Studimi i vetive të numrave natyrorë i çoi pitagorianët në një problem tjetër "të përjetshëm" të aritmetikës teorike (teoria e numrave) - një problem mikrobet e të cilit u shfaqën shumë kohë përpara Pitagorës në Egjiptin e Lashtë dhe Babiloninë e Lashtë, dhe një zgjidhje e përgjithshme nuk është gjetur për këtë. ditë. Le të fillojmë me problemin, i cili në termat moderne mund të formulohet si më poshtë: zgjidhni një ekuacion të pacaktuar në numra natyrorë
Sot kjo detyrë quhet Problemi i Pitagorës, dhe zgjidhjet e tij - treshe numrash natyrorë që plotësojnë ekuacionin (1.2.1) - quhen Trinjakët e Pitagorës. Për shkak të lidhjes së dukshme të teoremës së Pitagorës me problemin e Pitagorës, kësaj të fundit mund t'i jepet një formulim gjeometrik: gjeni të gjithë trekëndëshat kënddrejtë me këmbët e numrave të plotë. x, y dhe një hipotenuzë me numër të plotë z.
Zgjidhje të veçanta për problemin e Pitagorës ishin të njohura në kohët e lashta. Në një papirus nga koha e faraonit Amenemhat I (rreth 2000 p.e.s.), i mbajtur në Muzeun Egjiptian në Berlin, gjejmë një trekëndësh kënddrejtë me raportin e pamjes (). Sipas historianit më të madh gjerman të matematikës M. Cantor (1829 - 1920), në Egjiptin e Lashtë ekzistonte një profesion i veçantë. harpedonapte- “Tërheqësit e litarit”, të cilët gjatë ceremonisë solemne të vendosjes së themeleve të tempujve dhe piramidave, shënuan kënde të drejta duke përdorur një litar me 12 (= 3 + 4 + 5) nyje të barabarta. Metoda e ndërtimit kënd i drejtë harpedonaptami është i dukshëm nga Figura 36.
Duhet thënë se një tjetër ekspert i matematikës antike, van der Waerden, nuk pajtohet kategorikisht me Cantorin, megjithëse vetë përmasat e arkitekturës së lashtë egjiptiane dëshmojnë në favor të Cantorit. Sido që të jetë, sot quhet një trekëndësh kënddrejtë me raportin e brinjëve të tij Egjiptian.
Siç vërehet në f. 76, është ruajtur një pllakë balte që daton nga epoka e lashtë babilonase dhe që përmban 15 rreshta treshe të Pitagorës. Përveç trefishit të parëndësishëm të marrë nga egjiptianja (3, 4, 5) duke shumëzuar me 15 (45, 60, 75), ka edhe treshe shumë komplekse pitagorase, si (3367, 3456, 4825) dhe madje (12709). , 13500, 18541)! Nuk ka dyshim se këta numra janë gjetur jo me kërkim të thjeshtë, por sipas disa rregullave uniforme.
Megjithatë, çështja e një zgjidhjeje të përgjithshme të ekuacionit (1.2.1) në numra natyrorë u parashtrua dhe u zgjidh vetëm nga Pitagorianët. Formulimi i përgjithshëm i çdo problemi matematik ishte i huaj si për egjiptianët e lashtë ashtu edhe për babilonasit e lashtë. Vetëm me Pitagorën fillon zhvillimi i matematikës si shkencë deduktive dhe një nga hapat e parë në këtë rrugë ishte zgjidhja e problemit të trenjakëve të Pitagorës. Tradita e lashtë i lidh zgjidhjet e para të ekuacionit (1.2.1) me emrat e Pitagorës dhe Platonit. Le të përpiqemi të rindërtojmë këto zgjidhje.
Është e qartë se Pitagora e mendoi ekuacionin (1.2.1) jo në formë analitike, por në formën e një numri katror, brenda të cilit ishte e nevojshme të gjendeshin numrat katrorë dhe. Ishte e natyrshme që numri të përfaqësohej si katror me anë y një anë më pak z katrorin origjinal, d.m.th. Pastaj, siç shihet lehtë nga Figura 37 (vetëm shikoni!), numri katror i mbetur duhet të plotësojë barazinë . Kështu, arrijmë në një sistem ekuacionesh lineare
Duke mbledhur dhe zbritur këto ekuacione, gjejmë zgjidhjen e ekuacionit (1.2.1):
Është e lehtë të verifikohet se zgjidhja që rezulton jep numra natyrorë vetëm për tek. Kështu, më në fund kemi
Etj Tradita e lidh këtë vendim me emrin e Pitagorës.
Vini re se sistemi (1.2.2) mund të merret edhe zyrtarisht nga ekuacioni (1.2.1). Në fakt,
nga ku, duke supozuar , arrijmë në (1.2.2).
Është e qartë se zgjidhja e Pitagorës u gjet nën një kufizim mjaft të rreptë () dhe nuk përmban të gjitha trefishat e Pitagorës. Hapi tjetër është të vendosni , atëherë , pasi vetëm në këtë rast do të jetë një numër katror. Kështu lind sistemi, i cili do të jetë gjithashtu një treshe pitagoriane. Tani kryesore
Teorema. Nëse fq Dhe q numrat koprim të pariteteve të ndryshme, atëherë të gjitha treshe primitive të Pitagorës gjenden me formula
"Qendra Rajonale e Arsimit"
Zhvillimi metodologjik
Përdorimi i treshave të Pitagorës në zgjidhje
problemet gjeometrike dhe detyrat trigonometrike të Provimit të Unifikuar të Shtetit
Kaluga, 2016
Teorema e Pitagorës është një nga teorema kryesore dhe, madje mund të thuhet, më e rëndësishme e gjeometrisë. Rëndësia e saj qëndron në faktin se shumica e teoremave të gjeometrisë mund të nxirren prej saj ose me ndihmën e saj. Teorema e Pitagorës është gjithashtu e jashtëzakonshme sepse në vetvete nuk është aspak e dukshme. Për shembull, vetitë e një trekëndëshi dykëndësh mund të shihen drejtpërdrejt në vizatim. Por, sado që të shikoni një trekëndësh kënddrejtë, nuk do të shihni kurrë se ekziston një marrëdhënie kaq e thjeshtë midis anëve të tij: a2+b2=c2. Megjithatë, nuk ishte Pitagora ai që zbuloi teoremën që mban emrin e tij. Ishte i njohur edhe më herët, por ndoshta vetëm si një fakt i nxjerrë nga matjet. Me sa duket, Pitagora e dinte këtë, por gjeti prova.
Ka numra natyrorë të panumërt a, b, c, duke kënaqur lidhjen a2+b2=c2.. Quhen numra pitagorianë. Sipas teoremës së Pitagorës, numra të tillë mund të shërbejnë si gjatësia e brinjëve të disa trekëndësh kënddrejtë– do t’i quajmë trekëndësha të Pitagorës.
