Hamma odamlar tabiatan bilimga intiladi. (Aristotel. Metafizika)
Tenglamalarni yechish muammolari amaliyotda doimo paydo bo'ladi, masalan, iqtisodiyotda, biznesni rivojlantirishda, foyda ma'lum bir qiymatga qachon erishishini bilishni xohlaysiz, tibbiyotda, harakatni tadqiq qilishda. dorilar, moddaning konsentratsiyasi qachon yetganini bilish muhimdir berilgan daraja va hokazo.
Optimallashtirish masalalarida ko'pincha funktsiyaning hosilasi 0 ga aylanadigan nuqtalarni aniqlash kerak bo'ladi. zaruriy shart mahalliy ekstremum.
Statistikada eng kichik kvadratlar yoki maksimal ehtimollik usuli yordamida hisob-kitoblarni tuzishda siz chiziqli bo'lmagan tenglamalar va tenglamalar tizimini ham echishingiz kerak.
Shunday qilib, echimlarni topish bilan bog'liq muammolarning butun sinfi paydo bo'ladi chiziqli bo'lmagan tenglamalar, masalan, tenglamalar yoki tenglamalar va boshqalar.
Eng oddiy holatda biz oraliqda aniqlangan funksiyaga egamiz ( a, b) va ma'lum qiymatlarni olish.
Har bir qiymat x bu segmentdan biz raqamni solishtirishimiz mumkin, bu funktsional qaramlik, matematikaning asosiy tushunchasi.
Bular funktsiyaning ildizlari deb ataladigan qiymatni topishimiz kerak
Vizual ravishda biz funktsiya grafigining kesishish nuqtasini aniqlashimiz kerakabscissa o'qi bilan.
Tenglamaning ildizlarini topishning eng oddiy usuli - yarmiga bo'lish usuli yoki dixotomiya.
Bu usul intuitivdir va muammoni hal qilishda hamma shunga o'xshash tarzda harakat qiladi.
Algoritm quyidagicha.
Faraz qilaylik, biz ikkita nuqtani topamiz va ularda shunday bo'ladi boshqacha belgilar, keyin bu nuqtalar orasida funktsiyaning kamida bitta ildizi mavjud.
Keling, segmentni yarmiga bo'linib, kiritamiz o'rtacha nuqta.
Keyin ham 
, yoki 
.
Keling, oxiridagi qiymatlar bo'lgan segmentning yarmini qoldiraylik turli belgilar. Endi biz bu segmentni yana yarmiga bo'lamiz va kerakli aniqlikka erishish uchun funktsiya turli xil belgilarga ega bo'lgan va hokazolarni chegaralarida qoldiramiz.
Shubhasiz, biz funktsiyaning ildizi joylashgan maydonni asta-sekin toraytiramiz va shuning uchun biz uni ma'lum darajada aniqlik bilan aniqlaymiz.
Ta'riflangan algoritm har qanday uzluksiz funksiya uchun qo'llanilishini unutmang.
Yarimga ajratish usulining afzalliklari uning yuqori ishonchliligi va soddaligini o'z ichiga oladi.
Usulning nochorligi shundaki, siz uni ishlatishni boshlashdan oldin funktsiya qiymatlari turli belgilarga ega bo'lgan ikkita nuqtani topishingiz kerak. Ko'rinib turibdiki, usul juft ko'paytmali ildizlar uchun qo'llanilmaydi va murakkab ildizlar va tenglamalar tizimlari uchun ham umumlashtirilmaydi.
Usulning yaqinlashish tartibi chiziqli bo'lib, har bir qadamda aniqlik ikki barobar ko'payadi, qanchalik ko'p takrorlash amalga oshirilsa, ildiz shunchalik aniq aniqlanadi;
Nyutonning klassik usuli yoki tangenslar if tenglamaning ildiziga qandaydir yaqinlikdir 
, keyin keyingi yaqinlashish nuqtada chizilgan funksiyaga teginishning ildizi sifatida aniqlanadi.
Nuqtadagi funksiyaning tangens tenglamasi quyidagi ko‘rinishga ega:
Tangens tenglamada va ni qo'yamiz.
Keyin Nyuton usulida ketma-ket hisob-kitoblar algoritmi quyidagicha:
Tangens usulining yaqinlashuvi kvadratik, yaqinlashish tartibi 2 ga teng.
Shunday qilib, Nyutonning tangens usulining yaqinlashuvi juda tezdir.
Ushbu ajoyib haqiqatni eslang!
Hech qanday o'zgarishsiz, usul murakkab holatga umumlashtiriladi.
Agar ildiz ikkinchi ko'paytma yoki undan yuqori ildiz bo'lsa, u holda yaqinlashish tartibi pasayib, chiziqli bo'ladi.
1-mashq. Tangens usulidan foydalanib, (0, 2) segmentdagi tenglamaning yechimini toping.
2-mashq. Tangens usulidan foydalanib, (1, 3) segmentdagi tenglamaning yechimini toping.
Nyuton usulining kamchiliklari uning lokalizatsiyasini o'z ichiga oladi, chunki u shart hamma joyda qanoatlansa, ixtiyoriy boshlang'ich yaqinlashish uchun birlashishi kafolatlanadi. 
, qarama-qarshi vaziyatda konvergentsiya faqat ildizning ma'lum bir qo'shnisida sodir bo'ladi.
Nyuton usulining kamchiligi har bir bosqichda hosilalarni hisoblash zaruratidir.
Agar tenglama bo'lsa Nyuton usuli (tangens usuli) qo'llaniladi f(x) = 0 ildizga ega va quyidagi shartlar bajariladi:
1) funktsiya y= f(x) da belgilangan va uzluksiz;
2) f(a)· f(b) < 0 (funksiya segmentning oxirida turli belgilarning qiymatlarini oladi [ a; b]);
3) hosilalar f"(x) Va f""(x) oraliqda belgini saqlash [ a; b] (masalan, funktsiya f(x) segmentida yo ortadi yoki kamayadi [ a; b], konveksning yo'nalishini saqlab qolgan holda);
Usulning asosiy g'oyasi quyidagicha: segmentda [ a; b] shunday raqam tanlangan x 0 , qaysi vaqtda f(x 0 ) bilan bir xil belgiga ega f"" (x 0 ), ya'ni shart qondiriladi f(x 0 )· f"" (x) > 0 . Shunday qilib, abscissa bilan nuqta tanlanadi x 0 , bunda egri chiziqqa tangens y= f(x) segmentida [ a; b] o‘qni kesib o‘tadi ho'kiz. Har bir nuqta uchun x 0 Birinchidan, segmentning uchlaridan birini tanlash qulay.
Keling, aniq bir misol yordamida Nyuton usulini ko'rib chiqaylik.
Bizga ortib borayotgan funksiya berilsin y = f(x) =x 2 -2, segmentida uzluksiz (0;2) va ega f"(x) = 2 x > 0 Va f "" (x) = 2 > 0 .
