Метод трапеций является одним из методов численного интегрирования. Он позволяет вычислять определенные интегралы с заранее заданной степенью точности.
Сначала опишем суть метода трапеций и выведем формулу трапеций. Далее запишем оценку абсолютной погрешности метода и подробно разберем решение характерных примеров. В заключении сравним метод трапеций с методом прямоугольников.
Навигация по странице.
Поставим перед собой следующую задачу: пусть нам требуется приближенно вычислить определенный интеграл , где подынтегральная функция y=f(x) непрерывна на отрезке .
Разобьем отрезок на n равных интервалов длины h точками . В этом случае шаг разбиения находим как и узлы определяем из равенства .
Рассмотрим подынтегральную функцию на элементарных отрезках 
.
Возможны четыре случая (на рисунке показаны простейшие из них, к которым все сводится при бесконечном увеличении n ):
На каждом отрезке заменим функцию y=f(x)
отрезком прямой, проходящей через точки с координатами и . Изобразим их на рисунке синими линиями:
В качестве приближенного значения интеграла возьмем выражение 
, то есть, примем 
.
Давайте выясним, что означает в геометрическом смысле записанное приближенное равенство. Это позволит понять, почему рассматриваемый метод численного интегрирования называется методом трапеций.
Мы знаем, что площадь трапеции находится как произведение полу суммы оснований на высоту. Следовательно, в первом случае площадь криволинейной трапеции приближенно равна площади трапеции с основаниями 
и высотой h
, в последнем случае определенный интеграл приближенно равен площади трапеции с основаниями 
и высотой h
, взятой со знаком минус. Во втором и третьем случаях приближенное значение определенного интеграла равно разности площадей красной и синей областей, изображенных на рисунке ниже.
Таким образом, мы подошли к сути метода трапеций
, которая состоит в представлении определенного интеграла в виде суммы интегралов вида на каждом элементарном отрезке и в последующей приближенной замене .
Как видите, требуемая точность достигнута.
Немного о погрешностях.
Теоретически приближенное значение определенного интеграла, вычисленное по методу трапеций, стремиться к истинному значению при . Однако следует учитывать тот факт, что промежуточные вычисления в своем большинстве проводятся приближенно, и при больших n начинает накапливаться вычислительная погрешность.
Взглянем на оценки абсолютных погрешностей метода трапеций и метода средних прямоугольников 
.
Можно ожидать вдвое меньшую погрешность для заданного n при использовании метода прямоугольников при одинаковом объеме вычислительной работы, то есть, использование этого метода как бы предпочтительнее. Это так и есть, когда известны значения функции в средних точках элементарных отрезков. Но иногда интегрируемые функции задаются не аналитически, а в виде множества значений в узлах. В этом случае мы не сможем применить формулу средних прямоугольников, но сможем воспользоваться методом трапеций.
Методы правых и левых прямоугольников уступают методу трапеций в точности результата для заданного числа разбиений отрезка интегрирования.
Упражнения.
5.1 Вычислить по квадратурной формуле прямоугольников при n = 3 интеграл и сравнить с точным значением интеграла:
а) , I = 1; б) , I = ln 2;
в) , I = ; г) , I = 0,75.
5.2 Вычислить по квадратурной формуле прямоугольников при n = 5 интеграл и оценить погрешность интегрирования:
5.3 Определить число узлов n , которое нужно использовать для вычисления интеграла с помощью формулы прямоугольников с точностью до 0,01:
а) ; б) ; в) ; г) .
5.4 Вычислить по квадратурной формуле прямоугольников интеграл с точностью до 0,01:
Рассмотрим определенный интеграл I (6) и изобразим график подынтегральной функции (рис. 17). Разобьем отрезок интегрирования на n равных отрезков точками , где (рис. 17).
| Рисунок 17 |
| f(х 1) |
| f(х 2) |
| f(х i ) |
| f(х n -1) |
| f(х n ) |
| f(х 0) |
| f(х i - 1) |
| f(х n- 2) |
| x 0 |
| x 1 |
| x 2 |
| x i- 1 |
| x i |
| x n-1 |
| x n |
| x n- 2 |
| а |
| b |
| х |
| у |
| О |
Длина каждого отрезка разбиения . При этом очевидно, что для точек разбиения будет справедливо соотношение:
причем x 0 = a и x n = b .
