Teorija ograničenja jedan je od dijelova matematičke analize. Pitanje rješenja granica prilično je opsežno, jer ima desetine odluka rješenja različitih vrsta. Postoje desetine nijansi i trikova koji vam omogućavaju rješavanje jedne ili druge granice. Međutim, još uvijek pokušavamo razumjeti glavne vrste ograničenja koja su najčešća u praksi.
Započnimo sa samim konceptom ograničenja. Ali prvo kratka povijesna referenca. Živeo je u 19. stoljeću, Francuski Augusten Louis Cauch, koji je postavio temelje matematičke analize i dao stroge definicije, određivanje ograničenja, posebno. Moram reći da je ovo vrlo kauchy sanjao, sanjao i odbit će noćne snove svim studentima fizičkih i matematičkih fakulteta, jer se pokazao ogromnim brojem teorema matematičke analize, a jedna teorema je odvratna druga. S tim u vezi, nećemo uzeti u obzir strogo određivanje granice i pokušati napraviti dvije stvari:
1. Shvatite šta je granica.
2. Naučite rješavati glavne vrste granica.
Izvinjavam se zbog nepodobnog objašnjenja, važno je da je materijal razumljiv čak i na čajnik, koji je u stvari zadatak projekta.
Pa šta je granica?
I odmah primjer, koji baka trese ....
Svaka granica sastoji se od tri dijela:
1) Sve poznate granične značke.
2) zapisi pod ograničenjem ikone, u ovom slučaju. Rekord čitanje "x teže jednom." Najčešće - precizno, iako umjesto "Ikse" u praksi postoje i druge varijable. U praktičnim zadacima na mjestu jedinice može biti potpuno bilo koji broj, kao i beskonačnost ().
3) Funkcije pod znakom granice, u ovom slučaju.
Snimite sam 
Čita se ovako: "Granica funkcije na x traži jedan."
Mi ćemo analizirati sljedeće važno pitanje - šta izraz "x nastojati jedinici "? I kakvu "traži"?
Koncept ograničenja je koncept, ako to možete reći dinamičan. Izgrađujemo redoslijed: prvo, onda ,, ..., 
, ….
To je izraz "x nastojati u jedinstvo "treba shvatiti kao" X "dosljedno uzima vrijednosti, koji su beskonačno bliski jednoj i gotovo se podudaraju s tim.
Kako riješiti gornji primjer? Na osnovu prethodnog, potrebno je jednostavno zamijeniti jedinicu u funkciju koja stoji pod znakom granice:
Dakle, prvo pravilo: Kada se daje bilo koji ograničenje, samo pokušajte zamijeniti broj u funkciji.
Pogledali smo najjednostavniju granicu, ali oni se nalaze u praksi, a ne tako rijetko!
Primjer sa beskonačnošću:
Razumijemo šta? To je slučaj kada je neodređeno povećanje, to je, prvo, onda, onda, i tako dalje u beskonačnost.
I šta se događa u ovom trenutku sa funkcijom?
, , 
, …
Dakle: ako, funkcija traži minus beskonačnosti:
Približno gledano, prema našem prvom pravilu, umjesto "Iksa" zamjenjujemo beskonačnost i dobijamo odgovor.
Drugi primer sa beskonačnošću:
Opet počinjemo da se povećavamo u nedogled i pogledamo ponašanje funkcije: 
Zaključak: Kada se funkcija poveća u nedogled:
I još jedan niz primjera:
Molimo pokušajte samostalno analizirati sljedeće i zapamtiti najjednostavnije vrste granica:
, , , , 
, , , , 
,
Ako negdje ima sumnje, možete uzeti kalkulator u ruke i malo potrajati.
U slučaju da, pokušajte izgraditi niz ,, Ako onda,.
Napomena: Strogo govoreći, ovaj pristup izgradnji nizova iz nekoliko brojeva nije tačan, ali prilično je pogodan za razumijevanje najjednostavnijih primjera.
Takođe obratite pažnju na sljedeću stvar. Čak i ako je granica data s velikim brojem na vrhu, da, čak i sa milion: sve je isto 
Otkako prije ili kasnije "x" će preuzeti takva gigantska značenja da će milion u odnosu na njih biti najpouzdaniji mikrobe.
Šta treba pamtiti i razumjeti iz prethodnog?
1) Kada se daje bilo koji ograničenje, samo pokušajte zamijeniti broj u funkciju.
2) morate razumjeti i odmah riješiti najjednostavnije granice, poput 
, itd.
Sada ćemo pogledati grupu granica kada, a funkcija je frakcija, u brojevniku i naziva koji su polinomi
Primjer:
Izračunati granicu 
Prema našem pravilu, pokušajte zamijeniti beskonačnost u funkciju. Šta ćemo dobiti na vrhu? Beskonačnost. I šta se događa pri dnu? Takođe beskonačnost. Dakle, imamo takozvanu nesigurnost vrsta. Bilo bi to moguće misliti i odgovor je spreman, ali uopće nije uopće, i morate primijeniti neke odluke koje sada smatramo.
Kako riješiti granice ove vrste?
Prvo gledamo brojčanik i nalazimo se za visoku diplomu: 
Stariji stepen brojača je dva.
Sada gledamo na denominator i također se nalazimo na visokom stupnju: 
Stariji stepen nazivnika jednak je dva.
Tada odaberemo najstariji stupanj brojača i nazivnika: u ovom primjeru se podudaraju i jednaki dva puta.
Dakle, metoda rješenja je sljedeća: Da bi se otkrio neizvjesnost, numerator i nazivnik i nazivnik podijeli na viši stupanj.
Ovdje je kao, odgovor, a ne u svim beskonačnostima.
Šta je u osnovi važno u odlučivanju o rješenju?
Prvo, ukazujemo nesigurnost ako jeste.
Drugo, poželjno je prekinuti rješenje za srednju objašnjenja. Obično koristim znak, ne snosi matematičko značenje, ali označava da se rješenje prekine za posredni obrazloženje.
Treće, u granici je preporučljivo oženiti šta i gdje tražiti. Kad se posao napravi od ruke, prikladnije je to učiniti: 
Za ocjene je bolje koristiti jednostavnu olovku.
Naravno, ne možete ništa učiniti, ali tada će, možda, nastavnik primijetiti nedostatke u odluci ili počne postavljati dodatna pitanja o zadatku. Treba li ti?
Primjer 2.
Pronađite granicu 
Opet u brojevniku i nazivniku nalazimo se u vrhunsku diplomu: 
Maksimalni stepen numeričke: 3
Maksimalna diploma naziva: 4
Izabrati većina Vrijednost u ovom slučaju je četiri.
Prema našem algoritmu, otkriti neizvjesnost Podijelite brojčanik i nazivnik na.
Potpuni zadatak dizajna može izgledati ovako:
Podijelimo brojčanik i nazivnik na
Primjer 3.
Pronađite granicu 
Maksimalni stepen "Ikse" u brojevniku: 2
Maksimalni stepen "Iksa" u nazivniku: 1 (može se pisati kao)
Da biste otkrili nesigurnost, potrebno je podijeliti brojčanik i nazivnik na. Rastvor za završnu obradu može izgledati ovako:
Podijelimo brojčanik i nazivnik na
Prema zapisu, podrazumijeva se da se ne podijeli na nulu (podijeliti na nulu nemoguće je) i dijeliti na beskonačno mali broj.
Dakle, prilikom otkrivanja nesigurnosti možemo dobiti finale, nula ili beskonačnost.
Ograničenja sa nesigurnošću vrste i načinu rješavanja njih
Sljedeća grupa granica je nešto slično samo samo razmatranim granicama: u brojevniku i nazivniku su polinomi, ali "X" ne nastoji ne beskonačnošću, već konačni broj.
Primjer 4.
Riješite granicu 
Prvo pokušajte zamijeniti -1 u frakciji: 
U ovom slučaju se dobija takozvana nesigurnost.
Opće pravilo: Ako u brojevima i naziva ima polinoma, a postoji neizvjesnost gledišta, zatim za njegovo otkrivanje morate razgraditi brojčanik i nazivnik za množitelje..
Za to je najčešće potrebno riješiti kvadratnu jednadžbu i (ili) za korištenje formula skraćenim množenjem. Ako su ove stvari zaboravile, a zatim posjetite stranicu Matematičke formule i tablice i upoznajte se sa metodološkim materijalom Formula za školske tečajeve matematike. Uzgred, najbolje je ispisati, potrebno je vrlo često potrebno, a informacije iz papira se apsorbiraju bolje.
Dakle, mi rješavamo granicu 
Raširite brojčanik i nazivnik za množitelje
Da biste proširili brojčanika na množitelje, morate riješiti kvadratnu jednadžbu: 
Prvo pronađite diskriminator:
I kvadratni korijen od njega:.
Ako je diskriminant velik, na primjer, 361, koristimo kalkulator, funkciju ekstrakcije kvadratnih korijena nalazi se na najjednostavnijem kalkulatoru.
! Ako se korijen preuzme cilj (dobija se frakcijski zarezni zarez), vrlo je vjerovatno da se diskriminantno izračunava pogrešno ili u zadatku pogreške.
Dalje, pronalazimo korijenje: 
Na ovaj način:
Sve. Brojčanik na faktore je razgrađen.
Denominator. Dnominator je već najjednostavniji multiplikator, a nemoguće je pojednostaviti.
Očigledno da možete rezati:
Sada zamjenjujemo -1 u izrazu koji ostaje pod znakom granice:
Prirodno, u kontrolnom radu, na tabeli, ispit je toliko detaljan, odluka nikada ne slika. U završnoj verziji dizajn bi trebao izgledati ovako:
Raširite broj na množitelje. 
