Za foton se ne dešava gravitaciono odstupanje putanje. Foton se kreće pravolinijsko i jednoliko duž svoje svjetske linije u 4-dimenzionalnom prostor-vremenu. Za nas, posmatrače kretanja fotona (svjetlosti) u 3-dimenzionalnom prostoru u datom trenutku, putanja fotona izgleda zakrivljena zbog zakrivljenosti prostora u blizini masivnih objekata.
Takav koncept kao "relativistička masa" ne postoji u prirodi. To je prvi primijetio (1989.) akademik Lev Borisovič Okun. Čak je uveo i poseban termin - „pedagoški virus“, koji luta od jednog udžbenika do drugog. Možete pročitati jednu od najnovijih publikacija o ovom pitanju. Preporučujem kul momcima da pročitaju naučni članak na ovu temu.
L. Okun ističe da iz Ajnštajnove formule za energiju mirovanja, E₀ = mc², i formule za ukupnu energiju E = γmc², ne sledi definicija relativističke mase (m′ = γm), već samo formula za rast ukupna energija sa brzinom prema relativističkom zakonu E = γE₀. Matematički gledano, definicija "relativističke mase" je besprijekorna. Ali masa ne može zavisiti od brzine. Zamislite samo - 3 komponente mase?! Gluposti.
I foton i mi živimo u istom 4-dimenzionalnom prostor-vremenu. Ali možemo mjeriti, vidjeti, osjetiti, promatrati samo u 3-dimenzionalnom prostoru za svaki dati trenutak u vremenu u pravcu budućnosti. 4-dimenzionalni prostor-vrijeme nam ni na koji način nije fizički dostupan. Nema puta tamo. O njegovom postojanju nagađamo iz uočenih relativističkih i gravitacionih efekata. Možete postaviti i pitanje: "Zašto je to tako?" ili "Je li ovo zaista istina?" Ne postoji tačan odgovor na njih i očigledno se ne očekuje.
Odgovori
Čini se da je ustanovljeno da se fotoni nekako apsorbuju od strane crnih rupa. Ali oni su bez mase i ne bi trebalo da postoji gravitaciona interakcija. Još ne "shvatam". Newton je rekao: nema gore i dole, ali postoji gravitacija. Ajnštajn je rekao: nema gravitacije, ali postoji zakrivljenost prostora-vremena. Kao što je Njutn smislio, čini se da to možete "dobiti". Kakav ti mozak treba da bi "shvatio" Einsteina, ne mogu da "shvatim". Jedan od "fokusa" je 4-dimenzionalni prostor. Multidimenzionalni prostori u matematici nisu kuriozitet (multidimenzionalni prostori i linearna algebra su u mnogo dobrih udžbenika). Ali postoje i "trikovi": Rimanovi prostori, Hilbertovi prostori, postoje i Banahovi prostori i drugi, koji, osim toga, mogu biti konjugirani, a takođe i samopridruženi. A odozgo postoji alat za njih u forma tenzorskog računa. Potpuna "abažura". Ali uopće ne namjeravam obeshrabriti lov. Pokušaću da unesem neki zrak svjetlosti u mračno kraljevstvo. Uostalom, mi, u stvari, ne opažamo 3-dimenzionalni prostor (opažamo njegovu dvodimenzionalnu projekciju). Zaista. Ko može da percipira čak i jednostavnu 3-dimenzionalnu kocku sa svih strana odjednom? Jednostavnije: ako su ivice obojene različitim bojama, onda ne možete reći šta bojite zadnje ili donje ivice dok ne rotirate kocku. A mi pokušavamo da "shvatimo" 4-dimenzionalnu kocku sa svih strana odjednom?! Barem i sami morate biti 4-dimenzionalni ili čak 5-dimenzionalni. ostaje da se shvati sa apstraktnim metodama, bar sa matematikom.Nisam ga jako obradovao, ali me je bar mozda ubedio da ne vredi lupati celom o 4-dimenzionalni zid.Ipak, celo nije 4- dimenzionalno, ali samo trodimenzionalno.
Očigledno, internetske bitke oko toga da li tjelesna težina raste brzinom ili ne će se nastaviti zauvijek. Oni su više puta detaljno objasnili kako je, prvo, ovo pitanje ispravno formulirano, a drugo, kako na njega odgovoriti. Lev Borisovič Okun uložio je mnogo truda da na najpristupačnijem jeziku svima koji sumnjaju objasni da moderna fizika koristi samo jedan, relativistički nepromjenjiv koncept mase i da je koncept „relativističke mase“ koja raste brzinom pedagoški virus. Čak je objavio i posebnu knjigu na ovu temu. Ali i dalje dolaze novi ljudi i sve počinje iznova.
Međutim, ovoga puta, u komentarima na jednu vijest na Elements-u, ovaj razgovor je dobio malo drugačiji smjer. Sada se iznosi mišljenje da je Okun “odlučio” da masa ne zavisi od brzine, dok su veliki fizičari prošlosti (navedeni su Born, Pauli, Feynman) direktno napisali da masa raste brzinom. Kao, šta, Okun je sam promijenio osnovni koncept fizike?!
Ovom prilikom smatram da je potrebno još jednom – i nadam se, posljednji put – progovoriti o „relativističkoj masi“.
Prvo, ove bitke se ne odnose na fizički fenomen ili svojstvo, već na termin. One nemaju nikakve posljedice po samu fiziku, imaju samo pedagošku vrijednost. I Pauli, i Feynman, i Okun, i svi ostali fizičari koji proučavaju fiziku elementarnih čestica ili druge relativističke grane fizike - svi se oni međusobno potpuno slažu u formulama koje izražavaju fizičke zakone. Stoga, nema potrebe da se Okunu pripisuju imaginarne „revolucije“ u relativističkoj mehanici.
