โดยธรรมชาติแล้วทุกคนแสวงหาความรู้ (อริสโตเติล อภิปรัชญา)
ปัญหาในการแก้สมการเกิดขึ้นอย่างต่อเนื่องในทางปฏิบัติ เช่น ในทางเศรษฐศาสตร์ เมื่อพัฒนาธุรกิจ คุณต้องการทราบว่าเมื่อใดที่ผลกำไรจะถึงมูลค่าที่แน่นอน ในทางการแพทย์ เมื่อค้นคว้าการดำเนินการ ยาสิ่งสำคัญคือต้องรู้ว่าเมื่อความเข้มข้นของสารถึงระดับใด ระดับที่กำหนดฯลฯ
ในปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุด มักจำเป็นต้องกำหนดจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันกลายเป็น 0 ซึ่งก็คือ เงื่อนไขที่จำเป็น ท้องถิ่นสุดขั้ว
ในสถิติ เมื่อสร้างการประมาณโดยใช้วิธีกำลังสองน้อยที่สุดหรือวิธีความน่าจะเป็นสูงสุด คุณจะต้องแก้สมการไม่เชิงเส้นและระบบสมการด้วย
ดังนั้นปัญหาทั้งระดับจึงเกิดขึ้นที่เกี่ยวข้องกับการค้นหาวิธีแก้ไข ไม่เชิงเส้นสมการ เช่น สมการหรือสมการ เป็นต้น
ในกรณีที่ง่ายที่สุด เรามีฟังก์ชันที่กำหนดไว้ในช่วงเวลา ( ก, b ) และรับค่าบางอย่าง
แต่ละค่า x จากส่วนนี้เราสามารถเปรียบเทียบจำนวนได้นี่คือ ใช้งานได้การพึ่งพาอาศัยกันซึ่งเป็นแนวคิดหลักในวิชาคณิตศาสตร์
เราจำเป็นต้องค้นหาค่าซึ่งเรียกว่ารากของฟังก์ชัน
เราต้องกำหนดจุดตัดของกราฟฟังก์ชันด้วยสายตากับแกนแอบซิสซา
วิธีที่ง่ายที่สุดในการค้นหารากของสมการคือวิธีการแบ่งครึ่งหรือ ขั้ว.
วิธีนี้ใช้งานง่ายและทุกคนก็จะปฏิบัติในลักษณะเดียวกันเมื่อแก้ไขปัญหา
อัลกอริธึมมีดังนี้
สมมติว่าเราพบสองจุด และ เพื่อให้พวกเขามี แตกต่างสัญญาณ จากนั้นจะมีรากของฟังก์ชันอย่างน้อยหนึ่งรายการระหว่างจุดเหล่านี้
แบ่งส่วนออกครึ่งหนึ่งแล้วเข้าไป เฉลี่ยจุด .
แล้วอย่างใดอย่างหนึ่ง 
, หรือ 
.
ให้เราปล่อยครึ่งหนึ่งของเซ็กเมนต์ที่มีค่าที่ส่วนท้ายไว้ สัญญาณที่แตกต่างกัน- ตอนนี้เราแบ่งส่วนนี้ออกเป็นสองส่วนอีกครั้งและปล่อยให้ส่วนนั้นอยู่ในขอบเขตที่ฟังก์ชันมีเครื่องหมายต่างกันและอื่น ๆ เพื่อให้ได้ความแม่นยำที่ต้องการ
แน่นอนว่าเราจะค่อยๆ จำกัดพื้นที่ซึ่งเป็นที่ตั้งของรากของฟังก์ชันให้แคบลง และด้วยเหตุนี้ เราจะกำหนดมันด้วยความแม่นยำระดับหนึ่ง
โปรดทราบว่าอัลกอริทึมที่อธิบายไว้นั้นใช้ได้กับฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆ
ข้อดีของวิธีการแบ่งครึ่งคือความน่าเชื่อถือและความเรียบง่ายสูง
ข้อเสียของวิธีนี้คือก่อนที่คุณจะเริ่มใช้งานคุณจะต้องค้นหาจุดสองจุดโดยที่ค่าฟังก์ชันมีเครื่องหมายต่างกัน เห็นได้ชัดว่าวิธีนี้ใช้ไม่ได้กับรากที่มีหลายหลากเท่ากัน และไม่สามารถสรุปได้ทั่วไปในกรณีของรากที่ซับซ้อนและระบบสมการ
ลำดับของการบรรจบกันของวิธีการเป็นแบบเส้นตรง ในแต่ละขั้นตอนความแม่นยำจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า ยิ่งมีการวนซ้ำมากเท่าใด รากก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น
วิธีการคลาสสิกของนิวตันหรือ แทนเจนต์ก็คือถ้าเป็นการประมาณค่ารากของสมการ 
จากนั้นการประมาณถัดไปจะถูกกำหนดให้เป็นรากของแทนเจนต์ของฟังก์ชันที่วาดที่จุด
สมการแทนเจนต์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งจะมีรูปแบบดังนี้
ในสมการแทนเจนต์เราใส่ และ .
จากนั้นอัลกอริทึมสำหรับการคำนวณตามลำดับในวิธีของนิวตันจะเป็นดังนี้:
การลู่เข้าของวิธีแทนเจนต์เป็นแบบกำลังสอง ลำดับของการลู่เข้าคือ 2
ดังนั้นการบรรจบกันของวิธีแทนเจนต์ของนิวตันจึงรวดเร็วมาก
จำความจริงอันมหัศจรรย์นี้ไว้!
โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ วิธีการจะมีลักษณะทั่วไปสำหรับกรณีที่ซับซ้อน
ถ้ารากเป็นรากของการคูณที่สองหรือสูงกว่า ลำดับของการบรรจบกันจะลดลงและกลายเป็นเส้นตรง
แบบฝึกหัดที่ 1- ใช้วิธีแทนเจนต์ หาคำตอบของสมการในส่วน (0, 2)
แบบฝึกหัดที่ 2ใช้วิธีแทนเจนต์ หาคำตอบของสมการในส่วน (1, 3)
ข้อเสียของวิธีการของนิวตันรวมถึงบริเวณนั้นด้วย เนื่องจากรับประกันว่าจะมาบรรจบกันเพื่อการประมาณเริ่มต้นโดยพลการก็ต่อเมื่อเงื่อนไขเป็นที่พอใจทุกที่ 
ในสถานการณ์ตรงกันข้าม การบรรจบกันเกิดขึ้นเฉพาะในพื้นที่ใกล้เคียงของรากเท่านั้น
ข้อเสียของวิธีของนิวตันคือต้องคำนวณอนุพันธ์ในแต่ละขั้นตอน
วิธีของนิวตัน (วิธีแทนเจนต์) จะใช้ถ้าสมการ ฉ(x) = 0 มีรูทและตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:
1) ฟังก์ชั่น ย= ฉ(x) กำหนดและต่อเนื่องที่ ;
2) ฉ(ก)· ฉ(ข) < 0 (ฟังก์ชันรับค่าของเครื่องหมายต่าง ๆ ที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์ [ ก; ข]);
3) อนุพันธ์ ฉ"(x) และ ฉ""(x) รักษาเครื่องหมายไว้ตามช่วงเวลา [ ก; ข] (เช่น function ฉ(x) เพิ่มขึ้นหรือลดลงในส่วน [ ก; ข] โดยยังคงรักษาทิศทางของความนูน)
แนวคิดหลักของวิธีการมีดังนี้: ในส่วน [ ก; ข] มีการเลือกหมายเลขดังกล่าว x 0 , ที่ที่ ฉ(x 0 ) มีเครื่องหมายเดียวกันกับ ฉ"" (x 0 ), กล่าวคือ เงื่อนไขเป็นที่พอใจ ฉ(x 0 )· ฉ"" (x) > 0 - ดังนั้นจึงเลือกจุดที่มี abscissa x 0 ซึ่งแทนเจนต์กับเส้นโค้ง ย= ฉ(x) บนส่วน [ ก; ข] ตัดแกน วัว- ต่อจุด x 0 ขั้นแรก สะดวกในการเลือกปลายด้านใดด้านหนึ่งของเซ็กเมนต์
ลองพิจารณาวิธีของนิวตันโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ
ให้เราได้รับฟังก์ชันเพิ่มขึ้น y = ฉ(x) = x 2 -2,ต่อเนื่องในส่วน (0;2) และมี ฉ"(เอ็กซ์) = 2 x > 0 และ ฉ "" (x) = 2 > 0 .
การวาดภาพ1 - ฉ(x) =x 2 -2
สมการแทนเจนต์ใน มุมมองทั่วไปมีความคิด:
ป-ป 0 = ฉ" (x 0)·(x-x 0)
ในกรณีของเรา: ปปป 0 =2x 0 ·(x-x 0)สำหรับจุด x 0 เราเลือกจุด ข 1 (ข; ฉ(ข)) = (2,2)วาดแทนเจนต์ให้กับฟังก์ชัน ย = ฉ(x)ที่จุด B 1 และแสดงถึงจุดตัดของเส้นสัมผัสกันและแกน วัวจุด x1- เราได้สมการของแทนเจนต์แรก: y-2=2·2(x-2), y=4x-6
อ็อกซ์: x 1 =
การวาดภาพ2. ผลลัพธ์ของการทำซ้ำครั้งแรก
y=ฉ(x) วัวผ่านจุด x1เราเข้าใจประเด็นแล้ว ข 2 =(1.5; 0.25)- วาดแทนเจนต์ให้กับฟังก์ชันอีกครั้ง ย = ฉ(x)ที่จุด B 2 และแสดงถึงจุดตัดของเส้นสัมผัสกันและแกน วัวจุด x2.
สมการของแทนเจนต์ที่สอง: ย-0.25=2*1.5(x-1.5), ย = 3 x - 4.25.
จุดตัดของแทนเจนต์และแกน อ็อกซ์: x 2 =.
การวาดภาพ3. การทำซ้ำวิธีของนิวตันครั้งที่สอง
จากนั้นเราจะหาจุดตัดของฟังก์ชัน y=ฉ(x)และตั้งฉากกับแกน วัวผ่านจุด x 2 เราจะได้จุด B 3 ไปเรื่อยๆ
การวาดภาพ4. ขั้นตอนที่สามของวิธีแทนเจนต์
การประมาณรากครั้งแรกถูกกำหนดโดยสูตร:
= 1.5.
การประมาณรากที่สองถูกกำหนดโดยสูตร:
=
การประมาณรากที่สามถูกกำหนดโดยสูตร:
ดังนั้น , ฉันการประมาณรากครั้งที่ 2 ถูกกำหนดโดยสูตร:
การคำนวณจะดำเนินการจนกระทั่งถึงตำแหน่งทศนิยมที่จำเป็นในการจับคู่คำตอบหรือบรรลุความแม่นยำที่ระบุ e - จนกว่าความไม่เท่าเทียมกันจะเป็นที่พอใจ | ซี- ซี-1 | < จ.