Qëllimi i punës: për të studiuar mundësinë dhe efektivitetin e përdorimit të treshave të Pitagorës për zgjidhjen e problemeve në një kurs të matematikës shkollore dhe detyrat e Provimit të Unifikuar të Shtetit.
Bazuar në qëllimin e punës, përcaktohen: detyrat:
Studioni historinë dhe klasifikimin e treshave të Pitagorës. Analizoni problemet duke përdorur treshe të Pitagorës, të disponueshme në tekstet shkollore dhe të gjetura në materialet e testimit dhe matjes për Provimin e Unifikuar të Shtetit. Vlerësoni efektivitetin e përdorimit të treshave të Pitagorës dhe vetitë e tyre për zgjidhjen e problemeve.
Objekti i studimit: Treshe numrash pitagoriane.
Lënda e hulumtimit: problema të lëndës shkollore të trigonometrisë dhe gjeometrisë në të cilat përdoren trinjakët e Pitagorës.
Rëndësia e studimit. Tripletat e Pitagorës përdoren shpesh në gjeometri dhe trigonometri, njohja e tyre do të eliminojë gabimet në llogaritjet dhe do të kursejë kohë.
II. Pjesa kryesore. Zgjidhja e problemeve duke përdorur treshe Pitagora.
2.1. Tabela e trefishave të numrave të Pitagorës (sipas Perelman)
Numrat pitagorianë kanë formën a= m·n, , ku m dhe n janë disa numra tekë relativisht të thjeshtë.
Numrat e Pitagorës kanë një numër karakteristikash interesante:
Një nga "këmbët" duhet të jetë shumëfish i tre.
Një nga "këmbët" duhet të jetë shumëfish i katër.
Një nga numrat e Pitagorës duhet të jetë shumëfish i pesës.
Libri "Algjebra argëtuese" përmban një tabelë me treshe Pitagora që përmbajnë numra deri në njëqind që nuk kanë faktorë të përbashkët.
32+42=52 |
||
52+122=132 |
||
72+242=252 |
||
92+402=412 |
||
112+602=612 |
||
132+842=852 |
||
152+82=172 |
||
212 +202=292 |
||
332+562=652 |
||
392+802=892 |
||
352+122=372 |
||
452+282=532 |
||
552+482=732 |
||
652+722=972 |
||
632+162=652 |
||
772+362=852 |
2.2. Klasifikimi i trefishave të Pitagorës sipas Shustrovit.
Shustrov zbuloi modelin e mëposhtëm: nëse të gjithë trekëndëshat e Pitagorës shpërndahen në grupe, atëherë për këmbën tek x, çift y dhe hipotenuzën z janë të vlefshme formulat e mëposhtme:
x = (2N-1)·(2n+2N-1); y = 2n·(n+2N-1); z = 2n·(n+2N-1)+(2N-1) 2, ku N është numri i familjes dhe n është numri serial i trekëndëshit në familje.
Duke zëvendësuar çdo numër të plotë pozitiv, duke filluar nga një, në formulën në vend të N dhe n, mund të merrni të gjitha treshe kryesore të numrave të Pitagorës, si dhe shumëfisha të një lloji të caktuar. Ju mund të bëni një tabelë me të gjitha trinjakët e Pitagorës për çdo familje.
2.3. Problemet e planimetrisë
Le të shohim problemet nga tekste të ndryshme të gjeometrisë dhe të zbulojmë se sa shpesh shfaqen treshe Pitagora në këto detyra. Ne nuk do të shqyrtojmë problemet e parëndësishme të gjetjes së elementit të tretë nga tabela e treshave të Pitagorës, megjithëse ato gjenden edhe në tekstet shkollore. Ne do të tregojmë se si të reduktojmë zgjidhjen e një problemi, të dhënat e të cilit nuk shprehen në numra natyrorë në treshe Pitagora.
Le të shohim problemet nga një tekst mësimor gjeometrie për klasat 7-9.
№ 000. Gjeni hipotenuzën e një trekëndëshi kënddrejtë duke përdorur këmbët A=, b=.
Zgjidhje. Gjatësitë e këmbëve i shumëzojmë me 7, marrim dy elementë nga treshja e Pitagorës 3 dhe 4. Elementi që mungon është 5, të cilin e ndajmë me 7. Përgjigju.
№ 000. Në drejtkëndëshin ABCD gjeni BC nëse CD=1,5, AC=2,5.
https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" width="240" height="139 src=">
Zgjidhje. Zgjidhja e trekëndëshit kënddrejtë ACD. I shumëzojmë gjatësitë me 2, marrim dy elemente nga treshja e Pitagorës 3 dhe 5, elementi që mungon është 4, të cilin e ndajmë me 2. Përgjigje: 2.
Kur zgjidhni numrin tjetër, kontrolloni raportin a2+b2=c2Është plotësisht opsionale, mjafton të përdorni numrat e Pitagorës dhe vetitë e tyre.
№ 000. Zbuloni nëse një trekëndësh është kënddrejtë nëse brinjët e tij shprehen me numra:
a) 6,8,10 (trefishi i Pitagorës 3,4.5) - po;
Njëra nga këmbët e një trekëndëshi kënddrejtë duhet të jetë e pjestueshme me 4. Përgjigje: jo.
c) 9,12,15 (trefishi i Pitagorës 3,4.5) - po;
d) 10,24,26 (trefishi i Pitagorës 5,12.13) - po;
Një nga numrat e Pitagorës duhet të jetë shumëfish i pesës. Përgjigje: jo.
g) 15, 20, 25 (trefishi i Pitagorës 3,4.5) - po.
Nga tridhjetë e nëntë detyrat në këtë seksion (teorema e Pitagorës), njëzet e dy zgjidhen gojarisht duke përdorur numrat pitagorianë dhe njohuri për vetitë e tyre.
Merrni parasysh detyrën nr. 000 (nga seksioni "Detyrat shtesë"):
Gjeni sipërfaqen e katërkëndëshit ABCD në të cilin AB=5 cm, BC=13 cm, CD=9 cm, DA=15 cm, AC=12 cm.
Në problem duhet të kontrollojmë lidhjen a2+b2=c2 dhe provoni se një katërkëndësh i caktuar përbëhet nga dy trekëndësha kënddrejtë (teorema e kundërt). Dhe njohja e trinjakëve të Pitagorës: 3, 4, 5 dhe 5, 12, 13, ju kursen nga llogaritjet.
Ne paraqesim zgjidhje për disa probleme nga një tekst mësimor i gjeometrisë për klasat 7-9.
Problemi 156 (h). Këmbët e një trekëndëshi kënddrejtë janë 9 dhe 40. Gjeni mesataren e tërhequr në hipotenuzë.
