Vektori \(\overrightarrow(AB)\) mund të konsiderohet si lëvizja e një pike nga pozicioni \(A\) (fillimi i lëvizjes) në pozicionin \(B\) (fundi i lëvizjes). Domethënë, trajektorja e lëvizjes në këtë rast nuk është e rëndësishme, vetëm fillimi dhe fundi janë të rëndësishme!
\(\blacktreangleright\) Dy vektorë janë kolinear nëse shtrihen në të njëjtën drejtëz ose në dy drejtëza paralele.
Përndryshe, vektorët quhen jo-kolinearë.
\(\blacktreangleright\) Dy vektorë kolinearë quhen bashkëdrejtues nëse drejtimet e tyre përkojnë.
Nëse drejtimet e tyre janë të kundërta, atëherë ato quhen të drejtuara në mënyrë të kundërt.
Rregullat për shtimin e vektorëve kolinearë:
bashkëdrejtuar fund së pari. Atëherë shuma e tyre është një vektor, fillimi i të cilit përkon me fillimin e vektorit të parë dhe fundi me fundin e të dytit (Fig. 1).
\(\blacktriangleright\) Për të shtuar dy drejtuar në të kundërt vektor, ne mund ta shtyjmë vektorin e dytë nga filloi së pari. Atëherë shuma e tyre është një vektor, fillimi i të cilit përkon me fillimin e të dy vektorëve, gjatësia është e barabartë me ndryshimin në gjatësitë e vektorëve, drejtimi përkon me drejtimin e vektorit më të gjatë (Fig. 2).
Rregullat për shtimin e vektorëve jokolinearë \(\overrightarrow (a)\) dhe \(\overrightarrow(b)\):
\(\blacktriangleright\) Rregulli i trekëndëshit (Fig. 3).
Është e nevojshme të lihet mënjanë vektori \(\mbi shigjetën e djathtë (b)\) nga fundi i vektorit \(\shigjeta e sipërme (a)\). Atëherë shuma është një vektor, fillimi i të cilit përkon me fillimin e vektorit \(\mbi shigjetën e djathtë (a)\) dhe fundi me fundin e vektorit \(\shigjeta e sipërme (b)\) .
\(\blacktreangleright\) Rregulli i paralelogramit (Fig. 4).
Është e nevojshme të lihet mënjanë vektori \(\mbi shigjetën e drejtë (b)\) nga fillimi i vektorit \(\mbi shigjetën e djathtë (a)\). Pastaj shuma \(\mbi shigjetë (a)+\shigjeta e sipërme (b)\)– një vektor që përkon me diagonalen e një paralelogrami të ndërtuar mbi vektorët \(\mbi shigjeta (a)\) dhe \(\mbi shigjetën e djathtë (b)\) (fillimi i të cilit përkon me fillimin e të dy vektorëve).
\(\blacktreangleright\) Për të gjetur dallimin e dy vektorëve \(\mbi shigjetë (a)-\shigjeta e sipërme (b)\), ju duhet të gjeni shumën e vektorëve \(\overrightarrow (a)\) dhe \(-\overrightarrow(b)\): \(\mbi shigjeta e tepert(a)-\shigjeta e teperdrejte(b)=\shigjeta e larte djathtas(a)+(-\shigjeta e larte djathtas(b))\)(Fig. 5).
Detyra 1 #2638
Niveli i detyrës: Më i vështirë se Provimi i Unifikuar i Shtetit
Dan trekëndësh kënddrejtë\(ABC\) me kënd të drejtë \(A\), pika \(O\) është qendra e rrethit të rrethuar rreth këtij trekëndëshi. Koordinatat vektoriale \(\overrightarrow(AB)=\(1;1\)\), \(\mbi shigjetën e djathtë(AC)=\(-1;1\)\). Gjeni shumën e koordinatave të vektorit \(\overrightarrow(OC)\) .
Sepse trekëndëshi \(ABC\) është drejtkëndor, atëherë qendra e rrethit të rrethuar shtrihet në mes të hipotenuzës, d.m.th. \(O\) është mesi i \(BC\) .
Vini re se \(\overrightarrow(BC)=\overrightarrow(AC)-\overrightarrow(AB)\), pra, \(\overrightarrow(BC)=\(-1-1;1-1\)=\(-2;0\)\).
Sepse \(\overrightarrow(OC)=\dfrac12 \overrightarrow(BC)\), Kjo \(\overrightarrow(OC)=\(-1;0\)\).
Kjo do të thotë se shuma e koordinatave të vektorit \(\overrightarrow(OC)\) është e barabartë me \(-1+0=-1\) .
Përgjigje: -1
Detyra 2 #674
Niveli i detyrës: Më i vështirë se Provimi i Unifikuar i Shtetit
\(ABCD\) – një katërkëndësh në anët e të cilit janë vendosur vektorët \(\overrightarrow(AB)\) , \(\overrightarrow(BC)\) , \(\overrightarrow(CD)\) , \(\overrightarrow( DA) \) . Gjeni gjatësinë e vektorit \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA)\).
\(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) = \overrightarrow(AC)\), \(\overrightarrow(AC) + \overrightarrow(CD) = \overrightarrow(AD)\), Pastaj
\(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA) = \overrightarrow(AC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA)= \overrightarrow(AD) + \overrightarrow(DA) = \overrightarrow(AD) - \overrightarrow(AD) = \vec(0)\).
Vektori null ka gjatësi të barabartë me \(0\) .
Një vektor mund të perceptohet si zhvendosje, atëherë \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC)\)– duke lëvizur nga \(A\) në \(B\) dhe më pas nga \(B\) në \(C\) - në fund të fundit kjo po lëviz nga \(A\) në \(C\) .
Me këtë interpretim, bëhet e qartë se \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA) = \vec(0)\), sepse në fund këtu kemi lëvizur nga pika \(A\) në pikën \(A\), domethënë gjatësia e një lëvizjeje të tillë është \(0\), që do të thotë se vetë vektori i një lëvizjeje të tillë është \ (\vec(0)\) .
Përgjigje: 0
Detyra 3 #1805
Niveli i detyrës: Më i vështirë se Provimi i Unifikuar i Shtetit
Jepet një paralelogram \(ABCD\) . Diagonalet \(AC\) dhe \(BD\) kryqëzohen në pikën \(O\) . Le , , atëherë \(\arrow mbi të drejtë(OA) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)
\[\overrightarrow(OA) = \frac(1)(2)\overrightarrow(CA) = \frac(1)(2)(\overrightarrow(CB) + \overrightarrow(BA)) = \frac(1)( 2)(\overrightarrow(DA) + \overrightarrow(BA)) = \frac(1)(2)(-\vec(b) - \vec(a)) = - \frac(1)(2)\vec (a) - \frac(1)(2)\vec(b)\]\(\Rightshigjeta\) \(x = - \frac(1)(2)\) , \(y = - \frac(1)(2)\) \(\Rightshigjeta\) \(x + y = - 1\) .
