1. Свободные оси вращения . Рассмотрим два случая вращения твердого стержня относительно оси, проходящей через центр масс.

Если раскрутить стержень относительно оси OO и предоставить его самому себе, то есть освободить ось вращения из подшипников, то в случае рис.71-а ориентация оси свободного вращения относительно стержня будет изменяться, поскольку стержень под действием пары центробежных сил инерции будет разворачиваться в горизонтальную плоскость. В случае рис.71-б момент пары центробежных сил равен нулю, поэтому раскрученный стержень будет продолжать вращаться вокруг оси ОО и после ее освобождения.

Ось вращения, положение которой в пространстве сохраняется без действия каких-либо сил извне, называется свободной осью вращающегося тела. Следовательно, ось, перпендикулярная стержню и проходящая через его центр масс, есть свободная ось вращения стержня.

У любого твердого тела есть три взаимно перпендикулярные свободные оси вращения, пересекающиеся в центре масс. Положение свободных осей для однородных тел совпадает с положением их геометрических осей симметрии (рис.72).

У параллелепипеда все три оси фиксированы. У цилиндра фиксирована только одна ось, совпадающая с геометрической осью. У шара все три оси не фиксированы.

Свободные оси вращения называются также главными осями инерции . При свободном вращении тел вокруг главных осей инерции устойчивы лишь вращения вокруг тех осей, которым соответствуют максимальное и минимальное значения момента инерции. Если же на тело действуют внешние силы, то устойчивым оказывается вращение лишь вокруг той главной оси, которой соответствует максимальный момент инерции.

2. Гироскоп (от греческого gyreuo – вращаюсь и skopeo – вижу) – быстро вращающееся вокруг оси симметрии однородное тело вращения, ось которого может изменять положение в пространстве.

При изучении движения гироскопа считаем, что:

а. Центр масс гироскопа совпадает с его неподвижной точкой O . Такой гироскоп называется уравновешенным .

б. Угловая скорость w вращения гироскопа вокруг оси много больше угловой скорости Wперемещения оси в пространстве, то есть w >> W.

В. Вектор момента импульса гироскопа L совпадает с вектором угловой скорости w , поскольку гироскоп вращается вокруг главной оси инерции.

Пусть на ось гироскопа действует сила F в течение времени Dt . По второму закону динамики для вращательного движения , так что изменение момента импульса гироскопа за это время , (26.1)

где r – радиус-вектор, проведенный из неподвижной точки O в точку действия силы (рис.73).

Изменение момента импульса гироскопа можно рассматривать как поворот оси гироскопа на угол с угловой скоростью . (26.2)

Здесь – нормальная к оси гироскопа составляющая действующей на него силы.

Под действием силы F , приложенной к оси гироскопа, ось поворачивается не в направлении действия силы, а в направлении момента силы M относительно неподвижной точки O . В любой момент времени скорость поворота оси гироскопа пропорциональна по величине моменту силы, а при постоянном плече силы – пропорциональна самой силе. Таким образом, движение оси гироскопа безинерционно . Это единственный случай безинерционного движения в механике.

Движение оси гироскопа под действием внешней силы называют вынужденной прецессией гироскопа (от латинского praecessio – движение впереди).

3. Ударное действие на ось гироскопа . Определим угловое смещение оси гироскопа в результате кратковременного действия силы на ось, то есть удара. Пусть в течение малого времени dt на ось гироскопа на расстоянии r от центра О действует сила F . Под действием импульса этой силы F dt ось поворачивается (рис.74) в направлении создаваемого ею импульса момента силы M dt на некоторый угол

dq = Wdt= (rF/Iw )dt . (26.3)

Если точка приложения силы не изменяется, то r = const и при интегрировании получаем. q = . (26.4)

Интеграл в каждом случае зависит от вида функции (t ). В обычных условиях угловая скорость вращения гироскопа очень велика, поэтому числитель чаще всего много меньше знаменателя, и потому угол q – малая величина. Быстро вращающийся гироскоп обладает устойчивостью по отношению к удару – тем большей, чем больше его момент импульса.

4. Интересно, что сила, под действием которой ось гироскопа прецессирует, не совершает работы. Это происходит потому, что точка гироскопа, к которой приложена сила, в любой момент смещается в направлении, перпендикулярном направлению действия силы. Поэтому скалярное произведение силы на вектор малого перемещения всегда равно нулю.

Силы в таком проявлении называются гироскопическими . Так, всегда гироскопической является сила Лоренца, действующая на электрически заряженную частицу со стороны магнитного поля, в котором она движется.

5. Условие равновесия ТТ. Чтобы ТТ находилось в равновесии, необходимо, чтобы сумма внешних сил и сумма моментов внешних сил были равны нулю:

. (26.5)

Различают 4 вида равновесия: устойчивое, неустойчивое, седлообразное и безразличное.