Zgjidhje . Mesatarja e tërhequr në hipotenuzë është e barabartë me gjysmën e saj. Treshja e Pitagorës është 9,40 dhe 41. Prandaj, mesatarja është 20,5.
Problemi 156 (i). Brinjët e trekëndëshit janë të barabarta: A= 13 cm, b = 20 cm dhe lartësi hс = 12 cm Gjeni bazën Me.
Problemi (provimi i unifikuar i shtetit KIMY). Gjeni rrezen e një rrethi të brendashkruar në një trekëndësh akut ABC nëse lartësia BH është 12 dhe dihet se mëkat A=,mëkat С=majtas"> 
Zgjidhje. E zgjidhim drejtkëndëshin ∆ ASK: sin A=, BH=12, pra AB=13,AK=5 (trefishi i Pitagorës 5,12,13). Zgjidhim drejtkëndëshin ∆ ВСH: ВH =12, mëkat С===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (Treshja e Pitagorës 3,4,5).Rrezja gjendet me formulën r ===4.
2.4. Trefishat e Pitagorës në trigonometri
Identiteti kryesor trigonometrik është një rast i veçantë i teoremës së Pitagorës: sin2a + cos2a = 1; (a/c) 2 + (b/c)2 =1. Prandaj, disa probleme trigonometrike mund të zgjidhen lehtësisht gojarisht duke përdorur trinjakët e Pitagorës.
Problemet në të cilat ju duhet të gjeni vlerat e funksioneve të mbetura duke përdorur një vlerë të caktuar të një funksioni funksionet trigonometrike, mund të zgjidhet pa katrorë dhe nxjerrë rrënjë katrore. Të gjitha detyrat e këtij lloji në tekstin shkollor të algjebrës (10-11) nga Mordkovich (Nr. 000-Nr. 000) mund të zgjidhen me gojë, duke ditur vetëm disa treshe pitagorase: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . Le të shqyrtojmë zgjidhjet për dy detyra.
Nr. 000 a). sin t = 4/5, π/2< t < π.
Zgjidhje. Tripleja e Pitagorës: 3, 4, 5. Prandaj, cos t = -3/5; tan t = -4/3,
Nr. 000 b). tan t = 2,4, π< t < 3π/2.
Zgjidhje. tg t = 2,4=24/10=12/5. Trefishi i Pitagorës 5,12,13. Duke marrë parasysh shenjat, marrim sin t = -12/13, cos t = -5/13, cot t = 5/12.
3. Materialet testuese dhe matëse për Provimin e Unifikuar të Shtetit
a) cos (arcsin 3/5)=4/5 (3, 4, 5)
b) mëkati (arccos 5/13)=12/13 (5, 12, 13)
c) tg (arcsin 0.6)=0.75 (6, 8, 10)
d) ctg (arccos 9/41) =9/40 (9, 40, 41)
e) 4/3 tg (π–arcsin (–3/5))= 4/3 tg (π+arcsin 3/5)= 4/3 tg harksin 3/5=4/3 3/4=1
f) kontrolloni barazinë:
harksin 4/5 + harkun 5/13 + harkun 16/65 = π/2.
Zgjidhje. harksin 4/5 + harkun 5/13 + harkun 16/65 = π/2
arcsin 4/5 + harksin 5/13 = π/2 - harksin 16/65
mëkat (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = mëkat (arсcos 16/65)
sin (arcsin 4/5) cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) sin (arcsin 5/13) = 63/65
4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65
III. konkluzioni
Në problemet e gjeometrisë, shpesh ju duhet të zgjidhni trekëndëshat kënddrejtë, ndonjëherë disa herë. Pasi kemi analizuar detyrat në tekstet shkollore dhe materialet e Provimit të Unifikuar të Shtetit, mund të konkludojmë se përdoren kryesisht trinjakët: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; të cilat janë të lehta për t'u mbajtur mend. Gjatë zgjidhjes së disa problemeve trigonometrike, zgjidhja klasike duke përdorur formula trigonometrike dhe një numër të madh llogaritjesh kërkon kohë, dhe njohja e treshave të Pitagorës do të eliminojë gabimet në llogaritje dhe do të kursejë kohë për zgjidhjen e problemeve më të vështira në Provimin e Unifikuar të Shtetit.
Bibliografia
1. Algjebra dhe fillimet e analizës. Klasat 10-11. Në orën 14:00 Pjesa 2. Libri me probleme për institucionet arsimore/ [etj.]; redaktuar nga . – Botimi i 8-të, i fshirë. – M.: Mnemosyne, 2007. – 315 f. : i sëmurë.
2. Algjebra Perelman. – D.: VAP, 1994. – 200 f.
3. Roganovsky: Libër mësuesi. Për klasat 7-9. me thellësi studimi i matematikës në arsimin e përgjithshëm. shkolla nga rusishtja gjuha trajnimi, - botimi i 3-të. – Mn.; Nar. Asveta, 2000. – 574 f.: ill.
4. Matematika: Lexues për historinë, metodologjinë, didaktikën. / Komp. . – M.: Shtëpia botuese URAO, 2001. – 384 f.
5. Revista “Matematika në shkollë” Nr.1, 1965.
6. Materialet testuese dhe matëse për Provimin e Unifikuar të Shtetit.
7. Gjeometria, 7-9: Libër mësuesi. për institucionet arsimore të përgjithshme /, etj. - Botimi i 13-të - M.: Arsimi, 2003. – 384 f. : i sëmurë.
8. Gjeometria: Teksti mësimor. për klasat 10-11. mesatare shkollë/, etj – botimi 2. – M.: Arsimi, 1993, - 207 f.: ill.
Algjebra Perelman. – D.: VAP, 1994. – 200 f.
Revista “Matematika në shkollë” Nr.1, 1965.
Gjeometria, 7-9: Libër mësuesi. për institucionet arsimore të përgjithshme /, etj. - Botimi i 13-të - M.: Arsimi, 2003. – 384 f. : i sëmurë.
Roganovsky: Libër mësuesi. Për klasat 7-9. me thellësi studimi i matematikës në arsimin e përgjithshëm. shkolla nga rusishtja gjuha trajnimi, - botimi i 3-të. – Mn.; Nar. Asveta, 2000. – 574 f.: ill.
Algjebra dhe fillimet e analizës. Klasat 10-11. Në 2 orë Pjesa 2. Libër me probleme për institucionet arsimore / [dhe të tjera]; redaktuar nga . – Botimi i 8-të, i fshirë. – M.: Mnemosyne, 2007. – 315 f. : i sëmurë, f.18.
» nga Profesor Emeritus i Matematikës në Universitetin e Warwick-ut, popullarizuesi i famshëm i shkencës Ian Stewart, kushtuar rolit të numrave në historinë e njerëzimit dhe rëndësisë së studimit të tyre në kohën tonë.