Chizma1 . f(x) =x 2 -2
Tangens tenglamasi umumiy ko'rinish fikr bor:
y-y 0 = f" (x 0)·(x-x 0).
Bizning holatda: y-y 0 =2x 0 ·(x-x 0). x 0 nuqtasi uchun biz nuqtani tanlaymiz B 1 (b; f(b)) = (2,2). Funksiyaga tangens chizing y = f(x) B 1 nuqtasida va tangens va o'qning kesishish nuqtasini belgilang ho'kiz nuqta x 1. Birinchi tangens tenglamasini olamiz: y-2=2·2(x-2), y=4x-6.
Ox: x 1 =
Chizma2. Birinchi iteratsiya natijasi
y=f(x) ho'kiz nuqta orqali x 1, biz fikrni tushunamiz B 2 =(1,5; 0,25). Funksiyaga yana tangens chizing y = f(x) B 2 nuqtasida va tangens va o'qning kesishish nuqtasini belgilang ho'kiz nuqta x 2.
Ikkinchi tangens tenglamasi: y-0.25=2*1.5(x-1.5), y = 3 x - 4.25.
Tangens va o'qning kesishish nuqtasi Ox: x 2 =.
Chizma3. Nyuton usulining ikkinchi takrorlanishi
Keyin funksiyaning kesishish nuqtasini topamiz y=f(x) va o'qga chizilgan perpendikulyar ho'kiz x 2 nuqtasi orqali biz B 3 nuqtasini olamiz va hokazo.
Chizma4. Tangens usulining uchinchi bosqichi
Ildizning birinchi yaqinlashuvi quyidagi formula bilan aniqlanadi:
= 1.5.
Ildizning ikkinchi yaqinlashuvi quyidagi formula bilan aniqlanadi:
=
Ildizning uchinchi yaqinlashuvi quyidagi formula bilan aniqlanadi:
Shunday qilib , i Ildizning yaqinlashishi quyidagi formula bilan aniqlanadi:
Hisob-kitoblar javobda kerak bo'lgan o'nli kasrlar mos kelguncha yoki belgilangan aniqlikka erishilgunga qadar - tengsizlik qondirilguncha amalga oshiriladi. | xi- xi-1 | < e.
Bizning holatda, uchinchi bosqichda olingan taxminiylikni kalkulyatorda hisoblangan haqiqiy javob bilan solishtiramiz:
Shakl 5. Kalkulyatorda hisoblangan 2 ning ildizi
Ko'rib turganingizdek, uchinchi bosqichda biz 0,000002 dan kam xatoga yo'l oldik.
Shunday qilib, siz "kvadrat ildiz 2" qiymatining qiymatini istalgan darajadagi aniqlik bilan hisoblashingiz mumkin. Ushbu ajoyib usul Nyuton tomonidan ixtiro qilingan va juda murakkab tenglamalarning ildizlarini topishga imkon beradi.
Ushbu maqolada biz C++ da konsol ilovasini yozish orqali tenglamalar ildizlarini hisoblash jarayonini avtomatlashtiramiz. Biz uni Visual C++ 2010 Express da ishlab chiqamiz, bu bepul va juda qulay C++ dasturlash muhiti.
Birinchidan, Visual C++ 2010 Express dasturini ishga tushiramiz. paydo bo'ladi boshlash oynasi dasturlari. Chap burchakda "Loyiha yaratish" tugmasini bosing.
Guruch. 1. Visual C++ 2010 Express bosh sahifasi
Ko'rsatilgan menyuda "Win32 Console Application" ni tanlang va dastur nomini "Newton_Method" kiriting.
Guruch. 2. Loyiha yarating
|
// Newton.cpp usuli: konsol ilovasi uchun kirish nuqtasini belgilaydi # "stdafx.h" ni o'z ichiga oladi #o'z ichiga oladi std nom maydonidan foydalanish; float f(double x) //f(x) = x^2-2 funksiya qiymatini qaytaradi float df(float x) //hosil qiymatni qaytaradi float d2f(float x) // ikkinchi hosilaning qiymati int _tmain (int argc, _TCHAR* argv) int exit = 0, i=0;//chiqish va aylanish uchun o'zgaruvchilar double x0,xn;//ildiz uchun hisoblangan taxminan double a, b, eps // segmentning chegaralari va kerakli aniqlik; cout<<"Please input \n=>"; cin>>a>>b; // ildizni qidiradigan segment chegaralarini kiriting cout<<"\nPlease input epsilon\n=>"; cin>>eps; // kerakli hisoblash aniqligini kiriting agar (a > b) // agar foydalanuvchi segment chegaralarini aralashtirgan bo'lsa, ularni almashtiring agar (f(a)*f(b)>0) // agar funksiyaning segment chetlaridagi belgilari bir xil bo‘lsa, bu yerda ildiz yo‘q. cout<<"\nError! No roots in this interval\n"; agar (f(a)*d2f(a)>0) x0 = a; // boshlanish nuqtasini tanlash uchun f(x0)*d2f(x0)>0 ni belgilang? xn = x0-f(x0)/df(x0); // birinchi yaqinlashishni ko'rib chiqing cout<<++i<<"-th iteration = "< while(fabs(x0-xn) > eps) // kerakli aniqlikka erishgunimizcha hisoblashni davom ettiradi xn = x0-f(x0)/df(x0); // to'g'ridan-to'g'ri Nyuton formulasi cout<<++i<<"-th iteration = "< cout<<"\nRoot = "< cout<<"\nExit?=>"; ) while (chiqish!=1); // foydalanuvchi chiqishga kirguncha = 1 |
Keling, bu qanday ishlashini ko'rib chiqaylik. Ekranning yuqori chap burchagidagi yashil uchburchakni bosing yoki F5 tugmasini bosing.
Agar kompilyatsiya xatosi yuzaga kelsa, "LNK1123 xatosi: COFF ga o'zgartirilmagan: fayl noto'g'ri yoki shikastlangan" bo'lsa, uni birinchi xizmat paketi 1ni o'rnatish yoki loyiha sozlamalarida "Xususiyatlar -> Bog'lovchi" qo'shimcha ulanishni o'chirib qo'yish orqali davolash mumkin.
Guruch. 4. Loyihani kompilyatsiya qilish xatosini yechish
Biz funktsiyaning ildizlarini qidiramiz f(x) =x2-2.
Birinchidan, "noto'g'ri" kiritilgan ma'lumotlar bo'yicha dasturning ishlashini tekshiramiz. Segmentda ildiz yo'q, dasturimiz xato xabarini ko'rsatishi kerak.
Endi bizda dastur oynasi mavjud:
Guruch. 5. Kirish ma'lumotlarini kiritish
Keling, 3 va 5 segmentining chegaralarini kiritamiz va aniqlik 0,05 ga teng. Dastur, kutilganidek, ushbu segmentda hech qanday ildiz yo'qligi haqida xato xabari paydo bo'ldi.
Guruch. 6. Xato "Ushbu segmentda ildiz yo'q!"
