kubi a ... D 1, unesite udaljenost od tačke d 1 do aviona AB 1 S.

Razmotrite aplikaciju vektorska metoda.

№6. U jednoj kocki ... D 1, uzmite udaljenost od točke A 1 do ravnine VC 1.

Dakle, pogledali smo različite načine koji se mogu koristiti prilikom rješavanja ove vrste zadataka. Izbor ove ili te metode ovisi o specifičnom zadatku i vašim željama.

IV. Rad u grupama

Pokušajte riješiti problem na različite načine.

№1. Kuba A ... D 1 je jednaka. Pronađite udaljenost od vrha do BDC 1 ravnine.

№2. U desnoj tetrahedra AVD-a s rubom dobijte udaljenost od točke A do BDC ravnine

№3. U ispravnom trokutastom prizmu ABSA 1 u 1 S 1 od svih ivica od 1, pronađite udaljenost od aviona BCA 1.

№4. U ispravnoj četverođenoj sabcd piramidi, čiji su svi rubovi jednaki 1, pronalaze udaljenost od ravnine SCD-a.

V. Rezultat ishoda, domaći zadatak, odraz

Razmislite u prostoru neke ravnine π i proizvoljna tačka M 0. Odaberite za avion jedinica Normalni vektor N S. početak U nekom trenutku m 1 ∈ π, i pustite P (m 0, π) udaljenost od tačke m 0 do ravnine π. Zatim (Sl. 5.5)

p (m 0, π) \u003d | PR N M 1 M 0 | \u003d | Nm 1 m 0 |, (5.8)

od | n | \u003d 1.

Ako je avion Π postavljen u pravokutni koordinatni sustav sa zajedničkom jednadžbom AX + by + CZ + D \u003d 0, tada je njegov normalan vektor vektor s koordinatama (A; b; c) i kao jedan normalan vektor možete odabrati

Neka (x 0; y 0; z 0) i (x 1; y 1; z 1) koordinate točaka m 0 i m 1. Tada je jednakost sjekira 1 + po 1 + CZ 1 + D \u003d 0, jer tačka m 1 pripada ravnini, a koordinate vektora m 1 m 0: m 1 m 0 \u003d (x 0 -x 1 ; y 0 -y 1; z 0 -z 1). Pisanje skalarni proizvod NM 1 m 0 u koordinatnom obliku i pretvaranje (5.8), dobivamo

od AX 1 + za 1 + CZ 1 \u003d - D. Dakle, izračunajte udaljenost od točke u avion morate zamijeniti koordinate točke u općoj jednadžbi aviona, a zatim je apsolutna vrijednost rezultata podijeljeno na normaliziranje multiplikatora, jednako duljini odgovarajućeg normalnog vektora.

Neka bude avion . Izvodimo normalno
kroz porijeklo koordinata O. Neka
- uglovi formirani normalnim sa koordinatnim osi.
. Neka bude - Izrežite dužinu normalnog
pre raskrižja sa avionom. Pretpostavljanje poznatih zbinskih vodiča Normalno , povucite jednadžbu aviona .

Neka bude
) - avionski avion. Vektor samohrane normale ima koordinate. Pronalazimo projekciju vektora
u normalu.

Od poigra M. pripada avionu

Ovo je jednadžba date aviona koja se zove normalan .

Udaljenost od točke do aviona

Neka se avion dam ,M.*
- tačka prostora, d. - Njegova udaljenost od aviona.

Definicija. Odstupanje bodovi M * Iz aviona se zove broj ( + d.), ako a M.* nalazi se na drugoj strani iz aviona u kojoj se navodi pozitivan smjer , a broj (- d.) Ako se tačka nalazi na drugoj strani ravnine:

Teorema. Pustiti avion sa jednom normalnom postavi normalnom jednadžbom:

Neka bude M.*
- Odstupanje prostora za tačku t. M.* iz aviona je postavljen kao izraz

Dokazi. Projekcija t.
* Normalno označava TUŽILAC WHITING - PITANJE:. Odstupanje M * iz aviona je jednak

Pravilo. Naći odstupanje t. M.* Iz aviona je potrebno zamijeniti koordinate aviona u normalnoj jednadžbi. M.* . Udaljenost od točke do aviona je .

Dovodeći opću jednadžbu aviona u normalu

Neka se ista avina daju dvije jednadžbe:

Opća jednadžba

Normalna jednadžba.

Budući da obje jednadžbe određuju jednu ravninu, njihovi koeficijenti su proporcionalni:

Prva tri jednakost podignuta su u kvadrat i savijaju:

Odavde ćemo pronaći - Normaliziranje multiplikatora:

. (10)

Pomnožavanje opće jednadžbe aviona na normaliziranje multiplikatora, dobivamo normalnu jednadžbu ravnine:

Primjeri zadataka na temi "avion".

Primjer 1. Napraviti jednadžbu aviona prolazeći kroz navedenu točku
(2,1, -1) i paralelni avion.

Odluka. Normalno za avion :
. Budući da je avion paralelan, onda normalan je i normalan do željene ravnine . Korištenje jednadžbe aviona koja prolazi kroz navedenu točku (3), dobivamo za avion jednadžba:

Odgovor:

Primer 2. Baza okomiče, spuštena je s početka koordinata u avionu , je li poenta
. Pronađite jednadžbu ravnine .

Odluka. Vektor
je normalan u avion . Tačka M. 0 pripada avionu. Možete koristiti jednadžbu aviona koji prolazi kroz navedenu točku (3):

Odgovor:

Primjer 3. Izgraditi avion prolazak

i okomito ravnina :.

Stoga, tako da neki trenutak M. (x., y., z.) pripadao avionu , potrebno je da tri vektor
bilo je pretinca:

=0.

Ostaje da otkrije odrednica i vodi izraz dobiven prema vrsti opće jednadžbe (1).

Primjer 4. Avion postavite ukupnu jednadžbu:

Pronađite tačku
iz određenog aviona.

Odluka. Predstavljamo jednadžbu aviona u normalan oblik.

Zamjena u dobivenoj normalnoj jednadžbi koordinatne točke M *.

Odgovor:
.

Primjer 5. Da li se prelazi ravni segmentni ravni.

Odluka. Izrezati Au Prekriženi avion, odstupanja i iz aviona mora imati različite znakove:

Primjer 6. Sjecište od tri aviona u jednom trenutku.

Sistem ima jedinstveno rješenje, dakle, tri aviona imaju jednu zajedničku točku.

Primjer 7. Pronalaženje bisektora na dihedralnom uglu formirane od strane dva unaprijed određena aviona.

Neka bude i - odstupanje od neke tačke
iz prvih i drugih aviona.

Na jednom od bisektora aviona (što odgovara uglu u kojem je porijeklo početak koordinate), ta su odstupanja jednaka modulu i znaku, a na drugom su jednakim modulu i suprotni su znak.

Ovo je jednadžba prve bisekturalne ravnine.

Ovo je jednadžba druge bisekturalne ravnine.

Primjer 8. Određivanje lokacije dvije tačke podataka i u odnosu na DUGRANske uglove formirane ovim avionima.