Trekëndëshat e Pitagorës kanë kënde të drejta dhe brinjë numër të plotë. Më e thjeshta prej tyre ka një anë më të gjatë me gjatësi 5, të tjerat - 3 dhe 4. Janë gjithsej 5 poliedra të rregullt. Një ekuacion i shkallës së pestë nuk mund të zgjidhet duke përdorur rrënjët e pesta - ose ndonjë rrënjë tjetër. Rrjetat në një plan dhe në hapësirën tredimensionale nuk kanë simetri rrotulluese me pesë lobe, kështu që simetri të tilla mungojnë në kristale. Megjithatë, ato mund të gjenden në rrjeta në hapësirën katër-dimensionale dhe në struktura interesante të njohura si kuazikristale.
Teorema e Pitagorës thotë se brinja më e gjatë e një trekëndëshi kënddrejtë (hipotenuza famëkeqe) lidhet me dy brinjët e tjera të këtij trekëndëshi në një mënyrë shumë të thjeshtë dhe të bukur: katrori i hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të dy anët e tjera.
Tradicionalisht, ne e quajmë këtë teoremë me emrin e Pitagorës, por në fakt historia e saj është mjaft e paqartë. Pllakat e argjilës sugjerojnë se babilonasit e lashtë e njihnin teoremën e Pitagorës shumë përpara vetë Pitagorës; Fama e zbuluesit iu solli atij nga kulti matematikor i Pitagorianëve, mbështetësit e të cilëve besonin se Universi bazohej në ligje numerike. Autorët e lashtë ia atribuan një sërë teoremash matematikore Pitagorasve - dhe për rrjedhojë Pitagorës, por në fakt ne nuk e kemi idenë se në çfarë lloj matematike ishte përfshirë vetë Pitagora. Ne as nuk e dimë nëse pitagorianët mund ta vërtetonin Teoremën e Pitagorës apo thjesht besonin se ishte e vërtetë. Ose, me shumë mundësi, ata kishin prova bindëse për të vërtetën e saj, të cilat megjithatë nuk do të mjaftonin për atë që ne e konsiderojmë sot provë.
Prova e parë e njohur e teoremës së Pitagorës gjendet në Elementet e Euklidit. Kjo është një provë mjaft komplekse, duke përdorur një vizatim që nxënësit e shkollës viktoriane do ta njihnin menjëherë si "pantallonat e Pitagorës"; Vizatimi vërtet i ngjan mbathjeve që thahen në vijë. Ka fjalë për fjalë qindra prova të tjera, shumica e të cilave e bëjnë pohimin më të qartë.
// Oriz. 33. Pantallona pitagoriane
Një nga provat më të thjeshta është një lloj enigme matematikore. Merrni çdo trekëndësh kënddrejtë, bëni katër kopje të tij dhe mblidhni brenda katrorit. Në një rregullim shohim një katror në hipotenuzë; me tjetrin - katrorë në dy anët e tjera të trekëndëshit. Është e qartë se zonat në të dyja rastet janë të barabarta.
// Oriz. 34. Majtas: katror në hipotenuzë (plus katër trekëndësha). Djathtas: shuma e katrorëve në dy anët e tjera (plus të njëjtët katër trekëndësha). Tani eliminoni trekëndëshat
Diseksioni i Perigalit është një tjetër provë e enigmës.
// Oriz. 35. Diseksioni i Perigalit
Ekziston gjithashtu një provë e teoremës duke përdorur rregullimin e katrorëve në një plan. Ndoshta kështu e zbuluan këtë teoremë pitagorianët ose paraardhësit e tyre të panjohur. Nëse shikoni se si katrori i anuar mbivendos dy katrorë të tjerë, mund të shihni se si të prisni një katror të madh në copa dhe më pas t'i bashkoni në dy katrorë më të vegjël. Mund të shihni gjithashtu trekëndësha kënddrejtë, brinjët e të cilëve japin përmasat e tre katrorëve të përfshirë.
// Oriz. 36. Vërtetim me asfaltim
Ka prova interesante duke përdorur trekëndësha të ngjashëm në trigonometri. Dihen të paktën pesëdhjetë prova të ndryshme.
Në teorinë e numrave, teorema e Pitagorës u bë burimi i një ideje të frytshme: gjetja e zgjidhjeve me numra të plotë për ekuacionet algjebrike. Një treshe e Pitagorës është një grup numrash të plotë a, b dhe c të tillë që
Gjeometrikisht, një treshe e tillë përcakton një trekëndësh kënddrejtë me brinjë të plotë.
Hipotenuza më e vogël e një treshe të Pitagorës është 5.
Dy brinjët e tjera të këtij trekëndëshi janë 3 dhe 4. Këtu
32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.
Hipotenuza tjetër më e madhe është 10 sepse
62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.
Sidoqoftë, ky është në thelb i njëjti trekëndësh me anët e dyfishta. Hipotenuza tjetër më e madhe dhe vërtet e ndryshme është 13, për të cilën
52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.
Euklidi e dinte se kishte një numër të pafund variacionesh të ndryshme të treshave të Pitagorës, dhe ai dha atë që mund të quhet një formulë për gjetjen e të gjithave. Më vonë, Diofanti i Aleksandrisë propozoi një recetë të thjeshtë, në thelb identike me Euklidianin.
Merrni dy numra natyrorë dhe llogarisni:
produkti i tyre i dyfishtë;
ndryshimi i katrorëve të tyre;
shuma e katrorëve të tyre.
Tre numrat që rezultojnë do të jenë anët e trekëndëshit të Pitagorës.
Le të marrim, për shembull, numrat 2 dhe 1. Le të llogarisim:
produkti i dyfishtë: 2 × 2 × 1 = 4;
dallimi i katrorëve: 22 - 12 = 3;
shuma e katrorëve: 22 + 12 = 5,
dhe morëm trekëndëshin e famshëm 3-4-5. Nëse marrim numrat 3 dhe 2, marrim:
produkti i dyfishtë: 2 × 3 × 2 = 12;
dallimi i katrorëve: 32 - 22 = 5;
shuma e katrorëve: 32 + 22 = 13,
dhe marrim trekëndëshin tjetër më të famshëm 5 - 12 - 13. Le të përpiqemi të marrim numrat 42 dhe 23 dhe të marrim:
produkti i dyfishtë: 2 × 42 × 23 = 1932;
dallimi i katrorëve: 422 - 232 = 1235;
shuma e katrorëve: 422 + 232 = 2293,
askush nuk ka dëgjuar ndonjëherë për trekëndëshin 1235–1932–2293.
Por edhe këta numra funksionojnë:
12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.
