Определение . Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся прямыми.
|
Пример . Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Найти угол между скрещивающимися прямыми A 1 B и C 1 D . В грани CDD 1 C 1 проводим диагональ CD 1 ; CD 1 || BA 1 (A 1 B ;C 1 D) = (CD 1 ;C 1 D) =90 0 (угол между диагоналями квадрата). |
D 1 С 1 В 1 А 1 |
. Угол между прямой и плоскостью.
Если прямая параллельна плоскости или лежит в ней, то угол между данными прямыми и плоскостью считается равным 0 0 .
Определение . Прямая называется перпендикулярной к плоскости , если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В этом случае угол между прямой и плоскостью считается равным 90 0 .
|
Определение . Прямая называется наклонной к некоторой плоскости, если она пересекает эту плоскость, но не перпендикулярна ей. MK MN – наклонная к KN – проекция MN на |
|
Определение . Углом между наклонной к плоскости и этой плоскостью называется угол между наклонной и её проекцией на данную плоскость.
(MN ;) = (MN ;KN ) = MNK =
Теорема 7 (о трех перпендикулярах ) . Наклонная к плоскости перпендикулярна прямой, лежащей в плоскости тогда и только тогда, когда проекция этой наклонной на эту плоскость, перпендикулярна данной прямой.
|
MK MN – наклонная к KN – проекция MN на m MN m KN m |
|
. Расстояния в пространстве.
Определение . Расстоянием от точки до прямой, не содержащей эту точку, называется длина отрезка перпендикуляра, проведённого из этой точки к данной плоскости.
Определение . Расстоянием от точки до плоскости , не содержащей эту точку, называется длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к данной плоскости.
Расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.
Расстояние между параллельными плоскостями равно расстоянию от произвольной точки одной из плоскостей до другой плоскости.
Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости.
Определение . Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.
Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до плоскости, проходящей через вторую прямую параллельно первой прямой (другими словами: расстоянию между двумя параллельными плоскостями, содержащими эти прямые).
V. Угол между плоскостями. Двугранный угол.
Если плоскости параллельны, то угол между ними считается равным 0 0 .
Определение . Двугранным углом называется геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей границей не лежащими в одной плоскости. Полуплоскости называются гранями , а их общая граница ребром двугранного угла .
Определение . Линейным углом двугранного угла называется угол, полученный при пересечении данного двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. Все линейные углы данного двугранного угла равны между собой. Величина двугранного угла равна величине его линейного угла.
|
Пример . Дана пирамида MABCD , основание которой – квадрат ABCD со стороной 2, MA ABC , MA = 2. Найдите угол наклона грани MBC плоскости основания. (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Таким образом, плоскость MAB пересекает двугранный угол с ребром BC и перпендикулярна ему. Следовательно, по определению линейного угла: MBA – линейный угол данного двугранного угла. |
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Угол между прямыми
Цели и задачи урока: Сформировать понятие угла между: Пересекающимися; Параллельными; скрещивающимися прямыми. Научиться находить угол между: Пересекающимися; параллельными; скрещивающимися прямыми.
Вспомним: Основание призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – трапеция. Какие из следующих пар прямых являются скрещивающими?
Расположение прямых в пространстве и угол между ними 1. Пересекающиеся прямые. 2. Параллельные прямые. 3. Скрещивающиеся прямые.
Любые две пересекающие прямые лежат в одной плоскости и образуют четыре неразвернутых угла.
Если пересекающиеся прямые образуют четыре равных угла, то угол между этими прямыми равен 90°. а b
Угол между двумя параллельными прямыми равен 0° .
Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения.
Углом между скрещивающимися прямыми a и b называется угол между построенными пересекающимися прямыми и.