Përgjigje: -1
Detyra 4 #1806
Niveli i detyrës: Më i vështirë se Provimi i Unifikuar i Shtetit
Jepet një paralelogram \(ABCD\) . Pikat \(K\) dhe \(L\) shtrihen në anët \(BC\) dhe \(CD\), përkatësisht, dhe \(BK:KC = 3:1\) dhe \(L\) është mesi i \ (CD\) . Le \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\), Pastaj \(\mbi shigjetën e djathtë(KL) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\), ku \(x\) dhe \(y\) janë disa numra. Gjeni numrin e barabartë me \(x + y\) .
\[\overrightarrow(KL) = \overrightarrow(KC) + \overrightarrow(CL) = \frac(1)(4)\overrightarrow(BC) + \frac(1)(2)\overrightarrow(CD) = \frac (1)(4)\overrightarrow(AD) + \frac(1)(2)\overrightarrow(BA) = \frac(1)(4)\vec(b) - \frac(1)(2)\vec (a)\]\(\Rightshigjeta\) \(x = -\frac(1)(2)\) , \(y = \frac(1)(4)\) \(\Rightshigjeta\) \(x + y = -0 ,25\) .
Përgjigje: -0.25
Detyra 5 #1807
Niveli i detyrës: Më i vështirë se Provimi i Unifikuar i Shtetit
Jepet një paralelogram \(ABCD\) . Pikat \(M\) dhe \(N\) shtrihen në anët \(AD\) dhe \(BC\), përkatësisht, me \(AM:MD = 2:3\) dhe \(BN:NC = 3: 1\) . Le \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\), Pastaj \(\mbi shigjetën e djathtë(MN) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)
\[\overrightarrow(MN) = \overrightarrow(MA) + \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BN) = \frac(2)(5)\overrightarrow(DA) + \overrightarrow(AB) + \frac(3 )(4)\overrightarrow(BC) = - \frac(2)(5)\overrightarrow(AD) + \overrightarrow(AB) + \frac(3)(4)\overrightarrow(BC) = -\frac(2 )(5)\vec(b) + \vec(a) + \frac(3)(4)\vec(b) = \vec(a) + \frac(7)(20)\vec(b)\ ]\(\Djathtas\) \(x = 1\) , \(y = \frac(7)(20)\) \(\Djathtas\) \(x\cdot y = 0,35\) .
Përgjigje: 0.35
Detyra 6 #1808
Niveli i detyrës: Më i vështirë se Provimi i Unifikuar i Shtetit
Jepet një paralelogram \(ABCD\) . Pika \(P\) shtrihet në diagonale \(BD\), pika \(Q\) shtrihet në anën \(CD\), dhe \(BP:PD = 4:1\), dhe \( CQ:QD = 1:9\) . Le \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\), Pastaj \(\mbi shigjetën e djathtë(PQ) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\), ku \(x\) dhe \(y\) janë disa numra. Gjeni numrin e barabartë me \(x\cdot y\) .
\[\fillimi(i mbledhur) \overrightarrow(PQ) = \overrightarrow(PD) + \overrightarrow(DQ) = \frac(1)(5)\overrightarrow(BD) + \frac(9)(10)\overrightarrow( DC) = \frac(1)(5)(\mbi shigjetë e drejtë(BC) + \mbidrejtë shigjetë(CD)) + \frac(9)(10)\mbidrejtë shigjetë(AB) =\\ = \frac(1)(5) (\overrightarrow(AD) + \overrightarrow(BA)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5)(\overrightarrow(AD) - \overrightarrow(AB)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5)\overrightarrow(AD) + \frac(7)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5) \vec(b) + \frac(7)(10)\vec(a)\fund(mbledhur)\]
\(\Djathtas\) \(x = \frac(7)(10)\) , \(y = \frac(1)(5)\) \(\Djathtas\) \(x\cdot y = 0, 14\) . dhe \(ABCO\) – paralelogram; \(AF \parallel BE\) dhe \(ABOF\) – paralelogram \(\Rightarrow\) \[\overrightarrow(BC) = \overrightarrow(AO) = \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BO) = \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(AF) = \vec(a) + \vec(b)\ ]\(\Djathtas\) \(x = 1\) , \(y = 1\) \(\Djathtas\) \(x + y = 2\) .
Përgjigje: 2
Nxënësit e shkollave të mesme që po përgatiten të marrin provimin e unifikuar të shtetit në matematikë dhe në të njëjtën kohë llogarisin në marrjen e rezultateve të mira duhet patjetër të përsërisin temën "Rregullat për mbledhjen dhe zbritjen e disa vektorëve". Siç shihet nga praktika shumëvjeçare, detyra të tilla përfshihen në testin e certifikimit çdo vit. Nëse një i diplomuar ka vështirësi me probleme nga seksioni "Gjeometria e planit", për shembull, në të cilin është e nevojshme të zbatohen rregullat e mbledhjes dhe zbritjes së vektorëve, ai duhet patjetër të përsërisë ose të rikuptojë materialin për të kaluar me sukses Provimi i Unifikuar i Shtetit.
Projekti arsimor Shkolkovo ofron një qasje të re për përgatitjen për testin e certifikimit. Burimi ynë është ndërtuar në atë mënyrë që studentët të mund të identifikojnë seksionet më të vështira për veten e tyre dhe të mbushin boshllëqet në njohuri. Specialistët e Shkollkovës përgatitën dhe sistemuan të gjitha materiali i kërkuar për t'u përgatitur për kalimin e testit të certifikimit.
Për të siguruar që problemet e PËRDORIMIT në të cilat duhet të zbatoni rregullat për mbledhjen dhe zbritjen e dy vektorëve nuk shkaktojnë vështirësi, ju rekomandojmë që fillimisht të rifreskoni kujtesën tuaj për konceptet bazë. Studentët do të mund ta gjejnë këtë material në seksionin “Informacioni Teorik”.
Nëse tashmë e mbani mend rregullin për zbritjen e vektorëve dhe përkufizimet bazë për këtë temë, ju sugjerojmë të konsolidoni njohuritë tuaja duke plotësuar ushtrimet e duhura, të përzgjedhura nga ekspertët. portal arsimor"Shkolkovë". Për çdo problem, faqja paraqet një algoritëm zgjidhjeje dhe jep përgjigjen e saktë. Tema “Rregullat për mbledhjen e vektorëve” paraqet ushtrime të ndryshme; Pasi të kenë përfunduar dy ose tre detyra relativisht të lehta, studentët mund të kalojnë me radhë në ato më komplekse.
Nxënësit e shkollës kanë mundësinë të zhvillojnë aftësitë e tyre në detyra të tilla, për shembull, në internet, ndërsa janë në Moskë ose në ndonjë qytet tjetër në Rusi. Nëse është e nevojshme, detyra mund të ruhet në seksionin "Të preferuarat". Falë kësaj, ju mund të gjeni shpejt shembuj me interes dhe të diskutoni algoritme për gjetjen e përgjigjes së saktë me mësuesin tuaj.
