วิธีสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นหนึ่งในวิธีการปริพันธ์เชิงตัวเลข ช่วยให้คุณสามารถคำนวณปริพันธ์ที่แน่นอนด้วยระดับความแม่นยำที่กำหนดไว้ล่วงหน้า
ขั้นแรก เราจะอธิบายแก่นแท้ของวิธีรูปสี่เหลี่ยมคางหมูและได้สูตรรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ต่อไป เราจะเขียนค่าประมาณข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของวิธีการและวิเคราะห์รายละเอียดวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างทั่วไป โดยสรุป เราจะเปรียบเทียบวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูกับวิธีสี่เหลี่ยมผืนผ้า
การนำทางหน้า
ให้เรากำหนดภารกิจต่อไปนี้: ให้เราคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตโดยประมาณ โดยที่ฟังก์ชันปริพันธ์ y=f(x) ต่อเนื่องกันบนเซ็กเมนต์นั้น
ลองแบ่งส่วนออกเป็น n ช่วงความยาว h ด้วยจุดเท่ากัน ในกรณีนี้ เราจะค้นหาขั้นตอนของพาร์ติชันและกำหนดโหนดจากความเท่าเทียมกัน
ให้เราพิจารณาปริพันธ์ในส่วนประถมศึกษา 
.
มีสี่กรณีที่เป็นไปได้ (รูปนี้แสดงกรณีที่ง่ายที่สุด ซึ่งทุกอย่างจะลดลงเมื่อ n เพิ่มขึ้นอย่างไม่สิ้นสุด):
ในทุกภาคส่วน ลองแทนที่ฟังก์ชัน y=f(x) ด้วยส่วนของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่มีพิกัดและ ลองพรรณนาพวกมันในรูปด้วยเส้นสีน้ำเงิน:
เราจะหานิพจน์มาเป็นค่าโดยประมาณของอินทิกรัล 
คือว่ายอมรับเถอะ 
.
เรามาดูกันว่าความเท่าเทียมกันโดยประมาณที่เขียนหมายถึงอะไรในความหมายทางเรขาคณิต ซึ่งจะทำให้เข้าใจได้ว่าทำไมวิธีการอินทิเกรตเชิงตัวเลขที่กำลังพิจารณาจึงเรียกว่าวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู
เรารู้ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นผลคูณของผลรวมของฐานและความสูงครึ่งหนึ่ง ดังนั้นในกรณีแรกพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งจะเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีฐานโดยประมาณ 
และความสูง h ในกรณีหลังอินทิกรัลจำกัดเขตจะเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูพร้อมฐานโดยประมาณ 
และส่วนสูง h โดยมีเครื่องหมายลบ ในกรณีที่สองและสาม ค่าโดยประมาณของอินทิกรัลจำกัดเขตจะเท่ากับผลต่างในพื้นที่ของบริเวณสีแดงและสีน้ำเงินดังแสดงในรูปด้านล่าง
ดังนั้นเราจึงมา สาระสำคัญของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งประกอบด้วยการแสดงอินทิกรัลจำกัดเป็นผลรวมของอินทิกรัลของแบบฟอร์มในแต่ละเซ็กเมนต์พื้นฐานและในการแทนที่โดยประมาณที่ตามมา .
อย่างที่คุณเห็นได้รับความแม่นยำที่ต้องการแล้ว
เล็กน้อยเกี่ยวกับข้อผิดพลาด
ตามทฤษฎีแล้ว ค่าโดยประมาณของอินทิกรัลจำกัดเขตซึ่งคำนวณโดยใช้วิธีสี่เหลี่ยมคางหมู มีแนวโน้มจะเป็นค่าจริงที่ อย่างไรก็ตามเราควรคำนึงถึงความจริงที่ว่าการคำนวณขั้นกลางส่วนใหญ่ดำเนินการโดยประมาณและที่มีขนาดใหญ่ n ข้อผิดพลาดในการคำนวณเริ่มสะสม
ลองมาดูค่าประมาณของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูและวิธีสี่เหลี่ยมเฉลี่ยกัน 
.
คุณสามารถคาดหวังข้อผิดพลาดครึ่งหนึ่งสำหรับ n ที่กำหนด เมื่อใช้วิธีการสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีปริมาณงานคำนวณเท่ากัน กล่าวคือ ควรใช้วิธีนี้มากกว่า สิ่งนี้จะเกิดขึ้นจริงเมื่อทราบค่าของฟังก์ชันที่จุดกึ่งกลางของเซ็กเมนต์พื้นฐาน แต่บางครั้งฟังก์ชันที่จะรวมเข้าด้วยกันไม่ได้ระบุไว้ในเชิงวิเคราะห์ แต่เป็นชุดของค่าที่โหนด ในกรณีนี้ เราจะไม่สามารถใช้สูตรของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเฉลี่ยได้ แต่เราสามารถใช้วิธีสี่เหลี่ยมคางหมูได้
วิธีสี่เหลี่ยมด้านซ้ายและขวานั้นด้อยกว่าวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูในด้านความแม่นยำของผลลัพธ์สำหรับจำนวนพาร์ติชั่นที่กำหนดของเซ็กเมนต์การรวม
แบบฝึกหัด
5.1 คำนวณโดยใช้สูตรการสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ n= 3 อินทิกรัลและเปรียบเทียบกับค่าที่แน่นอนของอินทิกรัล:
ก) , ฉัน= 1; ข) , ฉัน= ln 2;
วี) , ฉัน- ช) , ฉัน= 0,75.