Drugo, svi fizičari čiji se rad zasniva na relativističkoj mehanici, posebno na fizici čestica, gravitaciji, atomskoj fizici itd., već dugi niz decenija operišu samo sa konceptom mase kao Lorentz-invarijantne veličine. Masa je inherentna karakteristika tijela, neovisna o referentnom sistemu i ekvivalentna energija odmora(više detalja na stranici o invarijantnoj masi). Energija raste brzinom, energija mirovanja i masa ne.
Uprkos činjenici da se formalno može koristiti veličina „relativistička masa“ (tj. jednostavno energija podijeljena sa c 2), ne nosi nikakvo korisno opterećenje, već samo proizvodi nepotrebne entitete i komplikuje verbalni opis formula. Ovo je prihvaćeno mnogo prije Okuna i davno je postalo standard u fizici. U tom smislu, svi udžbenici koji ponavljaju reči o brzom masovnom rastu zaostaju više od pola veka za modernom terminologijom.
Za slučaj da ne mislite da Okun ide protiv ostalih ovdje, evo od Matta Strasslera, istaknutog fizičara i autora jednog od najpoznatijih blogova o fizici čestica.
Treće, koncept relativističke mase nije samo prazan u naučnom smislu, već i štetan u pedagoškom smislu. Masa koja raste brzinom formira u čovjeku živo, intuitivno privlačno, ali pogrešno razumijevanje pojava i razvija pogrešnu fizičku intuiciju. Ako će osoba ozbiljno učiti fiziku, moraće ponovo da uči. Ali čak i ako to ne namjerava, ova intuicija će mu stalno sugerirati pogrešnu interpretaciju određenih fizičkih situacija. Evo nekoliko primjera gdje intuicije zasnovane na relativističkoj masi dovode do pogrešnih predviđanja ili nedosljednosti s drugim fizičkim izjavama.
Nakon što je Ajnštajn predložio princip ekvivalencije mase i energije, postalo je očigledno da se koncept mase može koristiti na dva načina. S jedne strane, to je masa koja se pojavljuje u klasičnoj fizici, s druge strane, može se uvesti tzv. relativistička masa kao mjera ukupne (uključujući kinetičku) energiju tijela. Ove dvije mase su međusobno povezane odnosom:
gdje je relativistička masa, m- "klasična" masa (jednaka masi tijela u mirovanju), v- brzina tela. Ovako uvedena relativistička masa je koeficijent proporcionalnosti između količine gibanja i brzine tijela:
Sličan odnos vrijedi i za klasični impuls i masu, što se također navodi kao argument u korist uvođenja koncepta relativističke mase. Ovako uvedena relativistička masa kasnije je dovela do teze da masa tijela ovisi o brzini njegovog kretanja.
U procesu stvaranja teorije relativnosti razmatrani su pojmovi uzdužne i poprečne mase čestice. Neka je sila koja djeluje na česticu jednaka brzini promjene relativističkog momenta. Tada se odnos između sile i ubrzanja značajno mijenja u odnosu na klasičnu mehaniku:
Ako je brzina okomita na silu, onda, a ako je paralelna, gdje 
- relativistički faktor. Stoga se zove uzdužna masa, a - poprečna masa.
Izjava da masa zavisi od brzine uključena je u mnoge obrazovne kurseve i, zbog svoje paradoksalne prirode, postala je nadaleko poznata među nespecijalistima. Međutim, u modernoj fizici izbjegavaju korištenje termina “relativistička masa”, koristeći umjesto toga koncept energije, a pod pojmom “masa” podrazumijevaju masu mirovanja. Posebno su istaknuti sljedeći nedostaci uvođenja pojma “relativistička masa”:
§ neinvarijantnost relativističke mase prema Lorencovim transformacijama;
§ sinonimnost pojmova energija i relativistička masa i, kao posljedica toga, suvišnost uvođenja novog pojma;
§ prisutnost longitudinalnih i poprečnih relativističkih masa različitih veličina i nemogućnost jednolikog pisanja analoga drugog Newtonovog zakona u obliku
§ metodološke poteškoće u nastavi specijalne teorije relativnosti, postojanje posebnih pravila kada i kako koristiti koncept „relativističke mase“ kako bi se izbjegle greške;
§ zbrka u terminima “masa”, “masa mirovanja” i “relativistička masa”: neki izvori jednostavno jedno zovu masom, neki – drugo.
Uprkos ovim nedostacima, koncept relativističke mase koristi se iu obrazovnoj i naučnoj literaturi. Treba, međutim, napomenuti da se u naučnim člancima koncept relativističke mase uglavnom koristi samo u kvalitativnom zaključivanju kao sinonim za povećanje inercije čestice koja se kreće brzinom skorom svetlosti.
17. Zakoni održanja energije i impulsa u SRT.
18. Oscilacije u mehanici. Elastične i kvazielastične sile. Vlastite vibracije.
Oscilacije- proces promene stanja sistema oko tačke ravnoteže koji se ponavlja u jednom ili drugom stepenu tokom vremena. Na primjer, kada klatno oscilira, njegova odstupanja u jednom ili drugom smjeru od vertikalnog položaja se ponavljaju; Kada se u električnom oscilatornom krugu pojave oscilacije, veličina i smjer struje koja teče kroz zavojnicu se ponavljaju.
Oscilacije su gotovo uvijek povezane s naizmjeničnom transformacijom energije jednog oblika manifestacije u drugi oblik.
Oscilacije različite fizičke prirode imaju mnogo zajedničkih obrazaca i usko su povezane s valovima. Stoga se proučavanje ovih obrazaca provodi generaliziranom teorijom oscilacija i valova. Osnovna razlika od talasa: tokom oscilacija nema prenosa energije, to su, da tako kažem, "lokalne" energetske transformacije.