Biz hali ketmoqchi emasmiz, “Chiqish?” xabari-chi? “0” kiriting.
Endi to'g'ri kiritilgan ma'lumotlardan foydalangan holda dasturni tekshiramiz. Keling, segmentni va 0,0001 aniqligini kiritamiz.
Guruch. 7. Ildizni kerakli aniqlik bilan hisoblash
Ko'rib turganimizdek, kerakli aniqlikka 4-iteratsiyada erishilgan.
Ilovadan chiqish uchun “Chiqish?” kiriting. => 1.
Hosilni hisoblashdan qochish uchun Nyuton usulini hosilani avvalgi ikki nuqtadan hisoblangan taqribiylik bilan almashtirish orqali soddalashtirish mumkin:
Iterativ jarayon quyidagicha ko'rinadi:
Bu ikki bosqichli iterativ jarayon, chunki u keyingi taxminiylikni topish uchun oldingi ikkitasidan foydalanadi.
Sekant usulining yaqinlashish tartibi tangens usulidan past va bitta ildiz holatida tengdir.
Ushbu ajoyib miqdor oltin nisbat deb ataladi:
Keling, qulaylik uchun buni tekshirib ko'raylik.
Shunday qilib, yuqori tartibli cheksiz kichiklargacha
Qolgan atamani bekor qilib, biz takrorlanish munosabatini olamiz, uning yechimi tabiiy ravishda shaklda izlanadi.
O'zgartirishdan keyin bizda: va 
Konvergentsiya uchun u ijobiy bo'lishi kerak, shuning uchun .
Hosilni bilish shart emasligi sababli, sekant usulida bir xil miqdordagi hisob-kitoblar bilan (konvergentsiyaning pastki tartibiga qaramay) tangens usuliga qaraganda ko'proq aniqlikka erishish mumkin.
E'tibor bering, ildiz yaqinida siz kichik raqamga bo'lishingiz kerak va bu aniqlikning yo'qolishiga olib keladi (ayniqsa, bir nechta ildizlar bo'lsa), shuning uchun nisbatan kichik raqamni tanlab, bajarishdan oldin hisob-kitoblarni bajaring. 
va qo'shni yaqinlashishlar orasidagi farq moduli kamayguncha ularni davom ettiring.
O'sish boshlanishi bilan hisob-kitoblar to'xtatiladi va oxirgi takrorlash ishlatilmaydi.
Takrorlashlarning oxirini aniqlashning ushbu tartibi texnika deb ataladi Garvika.
Keling, uch bosqichli usulni ko'rib chiqaylik, unda yaqinlashish uchta oldingi nuqta bilan aniqlanadi va .
Buning uchun sekant usuliga o'xshab funktsiyani va nuqtalardan o'tuvchi interpolyatsiya parabolasi bilan almashtiramiz.
Nyuton shaklida u quyidagicha ko'rinadi:
Nuqta mutlaq qiymatda nuqtaga yaqinroq bo'lgan ushbu ko'phadning ildizlaridan biri sifatida aniqlanadi.
Parabola usulining yaqinlashish tartibi sekant usulidan yuqori, lekin Nyuton usulidan past.
Oldindan ko'rib chiqilgan usullardan muhim farq shundaki, agar real uchun real va boshlang'ich yaqinlashishlar haqiqiy deb tanlangan bo'lsa ham, parabola usuli asl muammoning murakkab ildiziga olib kelishi mumkin.
Bu usul yuqori darajali polinomlarning ildizlarini topish uchun juda qulaydir.
Tenglamalarning yechimlarini topish masalasini ildizlarni topish masalasi sifatida shakllantirish mumkin: , yoki qo'zg'almas nuqtani topish masalasi.
Mayli 
va - siqilish: (xususan, bu - siqilish, ko'rish oson, shuni anglatadi).
Banax teoremasiga ko'ra, yagona qo'zg'almas nuqta mavjud
Buni oddiy iterativ protseduraning chegarasi sifatida topish mumkin
bu erda boshlang'ich yaqinlashish oraliqdagi ixtiyoriy nuqtadir.
Agar funktsiyani differentsiallash mumkin bo'lsa, unda qulay siqish mezoni raqam hisoblanadi. Haqiqatan ham, Lagrange teoremasiga ko'ra
Shunday qilib, lotin birdan kam bo'lsa, u holda bu siqilishdir.
Vaziyat 
muhim, chunki, masalan, ustida bo'lsa, hosila nolga teng bo'lsa-da, unda hech qanday qo'zg'almas nuqta yo'q. Konvergentsiya tezligi ning qiymatiga bog'liq. Qanchalik kichik bo'lsa, konvergentsiya tezroq bo'ladi.
Maktabda matematika darslarida tenglamalarni echish bilan kurashayotganda, ko'p o'quvchilar ko'pincha vaqtlarini behuda behuda sarflashlariga amin bo'lishadi va shunga qaramay, bunday mahorat nafaqat Dekart izidan borishga qaror qilganlar uchun hayotda foydali bo'ladi. Eyler yoki Lobachevskiy.
Amalda, masalan, tibbiyot yoki iqtisodda, ko'pincha mutaxassis ma'lum bir dorining faol moddasi kontsentratsiyasi bemorning qonida kerakli darajaga yetganini aniqlashi kerak bo'lgan yoki bemorning qonida zarur bo'lgan vaqtni hisoblashi kerak bo'lgan holatlar mavjud. daromadli bo'lish uchun muayyan biznes.
Ko'pincha biz har xil turdagi chiziqli bo'lmagan tenglamalarni echish haqida gapiramiz. Raqamli usullar buni imkon qadar tezroq bajarishga imkon beradi, ayniqsa kompyuter yordamida. Ular yaxshi o'rganilgan va ularning samaradorligini uzoq vaqt isbotlagan. Bularga ushbu maqolaning mavzusi bo'lgan Nyutonning tangens usuli kiradi.
Bunday holda, (a, b) segmentida aniqlangan va unda ma'lum qiymatlarni qabul qiluvchi g funktsiyasi mavjud, ya'ni (a, b) ga tegishli bo'lgan har bir x ma'lum bir g soni bilan bog'lanishi mumkin. (x).
Tenglamaning barcha ildizlarini a va b nuqtalari orasidagi intervaldan (shu jumladan uchlari) o'rnatish talab qilinadi, buning uchun funktsiya nolga o'rnatiladi. Shubhasiz, bu y = g(x) ning OX bilan kesishish nuqtalari bo'ladi.
Ba'zi hollarda g(x)=0 ni o'xshashi bilan almashtirish qulayroqdir, masalan, g 1 (x) = g 2 (x). Bunda g 1 (x) va g 2 (x) grafiklarning kesishish nuqtalarining abstsissalari (x qiymati) ildiz vazifasini bajaradi.