5.2 คำนวณโดยใช้สูตรการสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ n= 5 อินทิกรัลและประมาณค่าข้อผิดพลาดในการอินทิเกรต:
5.3 กำหนดจำนวนโหนด nซึ่งต้องใช้คำนวณอินทิกรัลโดยใช้สูตรสี่เหลี่ยมที่มีความแม่นยำ 0.01:
ก) ; ข) ; วี) ; ช) .
5.4 คำนวณอินทิกรัลโดยใช้สูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของสี่เหลี่ยมด้วยความแม่นยำ 0.01:
พิจารณาอินทิกรัลจำกัดเขต ฉัน(6) และพลอตฟังก์ชันปริพันธ์ (รูปที่ 17) ให้เราแบ่งส่วนการรวมออกเป็น nส่วนเท่า ๆ กันตามจุด ที่ไหน (รูปที่ 17)
| รูปที่ 17 |
| ฉ( เอ็กซ์ 1) |
| ฉ( เอ็กซ์ 2) |
| ฉ( x ฉัน) |
| ฉ( เอ็กซ์เอ็น -1) |
| ฉ( เอ็กซ์เอ็น) |
| ฉ( เอ็กซ์ 0) |
| ฉ( x ฉัน - 1) |
| ฉ( เอ็กซ์เอ็น- 2) |
| x 0 |
| x1 |
| x2 |
| x ฉัน- 1 |
| x ฉัน |
| เอ็กซ์เอ็น-1 |
| เอ็กซ์เอ็น |
| xn-2 |
| ก |
| ข |
| เอ็กซ์ |
| ที่ |
| เกี่ยวกับ |
ความยาวของแต่ละส่วนของพาร์ติชัน ในกรณีนี้ เห็นได้ชัดว่าความสัมพันธ์ต่อไปนี้จะใช้ได้กับจุดพาร์ติชัน:
และ x 0 = กและ เอ็กซ์เอ็น = ข.
ให้เราเชื่อมโยงจุดของกราฟของฟังก์ชันกับพิกัดกับส่วนต่างๆ เป็นผลให้เราได้เส้นขาดซึ่งเป็นกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแยกชิ้น (รูปที่ 17) ในแต่ละส่วนของพาร์ติชัน ฟังก์ชันจะได้รับจากสูตร
ณ จุดนั้นจะใช้ค่าเดียวกันกับฟังก์ชัน:
เหล่านั้น. ฟังก์ชันจะทำการประมาณค่าเชิงเส้นเป็นชิ้น ๆ ของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ (รูปที่ 17)
มาคำนวณอินทิกรัลกัน:
ผลลัพธ์นี้มีความหมายทางเรขาคณิตอย่างง่าย นั่นคือ ตัวเลขที่ล้อมรอบด้านล่างด้วยส่วนของแกน โอ้จากด้านบนด้วยส่วนของฟังก์ชัน (13) จากด้านข้างด้วยเส้นตรงแนวตั้ง และ เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีฐานยาวและสูง ชม.พื้นที่ที่กำหนดโดยสูตร (14) (รูปที่ 17)
อินทิกรัลของฟังก์ชันตลอดทั้งเซ็กเมนต์คือผลรวมของอินทิกรัล (14):
สูตรกำลังสอง
ให้ค่าประมาณของอินทิกรัล ฉัน:
ระยะเวลาที่เหลืออยู่ที่ไหน (การกำหนดพิเศษ) ในสูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส (16) ซึ่งเรียกว่า สูตรสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมคางหมู โหนดคือจุด ปัจจัยน้ำหนักมีทั้งหมด ยกเว้นสองตัวสำหรับ และ เหมือนกันและเท่ากับ และค่าสัมประสิทธิ์น้ำหนักสำหรับ และ เท่ากับ เพื่อให้มีความแม่นยำ สูตร (16) จะแสดงพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่สอดคล้องกับอินทิกรัล ฉันผ่านผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู (14) (รูปที่ 17)
สูตร (7) หรือ (7ʹ) สำหรับปริมาณถูกสร้างขึ้นเป็นผลรวมปริพันธ์ เมื่อหาสูตร (15) สำหรับ จะไม่ได้ใช้แนวคิดเรื่องผลรวมอินทิกรัล แต่ก็ถือเป็นผลรวมอินทิกรัลได้เช่นกัน ดังนั้น หากฟังก์ชันสามารถอินทิเกรตได้บน ดังนั้นโดยอาศัยคำจำกัดความของอินทิกรัลจำกัดเขต
เหล่านั้น. เงื่อนไขการบรรจบกันสำหรับสูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมคางหมู (16) เป็นที่พอใจในกรณีนี้
ความสัมพันธ์แบบจำกัด (17) พิสูจน์ความเป็นไปได้ขั้นพื้นฐานในการคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนของฟังก์ชันอินทิเกรตตามอำเภอใจโดยวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูด้วยความแม่นยำใดๆ ε โดยการเลือกหมายเลข nจุดแบ่งส่วนและขั้นตอนที่เกี่ยวข้อง ชม..
พิจารณาคำถามหลักที่เกี่ยวข้องกับการจัดกระบวนการประมวลผลจริง: สิ่งที่ควรดำเนินการ nเพื่อให้ได้ความแม่นยำที่ต้องการเมื่อคำนวณอินทิกรัลจำกัด (6) ε - ในการทำเช่นนี้จำเป็นต้องประมาณระยะเวลาคงเหลือ (ข้อผิดพลาด) ในเรื่องนี้ อินทิแกรนด์ต้องไม่เพียงแต่สามารถอินทิเกรตได้เท่านั้น แต่ยังต้องสามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องเป็นสองเท่าในช่วงเวลาด้วย หากตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดที่อธิบายไว้ข้างต้น การประมาณการต่อไปนี้จะคงไว้สำหรับระยะเวลาที่เหลือ:
ที่ไหน ม– จำนวนบวกที่เป็นไปตามเงื่อนไข (11)
เพื่อความถูกต้องที่กำหนด ε เงื่อนไข (18) ช่วยให้เราสามารถกำหนดจำนวนโหนดได้ nซึ่งต้องใช้เมื่อคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขต (6) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะใช้ความสัมพันธ์
ตัวอย่างที่ 1คำนวณโดยใช้สูตรสี่เหลี่ยมคางหมูที่ n= 3 อินทิกรัล
เปรียบเทียบกับค่าที่แน่นอนของอินทิกรัล
สารละลาย.