Угол между скрещивающимися прямыми, как и между прямыми одной плоскости, не может быть больше 90°. Две скрещивающиеся прямые, которые образуют угол в 90°, называются перпендикулярными. a b a 1 c c 1 d
Угол между скрещивающими прямыми Пусть AB и CD – две скрещивающиеся прямые. Возьмём произвольную точку М 1 пространства и проведём через неё прямые А 1 В 1 и C 1 D 1 , соответственно параллельные прямым AB и CD . А В C D А 1 В 1 C 1 D 1 M 1 φ Если угол между прямыми А 1 В 1 и C 1 D 1 равен φ, то будем говорить, что угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD равен φ.
Найдём угол между скрещивающимися прямыми AB и CD В качестве точки M 1 можно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых. А В C D M 1 А 1 В 1 φ
Физкультминутка для глаз
Покажите перпендикулярные скрещивающиеся прямые в окружении.
Дано изображение куба. Найдите угол между скрещивающимися прямыми а и b . 90° 45° Ответ Ответ
Дано изображение куба. Найдите угол между скрещивающимися прямыми а и b . 90° 60° Ответ Ответ
Дано изображение куба. Найдите угол между скрещивающимися прямыми а и b 90° 90° Ответ Ответ
Домашнее задание: §4 (стр. 85-89), №268, №269.
Физкультминутка
Задача №1 В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, точка E – середина ребра SC . Найдите угол между прямыми AD и BE .
Работа в классе: Задачи: № 263 №265 №267
УТВЕРЖДАЮ
Учитель математики
Л. Р. Вольняк
«__» ________ 2016г.
Тема : "Угол между прямыми"
Развивающие:
Воспитательные:
Тип урока: Изучение нового материала.
Методы: словесный (рассказ), наглядный (презентация), диалогический.
Слад3
Ответ: ABи CC 1 ,A 1 D 1 и CC 1 .
Слайд 4
Расположение прямых в пространстве и угол между ними.
Слайд 5
Любые две пересекающие прямые лежат в одной плоскости и образуют четыре неразвернутых угла.
Слайд 6
Если пересекающиеся прямые образуют четыре равных угла, то угол между этими прямыми равен 90°.
Слайд 7
Угол между двумя параллельными прямыми равен 0°.
Слайд 8
Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения.
Слайд 9 a и b и .
Слайд 10
Угол между скрещивающимися прямыми, как и между прямыми одной плоскости, не может быть больше 90°. Две скрещивающиеся прямые, которые образуют угол в 90°, называются перпендикулярными.
Слайд 11
Угол между скрещивающими прямыми.
Пусть ABи CD – две скрещивающиеся прямые.
Возьмём произвольную точку М 1 пространства и проведём через неё прямые А 1 В 1 и C 1 D 1 , соответственно параллельные прямым AB и CD.
Если угол между прямыми А 1 В 1 и C 1 D 1 равен φ, то будем говорить, что угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD равен φ.
Слайд 12
Найдём угол между скрещивающимися прямыми ABи CD.
В качестве точки M 1 можно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых.
Слайд 13
Физкультминутка
Слайд 14
1. Покажите перпендикулярные скрещивающиеся прямые в окружении.
Слайд 15
2. Дано изображение куба. Найдите угол между скрещивающимися прямыми а и b.
а) 90°;
б) 45°;
Слайд 16
в) 60°;
г) 90°;
Слайд 17
д) 90°;
е) 90°.
Слайд 19
Физкультминутка
Слайд 20
№1.
В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, точка E – середина ребра SC .Найдите угол между прямыми AD и BE .
Решение:
Искомый угол = углу CBE .Треугольник SBC-равносторонний.
ВE – биссектриса угла = 60. Угол CBE равен 30.
Ответ :30 °.
№263.
Ответ:
Углом между скрещивающимися прямыми a и b называется угол между построенными пересекающимися прямыми a 1 и b 1 , причем a 1 || a, b 1 || b.
№265.
Угол между прямымиaи bравен 90°. Верно ли, что прямые aи bпересекаются?