Primjer 5.
Izračunati granicu 
Prvo rešenje "završne obrade"
Raširite brojčanik i nazivnik za množitelje.
Brojčanik:
Denominator: 
, 
Šta je u ovom primjeru važno?
Prvo, morate shvatiti kako se brojčanik otkriva, prvo smo izvršili za nosač 2, a zatim koristili formulu kvadratne razlike. Ova formula treba znati i vidjeti.
Odluka
Odluka
Odluka
Odluka
Odluka
Odluka
Odluka
Odluka
Odluka
Odluka
Odluka
2. Izračunajte granicu numeričkog slijeda:
3. Izračunajte granicu numeričkog slijeda:
4. Izračunajte granicu numeričkog slijeda:
5. Izračunajte granicu numeričkog slijeda:
6. Izračunajte granicu numeričkog slijeda:
7. Izračunajte granicu numeričkog slijeda:
8. Izračunajte granicu numeričkog slijeda:
9. Izračunajte granicu numeričkog slijeda:
10. Izračunajte granicu numeričkog slijeda:
11. Izračunajte granicu numeričkog niza:
1) Iz brojeva i nazivnika dodjeljujemo multiplikator, što čini najveći doprinos i smanjuje ga na njemu
2) U ovoj se vrsti primjera treba izvaditi u nazivniku iz korijena multiplikatora u najveću mjeru
3) Moramo ga staviti na najveći zajednički faktor
4) U ovom primjeru, raste značajno brže, tako da je istaknuto kao najviše faktor
5) vrijednosti i teže za nulu na. Na osnovu toga izračunajte granicu
Odluke većine takvih primjera je pronaći dominantan multiplikator. Ako se nalazi u brojevniku, granica je usmjerena na beskonačnost, u nazivniku - na nulu. I samo kada i tamo i tamo možete presjeći u ovaj multiplikatorski frakciju i dobiti granicu u obliku konstante.
Zadatak:
1. Rastavite odluke razmatranih primjera
2. Izračunajte sljedeće granice:
Odjeljak 2. Početak matematičke analize
(Nezavisni rad 48 sati.)
2.1. Derivati \u200b\u200bimplicitne funkcije (4 sata).
Primjer 1. Pronađite izvod za implicitnu funkciju
Odluka.Budući da je y funkcija od h.Tada ćemo razmotriti y 2. Kao složena funkcija od h.. Otuda ,. Diferencijacija po po H. Oba dijela ove jednadžbe, dobivamo, i.e.
Primjer 2. Pronađite implicitnu derivaciju funkcije
Odluka. Razlikovanje u H.
Primjer 3. Pronađite derivat implicitne funkcije
Odluka. Razlikovanje u H. Oba dijela ove jednadžbe, dobivaju
1. Pronađite derivat f '(x).
2. Pronađite stacionarne tačke ove funkcije, i.e. bodova u kojima
3. Pronađite drugi derivatni f '' (x).
4. Istražite znak drugog derivata u svakom od stacionarnih točaka. Ako istovremeno, drugi izvedenik neće biti negativan, tada funkcija u takvom trenutku ima maksimum i ako je pozitivna, tada minimum. Ako je drugi derivat nula, tada treba tražiti funkciju ekstremne vrijednosti koristeći prvi derivat.
5. Izračunajte vrijednosti funkcija na ekstremnim bodovima.
Primer. Istražite ekstremitet koristeći drugu derivatnu funkciju: F (x) \u003d x 2 - 2x - 3.
Rješenje: Pronađite derivat: F '(x) \u003d 2x - 2.
Rješavanje jednadžbe F '(x) \u003d 0, dobivamo stacionarnu tačku X \u003d 1. Sada ćemo pronaći drugi derivat: f '' (x) \u003d 2.
Od drugog derivata b) \u003d x 2 - 2x - 3. Stacionarna tačka je pozitivna, f '' (1) \u003d 2\u003e 0, a zatim na x \u003d 1, funkcija ima minimum: f min \u003d f (1) \u003d -4.
Odgovor: Minimalna točka ima koordinate (1; -4).
Zadaci.
1. Razmotrite i ne izmislite razmatrane rješenja za teme teme.
2. Istražite ekstremmu koristeći drugu derivatnu funkciju:
a) f (x) \u003d 1 - x 4;
b) f (x) \u003d x 3 - 1;
2.3. Aplikacija koja je izvedena za rješavanje fizičkih problema (11 sati).
2.4. Kompilacija križanja na temi "određeni integral"
2.5 Izračun zapremine karoserije i krivulje dužine luka (12 sati)
Prva divna granica odnose se na sljedeću jednakost:
\\ početi (jednadžba) \\ lim _ (\\ alfa \\ do (0)) \\ frac (\\ sin \\ alfa) (\\ alfa) \u003d 1 \\ end (jednadžba)
Od $ \\ alfa \\ do (0) $ ima $ \\ sin \\ alfa \\ do (0) $, tada se kaže da prva divna granica otkriva neizvjesnost tipa $ \\ frac (0) (0) $. Generalno gledano, u formuli (1) Umjesto varijable $ \\ alfa $ ispod znaka sinusa i bilo koji izraz može se nalaziti u nazivniku, - ako su izvršena samo dva uvjeta:
Takođe se koriste i istrage prvog prekrasnog ograničenja:
\\ počnite (jednadžba) \\ lim _ (\\ alfa \\ do (0)) \\ frac (\\ tg \\ alfa) (\\ alfa) \u003d 1 \\ end (jednadžba) \\ Počnite (jednadžba) \\ lim _ (\\ alfa \\ do ( 0)) \\ frac (\\ Arcsin \\ alfa) (\\ alfa) \u003d 1 \\ end (jednadžba) \\ Počnite (jednadžba) \\ lim _ (\\ alfa \\ do (0)) \\ frac (\\ arctg \\ alfa) (\\ alfa) ) \u003d 1 \\ end (jednadžba)
Jedanaest primjera rješava se na ovoj stranici. Primjer br. 1 posvećen je dokazu formula (2) - (4). Primjeri br. 2, br. 3, br. 4 i br. 5 sadrže rješenja s detaljnim komentarima. Primjeri br. 6-10 sadrže rješenja s gotovo bez komentara, jer su detaljna objašnjenja date u prethodnim primjerima. Prilikom rješavanja mogu se naći neke trigonometrijske formule.
Primjećujem da prisustvo trigonometrijskih funkcija s neizvjesnošću od $ \\ frac (0) (0) $ ne znači obaveznu upotrebu prvog izvanrednog ograničenja. Ponekad postoje dovoljno jednostavnih trigonometrijskih transformacija, na primjer, pogledajte.
Primjer №1
Dokažite da $ \\ lim _ (\\ alfa \\ do (0)) \\ frac (\\ tg \\ alfa) (\\ alfa) \u003d 1 $, $ \\ lim _ (\\ alfa \\ do (0)) \\ frac (\\ arcsin \\ Alfa) (\\ alfa) \u003d 1 $, $ \\ lim _ (\\ alfa \\ do (0)) \\ frac (\\ arctg \\ alfa) (\\ alfa) \u003d 1 $.
a) kao $ \\ tg \\ alfa \u003d \\ frac (\\ sin \\ alfa) (\\ cos \\ alfa) $, onda:
$$ \\ lim _ (\\ alfa \\ to (0)) \\ frac (\\ tg (\\ alfa)) (\\ alfa) \u003d \\ lijevo | \\ frac (0) (0) \\ desno | \u003d \\ Lim _ (\\ alfa \\ do (0)) \\ frac (\\ grijeh (\\ alfa)) (\\ alfa \\ cos (\\ alfa) $$) $$
Od $ \\ lim _ (\\ alfa \\ do (0)) \\ cos (0) \u003d 1 $ i $ \\ lim _ (\\ alfa \\ do (0)) \\ frac (\\ sin \\ alfa) (\\ alfa) \u003d 1 $, onda:
$$ \\ lim _ (\\ alfa \\ do (0)) \\ frac (\\ sin (\\ alfa)) (\\ alfa \\ cos (\\ alfa)) \u003d \\ frac (\\ displac \\ lim _ (\\ alfa \\ do (0 )) \\ Frac (\\ Sin (\\ alfa)) (\\ alfa)) (\\ dispha)) (\\ displaystyle \\ lim _ (\\ alfa \\ do (0)) \\ cos (\\ alfa)) \u003d \\ frac (1) \u003d 1 . $$.
b) Zamijenit ćemo $ \\ alfa \u003d \\ grijeh (y) $. Od $ \\ grijeh (0) \u003d 0 $, zatim od stanja $ \\ alfa \\ do (0) $ Imamo $ y \\ do (0) $. Pored toga, postoji susjedstvo nule, u kojem $ \\ arcsin \\ alfa \u003d \\ arcsin (\\ grijeh (y)) \u003d y $, pa:
$$ \\ lim _ (\\ alfa \\ do (0)) \\ frac (\\ arcsin \\ alfa) (\\ alfa) \u003d \\ lijevo | \\ frac (0) (0) \\ desno | \u003d \\ Lim_ (y \\ to (0)) \\ frac (y) (\\ grijeh (y)) \u003d \\ lim_ (y \\ do (0)) \\ frac (1) (\\ frac (\\ frac (y) y)) \u003d \\ frac (1) (\\ displaclstyle \\ lim_ (y \\ to (0)) \\ frac (\\ grijeh (y)) (y)) \u003d \\ frac (1) (1) \u003d 1. $$.