Lokal ekstremum sharti funksiya hosilasi 0 ga aylanadigan optimallashtirish masalalari uchun nochiziqli tenglamaning yechimi ham muhimdir. Boshqacha qilib aytganda, bunday masalani p(x) = 0 tenglamaning ildizlarini topishga keltirish mumkin, bunda p(x) g"(x) bilan bir xil.
Kvadrat yoki oddiy trigonometrik tenglamalar kabi nochiziqli tenglamalarning ayrim turlari uchun ildizlarni juda oddiy usullar bilan topish mumkin. Xususan, har bir maktab o'quvchisi kvadrat uchlik yo'qolgan nuqtalar argumentining qiymatlarini osongina topish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan formulalarni biladi.
Nochiziqli tenglamalarning ildizlarini olish usullari odatda analitik (to'g'ridan-to'g'ri) va iterativlarga bo'linadi. Birinchi holda, kerakli yechim formula shakliga ega bo'lib, uning yordamida ma'lum miqdordagi arifmetik operatsiyalarda kerakli ildizlarning qiymatini topish mumkin. Shunga o'xshash usullar ko'rsatkichli, trigonometrik, logarifmik va oddiy algebraik tenglamalar uchun ishlab chiqilgan. Qolganlari uchun siz maxsus raqamli usullardan foydalanishingiz kerak. Ularni kompyuterlar yordamida amalga oshirish oson, bu esa kerakli aniqlik bilan ildizlarni topish imkonini beradi.
Bularga raqamli tangens deb ataladigan usul kiradi, ikkinchisi 17-asrning oxirida buyuk olim Isaak Nyuton tomonidan taklif qilingan. Keyingi asrlarda usul qayta-qayta takomillashtirildi.
Analitik yechimga ega bo'lmagan murakkab tenglamalarni echishning raqamli usullari odatda 2 bosqichda amalga oshiriladi. Avval siz ularni mahalliylashtirishingiz kerak. Bu amal echilayotgan tenglamaning bitta ildizi bo'lgan OXda shunday segmentlarni topishdan iborat.
Keling, segmentni ko'rib chiqaylik. Agar g(x) ning uzilishlari bo'lmasa va oxirgi nuqtalarda turli belgilarning qiymatlarini qabul qilsa, a va b o'rtasida yoki ularda g(x) = 0 tenglamaning kamida 1 ta ildizi mavjud. Buning uchun yagona bo'lishi uchun g (x) monoton emasligi talab qilinadi. Ma'lumki, g'(x) ning belgisi doimiy bo'lsa, u shunday xususiyatga ega bo'ladi.
Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, agar g (x) uzilishlarga ega bo'lmasa va monoton ravishda ortib yoki kamaysa va uning oxirgi nuqtalaridagi qiymatlari bir xil belgilarga ega bo'lmasa, g (x) ning 1 va faqat 1 ildizi mavjud.
Biroq, bu mezon ko'p bo'lgan tenglamalarning ildizlariga taalluqli emasligini bilishingiz kerak.
Keyinchalik murakkab raqamli tangenslar va uning navlarini ko'rib chiqishdan oldin, ildizlarni aniqlashning eng oddiy usuli bilan tanishishga arziydi. U dixotomiya deb ataladi va agar g(x) uchun uzluksiz boʻlsa, turli belgilar sharti qanoatlansa, koʻrib chiqilayotgan segmentda kamida 1 ta ildiz g() boʻladi, degan teoremaga asoslanib, ildizlarni topishning intuitiv usulini bildiradi. x) = 0.
Uni topish uchun siz segmentni yarmiga bo'lishingiz va o'rta nuqtani x 2 deb belgilashingiz kerak. Shunda ikkita variant mumkin: g(x 0) * g(x 2) yoki g(x 2) * g(x 1) 0 ga teng yoki 0 dan kichik. Biz ushbu tengsizliklardan qaysi biri to‘g‘ri bo‘lganini tanlaymiz. Uzunlik tenglamaning ildizini aniqlashning to'g'riligini aniqlaydigan ma'lum bir oldindan tanlangan qiymatdan kamroq bo'lguncha yuqorida tavsiflangan protsedurani takrorlaymiz.
Usulning afzalliklari uning ishonchliligi va soddaligini o'z ichiga oladi, ammo kamchilik - g (x) turli belgilarni qabul qiladigan nuqtalarni dastlab aniqlash zarurati, shuning uchun uni hatto ko'plikning ildizlari uchun ishlatib bo'lmaydi. Bundan tashqari, u tenglamalar tizimi holatiga yoki agar biz murakkab ildizlar haqida gapiradigan bo'lsak, umumlashtirmaydi.
Keling, g(x) = 2x 5 + x - 1 = 0 tenglamasini yechmoqchimiz. Kerakli segmentni izlashga uzoq vaqt sarflamaslik uchun, masalan, taniqli Excel dasturidan foydalanib, grafik tuzamiz. . Biz ildizni lokalizatsiya qilish uchun segment sifatida intervaldan qiymatlarni olish yaxshiroq ekanligini ko'ramiz. Unda kerakli tenglamaning kamida bitta ildizi mavjudligiga ishonch hosil qilishimiz mumkin.
g"(x) = 10x 4 + 1, ya'ni monoton ravishda ortib boruvchi funksiya, shuning uchun tanlangan segmentda faqat 1 ta ildiz mavjud.
Biz oxirgi nuqtalarni tenglamaga almashtiramiz. Bizda mos ravishda 0 va 1 bor. Birinchi bosqichda biz yechim sifatida 0,5 nuqtani olamiz. Keyin g (0,5) = -0,4375. Bu shuni anglatadiki, yarmini ajratish uchun keyingi segment bo'ladi. Uning o'rta nuqtasi 0,75. Unda funksiyaning qiymati 0,226 ga teng. Biz 0,625 nuqtada joylashgan segmentni va uning o'rtasini hisobga olamiz. Biz g(x) qiymatini 0,625 deb hisoblaymiz. Bu -0,11 ga teng, ya'ni salbiy. Ushbu natijaga asoslanib, biz segmentni tanlaymiz. Biz x = 0,6875 ni olamiz. Keyin g(x) = -0,00532. Agar eritmaning aniqligi 0,01 ga teng bo'lsa, unda biz kerakli natijani 0,6875 deb hisoblashimiz mumkin.
Nyuton tangens usuli yordamida ildizlarni topishning bu usuli juda tez yaqinlashishi tufayli mashhurdir.
Bu isbotlangan faktga asoslanadi, agar x n f(x) = 0 ildizga yaqinlik bo'lsa, f" C 1 bo'lsa, keyingi yaqinlashish f(x) ga teginish tenglamasi joylashgan nuqtada bo'ladi. nolga teng, ya'ni.
x = x n+1 o'rniga qo'ying va y ni nolga qo'ying.
Keyin tangenslar quyidagicha ko'rinadi:
Keling, Nyutonning klassik tangens usulidan foydalanishga harakat qilaylik va analitik yo'l bilan topish qiyin yoki imkonsiz bo'lgan ba'zi bir nochiziqli tenglamaning yechimini topamiz.