เพราะ n= 3 จากนั้นก้าว
และให้สิ่งนั้นและ:
ซึ่งหมายความว่าตามสูตร (15) เรามี
เพราะฉะนั้น, .
ให้เราเปรียบเทียบค่าโดยประมาณที่ได้รับกับค่าที่แน่นอนของอินทิกรัล
คำตอบ: , .
ตัวอย่างที่ 2กำหนดจำนวนโหนด nซึ่งจะต้องใช้ในการคำนวณอินทิกรัลโดยใช้สูตรสี่เหลี่ยมคางหมู
ด้วยความแม่นยำ 0.01
สารละลาย.
เพื่อกำหนด nลองใช้ความสัมพันธ์ (19)
ตามเงื่อนไขของปัญหาและ ε = 0.01. เมื่อพิจารณาว่าอินทิแกรนด์และอนุพันธ์ตัวแรกและตัวที่สองมีค่าเท่ากับ และ ตามลำดับ จากนั้นบนช่วงอินทิเกรต = เป็นจริง วิธี ม= 1. ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้ความสัมพันธ์
จากที่เรากำหนด n:
อ่า แล้วเราจะไปรับมัน n = 6.
ดังนั้นเพื่อให้เกิดความถูกต้องแม่นยำ ε = 0.01 คุณต้องมี 7 โหนด
คำตอบ:n = 6.
ตัวอย่างที่ 3คำนวณอินทิกรัลสี่เหลี่ยมคางหมูโดยใช้สูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส
ด้วยความแม่นยำ 0.01
สารละลาย.
ก่อนอื่นเรามากำหนดจำนวนโหนดกันก่อน nซึ่งต้องใช้ในการคำนวณอินทิกรัล ตามเงื่อนไขของปัญหา ε = 0.01 และ . เพราะ
และสำหรับถูกดำเนินการ
ที่ ม= 2. การแทนค่า ก, ข, ε และ มในสูตร (12) เราได้รับความสัมพันธ์:
ซึ่งเราจะพบกับ n.
อ่า แล้วเราจะไปรับมัน n = 5.
เพราะ n= 5 แล้วก้าว
มาหาค่าโดยใช้ความสัมพันธ์กัน
และให้สิ่งนั้นและ ข :
ทีนี้มาคำนวณค่าของปริพันธ์ที่จุด , :
ซึ่งหมายความว่าตามสูตร (15) เรามี
เพราะฉะนั้น, .
คำตอบ:ด้วยความแม่นยำ 0.01
วันนี้เราจะมาทำความรู้จักกับวิธีการอินทิเกรตเชิงตัวเลขอีกวิธีหนึ่ง นั่นคือวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู ด้วยความช่วยเหลือนี้ เราจะคำนวณอินทิกรัลจำกัดจำนวนด้วยระดับความแม่นยำที่กำหนด ในบทความ เราจะอธิบายสาระสำคัญของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู วิเคราะห์วิธีการหาสูตร เปรียบเทียบวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูกับวิธีสี่เหลี่ยม และเขียนค่าประมาณของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของวิธีนี้ เราจะอธิบายแต่ละส่วนพร้อมตัวอย่างเพื่อความเข้าใจที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นเกี่ยวกับเนื้อหา
สมมติว่าเราจำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัลจำกัดขอบเขต ∫ ab f (x) d x โดยประมาณ โดยอินทิกรัล y = f (x) ต่อเนื่องกันในช่วงเวลา [ a ; ข ] . เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แบ่งส่วน [a; b ] ออกเป็นช่วงความยาว h เท่าๆ กัน โดยมีจุด a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .
มาหาขั้นตอนพาร์ติชั่นกัน: h = b - a n ลองพิจารณาโหนดจากความเท่าเทียมกัน x i = a + i · h, i = 0, 1, - - , n.
ในส่วนประถมศึกษา เราจะพิจารณาฟังก์ชันปริพันธ์ x i - 1 ; x ผม, ผม = 1, 2, . - , n.
เมื่อ n เพิ่มขึ้นอย่างไม่สิ้นสุด เราจะลดกรณีทั้งหมดให้เหลือเพียงสี่ตัวเลือกที่ง่ายที่สุด:
ให้เราเลือกส่วน x i - 1 ; x ผม, ผม = 1, 2, . - - , n. ให้เราแทนที่ฟังก์ชัน y = f (x) ในแต่ละกราฟด้วยส่วนของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่มีพิกัด x i - 1 ; ฉ x ฉัน - 1 และ x ฉัน ; ฉ x ฉัน มาทำเครื่องหมายด้วยสีน้ำเงินในรูปภาพ
ขอให้เราใช้นิพจน์ f (x i - 1) + f (x i) 2 · h เป็นค่าโดยประมาณของอินทิกรัล ∫ x i - 1 x i f (x) d x เหล่านั้น. สมมุติว่า ∫ x i - 1 x i f (x) d x µ f (x i - 1) + f (x i) 2 ชั่วโมง .