ในกรณีของเรา ลองเปรียบเทียบค่าประมาณที่ได้รับในขั้นตอนที่สามกับคำตอบจริงที่คำนวณด้วยเครื่องคิดเลข:
รูปที่ 5 รากของ 2 คำนวณจากเครื่องคิดเลข
อย่างที่คุณเห็นในขั้นตอนที่สามเราได้รับข้อผิดพลาดน้อยกว่า 0.000002
ด้วยวิธีนี้ คุณสามารถคำนวณค่าของค่า "รากที่สองของ 2" ได้อย่างแม่นยำในระดับใดก็ได้ วิธีการอันน่าทึ่งนี้คิดค้นโดยนิวตัน และช่วยให้คุณค้นหารากของสมการที่ซับซ้อนมากได้
ในบทความนี้ เราจะทำให้กระบวนการคำนวณรากของสมการเป็นแบบอัตโนมัติโดยการเขียนแอปพลิเคชันคอนโซลใน C++ เราจะพัฒนามันใน Visual C++ 2010 Express ซึ่งเป็นสภาพแวดล้อมการพัฒนา C++ ฟรีและสะดวกมาก
ก่อนอื่น มาเปิดตัว Visual C++ 2010 Express กันก่อน จะปรากฏขึ้น หน้าต่างเริ่มต้นโปรแกรม ที่มุมซ้ายคลิก "สร้างโครงการ"
ข้าว. 1. หน้าแรกของ Visual C++ 2010 Express
ในเมนูที่ปรากฏขึ้น ให้เลือก "แอปพลิเคชันคอนโซล Win32" และป้อนชื่อแอปพลิเคชัน "Newton_Method"
ข้าว. 2. สร้างโครงการ
|
// วิธีการ Newton.cpp: กำหนดจุดเริ่มต้นสำหรับแอปพลิเคชันคอนโซล #รวม "stdafx.h" #รวม ใช้เนมสเปซมาตรฐาน; float f(double x) // ส่งกลับค่าของฟังก์ชัน f(x) = x^2-2 float df(float x) // ส่งคืนค่าอนุพันธ์ float d2f(float x) // ค่าของอนุพันธ์อันดับสอง int _tmain (int argc, _TCHAR * argv) int exit = 0, i=0;//ตัวแปรสำหรับทางออกและลูป x0,xn;//การประมาณค่ารากที่คำนวณแล้ว double a, b, eps; // ขอบเขตของส่วนและความแม่นยำที่ต้องการ ศาล<<"Please input \n=>"; ซิน>>ก>>ข; // ป้อนขอบเขตของส่วนที่เราจะค้นหารูท ศาล<<"\nPlease input epsilon\n=>"; ซิน>>อีพีเอส; // ป้อนความแม่นยำในการคำนวณที่ต้องการ ถ้า (a > b) // ถ้าผู้ใช้ผสมขอบเขตของเซ็กเมนต์ ให้สลับมัน ถ้า (f(a)*f(b)>0) // ถ้าสัญญาณของฟังก์ชันที่ขอบของเซ็กเมนต์เหมือนกัน แสดงว่าไม่มีรูทที่นี่ ศาล<<"\nError! No roots in this interval\n"; ถ้า (f(a)*d2f(a)>0) x0 = a; // เพื่อเลือกจุดเริ่มต้น ให้ตรวจสอบ f(x0)*d2f(x0)>0 ? xn = x0-f(x0)/df(x0); // พิจารณาการประมาณค่าแรก ศาล<<++i<<"-th iteration = "< while(fabs(x0-xn) > eps) // จะคำนวณต่อไปจนกว่าเราจะได้ความแม่นยำที่ต้องการ xn = x0-f(x0)/df(x0); // สูตรของนิวตันโดยตรง ศาล<<++i<<"-th iteration = "< ศาล<<"\nRoot = "< ศาล<<"\nExit?=>"; ) ในขณะที่ (ออก!=1); // จนกว่าผู้ใช้จะเข้า exit = 1 |
มาดูกันว่ามันทำงานอย่างไร คลิกที่สามเหลี่ยมสีเขียวที่มุมซ้ายบนของหน้าจอ หรือกดปุ่ม F5
หากข้อผิดพลาดในการคอมไพล์เกิดขึ้น “ข้อผิดพลาดข้อผิดพลาด LNK1123: ไม่สามารถแปลงเป็น COFF: ไฟล์ไม่ถูกต้องหรือเสียหาย” สามารถแก้ไขได้โดยการติดตั้ง Service Pack 1 แรก หรือในคุณสมบัติการตั้งค่าโปรเจ็กต์ -> Linker ที่ปิดใช้งานการลิงก์ส่วนเพิ่ม
ข้าว. 4. การแก้ไขข้อผิดพลาดในการคอมไพล์โครงการ
เราจะค้นหารากของฟังก์ชัน ฉ(x) =x2-2.
ขั้นแรก เรามาตรวจสอบประสิทธิภาพของแอปพลิเคชันกับข้อมูลอินพุตที่ "ผิด" ไม่มีรากในส่วนนี้ โปรแกรมของเราควรแสดงข้อความแสดงข้อผิดพลาด
ตอนนี้เรามีหน้าต่างแอปพลิเคชัน:
ข้าว. 5. การป้อนข้อมูลเข้า
ให้เราแนะนำขอบเขตของส่วนที่ 3 และ 5 และความแม่นยำคือ 0.05 ตามที่คาดไว้ โปรแกรมสร้างข้อความแสดงข้อผิดพลาดว่าไม่มีรากในส่วนนี้
ข้าว. 6. ข้อผิดพลาด “ไม่มีรากในส่วนนี้!”
เรายังไม่ออกไปไหน แล้วข้อความ "ออก" ล่ะ ป้อน “0”
ตอนนี้เรามาตรวจสอบแอปพลิเคชันโดยใช้ข้อมูลอินพุตที่ถูกต้อง เข้าสู่ส่วนและความแม่นยำ 0.0001 กัน
ข้าว. 7. การคำนวณรูตด้วยความแม่นยำที่ต้องการ
ดังที่เราเห็นแล้วว่าได้รับความแม่นยำที่ต้องการแล้วในการวนซ้ำครั้งที่ 4
หากต้องการออกจากแอปพลิเคชัน ให้ป้อน “Exit?” => 1.
เพื่อหลีกเลี่ยงการคำนวณอนุพันธ์ วิธีของนิวตันสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้โดยการแทนที่อนุพันธ์ด้วยการประมาณที่คำนวณจากสองจุดก่อนหน้า:
กระบวนการทำซ้ำมีลักษณะดังนี้:
นี่เป็นกระบวนการวนซ้ำสองขั้นตอนเนื่องจากใช้สองขั้นตอนก่อนหน้าเพื่อค้นหาการประมาณถัดไป
ลำดับของการบรรจบกันของวิธีเซแคนต์นั้นต่ำกว่าลำดับของการลู่เข้าของวิธีแทนเจนต์และเท่ากันในกรณีของรูทเดี่ยว
ปริมาณที่น่าทึ่งนี้เรียกว่าอัตราส่วนทองคำ:
ให้เราตรวจสอบสิ่งนี้โดยสมมุติเพื่อความสะดวกว่า
ดังนั้นจนถึงลำดับที่สูงกว่า
เมื่อละทิ้งเทอมที่เหลือ เราจะได้ความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ ซึ่งเป็นวิธีแก้ปัญหาที่ค้นหาตามธรรมชาติในรูปแบบ
หลังจากการทดแทนเรามี: และ 
เพื่อการบรรจบกัน จำเป็นต้องเป็นบวก ดังนั้น .