X 3 + 4x - 3 = 0 uchun ildizlarni qandaydir aniqlik bilan aniqlash kerak bo'lsin, masalan, 0,001. Ma'lumki, toq darajali ko'phad ko'rinishidagi har qanday funktsiyaning grafigi OX o'qini kamida bir marta kesishi kerak, ya'ni ildizlarning mavjudligiga shubha yo'q.
Misolimizni tangens usuli yordamida yechishdan oldin f(x) = x 3 + 4x - 3 grafigini nuqta yo'nalishi bo'yicha quramiz. Buni, masalan, Excel elektron jadval protsessoridan foydalanish juda oson. Olingan grafikdan ma'lum bo'ladiki, u OX o'qi bilan kesishmaydi va y = x 3 + 4x - 3 funksiya monoton ravishda ortadi. X 3 + 4x - 3 = 0 tenglama yechimga ega va u yagona ekanligiga ishonch hosil qilishimiz mumkin.
Har qanday tenglamalarni tangens usuli bilan yechish f "(x) ni hisoblashdan boshlanadi. Bizda:
Keyin ikkinchi hosila x * 6 bo'ladi.
Ushbu ifodalardan foydalanib, tenglamaning ildizlarini tangens usuli yordamida aniqlash formulasini quyidagi shaklda yozishimiz mumkin:
Keyinchalik, siz dastlabki taxminiylikni tanlashingiz kerak, ya'ni iteratsiya jarayoni uchun qaysi nuqtani boshlang'ich nuqtasi (hajm x 0) sifatida ko'rib chiqishni hal qilishingiz kerak. Biz segmentning uchlarini ko'rib chiqamiz. Funktsiya va uning x 0 dagi 2-hosilasi turli belgilarga ega bo'lish sharti to'g'ri bo'lganidan foydalanamiz. Ko'rib turganimizdek, x 0 = 0 o'rniga u buzilgan, ammo x 0 = 1 juda mos keladi.
u holda tangens usulini e aniqlik bilan yechishdan manfaatdor bo'lsak, u holda x n qiymatini masala talablarini qanoatlantiradigan deb hisoblash mumkin, bunda |f(x n) / f’(x n)|< e.
Birinchi teginish bosqichida bizda:
Agar siz hisob-kitoblarni qo'lda (kalkulyatorda) bajarmasangiz, lekin Microsoft-dan elektron jadval protsessorining imkoniyatlaridan foydalansangiz, oldingi misolni ancha oson va tezroq hal qilishingiz mumkin.
Buning uchun Excelda yangi sahifa yaratish va uning kataklarini quyidagi formulalar bilan to'ldirish kerak:
Muayyan muammoda B10 katakchasida "Takrorlanishni yakunlash" yozuvi paydo bo'ladi va muammoni hal qilish uchun siz yuqoridagi bir qatorda joylashgan katakchada yozilgan raqamni olishingiz kerak bo'ladi. Bundan tashqari, u erda formula-shartni kiritish orqali u uchun alohida "cho'ziladigan" ustunni tanlashingiz mumkin, unga ko'ra B ustunining u yoki bu kataklari tarkibi "Takrorlanishlarni yakunlash" shaklida bo'lsa, natija u erda yoziladi.
y = x 4 - 4 - 2 * x nochiziqli tenglamaning yechimini Paskalda tangens usuli yordamida olishga harakat qilaylik.
Biz f"(x) = (f(x + delta) - f(x)) / delta taxminiy hisoblashni amalga oshirishga yordam beradigan yordamchi funktsiyadan foydalanamiz. Takrorlash jarayonini yakunlash sharti sifatida biz quyidagini bajarishni tanlaymiz. |x 0 -x 1 | tengsizlik< некого малого числа. В Паскале его запишем, как abs(x0 - x1)<= epsilon.
Dastur lotinni qo'lda hisoblashni talab qilmasligi bilan ajralib turadi.
Nochiziqli tenglamalar ildizlarini aniqlashning yana bir usulini ko'rib chiqamiz. Takrorlash jarayoni shundan iboratki, f(x) = 0 uchun kerakli ildizga ketma-ket yaqinlashish sifatida akkordning OX bilan oxirgi a va b nuqtalarining abssissalari bilan kesishish nuqtalarining qiymatlari olinadi, x 1, ..., x n sifatida belgilanadi. Bizda ... bor:
Akkord OX o'qini kesishgan nuqta uchun ifoda quyidagicha yoziladi:
Ikkinchi hosila x £ uchun musbat bo'lsin (agar f(x) = 0 ni yozsak, qarama-qarshi holat ko'rib chiqilayotgan holatga qisqaradi). Bunda y = f(x) grafigi egri chiziq bo‘lib, pastda qavariq va akkord ostida joylashgan. AB. 2 ta holat bo'lishi mumkin: funksiya a nuqtada ijobiy qiymatga ega bo'lsa yoki b nuqtada manfiy bo'lsa.
Birinchi holda, biz a oxirini sobit deb tanlaymiz va b nuqtasini x 0 sifatida qabul qilamiz. Keyin yuqorida keltirilgan formula bo'yicha ketma-ket yaqinlashishlar monoton ravishda kamayib boruvchi ketma-ketlikni hosil qiladi.
Ikkinchi holda, b oxiri x 0 = a da o'rnatiladi. Har bir iteratsiya bosqichida olingan x qiymatlari monoton ravishda ortib boruvchi ketma-ketlikni hosil qiladi.
Shunday qilib, biz quyidagilarni aytishimiz mumkin:
Takrorlashlar shu va oldingi iteratsiya bosqichi moduli abs(x m - x m - 1) ildizlarning yaqinligi uchun shartlar bajarilguncha davom ettirilishi mumkin.< e.
Akkordlar va tangenslarning kombinatsiyalangan usuli tenglamaning ildizlarini ularga turli tomondan yondashish orqali o'rnatish imkonini beradi. f(x) grafigi OX ni kesib o'tuvchi bu qiymat har bir usullarni alohida qo'llashdan ko'ra yechimni ancha tez aniqlashtirish imkonini beradi.
Aytaylik, f(x)=0 ning ildizlarini topishimiz kerak, agar ular da mavjud bo'lsa. Siz yuqorida tavsiflangan usullardan birini qo'llashingiz mumkin. Biroq, ularning kombinatsiyasini sinash yaxshiroqdir, bu esa ildizning aniqligini sezilarli darajada yaxshilaydi.
Biz ishni birinchi va ikkinchi hosilalarning ma'lum bir x nuqtasida har xil belgilarga ega bo'lish shartiga mos keladigan dastlabki yaqinlashish bilan ko'rib chiqamiz.
Bunday sharoitda nochiziqli tenglamalarni tangens usuli bilan yechish, agar x 0 =b bo'lsa, ortiqcha bo'lgan ildizni topishga imkon beradi va qo'zg'almas uchi b bo'lgan akkordlardan foydalanish usuli kamchilik bilan taxminiy ildizni topishga olib keladi.