Соединим отрезками точки графика функции с координатами . В результате получим ломанную, которая является графиком кусочно-линейной функции (рис. 17). На каждом из отрезков разбиения функция задается формулой
В точках она принимает те же значения, что и функция :
т.е. функция осуществляет кусочно-линейную интерполяцию функции на отрезке (рис 17).
Вычислим интеграл:
Этот результат имеет простой геометрический смысл: фигура, ограниченная снизу отрезком оси Ох , сверху отрезком функции (13), с боков вертикальными прямыми и , представляет собой трапецию с основаниями длины и и высотой h , площадь которой определяется формулой (14) (рис. 17).
Интеграл от функции по всему отрезку является суммой интегралов (14):
Квадратурная формула
дает приближенное значение интеграла I :
где – остаточный член (специальное обозначение). В квадратурной формуле (16), которая называется квадратурной формулой трапеций , узлами являются точки , весовые множители все, кроме двух при и , одинаковы и равны , а весовые коэффициенты при и равны . С точностью до формула (16) выражает площадь криволинейной трапеции, соответствующую интегралу I , через сумму площадей трапеций (14) (рис. 17).
Формула (7) или (7ʹ) для величины строилась как интегральная сумма. При выводе формулы (15) для понятие интегральной суммы не использовалось, но ее так же можно рассматривать как интегральную сумму. Следовательно, если функция интегрируема на , то в силу определения определенного интеграла
т.е. условия сходимости квадратурной формулы трапеций (16) в этом случае выполняются.
Предельные соотношения (17) доказывают принципиальную возможность вычисления определенного интеграла от произвольной интегрируемой функции методом трапеции с любой точностью ε за счет выбора числа n точек разбиения отрезка и соответствующего шага h .
Рассмотрим основной вопрос, связанный с организацией реального вычислительного процесса: каким нужно взять n , чтобы добиться при вычислении определенного интеграла (6) требуемой точности ε . Для этого необходимо провести оценку остаточного члена (погрешности) . В связи с этим подынтегральная функция должна быть не только интегрируема, но и дважды непрерывно дифференцируема на отрезке . Если выполняются все описанные выше условия, то для остаточного члена имеет место следующая оценка
где М – положительное число удовлетворяющее условию (11).
При заданной точности ε условие (18) позволяет определить число узлов n , которое нужно использовать при вычислении определенного интеграла (6). Для этого достаточно использовать соотношение
Пример 1. Вычислить по квадратурной формуле трапеций при n = 3 интеграл
Сравнить с точным значением интеграла.
Решение.
Так как n = 3, то шаг
И учитывая, что и :
Значит по формуле (15) имеем
Следовательно, .
Сравним полученное приближенное значение с точным значением интеграла
Ответ: , .
Пример 2. Определить число узлов n , которое нужно использовать для вычисления интеграла с помощью формулу трапеций
с точностью до 0,01.
Решение.
Для определения n , воспользуемся соотношение (19)
По условию задачи и ε = 0,01. Учитывая, что подынтегральная функция и ее первая и вторая производные соответственно равны и , то на отрезке интегрирования справедливо = . Значит М = 1. В результате получим соотношение
Из которого определим n :
а , то возьмем n = 6.
Следовательно, чтобы достичь точности ε = 0,01, необходимо взять 7 узлов.
Ответ: n = 6.
Пример 3. Вычислить по квадратурной формуле трапеций интеграл
с точностью до 0,01.
Решение.
Определим сначала число узлов n , которое необходимо использовать для вычисления интеграла. По условию задачи , ε = 0,01 и . Так как
и для выполняется
то М = 2. Подставляя значения a , b , ε и М в формулу (12) получим соотношение:
Из которого найдем n .