Ekziston një veçori tjetër e rregullit Diophantine që tashmë është lënë të kuptohet: duke pasur parasysh tre numra, ne mund të marrim një numër tjetër arbitrar dhe t'i shumëzojmë të gjithë me të. Kështu, një trekëndësh 3–4–5 mund të shndërrohet në një trekëndësh 6–8–10 duke shumëzuar të gjitha anët me 2, ose në një trekëndësh 15–20–25 duke i shumëzuar të gjitha me 5.
Nëse kalojmë në gjuhën e algjebrës, rregulli merr formën e mëposhtme: le të jenë u, v dhe k numra natyrorë. Pastaj një trekëndësh kënddrejtë me brinjë
2kuv dhe k (u2 - v2) ka një hipotenuzë
Ka mënyra të tjera për të paraqitur idenë kryesore, por të gjitha ato përfundojnë në atë të përshkruar më sipër. Kjo metodë ju lejon të merrni të gjitha trefishat e Pitagorës.
Janë saktësisht pesë poliedra të rregullta. Një shumëfaqësh i rregullt (ose shumëfaqësh) është një figurë tredimensionale me një numër të kufizuar faqesh të sheshta. Fytyrat takohen me njëra-tjetrën në vija të quajtura skaje; skajet takohen në pika të quajtura kulme.
Kulmi i Principisë së Euklidianit është prova se mund të ketë vetëm pesë poliedra të rregullt, domethënë shumëfaqësh në të cilat secila faqe është një shumëkëndësh i rregullt (anët e barabarta, këndet e barabarta), të gjitha fytyrat janë identike dhe të gjitha kulmet janë të rrethuara nga një shumëkëndësh i barabartë. numri i fytyrave të barabarta. Këtu janë pesë poliedra të rregullta:
katërkëndësh me katër faqe trekëndore, katër kulme dhe gjashtë skaje;
kub, ose gjashtëkëndor, me 6 faqe katrore, 8 kulme dhe 12 skaje;
oktaedron me 8 faqe trekëndore, 6 kulme dhe 12 buzë;
dodekahedron me 12 faqe pesëkëndëshe, 20 kulme dhe 30 skaje;
Një ikozaedron me 20 faqe trekëndore, 12 kulme dhe 30 skaje.
// Oriz. 37. Pesë poliedra të rregullta
Polyedra të rregullta mund të gjenden gjithashtu në natyrë. Në vitin 1904, Ernst Haeckel botoi vizatime të organizmave të vegjël të njohur si radiolarët; shumë prej tyre kanë formë si ato pesë poliedra të rregullta. Ndoshta, megjithatë, ai e korrigjoi pak natyrën dhe vizatimet nuk pasqyrojnë plotësisht formën e qenieve të gjalla specifike. Tre strukturat e para vërehen edhe në kristale. Nuk do të gjeni dodekaedron dhe ikosaedron në kristale, megjithëse dodekaedronët dhe ikozaedronët e parregullt gjenden ndonjëherë atje. Dodekaedronët e vërtetë mund të ndodhin si kuazikristalë, të cilët janë të ngjashëm me kristalet në çdo mënyrë, përveç se atomet e tyre nuk formojnë një rrjetë periodike.
// Oriz. 38. Vizatimet e Haeckel: radiolarët në formën e poliedrave të rregullt
// Oriz. 39. Zhvillimet e poliedrit të rregullt
Mund të jetë interesante të bësh modele të poliedrave të rregullt nga letra duke prerë fillimisht një grup fytyrash të ndërlidhura - kjo quhet zhvillimi i një poliedri; zhvillimi është palosur përgjatë skajeve dhe skajet përkatëse janë ngjitur së bashku. Është e dobishme të shtoni një jastëk ngjitës shtesë në njërën nga brinjët e çdo çifti të tillë, siç tregohet në Fig. 39. Nëse nuk ka një platformë të tillë, mund të përdorni shirit ngjitës.
Nuk ka formulë algjebrike për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallës së 5-të.
NË pamje e përgjithshme Ekuacioni i shkallës së pestë duket kështu:
ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.
Problemi është të gjesh një formulë për zgjidhjet e një ekuacioni të tillë (mund të ketë deri në pesë zgjidhje). Përvoja me ekuacionet kuadratike dhe kubike, si dhe ekuacionet e shkallës së katërt, sugjeron që një formulë e tillë duhet të ekzistojë edhe për ekuacionet e shkallës së pestë dhe, teorikisht, rrënjët e shkallës së pestë, të tretë dhe të dytë duhet të shfaqen në të. Përsëri, mund të supozojmë me siguri se një formulë e tillë, nëse ekziston, do të jetë shumë, shumë komplekse.
Ky supozim përfundimisht doli të ishte i gabuar. Në fakt, një formulë e tillë nuk ekziston; të paktën nuk ka asnjë formulë të përbërë nga koeficientët a, b, c, d, e dhe f, të bërë duke përdorur mbledhjen, zbritjen, shumëzimin dhe pjesëtimin dhe duke marrë rrënjë. Pra, ka diçka shumë të veçantë për numrin 5. Arsyet për këtë sjellje të pazakontë të të pestësve janë shumë të thella dhe u desh shumë kohë për t'i kuptuar ato.
Shenja e parë e telashit ishte se sado të vështirë të përpiqeshin matematikanët të gjenin një formulë të tillë, sado të zgjuar të ishin, ata pa ndryshim dështuan. Për ca kohë, të gjithë besonin se arsyet qëndronin në kompleksitetin e jashtëzakonshëm të formulës. Besohej se askush thjesht nuk mund ta kuptonte këtë algjebër siç duhet. Sidoqoftë, me kalimin e kohës, disa matematikanë filluan të dyshojnë se një formulë e tillë madje ekzistonte, dhe në 1823 Niels Hendrik Abel ishte në gjendje të provonte të kundërtën. Nuk ka një formulë të tillë. Menjëherë pas kësaj, Évariste Galois gjeti një mënyrë për të përcaktuar nëse një ekuacion i një shkalle ose një tjetër - 5, 6, 7, çdo lloj - ishte i zgjidhshëm duke përdorur këtë lloj formule.
Përfundimi nga e gjithë kjo është i thjeshtë: numri 5 është i veçantë. Ju mund të zgjidhni ekuacionet algjebrike (duke përdorur rrënjët shkalla e nëntë Për kuptime të ndryshme n) për shkallët 1, 2, 3 dhe 4, por jo për shkallën e 5-të. Këtu përfundon modeli i dukshëm.