а. Положение равновесия ТТ является устойчивым, если при небольших отклонениях от равновесия на тело начинают действовать силы, стремящиеся вернуть его в положения равновесия.

На рисунке 75 показаны ситуации устойчивого равновесия тел в поле силы тяжести. Силы тяжести – массовые силы, поэтому равнодействующая сил тяжести, действующих на точечные элементы ТТ, приложена к центру масс. В таких ситуациях центр масс называют центром тяжести.

Устойчивому положению равновесия соответствует минимум потенциальной энергии тела.

б . Если при небольших отклонениях от положения равновесия на тело начинают действовать силы в направлении от равновесия, то положение равновесия является неустойчивым. Неустойчивому положению равновесия соответствует относительный максимум потенциальной энергии тела (рис.76).

в . Седлообразным является такое равновесие, когда при движении по одной степени свободы равновесие тела устойчивое, а при движении по другой степени свободы – неустойчивое. В ситуации, показанной на рисунке 77, положение тела по отношению к координате x является устойчивым, а по отношению к координате y – неустойчивым.

г. Если при отклонении тела от положения равновесия не возникает никаких сил, стремящихся сместить тело в том или ином направлении, то положение равновесия называется безразличным. Например, шар в поле силы тяжести на эквипотенциальной поверхности, твердое тело, подвешенное в точке центра масс (в точке центра тяжести) (рис.78).

В тех случаях, когда тело опирается на опору, то чем больше площадь опоры и чем ниже центр тяжести, тем устойчивее равновесие тела (рис.79).

где r – радиус-вектор, проведенный из точки О в точку А, расположения материальной точки, p =mv – импульс материальной точки. Модуль вектора момента импульса:

где a - угол между векторами r и p , l – плечо вектора p относительно точки О. Вектор L, согласно определению векторного произведения перпендикулярен к плоскости в которой лежат векторы r и p (или v ), его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к p

Моментом импульса относительно оси называется скалярная величина, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки на этой оси.

Моментом силы M материальной точки относительно точки О называется векторная величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r, проведенного из точки О в точку приложения силы, на силу F : .

Рис.2.

Модуль вектора момента силы:

где a - угол между векторами r и F , d = r*sina – плечо силы – кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О. Вектор M (также как L ) - перпендикулярен к плоскости в которой лежат векторы r и F , его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F по кратчайшему расстоянию, как показано на рисунке.

Моментом силы относительно оси называется скалярная величина, равная проекции на эту ось вектора момента силы M определенного относительно произвольной точки на этой оси.

Основной закон динамики вращательного движения

Для выяснения назначения приведенных выше понятий рассмотрим систему из двух материальных точек (частиц) и затем обобщим результат на систему из произвольного числа частиц (т.е. на твердое тело). Пусть на частицы с массами m 1 , m 2 , импульсы которых p 1 и p 2 , действуют внешние силы F 1 и F 2 . Частицы также взаимодействуют друг с другом внутренними силами f 12 и f 21 .

Рис.3.

Запишем второй закон Ньютона для каждой из частиц, а также вытекающую из третьего закона Ньютона связь между внутренними силами:

Умножим векторно уравнение (1) на r 1 , а уравнение (2) – на r 2 и сложим полученные выражения:

Преобразуем левые части уравнения (4), учитывая что

.

Векторы и параллельны и их векторное произведение равно нулю, поэтому можно записать

. (5)

Первые два слагаемых справа в (4) равны нулю, т.е.

поскольку f 21 =-f 12 , а векторr 1 -r 2 направлен по одной и той же прямой, что и вектор f 12 .

Учитывая (5)и (6) из (4) получим

или

где L=L 1 +L 2 ; M=M 1 +M 2 . Обобщая результат на систему из n частиц, мы можем записать L=L 1 +L 2 +…+L n = M=M 1 +M 2 +M n =

Уравнение (7) является математической записью основного закона динамики вращательного движения: скорость изменения момента импульса системы равна сумме действующих на нее моментов внешних сил. Этот закон справедлив относительно любой неподвижной или движущейся с постоянной скоростью точки в инерциальной системе отсчета. Отсюда же следует закон сохранения момента импульса : если момент внешних сил M равен нулю, то момент импульса системы сохраняется (L =const).

Момент импульса абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси.

Рассмотрим вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z. Твердое тело можно представить как систему из n материальных точек (частиц). При вращении некоторая рассматриваемая точка тела (обозначим ее индексом i, причем i=1…n) движется по окружности постоянного радиуса R i с линейной скоростью v i вокруг оси z (рис.4). Ее скорость v i и импульс m i v i перпендикулярны радиусу R i . Поэтому модуль момента импульса частицы тела относительно точки О, расположенной на оси вращения:

где r i – радиус- вектор, проведенный от точки О к частице.