Ответ:
Неверно, так как прямые могут либо пересекаться, либо скрещиваться.
№267.
DABC – тетраэдр, точка О и F – середины ребра AD и CDсоответственно, отрезок TK – средняя линия треугольника ABC.
Решение:
Дано: DABC,
О – середина AD,
F – серединаCD,
ТК – средняя линия ∆АВС.
Решение:
§4 (стр. 85-89), №268, №269.
УТВЕРЖДАЮ
Учитель математики
Л. Р. Вольняк
«__» ________ 2016г.
Тема : "Угол между прямыми"
Развивающие: развивать пространственное воображение учащихся при решении геометрических задач, геометрическое мышление, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь, память, внимание; вырабатывать самостоятельность в освоении новых знаний.
Воспитательные: воспитывать у учащихся ответственное отношение к учебному труду, волевые качества; формировать эмоциональную культуру и культуру общения.
Тип урока : обобщение и систематизация знаний и умений.
Методы: словесный (рассказ), диалогический.
№268
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – прямоугольный параллелепипед, точка О и Т – середины рёбер СС 1 и DD 1 соответственно. а) Верно ли, что угол между прямыми AD и TO равен 90°? б)Чему равен угол между прямыми A 1 B 1 и BC?
Решение:
а) Верно, так как TO || DC => (AD, TO) = ADC = 90° (ABCD – прямоугольник).
б)BC || B 1 C 1 => (A 1 B 1 , BC) = A 1 B 1 C 1 = 90°.
Ответ: 90°, 90°.
№269
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб. а) Верно ли, что угол между прямыми A 1 B и C 1 D равен 90°? б) Найдите угол между прямыми В 1 О и C 1 D. в) Верно ли, что угол между прямыми АС и C 1 D равен 45°?
Решение:
а) Верно, так как В 1 А || C 1 D => (A 1 B, C 1 D)= (B 1 A, A 1 B) = 90°, как угол между диагоналями квадрата.
б) 1. В 1 А || C 1 D=> (B 1 O, C 1 D) = AB 1 O.
2. в Δ AB 1 С AB 1 = В 1 С = АС как диагонали равных квадратов В 1 О – медиана и биссектриса AB 1 С=60° => AB 1 O=30°.
в) нет, так как C 1 D || BA => (AС, C 1 D)= B 1 АC=60° как угол равностороннего Δ AB 1 С.
Ответ: б) 30°.
Метод: фронтальный опрос (устно) :
Диктант (10 мин):
Вариант 1:
Ребро куба равно а .
Найти : (АВ 1 ,СС 1 )
Решение:
СС1‖ВВ1
(АВ1,СС1)= АВ1В
АВ1В=45˚
Ответ: (АВ1,СС1)=45˚
Вариант 2:
Ребро куба равно а .
Данный материал посвящен такому понятию, как угол между двумя пересекающимися прямыми. В первом пункте мы поясним, что он из себя представляет, и покажем его на иллюстрациях. Потом разберем, какими способами можно найти синус, косинус этого угла и сам угол (отдельно рассмотрим случаи с плоскостью и трехмерным пространством), приведем нужные формулы и покажем на примерах, как именно они применяются на практике.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Для того чтобы понять, что такое угол, образующийся при пересечении двух прямых, нам потребуется вспомнить само определение угла, перпендикулярности и точки пересечения.
Определение 1
Мы называем две прямые пересекающимися, если у них есть одна общая точка. Эта точка называется точкой пересечения двух прямых.
Каждая прямая разделяется точкой пересечения на лучи. Обе прямые при этом образуют 4 угла, из которых два – вертикальные, а два – смежные. Если мы знаем меру одного из них, то можем определить и другие оставшиеся.