เนื่องจากไม่จำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์ ด้วยจำนวนการคำนวณที่เท่ากันในวิธีเซคแคนต์ (แม้จะมีลำดับการลู่เข้าที่ต่ำกว่า) เราจึงสามารถได้รับความแม่นยำมากกว่าในวิธีแทนเจนต์
โปรดทราบว่าใกล้กับรูทคุณต้องหารด้วยจำนวนเล็กน้อยซึ่งจะทำให้สูญเสียความแม่นยำ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีที่มีหลายรูท) ดังนั้นเมื่อเลือกจำนวนที่ค่อนข้างน้อยแล้วให้ทำการคำนวณก่อนดำเนินการ 
และทำต่อไปจนกว่าโมดูลัสของความแตกต่างระหว่างการประมาณใกล้เคียงจะลดลง
ทันทีที่การเติบโตเริ่มต้น การคำนวณจะหยุดลงและจะไม่ใช้การวนซ้ำครั้งล่าสุด
ขั้นตอนในการกำหนดจุดสิ้นสุดของการวนซ้ำนี้เรียกว่าวิธีการ กาวิกา.
ลองพิจารณาวิธีการสามขั้นตอนซึ่งการประมาณจะถูกกำหนดโดยจุดสามจุดก่อนหน้า และ
ในการทำเช่นนี้ เราจะแทนที่ฟังก์ชันด้วยพาราโบลาการประมาณค่าที่ผ่านจุดต่างๆ ในทำนองเดียวกันกับวิธีตัดค่า และ
ในรูปของนิวตันดูเหมือนว่า:
จุดถูกกำหนดให้เป็นหนึ่งในรากของพหุนามนี้ที่มีค่าสัมบูรณ์ใกล้กับจุดมากกว่า
ลำดับการบรรจบกันของวิธีพาราโบลานั้นสูงกว่าลำดับการบรรจบกันของวิธีเซแคนต์ แต่ต่ำกว่าลำดับของวิธีของนิวตัน
ข้อแตกต่างที่สำคัญจากวิธีที่พิจารณาก่อนหน้านี้คือความจริงที่ว่า แม้ว่าค่าจริงสำหรับค่าจริงและการประมาณเริ่มต้นจะถูกเลือกให้เป็นค่าจริง แต่วิธีพาราโบลาก็สามารถนำไปสู่รากที่ซับซ้อนของปัญหาเดิมได้
วิธีนี้สะดวกมากในการค้นหารากของพหุนามระดับสูง
ปัญหาในการหาคำตอบของสมการสามารถกำหนดได้ว่าเป็นปัญหาในการหาราก: หรือเป็นปัญหาในการหาจุดคงที่
อนุญาต 
และ - การบีบอัด: (โดยเฉพาะอย่างยิ่งความจริงที่ว่า - การบีบอัด ดังที่เห็นได้ง่ายหมายความว่าเป็นเช่นนั้น)
ตามทฤษฎีบทของบานาค มีจุดคงที่เฉพาะจุดหนึ่ง
สามารถพบได้ว่าเป็นขีดจำกัดของกระบวนการวนซ้ำอย่างง่าย
โดยที่การประมาณเริ่มต้นเป็นจุดใดก็ได้ในช่วงเวลา
หากฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้ ตัวเลข จะเป็นเกณฑ์การบีบอัดที่สะดวก ตามทฤษฎีบทของลากรองจ์
ดังนั้นหากอนุพันธ์น้อยกว่า 1 ก็จะเป็นการบีบอัด
เงื่อนไข 
เป็นสิ่งจำเป็น เพราะถ้า ตัวอย่างเช่น บน แล้วไม่มีจุดคงที่ แม้ว่าอนุพันธ์จะเท่ากับศูนย์ก็ตาม ความเร็วของการบรรจบกันขึ้นอยู่กับค่าของ ยิ่งเล็กเท่าไร การบรรจบกันก็จะเร็วขึ้นเท่านั้น
ในขณะที่ต้องดิ้นรนที่โรงเรียนด้วยการแก้สมการในบทเรียนคณิตศาสตร์ นักเรียนหลายคนมักจะเชื่อว่าพวกเขากำลังเสียเวลาไปโดยเปล่าประโยชน์ แต่ทักษะดังกล่าวจะมีประโยชน์ในชีวิตไม่เพียงเฉพาะกับผู้ที่ตัดสินใจเดินตามรอยของเดส์การตส์เท่านั้น ออยเลอร์หรือโลบาเชฟสกี
ในทางปฏิบัติ เช่น ในด้านการแพทย์หรือเศรษฐศาสตร์ มักจะมีสถานการณ์ที่ผู้เชี่ยวชาญจำเป็นต้องค้นหาว่าเมื่อใดที่ความเข้มข้นของสารออกฤทธิ์ของยาตัวใดตัวหนึ่งจะถึงระดับที่ต้องการในเลือดของผู้ป่วย หรือจำเป็นต้องคำนวณเวลาที่ต้องใช้สำหรับ ธุรกิจเฉพาะเพื่อให้มีกำไร
บ่อยครั้งที่เรากำลังพูดถึงการแก้สมการไม่เชิงเส้นประเภทต่างๆ วิธีการเชิงตัวเลขช่วยให้ดำเนินการได้เร็วที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ โดยเฉพาะการใช้คอมพิวเตอร์ พวกเขาได้รับการศึกษาอย่างดีและพิสูจน์ประสิทธิภาพมายาวนาน ซึ่งรวมถึงวิธีแทนเจนต์ของนิวตันซึ่งเป็นหัวข้อของบทความนี้ด้วย
ในกรณีนี้มีฟังก์ชัน g ซึ่งถูกกำหนดไว้ในเซ็กเมนต์ (a, b) และรับค่าบางอย่างกับมันนั่นคือแต่ละ x ที่เป็นของ (a, b) สามารถเชื่อมโยงกับตัวเลขเฉพาะ g (x).