Ravnopravnost $ \\ lim _ (\\ alfa \\ do (0)) \\ frac (\\ arcsin \\ alfa) (\\ alfa) \u003d 1 $ je dokazano.
c) Zamijenit ćemo $ \\ alpha \u003d \\ tg (y) $. Od $ \\ tg (0) \u003d 0 $, tada su uvjeti $ \\ alfa \\ do (0) $ i $ y \\ do (0) $ ekvivalentni. Pored toga, postoji susjedstvo nule, u kojem $ \\ arctg \\ alfa \u003d \\ arctg \\ tg (y)) \u003d y $, dakle, oslanjajući se na rezultate stavka A), imaćemo:
$$ \\ lim _ (\\ alfa \\ to (0)) \\ frac (\\ arctg \\ alfa) (\\ alfa) \u003d \\ lijevo | \\ frac (0) (0) \\ desno | \u003d \\ Lim_ (y \\ to (0)) \\ frac (y) (\\ tg (y)) \u003d \\ lim_ (y \\ do (0)) \\ frac (1) (\\ frac (\\ frac (\\ frak (y)) ( y)) \u003d \\ frac (1) (\\ displaystyle \\ lim_ (y \\ to (0)) \\ frac (\\ tg (y)) (y)) \u003d \\ frac (1) (1) \u003d 1. $$.
Ravnopravnost $ \\ lim _ (\\ alfa \\ to (0)) \\ frac (\\ arctg \\ alfa) (\\ alfa) \u003d 1 $ je dokazano.
Jednakost a), b), c) se često koriste zajedno sa prvom prekrasnom granicom.
Primjer broj 2.
Izračunajte granicu od $ \\ lim_ (x \\ do (2)) \\ frac (\\ sin \\ lijevo (\\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \\ desno)) (\\ frac (x ^ 2-4) ) (X + 7)) $.
Od $ \\ lim_ (x \\ do (2)) \\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \u003d \\ frac (2 ^ 2-4) (2 + 7) \u003d 0 $ i $ \\ lim_ (x \\ do (2)) \\ sin \\ lijevo (\\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \\ desno) \u003d \\ grijeh (0) \u003d 0 $, tj A brojčanik i nazivnik fraratije istovremeno teže nuli, a zatim se ovdje bavimo neizvjesnošću tipa $ \\ frača (0) (0) $, tj. Gotovo. Pored toga, može se vidjeti da izrazi ispod znaka sinusa i nazivnik podudaraju (i.e. i):
Tako su oba navedena oba uvjeta na početku stranice ispunjena. Iz ovoga slijedi da je formula primenljiva, i.e. $ \\ lim_ (x \\ do (2)) \\ frac (\\ sin \\ lijevo (\\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \\ desno)) (\\ frac (x ^ 2-4) (x + 7)) \u003d 1 $.
Odgovoriti: $ \\ lim_ (x \\ do (2)) \\ frac (\\ sin \\ lijevo (\\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \\ desno)) (\\ frac (x ^ 2-4) (x +7)) \u003d 1 USD.
Primjer broj 3.
Pronađite $ \\ lim_ (x \\ do (0)) \\ frac (\\ grijeh (9x)) (x) $.
Od $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ grijeh (9x) \u003d 0 $ i $ \\ lim__ (x \\ do (0)) x \u003d 0 $, a zatim se bavimo neizvjesnošću tipa $ \\ frača (0) (0) $, I.E. Gotovo. Međutim, izrazi pod potpisom sinusa i u nazivniku se ne podudaraju. Ovdje trebate prilagoditi izraz u nazivnika u željenom obliku. Potreban nam je 9x $ izraz u nazivniku, onda to postaje istina. U stvari, nedostaje mu množitelja u iznosu od 9 dolara u nazivniku, što nije tako teško ući, jednostavno se pomnoži izraz u nazivnika za 9 $. Naravno, nadoknaditi umnožavanje za 9 $ USD će biti odmah od 9 $ i podijeljeno:
$$ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ grijeh (9x)) (x) \u003d \\ lijevo | \\ frac (0) (0) \\ desno | \u003d \\ Lim_ (x \\ do (0)) \\ frac (\\ grijeh (9x)) (9x \\ cdot \\ frac (1) (9)) \u003d 9 \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ grijeh) (9x)) (9x) $$
Sada se izrazi u nazivniku i sinusni znak podudaraju. Oba su uvjeta za granicu od $ \\ lim_ (x \\ do (0)) \\ frac (\\ grijeh (9x)) (9x) $ izrađuje se. Slijedom toga, $ \\ lim_ (x \\ do (0)) \\ frac (\\ grijeh (9x)) (9x) \u003d 1 $. A to znači da:
$$ 9 \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ grijeh (9x)) (9x) \u003d 9 \\ cdot (1) \u003d 9. $$.
Odgovoriti: $ \\ lim_ (x \\ do (0)) \\ frac (\\ grijeh (9x)) (x) \u003d 9 $.
Primjer broj 4.
Pronađite $ \\ lim_ (x \\ do (0)) \\ frac (\\ grijeh (5x)) (\\ tg (8x)) $.
Od $ \\ lim_ (x \\ do (0)) \\ grijeh (5x) \u003d 0 $ i $ \\ lim__ (x \\ do (0)) \\ tg (8x) \u003d 0 $, evo se bavimo neizvjesnošću tipa $ \\ Frac (0) (0) $. Međutim, obrazac prve izvanredne granice je prekršen. Brojčanik koji sadrži $ \\ grijeh (5x) $ zahtijeva $ 5x $ denominator. U ovoj situaciji najlakši način za podešavanje brojača za 5x $, a odmah 5x za množenje. Pored toga, učinit ćemo sličnu operaciju i sa nazivom, dominirati i dijeliti $ \\ tg (8x) $ 8x $:
$$ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ grijeh (5x)) (\\ tg (8x)) \u003d \\ lijevo | \\ frac (0) (0) \\ desno | \u003d \\ Lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ frac (\\ grijeh (5x)) (5x) \\ CDOT (5x)) (\\ frac (\\ tg (8x)) (8x) \\ CDOT (8x) \\ CDOT (8x) ) $$.
Smanjen za $ X $ i izrada konstantne $ \\ frac (5) (8) $ za granicu, dobivamo:
$$ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ frac (\\ grijeh (5x)) (5x) \\ CDOT (5x)) (\\ frac (\\ tg (8x)) (8x) \\ CDOT (8x) )) \u003d \\ Frac (5) (8) \\ CDOT \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ frac (\\ grijeh (5x)) (\\ frac (\\ tg (8x (8x)) ( 8x)) $$
Imajte na umu da $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ grijeh (5x)) (5x) $ u potpunosti ispunjava zahtjeve za prvu izvanrednu granicu. Za pronalaženje $ \\ lim_ (x \\ do (0)) \\ frac (\\ tg (8x)) (8x) $, formula je primjenjivo:
$$ \\ frac (5) (8) \\ CDOT \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ frac (\\ grijeh (5x)) (5x)) (\\ frac (\\ tg (8x)) (8x) )) \u003d \\ Frac (5) (8) \\ CDOT \\ frac (\\ Displaystyle \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ grijeh (5x)) (5x)) (\\ consctionstyle \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ tg (8x)) (8x)) \u003d \\ frac (5) (8) \\ CDOT \\ frac (1) (1) \u003d \\ frac (5) (8). $$.
Odgovoriti: $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ grijeh (5x)) (\\ tg (8x)) \u003d \\ frac (5) (8) $.
Primjer broj 5.
Pronađite $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ cos (5x) - \\ cos ^ 3 (5x)) (x ^ 2) $.
Od $ \\ lim_ (x \\ do (0)) (\\ cos (5x) - \\ cos ^ 3 (5x)) \u003d 1-1 \u003d 0 $ (podsjetit ću vas da $ \\ cos (0) \u003d 1 $) i $ \\ lim_ (x \\ to (0)) x ^ 2 \u003d 0 $, onda se bavimo neizvjesnošću tipa $ \\ frača (0) (0) $. Međutim, da biste primijenili prvu divnu limit da biste se riješili kosinus u brojevniku, odlaskom na sinus (kako bi tada primijenili formulu) ili tangenti (za primjenu formule). To možete učiniti u takvoj konverziji:
$$ \\ cos (5x) - \\ cos ^ 3 (5x) \u003d \\ cos (5x) \\ CDOT \\ lijevo (1- \\ cos ^ 2 (5x) \\ desno) $$$$ \\ cos (5x) - \\ cos (5x) - \\ cos ^ 3 (5x) \u003d \\ cos (5x) \\ CDOT \\ lijevo (1- \\ cos ^ 2 (5x) \\ desno) \u003d \\ cos (5x) \\ CDOT \\ Sin ^ 2 (5x). $$
Vratimo se na granicu:
$$ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ cos (5x) - \\ cos ^ 3 (5x)) (x ^ 2) \u003d \\ lijevo | \\ frac (0) (0) \\ desno | \u003d \\ Lim_ (x \\ do (0)) \\ frac (\\ cos (5x) \\ CDOT \\ Sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) \u003d \\ lim_ (x \\ do (0)) \\ lijevo (\\ cos (5x) \\ CDOT \\ FRAC (\\ SIN ^ 2 (5x)) (x ^ 2) \\ desno) $$
Frakcija $ \\ frac (\\ Sin ^ 2 (5x)) (X ^ 2) $ već je blizu tog oblika, što je potrebno za prvu izvanrednu granicu. Lagano ćemo raditi u frakciji od $ \\ frac (\\ Sin ^ 2 (5x)) (X ^ 2) $, uzrokujući ga na prvu divnu granicu (imajte na umu da izrazi u brojevniku i sinusu moraju podudarati):
$$ \\ frac (\\ Sin ^ 2 (5x)) (X ^ 2) \u003d \\ frac (\\ Sin ^ 2 (5x)) (25x ^ 2 \\ CDOT \\ frac (1) (25)) \u003d 25 \\ CDOT \\ Frac (\\ Sin ^ 2 (5x)) (25x ^ 2) \u003d 25 \\ CDOT \\ LEF (\\ FRAC (\\ SIN (5x)) (5x) \\ desno) ^ 2 $$
Vratimo se na granicu pod pregledanjem:
$$ \\ lim_ (x \\ do (0)) \\ lijevo (\\ cos (5x) \\ CDOT \\ frac (\\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) \\ desno) \u003d \\ lim_ (0 )) \\ lijevo (25 \\ cos (5x) \\ CDOT \\ lijevo (\\ frac (\\ grijeh (5x)) (5x) \\ desno) ^ 2 \\ desno) \u003d \\\\ \u003d 25 \\ cdot \\ lim_ (x \\ do ( 0)) \\ cos (5x) \\ CDOT \\ lim_ (x \\ do (0)) \\ lijevo (\\ frac (\\ grijeh (5x)) (5x) \\ desno) ^ 2 \u003d 25 \\ CDOT (1) \\ CDOT (1) \\ CDOT (1) \\ CDOT (1) \\ CDOT (1) \\ CDOT (1) \\ CDOT (1) \\ CDOT (1) \\ CDOT (1) \\ CDOT (1) \\ CDOT (1) \\ CDOT ( 1 ^ 2) \u003d 25. $$.