Допустим, нам известно, что один из углов равен α . В таком случае угол, который является вертикальным по отношению к нему, тоже будет равен α . Чтобы найти оставшиеся углы, нам надо вычислить разность 180 ° - α . Если α будет равно 90 градусам, то все углы будут прямыми. Пересекающиеся под прямым углом линии называются перпендикулярными (понятию перпендикулярности посвящена отдельная статья).
Взгляните на рисунок:
Перейдем к формулированию основного определения.
Определение 2
Угол, образованный двумя пересекающимися прямыми – это мера меньшего из 4 -х углов, которые образуют две эти прямые.
Из определения нужно сделать важный вывод: размер угла в этом случае будет выражен любым действительным числом в интервале (0 , 90 ] . Если прямые являются перпендикулярными, то угол между ними в любом случае будет равен 90 градусам.
Умение находить меру угла между двумя пересекающимися прямыми полезно для решения многих практических задач. Метод решения можно выбрать из нескольких вариантов.
Для начала мы можем взять геометрические методы. Если нам известно что-то о дополнительных углах, то можно связать их с нужным нам углом, используя свойства равных или подобных фигур. Например, если мы знаем стороны треугольника и нужно вычислить угол между прямыми, на которых эти стороны расположены, то для решения нам подойдет теорема косинусов. Если у нас в условии есть прямоугольный треугольник, то для подсчетов нам также пригодится знание синуса, косинуса и тангенса угла.
Координатный метод тоже весьма удобен для решения задач такого типа. Поясним, как правильно его использовать.
У нас есть прямоугольная (декартова) система координат O x y , в которой заданы две прямые. Обозначим их буквами a и b . Прямые при этом можно описать с помощью каких-либо уравнений. Исходные прямые имеют точку пересечения M . Как определить искомый угол (обозначим его α) между этими прямыми?
Начнем с формулировки основного принципа нахождения угла в заданных условиях.
Нам известно, что с понятием прямой линии тесно связаны такие понятия, как направляющий и нормальный вектор. Если у нас есть уравнение некоторой прямой, из него можно взять координаты этих векторов. Мы можем сделать это сразу для двух пересекающихся прямых.
Угол, образуемый двумя пересекающимися прямыми, можно найти с помощью:
Теперь рассмотрим каждый способ отдельно.
1. Допустим, что у нас есть прямая a с направляющим вектором a → = (a x , a y) и прямая b с направляющим вектором b → (b x , b y) . Теперь отложим два вектора a → и b → от точки пересечения. После этого мы увидим, что они будут располагаться каждый на своей прямой. Тогда у нас есть четыре варианта их взаимного расположения. См. иллюстрацию:
Если угол между двумя векторами не является тупым, то он и будет нужным нам углом между пересекающимися прямыми a и b . Если же он тупой, то искомый угол будет равен углу, смежному с углом a → , b → ^ . Таким образом, α = a → , b → ^ в том случае, если a → , b → ^ ≤ 90 ° , и α = 180 ° - a → , b → ^ , если a → , b → ^ > 90 ° .
Исходя из того, что косинусы равных углов равны, мы можем переписать получившиеся равенства так: cos α = cos a → , b → ^ , если a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ , если a → , b → ^ > 90 ° .
Во втором случае были использованы формулы приведения. Таким образом,
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ < 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Запишем последнюю формулу словами:
Определение 3
Косинус угла, образованного двумя пересекающимися прямыми, будет равен модулю косинуса угла между его направляющими векторами.
Общий вид формулы косинуса угла между двумя векторами a → = (a x , a y) и b → = (b x , b y) выглядит так:
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2
Из нее мы можем вывести формулу косинуса угла между двумя заданными прямыми:
cos α = a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 = a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2
Тогда сам угол можно найти по следующей формуле:
α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2
Здесь a → = (a x , a y) и b → = (b x , b y) – это направляющие векторы заданных прямых.
Приведем пример решения задачи.
Пример 1
В прямоугольной системе координат на плоскости заданы две пересекающиеся прямые a и b . Их можно описать параметрическими уравнениями x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R и x 5 = y - 6 - 3 . Вычислите угол между этими прямыми.