เรามาดูกันว่าเหตุใดวิธีการอินทิเกรตเชิงตัวเลขที่เรากำลังศึกษาจึงเรียกว่าวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู ในการทำเช่นนี้ เราจำเป็นต้องค้นหาความหมายของความเท่าเทียมกันโดยประมาณที่เขียนจากมุมมองทางเรขาคณิต
ในการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูจำเป็นต้องคูณผลรวมครึ่งหนึ่งของฐานด้วยความสูง ในกรณีแรก พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งจะประมาณเท่ากับสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีฐาน f (x i - 1), f (x i) ความสูง h ในกรณีที่สี่ของกรณีที่เรากำลังพิจารณาอินทิกรัลที่กำหนด ∫ x i - 1 x f (x) d x นั้นประมาณเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีฐาน - f (x i - 1), - f (x i) และความสูง h ซึ่งต้องใช้เครื่องหมาย “-” ในการคำนวณค่าโดยประมาณของอินทิกรัลจำกัดขอบเขต ∫ x i - 1 x i f (x) d x ในกรณีที่พิจารณาครั้งที่สองและสาม เราจำเป็นต้องค้นหาความแตกต่างในพื้นที่ของบริเวณสีแดงและสีน้ำเงินที่เราทำเครื่องหมายด้วย ฟักออกมาในรูปด้านล่าง
มาสรุปกัน สาระสำคัญของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูมีดังนี้: เราสามารถแสดงอินทิกรัลจำกัด ∫ ab f (x) d x เป็นผลรวมของปริพันธ์ของรูปแบบ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ในแต่ละเซ็กเมนต์พื้นฐานและในการแทนที่โดยประมาณที่ตามมา ∫ x i - 1 x i f (x) d x µ f (x i - 1) + f (x i) 2 · ชม.
ขอให้เรานึกถึงคุณสมบัติที่ห้าของอินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ ab f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x เพื่อให้ได้สูตรของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูจำเป็นต้องแทนที่ค่าโดยประมาณแทนค่าปริพันธ์ ∫ x i - 1 x i f (x) d x: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x data ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + . + f (x n)) = = h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f ( x n) ⇒ ∫ x i - 1 x i f (x) d x data h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
คำจำกัดความ 1
สูตรวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู:∫ x i - 1 x i f (x) d x data h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
ให้เราประมาณค่าความผิดพลาดสัมบูรณ์ของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูดังนี้:
คำจำกัดความ 2
δ n ≤ ม a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · n · h 3 12 = ม a x x ∈ [ a ; ข ] ฉ "" (x) ข - 3 12 n 2
ภาพประกอบกราฟิกของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูแสดงในรูป:
ลองดูตัวอย่างการใช้วิธีสี่เหลี่ยมคางหมูในการคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตโดยประมาณ ความสนใจเป็นพิเศษเราจะมุ่งเน้นไปที่งานสองประเภท:
สำหรับ n ที่กำหนด การคำนวณระดับกลางทั้งหมดจะต้องดำเนินการด้วยความแม่นยำในระดับสูงเพียงพอ ความแม่นยำในการคำนวณควรสูงขึ้นและมีค่า n มากขึ้น
หากเรามีความแม่นยำในการคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอน การคำนวณขั้นกลางทั้งหมดจะต้องดำเนินการตามลำดับความสำคัญตั้งแต่สองลำดับความสำคัญขึ้นไปอย่างแม่นยำยิ่งขึ้น ตัวอย่างเช่น หากตั้งค่าความแม่นยำเป็น 0.01 เราจะทำการคำนวณขั้นกลางด้วยความแม่นยำ 0.0001 หรือ 0.00001 สำหรับ n ขนาดใหญ่ การคำนวณขั้นกลางจะต้องดำเนินการด้วยความแม่นยำที่สูงกว่า
ลองดูกฎข้างต้นพร้อมตัวอย่าง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เปรียบเทียบค่าของอินทิกรัลจำกัดที่คำนวณโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ และรับโดยใช้วิธีรูปสี่เหลี่ยมคางหมู
ดังนั้น ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 data 9, 613805
ตัวอย่างที่ 1
เมื่อใช้วิธีสี่เหลี่ยมคางหมู เราคำนวณอินทิกรัลจำกัดขอบเขต ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x สำหรับ n เท่ากับ 10
สารละลาย
สูตรสำหรับวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูคือ ∫ x i - 1 x i f (x) d x data h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
ในการใช้สูตร เราจำเป็นต้องคำนวณขั้นตอน h โดยใช้สูตร h = b - a n กำหนดโหนด x i = a + i · h, i = 0, 1, - - , n, คำนวณค่าของฟังก์ชันปริพันธ์ f (x) = 7 x 2 + 1
ขั้นตอนการแบ่งพาร์ติชันคำนวณดังนี้: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0 5. ในการคำนวณปริพันธ์ที่โหนด x i = a + i · h, i = 0, 1, - - , n เราจะมีทศนิยมสี่ตำแหน่ง:
ผม = 0: x 0 = 0 + 0 0 . 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 0 5 = 0 . 5 ⇒ ฉ (x 1) = ฉ (0. 5) = 7 0. 5 2 + 1 = 5. 6. - - ผม = 10: x 10 = 0 + 10 · 0 5 = 5 ⇒ ฉ (x 10) = ฉ (5) = 7 5 2 + 1 data 0, 2692
ป้อนผลการคำนวณลงในตาราง:
| ฉัน | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| x ฉัน | 0 | 0 . 5 | 1 | 1 , 5 | 2 | 2 , 5 | 3 | 3 , 5 | 4 | 4 , 5 | 5 |