а , то возьмем n = 5.
Так как n = 5, то шаг
Найдем значения , используя соотношение
И учитывая, что , а b :
Теперь вычислим значения подынтегральной функции в точках , :
Значит по формуле (15) имеем
Следовательно, .
Ответ: с точностью до 0,01.
Сегодня мы познакомимся с еще одним методом численного интегрирования, методом трапеций. С его помощью мы будем вычислять определенные интегралы с заданной степенью точности. В статье мы опишем суть метода трапеций, разберем, как выводится формула, сравним метод трапеции с методом прямоугольника, запишем оценку абсолютной погрешности метода. Каждый из разделов мы проиллюстрируем примерами для более глубокого понимания материала.
Предположим, что нам нужно приближенно вычислить определенный интеграл ∫ a b f (x) d x , подынтегральная функция которого y = f (x) непрерывна на отрезке [ a ; b ] . Для этого разделим отрезок [ a ; b ] на несколько равных интервалов длины h точками a = x 0 < x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .
Найдем шаг разбиения: h = b - a n . Определим узлы из равенства x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , n .
На элементарных отрезках рассмотрим подынтегральную функцию x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . , n .
При бесконечном увеличении n сведем все случаи к четырем простейшим вариантам:
Выделим отрезки x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n . Заменим на каждом из графиков функцию y = f (x) отрезком прямой, который проходит через точки с координатами x i - 1 ; f x i - 1 и x i ; f x i . Отметим их на рисунках синим цветом.
Возьмем выражение f (x i - 1) + f (x i) 2 · h в качестве приближенного значения интеграла ∫ x i - 1 x i f (x) d x . Т.е. примем ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 · h .
Давайте посмотрим, почему метод численного интегрирования, который мы изучаем, носит название метода трапеций. Для этого нам нужно выяснить, что с точки зрения геометрии означает записанное приближенное равенство.
Для того, чтобы вычислить площадь трапеции, необходимо умножить полусуммы ее оснований на высоту. В первом случае площадь криволинейной трапеции примерно равна трапеции с основаниями f (x i - 1) , f (x i) высотой h . В четвертом из рассматриваемых нами случаев заданный интеграл ∫ x i - 1 x f (x) d x приближенно равен площади трапеции с основаниями - f (x i - 1) , - f (x i) и высотой h , которую необходимо взять со знаком « - ». Для того, чтобы вычислить приближенное значение определенного интеграла ∫ x i - 1 x i f (x) d x во втором и третьем из рассмотренных случаев, нам необходимо найти разность площадей красной и синей областей, которые мы отметили штриховкой на расположенном ниже рисунке.
Подведем итоги. Суть метода трапеций заключается в следующем: мы можем представить определенный интеграл ∫ a b f (x) d x в виде суммы интегралов вида ∫ x i - 1 x i f (x) d x на каждом элементарном отрезке и в последующей приближенной замене ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 · h .
Вспомним пятое свойство определенного интеграла: ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x . Для того, чтобы получить формулу метода трапеций, необходимо вместо интегралов ∫ x i - 1 x i f (x) d x подставить их приближенные значения: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 · h = = h 2 · (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + . . . + f (x n)) = = h 2 · f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) ⇒ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 · f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
Определение 1
Формула метода трапеций: ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 · f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
Оценим абсолютную погрешность метода трапеций следующим образом:
Определение 2
δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 12 n 2
Графическая иллюстрация метода трапеций приведена на рисунке:
Разберем примеры использования метода трапеций для приближенного вычисления определенных интегралов. Особое внимание уделим двум разновидностям заданий:
При заданном n все промежуточные вычисления необходимо проводить с достаточно высокой степенью точности. Точность вычислений должна быть те выше, чем больше n .