Klasifikacija
Identifikacija različitih tipova oscilacija zavisi od naglašenih svojstava oscilirajućih sistema (oscilatora)
[uredi]Po fizičkoj prirodi
§ Mehanički(zvuk, vibracija)
§ Elektromagnetski(svetlost, radio talasi, toplota)
§ Mješoviti tip- kombinacije gore navedenog
[uredi]Po prirodi interakcije sa okolinom
§ Prisilno- oscilacije koje se javljaju u sistemu pod uticajem spoljašnjeg periodičnog uticaja. Primjeri: lišće na drveću, podizanje i spuštanje ruke. Kod prisilnih oscilacija može doći do pojave rezonancije: oštrog povećanja amplitude oscilacija kada se prirodna frekvencija oscilatora poklapa s frekvencijom vanjskog utjecaja.
§ Besplatno (ili vlastito)- to su oscilacije u sistemu pod uticajem unutrašnjih sila, nakon što se sistem izvede iz ravnoteže (u realnim uslovima slobodne oscilacije su uvek prigušene). Najjednostavniji primjeri slobodnih oscilacija su oscilacije utega pričvršćenog na oprugu ili utega okačenog na niti.
§ Samooscilacije- oscilacije u kojima sistem ima rezervu potencijalne energije koja se troši na oscilacije (primjer takvog sistema je mehanički sat). Karakteristična razlika između samooscilacija i slobodnih oscilacija je u tome što je njihova amplituda određena svojstvima samog sistema, a ne početnim uslovima.
§ Parametrijski- oscilacije koje nastaju kada se bilo koji parametar oscilatornog sistema promijeni kao rezultat vanjskog utjecaja.
§ Slučajno- oscilacije u kojima je eksterno ili parametarsko opterećenje slučajan proces.
Karakteristike
§ Amplituda- maksimalno odstupanje fluktuirajuće količine od neke prosječne vrijednosti za sistem, (m)
§ Period- vremenski period nakon kojeg se ponavljaju bilo koji indikatori stanja sistema (sistem pravi jednu potpunu oscilaciju), (sa)
§ Frekvencija- broj oscilacija u jedinici vremena, ( Hz, s −1).
Period i frekvencija oscilovanja su recipročne veličine;
U kružnim ili cikličnim procesima, umjesto karakteristike „frekvencije“, koristi se koncept kružni (ciklički) frekvencija (rad/s, Hz, s −1), koji pokazuje broj oscilacija po jedinici vremena:
§ Bias- odstupanje tela od ravnotežnog položaja. Oznaka X, mjerna jedinica metar.
§ Faza oscilovanja- određuje pomak u svakom trenutku, odnosno određuje stanje oscilatornog sistema.
KVAZI-ELASTIČNA SILA- sila usmjerena prema centru O. modul je proporcionalan udaljenosti r od centra O do tačke primjene sile ( F=-cr), Gdje With- konstantni koeficijent, numerički jednak sili koja djeluje po jedinici udaljenosti. K. s. je centralna i potencijalna sila sa funkcijom sile U = -0,5cr 2. Primjeri K. s. Koriste se sile elastičnosti koje nastaju pri malim deformacijama elastičnih tijela (otuda naziv “CS”). Približno K. s. može se smatrati i tangencijalnom komponentom gravitacije koja djeluje na prostirku. klatno sa malim odstupanjima od vertikale. Za materijalnu tačku pod uticajem kosmičkog sistema, centar O je položaj njene stabilne ravnoteže. Bod uklonjen sa ove pozicije zavisi od starta. uslovima ili izvode oko O pravolinijski harmoničan. vibracije, ili opisati elipsu (posebno krug).
Elastična sila- sila koja nastaje prilikom deformacije tijela i suprotstavlja se toj deformaciji.
U slučaju elastičnih deformacija, to je potencijalno. Sila elastičnosti je elektromagnetne prirode i predstavlja makroskopsku manifestaciju međumolekularne interakcije. U najjednostavnijem slučaju zatezanja/stiskanja tijela, sila elastičnosti je usmjerena suprotno od pomaka čestica tijela, okomito na površinu.
Vektor sile je suprotan smeru deformacije tela (pomeranja njegovih molekula).
[uredi]Hookeov zakon
Glavni članak:Hookeov zakon
U najjednostavnijem slučaju jednodimenzionalnih malih elastičnih deformacija, formula za elastičnu silu ima oblik:
gdje je krutost tijela, je veličina deformacije.
U svojoj verbalnoj formulaciji, Hookeov zakon zvuči ovako:
Sila elastičnosti koja nastaje prilikom deformacije tijela direktno je proporcionalna istezanju tijela i usmjerena je suprotno smjeru kretanja čestica tijela u odnosu na druge čestice tokom deformacije.
[uredi]Nelinearne deformacije
Kako se količina deformacije povećava, Hookeov zakon prestaje da važi, a elastična sila počinje na složen način da zavisi od količine istezanja ili kompresije.
Prirodne vibracije, slobodne vibracije, vibracije u mehaničkom, električnom ili bilo kom drugom fizičkom sistemu, koje nastaju u odsustvu spoljašnjeg uticaja usled prvobitno akumulirane energije (zbog prisustva početnog pomaka ili početne brzine). Priroda prirodnih vibracija određena je uglavnom vlastitim parametrima sistema (masa, induktivnost, kapacitivnost, elastičnost). U realnim sistemima, zbog disipacije energije, prirodne oscilacije su uvijek prigušene, a uz velike gubitke postaju aperiodične.
19. Jednačine kretanja najjednostavnijih mehaničkih oscilatornih sistema bez trenja.
Oscilatorni sistem- fizički sistem u kojem mogu postojati slobodne vibracije
20. Energija oscilatornog sistema.
21. Slobodne vibracije. Jednačina kretanja oscilatornih sistema sa tečnim trenjem.
22. Koeficijent slabljenja. Logaritamski dekrement. Dobra kvaliteta.
Nađimo omjer vrijednosti amplitude prigušenih oscilacija u trenucima vremena t i (slika 3.1):
gdje je β koeficijent slabljenja.