Используя связь между линейной и угловой скоростью v i =wR i , где R i –расстояние частицы от оси вращения, получим

Проекция этого вектора на ось вращения z, т.е. момент импульса частицы тела относительно оси z будет равна:

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульсов всех частей тела:

Величина I z , равная сумме произведений масс частиц тела на квадраты их расстояний до оси z, называется моментом инерции тела относительно данной оси:

Из выражения (8) следует, что момент импульса тела не зависит от положения точки О на оси вращения, поэтому говорят о моменте импульса тела относительно некоторой оси вращения, а не относительно точки

Между формулировками основного закона вращательного движения, определениями момента импульса, силы существует схожесть с формулировками второго закона Ньютона и определениями импульса для поступательного движения.

Свободные оси и главные оси инерции тела

Для того чтобы сохранить фиксированное положение в пространстве оси вращения твердого тела, ее механически закрепляют, используя обычно подшипники, т.е. воздействуют внешними силами. Однако существуют такие оси вращения тел, которые не изменяют своей ориентации в пространстве без действия на них внешних сил. Эти оси называются свободными осями. Можно доказать, что у любого тела имеются три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через его центр масс, которые являются свободными. Эти оси называются также главными осями инерции тела .

Гироскопы

В настоящее время гироскопами называют очень широкий класс приборов в которых используются более ста различных явлений и физических принципов. В данной лабораторной работе изучается классический гироскоп, в дальнейшем просто гироскоп.

Гироскопом (или волчком) называется массивное симметричное тело, вращающееся с большой угловой скоростью вокруг своей оси симметрии . Эту ось мы будем называть осью гироскопа. Ось гироскопа является одной из главных осей инерции (свободной осью). Момент импульса гироскопа в таком случае направлен вдоль оси и равен L =Iw .

Рассмотрим горизонтально ориентированный уравновешенный гироскоп (центр тяжести которого находится над точкой опоры). Так как момент силы тяжести для него равен нулю, то согласно закону сохранения момента импульса L =Iw= const, т.е. направление его оси вращения не изменяет положения в пространстве.

При попытке вызвать поворот оси гироскопа наблюдается явление, называемое гироскопическим эффектом . Суть эффекта: под действием силы F, приложенной к оси вращающегося гироскопа, ось гироскопа поворачивается в плоскости, перпендикулярной этой силе . Например, при действии вертикальной силы, ось гироскопа поворачивается в горизонтальной плоскости. На первый взгляд это кажется противоестественным.

Гироскопический эффект объясняется следующим образом (рис.5). Момент M силы F направлен перпендикулярно его оси, т.к. M= , r-радиус-вектор из центра масс гироскопа в точку приложения силы.

Рис.5.

За время dt момент импульса гироскопа L получит приращение dL =M *dt (в соответствии с основным законом вращательного движения), и направленное в том же направлении, что и M и станет равным L +dL . Направление L +dL совпадает с новым направлением оси вращения гироскопа. Таким образом, ось гироскопа повернется в плоскости перпендикулярной силе F на некоторый угол dφ=|dL|/L=M*dt/L, с угловой скоростью

Угловая скорость поворота оси гироскопа W называется угловой скоростью прецессии, а такое вращательное движение оси гироскопа прецессией.

Из (9) следует

Векторы M , L , W взаимно перпендикулярны, поэтому можно записать

M=.

Эта формула получена, когда векторы M , L , W взаимно перпендикулярны, однако можно доказать, что справедлива в общей случае.

Отметим, что данные рассуждения и вывод формул справедлив в том случае, когда угловая скорость вращения гироскопа w>>W.

Из формулы (9) следует, что скорость прецессии W прямо пропорциональна M и обратно пропорциональна моменту импульса гироскопа L. Если время действия силы мало, момент импульса L достаточно велик, то скорость прецессии W будет мала. Поэтому кратковременное действие сил практически не приводит к изменению ориентации оси вращения гироскопа в пространстве. Для ее изменения следует прикладывать силы в течение длительного времени.

Практическое применение гироскопов

Описанные выше свойства гироскопа нашли себе разнообразные практические применения. Одно из первых применений свойства гироскопов нашли в нарезном оружии. После вылета из ствола орудия на снаряд действует сила сопротивления воздуха, момент которой может опрокинуть снаряд и изменить его ориентацию относительно траектории беспорядочным образом, что отрицательно влияет на дальность полета и точность попадания в цель. Винтовые нарезы в стволе орудия сообщают вылетающему снаряду быстрое вращение вокруг его оси. Снаряд превращается в гироскоп и внешний момент силы сопротивления воздуха вызывает лишь прецессию его оси вокруг направления касательной к траектории снаряда. При этом сохраняется определенная ориентация снаряда в пространстве.