Если мы имеем заданную точность вычисления определенного интеграла, то все промежуточные вычисления необходимо проводить на два и более порядков точнее. Например, если задана точность до 0 , 01 , то промежуточные вычисления мы проводим с точностью до 0 , 0001 или 0 , 00001 . При больших n промежуточные вычисления необходимо проводить с еще более высокой точностью.
Рассмотрим приведенное выше правило на примере. Для этого сравним значения определенного интеграла, вычисленного по формуле Ньютона-Лейбница и полученного по методу трапеций.
Итак, ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9 , 613805 .
Пример 1
Вычислим по методу трапеций определенный интеграл ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x для n равным 10 .
Решение
Формула метода трапеций имеет вид ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 · f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
Для того, чтобы применить формулу, нам необходимо вычислить шаг h по формуле h = b - a n , определить узлы x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , n , вычислить значения подынтегральной функции f (x) = 7 x 2 + 1 .
Шаг разбиения вычисляется следующим образом: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0 . 5 . Для вычисления подынтегральной функции в узлах x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , n будем брать четыре знака после запятой:
i = 0: x 0 = 0 + 0 · 0 . 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 · 0 . 5 = 0 . 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 7 0 , 5 2 + 1 = 5 , 6 . . . i = 10: x 10 = 0 + 10 · 0 . 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0 , 2692
Внесем результаты вычислений в таблицу:
| i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| x i | 0 | 0 . 5 | 1 | 1 , 5 | 2 | 2 , 5 | 3 | 3 , 5 | 4 | 4 , 5 | 5 |
| f (x i) | 7 | 5 , 6 | 3 , 5 | 2 , 1538 | 1 , 4 | 0 , 9655 | 0 , 7 | 0 , 5283 | 0 , 4117 | 0 , 3294 | 0 , 2692 |
Подставим полученные значения в формулу метода трапеций: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 · f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0 , 5 2 · 7 + 2 · 5 , 6 + 3 , 5 + 2 , 1538 + 1 , 4 + 0 , 9655 + 0 , 7 + 0 , 5283 + 0 , 4117 + 0 , 3294 + 0 , 2692 = 9 , 6117
Сравним наши результаты с результатами, вычисленными по формуле Ньютона-Лейбница. Полученные значения совпадают до сотых.
Ответ: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 9 , 6117
Пример 2
Вычислим по методу трапеций значение определенного интеграла ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x с точностью до 0 , 01 .
Решение
Согласно условию задачи a = 1 ; b = 2 , f (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 ; δ n ≤ 0 , 01 .
Найдем n , которое равно количеству точек разбиения отрезка интегрирования, с помощью неравенства для оценки абсолютной погрешности δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 . Сделаем мы это следующим образом: мы найдем значения n , для которых будет выполняться неравенство m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01 . При данных n формула трапеций даст нам приближенное значение определенного интеграла с заданной точностью.
Для начала найдем наибольшее значение модуля второй производной функции на отрезке [ 1 ; 2 ] .
f " (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 " = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2
Вторая производная функция является квадратичной параболой f "" (x) = x 2 . Из ее свойств мы знаем, что она положительная и возрастает на отрезке [ 1 ; 2 ] . В связи с этим m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) = f "" (2) = 2 2 = 4 .
В приведенном примере процесс нахождения m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) оказался достаточно простым. В сложных случаях для проведения вычислений можно обратиться к наибольшим и наименьшим значениям функции. После рассмотрения данного примера мы приведем альтернативный метод нахождения m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) .
Подставим полученное значение в неравенство m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01
4 · (2 - 1) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5 , 7735
Количество элементарных интервалов, на которые разбивается отрезок интегрирования n является натуральным числом. Для поведения вычислений возьмем n равное шести. Такое значение n позволит нам достичь заданной точности метода трапеций при минимуме расчетов.
Вычислим шаг: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6 .