Odgovoriti: $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ cos (5x) - \\ cos ^ 3 (5x)) (x ^ 2) \u003d 25 $.
Primjer broj 6.
Pronađite granicu od $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (1- \\ cos (6x)) (1- \\ cos (2x)) $.
Od $ \\ lim_ (x \\ do (0)) (1- \\ do (6x)) \u003d 0 $ i $ \\ lim_ (x \\ to (0)) (1- \\ cos (2x)) \u003d 0 $, mi bave se neizvjesnošću od $ \\ frac (0) (0) $. Prisjetite se uz pomoć prve izvanredne granice. Da to učinim, idemo iz Cosinea do Sinusa. Od $ 1- \\ cos (2 \\ alfa) \u003d 2 \\ sin ^ 2 (\\ alfa) $, onda:
$$ 1- \\ cos (6x) \u003d 2 \\ sin ^ 2 (3x); \\; 1- \\ cos (2x) \u003d 2 \\ sin ^ 2 (x). $$
Uključivanje navedenog ograničenja u sinus, imat ćemo:
$$ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (1- \\ cos (6x)) (1- \\ cos (2x)) \u003d \\ lijevo | \\ frac (0) (0) \\ desno | \u003d \\ Lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (2 \\ sin ^ 2 (3x)) (2 \\ sin ^ 2 (x)) \u003d \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ grijeh ^) 2 (3x)) (\\ Sin ^ 2 (x)) \u003d \\\\ \u003d \\ lim_ (x \\ do (0)) \\ frac (\\ frac (\\ sin ^ 2 (3x)) ((3x) ^ 2) \\ CDOT (3x) ^ 2) (\\ frac (\\ sin ^ 2 (x)) (x ^ 2) \\ CDOT (x ^ 2)) \u003d \\ lim_ (x \\ do (0)) \\ frac (\\ lijevo (\\ lijevo ( Frac (\\ grijeh (3x)) (3x) \\ desno) ^ 2 \\ CDOT (9x ^ 2)) (\\ lijevo (\\ frac (\\ grijeh (x)) ^ 2 \\ CDOT (x ^ 2)) \u003d 9 \\ CDOT \\ FRAC (\\ Displaystyle \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ lijevo (\\ frac (\\ grijeh (3x)) (3x) \\ desno) ^ 2) (\\ displystyle \\ lim_ (x \\ Do (0)) \\ lijevo (\\ frac (\\ grijeh (x)) (x) \\ desno) ^ 2) \u003d 9 \\ CDOT \\ frac (1 ^ 2) (1 ^ 2) \u003d 9. $$.
Odgovoriti: $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (1- \\ cos (6x)) (1- \\ cos (2x)) \u003d 9 $.
Primjer broj 7.
Izračunajte granicu od $ \\ lim_ (x \\ do (0)) \\ frac (\\ cos (\\ alfa (x)) - \\ cos (\\ beta (x))) (x ^ 2) $ pod uvjetom $ \\ alfa \\ neq \\ beta $.
Detaljna objašnjenja prethodno su prikazana, evo, jednostavno ima napomenu da je neizvjesnost od $ \\ frac (0) (0) $ ponovno prisutna. Idemo iz Cosinea do sinusa koristeći formulu
$$ \\ cos \\ alfa- \\ cos \\ beta \u003d -2 \\ sin \\ frac (\\ alfa + \\ beta) (2) \\ CDOT \\ SIN \\ FRAC (\\ alfa- \\ beta) (2). $$
Upotreba navedene formule, dobivamo:
$$ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ cos (\\ alfa (x)) - \\ cos (\\ beta (x))) (x ^ 2) \u003d \\ lijevo | \\ frac (0) ( 0) \\ desno | \u003d \\ Lim_ (x \\ do (0)) \\ frac (-2 \\ sin \\ frac (\\ alfa (x) + \\ beta (x)) (2) \\ CDOT \\ SIN \\ FRAC (\\ alfa (x) - \\ Beta (x)) (2)) (x ^ 2) \u003d \\\\ \u003d -2 \\ cdot \\ lim_ (x \\ do (0)) \\ frac (\\ sin \\ lijevo (x \\ cdot \\ frac (\\ alfa + \\ Beta) (2) \\ desno) \\ CDOT \\ Sin \\ lijevo (X \\ CDOT \\ FRAC (\\ alfa- \\ beta) (2) \\ desno)) (x ^ 2) \u003d -2 \\ cdot \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ lijevo (\\ frac (\\ sin \\ lijevo (x \\ cdot \\ frac (\\ alfa + \\ beta) (2) \\ desno)) (x) \\ CDOT \\ FRAC (\\ Sin \\ lijevo (x \\ cdot \\ lijevo) \\ Frac (\\ alfa- \\ beta) (2) \\ desno)) (x) \\ desno) \u003d \\\\ \u003d -2 \\ cdot \\ lim_ (x \\ do (0)) \\ lijevo (\\ frac \\ \\ sin \\ lijevo (X \\ CDOT \\ FRAC (\\ alfa + \\ beta) (2) \\ desno)) (x \\ CDOT \\ FRAC (\\ alfa + \\ beta) (2)) \\ CDOT \\ frac (\\ alfa + \\ beta) (2 ) \\ CDOT \\ FRAC (\\ Sin \\ lijevo (X \\ CDOT \\ FRAC (\\ alfa- \\ beta) (2) \\ desno)) (X \\ CDOT \\ FRAC (\\ alfa- \\ beta) (2)) \\ CDOT \\ Frac (\\ alfa- \\ beta) (2) \\ desno) \u003d \\\\ \u003d - \\ frac ((\\ alfa + \\ beta) \\ CDOT (\\ alfa- \\ beta)) (2) \\ lim_ (x \\ do (0 )) \\ Frac (\\ sin \\ lijevo (x \\ cdot \\ frac (\\ alfa + \\ beta) (2) \\ desno)) (x \\ cdot \\ frac (\\ alfa + \\ beta) (2)) \\ CDOT \\ lim_ (X \\ do (0)) \\ frac (\\ sin \\ lijevo (x \\ cdot \\ frac (\\ alfa- \\ beta) (2) \\ desno)) (x \\ cdot \\ frac (\\ alfa- \\ beta) (2 )) \u003d - \\ frac (\\ alfa ^ 2- \\ beta ^ 2) (2) \\ CDOT (1) \\ CDOT (1) \u003d \\ frac (\\ beta ^ 2- \\ alfa ^ 2) (2). $$.
Odgovoriti: $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ frac (\\ cos (\\ alfa (x)) - \\ cos (\\ beta (x))) (x ^ 2) \u003d \\ frac (\\ beta ^ 2- \\ Alpha ^ 2) (2) $.
Primjer broj 8.
Pronađite granicu od $ \\ lim_ (x \\ do (0)) \\ frac (\\ tg (x) - \\ grijeh (x)) (x ^ 3) $.
Od $ \\ lim_ (x \\ do (0)) (\\ tg (x) - \\ grijeh (x)) \u003d 0 $ (podsjetite vas da $ \\ grijeh (0) \u003d 0 $) i $) \\ lim_ (x \\ do (0)) x ^ 3 \u003d 0 $, ovdje se bavimo neizvjesnošću tipa $ \\ fraca (0) (0) $. Otkrićemo ga kako slijedi:
$$ \\ lim_ (x \\ do (0)) \\ frac (\\ tg (x) - \\ grijeh (x)) (x ^ 3) \u003d \\ lijevo | \\ frac (0) (0) \\ desno | \u003d \\ Lim_ (x \\ do (0)) \\ frac (\\ frac (\\ grijeh (x)) (\\ cos (x)) - \\ grijeh (x)) (x ^ 3) \u003d \\ lim_ (x \\ to ( 0)) \\ frac (\\ grijeh (x) \\ CDOT \\ lijevo (\\ frac (1) (\\ cos (x)) - 1 \\ desno)) (x ^ 3) \u003d \\ lim_ (x \\ do (0)) \\ Frac (\\ grijeh (x) \\ CDOT \\ lijevo (1- \\ cos (x) \\ desno)) (x ^ 3 \\ cdot \\ cos (x)) \u003d \\\\ \u003d \\ lim_ (x \\ do (0)) \\ Frac (\\ grijeh (x) \\ CDOT (2) \\ Sin ^ 2 \\ frac (x) (2)) (x ^ 3 \\ cdot \\ cos (x)) \u003d \\ frac (1) (2) \\ CDOT \\ Lim_ (x \\ do (0)) \\ lijevo (\\ frac (\\ grijeh (x)) (x) \\ cdot \\ lijevo (\\ frac (\\ sin \\ frac (x) (frac (x) (x) ( 2)) \\ desno) ^ 2 \\ CDOT \\ FRAC (1) (\\ cos (x)) \\ desno) \u003d \\ frac (1) (2) \\ CDOT (1) \\ CDOT (1 ^ 2) \\ CDOT (1) ) \u003d \\ Frac (1) (2). $$.