จำเป็นต้องสร้างรากทั้งหมดของสมการจากช่วงเวลาระหว่างจุด a และ b (รวมถึงจุดสิ้นสุด) ซึ่งฟังก์ชันถูกตั้งค่าเป็นศูนย์ แน่นอนว่าสิ่งเหล่านี้คือจุดตัดกันของ y = g(x) กับ OX
ในบางกรณี จะสะดวกกว่าถ้าแทนที่ g(x)=0 ด้วยค่าที่คล้ายกัน เช่น g 1 (x) = g 2 (x) ในกรณีนี้ abscissas (ค่า x) ของจุดตัดกันของกราฟ g 1 (x) และ g 2 (x) ทำหน้าที่เป็นราก
การแก้สมการไม่เชิงเส้นยังมีความสำคัญต่อปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุด โดยมีเงื่อนไขสำหรับค่าสุดขีดเฉพาะที่คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันเปลี่ยนเป็น 0 กล่าวอีกนัยหนึ่ง ปัญหาดังกล่าวสามารถลดลงได้โดยการค้นหารากของสมการ p(x) = 0 โดยที่ p(x) เหมือนกับ g"(x)
สำหรับสมการไม่เชิงเส้นบางประเภท เช่น สมการกำลังสองหรือสมการตรีโกณมิติอย่างง่าย สามารถหารากได้ด้วยวิธีที่ค่อนข้างง่าย โดยเฉพาะอย่างยิ่งเด็กนักเรียนทุกคนรู้สูตรที่สามารถใช้เพื่อค้นหาค่าของการโต้แย้งของจุดที่ตรีโกณมิติกำลังสองหายไปได้อย่างง่ายดาย
วิธีการแยกรากของสมการไม่เชิงเส้นมักจะแบ่งออกเป็นการวิเคราะห์ (โดยตรง) และวนซ้ำ ในกรณีแรก วิธีแก้ปัญหาที่ต้องการมีรูปแบบของสูตร ซึ่งในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์จำนวนหนึ่ง เราสามารถหาค่าของรากที่ต้องการได้ วิธีการที่คล้ายกันนี้ได้รับการพัฒนาสำหรับสมการเอกซ์โปเนนเชียล ตรีโกณมิติ ลอการิทึม และพีชคณิตอย่างง่าย ส่วนที่เหลือคุณต้องใช้วิธีตัวเลขพิเศษ ใช้งานง่ายโดยใช้คอมพิวเตอร์ซึ่งช่วยให้คุณสามารถค้นหารากได้อย่างแม่นยำ
ซึ่งรวมถึงวิธีที่เรียกว่าวิธีแทนเจนต์เชิงตัวเลข วิธีหลังเสนอโดยนักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ ไอแซก นิวตัน เมื่อปลายศตวรรษที่ 17 ในศตวรรษต่อมา วิธีการนี้ได้รับการปรับปรุงซ้ำแล้วซ้ำอีก
วิธีการเชิงตัวเลขในการแก้สมการที่ซับซ้อนซึ่งไม่มีคำตอบเชิงวิเคราะห์มักจะดำเนินการใน 2 ขั้นตอน ก่อนอื่นคุณต้องแปลเป็นภาษาท้องถิ่นก่อน การดำเนินการนี้ประกอบด้วยการค้นหาส่วนต่างๆ บน OX ซึ่งมีรากหนึ่งของสมการที่กำลังแก้อยู่
ลองพิจารณาส่วนนี้ ถ้า g(x) ไม่มีความไม่ต่อเนื่องและรับค่าของเครื่องหมายต่าง ๆ ที่จุดสิ้นสุด ดังนั้นระหว่าง a และ b หรือในนั้นจะมีอย่างน้อย 1 รากของสมการ g(x) = 0 เพื่อให้มัน ต้องไม่ซ้ำกัน โดยที่ g(x) ต้องไม่ซ้ำซากจำเจ ดังที่ทราบกันดีว่า มันจะมีคุณสมบัตินี้ โดยมีเงื่อนไขว่าเครื่องหมายของ g’(x) คงที่
กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้า g(x) ไม่มีความไม่ต่อเนื่องและเพิ่มหรือลดลงอย่างซ้ำซากจำเจและค่าของมันที่จุดสิ้นสุดไม่มีสัญญาณเหมือนกันก็จะมี 1 และเพียง 1 รากของ g(x)
อย่างไรก็ตาม คุณควรรู้ว่าเกณฑ์นี้ใช้ไม่ได้กับรากของสมการที่มีหลายค่า
ก่อนที่จะพิจารณาแทนเจนต์ตัวเลขที่ซับซ้อนและความหลากหลายของมัน ควรทำความคุ้นเคยกับวิธีที่ง่ายที่สุดในการระบุราก มันถูกเรียกว่า dichotomy และหมายถึงการค้นหารากโดยสัญชาตญาณตามทฤษฎีบทที่ว่า ถ้าสำหรับ g(x) ซึ่งเป็นค่าที่ต่อเนื่องกัน สภาพของสัญญาณต่างๆ จะเป็นที่น่าพอใจ จากนั้นบนส่วนที่พิจารณาจะมีอย่างน้อย 1 ราก g( x) = 0
หากต้องการค้นหา คุณต้องแบ่งส่วนนั้นออกครึ่งหนึ่งและกำหนดจุดกึ่งกลางเป็น x 2 จากนั้นมีสองตัวเลือกที่เป็นไปได้: g(x 0) * g(x 2) หรือ g(x 2) * g(x 1) เท่ากับหรือน้อยกว่า 0 เราเลือกอันที่หนึ่งในอสมการเหล่านี้เป็นจริง เราทำซ้ำขั้นตอนที่อธิบายไว้ข้างต้นจนกว่าความยาวจะน้อยกว่าค่าที่เลือกไว้ล่วงหน้าซึ่งกำหนดความแม่นยำในการกำหนดรากของสมการบน