Prirodni logaritam omjera amplituda koje slijede jedna drugu kroz period T naziva se logaritamski dekrement prigušenja χ:
Saznajmo fizičko značenjeχiβ.
Vrijeme za opuštanje τ – vrijeme tokom kojeg se amplituda A smanjuje za e puta.
dakle, koeficijent slabljenja β je fizička veličina,inverzno vrijeme,tokom kojeg se amplituda smanjuje za faktor e.
Neka N broj oscilacija nakon kojih se amplituda smanjuje za e jednom. Onda
dakle, logaritamski dekrement prigušenja
χ je fizička veličina recipročna broju oscilacija, nakon čega se amplituda A smanjuje za e puta.
Ako je χ = 0,01, onda N = 100.
Sa velikim koeficijentom prigušenja, ne samo da se amplituda brzo smanjuje, već se i period oscilovanja značajno povećava. Kada otpor postane jednak kritičan , tada kružna frekvencija postaje nula (w=0), a (t-), oscilacije prestaju. Ovaj proces se zove aperiodično (Sl. 3.2).
Razlike su sljedeće. Kada tijelo oscilira i vrati se u svoj ravnotežni položaj, ima rezervu kinetičke energije. Kada aperiodično kretanje Pri povratku u ravnotežni položaj energija tijela se troši na savladavanje sila otpora i trenja.
Dobra kvaliteta- karakteristika oscilatornog sistema koja određuje rezonantni pojas i pokazuje koliko su puta rezerve energije u sistemu veće od gubitaka energije tokom jednog perioda oscilovanja.
Faktor kvaliteta je obrnuto proporcionalan brzini opadanja prirodnih oscilacija u sistemu. Odnosno, što je veći faktor kvaliteta oscilatornog sistema, manji je gubitak energije za svaki period i sporije opadaju oscilacije.
Opća formula za faktor kvalitete bilo kojeg oscilatornog sistema:
,
§ - frekvencija rezonantne vibracije
§ - energija uskladištena u oscilatornom sistemu
§ - disipacija snage.
23. Prisilne vibracije. Rezonancija.
Prisilne vibracije- vibracije koje nastaju pod uticajem spoljašnjih sila koje se menjaju tokom vremena.
Samooscilacije se razlikuju od prisilnih oscilacija po tome što su potonje uzrokovane periodično eksternog uticaja i javljaju se sa učestalošću ovog uticaja, dok su pojava autooscilacija i njihova učestalost determinisani unutrašnjim svojstvima samog autooscilatornog sistema.
Iz prethodnog poglavlja naučili smo da se masa tijela povećava kako se povećava njegova brzina. Ali nismo pružili nikakav dokaz za to, slično kao u obrazloženju sa satom kojim smo opravdali dilataciju vremena. Sada, međutim, možemo dokazati da se (kao posljedica principa relativnosti i drugih razumnih razmatranja) masa treba mijenjati upravo na ovaj način. (Moramo razgovarati o "drugim razmatranjima" iz razloga što se ništa ne može dokazati, ničemu se ne može nadati na smislen način, bez oslanjanja na neke zakone za koje se pretpostavlja da su istiniti.) Izbjeći učenje
zakone transformacije sile, hajde da se okrenemo sudaračestice. Ovdje nam nije potreban zakon djelovanja sile, već će biti dovoljna samo pretpostavka o održanju energije i impulsa. Uz to, pretpostavit ćemo da je impuls čestice koja se kreće vektor uvijek usmjeren duž njenog kretanja. Ali nećemo računati zamah proporcionalan brzina, kao što je Njutn uradio. Za nas će to biti samo malo funkcija brzina. Zapisaćemo vektor momenta u obliku vektora brzine pomnoženog određenim koeficijentom
p=m 0 v . (16.8)
Indeks v koeficijent će nas podsjetiti da je funkcija brzine v. Ovaj koeficijent ćemo nazvati “masa”. Jasno je da je pri malim brzinama to potpuno ista masa koju smo navikli mjeriti. Sada, na osnovu principa da su zakoni fizike isti u svim koordinatnim sistemima, pokušajmo pokazati da je formula za m v treba imati oblik m 0 /(1- v 2 /c 2 ).
Imamo dvije čestice (na primjer, dva protona), koje su potpuno identične jedna drugoj i kreću se jedna prema drugoj istom brzinom. Njihov ukupni zamah je nula. Šta će biti s njima? Nakon sudara, njihovi smjerovi kretanja bi i dalje trebali ostati suprotni, jer ako to nije slučaj, onda će njihov ukupni vektor zamaha biti različit od nule, odnosno neće biti očuvan. Pošto su čestice iste, onda i njihove brzine moraju biti iste; Štaviše, oni jednostavno moraju ostati isti, inače će se energija tokom sudara promijeniti. To znači da će dijagram takvog elastičnog reverzibilnog sudara izgledati kao na sl. 16.2a: sve strelice su iste, sve brzine su jednake. Pretpostavimo da se takvi sudari uvijek mogu pripremiti, da su u njima dozvoljeni bilo koji uglovi od 0 i da početne brzine čestica mogu biti bilo koje.
Fig. 16.2. Elastični sudar identična tijela koja se kreću jednakom brzinom u suprotnim smjerovima, sa različitim izborom koordinatnih sistema.
Zatim, podsjetite se da isti sudar izgleda drugačije ovisno o tome kako su osi rotirane. Radi praktičnosti, rotirati ćemo ose tako da horizontala deli ugao između smerova čestica pre i posle sudara (slika 16.2b). Ovo je isti sudar kao na sl. 16.2,a, ali sa rotiranim osovinama.
T 
Sada dolazi ono najvažnije: pogledajmo ovaj sudar iz pozicije posmatrača koji se kreće u automobilu brzinom koja se poklapa s horizontalnom komponentom brzine jedne od čestica. Kako će to izgledati? Posmatraču će se činiti da je čestica 1
diže se pravo nagore (njegova horizontalna komponenta je nestala), a nakon sudara pada pravo dolje iz istog razloga (slika 16.3, A).