Ishlatilgan formulalar:
Endi kerakli ildiz x oraliqda qidirilishi kerak. Keyingi bosqichda siz ushbu segmentga birlashtirilgan usulni qo'llashingiz kerak. Shunday qilib, biz quyidagi shakl formulalarini olamiz:
Agar birinchi va ikkinchi hosilalar turli xil belgilarga ega bo'lsa, shunga o'xshash tarzda asoslab, ildizni aniqlashtirish uchun biz quyidagi takrorlanuvchi formulalarni olamiz:
Ishlatilgan shart hisoblangan tengsizlik | b n +1 - a n +1 |< e. Иными словами, на практике приходится находить решение при помощи двух методов, но на каждом шаге требуется выяснять, насколько полученные результаты близки друг другу.
Agar yuqoridagi tengsizlik to'g'ri bo'lsa, u holda berilgan segmentdagi chiziqli bo'lmagan tenglamaning ildizi sifatida ma'lum bir iteratsiya bosqichida topilgan echimlar o'rtasida to'liq yarmi bo'lgan nuqtani oling.
Kombinatsiyalangan usul TURBO PASCAL muhitida osonlik bilan amalga oshiriladi. Agar chindan ham xohlasangiz, Excelda jadval usuli yordamida barcha hisob-kitoblarni amalga oshirishga harakat qilishingiz mumkin.
Ikkinchi holda, muammoni akkordlar yordamida hal qilish uchun va Isaak Nyuton tomonidan taklif qilingan usul uchun alohida-alohida bir nechta ustunlar ajratiladi.
Bunday holda, har bir satr ikkita usul yordamida ma'lum bir iteratsiya bosqichida hisob-kitoblarni yozish uchun ishlatiladi. Keyin, yechim maydonining chap tomonida, faol ish sahifasida ustun ajratiladi, unda har bir usul uchun keyingi iterativ qadam qiymatlari farqining modulini hisoblash natijasi kiritiladi. Yana bir shart to'g'ri yoki noto'g'riligini aniqlash uchun foydalaniladigan "IF" mantiqiy konstruktsiyasini hisoblash formulasi asosida hisob-kitoblar natijalarini kiritish uchun ishlatilishi mumkin.
Endi siz murakkab tenglamalarni qanday echishni bilasiz. Tangens usuli, siz allaqachon ko'rganingizdek, Paskalda ham, Excelda ham juda sodda tarzda amalga oshiriladi. Shuning uchun formulalar yordamida yechish qiyin yoki imkonsiz bo'lgan tenglamaning ildizlarini har doim o'rnatishingiz mumkin.
f(x)=0 tenglamaning ildizi segmentida birinchi va ikkinchi hosilalari f’(x) va f""(x) xÎ uchun uzluksiz va doimiy ishorali.
Ildizni aniqlashtirishning qaysidir bosqichida x n ildiziga keyingi yaqinlik olinsin (tanlangan) . Deylik, h n tuzatish yordamida keyingi yaqinlik olinadi , ildizning aniq qiymatiga olib keladi
x = xn + hn. (1.2.3-6)
Hisoblash h n kichik qiymat, biz f(x n + h n) ni Teylor qatori shaklida ifodalaymiz, o'zimizni chiziqli atamalar bilan cheklaymiz.
f(x n + h n) »f(x n) + h n f’(x n). (1.2.3-7)
f(x) = f(x n + h n) = 0 ekanligini hisobga olsak, f(x n) + h n f ’(x n) » 0 ni olamiz.
Demak, h n » - f(x n)/ f’(x n). Keling, qiymatni almashtiramiz h n(1.2.3-6) da va ildizning aniq qiymati o'rniga x yana bir taxminni olamiz
Formula (1.2.3-8) ma'lum sharoitlarda ildizning aniq qiymatiga yaqinlashadigan x 1, x 2, x 3 ... yaqinlashuvlar ketma-ketligini olish imkonini beradi. x, ya'ni 
Nyuton usulining geometrik talqini quyidagicha
(1.2.3-6-rasm). Dastlabki x 0 ga yaqinlik sifatida b segmentning o'ng uchini olamiz va y = f(x) funksiya grafigining mos keladigan B 0 nuqtasida tangens quramiz. Tangensning x o'qi bilan kesishish nuqtasi yangi, aniqroq x 1 yaqinlik sifatida qabul qilinadi. Ushbu protsedurani ko'p marta takrorlash bizga x 0, x 1, x 2 yaqinlashuvlar ketma-ketligini olish imkonini beradi. , .
.
., bu ildizning aniq qiymatiga intiladi x.
Nyuton usulining hisoblash formulasini (1.2.3-8) geometrik konstruktsiyadan olish mumkin. Shunday qilib, to'g'ri burchakli uchburchakda x 0 B 0 x 1 oyoq
x 0 x 1 = x 0 V 0 / tga. B 0 nuqtasi funksiya grafigida ekanligini hisobga olsak f(x), va gipotenuza f(x) grafigiga B 0 nuqtada teginish orqali hosil bo‘ladi, biz hosil bo‘lamiz.
(1.2.3-9)
(1.2.3-10)
Bu formula n-chi yaqinlik uchun (1.2.3-8) bilan mos keladi.
1.2.3-6-rasmdan ko'rinib turibdiki, boshlang'ich yaqinlashish sifatida a nuqtasini tanlash keyingi x 1 yaqinlashuvi ildiz ajratilgan segmentdan tashqarida bo'lishiga olib kelishi mumkin. x. Bunday holda, jarayonning yaqinlashishi kafolatlanmaydi. Umumiy holatda dastlabki yaqinlashuvni tanlash quyidagi qoidaga muvofiq amalga oshiriladi: dastlabki yaqinlashish x 0 O nuqta sifatida qabul qilinishi kerak, bunda f(x 0)×f''(x 0)>0 bo'ladi. , ya'ni funksiya belgilari va uning ikkinchi hosilasi mos keladi.
Nyuton usulining yaqinlashuv shartlari quyidagi teoremada ifodalangan.
Agar tenglamaning ildizi segmentda ajratilsa, va f’(x 0) va f’’(x) noldan farq qiladi va qachon belgilarini saqlab qoladi xO, keyin biz boshlang'ich yaqinlashish sifatida bunday nuqtani tanlasak x 0 O , Nima f(x 0).f¢¢(x 0)>0 , keyin tenglamaning ildizi f(x)=0 har qanday darajadagi aniqlik bilan hisoblash mumkin.
Nyuton usulining xatolik bahosi quyidagi ifoda bilan aniqlanadi:
(1.2.3-11)
eng kichik qiymat qayerda 
da 
Eng yuqori qiymat 
da 
Hisoblash jarayoni to'xtaydi, agar 
,
belgilangan aniqlik qayerda.