Другим важным применением гироскопов являются различные гироскопические приборы: гирогоризонт, гирокомпас и т.д. Уравновешенные гироскопы также применяются для поддержания заданного направления движения самолета (автопилот). Для этого крепление гироскопа осуществляют на карданной подвеске, которая уменьшает действие внешних моментов сил, возникающих при маневре самолета. Благодаря этому ось гироскопа сохраняет свое направление в пространстве независимо от движения самолета. При отклонении направления движения самолета от направления, заданного осью гироскопа, возникают автоматические команды, возвращающие к заданному направлению.

Описанное поведение гироскопа также положено в основу прибора, называемого гироскопическим компасом (гирокомпасом). Этот прибор представляет собой гироскоп, ось которого может свободно поворачиваться в горизонтальной плоскости. Если ось гироскопа не совпадает с направлением меридиана то, благодаря вращению Земли, возникает сила стремящаяся повернуть ось в направлении перпендикулярном горизонту. Однако, благодаря гироскопическому эффекту она поворачивается в горизонтальном направлении до тех пор пока не установится направление совпадающее с меридианом, указывающее точно на север. Гироскопический компас выгодно отличается от компаса с магнитной стрелкой тем, что в его показания не надо вносить поправки на так называемое магнитное склонение (связанное с несовпадением географического и магнитного полюсов Земли), а также не надо принимать мер для компенсации воздействия магнитных наводок от корпуса и оборудования судна.

Описание экспериментальной установки

Экспериментальная установка (рис. 6) состоит из следующих основных узлов:

1. Диск гироскопа.

2. Рычаг с метрической шкалой.

3. Груз, перемещением которого по рычагу 2 задается величина момента силы.

4. Диск с угловой шкалой для определения угла поворота оси гироскопа в горизонтальной плоскости при прецессии.

5. Блок измерений и управления.

1. Определить модуль момента силы тяжести для нескольких положений груза z на рычаге гироскопа:

,

где m - масса груза, z р - координата груза по метрической шкале рычага, когда гироскоп уравновешен.

2. Для каждого положения груза определить время поворота оси гироскопа Δt на заданный угол Δφ и вычислить угловую скорость прецессии:

3. Вычислить величину момента импульса гироскопа для каждого из измерений:

4. Вычислить среднее значение момента импульса гироскопа:

Где N – число измерений.

5. Вычислить момент инерции гироскопа по формуле I = L/w (w -угловая скорость вращения гироскопа, w = 2pn, n - число оборотов двигателя в единицу времени) и определить абсолютную и относительную ошибки в определении момента инерции гироскопа.

Контрольные вопросы

1. Что такое момент импульса материальной точки относительно точки?

2. Основной закон динамики вращательного движения.

3. Что такое момент силы относительно точки?

4. Момент импульса абсолютно твердого тела.

5. Момент инерции твердого тела относительно данной оси.

6. Сформулируйте закон сохранения момента импульса.

7. Что такое гироскоп?

8. Что такое гироскопический эффект?

9. Что называется прецессией гироскопа и при каких условиях она наблюдается?

10. Чему равна угловая скорость прецессии?

Литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики. Учеб. пособие. В 3-х т. Т.1 Механика. Молекулярная физика. М.: Наука. Гл.ред. физ.мат. лит., 19873. -432 с.

2. Трофимова Т.И. Курс физики. Учеб. пособие для вузов. М.: Высш. Шк., 2003. -541 с.

Опыт показывает, что прецессионное движение гироскопа под действием внешних сил в общем случае сложнее, чем то, которое было описано выше в рамках элементарной теории. Если сообщить гироскопу толчок, изменяющий угол (см. рис. 4.6), то прецессия перестанет быть равномерной (часто говорят: регулярной), а будет сопровождаться мелкими вращениями и дрожаниями вершины гироскопа - нутациями . Для их описания необходимо учесть несовпадение вектора полного момента импульса L , мгновенной угловой скорости вращения и оси симметрии гироскопа.

Точная теория гироскопа выходит за рамки курса общей физики. Из соотношения следует, что конец вектора L движется в направлении M , то есть перпендикулярно к вертикали и к оси гироскопа. Это значит, что проекции вектора L на вертикаль и на ось гироскопа остаются постоянными. Еще одной постоянной является энергия

(4.14)

где - кинетическая энергия гироскопа. Выражая и через углы Эйлера и их производные, можно, с помощью уравнений Эйлера , описать движение тела аналитически.