| ฉ (x ฉัน) | 7 | 5 , 6 | 3 , 5 | 2 , 1538 | 1 , 4 | 0 , 9655 | 0 , 7 | 0 , 5283 | 0 , 4117 | 0 , 3294 | 0 , 2692 |
ลองแทนค่าที่ได้รับลงในสูตรของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 data h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0, 5 2 7 + 2 5.6 + 3.5 + 2.1538 + 1.4 + 0.9655 + 0.7 + 0.5283 + 0.4117 + 0.3294 + 0.2692 = 9.6117
ลองเปรียบเทียบผลลัพธ์ของเรากับผลลัพธ์ที่คำนวณโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ ค่าที่ได้จะตรงกันกับหนึ่งในร้อย
คำตอบ:∫ 0 5 7 ว x x 2 + 1 = 9 , 6117
ตัวอย่างที่ 2
เมื่อใช้วิธีสี่เหลี่ยมคางหมู เราคำนวณค่าของอินทิกรัลจำกัด ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ด้วยความแม่นยำ 0.01
สารละลาย
ตามเงื่อนไขของปัญหา a = 1; ข = 2 , ฉ (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 ; δn ≤ 0.01
ให้เราค้นหา n ซึ่งเท่ากับจำนวนจุดของพาร์ติชันของส่วนการรวม โดยใช้ความไม่เท่าเทียมกันในการประมาณค่าข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; ข ] ฉ "" (x) · (ข - ก) 3 12 n 2 . เราจะทำสิ่งนี้: เราจะค้นหาค่าของ n ซึ่งความไม่เท่าเทียมกัน m a x x ∈ [ a ; ข ] ฉ "" (x) · (ข - ก) 3 12 n 2 ≤ 0.01 เมื่อให้ n สูตรสี่เหลี่ยมคางหมูจะให้ค่าโดยประมาณของอินทิกรัลจำกัดเขตด้วยความแม่นยำที่กำหนด
ก่อนอื่นเรามาค้นหากันก่อน มูลค่าสูงสุดโมดูลัสของอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันบนช่วง [ 1 ; 2].
ฉ " (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 " = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ ฉ "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2
ฟังก์ชันอนุพันธ์อันดับสองคือพาราโบลากำลังสอง f "" (x) = x 2 . จากคุณสมบัติของมัน เรารู้ว่ามันเป็นค่าบวกและเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา [1; 2]. ในเรื่องนี้ m a x x ∈ [ a ; ข ] ฉ "" (x) = ฉ "" (2) = 2 2 = 4 .
ในตัวอย่างที่ให้มา กระบวนการหา m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) กลายเป็นเรื่องที่ค่อนข้างง่าย ในกรณีที่ซับซ้อน คุณสามารถใช้ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันเพื่อทำการคำนวณได้ หลังจากพิจารณาแล้ว ตัวอย่างนี้เราจะนำมา วิธีการทางเลือกหา m a x x ∈ [ a ; ข ] ฉ "" (x) .
ให้เราแทนที่ค่าผลลัพธ์เป็นอสมการ m a x x ∈ [ a ; ข ] ฉ "" (x) · (ข - ก) 3 12 n 2 ≤ 0.01
4 (2 - 1) 3 12 ไม่มี 2 ≤ 0.01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5.7735
จำนวนช่วงเบื้องต้นที่มีการแบ่งส่วนการรวม n ออกเป็นจำนวนธรรมชาติ สำหรับพฤติกรรมการคำนวณ เราใช้ n เท่ากับ 6 ค่า n นี้จะช่วยให้เราบรรลุความแม่นยำที่ระบุของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูด้วยการคำนวณขั้นต่ำ
มาคำนวณขั้นตอนกัน: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6 .
ลองหาโหนด x i = a + i · h, i = 1, 0, - - , n , เรากำหนดค่าของปริพันธ์ที่โหนดเหล่านี้:
i = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 - 1 60 = 0, 4 i = 1: x 1 = 1 + 1 1 6 = 7 6 ⇒ ฉ (x 1) = ฉ 7 6 = 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 data 0.5266 - - i = 6: x 10 = 1 + 6 1 6 = 2 ⇒ f (x 6) = f (2) = 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 data 1.9833
เราเขียนผลการคำนวณในรูปแบบของตาราง:
| ฉัน | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| x ฉัน | 1 | 7 6 | 4 3 | 3 2 | 5 3 | 11 6 | 2 |
| ฉ x ฉัน | 0 , 4 | 0 , 5266 | 0 , 6911 | 0 , 9052 | 1 , 1819 | 1 , 5359 | 1 , 9833 |
แทนที่ผลลัพธ์ที่ได้ลงในสูตรสี่เหลี่ยมคางหมู:
∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x µ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 0, 4 + 2 0.5266 + 0.6911 + 0.9052 + 1.1819 + 1.5359 + 1.9833 กลับไปยัง 1.0054
ในการเปรียบเทียบ เราจะคำนวณอินทิกรัลดั้งเดิมโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ:
∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1
อย่างที่คุณเห็นเราได้รับความแม่นยำในการคำนวณแล้ว
คำตอบ: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x พรีเมี่ยม 1.0054
สำหรับจำนวนเต็มที่มีรูปแบบซับซ้อน การค้นหาจำนวน n จากอสมการเพื่อประมาณค่าความผิดพลาดสัมบูรณ์ไม่ใช่เรื่องง่ายเสมอไป ในกรณีนี้วิธีการต่อไปนี้จะเหมาะสม
ให้เราแสดงค่าโดยประมาณของอินทิกรัลจำกัดขอบเขต ซึ่งได้มาจากการใช้วิธีรูปสี่เหลี่ยมคางหมูสำหรับโหนด n ดังที่ I n ลองเลือกตัวเลขใดก็ได้ n การใช้สูตรของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูเราคำนวณอินทิกรัลเริ่มต้นสำหรับจำนวนโหนดเดียว (n = 10) และสองเท่า (n = 20) และค้นหาค่าสัมบูรณ์ของความแตกต่างระหว่างสองค่าโดยประมาณที่ได้รับ I 20 - ฉัน 10.