Odgovoriti: $ \\ lim_ (x \\ do (0)) \\ frac (\\ tg (x) - \\ grijeh (x)) (x ^ 3) \u003d \\ frac (1) (2) $.
Primjer broj 9.
Pronađite $ \\ lim__ (x \\ do (3)) \\ frac ((1- \\ cos (x-3)) ((x-3) \\ tg \\ frac (x-3) (2)) $.
Od $ \\ lim_ (x \\ do (3)) (1- \\ cos (x-3)) \u003d 0 $ i $ \\ lim_ (x \\ do (3)) (x-3) \\ tg \\ frac (x - 3) (2) \u003d 0 $, a zatim postoji neizvjesnost tipa $ \\ frac (0) (0) $. Prije nego što je prebacivanje na otkriće, pogodno je zamijeniti varijablu na takav način da nova varijabla žuri na nulu (imajte na umu da $ \\ alfa \\ do 0 $ varijabilne formule). Najlakši način za ulazak u varijablu t \u003d x-3 $. Međutim, radi praktičnosti daljnjih transformacija (ova korist može se vidjeti tokom dolje odluke) Vrijedno je napraviti takav zamjenu: $ t \u003d \\ frac (x-3) (2) $. Napominjem da su obje zamjene primjenjive u ovom slučaju, jednostavno će druga zamjena omogućiti manje rada sa frakcijama. Od $ x \\ do (3) $, zatim $ t \\ do (0) $.
$$ \\ lim_ (x \\ to (3)) \\ frac (1- \\ cos (x-3)) ((x-3) \\ tg \\ frac (x-3) (2)) \u003d \\ lijevo | \\ frac (0) (0) \\ desno | \u003d \\ Lijevo | \\ Počnite (usklađen) & t \u003d \\ frac (x-3) (2); \\\\ & t \\ do (0) \\ end (usklađen) \\ desno | \u003d \\ Lim_ (t \\ to (0)) \\ frac (1- \\ cos (2t)) (2t \\ cdot \\ tg (t)) \u003d \\ lim_ (t \\ do (0)) \\ frac (2 \\ sin ^) 2t) (2T \\ CDOT \\ TG (T)) \u003d \\ lim_ (t \\ to (0)) \\ frac (\\ sin ^ 2t) (t \\ cdot \\ tg (t)) \u003d \\\\ \u003d \\ lim_ (t \\ do (0)) \\ frac (\\ sin ^ 2t) (t \\ cdot \\ frac (\\ grijeh (t)) (\\ cos (t))) \u003d \\ lim_ (t \\ do (0)) \\ frac (\\ grijeh) (T) \\ co (t)) (t) \u003d \\ lim_ (t \\ do (0)) \\ lijevo (\\ frac (\\ grijeh (t)) (t) \\ cdot \\ cos (t) \\ desno) \u003d \\ Lim_ (t \\ to (0)) \\ frac (\\ grijeh (t)) (t) \\ cdot \\ lim_ (t \\ to (0)) \\ cos (t) \u003d 1 \\ cdot (1) \u003d 1. $$.
Odgovoriti: $ \\ lim_ (x \\ do (3)) \\ frac (1- \\ cos (x-3)) ((x-3) \\ tg \\ frac (x - 3) (2)) \u003d 1 $.
Primjer broj 10.
Pronađite limit $ \\ lim_ (x \\ to \\ frac (\\ pi) (2)) \\ frac (1- \\ grijeh (x)) (\\ lijevo (\\ pic (\\ pi) (2) -x \\ desno) ^ 2) $.
Bavimo se neizvjesnošću od $ \\ frac (0) (0) $. Prije nego što se prebaci na otkrivanje, pogodno je zamijeniti varijablu na takav način da će nova varijabla žuriti na nulu (imajte na umu da varijabilne formule $ \\ alfa \\ to (0) $). Najlakši način za unos varijable $ t \u003d \\ frac (\\ pi) (2) -x $ je isti. Od $ x \\ to \\ frac (\\ pi) (2) $, zatim $ t \\ do (0) $:
$$ \\ lim_ (x \\ to \\ frac (\\ pi) (2)) \\ frac (1- \\ grijeh (x)) (\\ lijevo (\\ frac (\\ pi) (2) -x \\ desno) ^ 2) \u003d \\ lijevo | \\ frac (0) (0) \\ desno | \u003d \\ Lijevo | \\ Počnite (poravnajte) & t \u003d \\ frac (\\ pi) (2) -x; \\\\ & t \\ do (0) \\ end (usklađen) \\ desno | \u003d \\ Lim_ (t \\ do (0)) \\ frac (1- \\ sin \\ lijevo (\\ frac (\\ pi) (2) -t \\ desno)) (t ^ 2) \u003d \\ lim_ (0 )) \\ Frac (1- \\ cos (t)) (t ^ 2) \u003d \\\\ \u003d \\ lim_ (t \\ do (0)) \\ frac (2 \\ sin ^ 2 \\ frac (t) (2)) ( T ^ 2) \u003d 2 \\ lim_ (t \\ do (0)) \\ frac (\\ sin ^ 2 \\ frac (t) (2)) (t ^ 2) \u003d 2 \\ lim_ (t \\ do (0)) \\ Frac (\\ Sin ^ 2 \\ frac (T) (2)) (\\ frac (T ^ 2) (4) \\ CDOT (4)) \u003d \\ frac (1) (2) \\ CDOT \\ lim_ (t \\ to ( 0)) \\ lijevo (\\ frac (\\ sin \\ frac (t) (2)) (\\ frac (t) (2)) \\ desno) ^ 2 \u003d \\ frac (1) (2) \\ CDOT (1) ) \u003d \\ Frac (1) (2). $$.
Odgovoriti: $ \\ Lim_ (x \\ to \\ frac (\\ pi) (2)) \\ frac (1- \\ grijeh (x)) (\\ lijevo (\\ pi) (2) -x \\ desno) ^ 2) \u003d \\ Frac (1) (2) $.
Primjer broj 11.
Pronađite granice od $ \\ lim_ (x \\ to \\ frac (\\ pi) (2)) \\ frac (1- \\ grijeh (x)) (\\ cos ^ 2x) $, $ \\ lim_ (x \\ to \\ frac ( 2 \\ PI) (3)) \\ frac (\\ tg (x) + \\ sqrt (3)) (2 \\ cos (x) +1) $.
U ovom slučaju nećemo morati koristiti prvu divnu granicu. Napominjemo: I u prvom mjestu i u drugoj granicama postoje samo trigonometrijske funkcije i brojevi. Često, u primjerima ove vrste moguće je pojednostaviti izraz koji se nalazi pod znakom granice. Istovremeno, nakon što je rečeno pojednostavljenje i smanjenje nekih faktora, nesigurnost nestaje. Ovaj primjer sam donio samo jednim ciljem: pokazati da prisustvo trigonometrijskih funkcija pod znakom ograničenja ne znači nužno upotreba prve izvanredne granice.
Od $ \\ lim_ (x \\ to \\ frac (\\ pi) (2)) (1- \\ grijeh (x)) \u003d 0 $ (podsjetite da $ \\ sin \\ frac (2) \u003d 1 $) i $ \\ lim_ (x \\ to \\ frac (\\ pi) (2)) \\ cos ^ 2x \u003d 0 $ (podsjetite vas da $ \\ cos \\ frac (\\ pi) (2) \u003d 0 $), a zatim imamo Slučaj sa nesigurnošću tipa $ \\ frac (0) (0) $. Međutim, to ne znači da moramo koristiti prvu divnu granicu. Da biste otkrili nesigurnost, dovoljno je da razmislite o tome da $ \\ cos ^ 2x \u003d 1- \\ sin ^ 2x $:
$$ \\ lim_ (x \\ to \\ frac (\\ pi) (2)) \\ frac (1- \\ grijeh (x)) (\\ cos ^ 2x) \u003d \\ lijevo | \\ frac (0) (0) \\ desno | \u003d \\ Lim_ (x \\ to \\ frac (\\ pi) (2)) \\ frac (1- \\ grijeh (x)) (1- \\ sin ^ 2x) \u003d \\ lim_ (x \\ to \\ frac (\\ pi) (\\ pi) 2)) \\ frac (1- \\ grijeh (x)) ((1- \\ grijeh (x)) (1+ \\ grijeh (x))) \u003d \\ lim_ (x \\ pi) (\\ pi) (\\ pi) (\\ pi) (\\ pi) (\\ pi) (2) ) \\ Frac (1) (1+ \\ grijeh (x)) \u003d \\ frac (1) (1 + 1) \u003d \\ frac (1) (2). $$.