Njohuritë dhe aftësitë e marra në këtë mësim do t'u shërbejnë studentëve jo vetëm në mësimet e gjeometrisë, por edhe në klasat e shkencave të tjera. Gjatë mësimit, nxënësit do të mësojnë të vizatojnë një vektor nga një pikë e caktuar. Ky mund të jetë një mësim i rregullt gjeometrie, ose një orë matematike jashtëshkollore ose me zgjedhje. Ky zhvillim do ta ndihmojë mësuesin të kursejë kohën e tij duke u përgatitur për mësimin me temën "Vonesa e një vektori nga një pikë e caktuar". Do të mjaftojë që ai të luajë mësimin me video në klasë, dhe më pas të përforcojë materialin me përzgjedhjen e tij të ushtrimeve.
Kohëzgjatja e mësimit është vetëm 1:44 minuta. Por kjo është e mjaftueshme për t'u mësuar nxënësve të vizatojnë një vektor nga një pikë e caktuar.
Mësimi fillon me një demonstrim të një vektori, fillimi i të cilit është në një pikë të caktuar. Ata thonë se vektori është shtyrë prej tij. Pastaj autori propozon të provojë së bashku me të pohimin sipas të cilit nga çdo pikë është e mundur të vizatohet një vektor i barabartë me atë të dhënë dhe, për më tepër, unik. Gjatë provës, autori shqyrton çdo rast në detaje. Së pari, merr situatën kur vektori i dhënë është zero, dhe së dyti, kur vektori është jo zero. Gjatë vërtetimit përdoren ilustrime në formë vizatimesh dhe ndërtimesh, shënimesh matematikore, të cilat formojnë shkrim e këndim matematikor te nxënësit e shkollës. Autori flet ngadalë, duke i lejuar studentët të mbajnë shënime paralelisht gjatë komentimit. Ndërtimi që autori ka kryer gjatë vërtetimit të pohimit të formuluar më parë tregon se si nga një pikë e caktuar mund të ndërtohet një vektor i barabartë me atë të dhënë.
Nëse nxënësit e shikojnë me kujdes mësimin dhe mbajnë shënime në të njëjtën kohë, ata do ta mësojnë lehtësisht materialin. Për më tepër, autori tregon në mënyrë të detajuar, të matur dhe mjaft të plotë. Nëse për ndonjë arsye nuk keni dëgjuar diçka, mund të ktheheni dhe të shikoni përsëri mësimin.
Pas shikimit të mësimit të videos, këshillohet të filloni të konsolidoni materialin. Mësuesi rekomandohet të zgjedhë detyra për këtë temë për të praktikuar aftësinë e vizatimit të një vektori nga një pikë e caktuar.
Ky mësim mund të përdoret që studentët të studiojnë në mënyrë të pavarur temën. Por për t'u konsoliduar, duhet të kontaktoni mësuesin në mënyrë që ai të zgjedhë detyrat e duhura. Në fund të fundit, pa konsoliduar materialin, është e vështirë të arrihet një rezultat pozitiv në mësim.
Më në fund, mora në dorë këtë temë të gjerë dhe të shumëpritur. gjeometria analitike. Së pari, pak për këtë seksion të matematikës së lartë... Me siguri tani ju kujtohet një lëndë e gjeometrisë shkollore me teorema të shumta, vërtetimet e tyre, vizatimet, etj. Çfarë duhet fshehur, një temë e padashur dhe shpesh e errët për një pjesë të konsiderueshme të studentëve. Gjeometria analitike, çuditërisht, mund të duket më interesante dhe e arritshme. Çfarë do të thotë mbiemri "analitik"? Dy fraza klishe matematikore vijnë menjëherë në mendje: "metoda e zgjidhjes grafike" dhe "metoda e zgjidhjes analitike". Metoda grafike, natyrisht, shoqërohet me ndërtimin e grafikëve dhe vizatimeve. Analitike ose metodë përfshin zgjidhjen e problemeve kryesisht përmes veprimeve algjebrike. Në këtë drejtim, algoritmi për zgjidhjen e pothuajse të gjitha problemeve të gjeometrisë analitike është i thjeshtë dhe transparent, shpesh mjafton të zbatohen me kujdes formulat e nevojshme - dhe përgjigja është gati! Jo, sigurisht, nuk do të mund ta bëjmë fare këtë pa vizatime, dhe përveç kësaj, për një kuptim më të mirë të materialit, do të përpiqem t'i citoj ato përtej nevojës.
Kursi i sapohapur i mësimeve për gjeometrinë nuk pretendon të jetë i plotë teorikisht ai është i fokusuar në zgjidhjen e problemeve praktike. Unë do të përfshij në leksionet e mia vetëm atë që, nga këndvështrimi im, është e rëndësishme në aspektin praktik. Nëse keni nevojë për ndihmë më të plotë për ndonjë nënseksion, unë rekomandoj literaturën e mëposhtme mjaft të aksesueshme:
1) Një gjë që, pa shaka, e njohin disa breza: Libër shkollor për gjeometrinë, autorë - L.S. Atanasyan dhe Kompania. Kjo varëse e zhveshjes së shkollës ka kaluar tashmë 20 (!) ribotime, që sigurisht nuk është kufiri.
2) Gjeometria në 2 vëllime. Autorët L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Kjo është letërsi për shkolla e mesme, do t'ju duhet vëllimi i parë. Detyrat e hasura rrallë mund të më bien nga sytë, dhe manual trajnimi do të japë një ndihmë të çmuar.
Të dy librat mund të shkarkohen falas në internet. Përveç kësaj, ju mund të përdorni arkivin tim me zgjidhje të gatshme, të cilat mund të gjenden në faqe Shkarkoni shembuj në matematikën e lartë.
Ndër mjetet, unë përsëri propozoj zhvillimin tim - paketë softuerike në gjeometrinë analitike, e cila do të thjeshtojë shumë jetën dhe do të kursejë shumë kohë.
Supozohet se lexuesi është i njohur me konceptet dhe figurat themelore gjeometrike: pikë, drejtëz, rrafsh, trekëndësh, paralelogram, paralelipiped, kub etj. Këshillohet të mbani mend disa teorema, të paktën teorema e Pitagorës, përshëndetje për përsëritësit)
Dhe tani do të shqyrtojmë në mënyrë sekuenciale: konceptin e një vektori, veprimet me vektorë, koordinatat vektoriale. Unë rekomandoj të lexoni më tej artikulli më i rëndësishëm Prodhimi me pika i vektorëve, dhe gjithashtu Vektori dhe prodhimi i përzier i vektorëve. Një detyrë lokale - Ndarja e një segmenti në këtë drejtim - gjithashtu nuk do të jetë e tepërt. Bazuar në informacionin e mësipërm, ju mund të zotëroni ekuacioni i një drejtëze në një rrafsh Me Shembujt më të thjeshtë të zgjidhjeve, e cila do të lejojë Mësoni të zgjidhni problemet e gjeometrisë. Artikujt e mëposhtëm janë gjithashtu të dobishëm: Ekuacioni i një rrafshi në hapësirë, Ekuacionet e një drejtëze në hapësirë, Probleme themelore në një vijë të drejtë dhe një plan, seksione të tjera të gjeometrisë analitike. Natyrisht, detyrat standarde do të merren parasysh gjatë rrugës.