Fig. 16.3. Još dvije slike istog sudara (vidljivo iz automobila u pokretu).
Ali čestica 2 kreće se potpuno drugačije, juri kolosalnom brzinom i pod malim uglom (ali ovaj ugao i pre i posle sudara je isti). Označimo horizontalnu komponentu brzine čestice 2 kroz i, i vertikalna brzina čestice 1 - kroz w.
Kolika je vertikalna brzina utg čestice 2? Znajući ovo, može se dobiti ispravan izraz za impuls koristeći očuvanje količine gibanja u vertikalnom smjeru. (Očuvanje horizontalne komponente zamaha je već osigurano: za obje čestice prije i poslije sudara ova komponenta je ista, a za česticu 1 generalno je jednak nuli. Dakle, trebate samo održavati vertikalnu brzinu utga.) Ali vertikalna brzina Može dobiti jednostavnim sagledavanjem ovog susreta iz drugačije perspektive! Pogledajte sudar prikazan na sl. 16.3, A iz automobila koji se sada velikom brzinom kreće lijevo I. Videćete isti sudar, ali okrenut naopako (Sl. 16.3, b). Sada je to čestica 2 će pasti i skočiti na brzinu w, i horizontalnu brzinu Ičestica će steći 1. Vi, naravno, već pogađate koliko je horizontalna brzina jednaka utg; jednako je w (1- u 2 /c 2) [vidi jednačina (16.7)]. Osim toga, znamo da je promjena vertikalnog momenta čestice koja se okomito kreće jednaka
p=2m w w
(dva ovdje jer se kretanje prema gore pretvorilo u kretanje prema dolje). Čestica koja se kreće ukoso ima brzinu jednaku v, njegove komponente su jednake u I w (1-u 2 /c 2 ), i njegovu masu m v . Promjena vertikalno impuls ove čestice p"=2t v w ( 1-u 2 /s 2), budući da je, u skladu sa našom pretpostavkom (16.8), bilo koja komponenta impulsa jednaka proizvodu istoimene komponente brzine i mase koja odgovara ovoj brzini. Ali ukupni impuls je nula. To znači da se vertikalni impulsi moraju međusobno poništiti i omjer mase koja se kreće brzinom w, na masu koja se kreće brzinom v, treba da bude jednaka
m w /m v =(1-u 2 /c 2). (16.9).
Pređimo na granični slučaj kada w teži nuli. Na vrlo malom w količine v I u skoro će se poklopiti, m w m 0 , a m v m u . Konačan rezultat je ovaj:
Sada uradite ovu zanimljivu vježbu: provjerite da li je uslov (16.9) zadovoljen za proizvoljan w , kada se masa povinuje formuli (16.10). Istovremeno, brzina v, u jednačini (16.9) može se naći iz pravouglog trougla
IN 
Vidjet ćete da je (16.9) zadovoljeno identično, iako nam je iznad trebao samo granica ove jednakosti na w->0.
Pređimo sada na dalje posljedice, već pod pretpostavkom da, prema (16.10), masa ovisi o brzini. Razmotrimo tzv neelastičnog sudara. Radi jednostavnosti, pretpostavljamo da se dva identična tijela sudaraju jednakim brzinama w, formira se novo telo koje se više ne raspada (slika 16.4, a).
F 
ig. 16.4. Dvije slike neelastičnog sudara tijela jednake mase.
Mase tijela prije sudara su jednake, kao što znamo, m 0 / (1-w 2 /c 2 ). Pretpostavljajući očuvanje momenta i prihvatajući princip relativnosti, možemo demonstrirati zanimljivo svojstvo mase novoformiranog tijela. Zamislimo beskonačno malu brzinu i, poprečno na brzine w(bilo bi moguće raditi sa konačnom brzinom i, ali sa beskonačno malom vrednošću I lakše je sve razumjeti), i pogledajmo ovaj sudar, krećući se u liftu brzinom - u. Videćemo sliku prikazanu na sl. 16.4, a. Kompozitno tijelo ima nepoznatu masu M. Kod tela 1, kao telo 2, postoji komponenta brzine i, prema gore, a horizontalna komponenta, skoro jednaka w. Nakon sudara, masa ostaje M, krećući se naviše brzinom u, mnogo manja od brzine svetlosti i brzine w. Zamah mora ostati isti; Pogledajmo dakle kakav je bio prije sudara i kakav je postao poslije. Prije sudara je bio jednak p~=2m w u,A onda je postao p"=M u u. Ali M u zbog malenosti u , suštinski se poklapa sa M 0 . Zahvaljujući očuvanju momenta
M 0 =2m w. (16.11)
dakle, Masa tijela nastalog u sudaru dva identična tijela jednaka je njihovoj dvostrukoj masi. Mogli biste zapravo reći: "Pa, to je samo očuvanje mase." Ali nemojte tako brzo uzviknuti: „Pa šta!“ jer Mase samih tijela bile su veće nego kada su tijela bila nepomična. Oni doprinose ukupnoj masi M ne ostatak mase, nego više. Zar nije nevjerovatno? Ispostavilo se da očuvanje količine gibanja u sudaru dvaju tijela zahtijeva da masa koju formiraju bude veća od njihove mase mirovanja, iako će nakon sudara i sama tijela doći u stanje mirovanja!
Teorija relativnosti zahtijeva reviziju i pojašnjenje zakona mehanike. Kao što smo vidjeli, jednačine klasične dinamike (Njutnov drugi zakon) zadovoljavaju princip relativnosti u odnosu na Galilejeve transformacije. Ali Galilejeve transformacije moraju biti zamijenjene Lorentzovim transformacijama! Dakle, jednadžbe dinamike treba promijeniti tako da ostanu nepromijenjene pri prelasku iz jednog inercijalnog referentnog sistema u drugi prema Lorentzovoj transformaciji. Pri malim brzinama jednadžbe relativističke dinamike trebale bi se transformirati u klasične, jer je u ovom području njihova validnost potvrđena eksperimentom.