ข้อดีของวิธีนี้คือความน่าเชื่อถือและความเรียบง่าย แต่ข้อเสียคือจำเป็นต้องระบุจุดที่ g(x) ใช้เครื่องหมายต่างกันในตอนแรก ดังนั้นจึงไม่สามารถใช้กับรากของการทวีคูณคู่ได้ นอกจากนี้ยังไม่ได้กล่าวถึงกรณีของระบบสมการหรือหากเรากำลังพูดถึงรากที่ซับซ้อน
ให้เราอยากแก้สมการ g(x) = 2x 5 + x - 1 = 0 เพื่อไม่ให้ใช้เวลานานในการค้นหาส่วนที่เหมาะสม เราสร้างกราฟโดยใช้ เช่น โปรแกรม Excel ที่รู้จักกันดี . เราเห็นว่าเป็นการดีกว่าถ้าใช้ค่าจากช่วงเวลาเป็นส่วนสำหรับการแปลรูท เรามั่นใจได้ว่ามีรากของสมการที่ต้องการอย่างน้อยหนึ่งอัน
g"(x) = 10x 4 + 1 เช่น นี่คือฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นแบบซ้ำซากจำเจ ดังนั้นจึงมีเพียง 1 รูตในส่วนที่เลือก
เราแทนจุดสิ้นสุดลงในสมการ เรามี 0 และ 1 ตามลำดับ ในขั้นตอนแรก เราใช้จุด 0.5 เป็นวิธีแก้ปัญหา จากนั้น g(0.5) = -0.4375 ซึ่งหมายความว่าส่วนถัดไปสำหรับการลดลงครึ่งหนึ่งจะเป็น จุดกึ่งกลางของมันคือ 0.75 ในนั้นค่าของฟังก์ชันคือ 0.226 เราพิจารณาส่วนและส่วนตรงกลางซึ่งอยู่ที่จุด 0.625 เราคำนวณค่าของ g(x) ให้เป็น 0.625 มันเท่ากับ -0.11 เช่น ลบ จากผลลัพธ์นี้ เราเลือกเซ็กเมนต์ เราได้ x = 0.6875 จากนั้น g(x) = -0.00532 หากความแม่นยำของสารละลายคือ 0.01 เราก็สามารถสรุปได้ว่าผลลัพธ์ที่ต้องการคือ 0.6875
วิธีการหารากโดยใช้วิธีแทนเจนต์ของนิวตันนี้เป็นที่นิยมเนื่องจากมีการบรรจบกันเร็วมาก
ขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่พิสูจน์แล้วว่า ถ้า xn เป็นการประมาณค่าราก f(x) = 0 โดยที่ f" C 1 การประมาณครั้งต่อไปจะอยู่ที่จุดที่สมการของแทนเจนต์ถึง f(x) เป็นศูนย์ เช่น
แทน x = x n+1 และกำหนดให้ y เป็นศูนย์
จากนั้นแทนเจนต์จะมีลักษณะดังนี้:
เรามาลองใช้วิธีแทนเจนต์แบบคลาสสิกของนิวตันแล้วหาคำตอบของสมการไม่เชิงเส้นที่ยากหรือเป็นไปไม่ได้ในการวิเคราะห์
ปล่อยให้จำเป็นต้องระบุรากของ x 3 + 4x - 3 = 0 ด้วยความแม่นยำบางอย่าง เช่น 0.001 ดังที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่ากราฟของฟังก์ชันใด ๆ ในรูปแบบของพหุนามระดับคี่จะต้องตัดแกน OX อย่างน้อยหนึ่งครั้งนั่นคือ ไม่มีข้อสงสัยเกี่ยวกับการมีอยู่ของราก
ก่อนที่จะแก้ตัวอย่างของเราโดยใช้วิธีแทนเจนต์ เราจะสร้างกราฟ f(x) = x 3 + 4x - 3 ตามจุด ซึ่งทำได้ง่ายมาก เช่น การใช้ตัวประมวลผลสเปรดชีต Excel จากกราฟผลลัพธ์จะชัดเจนว่าไม่ตัดกับแกน OX และฟังก์ชัน y = x 3 + 4x - 3 เพิ่มขึ้นแบบซ้ำซากจำเจ เรามั่นใจได้ว่าสมการ x 3 + 4x - 3 = 0 มีคำตอบและมันไม่ซ้ำกัน
การแก้สมการใด ๆ โดยวิธีแทนเจนต์เริ่มต้นด้วยการคำนวณ f "(x) เรามี:
จากนั้นอนุพันธ์อันดับสองจะเป็น x * 6
เมื่อใช้นิพจน์เหล่านี้ เราสามารถเขียนสูตรสำหรับระบุรากของสมการโดยใช้วิธีแทนเจนต์ในรูปแบบ:
ถัดไป คุณต้องเลือกการประมาณเบื้องต้น เช่น ตัดสินใจว่าจุดใดที่จะพิจารณาเป็นจุดเริ่มต้น (ปริมาตร x 0) สำหรับกระบวนการวนซ้ำ เราพิจารณาจุดสิ้นสุดของส่วน เราจะใช้อันที่มีเงื่อนไขว่าฟังก์ชันและอนุพันธ์อันดับ 2 ที่ x 0 มีเครื่องหมายต่างกันเป็นจริง อย่างที่เราเห็นเมื่อแทน x 0 = 0 มันใช้งานไม่ได้ แต่ x 0 = 1 ค่อนข้างเหมาะสม
ถ้าเราสนใจที่จะแก้วิธีแทนเจนต์ด้วยความแม่นยำ e ดังนั้นค่า x n ก็ถือได้ว่าเป็นไปตามข้อกำหนดของปัญหา โดยมีเงื่อนไขว่าอสมการ |f(x n) / f’(x n) |< e.