Askush nuk habitet që ekuacionet e shkallëve më të mëdha se 5 sillen edhe më keq; në veçanti, kanë të njëjtën vështirësi: jo formulat e përgjithshme për t'i zgjidhur ato. Kjo nuk do të thotë se ekuacionet nuk kanë zgjidhje; Kjo gjithashtu nuk do të thotë se është e pamundur të gjenden vlera numerike shumë të sakta për këto zgjidhje. Gjithçka ka të bëjë me kufizimet e mjeteve tradicionale të algjebrës. Kjo të kujton pamundësinë e treprerjes së një këndi duke përdorur një vizore dhe busull. Përgjigja ekziston, por metodat e listuara janë të pamjaftueshme dhe nuk na lejojnë të përcaktojmë se çfarë është.
Kristalet në dy dhe tre dimensione nuk kanë simetri rrotulluese me 5 rreze.
Atomet në një kristal formojnë një grilë, domethënë një strukturë që përsëritet periodikisht në disa drejtime të pavarura. Për shembull, modeli në letër-muri përsëritet përgjatë gjatësisë së rrotullës; përveç kësaj, zakonisht përsëritet në drejtimin horizontal, ndonjëherë me një zhvendosje nga një copë letër-muri në tjetrën. Në thelb, letër-muri është një kristal dy-dimensional.
Ekzistojnë 17 lloje të modeleve të letër-muri në një aeroplan (shih Kapitullin 17). Ato ndryshojnë në llojet e simetrisë, domethënë në mënyrat për të lëvizur në mënyrë të ngurtë modelin në mënyrë që të shtrihet saktësisht në vetvete në pozicionin e tij origjinal. Llojet e simetrisë përfshijnë, në veçanti, opsione të ndryshme simetria rrotulluese, ku vizatimi duhet të rrotullohet në një kënd të caktuar rreth një pike të caktuar - qendra e simetrisë.
Rendi i simetrisë rrotulluese është numri i herëve që trupi mund të rrotullohet në një rreth të plotë në mënyrë që të gjitha detajet e modelit të kthehen në pozicionet e tyre origjinale. Për shembull, një rrotullim 90° është simetri rrotullimi i rendit të katërt*. Lista e llojeve të mundshme të simetrisë rrotulluese në një rrjetë kristalore tregon përsëri pazakonshmërinë e numrit 5: nuk është aty. Ka opsione me simetri rrotullimi të rendit 2, 3, 4 dhe 6, por asnjë model i letër-muri nuk ka simetri rrotullimi të rendit të 5-të. Simetria e rrotullimit të rendit më të madh se 6 gjithashtu nuk ekziston në kristale, por shkelja e parë e sekuencës ende ndodh në numrin 5.
E njëjta gjë ndodh me sistemet kristalografike në hapësirën tredimensionale. Këtu grila përsëritet në tre drejtime të pavarura. Janë 219 lloje të ndryshme simetri, ose 230, nëse e konsiderojmë pasqyrimin e pasqyrës së vizatimit si një variant të veçantë të tij - pavarësisht se në këtë rast nuk ka simetri pasqyre. Përsëri, vërehen simetri rrotulluese të rendit 2, 3, 4 dhe 6, por jo 5. Ky fakt quhet kufizim kristalografik.
Në hapësirën katërdimensionale ekzistojnë grila me simetri të rendit të 5-të; Në përgjithësi, për grilat me dimension mjaft të lartë, çdo rend i paracaktuar i simetrisë rrotulluese është i mundur.
// Oriz. 40. Rrjetë kristalore e kripës së tryezës. Topat e errët përfaqësojnë atomet e natriumit, topat e lehta përfaqësojnë atomet e klorit
Megjithëse simetria rrotulluese e rendit të 5-të nuk është e mundur në rrjetat 2D ose 3D, ajo mund të ekzistojë në struktura pak më pak të rregullta të njohura si kuazikristale. Duke përdorur skicat e Keplerit, Roger Penrose zbuloi sisteme të sheshta me më shumë lloji i përgjithshëm simetri pesëfish. Ata quhen kuazikristale.
Kuazikristalet ekzistojnë në natyrë. Në vitin 1984, Daniel Shechtman zbuloi se një aliazh alumini dhe mangani mund të formonte kuazikristale; Fillimisht, kristalografët e përshëndetën raportin e tij me njëfarë skepticizmi, por zbulimi u konfirmua më vonë dhe në vitin 2011 Shechtman iu dha Çmimi Nobel në Kimi. Në vitin 2009, një ekip shkencëtarësh të udhëhequr nga Luca Bindi zbuluan kuazikristale në një mineral nga malësitë ruse Koryak - një përbërje prej alumini, bakri dhe hekuri. Sot ky mineral quhet ikosahedrit. Duke matur përmbajtjen e izotopeve të ndryshme të oksigjenit në mineral duke përdorur një spektrometër masiv, shkencëtarët treguan se ky mineral nuk e kishte origjinën në Tokë. Ajo u formua rreth 4.5 miliardë vjet më parë, në një kohë kur sistemi diellor sapo u shfaq dhe u shpenzua shumica e koha në rripin e asteroideve, që rrotullohet rreth Diellit, derisa ndonjë shqetësim ia ndryshoi orbitën dhe përfundimisht e solli në Tokë.
// Oriz. 41. Majtas: një nga dy rrjetat kuazikristalore me simetri të saktë pesëfish. Djathtas: Modeli atomik i një kuazikristali ikozaedral alumin-paladium-mangan
Meqenëse barazimi. x 2 + y 2 = z 2 homogjene, kur shumëzohen x , y Dhe z për të njëjtin numër ju merrni një tjetër treshe të Pitagorës. Tripleja e Pitagorës quhet primitive, nëse nuk mund të merret në këtë mënyrë, pra numrat koprim.
Disa treshe të Pitagorës (të renditura në rend rritës të numrit maksimal, ato primitive të theksuara):
(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…
Trinjakët e Pitagorës janë njohur për një kohë shumë të gjatë. Në arkitekturën e gurëve të varreve të lashta të Mesopotamisë, gjendet një trekëndësh dykëndësh i përbërë nga dy drejtkëndëshe me brinjë 9, 12 dhe 15 kubitë. Piramidat e faraonit Snofru (shek. XXVII para Krishtit) u ndërtuan duke përdorur trekëndësha me brinjë 20, 21 dhe 29, si dhe 18, 24 dhe 30 dhjetëra kubitë egjiptianë.
X Simpoziumi Gjith-Rus mbi Matematikën e Aplikuar dhe Industriale. Shën Petersburg, 19 maj 2009
Raport: Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve diofantine.
Punimi diskuton metodën e studimit të ekuacioneve diofantine dhe paraqet zgjidhjen e mëposhtme me këtë metodë: - Teorema e fundit e Fermatit; - kërkoni për treshe Pitagora etj. http://referats.protoplex.ru/referats_show/6954.html
Fondacioni Wikimedia.