Së pari, le të përsërisim përkufizimin shkollor të një vektori. Vektor thirrur drejtuar një segment për të cilin tregohet fillimi dhe fundi i tij:
Në këtë rast, fillimi i segmentit është pika, fundi i segmentit është pika. Vektori në vetvete shënohet me . Drejtimiështë thelbësore, nëse e zhvendosni shigjetën në skajin tjetër të segmentit, ju merrni një vektor, dhe kjo tashmë është vektor krejtësisht të ndryshëm. Është i përshtatshëm për të identifikuar konceptin e një vektori me lëvizjen e një trupi fizik: duhet të pajtoheni, hyrja në dyert e një instituti ose largimi nga dyert e një instituti janë gjëra krejtësisht të ndryshme.
Është e përshtatshme të konsiderohen pikat individuale të një rrafshi ose hapësire si të ashtuquajturat vektor zero. Për një vektor të tillë, fundi dhe fillimi përkojnë.
!!! Shënim: Këtu dhe më tej, mund të supozoni se vektorët shtrihen në të njëjtin plan ose mund të supozoni se ata janë të vendosur në hapësirë - thelbi i materialit të paraqitur është i vlefshëm si për rrafshin ashtu edhe për hapësirën.
Emërtimet: Shumë vunë re menjëherë shkopin pa shigjetë në përcaktim dhe thanë, ka edhe një shigjetë në krye! Vërtetë, mund ta shkruani me një shigjetë: , por është gjithashtu e mundur hyrjen që do të përdor në të ardhmen. Pse? Me sa duket, ky zakon u zhvillua për arsye praktike; Në literaturën arsimore, ndonjëherë ata nuk shqetësohen fare me shkrimin kuneiform, por theksojnë shkronjat me shkronja të zeza: , duke nënkuptuar kështu se ky është një vektor.
Kjo ishte stilistikë, dhe tani për mënyrat për të shkruar vektorë:
1) Vektorët mund të shkruhen si dy të mëdhenj me shkronja latine:
e kështu me radhë. Në këtë rast, shkronja e parë Domosdoshmërisht tregon pikën e fillimit të vektorit, dhe shkronja e dytë tregon pikën e fundit të vektorit.
2) Vektorët shkruhen gjithashtu me shkronja të vogla latine:
Në veçanti, vektori ynë mund të ripërcaktohet për shkurtësi me një shkronjë të vogël latine.
Gjatësia ose modul një vektor jo zero quhet gjatësia e segmentit. Gjatësia e vektorit zero është zero. Logjike.
Gjatësia e vektorit tregohet me shenjën e modulit:
Do të mësojmë se si të gjejmë gjatësinë e një vektori (ose do ta përsërisim, varësisht kush) pak më vonë.
Ky ishte informacioni bazë për vektorët, të njohur për të gjithë nxënësit e shkollës. Në gjeometrinë analitike, të ashtuquajturat vektor i lirë.
Për ta thënë thjesht - vektori mund të vizatohet nga çdo pikë:
Ne jemi mësuar t'i quajmë vektorë të tillë të barabartë (përkufizimi i vektorëve të barabartë do të jepet më poshtë), por nga një këndvështrim thjesht matematikor, ata janë të njëjtin VEKTOR ose vektor i lirë. Pse falas? Sepse gjatë zgjidhjes së problemeve, ju mund të "lidhni" këtë apo atë vektor "shkollor" në ÇDO pikë të planit ose hapësirës që ju nevojitet. Kjo është një veçori shumë e lezetshme! Imagjinoni një segment të drejtuar me gjatësi dhe drejtim arbitrar - mund të "klonohet" një numër i pafundëm herë dhe në çdo pikë të hapësirës, në fakt, ai ekziston KUDO. Ekziston një student i tillë që thotë: Çdo pedagog i jep një mallkim vektorit. Në fund të fundit, nuk është vetëm një rimë e mprehtë, gjithçka është pothuajse e saktë - një segment i drejtuar gjithashtu mund të shtohet atje. Por mos nxitoni të gëzoheni, janë vetë studentët që shpesh vuajnë =)
Pra, vektor i lirë- Kjo shumë segmente të drejtuara identike. Përkufizimi shkollor i një vektori, i dhënë në fillim të paragrafit: “Një segment i drejtuar quhet vektor...”, nënkupton specifike një segment i drejtuar i marrë nga një grup i caktuar, i cili është i lidhur me një pikë të caktuar në plan ose hapësirë.
Duhet të theksohet se nga pikëpamja e fizikës, koncepti i një vektori të lirë është përgjithësisht i pasaktë dhe pika e aplikimit ka rëndësi. Në të vërtetë, një goditje e drejtpërdrejtë e së njëjtës forcë në hundë ose në ballë, e mjaftueshme për të zhvilluar shembullin tim budalla, sjell pasoja të ndryshme. Megjithatë, jo të lirë vektorët gjenden gjithashtu në rrjedhën e vyshmat (mos shko atje :)).
Një kurs i gjeometrisë shkollore mbulon një sërë veprimesh dhe rregullash me vektorë: mbledhja sipas rregullit të trekëndëshit, mbledhja sipas rregullës së paralelogramit, rregulli i ndryshimit të vektorit, shumëzimi i një vektori me një numër, prodhimi skalar i vektorëve etj. Si pikënisje, le të përsërisim dy rregulla që janë veçanërisht të rëndësishme për zgjidhjen e problemeve të gjeometrisë analitike.
Konsideroni dy vektorë arbitrarë jo zero dhe: 
Ju duhet të gjeni shumën e këtyre vektorëve. Për shkak të faktit se të gjithë vektorët konsiderohen të lirë, ne do ta lëmë mënjanë vektorin nga fund vektor: 
Shuma e vektorëve është vektori. Për një kuptim më të mirë të rregullit, këshillohet të vendosni një kuptim fizik në të: le të udhëtojë një trup përgjatë vektorit dhe më pas përgjatë vektorit. Atëherë shuma e vektorëve është vektori i rrugës që rezulton me fillimin në pikën e nisjes dhe mbarimin në pikën e mbërritjes. Një rregull i ngjashëm formulohet për shumën e çdo numri vektorësh. Siç thonë ata, trupi mund të shkojë shumë i dobët përgjatë një zigzag, ose ndoshta në autopilot - përgjatë vektorit që rezulton i shumës.
Nga rruga, nëse vektori shtyhet nga filloi vektor, atëherë marrim ekuivalentin rregulli i paralelogramit shtimi i vektorëve.
Së pari, në lidhje me kolinearitetin e vektorëve. Të dy vektorët quhen kolineare, nëse shtrihen në të njëjtën drejtëz ose në drejtëza paralele. Përafërsisht, ne po flasim për vektorë paralelë. Por në lidhje me to, mbiemri "kolinear" përdoret gjithmonë.