ที่ขั้นตอนสัมผัสแรกเรามี:
คุณสามารถแก้ไขตัวอย่างก่อนหน้านี้ได้ง่ายกว่าและเร็วกว่ามากหากคุณไม่ได้คำนวณด้วยตนเอง (บนเครื่องคิดเลข) แต่ใช้ความสามารถของตัวประมวลผลสเปรดชีตจาก Microsoft
ในการทำเช่นนี้คุณจะต้องสร้างหน้าใหม่ใน Excel และเติมเซลล์ด้วยสูตรต่อไปนี้:
ในปัญหาเฉพาะ คำจารึก "การวนซ้ำเสร็จสมบูรณ์" จะปรากฏในเซลล์ B10 และเพื่อแก้ปัญหา คุณจะต้องใช้ตัวเลขที่เขียนในเซลล์ที่อยู่หนึ่งบรรทัดด้านบน คุณยังสามารถเลือกคอลัมน์ "ยืดได้" แยกต่างหากได้โดยการป้อนเงื่อนไขของสูตรที่นั่น ตามที่ผลลัพธ์จะถูกเขียนไว้ที่นั่น หากเนื้อหาในเซลล์หนึ่งเซลล์หรือเซลล์อื่นของคอลัมน์ B อยู่ในรูปแบบ "การวนซ้ำเสร็จสมบูรณ์"
ลองหาคำตอบของสมการไม่เชิงเส้น y = x 4 - 4 - 2 * x โดยใช้วิธีแทนเจนต์ในภาษาปาสคาล
เราใช้ฟังก์ชันเสริมที่จะช่วยในการคำนวณโดยประมาณ f"(x) = (f(x + delta) - f(x)) / delta ตามเงื่อนไขในการดำเนินกระบวนการวนซ้ำให้เสร็จสิ้นเราเลือกการปฏิบัติตาม อสมการ |x 0 -x 1 |< некого малого числа. В Паскале его запишем, как abs(x0 - x1)<= epsilon.
โปรแกรมนี้มีความโดดเด่นตรงที่ไม่จำเป็นต้องคำนวณอนุพันธ์ด้วยตนเอง
ลองพิจารณาวิธีอื่นในการระบุรากของสมการไม่เชิงเส้น กระบวนการวนซ้ำประกอบด้วยความจริงที่ว่าเมื่อมีการประมาณต่อเนื่องกับรูตที่ต้องการสำหรับ f(x) = 0 ค่าของจุดตัดของคอร์ดกับ abscissa ของจุดสิ้นสุด a และ b กับ OX จะถูกนำมา แสดงว่า x 1, ..., xn เรามี:
สำหรับจุดที่คอร์ดตัดกับแกน OX นิพจน์จะถูกเขียนเป็น:
ให้อนุพันธ์อันดับสองเป็นบวกสำหรับ x £ (กรณีตรงกันข้ามจะลดลงเหลือกรณีที่กำลังพิจารณาหากเราเขียน f(x) = 0) ในกรณีนี้ กราฟ y = f(x) เป็นเส้นโค้ง นูนที่ด้านล่าง และอยู่ใต้คอร์ด เอบี- อาจมี 2 กรณี คือ เมื่อฟังก์ชันมีค่าบวกที่จุด a หรือมีค่าลบที่จุด b
ในกรณีแรก เราเลือกจุดสิ้นสุด a เป็นค่าคงที่ และนำจุด b เป็น x 0 จากนั้นการประมาณต่อเนื่องตามสูตรที่นำเสนอข้างต้นจะสร้างลำดับที่ลดลงแบบซ้ำซากจำเจ
ในกรณีที่สอง ปลาย b ถูกกำหนดไว้ที่ x 0 = a ค่า x ที่ได้รับในแต่ละขั้นตอนการวนซ้ำจะสร้างลำดับที่เพิ่มมากขึ้นแบบซ้ำซากจำเจ
ดังนั้นเราสามารถระบุได้ว่า:
การวนซ้ำสามารถดำเนินต่อไปได้จนกว่าจะตรงตามเงื่อนไขสำหรับความใกล้ชิดของราก ณ ที่นี้ และขั้นตอนการวนซ้ำก่อนหน้าแบบโมดูโล abs(x m - x m - 1)< e.
วิธีการรวมคอร์ดและแทนเจนต์ทำให้คุณสามารถสร้างรากของสมการได้โดยเข้าหารากจากด้านต่างๆ ค่านี้ซึ่งกราฟ f(x) ตัดกัน OX ช่วยให้คุณสามารถปรับแต่งคำตอบได้เร็วกว่าการใช้แต่ละวิธีแยกกัน
สมมติว่าเราจำเป็นต้องค้นหารากของ f(x)=0 หากมีอยู่บน คุณสามารถใช้วิธีใดก็ได้ที่อธิบายไว้ข้างต้น อย่างไรก็ตามควรลองใช้ทั้งสองอย่างร่วมกันซึ่งจะช่วยปรับปรุงความแม่นยำของรูตได้อย่างมาก
เราพิจารณากรณีที่มีการประมาณเริ่มต้นตามเงื่อนไขที่ว่าอนุพันธ์ตัวแรกและตัวที่สองมีเครื่องหมายต่างกันที่จุด x เฉพาะ
ภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว การแก้สมการไม่เชิงเส้นโดยวิธีแทนเจนต์จะทำให้สามารถหารากที่มีน้ำหนักเกินได้หาก x 0 =b และวิธีการที่ใช้คอร์ดที่มีปลาย b คงที่ จะทำให้สามารถหารากโดยประมาณที่มีข้อบกพร่องได้
สูตรที่ใช้:
ตอนนี้ต้องค้นหารูท x ที่ต้องการในช่วงเวลา ในขั้นตอนถัดไป คุณต้องใช้วิธีการรวมกับส่วนนี้ ด้วยวิธีนี้เราจะได้สูตรของแบบฟอร์ม:
หากอนุพันธ์ตัวแรกและตัวที่สองมีสัญญาณที่แตกต่างกัน ดังนั้นให้เหตุผลในลักษณะเดียวกันเพื่อชี้แจงรากที่เราได้รับสูตรที่เกิดซ้ำต่อไปนี้:
เงื่อนไขที่ใช้คือค่าอสมการโดยประมาณ| ข n +1 - n +1 |< e. Иными словами, на практике приходится находить решение при помощи двух методов, но на каждом шаге требуется выяснять, насколько полученные результаты близки друг другу.