Найдем узлы x i = a + i · h , i = 1 , 0 , . . . , n , определим значения подынтегральной функции в этих узлах:
i = 0: x 0 = 1 + 0 · 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 · 1 4 + 1 3 · 1 - 1 60 = 0 , 4 i = 1: x 1 = 1 + 1 · 1 6 = 7 6 ⇒ f (x 1) = f 7 6 = 1 12 · 7 6 4 + 1 3 · 7 6 - 1 60 ≈ 0 , 5266 . . . i = 6: x 10 = 1 + 6 · 1 6 = 2 ⇒ f (x 6) = f (2) = 1 12 · 2 4 + 1 3 · 2 - 1 60 ≈ 1 , 9833
Результаты вычислений запишем в виде таблицы:
| i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| x i | 1 | 7 6 | 4 3 | 3 2 | 5 3 | 11 6 | 2 |
| f x i | 0 , 4 | 0 , 5266 | 0 , 6911 | 0 , 9052 | 1 , 1819 | 1 , 5359 | 1 , 9833 |
Подставим полученные результаты в формулу трапеций:
∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 · f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 · 0 , 4 + 2 · 0 , 5266 + 0 , 6911 + 0 , 9052 + 1 , 1819 + 1 , 5359 + 1 , 9833 ≈ 1 , 0054
Для проведения сравнения вычислим исходный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1
Как видим, полученной точности вычислений мы достигли.
Ответ: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1 , 0054
Для подынтегральных функций сложного вида нахождение числа n из неравенства для оценки абсолютной погрешности не всегда просто. В этом случае будет уместен следующий метод.
Обозначим приближенное значение определенного интеграла, которое было получено по методу трапеций для n узлов, как I n . Выберем произвольное число n . По формуле метода трапеций вычислим исходный интеграл при одинарном (n = 10) и удвоенном (n = 20) числе узлов и найдем абсолютную величину разности двух полученных приближенных значений I 20 - I 10 .
Если абсолютная величина разности двух полученных приближенных значений меньше требуемой точности I 20 - I 10 < δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.
Если абсолютная величина разности двух полученных приближенных значений больше требуемой точности, то необходимо повторить действия с удвоенным количеством узлов (n = 40) .
Такой метод требует проведения большого объема вычислений, поэтому разумно использовать вычислительную технику для экономии времени.
Решим с помощью приведенного выше алгоритма задачу. С целью экономии времени опустим промежуточные вычисления по методу трапеций.
Пример 3
Необходимо вычислить определенный интеграл ∫ 0 2 x e x d x по методу трапеций с точностью до 0 , 001 .
Решение
Возьмем n равное 10 и 20 . По формуле трапеций получим I 10 = 8 , 4595380 , I 20 = 8 , 4066906 .
I 20 - I 10 = 8 , 4066906 - 8 , 4595380 = 0 , 0528474 > 0 , 001 , что требует продолжения вычислений.
Возьмем n равное 40: I 40 = 8 , 3934656 .
I 40 - I 20 = 8 , 3934656 - 8 , 4066906 = 0 , 013225 > 0 , 001 , что также требует продолжения вычислений.
Возьмем n равное 80: I 80 = 8 , 3901585 .
I 80 - I 40 = 8 , 3901585 - 8 , 3934656 = 0 , 0033071 > 0 , 001 , что требует проведения еще одного удвоения числа узлов.
Возьмем n равное 160: I 160 = 8 , 3893317 .
I 160 - I 80 = 8 , 3893317 - 8 , 3901585 = 0 , 0008268 < 0 , 001
Получить приближенное значение исходного интеграла можно округлив I 160 = 8 , 3893317 до тысячных: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8 , 389 .
Для сравнения вычислим исходный определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8 , 3890561 . Требуемая точность достигнута.
Ответ: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8 , 389
Промежуточные вычисления для определения значения определенного интеграла проводят в большинстве своем приближенно. Это значит, что при увеличении n начинает накапливаться вычислительная погрешность.
Сравним оценки абсолютных погрешностей метода трапеций и метода средних прямоугольников:
δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 24 n 2 .
Метод прямоугольников для заданного n при одинаковом объеме вычислительной работы дает вдвое меньшую погрешность. Это делает метод более предпочтительным в тех случаях, когда известны значения функции в средних отрезках элементарных отрезков.