Imagjinoni dy vektorë kolinearë. Nëse shigjetat e këtyre vektorëve drejtohen në të njëjtin drejtim, atëherë quhen vektorë të tillë bashkëdrejtuar. Nëse shigjetat tregojnë drejtime të ndryshme, atëherë vektorët do të jenë drejtime të kundërta.
Emërtimet: kolineariteti i vektorëve shkruhet me simbolin e zakonshëm të paralelizmit: , ndërsa detajimi është i mundur: (vektorët janë të drejtuar bashkë) ose (vektorët janë të drejtuar në të kundërt).
Puna një vektor jozero në një numër është një vektor gjatësia e të cilit është e barabartë me , dhe vektorët dhe janë të bashkëdrejtuar në dhe të kundërt me .
Rregulli për shumëzimin e një vektori me një numër është më i lehtë për t'u kuptuar me ndihmën e një fotografie: 
Le ta shohim më në detaje:
1) Drejtimi. Nëse shumëzuesi është negativ, atëherë vektori ndryshon drejtimin në të kundërtën.
2) Gjatësia. Nëse shumëzuesi përmbahet brenda ose , atëherë gjatësia e vektorit zvogëlohet. Pra, gjatësia e vektorit është gjysma e gjatësisë së vektorit. Nëse moduli i shumëzuesit është më i madh se një, atëherë gjatësia e vektorit rritet nganjëherë.
3) Ju lutemi vini re se të gjithë vektorët janë kolinear, ndërsa një vektor shprehet përmes një tjetri, për shembull, . E kundërta është gjithashtu e vërtetë: nëse një vektor mund të shprehet përmes një tjetri, atëherë vektorë të tillë janë domosdoshmërisht kolinearë. Kështu: nëse shumëzojmë një vektor me një numër, marrim kolinear(në lidhje me origjinalin) vektoriale.
4) Vektorët janë të bashkëdrejtuar. Vektorët dhe janë gjithashtu të bashkëdrejtuar. Çdo vektor i grupit të parë është i drejtuar në mënyrë të kundërt në lidhje me çdo vektor të grupit të dytë.
Dy vektorë janë të barabartë nëse janë në të njëjtin drejtim dhe kanë të njëjtën gjatësi. Vini re se bashkëdrejtimi nënkupton kolinearitetin e vektorëve. Përkufizimi do të ishte i pasaktë (i tepërt) nëse do të thoshim: "Dy vektorë janë të barabartë nëse janë kolinear, bashkëdrejtues dhe kanë të njëjtën gjatësi."
Nga pikëpamja e konceptit të një vektori të lirë, vektorë të barabartë janë i njëjti vektor, siç u diskutua në paragrafin e mëparshëm.
Pika e parë është të merren parasysh vektorët në aeroplan. Le të përfaqësojmë kartezianin sistem drejtkëndor koordinatat dhe nga origjina e koordinatave ne shtyjmë beqare vektorët dhe:
Vektorët dhe ortogonale. Ortogonal = Perpendikular. Unë rekomandoj që ngadalë të mësoheni me termat: në vend të paralelizmit dhe pingulitetit, përdorim fjalët përkatësisht kolineariteti Dhe ortogonaliteti.
Përcaktimi: Ortogonaliteti i vektorëve shkruhet me simbolin e zakonshëm të pingulitetit, për shembull: .
Vektorët në shqyrtim quhen vektorët e koordinatave ose orts. Këta vektorë formohen bazë në një avion. Ajo që është baza, mendoj se është intuitivisht e qartë për shumë njerëz Varësia lineare (jo) e vektorëve. Baza e vektorëve Me fjalë të thjeshta, baza dhe origjina e koordinatave përcaktojnë të gjithë sistemin - ky është një lloj themeli mbi të cilin vlon një jetë e plotë dhe e pasur gjeometrike.
Ndonjëherë quhet baza e ndërtuar ortonormale baza e planit: "ortho" - sepse vektorët e koordinatave janë ortogonale, mbiemri "normalizuar" do të thotë njësi, d.m.th. gjatësitë e vektorëve bazë janë të barabarta me një.
Përcaktimi: baza zakonisht shkruhet në kllapa, brenda së cilës në sekuencë të rreptë janë renditur vektorët bazë, për shembull: . Vektorët e koordinatave është e ndaluar rirregulloj.
Çdo vektor i rrafshët mënyra e vetme shprehur si: 
, Ku - numrat të cilat quhen koordinatat vektoriale në këtë bazë. Dhe vetë shprehja 
thirrur zbërthimi i vektoritsipas bazës .
Darka e shërbyer:
Le të fillojmë me shkronjën e parë të alfabetit: . Vizatimi tregon qartë se kur zbërthehet një vektor në një bazë, përdoren ato që sapo u diskutuan:
1) rregulli për shumëzimin e një vektori me një numër: dhe ;
2) mbledhja e vektorëve sipas rregullës së trekëndëshit: .
Tani vizatoni mendërisht vektorin nga çdo pikë tjetër në aeroplan. Është mjaft e qartë se prishja e tij "do ta ndjekë atë pa pushim". Këtu është liria e vektorit - vektori "mbart gjithçka me vete". Kjo veti, natyrisht, është e vërtetë për çdo vektor. Është qesharake që vetë vektorët bazë (falas) nuk duhet të vizatohen nga origjina, për shembull, poshtë majtas, dhe tjetri lart djathtas, dhe asgjë nuk do të ndryshojë! Vërtetë, nuk keni nevojë ta bëni këtë, pasi mësuesi gjithashtu do të tregojë origjinalitet dhe do t'ju tërheqë një "kredi" në një vend të papritur.
Vektorët ilustrojnë saktësisht rregullin për shumëzimin e një vektori me një numër, vektori është në bashkëdrejtim me vektorin bazë, vektori është i drejtuar përballë vektorit bazë. Për këta vektorë, një nga koordinatat është e barabartë me zero, mund ta shkruani me përpikëri si kjo:
Dhe vektorët bazë, meqë ra fjala, janë si ky: (në fakt, ato shprehen përmes vetvetes).
Dhe në fund: , . Nga rruga, çfarë është zbritja vektoriale dhe pse nuk fola për rregullin e zbritjes? Diku në algjebër lineare, nuk më kujtohet se ku, vura re se zbritja është një rast i veçantë i mbledhjes. Kështu, zgjerimet e vektorëve "de" dhe "e" shkruhen lehtësisht si një shumë: , 
. Ndiqni vizatimin për të parë se sa qartë funksionon mbledhja e vjetër e mirë e vektorëve sipas rregullit të trekëndëshit në këto situata.