Zamah i energija. U teoriji relativnosti, kao iu klasičnoj mehanici, impuls i energija E su konzervirani za zatvoreni fizički sistem, ali se relativistički izrazi za njih razlikuju od odgovarajućih klasičnih:
ovdje je masa čestice. Ovo je masa u referentnom okviru gdje čestica miruje. Često se naziva i masa mirovanja čestice. Ona se poklapa sa masom čestica u nerelativističkoj mehanici.
Može se pokazati da zavisnost momenta i energije čestice o njenoj brzini, izražena formulama (1), u teoriji relativnosti neminovno proizlazi iz relativističkog efekta dilatacije vremena u pokretnom referentnom okviru. Ovo će biti urađeno u nastavku.
Relativistička energija i impuls (1) zadovoljavaju jednačine slične odgovarajućim jednačinama klasične mehanike:
Relativistička masa. Ponekad koeficijent proporcionalnosti u (1) između brzine čestice i njenog momenta
naziva se relativistička masa čestice. Uz njegovu pomoć, izrazi (1) za impuls i energiju čestice mogu se zapisati u kompaktnom obliku
Ako se relativističkoj čestici, odnosno čestici koja se kreće brzinom bliskom brzini svjetlosti, da dodatna energija za povećanje zamaha, tada će se njena brzina vrlo malo povećati. Možemo reći da se energija čestice i njen impuls sada povećavaju zbog rasta njene relativističke mase. Ovaj efekat se uočava u radu visokoenergetskih akceleratora naelektrisanih čestica i služi kao najubedljivija eksperimentalna potvrda teorije relativnosti.
Energija odmora. Najčudnija stvar u vezi sa formulom je da tijelo u mirovanju ima energiju: ulaganjem dobijamo
Energija se naziva energija mirovanja.
Kinetička energija. Kinetička energija čestice u određenom referentnom okviru definira se kao razlika između njene ukupne energije i energije mirovanja.Upotrebom (1) imamo
Ako je brzina čestice mala u poređenju sa brzinom svjetlosti, formula (6) postaje uobičajeni izraz za kinetičku energiju čestice u nerelativističkoj fizici.
Razlika između klasičnog i relativističkog izraza za kinetičku energiju postaje posebno značajna kada se brzina čestice približi brzini svjetlosti. Kada se relativistička kinetička energija (6) neograničeno povećava: čestica s masom mirovanja različitom od nule i
Rice. 10. Zavisnost kinetičke energije tijela od brzine
kretanje brzinom svjetlosti imalo bi beskonačnu kinetičku energiju. Ovisnost kinetičke energije o brzini čestica prikazana je na Sl. 10.
Proporcionalnost mase i energije. Iz formule (6) proizilazi da kada se tijelo ubrzava, povećanje kinetičke energije je praćeno proporcionalnim povećanjem njegove relativističke mase. Podsjetimo da je najvažnije svojstvo energije njena sposobnost da se transformiše iz jednog oblika u drugi u ekvivalentnim količinama tokom različitih fizičkih procesa – upravo to je sadržaj zakona održanja energije. Stoga je prirodno očekivati da će do povećanja relativističke mase tijela doći ne samo kada mu se prenese kinetička energija, već i kod bilo kojeg drugog povećanja energije tijela, bez obzira na konkretnu vrstu energije. Iz ovoga možemo izvući temeljni zaključak da je ukupna energija tijela proporcionalna njegovoj relativističkoj masi, bez obzira od kojih se specifičnih vrsta energije sastoji.
Objasnimo ovo na sljedećem jednostavnom primjeru. Razmotrimo neelastični sudar dva identična tijela koja se kreću jedno prema drugom istom brzinom, tako da se kao rezultat sudara formira jedno tijelo koje miruje (slika 11a).
Rice. 11. Neelastični sudar uočen u različitim referentnim okvirima
Neka brzina svakog od tijela prije sudara bude jednaka i masa mirovanja Masa mirovanja rezultirajućeg tijela će biti označena sa Sada razmotrimo isti sudar sa stanovišta posmatrača u drugom referentnom okviru K, kreće se u odnosu na originalni okvir K ulijevo (slika 11b) malom (nerelativističkom) brzinom - And.
Budući da za pretvaranje brzine kada se krećete od K do K, možete koristiti klasični zakon zbrajanja brzina. Zakon održanja impulsa zahtijeva da ukupni impuls tijela prije sudara bude jednak impulsu rezultirajućeg tijela. Prije sudara, ukupni impuls sistema je gdje je relativistička masa sudarajućih tijela; nakon sudara je jednaka jer se kao rezultat toga masa nastalog tijela i u K može smatrati jednakom masi mirovanja. Dakle, iz zakona održanja količine gibanja slijedi da je masa mirovanja tijela nastala kao rezultat neelastičnog sudara jednaka zbroju relativističkih masa sudarajućih čestica, tj. veća je od zbira mase mirovanja originalnih čestica:
Razmatrani primjer neelastičnog sudara dvaju tijela, u kojem se kinetička energija pretvara u unutrašnju energiju, pokazuje da povećanje unutrašnje energije tijela prati i proporcionalno povećanje mase. Ovaj zaključak treba proširiti na sve vrste energije: zagrijano tijelo ima veću masu od hladnog, sabijena opruga ima veću masu od nesabijene, itd.
Ekvivalencija energije i mase. Zakon proporcionalnosti između mase i energije jedan je od najznačajnijih zaključaka teorije relativnosti. Odnos između mase i energije zaslužuje detaljnu raspravu.