В тех случаях, когда интегрируемые функции задаются не аналитически, а в виде множества значений в узлах, мы можем использовать метод трапеций.
Если сравнивать точность метода трапеций и метода правых и левых прямоугольников, то первый метод превосходит второй в точности результата.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций с точностью до двух знаков после запятой (до 0,01).
.
Решение : Мы не знаем , НА СКОЛЬКО отрезков разбивать отрезок интегрирования, чтобы получить два верных знака после запятой. Иными словами, мы не знаем значение .
Существует специальная формула, позволяющая определить количество отрезков разбиения, чтобы гарантированно достигнуть требуемой точности, но практике она часто трудноприменима. Поэтому выгодно использовать упрощенный подход.
Сначала отрезок интегрирования разбивается на несколько больших отрезков, как правило, на 2-3-4-5. Разобьем отрезок интегрирования, например, на 5 частей:
Шаг тоже известен: 
Тут возникает еще один вопрос, до какого разряда округлять результаты ? Общая рекомендация такова:к требуемой точности нужно прибавить 2-3 разряда. В данном случае необходимая точность 0,01. Согласно рекомендации, после запятой для верности оставим пять знаков (можно было и четыре):
В результате:
После первичного результата количество отрезков удваивают . В данном случае необходимо провести разбиение на 10 отрезков.
Для формула трапеций приобретает следующий вид:
Вычислим шаг разбиения: 
Результаты расчётов сведём в таблицу:
В результате:
Теперь рассчитаем, на сколько улучшился результат:
Здесь используем знак модуля, поскольку нас интересует абсолютная разность .
больше
, чем требуемая точность:
Поэтому необходимо ещё раз удвоить количество отрезков разбиения до , и вычислить уже :
Снова оцениваем погрешность:
Полученная оценка погрешности меньше
, чем требуемая точность:
Всё что осталось сделать, округлить последний (наиболее точный) результат до двух знаков после запятой и записать:
Ответ:
с точностью до 0,01
Пример решения задачи 2.5 для одного интеграла см. в приложении 2.
Желательно проверить результаты расчетов значений определенных интегралов в математическом пакете Mathcad.
Приложение 1
Образец титульного листа
Приложение 1
Пример выполнения задания №2
Задача 2.1
Задача 2.2
Задача 2.3
Задача 2.4
Задача 2.5. (для одного интеграла)
Проверка результатов расчетов в Mathcad:
Формулы к задачам
Задача 2.1.
Задача 2.2.
Задача 2.3.
Задача 2.4.
Задача 2.5.
Аналогично выполнить расчет для второго интеграла согласно варианту задания.
Примечание: при расчете значений аргумента x используется абсолютная ссылка на ячейки. Обозначается абсолютная ссылка с помощью символа “$” на строку или столбец, или на строку и столбец одновременно, например, $B$12).
Абсолютная ссылка дает возможность ссылаться на одну и ту же ячейку при копировании формулы (в отличие от относительной ссылки). Таким образом, мы можем в первой строке сослаться на конкретную ячейку, скопировать ее и протянуть до конца списка. Весь список будет ссылаться на ту ячейку, в которой действует абсолютная ссылка. Соответственно при изменении этой ячейки меняется весь столбец или строка.
Учебно-воспитательные задачи:
Основные знания и умения. Иметь понятие о приближённых методах вычисления определённого интеграла по формулам прямоугольников и трапеций.
Обеспечение занятия
Вид занятия. Интегрированное практическое.
Мотивация познавательной деятельности учащихся. Очень часто приходится вычислять определённые интегралы, для которых невозможно найти первообразную. В этом случае применяют приближённые методы вычисления определённых интегралов. Иногда приближённый метод применяют и для “берущихся” интегралов, если вычисление по формуле Ньютона-Лейбница не рационально. Идея приближённого вычисления интеграла заключается в том, что кривая заменяется новой, достаточно “близкой” к ней кривой. В зависимости от выбора новой кривой можно использовать ту или иную приближённую формулу интегрирования.