Zbërthimi i konsideruar i formës 
nganjëherë quhet zbërthim vektorial në sistemin ort(d.m.th. në një sistem vektorësh njësi). Por kjo nuk është mënyra e vetme për të shkruar një vektor, opsioni i mëposhtëm është i zakonshëm:
Ose me një shenjë të barabartë:
Vetë vektorët bazë shkruhen si më poshtë: dhe
Kjo do të thotë, koordinatat e vektorit tregohen në kllapa. Në problemet praktike, përdoren të tre opsionet e shënimeve.
Dyshova nëse do të flisja, por gjithsesi do ta them: koordinatat vektoriale nuk mund të riorganizohen. Rreptësisht në vendin e parë ne shkruajmë koordinatat që korrespondojnë me vektorin njësi, rreptësisht në vendin e dytë shkruajmë koordinatën që i përgjigjet vektorit njësi. Në të vërtetë, dhe janë dy vektorë të ndryshëm.
Ne kuptuam koordinatat në aeroplan. Tani le të shohim vektorët në hapësirën tre-dimensionale, pothuajse gjithçka është e njëjtë këtu! Do të shtojë vetëm një koordinatë më shumë. Është e vështirë të bësh vizatime tredimensionale, kështu që do të kufizohem në një vektor, të cilin për thjeshtësi do ta lë mënjanë nga origjina: 
Çdo vektor hapësinor 3D mënyra e vetme zgjerohet mbi një bazë ortonormale: 
, ku janë koordinatat e vektorit (numrit) në këtë bazë.
Shembull nga foto: 
. Le të shohim se si funksionojnë rregullat e vektorit këtu. Së pari, duke shumëzuar vektorin me një numër: (shigjeta e kuqe), (shigjeta jeshile) dhe (shigjeta e mjedrës). Së dyti, këtu është një shembull i shtimit të disa, në këtë rast tre, vektorëve: . Vektori i shumës fillon në pikën fillestare të nisjes (fillimi i vektorit) dhe përfundon në pikën përfundimtare të mbërritjes (fundi i vektorit).
Të gjithë vektorët e hapësirës tredimensionale, natyrisht, janë gjithashtu të lirë, përpiquni ta lënë mënjanë vektorin nga çdo pikë tjetër, dhe do të kuptoni se zbërthimi i tij "do të mbetet me të".
Ngjashëm me rastin e sheshtë, përveç shkrimit 
përdoren gjerësisht versionet me kllapa: ose .
Nëse një (ose dy) vektorë koordinativë mungojnë në zgjerim, atëherë zero vendosen në vend të tyre. Shembuj:
vektor (në mënyrë të përpiktë 
) – le të shkruajmë;
vektor (në mënyrë të përpiktë 
) – le të shkruajmë;
vektor (në mënyrë të përpiktë 
) – le të shkruajmë.
Vektorët bazë shkruhen si më poshtë:
Kjo, ndoshta, është e gjithë njohuria teorike minimale e nevojshme për të zgjidhur problemet e gjeometrisë analitike. Mund të ketë shumë terma dhe përkufizime, kështu që unë rekomandoj që çajnikët ta rilexojnë dhe ta kuptojnë këtë informacion përsëri. Dhe do të jetë e dobishme për çdo lexues t'i referohet herë pas here mësimit bazë për përthithje më të mirë material. Kolineariteti, ortogonaliteti, baza ortonormale, zbërthimi i vektorit - këto dhe koncepte të tjera do të përdoren shpesh në të ardhmen. Dua të vërej se materialet e sitit nuk janë të mjaftueshme për të kaluar një test teorik ose një kolokium në gjeometri, pasi unë kodoj me kujdes të gjitha teoremat (dhe pa prova) - në dëm të stilit shkencor të prezantimit, por një plus për tuaj të kuptuarit e lëndës. Për të marrë informacion të detajuar teorik, ju lutemi përuluni para profesorit Atanasyan.
Dhe kalojmë në pjesën praktike:
Është shumë e këshillueshme të mësoni se si të zgjidhni detyrat që do të konsiderohen plotësisht automatikisht dhe formulat memorizoj, as nuk duhet ta mbani mend me qëllim, do ta kujtojnë vetë =) Kjo është shumë e rëndësishme, pasi problemet e tjera të gjeometrisë analitike bazohen në shembujt më të thjeshtë elementar, dhe do të jetë e bezdisshme të shpenzoni kohë shtesë duke ngrënë pengje. . Nuk ka nevojë të kopshoni kopset e sipërme të këmishës suaj, shumë gjëra janë të njohura për ju nga shkolla.
Prezantimi i materialit do të ndjekë një rrjedhë paralele - si për aeroplanin ashtu edhe për hapësirën. Për arsye se të gjitha formulat... do t'i shihni vetë.
Nëse jepen dy pika të rrafshit, atëherë vektori ka koordinatat e mëposhtme: 
Nëse jepen dy pika në hapësirë, atëherë vektori ka koordinatat e mëposhtme:
Kjo është, nga koordinatat e fundit të vektorit ju duhet të zbritni koordinatat përkatëse fillimi i vektorit.
Ushtrimi: Për të njëjtat pika, shkruani formulat për gjetjen e koordinatave të vektorit. Formulat në fund të orës së mësimit.
Shembulli 1
Jepen dy pika të aeroplanit dhe . Gjeni koordinatat vektoriale
Zgjidhja: sipas formulës përkatëse:
Përndryshe, hyrja e mëposhtme mund të përdoret:
Estetët do të vendosin këtë:
Personalisht, jam mësuar me versionin e parë të regjistrimit.
Përgjigje:
Sipas kushtit, nuk ishte e nevojshme të ndërtohej një vizatim (i cili është tipik për problemet e gjeometrisë analitike), por për të sqaruar disa pika për dummies, nuk do të jem dembel: 
Duhet ta kuptoni patjetër dallimi ndërmjet koordinatave të pikës dhe koordinatave vektoriale:
Koordinatat e pikave- këto janë koordinata të zakonshme në një sistem koordinativ drejtkëndor. Unë mendoj se të gjithë e dinë se si të vizatojnë pikat në një plan koordinativ nga klasa 5-6. Çdo pikë ka një vend të rreptë në aeroplan, dhe ato nuk mund të zhvendosen askund.
Koordinatat e vektorit– ky është zgjerimi i tij sipas bazës, në këtë rast. Çdo vektor është i lirë, kështu që nëse dëshirohet ose është e nevojshme, ne mund ta largojmë lehtësisht nga një pikë tjetër në aeroplan (për të shmangur konfuzionin, duke e ridizenjuar, për shembull, me ). Është interesante që për vektorët nuk keni nevojë të ndërtoni fare boshte ose një sistem koordinativ drejtkëndor, ju duhet vetëm një bazë, në këtë rast një bazë ortonorale e planit.
Regjistrimet e koordinatave të pikave dhe koordinatave të vektorëve duket se janë të ngjashme: , dhe kuptimi i koordinatave absolutisht të ndryshme, dhe ju duhet të jeni të vetëdijshëm për këtë ndryshim. Ky ndryshim, natyrisht, vlen edhe për hapësirën.