Postoji slično rješenje u Demidoviču Reshebnik (br. 475). Što se tiče drugog ograničenja, kao u prethodnim primjerima ovog odjeljka, imamo neizvjesnost tipa $ \\ frac (0) (0) $. Zašto se pojavljuje? Nastavlja se jer $ \\ tg \\ frac (2 \\ pi) (3) \u003d - \\ sqrt (3) $ i $ 2 \\ cos \\ frac (2 \\ pi) (3) \u003d - $ 1. Ove vrijednosti koristimo kako bismo pretvorili izraze u brojevniku i u nazivniku. Svrha naših postupaka: zabilježiti zbroj brojača i nazivnika u obliku djela. Usput, često je u granicama sličnih vrsta prikladno zamijeniti varijablu koja je napravljena takvim proračunom tako da nova varijabla žuri na nulu (vidi, na primjer, primjeri broj 9 ili br. 10 na ovoj stranici ). Međutim, u ovom primjeru nema smisla za zamjenu značenja, iako, po želji, zamjena varijable $ t \u003d x- \\ frac (2 \\ pi) (3) $ je lako implementirati.
$$ \\ lim_ (x \\ to \\ frac (2 \\ pi) (3)) \\ frac (\\ tg (x) + \\ sqrt (3)) (2 \\ cos (x) +1) \u003d \\ lim_ (x \\ Do \\ frac (2 \\ pi) (3)) \\ frac (\\ tg (x) + \\ sqrt (3)) (2 \\ cdot \\ lijevo (\\ cos (x) + \\ frac (1) (2) \\ desno )) \u003d \\ Lim_ (x \\ to \\ frac (2 \\ pi) (3)) \\ frac (\\ tg (x) - \\ tg \\ frac (2 \\ pi) (3)) (2 \\ cdot \\ lijevo (\\ Cos (x) - \\ cos \\ frac (2 \\ pi) (3) \\ desno)) \u003d \\\\ \u003d \\ lim_ (x \\ to \\ frac (2 \\ pi) (3)) \\ frac (\\ frac (\\ frac (\\ frac) \\ left (X- \\ FRAC (2 \\ pi) (3) \\ right)) (\\ cos (X) \\ COS \\ FRAC (2 \\ pi) (3))) (- 4 \\ sin \\ FRAC (X + \\ FRAC (2 \\ pi) (3)) (2) \\ sin \\ FRAC (X- \\ FRAC (2 \\ pi) (3)) (2)) \u003d \\ lim_ (X \\ to \\ FRAC (2 \\ pi) ( 3)) \\ FRAC (\\ sin \\ left (X- \\ FRAC (2 \\ pi) (3) \\ right)) (- 4 \\ sin \\ FRAC (X + \\ FRAC (2 \\ pi) (3)) (2 ) \\ sin \\ FRAC (X- \\ FRAC (2 \\ pi) (3)) (2) \\ COS (X) \\ COS \\ FRAC (2 \\ pi) (3)) \u003d \\\\ \u003d \\ lim_ (X \\ to \\ FRAC (2 \\ pi) (3)) \\ FRAC (2 \\ sin \\ FRAC (X- \\ FRAC (2 \\ pi) (3)) (2) \\ COS \\ FRAC (X- \\ FRAC (2 \\ pi) (3)) (2)) (- 4 \\ sin \\ FRAC (X + \\ FRAC (2 \\ pi) (3)) (2) \\ sin \\ FRAC (X- \\ FRAC (2 \\ pi) (3)) (2) \\ COS (X) \\ COS \\ FRAC (2 \\ pi) (3)) \u003d \\ lim_ (X \\ to \\ FRAC (2 \\ pi) (3)) \\ FRAC (\\ COS \\ FRAC (X- \\ FRAC (2 \\ pi) (3)) (2)) (- 2 \\ sin \\ FRAC (X + \\ FRAC (2 \\ pi) (3)) (2) \\ COS (X) \\ COS \\ FRAC (2 \\ PI) (3)) \u003d \\\\ \u003d \\ FRAC (1) (- 2 \\ SDOT \\ FRAC (\\ SQRT (3)) (2) \\ SDOT \\ left (- \\ FRAC (1) (2) \\ right) \\ SDOT \\ left (- \\ FRAC (1) (2) \\ right)) \u003d - \\ FRAC (4 ) (\\ Sqrt (3)). $$.
Kao što možete vidjeti, nismo imali da se prijave na prvi divno granica. Naravno, ako je potrebno, to se može učiniti (vidi Napomena ispod), ali nema potrebe za to.
Šta će biti rješenje pomoću prvi izvanredan granica? Pokaži \\ Sakrij
Kada koristite prvi izvanredan granica, dobijamo:
$$ \\ lim_ (x \\ to \\ frac (2 \\ pi) (3)) \\ frac (\\ sin \\ lijevo (x- \\ frac (2 \\ pi) (3) \\ desno)) (- 4 \\ sin \\ frac (X + \\ FRAC (2 \\ pi) (3)) (2) \\ sin \\ FRAC (X- \\ FRAC (2 \\ pi) (3)) (2) \\ COS (X) \\ COS \\ FRAC (2 \\ PI) (3)) \u003d \\\\ \u003d \\ lim_ (X \\ to \\ FRAC (2 \\ pi) (3)) \\ left (\\ FRAC (\\ sin \\ left (X- \\ FRAC (2 \\ pi) (3) \\ right)) (X- \\ FRAC (2 \\ pi) (3)) \\ SDOT \\ FRAC (1) (\\ FRAC (\\ sin \\ FRAC (X- \\ FRAC (2 \\ pi) (3)) (2) ) (\\ FRAC (X- \\ FRAC (2 \\ pi) (3)) (2))) \\ SDOT \\ FRAC (1) (- 2 \\ sin \\ FRAC (X + \\ FRAC (2 \\ pi) (3) ) (2) \\ COS (X) \\ COS \\ FRAC (2 \\ pi) (3)) \\ right) \u003d 1 \\ SDOT (1) \\ SDOT \\ FRAC (1) (- 2 \\ SDOT \\ FRAC (\\ SQRT ( 3)) (2) \\ cdot \\ left (- \\ FRAC (1) (2) \\ right) \\ SDOT \\ left (- \\ FRAC (1) (2) \\ right)) \u003d - \\ FRAC (4) (\\ SQRT (3)). $$.
Odgovoriti: $ \\ Lim_ (X \\ to \\ FRAC (\\ pi) (2)) \\ FRAC (1- \\ sin (x)) (\\ cos ^ 2x) \u003d \\ FRAC (1) (2) $, $ \\ lim_ ( x \\ to \\ frac (2 \\ pi) (3)) \\ frac (\\ tg (x) + \\ sqrt (3)) (2 \\ cos (x) +1) \u003d - \\ frac (4) (\\ sqrt ( 3)) $.
Obično je drugi prekrasan graničnik napisan u ovom obliku:
\\ Begin (jednadžba) \\ lim_ (X \\ to \\ infty) \\ left (1+ \\ FRAC (1) (X) \\ right) ^ X \u003d E \\ JEDNAČINE
Broj $ E $ navedeno u desnoj strani jednakosti (1) je iracionalan. Približna vrijednost ovog broja je: $ e \\ cca (2 (,) 718281828459045) $. Ako napravite zamjenu $ T \u003d \\ FRAC (1) (x) $, onda je formula (1) se može napisati u sljedećem obliku:
\\ Počnite (jednadžba) \\ lim_ (t \\ to (0)) \\ BigGL (1 + t \\ biggr) ^ (\\ frac (1) (t)) \u003d e \\ jednadžba
Što se tiče prvog prekrasnog ograničenja, nije važno koji je izraz umjesto varijable $ x $ u formuli (1) ili umjesto $ t $ varijabli u formuli (2). Glavna stvar je izvršavanje dva uvjeta:
Kaže se da druga prekrasna granica otkriva neizvjesnost od 1 ^ \\ inflitet $. Primjetite da u formuli (1) ne preciziramo kakvu beskonačnost ($ + \\ inflite $ ili $ - \\ inflite $) je govor. U bilo kojem od ovih slučajeva, formula (1) je istinita. U formuli (2), varijabla T $ može se težiti nuli i sa lijeve i desne strane.
Primjećujem da postoji i nekoliko korisnih posljedica iz druge izvanredne granice. Primjeri za korištenje druge izvanređene granice, kao i posljedice toga, vrlo su popularni kod prevoditelja standardnih tipičnih proračuna i kontrolnih radova.
Primjer №1
Izračunajte granicu od $ \\ lim_ (x \\ to \\ incty) \\ lijevo (\\ frac (3x + 1) (3x-5) \\ desno) ^ (4x + 7) $.
Odmah imajte na umu da je temelj stepena (I.E. $ \\ frac (3x + 1) (3x-5) $) teži u jedinstvu:
$$ \\ lim_ (x \\ to \\ infty) \\ frac (3x + 1) (3x-5) \u003d \\ lijevo | \\ frac (\\ infty) \\ desno | \u003d \\ Lim_ (x \\ to \\ infty) \\ frac (3+ \\ frac (1) (x)) (3- \\ frac (5) (x)) \u003d \\ frac (3 + 0) (3-0) \u003d jedan. $$.
U ovom slučaju, indikator (izraz 4x + 7 $) teži u beskonačnosti, i.e. $ \\ Lim_ (x \\ to \\ infty) (4x + 7) \u003d \\ inflite $.