Решение
У нас в условии есть параметрическое уравнение, значит, для этой прямой мы сразу можем записать координаты ее направляющего вектора. Для этого нам нужно взять значения коэффициентов при параметре, т.е. прямая x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R будет иметь направляющий вектор a → = (4 , 1) .
Вторая прямая описана с помощью канонического уравнения x 5 = y - 6 - 3 . Здесь координаты мы можем взять из знаменателей. Таким образом, у этой прямой есть направляющий вектор b → = (5 , - 3) .
Далее переходим непосредственно к нахождению угла. Для этого просто подставляем имеющиеся координаты двух векторов в приведенную выше формулу α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Получаем следующее:
α = a r c cos 4 · 5 + 1 · (- 3) 4 2 + 1 2 · 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 · 34 = a r c cos 1 2 = 45 °
Ответ : данные прямые образуют угол в 45 градусов.
Мы можем решить подобную задачу с помощью нахождения угла между нормальными векторами. Если у нас есть прямая a с нормальным вектором n a → = (n a x , n a y) и прямая b с нормальным вектором n b → = (n b x , n b y) , то угол между ними будет равен углу между n a → и n b → либо углу, который будет смежным с n a → , n b → ^ . Этот способ показан на картинке:
Формулы для вычисления косинуса угла между пересекающимися прямыми и самого этого угла с помощью координат нормальных векторов выглядят так:
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x · n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 · n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x · n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 · n b x 2 + n b y 2
Здесь n a → и n b → обозначают нормальные векторы двух заданных прямых.
Пример 2
В прямоугольной системе координат заданы две прямые с помощью уравнений 3 x + 5 y - 30 = 0 и x + 4 y - 17 = 0 . Найдите синус, косинус угла между ними и величину самого этого угла.
Решение
Исходные прямые заданы с помощью нормальных уравнений прямой вида A x + B y + C = 0 . Нормальный вектор обозначим n → = (A , B) . Найдем координаты первого нормального вектора для одной прямой и запишем их: n a → = (3 , 5) . Для второй прямой x + 4 y - 17 = 0 нормальный вектор будет иметь координаты n b → = (1 , 4) . Теперь добавим полученные значения в формулу и подсчитаем итог:
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 · 1 + 5 · 4 3 2 + 5 2 · 1 2 + 4 2 = 23 34 · 17 = 23 2 34
Если нам известен косинус угла, то мы можем вычислить его синус, используя основное тригонометрическое тождество. Поскольку угол α , образованный прямыми, не является тупым, то sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34 .
В таком случае α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .
Ответ: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
Разберем последний случай – нахождение угла между прямыми, если нам известны координаты направляющего вектора одной прямой и нормального вектора другой.
Допустим, что прямая a имеет направляющий вектор a → = (a x , a y) , а прямая b – нормальный вектор n b → = (n b x , n b y) . Нам надо отложить эти векторы от точки пересечения и рассмотреть все варианты их взаимного расположения. См. на картинке:
Если величина угла между заданными векторами не более 90 градусов, получается, что он будет дополнять угол между a и b до прямого угла.
a → , n b → ^ = 90 ° - α в том случае, если a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
Если он менее 90 градусов, то мы получим следующее:
a → , n b → ^ > 90 ° , тогда a → , n b → ^ = 90 ° + α
Используя правило равенства косинусов равных углов, запишем:
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α при a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α при a → , n b → ^ > 90 ° .
Таким образом,
sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ < 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Сформулируем вывод.
Определение 4
Чтобы найти синус угла между двумя прямыми, пересекающимися на плоскости, нужно вычислить модуль косинуса угла между направляющим вектором первой прямой и нормальным вектором второй.