Shihni se çfarë janë "trinjakët e Pitagorës" në fjalorë të tjerë:
Në matematikë, numrat e Pitagorës (trefishi i Pitagorës) janë një tufë prej tre numrash të plotë që plotësojnë relacionin pitagorian: x2 + y2 = z2. Përmbajtja 1 Vetitë ... Wikipedia Për shembull, trekëndëshat e numrave natyrorë, gjatësia e brinjëve të të cilit janë proporcionale (ose të barabarta) me këta numra, është drejtkëndëshe. trefishi i numrave: 3, 4, 5...
Fjalori i madh enciklopedik Trefishat e numrave natyrorë të tillë që një trekëndësh, gjatësia e brinjëve të të cilit janë proporcionale (ose të barabarta) me këta numra, është drejtkëndëshe. Sipas teoremës së kundërt me teoremën e Pitagorës (shih teoremën e Pitagorës), për këtë mjafton që ata... ...
Enciklopedia e Madhe Sovjetike Trefishat e numrave të plotë pozitivë x, y, z që plotësojnë ekuacionin x2+y 2=z2. Të gjitha zgjidhjet e këtij ekuacioni, dhe për rrjedhojë të gjithë numrat e pjesshëm, shprehen me formulat x = a 2 b2, y = 2ab, z = a2 + b2, ku a dhe b janë numra të plotë pozitiv arbitrarë (a>b). P.h...
Enciklopedia Matematikore Për shembull, trekëndëshat e numrave natyrorë, gjatësia e brinjëve të të cilit janë proporcionale (ose të barabarta) me këta numra, është drejtkëndëshe. trefishi i numrave: 3, 4, 5...
Shkenca natyrore. Fjalor Enciklopedik Trefishat e numrave natyrorë të tillë që një trekëndësh, gjatësia e brinjëve të të cilit janë proporcionale (ose të barabarta) me këta numra, të jetë drejtkëndëshe, për shembull, një treshe numrash: 3, 4, 5. që......
Në matematikë, një treshe pitagoriane është një tufë prej tre numrash natyrorë që plotësojnë relacionin pitagorian: Në këtë rast, numrat që formojnë një treshe të Pitagorës quhen numra pitagorianë. Përmbajtja 1 Trinjakë primitive ... Wikipedia
Teorema e Pitagorës është një nga teoremat themelore të gjeometrisë Euklidiane, duke vendosur marrëdhëniet midis brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë. Përmbajtja 1 ... Wikipedia
Teorema e Pitagorës është një nga teoremat themelore të gjeometrisë Euklidiane, duke vendosur marrëdhëniet midis brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë. Përmbajtja 1 Deklarata 2 Dëshmi ... Wikipedia
Ky është një ekuacion i formës ku P është një funksion numër i plotë (për shembull, një polinom me koeficientë të plotë) dhe variablat marrin vlera të plota. Emërtuar sipas matematikanit të lashtë grek Diophantus. Përmbajtja 1 Shembuj ... Wikipedia
Një shembull i rëndësishëm i një ekuacioni diofantin është dhënë nga teorema e Pitagorës, e cila lidh gjatësitë x dhe y të këmbëve të një trekëndëshi kënddrejtë me gjatësinë z të hipotenuzës së tij:
Ju, sigurisht, keni hasur në një nga zgjidhjet e mrekullueshme të këtij ekuacioni në numrat natyrorë, domethënë trefishin e numrave të Pitagorës. x = 3, y = 4, z = 5. A ka ndonjë treshe tjetër si kjo?
Rezulton se ka pafundësisht shumë treshe të Pitagorës dhe të gjitha janë gjetur shumë kohë më parë. Ato mund të merren duke përdorur formula të njohura, për të cilat do të mësoni nga ky paragraf.
Nëse ekuacionet diofantine të shkallës së parë dhe të dytë tashmë janë zgjidhur, atëherë çështja e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallëve më të larta mbetet ende e hapur, pavarësisht përpjekjeve të matematikanëve më të mëdhenj. Aktualisht, për shembull, hamendja e famshme e Fermatit se për çdo vlerë të plotë nuk është vërtetuar apo hedhur poshtë ende përfundimisht n2 ekuacioni
nuk ka zgjidhje në numra të plotë.
Për zgjidhjen e disa llojeve të ekuacioneve Diofantine, të ashtuquajturat numra komplekse.Çfarë është ajo? Le të tregojë shkronja i një objekt të caktuar që plotëson kushtin i 2 = -1(është e qartë se asnjë numër i vetëm real nuk e plotëson këtë kusht). Merrni parasysh shprehjet e formës α + iβ, ku janë α dhe β numra realë. Shprehje të tilla do t'i quajmë numra kompleksë, duke përcaktuar veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit mbi to, si dhe mbi binomet, por me ndryshimin e vetëm që shprehja unë 2 Ne do të zëvendësojmë numrin -1 kudo:
7.1. Një tre është shumë
Vërtetoni se nëse x 0, y 0, z 0- Trefishi i Pitagorës, pastaj trefishi y 0, x 0, z 0 Dhe x 0 k, y 0 k, z 0 k për çdo vlerë të parametrit natyror k janë edhe pitagorianë.
7.2. Formula të veçanta
Kontrolloni për ndonjë vlerë natyrore m>n lloj treshe
është pitagorian. Çdo treshe pitagoriane x, y, z a mund të paraqitet në këtë formë nëse lejojmë që numrat x dhe y në treshe të ndërrohen?
7.3. Trinjakë të pakalueshëm
Një treshe pitagorase e numrave që nuk kanë një pjesëtues të përbashkët më të madh se 1 do të quhet i pakalueshëm. Vërtetoni se një treshe e Pitagorës është e pakalueshme vetëm nëse dy nga numrat në treshe janë të dyfishta.
7.4. Vetia e trefishave të pareduktueshme
Vërtetoni se në çdo treshe pitagoriane të pareduktueshme x, y, z, numri z dhe saktësisht njëri prej numrave x ose y janë tek.
7.5. Të gjitha trinjakët e pakalueshëm
Vërtetoni se një treshe e numrave x, y, z është një treshe pitagoriane e pakalueshme nëse dhe vetëm nëse përkon me trefishin deri në rendin e dy numrave të parë 2mn, m 2 - n 2, m 2 + n 2, Ku m>n- numra natyrorë reciprokisht të thjeshtë të pariteteve të ndryshme.
7.6. Formula të përgjithshme
Vërtetoni se të gjitha zgjidhjet e ekuacionit
në numrat natyrorë jepen sipas renditjes së të panjohurave x dhe y nga formulat
ku m>n dhe k janë parametra natyrorë (për të eliminuar dyfishimin e çdo treshe, mjafton të zgjidhni numra të tipit coprime dhe, për më tepër, të pariteteve të ndryshme).