Fondacija stupnja ima tendenciju jedinstva, pokazatelj diplome - do beskonačnosti, I.E. Bavimo se neizvjesnošću od 1 ^ \\ inflitet $. Primijenite formulu za otkrivanje ove nesigurnosti. U osnovi stupnja formule, izraz je 1 + \\ frac (1) (x) $, a u primjeru smo temelj stepena ovoga: $ \\ frac (3x + 1) (3x- 1) (3x- 1) (3x- 1) (3x- 1) (3x- 1) 5) $. Stoga će prva akcija biti formalni fit izraza $ \\ frac (3x + 1) (3x-5) $ ispod oblika 1 + \\ frac (1) (x) $. Za početak, dodajte i oduzmite jedinicu:
$$ \\ lim_ (x \\ to \\ inflite) \\ lijevo (\\ frac (3x + 1) (3x-5) \\ desno) ^ (4x + 7) \u003d | 1 ^ \\ inflitet | \u003d \\ Lim_ (x \\ to \\ inchty) \\ lijevo (1+ \\ frac (3x + 1) (3x-5) -1 ^ desno) ^ (4x + 7) $$
Treba napomenuti da je lako dodati takvu jedinicu. Ako smo primorani da dodamo jedinicu, onda je to potrebno i oduzmiti, kako ne biste promijenili vrijednosti cjelokupnog izraza. Da nastavim odluku, razmislite o tome
$$ \\ frac (3x + 1) (3x-5) -1 \u003d \\ frac (3x + 1) (3x-5) - \\ frac (3x-5) (3x-5) \u003d \\ frac (3x + 1- 1-20) 3x + 5) (3x-5) \u003d \\ frac (6) (3x-5). $$.
Od $ \\ frac (3x + 1) (3x-5) -1 \u003d \\ frac (6) (3x-5) $, zatim:
$$ \\ lim_ (x \\ to \\ infty) \\ lijevo (1+ \\ frac (3x + 1) (3x-5) -1 \\ desno) ^ (4x + 7) \u003d \\ lim_ (x \\ to \\ inflitet) \\ Lijevo (1+ \\ frac (6) (3x-5) \\ desno) ^ (4x + 7) $$
Nastavljamo "uklapanje". U izrazu 1 + \\ frac (1) (x) $ Formule u frakcijskom brojevu je 1, a u našem izrazu 1 + \\ frak (6) (3x-5) $ u brojevima postoji 6 $. Da biste dobili $ 1 $ u brojevniku, smanjite 6 $ u nazivnik pomoću sljedeće konverzije:
$$ 1+ \\ frac (6) (3x-5) \u003d 1 + \\ frac (1) (\\ frac (3x-5) (6)) $$
Na ovaj način,
$$ \\ lim_ (x \\ to \\ inchty) \\ lijevo (1+ \\ frac (6) (3x-5) \\ desno) ^ (4x + 7) \u003d \\ lim_ (x \\ to \\ inflitet) \\ lijevo (1+ \\ Frac (1) (\\ frac (3x-5) (6)) \\ desno) ^ (4x + 7) $$
Dakle, osnova stepena, I.E. $ 1 + \\ frac (1) (\\ frak (3x-5) (6)) $, uz obrazac 1 + \\ frak (1) (x) $, koji je potreban u formuli. Sada počnemo sa radom sa pokazateljem stepena. Imajte na umu da u formuli izražavanja u smislu stepena i u imena, isto:
Dakle, u našem primjeru, pokazatelj diplome i nazivnik treba dati istim obrascu. Da bi se dobio izraz od $ \\ frac (3x-5) (6) $, jednostavno sumnjivim stopama stupnjeva na ovom frakciji. Naravno, nadoknaditi takvo množenje, bit će potrebno umnožiti na obrnutoj frakciji, I.E. Na $ \\ frac (6) (3x-5) $. Dakle, imamo:
$$ \\ lim_ (x \\ to \\ inflite) \\ lijevo (1+ \\ frac (1) (\\ frac (3x-5) (6)) \\ desno) ^ (4x + 7) \u003d \\ lim_ (x \\ to \\ Infty) \\ lijevo (1+ \\ frac (1) (\\ frac (3x-5) (6)) \\ desno) ^ (\\ frac (3x-5) (6) \\ CDOT \\ FRAC (6) (3x-5) ) \\ CDOT (4x + 7)) \u003d \\ lim_ (x \\ to \\ inflite) \\ lijevo (\\ lijevo (1+ \\ frac (1) (\\ frac (3x-5) (6)) \\ desno) ^ (\\ Frak (3x-5) (6)) \\ desno) ^ (\\ frac (6 \\ cdot (4x + 7)) (3x-5)) $$
Odvojeno, razmislite o granici frakcije $ \\ frac (6 \\ CDOT (4x + 7)) (3x-5) $, smješten do diplome:
$$ \\ lim_ (x \\ to \\ inflite) \\ frac (6 \\ cdot (4x + 7)) (3x-5) \u003d \\ lijevo | \\ frac (\\ infty) \\ desno | \u003d \\ Lim_ (x \\ to \\ inchty) \\ frac (6 \\ CDOT \\ lijevo (4+ \\ frac (7) (x) \\ desno)) (3- \\ frac (5) (x)) \u003d 6 \\ cdot \\ Frak (4) (3) \u003d 8. $$.
Odgovoriti: $ \\ lim_ (x \\ to (0)) \\ BigGL (\\ cos (2x) \\ biggr) ^ (\\ frac (1) (\\ sin ^ 2 (3x))) \u003d e ^ (- \\ frac (2) (9)) $.
Primjer broj 4.
Pronađite granicu od $ \\ lim_ (x \\ do + \\ inflite) x \\ lijevo (\\ ln (x + 1) - \\ ln (x) \\ desno) $.
Od $ x\u003e 0 $ imamo $ \\ ln (x + 1) - \\ ln (x) \u003d \\ ln \\ lijevo (\\ frac (x + 1) (x) \\ desno) $, zatim:
$$ \\ lim_ (x \\ to + \\ inflite) x \\ lijevo (\\ ln (x + 1) - \\ ln (x) \\ desno) \u003d \\ lim_ (x \\ to + \\ inflitet) \\ lijevo (lijevo (x \\ cdot \\ ln \\ lijevo (\\ frac (x + 1) (x) \\ desno) \\ desno) $$
Zatvaranje frakcije od $ \\ frac (x + 1) (x) $ u iznosu frakcija $ \\ frac (x + 1) (x) \u003d 1 + \\ frac (1) (x) $ dobivamo:
$$ \\ lim_ (x \\ to + \\ inflite) \\ lijevo (x \\ cdot \\ ln \\ lijevo (\\ frac (x + 1) (x) \\ desno) \\ desno) \u003d \\ lim_ (x \\ do + \\ inflitet) \\ Lijevo (X \\ CDOT \\ ln \\ lijevo (1+ \\ frac (1) (x) \\ desno) \\ desno) \u003d \\ lim_ (x \\ do + \\ inflitet) \\ lijevo (\\ frac (x frac (x + 1) (x) \\ desno) ^ x \\ desno) \u003d \\ ln (e) \u003d 1. $$.
Odgovoriti: $ \\ lim_ (x \\ to + \\ inflite) x \\ lijevo (\\ ln (x + 1) - \\ ln (x) \\ desno) \u003d 1 $.
Primjer broj 5.
Pronađite limit $ \\ lim_ (x \\ do (2)) \\ BigGL (3x-5 \\ biggr) ^ (\\ frac (2x) (x ^ 2-4)) $.
Od $ \\ lim_ (x \\ do (2)) (3x-5) \u003d 6-5 \u003d 1 $ i $ \\ lim_ (x \\ do (2)) \\ frac (2x) (x ^ 2-4) \u003d \\ Inflite $, onda se bavimo neizvjesnošću tipa 1 ^ \\ inflitet $. Detaljna objašnjenja date su u primjeru br. 2, ovdje smo ograničeni na kratko rješenje. Pravljenje zamjene $ T \u003d X-2 $, dobivamo:
$$ \\ lim_ (x \\ to (2)) \\ BigL (3x-5 \\ biggr) ^ (\\ frac (2x) (x ^ 2-4)) \u003d \\ lijevo | \\ Počnite (usklađen) & t \u003d x- 2; \\; x \u003d t + 2 \\\\ & t \\ do (0) \\ end (usklađen) \\ desno | \u003d \\ Lim_ (t \\ do (0)) \\ BigL (1 + 3T \\ Biggr) ^ (\\ frac (2t + 4) (t ^ 2 + 4t)) \u003d \\\\ \u003d \\ lim_ (t \\ do (0) ) \\ BigGL (1 + 3T \\ Biggr) ^ (\\ frac (1) (3t) \\ CDOT 3T \\ CDOT \\ FRAC (2t + 4) (T ^ 2 + 4T)) \u003d \\ lim_ (0) ) \\ lijevo (\\ BigLl (1 + 3T \\ Biggr) ^ (\\ frac (1) (3t)) \\ desno) ^ (\\ frac (6 \\ cdot (t + 4)) \u003d e ^ 3. $$.