หากค่าสัมบูรณ์ของความแตกต่างระหว่างสองค่าโดยประมาณที่ได้รับนั้นน้อยกว่าความแม่นยำที่ต้องการ I 20 - I 10< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.
หากค่าสัมบูรณ์ของความแตกต่างระหว่างสองค่าโดยประมาณที่ได้รับนั้นมากกว่าความแม่นยำที่ต้องการ จำเป็นต้องทำซ้ำขั้นตอนโดยมีจำนวนโหนดเป็นสองเท่า (n = 40)
วิธีนี้ต้องใช้การคำนวณจำนวนมาก ดังนั้นจึงควรใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์เพื่อประหยัดเวลา
มาแก้ปัญหาโดยใช้อัลกอริธึมด้านบน เพื่อประหยัดเวลา เราจะละเว้นการคำนวณขั้นกลางโดยใช้วิธีสี่เหลี่ยมคางหมู
ตัวอย่างที่ 3
จำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัลจำกัด ∫ 0 2 x e x d x โดยใช้วิธีสี่เหลี่ยมคางหมูด้วยความแม่นยำ 0.001
สารละลาย
ลองหา n เท่ากับ 10 กับ 20 กัน เมื่อใช้สูตรสี่เหลี่ยมคางหมู เราจะได้ I 10 = 8.4595380, I 20 = 8.4066906
I 20 - I 10 = 8, 4066906 - 8, 4595380 = 0, 0528474 > 0, 001 ซึ่งต้องมีการคำนวณเพิ่มเติม
ลองหา n เท่ากับ 40: I 40 = 8, 3934656
I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0, 013225 > 0, 001 ซึ่งต้องมีการคำนวณอย่างต่อเนื่อง
ลองหา n เท่ากับ 80: I 80 = 8, 3901585
I 80 - I 40 = 8.3901585 - 8.3934656 = 0.0033071 > 0.001 ซึ่งต้องเพิ่มจำนวนโหนดอีกสองเท่า
ลองหา n เท่ากับ 160: I 160 = 8, 3893317
ฉัน 160 - ฉัน 80 = 8.3893317 - 8.3901585 = 0.0008268< 0 , 001
ค่าโดยประมาณของอินทิกรัลดั้งเดิมสามารถหาได้โดยการปัดเศษ I 160 = 8, 3893317 เป็นหนึ่งในพัน: ∫ 0 2 x e x d x µ µ 8, 389
เพื่อการเปรียบเทียบ ลองคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตเดิมโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 data 8, 3890561 ได้รับความแม่นยำที่ต้องการแล้ว
คำตอบ: ∫ 0 2 x e x d x data 8, 389
การคำนวณระดับกลางเพื่อกำหนดค่าของอินทิกรัลจำกัดเขตส่วนใหญ่จะดำเนินการโดยประมาณ ซึ่งหมายความว่าเมื่อ n เพิ่มขึ้น ข้อผิดพลาดในการคำนวณจะเริ่มสะสม
ลองเปรียบเทียบค่าประมาณของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูกับวิธีสี่เหลี่ยมผืนผ้าเฉลี่ย:
δ n ≤ ม a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 12 = ม a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 24 = ม a x x ∈ [ a ; ข ] ฉ "" (x) · ข - 3 24 n 2 .
วิธีสี่เหลี่ยมสำหรับ n ที่กำหนดซึ่งมีปริมาณงานคำนวณเท่ากันจะให้ข้อผิดพลาดครึ่งหนึ่ง สิ่งนี้ทำให้วิธีนี้เป็นที่นิยมมากขึ้นในกรณีที่ทราบค่าของฟังก์ชันในส่วนตรงกลางของส่วนประถมศึกษา
ในกรณีที่ไม่ได้ระบุฟังก์ชันที่จะรวมเข้าด้วยกันในเชิงวิเคราะห์ แต่เป็นชุดของค่าที่โหนด เราสามารถใช้วิธีสี่เหลี่ยมคางหมูได้
หากเราเปรียบเทียบความแม่นยำของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูกับวิธีสี่เหลี่ยมด้านขวาและด้านซ้าย วิธีแรกจะมีความแม่นยำมากกว่าวิธีที่สองในด้านความแม่นยำของผลลัพธ์
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
คำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตโดยประมาณโดยใช้สูตรสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งมีความแม่นยำถึงทศนิยมสองตำแหน่ง (ไม่เกิน 0.01)
.
สารละลาย: เรา เราไม่รู้เราควรแบ่งส่วนการรวมออกเป็นกี่ส่วนเพื่อให้ได้ทศนิยมสองตำแหน่งที่ถูกต้อง กล่าวอีกนัยหนึ่งเราไม่รู้ความหมายของ.