Bundan tashqari, quyidagi iboralar Nyuton usuli yordamida ildizni aniqlashtirishda berilgan aniqlikka erishish uchun shart bo'lib xizmat qilishi mumkin:
Nyuton usuli algoritmining diagrammasi rasmda ko'rsatilgan. 1.2.3-7.
Dastlabki f(x) tenglamaning chap tomoni va uning algoritmdagi hosilasi f’(x) alohida dasturiy modullar sifatida tuzilgan.
Guruch. 1.2.3-7. Nyuton usuli algoritm diagrammasi
1.2.3-3-misol x-ln(x+2) = 0 tenglamaning ildizlarini Nyuton usuli yordamida aniqlang, bu tenglamaning ildizlari x 1 O[-1,9;-1,1] va segmentlarda ajratilgan bo'lsa. x 2 O [-0,9;2 ].
Birinchi hosila f’(x) = 1 – 1/(x+2) segmentlarning har birida o‘z belgisini saqlab qoladi:
f'(x)<0 при хÎ [-1.9; -1.1],
f’(x)>0 da xO [-0,9; 2].
Ikkinchi hosila f"(x) = 1/(x+2) 2 > 0 har qanday x uchun.
Shunday qilib, konvergentsiya shartlari qondiriladi. Ruxsat etilgan qiymatlarning butun diapazonida f""(x)>0 bo'lgani uchun, boshlang'ich yaqinlashuvning ildizini aniqlashtirish uchun x 1 x 0 = -1,9 ni tanlang (chunki f(-1,9)×f”(-1,9)>0). Biz taxminlar ketma-ketligini olamiz:
Hisob-kitoblarni davom ettirib, biz birinchi to'rtta taxminiylikning quyidagi ketma-ketligini olamiz: -1,9; –1,8552, -1,8421; -1,8414 . f(x) funksiyaning x=-1,8414 nuqtadagi qiymati f(-1,8414)=-0,00003 ga teng. .
Ildiz x 2 O[-0,9;2]ga aniqlik kiritish uchun boshlang’ich yaqinlik sifatida 0 =2 (f(2)×f”(2)>0) ni tanlaymiz. x 0 = 2 ga asoslanib, biz yaqinlashishlar ketma-ketligini olamiz: 2.0;1.1817; 1,1462; 1.1461. f(x) funksiyaning x=1,1461 nuqtadagi qiymati f(1,1461)= -0,00006 ga teng.
Nyuton usuli yuqori yaqinlashish tezligiga ega, lekin har bir bosqichda u nafaqat funktsiya qiymatini, balki uning hosilasini ham hisoblashni talab qiladi.
Akkord usuli
Akkord usulining geometrik talqini quyidagicha
(1.2.3-8-rasm).
A va B nuqtalar orqali chiziq kesmasini o'tkazamiz. Keyingi x 1 ga yaqinlik akkordning 0x o'qi bilan kesishgan nuqtasining abtsissasidir. To'g'ri chiziqli segmentning tenglamasini tuzamiz:
y=0 ni o‘rnatamiz va x=x 1 qiymatini topamiz (keyingi taxminiy):
Ildizga navbatdagi yaqinlashuvni olish uchun hisoblash jarayonini takrorlaymiz - x 2 :
Bizning holatda (1.2.11-rasm) 
Va hisoblash formulasi akkord usuli o'xshash bo'ladi
Bu formula b nuqta qo'zg'almas nuqta sifatida qabul qilinganda to'g'ri bo'ladi va a nuqta boshlang'ich yaqinlashish vazifasini bajaradi.
Keling, boshqa ishni ko'rib chiqaylik (1.2.3-9-rasm), qachon 
.
 |
Bu holat uchun to'g'ri chiziq tenglamasi shaklga ega
Keyingi taxminan x 1 y = 0 da
Keyin bu holat uchun akkord usulining takrorlanuvchi formulasi shaklga ega
Shuni ta'kidlash kerakki, akkord usulida qo'zg'almas nuqta f (x)∙f¢¢ (x)>0 sharti bajariladigan segmentning oxiri sifatida tanlanadi.
Shunday qilib, agar a nuqta qo'zg'almas nuqta sifatida qabul qilinsa , u holda x 0 = b dastlabki yaqinlashish vazifasini bajaradi va aksincha.
Etarli shartlar, akkord formulasi yordamida f(x) = 0 tenglamaning ildizini hisoblashni ta’minlovchi tangens usuli (Nyuton usuli) bilan bir xil bo‘ladi, faqat dastlabki yaqinlashish o‘rniga qo‘zg‘almas nuqta tanlanadi. Akkord usuli Nyuton usulining modifikatsiyasi hisoblanadi. Farqi shundaki, Nyuton usulida keyingi yaqinlashish tangensning 0X o‘qi bilan kesishish nuqtasi, akkord usulida esa akkordning 0X o‘qi bilan kesishish nuqtasi – yaqinlashuvlar turli tomondan ildizga yaqinlashadi. .
Akkord usuli uchun xato bahosi ifoda bilan beriladi
(1.2.3-15)
Akkord usuli yordamida takrorlash jarayonini tugatish sharti
(1.2.3-16)
M 1 holatda<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n -x n -1 |£e.
1.2.3-4-misol. Segmentda 10 -4 aniqlik bilan ajratilgan e x – 3x = 0 tenglamaning ildizini aniqlang.
Konvergentsiya shartini tekshiramiz:
Binobarin, qo'zg'almas nuqta sifatida a=0, boshlang'ich yaqinlik sifatida x 0 =1 ni tanlash kerak, chunki f(0)=1>0 va f(0)*f"(0)>0.
Funktsiyani minimallashtirish muammosida dastlabki yaqinlashishni muvaffaqiyatli tanlash muhim ahamiyatga ega umumiy qoida, bu barcha holatlar uchun, ya'ni barcha mumkin bo'lgan chiziqli bo'lmagan funktsiyalar uchun qoniqarli bo'ladi. Quyida biz qo'pol boshlang'ich yaqinlashishlarni topishning ba'zi usullari to'plamini taklif qilamiz, ular amalda ma'lum bir muammoda qoniqarli yaqinliklarni izlash uchun boshlang'ich nuqta bo'lib xizmat qiladi.
9.6.1. Grid qidiruvi. Bu usul, ayniqsa, kam sonli haqiqiy chiziqli bo'lmagan parametrlar bilan samarali. Ko'pincha funktsiyalar shunday tuzilganki, ba'zi parametrlarning qiymatlari (biz ularni chiziqli bo'lmagan deb ataymiz) sobit bo'lganda, qolgan parametrlar chiziqli bo'ladi.
Keyin chiziqli bo'lmagan parametrlar uchun pastki va yuqori chegaralarni belgilab, ma'lum bir qadam bilan ushbu nochiziqli parametrlarning qiymatlari to'plamidagi variantlarni sanab o'tish va kvadratlarning minimal yig'indisiga olib keladigan chiziqli regressiyani aniqlash mumkin. .