Результат такого описания оказывается следующим: вектор момента импульса L описывает неподвижный в пространстве конус прецессии, и при этом ось симметрии гироскопа движется вокруг вектора L по поверхности конуса нутаций. Вершина конуса нутаций, как и вершина конуса прецессии, находится в точке закрепления гироскопа, а ось конуса нутаций совпадает по направлению с L и движется вместе с ним. Угловая скорость нутаций определяется выражением

(4.15)

где и - моменты инерции тела гироскопа относительно оси симметрии и относительно оси, проходящей через точку опоры и перпендикулярной оси симметрии, - угловая скорость вращения вокруг оси симметрии (сравн. с (3.64)).

Таким образом, ось гироскопа участвует в двух движениях: нутационном и прецессионном. Траектории абсолютного движения вершины гироскопа представляют собой замысловатые линии, примеры которых представлены на рис. 4.7.

Рис. 4.7.

Характер траектории, по которой движется вершина гироскопа, зависит от начальных условий. В случае рис. 4.7а гироскоп был раскручен вокруг оси симметрии, установлен на подставке под некоторым углом к вертикали и осторожно отпущен. В случае рис. 4.7б ему, кроме того, был сообщен некоторый толчок вперед, а в случае рис. 4.7в - толчок назад по ходу прецессии. Кривые на рис. 4.7 вполне аналогичны циклоидам, описываемым точкой на ободе колеса, катящегося по плоскости без проскальзывания или с проскальзыванием в ту или иную сторону. И лишь сообщив гироскопу начальный толчок вполне определенной величины и направления, можно добиться того, что ось гироскопа будет прецессировать без нутаций. Чем быстрее вращается гироскоп, тем больше угловая скорость нутаций и тем меньше их амплитуда. При очень быстром вращении нутации делаются практически незаметными для глаза.

Может показаться странным: почему гироскоп, будучи раскручен, установлен под углом к вертикали и отпущен, не падает под действием силы тяжести, а движется вбок? Откуда берется кинетическая энергия прецессионного движения?

Ответы на эти вопросы можно получить только в рамках точной теории гироскопам. На самом деле гироскоп действительно начинает падать, а прецессионное движение появляется как следствие закона сохранения момента импульса. В самом деле, отклонение оси гироскопа вниз приводит к уменьшению проекции момента импульса на вертикальное направление. Это уменьшение должно быть скомпенсировано моментом импульса, связанным с прецессионным движением оси гироскопа. С энергетическое точки зрения кинетическая энергия прецессии появляется за счет изменения потенциальной энергии гироскопам

Если за счет трения в опоре нутации гасятся быстрее, чем вращение гироскопа вокруг оси симметрии (как правило, так и бывает), то вскоре после "запуска" гироскопа нутации исчезают и остается чистая прецессия (рис. 4.8). При этом угол наклона оси гироскопа к вертикали оказывается больше, чем он был вначале то есть потенциальная энергия гироскопа уменьшается. Таким образом, ось гироскопа должна немного опуститься, чтобы иметь возможность прецессировать вокруг вертикальной оси.

Рис. 4.8.

Гироскопические силы.

Обратимся к простому опыту: возьмем в руки вал АВ с насаженным на него колесом С (рис. 4.9). Пока колесо не раскручено, не представляет никакого труда поворачивать вал в пространстве произвольным образом. Но если колесо раскручено, то попытки повернуть вал, например, в горизонтальной плоскости с небольшой угловой скоростью приводят к интересному эффекту: вал стремится вырваться из рук и повернуться в вертикальной плоскости; он действует на кисти рук с определенными силами и (рис. 4.9). Требуется приложить ощутимое физическое усилие, чтобы удержать вал с вращающимся колесом в горизонтальной плоскости.

Раскрутим гироскоп вокруг его вокруг его оси симметрии до большой угловой скорости (момент импульса L ) и станем поворачивать раму с укрепленным в ней гироскопом вокруг вертикальной оси OO" с некоторой угловой скоростью как показано на рис. 4.10. Момент импульса L , получит при этом приращение которое должно быть обеспечено моментом сил M , приложенным к оси гироскопа. Момент M , в свою очередь, создан парой сил возникающих при вынужденном повороте оси гироскопа и действующих на ось со стороны рамы. По третьему закону Ньютона ось действует на раму с силами (рис. 4.10). Эти силы называются гироскопическими; они создают гироскопический момент Появление гироскопических сил называют гироскопическим эффектом . Именно эти гироскопические силы мы и чувствуем, пытаясь повернуть ось вращающегося колеса (рис. 4.9).

где - угловая скорость вынужденного поворота (иногда говорят: вынужденной прецессии). Со стороны оси на подшипники действует противоположный момент

(4.)

Таким образом, вал гироскопа, изображенного на рис. 4.10, будет прижиматься кверху в подшипнике В и оказывать давление на нижнюю часть подшипника А.