Zonja dhe zotërinj, le të mbushim duart:
Shembulli 2
a) Pikët dhe janë dhënë. Gjeni vektorë dhe .
b) Janë dhënë pikë 
Dhe . Gjeni vektorët dhe .
c) Pikët dhe jepen. Gjeni vektorët dhe .
d) Janë dhënë pikë. Gjeni vektorë 
.
Ndoshta kaq mjafton. Këta janë shembuj për vendim i pavarur, përpiquni të mos i neglizhoni, do të shpërblehet ;-). Nuk ka nevojë të bëni vizatime. Zgjidhjet dhe përgjigjet në fund të orës së mësimit.
Çfarë është e rëndësishme gjatë zgjidhjes së problemeve të gjeometrisë analitike?Është e rëndësishme të jeni SHUMË KUJDES për të shmangur gabimin mjeshtëror "dy plus dy baraz me zero". Kërkoj falje menjëherë nëse kam bërë një gabim diku =)
Gjatësia, siç është vërejtur tashmë, tregohet me shenjën e modulit.
Nëse jepen dy pika të rrafshit dhe , atëherë gjatësia e segmentit mund të llogaritet duke përdorur formulën
Nëse jepen dy pika në hapësirë, atëherë gjatësia e segmentit mund të llogaritet duke përdorur formulën
Shënim: Formulat do të mbeten të sakta nëse koordinatat përkatëse ndërrohen: dhe , por opsioni i parë është më standard
Shembulli 3
Zgjidhja: sipas formulës përkatëse:
Përgjigje: 
Për qartësi, unë do të bëj një vizatim 
Segmenti - ky nuk është një vektor, dhe, natyrisht, nuk mund ta lëvizni askund. Përveç kësaj, nëse vizatoni në shkallë: 1 njësi. = 1 cm (dy qeliza fletore), atëherë përgjigja që rezulton mund të kontrollohet me një vizore të rregullt duke matur drejtpërdrejt gjatësinë e segmentit.
Po, zgjidhja është e shkurtër, por ka edhe disa të tjera në të pika të rëndësishme që do të doja të sqaroja:
Së pari, në përgjigje vendosim dimensionin: "njësi". Gjendja nuk thotë ÇFARË është, milimetra, centimetra, metra apo kilometra. Prandaj, një zgjidhje e saktë matematikisht do të ishte formulimi i përgjithshëm: "njësi" - shkurtuar si "njësi".
Së dyti, le të përsërisim materialin shkollor, i cili është i dobishëm jo vetëm për detyrën e konsideruar:
Ju lutemi vini re teknikë e rëndësishme – duke hequr shumëzuesin nga poshtë rrënjës. Si rezultat i llogaritjeve, kemi një rezultat dhe stili i mirë matematikor përfshin heqjen e faktorit nga poshtë rrënjës (nëse është e mundur). Më në detaje, procesi duket si ky: 
. Natyrisht, lënia e përgjigjes ashtu siç është nuk do të ishte gabim - por sigurisht që do të ishte një mangësi dhe një argument me peshë për t'u grindur nga ana e mësuesit.
Këtu janë raste të tjera të zakonshme: 
Shpesh rrënja prodhon një numër mjaft të madh, për shembull. Çfarë duhet bërë në raste të tilla? Duke përdorur kalkulatorin, kontrollojmë nëse numri është i pjesëtueshëm me 4: . Po, u nda plotësisht, kështu: 
. Apo ndoshta numri mund të ndahet përsëri me 4? . Kështu: 
. Shifra e fundit e numrit është tek, kështu që pjesëtimi me 4 për herë të tretë padyshim nuk do të funksionojë. Le të përpiqemi të pjesëtojmë me nëntë: . Si rezultat:
Gati.
konkluzioni: nëse nën rrënjë marrim një numër që nuk mund të nxirret në tërësi, atëherë përpiqemi të heqim faktorin nga nën rrënjë - duke përdorur një kalkulator kontrollojmë nëse numri është i pjesëtueshëm me: 4, 9, 16, 25, 36, 49, etj.
Gjatë zgjidhjes së problemeve të ndryshme, shpesh ndeshen rrënjët, përpiquni të nxirrni faktorë nga poshtë rrënjës për të shmangur një notë më të ulët dhe probleme të panevojshme me finalizimin e zgjidhjeve tuaja bazuar në komentet e mësuesit.
Le të përsërisim gjithashtu rrënjët katrore dhe fuqitë e tjera: 
Rregullat për veprimet me gradë in pamje e përgjithshme mund të gjendet në një tekst shkollor për algjebër, por mendoj se nga shembujt e dhënë, gjithçka ose pothuajse gjithçka është tashmë e qartë.
Detyrë për zgjidhje të pavarur me një segment në hapësirë:
Shembulli 4
Pikët dhe jepen. Gjeni gjatësinë e segmentit.
Zgjidhja dhe përgjigja janë në fund të mësimit.
Nëse jepet një vektor i rrafshët, atëherë gjatësia e tij llogaritet me formulën.
Nëse jepet një vektor hapësinor, atëherë gjatësia e tij llogaritet me formulë 
.
Këto formula (si dhe formulat për gjatësinë e një segmenti) nxirren lehtësisht duke përdorur teoremën e njohur të Pitagorës.
Faqja 1 nga 2
Pyetja 1.Çfarë është një vektor? Si përcaktohen vektorët?
Përgjigju. Një segment të drejtuar do ta quajmë vektor (Fig. 211). Drejtimi i një vektori përcaktohet duke treguar fillimin dhe fundin e tij. Në vizatim, drejtimi i vektorit tregohet me një shigjetë. Për të treguar vektorët do të përdorim shkronjat e vogla latine a, b, c, .... Ju gjithashtu mund të shënoni një vektor duke treguar fillimin dhe fundin e tij. Në këtë rast, fillimi i vektorit vendoset në vend të parë. Në vend të fjalës "vektor" më sipër emërtimi i shkronjave Vektorët ndonjëherë shënohen me një shigjetë ose një vijë. Vektori në figurën 211 mund të shënohet si më poshtë:
\(\overline(a)\), \(\overrightarrow(a)\) ose \(\overline(AB)\), \(\overrightarrow(AB)\).
Pyetja 2. Cilët vektorë quhen të drejtuar në mënyrë identike (të drejtuar kundërt)?
Përgjigju. Vektorët \(\overline(AB)\) dhe \(\overline(CD)\) thuhet se janë të drejtuar në mënyrë të barabartë nëse gjysmëdrejtëzat AB dhe CD janë të drejtuara njësoj.
Vektorët \(\overline(AB)\) dhe \(\overline(CD)\) thuhet se janë të drejtuar në mënyrë të kundërt nëse gjysmëdrejtëzat AB dhe CD kanë drejtim të kundërt.
Në figurën 212, vektorët \(\overline(a)\) dhe \(\overline(b)\) janë të drejtuar në mënyrë të barabartë, dhe vektorët \(\overline(a)\) dhe \(\overline(c)\ ) janë të drejtuara në të kundërt.