Misol sifatida, funktsiyani ko'rib chiqing
Bu erda haqiqiy chiziqli bo'lmagan parametr bo'ladi. Aytaylik, bu ma'lum. h parametr uchun qadam bo'lsin. Chiziqli regressiyalarni hisoblaylik
bu erda ularning har biri uchun kvadratlarning minimal yig'indisini topamiz. Ularning eng kichigi optimal boshlang'ich yaqinlashuvga mos keladi. Asos sifatida, panjaraning "zichligi" bog'liq bo'lgan qadam o'zgarishi mumkin, shuning uchun h qiymatini kamaytirish orqali parametr qiymatlarini har qanday aniqlik bilan topish mumkin.
Ba'zan, ba'zi transformatsiyalar orqali modelni chiziqli holatga keltirish yoki haqiqiy chiziqli bo'lmagan parametrlar sonini kamaytirish mumkin (6.2.3-bo'limga qarang). Keling, logistika egri chizig'i misolida bunga qanday erishish mumkinligini ko'rsatamiz
Tegishli regressiya tenglamalarida teskari o'zgartirishni amalga oshirib, biz olamiz
Belgilash orqali biz chiziqli parametrlari soni birdan ikkitaga ko'paygan yangi funktsiyaga erishamiz. Yangi modeldagi parametr uchun taxminni, masalan, oldingi usul yordamida topish mumkin.
Bu erda regressiya modellarining transformatsiyasi haqida quyidagi fikrni aytish o'rinlidir. Shuni yodda tutish kerakki, dastlabki tenglamada qo'shimcha bo'lgan xato, umuman olganda, transformatsiyadan keyin qo'shimcha bo'lmaydi.
Teylor seriyasining kengayishidan foydalanib va tartib shartlarini e'tiborsiz qoldirib, transformatsiyani belgilaymiz
Bundan kelib chiqadi
Oxirgi tenglik muammoni o'zgartirilgan model bilan tahlil qilish uchun asos sifatida olinishi mumkin.
Dastlabki taxminiylikni topish uchun siz butun namunani kichik namunalarga (taxminan teng hajmli) bo'lishingiz mumkin, bu erda noma'lum parametrlar soni. Har bir kichik namuna uchun biz mos ravishda m bilan belgilagan y va X dan ortiq o'rtachalarni topamiz
Ushbu tizimning yechimi parametrlarning dastlabki yaqinlashuvi bo'ladi. Shubhasiz, buning uchun bu usul"Ishlash" uchun bu chiziqli bo'lmagan tenglamalar tizimini juda oson, masalan, analitik tarzda echish kerak.
Kvadratchalar yig'indisini takroriy minimallashtirishning asosi Teylor qatoridagi regressiya funksiyasini parametrlarda chiziqli hadlargacha kengaytirishdir. Taxminiy boshlang'ich yaqinlashishni topish uchun uni mustaqil o'zgaruvchilarda Teylor qatoriga kengaytirish orqali regressiya yaqinlashuvi protsedurasi ba'zan foydalidir. Oddiylik uchun biz uni bir o'lchovli deb hisoblaymiz. O'rtacha qiymat, keyin taxminan bo'lsin
ni belgilab, chiziqli modelga erishamiz
Ushbu chiziqli regressiya parametrlarining eng kichik kvadratlari bo'lsin. Dastlabki taxminlar sifatida biz chiziqli bo'lmagan tenglamalar tizimining echimini olamiz
Taxminan bilan bir xil. P. atamasi baʼzan predmetni yaqinlashtirish maʼnosida qoʻllaniladi (masalan, boshlangʻich P.) ... Matematik entsiklopediya
Nyuton usuli- Nyuton usuli, Nyuton algoritmi (tangens usuli deb ham ataladi) berilgan funksiyaning ildizini (nol) topish uchun takrorlanuvchi sonli usuldir. Usul birinchi marta ingliz fizigi, matematigi va astronomi Isaak Nyuton tomonidan taklif qilingan... ... Vikipediya
Bir tangens usuli
Gauss-Nyuton usuli- Nyuton usuli (tangens usuli deb ham ataladi) berilgan funksiyaning ildizini (nol) topish uchun takrorlanuvchi sonli usuldir. Usul birinchi marta ingliz fizigi, matematigi va astronomi Isaak Nyuton (1643 1727) tomonidan ... ... Vikipediya nomi bilan taklif qilingan.
Nyuton-Rafson usuli- Nyuton usuli (tangens usuli deb ham ataladi) berilgan funksiyaning ildizini (nol) topish uchun takrorlanuvchi sonli usuldir. Usul birinchi marta ingliz fizigi, matematigi va astronomi Isaak Nyuton (1643 1727) tomonidan ... ... Vikipediya nomi bilan taklif qilingan.
Nyuton-Rafson usuli- Nyuton usuli (tangens usuli deb ham ataladi) berilgan funksiyaning ildizini (nol) topish uchun takrorlanuvchi sonli usuldir. Usul birinchi marta ingliz fizigi, matematigi va astronomi Isaak Nyuton (1643 1727) tomonidan ... ... Vikipediya nomi bilan taklif qilingan.
Tangens usuli- Nyuton usuli (tangens usuli deb ham ataladi) berilgan funksiyaning ildizini (nol) topish uchun takrorlanuvchi sonli usuldir. Usul birinchi marta ingliz fizigi, matematigi va astronomi Isaak Nyuton (1643 1727) tomonidan ... ... Vikipediya nomi bilan taklif qilingan.
Tangent usuli (Nyuton usuli)- Nyuton usuli (tangens usuli deb ham ataladi) berilgan funksiyaning ildizini (nol) topish uchun takrorlanuvchi sonli usuldir. Usul birinchi marta ingliz fizigi, matematigi va astronomi Isaak Nyuton (1643 1727) tomonidan ... ... Vikipediya nomi bilan taklif qilingan.
Tangens usuli- Nyuton usuli (tangens usuli deb ham ataladi) berilgan funksiyaning ildizini (nol) topish uchun takrorlanuvchi sonli usuldir. Usul birinchi marta ingliz fizigi, matematigi va astronomi Isaak Nyuton (1643 1727) tomonidan ... ... Vikipediya nomi bilan taklif qilingan.
Tenglamalarni sonli yechish- va ularning tizimlari tenglama yoki tenglamalar tizimining ildizi yoki ildizlarini taxminiy aniqlashdan iborat bo'lib, aniq qiymatni hisoblash imkonsiz yoki juda mashaqqatli hollarda qo'llaniladi. Mundarija 1 Muammo bayoni 2 Raqamli usullar ... Vikipediya
Ketma-ket yaqinlashish usuli- yechimga yaqinlashuvchi va rekursiv tarzda tuzilgan yaqinlashuvlar ketma-ketligidan foydalangan holda matematik muammolarni hal qilish usuli (ya'ni, har bir yangi yaqinlashish avvalgisiga qarab hisoblanadi; dastlabki yaqinlashish ... ... da tanlanadi. Buyuk Sovet Entsiklopediyasi