Направление гироскопических сил можно легко найти с помощью правила, сформулированного Н.Е. Жуковским: гироскопические силы стремятся совместить момент импульса L гироскопа с направлением угловой скорости вынужденного поворота. Это правило можно наглядно продемонстрировать с помощью устройства, представленного на рис. 4.11.

§ 89. Свободный гироскоп и его основные свойства

Все навигационные гироскопические приборы, применяемые для указания направлений в море, используют свойства свободного гироскопа.

Гироскопом называется быстро вращающееся вокруг своей оси симметрии тело, причем ось, вокруг которой происходит вращение, может изменять свое положение в пространстве. Гироскоп представляет собой массивный диск, который практически во всех современных навигационных приборах приводится во вращение электрическим путем, являясь ротором электродвигателя.

Рис. 120.

Возможность изменения положения оси вращения гироскопа в пространстве можно осуществить с помощью карданных колец (рис. 120). Подвешанный таким образом гироскоп получает возможность поворачиваться вокруг следующих трех взаимно перпендикулярных и пересекающихся в одной точке О осей: оси вращения X-X самого гироскопа, называемой главной осью или осью собственного вращения, оси вращения Y-Y внутреннего кольца, оси вращения Z-Z наружного кольца подвеса.

Гироскоп, у которого возможны вращения вокруг трех указанных осей, называется гироскопом с тремя степенями свободы. Точка пересечения этих осей называется точкой подвеса гироскопа. Гироскоп с тремя степенями свободы, у которого центр тяжести всей системы, состоящей из ротора и карданных колец, совпадает с точкой подвеса, называется уравновешенным, или астатическим, гироскопом.

Уравновешенный гироскоп, к которому не прикладываются внешние вращающие моменты, называется свободным гироскопом.

Свободный гироскоп благодаря быстрому вращению приобретает свойства, широко используемые во всех гироскопических приборах. Основными свойствами свободного гироскопа являются свойства устойчивости и прецессии.

Первое состоит в том, что главная ось свободного гироскопа стремится сохранить первоначально заданное ей направление относительно мирового пространства. Устойчивость главной оси тем больше, чем точнее центр тяжести системы совпадает с точкой подвеса, чем меньше силы трения в осях карданова подвеса и чем больше вес гироскопа, его диаметр и скорость вращения. Величина, которая характеризует гироскоп с этой качественной стороны, называется кинетическим моментом гироскопа и определяется произведением момента инерции гироскопа на его угловую скорость вращения, т. е.

где I-момент инерции ротора гироскопа;

Q - угловая скорость вращения.

При конструировании гироскопических приборов стремятся достигнуть значительной величины кинетического момента Н путем придания ротору гироскопа особого профиля, а также путем увеличения угловой скорости его вращения. Так, в современных гирокомпасах роторы гиромоторов имеют скорость вращения от 6000 до 30 000 об/мин.

Рис. 121.

Устойчивость оси свободного гироскопа дает возможность использовать его в качестве прибора для обнаружения суточного вращения Земли, так как по отношению к земным предметам ось гироскопа будет совершать кажущееся или видимое движение.

Впервые это свойство гироскопа демонстрировалось известным французским физиком Леоном Фуко в 1852 г. Ему же принадлежит идея использования гироскопа в качестве прибора для определения направления движения и для определения широты судна в море.

Свойство прецессии состоит в том, что под действием силы, приложенной к кардановым кольцам, главная ось гироскопа перемещается в плоскости, перпендикулярной к направлению действия силы (рис. 121).

Такое движение гироскопа называется прецессионным. Прецессионное движение будет происходить в течение всего времени действия внешней силы и прекращается с прекращением ее действия. Направление прецессионного движения определяется с помощью правила полюсов, которое формулируется следующим образом: при приложении к гироскопу момента внешней силы полюс гироскопа кратчайшим путем стремится к полюсу силы. Полюсом гироскопа называется тот конец его главной оси, со стороны которого вращение гироскопа наблюдается происходящим против часовой стрелки. Полюсом силы называется тот конец оси гироскопа, относительно которой приложенная внешняя сила стремится повернуть гироскоп против часовой стрелки.

На рис. 121 прецессионное движение гироскопа указано стрелкой.

Угловая скорость прецессии может быть подсчитана по формуле

Цель работы: изучение особенностей движения гироскопа под действием момента внешних сил, измерение угловой скорости прецессии и момента импульса гироскопа

Гироскопом называется симметричное твердое тело, быстро вращающееся вокруг оси симметрии, которая может изменять свое направление в пространстве.