มีสูตรพิเศษที่ช่วยให้คุณกำหนดจำนวนส่วนของพาร์ติชันเพื่อรับประกันความถูกต้องที่ต้องการ แต่ในทางปฏิบัติมักนำไปใช้ได้ยาก ดังนั้นจึงเป็นประโยชน์ที่จะใช้วิธีการที่เรียบง่าย
ขั้นแรก ส่วนการรวมจะถูกแบ่งออกเป็นส่วนใหญ่หลายๆ ส่วน โดยปกติจะเป็น 2-3-4-5 ให้เราแบ่งส่วนการรวมเข้าด้วยกันออกเป็น 5 ส่วน:
ขั้นตอนนี้ยังเป็นที่รู้จัก: 
มีคำถามอื่นเกิดขึ้น: ผลลัพธ์ควรปัดเศษเป็นตัวเลขใด คำแนะนำทั่วไปนั่นเป็นวิธีที่มันเป็น : คุณต้องเพิ่มตัวเลข 2-3 หลักเพื่อความแม่นยำที่ต้องการในกรณีนี้ ความแม่นยำที่ต้องการคือ 0.01 ตามคำแนะนำ หลังจากจุดทศนิยมเราจะปล่อยอักขระห้าตัวไว้หลังจุดทศนิยม (เป็นไปได้สี่ตัว):
เป็นผลให้:
หลังผลลัพธ์หลัก จำนวนส่วน สองเท่า- ในกรณีนี้จำเป็นต้องแบ่งออกเป็น 10 ส่วน
สำหรับสูตรสี่เหลี่ยมคางหมูมีรูปแบบดังนี้:
มาคำนวณขั้นตอนพาร์ติชั่นกัน: 
สรุปผลการคำนวณในตาราง:
เป็นผลให้:
ทีนี้ลองคำนวณดูว่าผลลัพธ์ดีขึ้นแค่ไหน:
ตรงนี้เราใช้เครื่องหมายโมดูลัส เนื่องจากเราสนใจ ความแตกต่างที่แน่นอน.
มากกว่าเกินความแม่นยำที่ต้องการ: 
ดังนั้นจึงจำเป็นต้องเพิ่มจำนวนเซ็กเมนต์พาร์ติชันเป็นสองเท่าอีกครั้ง และคำนวณแล้ว:
ลองประมาณข้อผิดพลาดอีกครั้ง:
การประมาณค่าความผิดพลาดที่เกิดขึ้น น้อยเกินความแม่นยำที่ต้องการ: 
สิ่งที่ต้องทำคือปัดเศษผลลัพธ์สุดท้าย (แม่นยำที่สุด) ให้เป็นทศนิยมสองตำแหน่งแล้วเขียน:
คำตอบ: 
แม่นยำถึง 0.01
สำหรับตัวอย่างการแก้ปัญหา 2.5 สำหรับอินทิกรัลหนึ่งรายการ ดูภาคผนวก 2
ขอแนะนำให้ตรวจสอบผลลัพธ์การคำนวณค่าของอินทิกรัลบางอย่างในแพ็คเกจทางคณิตศาสตร์ Mathcad
ภาคผนวก 1
ตัวอย่างหน้าชื่อเรื่อง
ภาคผนวก 1
ตัวอย่างการทำภารกิจหมายเลข 2 ให้สำเร็จ
ปัญหา 2.1
ปัญหา 2.2
ปัญหา 2.3
ปัญหา 2.4
ปัญหา 2.5. (สำหรับหนึ่งอินทิกรัล)
การตรวจสอบผลลัพธ์การคำนวณใน Mathcad:
สูตรสำหรับปัญหา
งาน 2.1
งาน 2.2
ปัญหา 2.3.
ปัญหา 2.4.
ปัญหา 2.5.
ในทำนองเดียวกัน ให้คำนวณอินทิกรัลตัวที่สองตามตัวเลือกการกำหนด
บันทึก:เมื่อคำนวณค่าของอาร์กิวเมนต์ x จะใช้ การอ้างอิงที่แน่นอนไปยังเซลล์ การอ้างอิงแบบสัมบูรณ์จะถูกระบุโดยใช้สัญลักษณ์ “$” กับแถวหรือคอลัมน์ หรือไปยังแถวและคอลัมน์พร้อมกัน เช่น $B$12)
การอ้างอิงแบบสัมบูรณ์ทำให้คุณสามารถอ้างอิงเซลล์เดียวกันได้เมื่อคุณคัดลอกสูตร (ตรงข้ามกับการอ้างอิงแบบสัมพันธ์) ดังนั้นเราจึงสามารถอ้างถึงเซลล์ใดเซลล์หนึ่งในบรรทัดแรก คัดลอกและลากไปยังจุดสิ้นสุดของรายการ รายการทั้งหมดจะอ้างอิงถึงเซลล์ที่มีลิงก์สัมบูรณ์ที่ถูกต้อง ดังนั้น เมื่อเซลล์นี้เปลี่ยนแปลง ทั้งคอลัมน์หรือแถวก็จะเปลี่ยนไป
งานด้านการศึกษา:
ความรู้และทักษะพื้นฐาน มีความเข้าใจวิธีการโดยประมาณในการคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตโดยใช้สูตรสี่เหลี่ยมและสี่เหลี่ยมคางหมู
จัดให้มีชั้นเรียน
ประเภทของบทเรียน บูรณาการในทางปฏิบัติ
แรงจูงใจ กิจกรรมการเรียนรู้นักเรียน. บ่อยครั้งที่จำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัลจำกัดจำนวนซึ่งไม่สามารถหาแอนติเดริเวทีฟได้ ในกรณีนี้ จะใช้วิธีการโดยประมาณในการคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขต บางครั้งวิธีการโดยประมาณยังใช้สำหรับอินทิกรัล "ที่นำมา" ด้วย หากการคำนวณโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซนั้นไม่มีเหตุผล แนวคิดในการคำนวณอินทิกรัลโดยประมาณคือเส้นโค้งจะถูกแทนที่ด้วยเส้นโค้งใหม่ที่ "ใกล้" เพียงพอ ขึ้นอยู่กับการเลือกเส้นโค้งใหม่ สามารถใช้สูตรการรวมโดยประมาณหนึ่งหรือหลายสูตรได้
ลำดับของบทเรียน
แผนการสอน