Запишем необходимые формулы. Нахождение синуса угла:
sin α = cos a → , n b → ^ = a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2
Нахождение самого угла:
α = a r c sin = a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2
Здесь a → является направляющим вектором первой прямой, а n b → – нормальным вектором второй.
Пример 3
Две пересекающиеся прямые заданы уравнениями x - 5 = y - 6 3 и x + 4 y - 17 = 0 . Найдите угол пересечения.
Решение
Берем координаты направляющего и нормального вектора из заданных уравнений. Получается a → = (- 5 , 3) и n → b = (1 , 4) . Берем формулу α = a r c sin = a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2 и считаем:
α = a r c sin = - 5 · 1 + 3 · 4 (- 5) 2 + 3 2 · 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
Обратите внимание, что мы взяли уравнения из предыдущей задачи и получили точно такой же результат, но другим способом.
Ответ: α = a r c sin 7 2 34
Приведем еще один способ нахождения нужного угла с помощью угловых коэффициентов заданных прямых.
У нас есть прямая a , которая задана в прямоугольной системе координат с помощью уравнения y = k 1 · x + b 1 , и прямая b , заданная как y = k 2 · x + b 2 . Это уравнения прямых с угловым коэффициентом. Чтобы найти угол пересечения, используем формулу:
α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 , где k 1 и k 2 являются угловыми коэффициентами заданных прямых. Для получения этой записи были использованы формулы определения угла через координаты нормальных векторов.
Пример 4
Есть две пересекающиеся на плоскости прямые, заданные уравнениями y = - 3 5 x + 6 и y = - 1 4 x + 17 4 . Вычислите величину угла пересечения.
Решение
Угловые коэффициенты наших прямых равны k 1 = - 3 5 и k 2 = - 1 4 . Добавим их в формулу α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 и подсчитаем:
α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34
Ответ: α = a r c cos 23 2 34
В выводах этого пункта следует отметить, что приведенные здесь формулы нахождения угла не обязательно учить наизусть. Для этого достаточно знать координаты направляющих и/или нормальных векторов заданных прямых и уметь определять их по разным типам уравнений. А вот формулы для вычисления косинуса угла лучше запомнить или записать.
Вычисление такого угла можно свести к вычислению координат направляющих векторов и определению величины угла, образованного этими векторами. Для таких примеров используются такие же рассуждения, которые мы приводили до этого.
Допустим, что у нас есть прямоугольная система координат, расположенная в трехмерном пространстве. В ней заданы две прямые a и b с точкой пересечения M . Чтобы вычислить координаты направляющих векторов, нам нужно знать уравнения этих прямых. Обозначим направляющие векторы a → = (a x , a y , a z) и b → = (b x , b y , b z) . Для вычисления косинуса угла между ними воспользуемся формулой:
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2
Для нахождения самого угла нам понадобится эта формула:
α = a r c cos a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2
Пример 5
У нас есть прямая, заданная в трехмерном пространстве с помощью уравнения x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Известно, что она пересекается с осью O z . Вычислите угол пересечения и косинус этого угла.
Решение
Обозначим угол, который надо вычислить, буквой α . Запишем координаты направляющего вектора для первой прямой – a → = (1 , - 3 , - 2) . Для оси аппликат мы можем взять координатный вектор k → = (0 , 0 , 1) в качестве направляющего. Мы получили необходимые данные и можем добавить их в нужную формулу:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → · k → = 1 · 0 - 3 · 0 - 2 · 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 · 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
В итоге мы получили, что нужный нам угол будет равен a r c cos 1 2 = 45 ° .
Ответ: cos α = 1 2 , α = 45 ° .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
перпендикулярности двух прямых.
1. Если прямые L 1 и L 2 заданы общими уравнениями
А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 и А 2 х + В 2 у + С 2 = 0,
то угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами {A 1 ,B 1 } и {A 2 ,B 2 }. Следовательно,
Условия параллельности и перпендикулярности прямых тоже сводятся к условиям параллельности и перпендикулярности нормалей:
Условие параллельности, (7.11)
- условие перпендикулярности. (7.12).