Для демонстрационных целей обычно пользуются гироскопами конструкции, которая схематически изображена на рис. 6.1. Колесо гироскопа К (ротор) насажено на ось, которая может поворачиваться как вокруг горизонтальной оси, так и вокруг вертикальной оси, т.е. может принимать любое положение в пространстве. (Отклонения оси по вертикали в этой конструкции ограничены не очень большими углами). Для того, чтобы момент сил тяжести относительно трёх осей гироскопа был равен нулю, центр тяжести гироскопа должен совпадать с точкой пересечения трёх осей вращения. Ротор гироскопа приводится в быстрое вращение при помощи электромотора.

Рис. 6.1. Схема опыта

Так как момент силы тяжести относительно точки О равен нулю, то ось вращающегося гироскопа в отсутствие каких-либо других внешних сил остаётся неподвижной. Гироскоп обладает постоянным моментом импульса, направленным вдоль неподвижной оси вращения гироскопа. Если на гироскоп начинают действовать внешние силы, то ось гироскопа начинает двигаться – появляется вращение вокруг других осей. Тогда уже не совпадает с осью гироскопа, но всегда остаётся близким к ней. Поэтому, зная, как изменяется вектор, мы сможем сказать, как приблизительно движется ось гироскопа.

Вращение твёрдого тела определяется уравнением

Здесь – момент внешних сил,=I , где I – момент инерции гироскопа, а – его угловая скорость. Из уравнения (6.1) видно, что векторизменяется только тогда, когда действует момент. Следовательно, ось гироскопа может заметно перемещаться только до тех пор, пока действует момент, изменяющий направление. Изменения жеза короткие промежутки временисогласно уравнению (6.1) определяются соотношением

При кратковременном действии внешних сил (резкий удар) мало, поэтому и?мало –почти не изменяется. Следовательно, очень мало должно изменяться и направление оси гироскопа. Действительно, при резком ударе ось гироскопа не уходит далеко, а дрожит, оставаясь почти на месте. после удара перестаёт изменяться. Но ось гироскопа не должна совпадать с направлением, а должна быть лишь близка к нему. Она может совершать малые движения около направления. Такие движения оси гироскопа около направленияносят название нутаций . Дрожание оси гироскопа после удара и представляет собой один из видов нутаций.

Если гироскоп вращается вокруг своей оси с очень большой скоростью, то и при наличии небыстрых вращений вокруг других осей вектор момента импульса практически совпадает с осью гироскопа. В дальнейшем мы будем считать, что направление совпадает с осью гироскопа.

При длительном воздействии внешних сил вектор будет изменять своё направление в пространстве. Вместе с ним будет изменять своё направление и ось гироскопа. Направление? совпадает с направлением, т.е. не с направлением силы, а с направлением момента силы относительно оси О. Если сбоку надавить на гироскоп с некоторой силой(рис. 6.1), то ось его будет двигаться не в направлении силы, а в направлении момента силы.

Если на гироскоп действует сила, создающая постоянный момент , то направление будет изменяться за одинаковые промежутки времени на одинаковую величину?= ?t . Если при этомвсё время лежит в плоскости движения оси гироскопа, то? лежит в той же плоскости; векторбудет оставаться в этой же плоскости и вращаться с постоянной скоростью. Вместе с ним будет вращаться и ось гироскопа. Такое движение оси носит название прецессии.

Прецессию гироскопа можно продемонстрировать, повесив на ось гироскопа небольшой груз массой m (рис. 6.1) на расстоянии r . Сила тяжестибудет создавать момент, всё время лежащий в горизонтальной плоскости. В присутствии груза ось гироскопа вращается в горизонтальной плоскости с постоянной скоростью.

Вычислим угловую скорость вращения оси гироскопа.

За время?t ось гироскопа поворачивается на угол

Учитывая соотношение (6.2), для угловой скорости вращения оси (скорости прецессии) получим

Так как, а, соотношение (6.3) перепишем в виде

Из полученного выражения следует, что чем меньше момент внешних сил, действующих на гироскоп, и чем больше момент импульса гироскопа, тем меньше скорость его прецессии.

Если подталкивать прецессирующий гироскоп в направлении прецессии, то конец оси, на котором висит груз, будет подниматься. Наоборот, если давить на гироскоп против направления прецессии, то конец оси с грузом будет опускаться. Внешние силы, препятствующие прецессии, приводят к тому, что груз опускается. При прецессии на вертикальную ось действуют силы трения в подшипнике, препятствующие прецессии, поэтому ось прецессирующего гироскопа не остаётся в горизонтальной плоскости – конец оси, на котором висит груз, постепенно опускается.

Прецессия гироскопа происходит с постоянной скоростью, пока действует внешний момент, и прекращается сразу же, как только исчезает внешний момент. Движение оси гироскопа не обладает инерцией. Это связано с тем, что скорость вращения оси определяется действующими силами. Инерция же есть проявление того, что ускорения определяются силами.