U klasičnoj mehanici, masa tijela je fizička veličina koja je kvantitativna karakteristika njegovih inertnih svojstava, odnosno mjera inercije. Ovo je inertna masa. S druge strane, masa karakterizira sposobnost tijela da stvori gravitacijsko polje i doživi silu u gravitacionom polju. Ovo je gravitaciona, ili gravitaciona, masa. Inercija i sposobnost podvrgavanja gravitacijskim interakcijama potpuno su različite manifestacije svojstava materije. Međutim, činjenica da se mjere ovih različitih manifestacija označavaju istom riječju nije slučajna, već zbog činjenice da oba svojstva uvijek postoje zajedno i uvijek su međusobno proporcionalna, tako da se mjere ovih svojstava mogu izražena istim brojem uz pravilan izbor jedinica mjerenja.
Jednakost inercijalnih i gravitacionih masa je eksperimentalna činjenica, potvrđena sa velikim stepenom tačnosti u eksperimentima Eotvosa, Dickea i dr. Kako odgovoriti na pitanje: da li su inercijalna masa i gravitaciona masa ista stvar ili ne? Oni su različiti po svojim manifestacijama, ali su njihove numeričke karakteristike međusobno proporcionalne. Ovakvo stanje stvari karakteriše reč „ekvivalencija“.
Slično pitanje postavlja se u vezi sa konceptima mase mirovanja i energije mirovanja u teoriji relativnosti. Manifestacije svojstava materije koje odgovaraju masi i energiji su nesumnjivo različite. Ali teorija relativnosti kaže da su ta svojstva neraskidivo povezana i proporcionalna jedno drugom. Stoga se u tom smislu može govoriti o ekvivalenciji mase mirovanja i energije mirovanja. Relacija (5) koja izražava ovu ekvivalenciju naziva se Einsteinova formula. To znači da je svaka promjena energije sistema praćena ekvivalentnom promjenom njegove mase. To se odnosi na promjene različitih vrsta unutrašnje energije u kojima se mijenja masa mirovanja.
O zakonu održanja mase. Iskustvo nam pokazuje da u velikoj većini fizičkih procesa u kojima se mijenja unutrašnja energija, masa mirovanja ostaje nepromijenjena. Kako se ovo može pomiriti sa zakonom proporcionalnosti mase i energije? Činjenica je da obično ogromna većina unutrašnje energije (i odgovarajuća masa mirovanja) ne sudjeluje u transformacijama, a kao rezultat se ispostavlja da je masa određena vaganjem praktički očuvana, uprkos činjenici da tijelo oslobađa ili apsorbira energije. To je jednostavno zbog nedovoljne preciznosti vaganja. Za ilustraciju, razmotrite nekoliko numeričkih primjera.
1. Energija koja se oslobađa tokom sagorevanja nafte, prilikom eksplozije dinamita i tokom drugih hemijskih transformacija čini nam se ogromnom na skali svakodnevnog iskustva. Međutim, ako prevedemo njenu vrijednost na jezik ekvivalentne mase, ispada da ta masa čak i ne čini punu vrijednost mase mirovanja. Na primjer, kada se vodik spoji s kisikom, oslobađa se otprilike energija. Masa mirovanja rezultirajuće vode manja je od mase početnih supstanci. Ova promjena mase je premala da bi se mogla otkriti modernim instrumentima.
2. U neelastičnom sudaru dvije čestice ubrzane jedna prema drugoj do brzine, dodatna masa mirovanja zalijepljenog para je
(Pri ovoj brzini, može se koristiti nerelativistički izraz za kinetičku energiju.) Ova vrijednost je mnogo manja od greške s kojom se masa može izmjeriti
Masa mirovanja i kvantni zakoni. Prirodno je postaviti pitanje: zašto je u normalnim uslovima velika većina energije u potpuno pasivnom stanju i ne učestvuje u transformacijama? Teorija relativnosti ne može odgovoriti na ovo pitanje. Odgovor treba tražiti u oblasti kvantnih zakona,
jedna od karakterističnih karakteristika je postojanje stabilnih stanja sa diskretnim energetskim nivoima.
Za elementarne čestice, energija koja odgovara masi mirovanja se ili u potpunosti pretvara u aktivni oblik (zračenje) ili se uopće ne pretvara. Primjer je pretvaranje para elektron-pozitron u gama zračenje.
U atomima je ogromna većina mase u obliku mase mirovanja elementarnih čestica, koja se ne mijenja u kemijskim reakcijama. Čak i u nuklearnim reakcijama, energija koja odgovara masi mirovanja teških čestica (nukleona) koje čine jezgre ostaje pasivna. Ali ovdje aktivni dio energije, tj. energija interakcije nukleona, već čini primjetan dio energije mirovanja.
Stoga, eksperimentalnu potvrdu relativističkog zakona proporcionalnosti između energije mirovanja i mase mirovanja treba tražiti u svijetu fizike čestica i nuklearne fizike. Na primjer, u nuklearnim reakcijama koje oslobađaju energiju, masa mirovanja konačnih proizvoda je manja od mase mirovanja jezgara koje ulaze u reakciju. Energija koja odgovara ovoj promjeni mase poklapa se s dobrom preciznošću s eksperimentalno izmjerenom kinetičkom energijom nastalih čestica.
Kako impuls i energija čestice zavise od njene brzine u relativističkoj mehanici?
Koja se fizička veličina naziva masa čestice? Šta je masa mirovanja? Šta je relativistička masa?
Pokazati da se relativistički izraz (6) za kinetičku energiju pretvara u uobičajeni klasični pri .
Šta je energija odmora? Koja je fundamentalna razlika između relativističkog izraza za energiju tijela i odgovarajućeg klasičnog?
U kojim se fizičkim pojavama otkriva energija mirovanja?
Kako razumjeti tvrdnju o ekvivalenciji mase i energije? Navedite primjere ove ekvivalencije.
Da li je masa supstance očuvana tokom hemijskih transformacija?