ทำซ้ำกับนักเรียน: สูตรพื้นฐานของอินทิเกรต, สาระสำคัญของวิธีการอินทิเกรตที่ศึกษา, ความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลที่แน่นอน
ทางออกของหลายๆคน ปัญหาทางเทคนิคอยู่ที่การคำนวณอินทิกรัลบางค่า ซึ่งเป็นนิพจน์ที่ซับซ้อน ต้องใช้การคำนวณที่ใช้เวลานาน และในทางปฏิบัติอาจไม่สมเหตุสมผลเสมอไป ที่นี่ค่าโดยประมาณก็เพียงพอแล้ว
ตัวอย่างเช่น คุณต้องคำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรงซึ่งไม่ทราบสมการ ในกรณีนี้คุณสามารถแทนที่บรรทัดนี้ด้วยบรรทัดที่ง่ายกว่าซึ่งเป็นที่รู้จักของสมการ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ได้รับในลักษณะนี้ถือเป็นค่าโดยประมาณของอินทิกรัลที่ต้องการ
วิธีการประมาณที่ง่ายที่สุดคือวิธีสี่เหลี่ยม ในเชิงเรขาคณิต แนวคิดของวิธีคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตโดยใช้สูตรสี่เหลี่ยมคือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง เอบีซีดีจะถูกแทนที่ด้วยผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยม ด้านหนึ่งเท่ากับ และอีกด้านหนึ่ง -
หากเราสรุปพื้นที่สี่เหลี่ยมที่แสดงพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งโดยมีข้อเสีย [รูปที่ 1] เราจะได้สูตร:
[รูปที่ 1]
จากนั้นเราจะได้สูตร: 
ถ้าเกิน
[รูปที่ 2]
ที่ 
ค่านิยม ใช่ 0, ใช่ 1,..., ใช่พบได้จากความเท่าเทียมกัน 
,
k = 0, 1..., น. สูตรเหล่านี้เรียกว่า สูตรสี่เหลี่ยมและให้ผลลัพธ์โดยประมาณ ด้วยการเพิ่มขึ้น nผลลัพธ์จะแม่นยำยิ่งขึ้น
ดังนั้น ในการหาค่าอินทิกรัลโดยประมาณ คุณต้องมี:
เพื่อค้นหาข้อผิดพลาดในการคำนวณ คุณต้องใช้สูตร:
ตัวอย่างที่ 1 คำนวณโดยใช้สูตรสี่เหลี่ยม ค้นหาข้อผิดพลาดสัมบูรณ์และข้อผิดพลาดในการคำนวณ
มาแบ่งส่วนกัน [ ก, ข] ออกเป็นหลายๆ ส่วน (เช่น 6) ส่วนเท่าๆ กัน แล้ว ก = 0, ข =
3
,
xk = ก + kx
เอ็กซ์ 0 = 2 + 0
= 2
เอ็กซ์ 1 = 2 + 1
= 2,5
เอ็กซ์ 2 = 2 + 2
=3
เอ็กซ์ 3 = 2 + 3
= 3
เอ็กซ์ 4 = 2 + 4
= 4
เอ็กซ์ 5 = 2 + 5
= 4,5
ฉ(x 0) = 2 2 = 4
ฉ
(x
1)
= 2
,5
2
=
6,25
ฉ
(x
2)
=
3 2
=
9
ฉ
(x
3)
=
3,5 2
=
12,25
ฉ
(x
4)
=
4 2
=
16
ฉ
(x
5)
=
4,5 2
=
20,25.
| เอ็กซ์ | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 | 4,5 |
| ที่ | 4 | 6,25 | 9 | 12,25 | 16 | 20,25 |
ตามสูตร (1):
ในการคำนวณข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของการคำนวณ จำเป็นต้องค้นหาค่าที่แน่นอนของอินทิกรัล:
การคำนวณใช้เวลานานและจบลงด้วยการปัดเศษที่ค่อนข้างหยาบ หากต้องการคำนวณอินทิกรัลนี้ด้วยการประมาณค่าที่น้อยลง คุณสามารถใช้ความสามารถทางเทคนิคของคอมพิวเตอร์ได้
หากต้องการค้นหาอินทิกรัลจำกัดโดยใช้วิธีสี่เหลี่ยมผืนผ้า คุณต้องป้อนค่าของอินทิกรัล ฉ(x)ไปยังแผ่นงาน Excel ในช่วง เอ็กซ์ด้วยขั้นตอนที่กำหนด เอ็กซ์= 0,1.
ตกลง. 39 กล่องโต้ตอบจำนวนเงินจะปรากฏขึ้น ใช้เมาส์ป้อนช่วงผลรวม B2:B31 ลงในช่องงาน กดปุ่ม
=
|39 - 37
,
955| = 1
,045
ตัวอย่างที่ 2 ในเซลล์ B33 ค่าโดยประมาณของอินทิกรัลที่ต้องการจะปรากฏขึ้นพร้อมกับข้อเสีย ( เอ็กซ์ = 0,05.
การเปรียบเทียบค่าประมาณที่ได้รับกับมูลค่าที่แท้จริงของอินทิกรัล ( 
) เราจะเห็นได้ว่าข้อผิดพลาดในการประมาณของวิธีสี่เหลี่ยมผืนผ้าในกรณีนี้เท่ากับ
ใช้วิธีสี่เหลี่ยมผืนผ้าคำนวณตามขั้นตอนที่กำหนด
การเปรียบเทียบค่าโดยประมาณที่ได้รับกับมูลค่าที่แท้จริงของอินทิกรัล
ตัวอย่างที่ 3 เราจะเห็นว่าข้อผิดพลาดในการประมาณของวิธีสี่เหลี่ยมในกรณีนี้เท่ากับ เอ็กซ์ = 0,1.
ในเซลล์ B34 ค่าโดยประมาณของอินทิกรัลที่ต้องการจะปรากฏขึ้นพร้อมกับข้อเสีย (