Pyetja 3. Sa është madhësia absolute e një vektori?
Përgjigju. Vlera absolute (ose moduli) i një vektori është gjatësia e segmentit që përfaqëson vektorin. Vlera absolute e vektorit \(\overline(a)\) shënohet me |\(\overline(a)\)|.
Pyetja 4.Çfarë është një vektor zero?
Përgjigju. Fillimi i një vektori mund të përkojë me fundin e tij. Një vektor të tillë do ta quajmë vektor zero. Vektori zero shënohet me një zero me një vizë (\(\overline(0)\)). Ata nuk flasin për drejtimin e vektorit zero. Vlera absolute e vektorit zero konsiderohet e barabartë me zero.
Pyetja 5. Cilët vektorë quhen të barabartë?
Përgjigju. Dy vektorë quhen të barabartë nëse kombinohen me përkthim paralel. Kjo do të thotë se ekziston një përkthim paralel që çon fillimin dhe fundin e një vektori në fillim dhe në fund të një vektori tjetër, përkatësisht.
Pyetja 6. Vërtetoni se vektorët e barabartë kanë të njëjtin drejtim dhe janë të barabartë në vlerë absolute. Dhe anasjelltas: vektorët e drejtuar në mënyrë identike që janë të barabartë në vlerë absolute janë të barabartë.
Përgjigju. Gjatë përkthimit paralel, vektori ruan drejtimin e tij, si dhe vlerën e tij absolute. Kjo do të thotë se vektorët e barabartë kanë drejtime të njëjta dhe janë të barabartë në vlerë absolute.
Le të jenë \(\overline(AB)\) dhe \(\overline(CD)\) vektorë të drejtuar në mënyrë identike, të barabartë në vlerë absolute (Fig. 213). Transferimi paralel, e cila çon pikën C në pikën A, kombinon gjysmëdrejtëzën CD me gjysmëdrejtëzën AB, pasi kanë të njëjtat drejtime. Dhe meqenëse segmentet AB dhe CD janë të barabartë, atëherë pika D përkon me pikën B, d.m.th. përkthimi paralel e transformon vektorin \(\overline(CD)\) në vektorin \(\overline(AB)\). Kjo do të thotë se vektorët \(\overline(AB)\) dhe \(\overline(CD)\) janë të barabartë, gjë që duhej vërtetuar.
Pyetja 7. Vërtetoni se nga çdo pikë mund të vizatoni një vektor të barabartë me një vektor të caktuar, dhe vetëm një.
Përgjigju. Le të jetë CD një vijë, dhe vektori \(\overline(CD)\) të jetë pjesë e rreshtit CD. Le të jetë AB vija e drejtë në të cilën shkon drejtëza CD gjatë transferimit paralel, \(\overline(AB)\) të jetë vektori në të cilin shkon vektori \(\overline(CD)\) gjatë transferimit paralel, dhe për këtë arsye vektorët \(\ overline(AB)\) dhe \(\overline(CD)\) janë të barabartë, dhe drejtëzat AB dhe CD janë paralele (shih Fig. 213). Siç e dimë, përmes një pike që nuk shtrihet në një drejtëz të caktuar, është e mundur të vizatohet në rrafsh më së shumti një drejtëz paralele me atë të dhënë (aksioma e drejtëzave paralele). Kjo do të thotë se përmes pikës A mund të vizatohet një drejtëz paralel me drejtëzën CD. Meqenëse vektori \(\overline(AB)\) është pjesë e drejtëzës AB, atëherë përmes pikës A mund të vizatohet një vektor \(\overline(AB)\), i barabartë me vektorin \(\overline(CD)\ ).
Pyetja 8. Cilat janë koordinatat vektoriale? Sa është vlera absolute e vektorit me koordinatat a 1, a 2?
Përgjigju. Le të ketë vektori \(\overline(a)\) një pikë fillimi A 1 (x 1 ; y 1), dhe një pikë fundore A 2 (x 2 ; y 2). Koordinatat e vektorit \(\overline(a)\) do të jenë numrat a 1 = x 2 - x 1 , a 2 = y 2 - y 1 . Do t'i vendosim koordinatat e vektorit pranë emërtimit të shkronjës së vektorit, në këtë rast \(\overline(a)\) (a 1 ; a 2) ose thjesht \((\overline(a 1 ; a 2 ) )\). Koordinatat e vektorit zero janë të barabarta me zero.
Nga formula që shpreh distancën ndërmjet dy pikave përmes koordinatave të tyre, rezulton se vlera absolute e vektorit me koordinatat a 1, a 2 është e barabartë me \(\sqrt(a^2 1 + a^2 2)\).
Pyetja 9. Vërtetoni se vektorët e barabartë kanë përkatësisht koordinata të barabarta, dhe vektorët me koordinata përkatësisht të barabarta janë të barabartë.
Përgjigju. Le të jenë A 1 (x 1 ; y 1) dhe A 2 (x 2 ; y 2) fillimi dhe fundi i vektorit \(\mbivijë(a)\). Meqenëse vektori \(\overline(a)\) i barabartë me të merret nga vektori \(\overline(a)\) me transferim paralel, fillimi dhe fundi i tij do të jenë A" 1 (x 1 + c; y 1 + d) përkatësisht ), A" 2 (x 2 + c; y 2 + d). Kjo tregon se të dy vektorët \(\overline(a)\) dhe \(\overline(a")\) kanë të njëjtat koordinata: x 2 - x 1, y 2 - y 1.
Le të provojmë tani pohimin e kundërt. Le të jenë të barabarta koordinatat përkatëse të vektorëve \(\overline(A 1 A 2)\) dhe \(\overline(A" 1 A" 2)\). Le të vërtetojmë se vektorët janë të barabartë.
Le të jenë x" 1 dhe y" 1 koordinatat e pikës A" 1 dhe x" 2, y" 2 të jenë koordinatat e pikës A" 2. Sipas kushteve të teoremës, x 2 - x 1 = x" 2 - x" 1, y 2 - y 1 = y" 2 - y" 1. Prandaj x" 2 = x 2 + x" 1 - x 1, y" 2 = y 2 + y" 1 - y 1. Transferimi paralel i dhënë me formula
x" = x + x" 1 - x 1, y" = y + y" 1 - y 1,
transferon pikën A 1 në pikën A" 1, dhe pikën A 2 në pikën A" 2, d.m.th. vektorët \(\overline(A 1 A 2)\) dhe \(\overline(A" 1 A" 2)\) janë të barabartë, që është ajo që duhej vërtetuar.
Pyetja 10. Përcaktoni shumën e vektorëve.
Përgjigju. Shuma e vektorëve \(\overline(a)\) dhe \(\overline(b)\) me koordinatat a 1 , a 2 dhe b 1 , b 2 është vektori \(\overline(c)\) me koordinata a 1 + b 1, a 2 + b a 2, d.m.th.
\(\mbivijë(a) (a 1 ; a 2) + \mbivijë (b)(b 1 ; b 2) = \mbivijë (c) (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2)\).