Možete riješiti ovaj primjer i u različitu, koristeći zamjenu: $ T \u003d \\ frac (1) (x-2) $. Naravno, odgovor će biti isti:
$$ \\ lim_ (x \\ do (2)) \\ BigGL (3x-5 \\ biggr) ^ (\\ frac (2x) (x ^ 2-4)) \u003d \\ lijevo | \\ Počnite (poravnajte) & t \u003d \\ frac (1) (x-2); \\; x \u003d \\ frac (2t + 1) (t) \\\\ & t \\ to \\ inflitet \\ kraj (usklađen) \\ desno | \u003d \\ Lim_ (t \\ to \\ inflite) \\ lijevo (1+ \\ frac (3) (t) \\ desno) ^ (t \\ cdot \\ frac (4t + 2) (4t + 1)) \u003d \\\\ \u003d \\ lim_ (t \\ to \\ infty) \\ lijevo (1+ \\ frac (1) (\\ frac (t) (3)) \\ desno) ^ (\\ frac (t) (3) \\ CDOT \\ frac (3) (t) \\ CDOT \\ FRAC (T \\ CDOT (4T + 2)) (4T + 1)) \u003d \\ lim_ (t \\ to \\ inflitet) \\ lijevo (\\ lijevo (1+ \\ frac (1) (\\ frac (t) (1) (\\ frac (t) 3)) \\ right) ^ (\\ FRAC (T) (3)) \\ right) ^ (\\ FRAC (6 \\ SDOT (2T + 1)) (4T + 1)) \u003d E ^ 3. $$.
Odgovoriti: $ \\ lim_ (x \\ do (2)) \\ BigL (3x-5 \\ biggr) ^ (\\ frac (2x) (x ^ 2-4)) \u003d e ^ $ 3.
Primjer broj 6.
Pronađite limit $ \\ lim_ (x \\ to \\ inflite) \\ lijevo (\\ frac (2x ^ 2 + 3) (2x ^ 2-4) \\ desno) ^ (3x) $.
Otkrivamo šta izraz $ \\ frac (2x ^ 2 + 3) (2x ^ 2-4) $ teže (2x ^ 2-4), osiguravši $ x \\ to \\ inflitet $:
$$ \\ lim_ (x \\ to \\ inchty) \\ frac (2x ^ 2 + 3) (2x ^ 2-4) \u003d \\ lijevo | \\ frac (\\ infty) \\ desno | \u003d \\ Lim_ (x \\ to \\ inchty) \\ frac (2+ \\ frac (3) (x ^ 2)) (2- \\ frac (4) (x ^ 2)) \u003d \\ frac (2 + 0) (2 + 0) (2 + 0) (2 -0) \u003d 1. $$.
Dakle, u datom limitu bavimo se neizvjesnošću tipa od 1 ^ \\ inflite $, koja će se otkriti pomoću druge izvanređene granice:
$$ \\ lim_ (x \\ to \\ inchty) \\ lijevo (\\ frac (2x ^ 2 + 3) (2x ^ 2-4) \\ desno) ^ (3x) \u003d | 1 ^ \\ infty | \u003d \\ Lim_ (x \\ to \\ inflite) \\ lijevo (1+ \\ frac (2x ^ 2 + 3) (2x ^ 2-4) -1 \\ desno) ^ (3x) \u003d \\\\ \u003d \\ lim_ (x \\ do \\ Infty) \\ lijevo (1+ \\ frac (7) (2x ^ 2-4) ^ (3x) \u003d \\ lim_ (x \\ to \\ inflitet) \\ lijevo (1) (1) (\\ frac) (2x ^ 2-4) (7)) \\ desno) ^ (3x) \u003d \\\\ \u003d \\ lim_ (x \\ to \\ infty) \\ lijevo (1+ \\ frac (1) (\\ frac (2x ^ 2-4 ) (7)) \\ desno) ^ (\\ frac (2x ^ 2-4) (7) \\ CDOT \\ frac (7) (2x ^ 2-4) \\ CDOT 3x) \u003d \\ lim_ (x \\ to \\ inflitet) \\ lijevo (\\ lijevo (1+ \\ frac (1) (\\ frac (2x ^ 2-4) (7)) \\ desno) ^ (\\ frac (2x ^ 2-4) (7)) \\ desno) ^ (7)) \\ desno) ^ ( \\ Frac (21x) (2x ^ 2-4) \u003d e ^ 0 \u003d 1. $$.
Odgovoriti: $ \\ lim_ (x \\ to \\ infty) \\ lijevo (\\ frac (2x ^ 2 + 3) (2x ^ 2-4) \\ desno) ^ (3x) \u003d 1 $.
Prilikom rješavanja zadataka za pronalaženje granica, trebaju se pamtiti neke granice, tako da se svaki put kada ih ne budem ponovo izračunati. Kombinujući ove poznate granice, pronaći ćemo korištenje svojstava navedenih u § 4, novim granicama. Radi praktičnosti dajemo najčešće prednost: Limits 1 lim x - Axa 2 lim 1 \u003d 0 3 lim x- ± s x ± 00 4 lim -l, \u003d oo x-\u003e o \\ x \\ 5 lim sin * - L X -O x 6 lim f (x) \u003d f (a) ako je F (x) kontinuirana xa ako je poznato da je funkcija kontinuirana, a zatim umjesto da pronađe granicu, izračunajte vrijednost funkcije. Primjer 1. Pronađite Lim (X * -6L: + 8). Od mnogih-\u003e 2
Funkcija člana je kontinuirana, zatim lim (x * -6x4- 8) \u003d 2 * -6-2 + 8 \u003d 4. x- + 2 x * _2x 4-1 Primjer 2. Pronađite lim -g. . Prvo, nalazimo pre-x + 1 x ~ od poslova opasnosti: lim [xg - \\ - b) \u003d 12 + 5-1 \u003d 6; Nije jednak X-U1 nuli, znači da možete primijeniti svojstvo 4 § 4, a zatim x ™ i * "+ · 12 + 5-1" "6 1. Granica XX denominatora je nula, dakle, , ne može se primijeniti nekretnina 4 § 4. Od računar-konstantnog broja i nazivnica [x2x) -\u003e - 0 na x - 1, tada se cijeli frakcija povećava u apsolutnoj vrijednosti, tj. Lim "1 x - * - - 1 x * + x Primjer 4. Pronađite lim \\ -ll * "!" "" Ograničenje nazivnika je nula: lim (XG-6LG + 8) \u003d 2 * -6-2 + 8 \u003d 0, dakle x Nekretnina 4 § 4 Nije primenljivo. No, ograničenje brojača je takođe nula: lim (x2 - 5d; + 6) \u003d 22 - 5-2-f 6 \u003d 0. Dakle, broj brojača i nazivnik su istovremeno nula. Međutim, broj 2 je korijen i brojeve i nazivnik, pa se u frakciju može smanjiti u razliku x-2 (teorem moure). Zapravo, x * -5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x "-6x + 8 ~ (x-2) (x-4) ~~ x-4", posljedično, x -f - 6 g x-3 -1 1 Primjer 5. Pronađite LIM HP (n cijeli broj, pozitivan). X co hp \u003d x * x. . X, P puta jer svaki multiplikator raste neodređeno, tada radovi raste i neodređeno, odnosno LIM XP \u003d OO. X oo Primjer 6. Pronađite LIM HP (n cijeli broj, pozitivan). X -\u003e - sa HP \u003d x X ... x. Budući da svaki multiplikator raste u apsolutnoj vrijednosti, ostajući negativan, u slučaju ravnopravnosti, rad će rasti u nedogled, ostajući pozitivan, odnosno lim * n \u003d + oo (sa n čak). * - * - u slučaju neparnog stepena, apsolutna vrijednost posla raste, ali ostaje negativna, i.e. lim HP \u003d - OO (sa neparno). P - 00 Primjer 7. Pronađite lim. X X - * - CO * Ako T\u003e Stavite, onda možete napisati: m \u003d n + kt gdje k\u003e 0. Stoga HT B LIM - \u003d - \u003d lim - \u003d - \u003d lim x. Gore X-S\u003e A X YU je na primjer, 6. Ako su koristili XM i Lim Lim Lim T. X - O X- * YL X -\u003e CO Ovdje je brojčanik ostaje konstantan, a nazivnik raste u apsolutnoj vrijednosti, tako da je u apsolutnoj vrijednosti, tako i lim - 0. X- * OO X * Rezultat ovog primjera preporučuje se da se zapamti u sljedećem obrascu: Funkcija napajanja raste brže, to je više pokazatelj diplome. $ x_Zchg + 7
Primjer 8. Pronađite Lim G l -G - \u003d. U ovom primjeru, X- * ® "J *" MRH-OH-O i brojčanik i nazivnik se povećavaju u nedovrsno. Podijelimo brojevnice i imena u starijeg stepena X, I.E. The Kines, a zatim 3 7_ Primjer 9. Pronađi liru. Izrada transformacije- * g ^, dobivamo lira .. ^ \u003d lim x co + 3 7 3 od lim -5 \u003d 0, lim -, \u003d 0, onda granica od nazivnika Rade- * ® X X - + - CD X nula, dok je ograničenje brojača 1. Stoga se cijeli frakcija povećava u nedogled, odnosno t. 7x hm x- + u primjer 10. Pronađi Lim izračunaj Ogranimite i pamćenje da Cos * -Function je kontinuirano: lira (2 + cos x) \u003d 2 + cosy \u003d 2. Tada X -\u003e - S Lim (L-Fsin *) Primjer 15. Pronaći ćemo lim *<*-e>2 i lim e "(x" a) \\ poli - + ± ω x ± sa klupama (l: - a) 2 \u003d z; Od (l; -a) 2 se uvijek zanemaruje i neodređeno raste zajedno sa X, a zatim s X-± Novom varijable Z- * OS. Stoga dobivamo CT £<*-«)* = X -> ± 00 S \u003d lim er \u003d oo (vidi napomenu na §5). g - * ■ Sa sličnim lim E ~ (x - a) 2 \u003d lim e ~ z \u003d q, od x ± oh m - (x- a) g Neograničeno smanjenje na x-\u003e ± oo (vidi napomena na §