7.7. 10 treshe të para
Gjeni të gjitha treshe të Pitagorës x, y, z, duke plotësuar kushtin x
7.8. Vetitë e treshave të Pitagorës
Vërtetoni se për çdo treshe të Pitagorës x, y, z pohimet e mëposhtme janë të vërteta:
a) të paktën njëri nga numrat x ose y është shumëfish i 3;
b) të paktën njëri nga numrat x ose y është shumëfish i 4;
c) të paktën një nga numrat x, y ose z është shumëfish i 5.
7.9. Zbatimet e numrave kompleks
Moduli i një numri kompleks α + iβ quhet një numër jo negativ
Kontrolloni atë për çdo numër kompleks α + iβ Dhe γ + iδ prona është e kënaqur
Duke përdorur vetitë e numrave kompleksë dhe modulët e tyre, provoni se çdo dy numra të plotë m dhe n plotësojnë barazinë
d.m.th., ata specifikojnë një zgjidhje të ekuacionit
numra të plotë (krahaso me problemin 7.5).
7.10. Treshe jo-pitagoriane
Duke përdorur vetitë e numrave kompleksë dhe modulët e tyre (shih problemin 7.9), gjeni formulat për çdo zgjidhje me numër të plotë të ekuacionit:
a) x 2 + y 2 = z 3; b) x 2 + y 2 = z 4.
7.1. Nëse x 0 2 + y 0 2 = z 0 2, Se y 0 2 + x 0 2 = z 0 2, dhe për çdo vlerë natyrore të k kemi
Q.E.D.
7.2. Nga barazitë
arrijmë në përfundimin se trefishi i treguar në problem e plotëson ekuacionin x 2 + y 2 = z 2 në numra natyrorë. Sidoqoftë, jo çdo treshe e Pitagorës x, y, z mund të përfaqësohet në këtë formë; për shembull, trefishi 9, 12, 15 është pitagorian, por numri 15 nuk mund të përfaqësohet si shuma e katrorëve të çdo dy numrash natyrorë m dhe n.
7.3. Nëse ka dy numra nga një treshe pitagoriane x, y, z kanë një pjesëtues të përbashkët d, atëherë ai do të jetë një pjesëtues i numrit të tretë (pra, në rastin x = x 1 d, y = y 1 d ne kemi z 2 = x 2 + y 2 = (x 1 2 + y 1 2)d 2 , nga ku z 2 pjesëtohet me d 2 dhe z ndahet me d). Prandaj, që një treshe e Pitagorës të jetë e pareduktueshme, është e nevojshme që çdo dy nga numrat e treshes të jetë njësoj,
7.4. Vini re se një nga numrat x ose y, le të themi x, të një treshe të pareduktueshme të Pitagorës x, y, zështë tek, pasi përndryshe numrat x dhe y nuk do të ishin relativisht të thjeshtë (shih problemin 7.3). Nëse numri tjetër y është gjithashtu tek, atëherë të dy numrat
lë një mbetje prej 1 kur pjesëtohet me 4, dhe numri z 2 = x 2 + y 2 jep një mbetje prej 2 kur pjesëtohet me 4, pra pjesëtohet me 2, por nuk pjesëtohet me 4, gjë që nuk mund të jetë. Kështu, numri y duhet të jetë çift, dhe numri z duhet të jetë tek.
7.5. Le të trefishohet Pitagora x, y, zështë i pakalueshëm dhe, për definicion, numri x është çift, dhe numrat y, z janë tek (shih problemin 7.4). Pastaj
ku janë numrat 
janë të tëra. Le të vërtetojmë se numrat a dhe b janë të dyfishtë. Në fakt, nëse ata do të kishin një pjesëtues të përbashkët më të madh se 1, atëherë numrat do të kishin të njëjtin pjesëtues z = a + b, y = a - b, domethënë, trefishi nuk do të ishte i pakalueshëm (shih problemin 7.3). Tani, duke zgjeruar numrat a dhe b në prodhime të faktorëve kryesorë, vërejmë se çdo faktor kryesor duhet të përfshihet në prodhim. 4ab = x 2 vetëm në shkallë çift, dhe nëse përfshihet në zgjerimin e numrit a, atëherë nuk përfshihet në zgjerimin e numrit b dhe anasjelltas. Prandaj, çdo faktor kryesor hyn në zgjerimin e numrit a ose b veçmas vetëm në një shkallë çift, që do të thotë se vetë këta numra janë katrorë të numrave të plotë. Le të vendosim 
atëherë marrim barazitë
për më tepër, parametrat natyrorë m>n janë të dyfishtë (për shkak të kokrimit të numrave a dhe b) dhe kanë barazi të ndryshme (për shkak të rastësisë së numrit z = m 2 + n 2).
Tani numrat natyrorë m>n të pariteteve të ndryshme le të jenë të dyfishtë. Pastaj tre x = 2mn, y = m 2 - n 2, z = m 2 + n 2, sipas pohimit të problemit 7.2, është pitagorian. Le të vërtetojmë se është i pakalueshëm. Për ta bërë këtë, mjafton të kontrolloni që numrat y dhe z të mos kenë pjesëtues të përbashkët (shih problemin 7.3). Në fakt, të dy këta numra janë tek, pasi numrat e tipit kanë barazi të ndryshme. Nëse numrat y dhe z kanë një pjesëtues të thjeshtë të përbashkët (atëherë ai duhet të jetë tek), atëherë secili nga numrat, dhe me ta, secili nga numrat m dhe n, kanë të njëjtin pjesëtues, gjë që bie ndesh me thjeshtësinë e tyre reciproke.
7.6. Në bazë të pohimeve të formuluara në Problemet 7.1, 7.2, këto formula përcaktojnë vetëm treshe Pitagoriane. Nga ana tjetër, çdo treshe e Pitagorës x, y, z pas zvogëlimit të tij me pjesëtuesin më të madh të përbashkët k, çiftet e numrave x dhe y bëhen të pakalueshëm (shih problemin 7.3) dhe, për rrjedhojë, mund të përfaqësohen, deri në rendin e numrave x dhe y, në formën e përshkruar në problemin 7.5. . Prandaj, çdo treshe e Pitagorës jepet nga formulat e treguara për vlera të caktuara të parametrave.
7.7. Nga pabarazia z dhe formulat e problemit 7.6 marrim vlerësimin m 2 d.m.th. m≤5. Duke besuar m = 2, n = 1 Dhe k = 1, 2, 3, 4, 5, marrim treshe 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. Duke besuar m = 3, n = 2 Dhe k = 1, 2, marrim treshe 5, 12, 13; 10, 24, 26. Duke besuar m = 4, n = 1, 3 Dhe k = 1, marrim treshe 8, 15, 17; 7, 24, 25. Më në fund, duke besuar m = 5, n = 2 Dhe k = 1, marrim një tre 20, 21, 29.