Во всех описанных опытах не только внешние силы действуют на гироскоп, но и гироскоп действует на те тела, которые являются источником этих сил. Когда мы надавливаем рукой на ось гироскопа, то гироскоп с такой же силой давит на руку. Если гироскоп жёстко связан с некоторым телом, то при всяком движении этого тела, сопровождающемся изменением направления оси гироскопа, возникают силы, действующие на тело со стороны гироскопа. Эти силы часто играют заметную роль.

Например, вращающиеся части машин корабля представляют собой гироскоп, обладающий большим моментом импульса. При килевой качке корабля (когда нос корабля поднимается и опускается) изменяется направление момента импульса машины. Вследствие этого возникают силы давления со стороны вала на подшипники. Эти силы лежат в горизонтальной плоскости и поворачивают корабль вокруг вертикальной оси. Это «ориентирование по курсу» заметно у малых судов с мощными машинами (буксиры).

Силы, возникающие при изменении направления оси вращения гироскопа, могут быть использованы для придания устойчивости судну (уменьшения качки). Для этой цели применяются огромные гироскопы с большой скоростью.

Все описанные свойства гироскопа объясняются тем, что движение оси гироскопа подчиняется уравнению (6.1). Движение оси гироскопа определяется не направлением силы, а направлением момента внешних сил. Но этот момент определяется силами, действующими извне на весь прибор в целом, только тогда, когда гироскоп вполне свободен, т.е. когда конструкция прибора допускает любое положение оси гироскопа. Если же гироскоп не вполне свободен, то нужно принимать во внимание и моменты тех сил, которые могут действовать на ось гироскопа со стороны подшипников, в которых он закреплён.

Эти моменты сил могут совершенно изменить поведение гироскопа под действием внешних сил. Например, если закрепить вертикальную ось и сделать возможным вращение оси гироскопа только в горизонтальной плоскости, то он становится совершенно «послушным». Под действием силы, приложенной к гироскопу в горизонтальной плоскости, ось гироскопа начинает вращаться в направлении действия силы. Это изменение в поведении гироскопа объясняется тем, что наряду с моментом силына ось действует момент сил и со стороны подставки, в которой он закреплён. Возникновение этого момента легко объяснить. Вначале, пока на гироскоп не действует сила, на него не действуют моменты и со стороны подставки. Гироскоп « не знает», что он закреплён. Поэтому сначала он ведёт себя как вполне свободный гироскоп: под действием силы, создающей момент, направленный вертикально вверх, конец оси гироскопа начинает подниматься.

Вертикальная ось, с которой жёстко связана ось гироскопа, немного изгибается, и возникает момент упругих сил, действующих на ось гироскопа. Под действием этого момента ось гироскопа будет перемещаться в горизонтальной плоскости как раз в том направлении, в котором действует сила. Поэтому несвободный гироскоп является «послушным»: его ось поворачивается туда, куда её стремится повернуть внешняя сила . У свободного же гироскопа ось поворачивается в плоскости, перпендикулярной силе.

Если к вращающемуся гироскопу приложить пару сил, стремящихся повернуть его около оси, перпендикулярной к оси вращения, то гироскоп действительно будет поворачиваться, но только вокруг третьей оси, перпендикулярной к первым двум.

Более детальный анализ явлений, аналогичных описанным выше, показывает, что гироскоп стремится расположить ось своего вращения таким образом, чтобы она образовала возможно меньший угол с осью вынуждаемого вращения и чтобы оба вращения совершались в одном и том же направлении.

Это свойство гироскопа используется в гироскопическом компасе, получившем широкое распространение, в особенности в военном флоте. Гирокомпас представляет собой быстро вращающийся волчок (мотор трёхфазного тока, делающий 25 000 об./мин), который на особом поплавке плавает в сосуде со ртутью и ось которого устанавливается в плоскости меридиана. В данном случае источником внешнего вращающего момента является суточное вращение Земли вокруг её оси. Под его действием ось вращения гироскопа стремится совпасть по направлению с осью вращения Земли, а так как вращение Земли действует на гироскоп непрерывно, то ось гироскопа принимает это положение, т.е. устанавливается вдоль меридиана и продолжает в нем оставаться совершенно так же, как обычная магнитная стрелка. Гироскопические компасы обладают по сравнению с магнитным рядом преимуществ. На их показания не влияют находящиеся поблизости массы железа, они не чувствительны к магнитным бурям и т.д.

Гироскопы часто применяют в качестве стабилизаторов. Их устанавливают для уменьшения качки на океанских пароходах. Были сконструированы также стабилизаторы для однорельсовых железных дорог; массивный быстро вращающийся гироскоп, помещаемый внутри вагона однорельсовой дороги, препятствует опрокидыванию вагона. Роторы для гироскопических стабилизаторов изготовляют от 1 до 100 и более тонн.