Izvođenje izraza za impuls. Hajde da damo obrazloženje za formule (1), date gore bez dokaza, analizom jednostavnog mentalnog iskustva. Da bismo razjasnili ovisnost impulsa čestice o brzini, razmotrimo sliku apsolutno elastičnog "kliznog" sudara dvije identične čestice. U sistemu centara mase ovaj sudar ima oblik prikazan na sl. 12a: prije sudara, čestice Y i 2 kreću se jedna prema drugoj istim apsolutnim brzinama; nakon sudara, čestice se raspršuju u suprotnim smjerovima s istim apsolutnim brzinama kao prije sudara. Drugim riječima,
tokom sudara, samo vektori brzine svake čestice rotiraju pod istim malim uglom
Kako će isti sudar izgledati u drugim referentnim okvirima? Usmjerimo x os duž simetrale ugla i uvedemo referentni sistem K, koji se kreće duž x ose u odnosu na centar mase sistema brzinom jednakom x-komponenti brzine čestice 1. U ovoj referenci sistema, obrazac sudara će biti kao što je prikazano na Sl. 12b: čestica 1 se kreće paralelno sa y-osom, mijenjajući smjer brzine i zamaha u suprotnom smjeru tokom sudara.
Očuvanje x-komponente ukupnog impulsa sistema čestica tokom sudara izražava se relacijom
gdje su momenti čestica nakon sudara. Budući da (Sl. 126), zahtjev za očuvanjem količine gibanja znači jednakost x-komponenti impulsa čestica 1 i 2 u referentnom okviru K:
Sada, zajedno sa K, uvodimo u razmatranje referentni okvir K, koji se kreće u odnosu na centar mase sistema brzinom jednakom x-komponenti brzine čestice 2.
Rice. 12. Do zaključka o zavisnosti tjelesne mase od brzine
U ovom sistemu, čestica 2 prije i poslije sudara kreće se paralelno sa y-osom (slika 12c). Primjenjujući zakon održanja impulsa, uvjereni smo da u ovom referentnom sistemu, kao iu sistemu K, postoji jednakost - komponenti impulsa čestice
Ali iz simetrije obrazaca sudara na Sl. 12b,c lako je zaključiti da je modul impulsa čestice 1 u K okviru jednak modulu impulsa čestice 2 u referentnom sistemu, dakle
Upoređujući posljednje dvije jednakosti, nalazimo da je y-komponenta impulsa čestice 1 ista u referentnim sistemima K i K. Na isti način nalazimo. Drugim riječima, y-komponenta impulsa bilo kojeg čestica, okomita na pravac relativne brzine referentnih sistema, ista je u ovim sistemima. Ovo je glavni zaključak iz razmatranog misaonog eksperimenta.
Ali y-komponenta brzine čestice ima drugačiju vrijednost u referentnim sistemima K i K. Prema formulama za konverziju brzine
gdje je brzina sistema K u odnosu na K. Dakle, u K je y-komponenta brzine čestice 1 manja nego u K.
Ovo smanjenje y-komponente brzine čestice 1 tokom tranzicije iz K u K direktno je povezano sa relativističkom transformacijom vremena: ista udaljenost u K i K između isprekidanih linija A i B (sl. 12b, c ) čestica 1 u sistemu K prolazi za duže vrijeme nego u K. Ako je u K ovo vrijeme jednako (odgovarajuće vrijeme, pošto se oba događaja - presek poteza A i B - dešavaju u K na istoj koordinatnoj vrijednosti, onda u sistemu K ovo vrijeme je veće i jednako
Sjećajući se sada da je y-komponenta impulsa čestice 1 ista u K i K sistemima, vidimo da u sistemu K, gdje je y-komponenta brzine čestice manja, ovoj čestici mora biti dodijeljena veća mase, ako pod masom podrazumijevamo, kao u nerelativističkoj fizici, koeficijent proporcionalnosti između brzine i impulsa. Kao što je već napomenuto, ovaj koeficijent se ponekad naziva relativistička masa. Relativistička masa čestice zavisi od referentnog sistema, odnosno relativna je veličina. U referentnom okviru gdje je brzina čestice mnogo manja od brzine svjetlosti, uobičajeni klasični izraz vrijedi za odnos između brzine i impulsa čestice gdje je masa čestice u smislu kako je shvaćeno u nerelativističkoj fizici (masa mirovanja). između brzine i zamaha. Iz gornjeg zaključka jasno je da je ovo povećanje relativističke mase uzrokovano kretanjem referentnog okvira zaista povezano s relativističkim kinematičkim efektom dilatacije vremena.
Vraćajući se na sl. 12, podsjetimo da je razmatran slučaj kliznog sudara, kada je komponenta brzine čestice duž y-ose bila mnogo manja od komponente njene brzine duž x-ose. U ovom graničnom slučaju, relativna brzina sistema K i k uključenih u rezultujuću formulu praktično se poklapa sa brzinom čestice 1 u sistemu K. Dakle, pronađena vrednost koeficijenta proporcionalnosti između y-komponenti vektora brzine i momenta važi i za same vektore. Dakle, relacija (3) je dokazana.
Izvođenje izraza za energiju. Hajde sada da saznamo do kakvih promena u izrazu za energiju čestice dovodi formula za relativistički impuls.
U relativističkoj mehanici sila se uvodi na način da je odnos između priraštaja impulsa čestice Dp i momenta sile isti kao u klasičnoj fizici:
Njegova brzina i zamah se mijenjaju. Da biste pronašli prirast lijeve strane (8)
Kako možete koristiti misaoni eksperiment da pokažete da je komponenta impulsa čestice okomita na smjer relativne brzine dva referentna okvira ista u oba okvira? Koju ulogu u tome igraju razmatranja simetrije?
Objasnite vezu između zavisnosti relativističke mase čestice o njenoj brzini i relativističkog kinematičkog efekta dilatacije vremena.
Kako se može doći do relativističke formule za kinetičku energiju zasnovanu na proporcionalnosti između prirasta kinetičke energije i relativističke mase?