2. Если прямые заданы каноническими уравнениями (7.5), по аналогии с пунктом 1 получим:
, (7.13)
Условие параллельности, (7.14)
- условие перпендикулярности. (7.16).
Здесь и - направляющие векторы прямых.
3. Пусть прямые L 1 и L 2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами (7.8)
у = k 1 x +b 1 и y = k 2 x + b 2 , где 
, а α 1 и α 2 – углы наклона прямых к оси Ох, то для угла φ между прямыми справедливо равенство: φ = α 2 - α 1 . Тогда
Условие параллельности имеет вид: k 1 =k 2 , (7.18)
условие перпендикулярности – k 2 =-1/k 1 , (7.19)
поскольку при этом tgφ не существует.
Расстояние от точки до прямой.
Рассмотрим прямую L и проведем перпендикуляр ОР к ней из начала координат (предполагаем, что прямая не проходит через начало координат). Пусть n – единичный вектор, направление которого совпадает с ОР. Составим уравнение прямой L, в которое входят два параметра: р – длина отрезка ОР и α – угол между ОР и Ох.
Для точки М, лежащей на L, проекция вектора ОМ на прямую
ОР равна р. С другой стороны, пр n OM=n·OM. Поскольку
n ={cosα , sinα }, a OM ={x,y }, получаем, что
x cosα + y sinα = p, или
x cosα + y sinα - p = 0 - (7.20)
Искомое уравнение прямой L , называемое нормальным
уравнением прямой (термин «нормальное уравнение» связан
с тем, что отрезок ОР является перпендикуляром, или нормалью, к данной прямой).
Определение 7.2. Если d – расстояние от точки А до прямой L , то отклонение δ точки А от прямой L есть число +d , если точка А и начало координат лежат по разные стороны от прямой L , и число –d , если они лежат по одну сторону от L .
Теорема 7.1. Отклонение точки А(х 0 ,у 0 ) от прямой L , заданной уравнением (7.20), определяется по формуле:
Доказательство.
Проекция OQ вектора ОА на направление ОР равна
n·OA =x 0 cosα + y 0 sinα. Отсюда δ = PQ=OQ-OP=OQ-p =
x 0 cosα + y 0 sinα - p , что и требовалось доказать
Следствие.
Расстояние от точки до прямой определяется так:
Замечание. Для того, чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду, нужно умножить его на число , причем знак выбирается противоположным знаку свободного члена С в общем уравнении прямой. Это число называется нормирующим множителем.
Пример. Найдем расстояние от точки А (7,-3) до прямой, заданной уравнением
3х + 4у + 15 = 0. А ² + B ²=9+16=25, C =15>0, поэтому нормирующий множитель равен
1/5, и нормальное уравнение прямой имеет вид: 
Подставив в его левую часть вместо х и у координаты точки А,
получим, что ее отклонение от прямой равно
Следовательно, расстояние от точки А
до данной прямой равно 4,8.
8. Прямая и плоскость в пространстве. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью.
Отметим, что многие утверждения и формулы, касающиеся плоскости в пространстве, доказываются и выводятся так же, как при изучении прямой на плоскости, поэтому в этих случаях будут даваться ссылки на предыдущую лекцию.
Плоскость в пространстве.
Получим сначала уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 (х 0 ,у 0 ,z 0 ) перпендикулярно вектору n = {A,B,C },называемому нормалью к плоскости. Для любой точки плоскости М(х, у, z ) вектор М 0 М = {x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ) ортогонален вектору n , следовательно, их скалярное произведение равно нулю:
A(x - x 0 ) + B(y - y 0 ) + C(z - z 0 ) = 0. (8.1)
Получено уравнение, которому удовлетворяет любая точка заданной плоскости – уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
После приведения подобных можно записать уравнение (8.1) в виде.