Последовательность занятия.
План занятия
Повторить с учащимися: основные формулы интегрирования, сущность изученных методов интегрирования, геометрический смысл определённого интеграла.
Решение многих технических задач сводится к вычислению определённых интегралов, точное выражение которых сложно, требует длительных вычислений и не всегда оправдано практически. Здесь бывает вполне достаточно их приближённого значения.
Пусть, например, необходимо вычислить площадь, ограниченную линией, уравнение которой неизвестно. В этом случае можно заменить данную линию более простой, уравнение которой известно. Площадь полученной таким образом криволинейной трапеции принимается за приближённое значение искомого интеграла.
Простейшим приближённым методом является метод прямоугольников. Геометрически идея способа вычисления определённого интеграла по формуле прямоугольников состоит в том, что площадь криволинейной трапеции АВСD заменяется суммой площадей прямоугольников, одна сторона которых равна , а друга - .
Если суммировать площади прямоугольников, которые показывают площадь криволинейной трапеции с недостатком [Рисунок1], то получим формулу:
[Рисунок1]
то получим формулу:
Если с избытком
[Рисунок2],
то 
Значения у 0 , у 1 ,..., у n
находят из
равенств 
,
к
=
0, 1...,
n
.Эти
формулы называются формулами прямоугольников
и дают приближённый
результат. С увеличением n
результат становится более точным.
Итак, чтобы найти приближённое значение интеграла , нужно:
Для того, чтобы найти погрешность вычислений, надо воспользоваться формулами:
Пример 1. Вычислить по формуле прямоугольников . Найти абсолютную и относительную погрешности вычислений.
Разобьём отрезок [a,
b
] на несколько (например, на 6) равных
частей. Тогда а
=
0,
b =
3
,
х
k = a + k
х
х
0 = 2 + 0
= 2
х
1 = 2 + 1
= 2,5
х
2 = 2 + 2
=3
х
3 = 2 + 3
= 3
х
4 = 2 + 4
= 4
х
5 = 2 + 5
= 4,5
f
(x
0) = 2 2 = 4
f
(x
1)
= 2
,5
2
=
6,25
f
(x
2)
=
3 2
=
9
f
(x
3)
=
3,5 2
=
12,25
f
(x
4)
=
4 2
=
16
f
(x
5)
=
4,5 2
=
20,25.
| х | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 | 4,5 |
| у | 4 | 6,25 | 9 | 12,25 | 16 | 20,25 |
По формуле (1):
Для того, чтобы вычислить относительную погрешность вычислений, надо найти точное значение интеграла:
Вычисления проходили долго и мы получили довольно-таки грубое округление. Чтобы вычислить этот интеграл с меньшим приближением, можно воспользоваться техническими возможностями компьютера.
Для нахождения определённого интеграла методом прямоугольников необходимо ввести значения подынтегральной функции f(x) в рабочую таблицу Excel в диапазоне х с заданным шагом х = 0,1.
Сравнивая полученное приближённое значение с истинным значением интеграла (39 ), можно видеть, что ошибка приближения метода прямоугольников в данном случае равна
=
|39 - 37
,
955| = 1
,045
Пример 2. Используя метод прямоугольников, вычислить с заданным шагом х = 0,05.
Сравнивая полученное приближённое значение с истинным значением интеграла
, можно
видеть, что ошибка приближения метода прямоугольников в данном случае равна
Метод трапеций обычно даёт более точное значение интеграла, чем метод прямоугольников. Криволинейная трапеция заменяется на сумму нескольких трапеций и приближённое значение определённого интеграла находится как сумма площадей трапеций
[Рисунок3]
Пример 3. Методом трапеций найти с шагом х = 0,1.
Сравнивая полученное приближённое значение с истинным значением интеграла можно видеть, что ошибка приближения метода прямоугольников в данном случае вполне приемлемая для практики.