หากอสมการข้างต้นเป็นจริง ให้หาจุดที่อยู่กึ่งกลางระหว่างคำตอบที่พบในขั้นตอนการวนซ้ำใดๆ ที่เป็นรากของสมการไม่เชิงเส้นพอดี
วิธีการแบบรวมนี้สามารถนำไปใช้ได้อย่างง่ายดายในสภาพแวดล้อม TURBO PASCAL หากคุณต้องการจริงๆ คุณสามารถลองคำนวณทั้งหมดโดยใช้วิธีแบบตารางใน Excel
ในกรณีหลัง มีการจัดสรรหลายคอลัมน์สำหรับการแก้ปัญหาโดยใช้คอร์ดและแยกกันสำหรับวิธีที่เสนอโดย Isaac Newton
ในกรณีนี้ แต่ละบรรทัดจะใช้ในการบันทึกการคำนวณในขั้นตอนการวนซ้ำที่เฉพาะเจาะจงโดยใช้สองวิธี จากนั้นทางด้านซ้ายของพื้นที่การแก้ปัญหาคอลัมน์จะถูกเน้นในหน้าการทำงานที่ใช้งานอยู่ซึ่งผลลัพธ์ของการคำนวณโมดูลของความแตกต่างในค่าของขั้นตอนการวนซ้ำถัดไปสำหรับแต่ละวิธีจะถูกป้อน อีกอันหนึ่งสามารถใช้เพื่อป้อนผลลัพธ์การคำนวณตามสูตรในการคำนวณโครงสร้างเชิงตรรกะ "IF" ซึ่งใช้ในการค้นหาว่าเงื่อนไขเป็นจริงหรือไม่
ตอนนี้คุณรู้วิธีแก้สมการที่ซับซ้อนแล้ว อย่างที่คุณเห็นแล้วว่าวิธีการแทนเจนต์นั้นมีการใช้งานค่อนข้างง่าย ทั้งใน Pascal และ Excel ดังนั้น คุณจึงสามารถสร้างรากของสมการที่ยากหรือเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้โดยใช้สูตรได้เสมอ
ให้รากของสมการ f(x)=0 ถูกแยกออกจากกันบนเซกเมนต์ โดยมีอนุพันธ์ตัวแรกและตัวที่สอง f'(x) และ ฉ""(x)มีความต่อเนื่องและเป็นเครื่องหมายคงที่ของ xÎ
สมมติว่าในขั้นตอนหนึ่งของการปรับแต่งรูท จะได้ค่าประมาณถัดไปของรูท x n (เลือก) . จากนั้นสมมติว่าการประมาณครั้งต่อไปได้โดยใช้การแก้ไข h n , นำไปสู่ค่าที่แน่นอนของรูท
x = xn + hn (1.2.3-6)
การนับ ชั่วโมงค่าน้อย เราแทน f(х n + h n) ในรูปแบบของอนุกรม Taylor ซึ่งจำกัดตัวเองอยู่แค่เทอมเชิงเส้น
f(x n + h n) »f(x n) + h n f’(x n) (1.2.3-7)
เมื่อพิจารณาว่า f(x) = f(x n + h n) = 0 เราจะได้ f(x n) + h n f ’(x n) » 0
ดังนั้น h n » - f(x n)/ f’(x n) ลองแทนค่าดู ชั่วโมงใน (1.2.3-6) และแทนค่าที่แน่นอนของรูท xเราได้ค่าประมาณอื่น
สูตร (1.2.3-8) ช่วยให้เราได้ลำดับของการประมาณ x 1, x 2, x 3 ... ซึ่งภายใต้เงื่อนไขบางประการ มาบรรจบกันกับค่าที่แน่นอนของรูต เอ็กซ์,นั่นคือ 
การตีความทางเรขาคณิตของวิธีของนิวตันเป็นดังนี้
(รูปที่ 1.2.3-6) ให้เราใช้ปลายด้านขวาของส่วน b เป็นการประมาณเริ่มต้น x 0 และสร้างแทนเจนต์ที่จุดที่สอดคล้องกัน B 0 บนกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) จุดตัดกันของเส้นสัมผัสกันกับแกน x ถือเป็นการประมาณใหม่ที่แม่นยำยิ่งขึ้น x 1 การทำซ้ำขั้นตอนนี้หลายครั้งทำให้เราได้ลำดับการประมาณ x 0, x 1, x 2 , .
.
. ซึ่งมีแนวโน้มไปที่ค่าที่แน่นอนของรูต x.
สูตรการคำนวณของวิธีของนิวตัน (1.2.3-8) สามารถหาได้จากโครงสร้างทางเรขาคณิต ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก x 0 B 0 x 1 ขา
x 0 x 1 = x 0 V 0 /tga เมื่อพิจารณาว่าจุด B 0 อยู่บนกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x)และด้านตรงข้ามมุมฉากนั้นเกิดจากแทนเจนต์ของกราฟ f(x) ที่จุด B 0 เราก็จะได้
(1.2.3-9)
(1.2.3-10)
สูตรนี้เกิดขึ้นพร้อมกับ (1.2.3-8) สำหรับการประมาณค่าที่ n
จากรูปที่ 1.2.3-6 เห็นได้ชัดว่าการเลือกจุด a เป็นการประมาณเริ่มต้นสามารถนำไปสู่ความจริงที่ว่าการประมาณถัดไป x 1 จะอยู่นอกส่วนที่รากถูกแยกออกจากกัน x- ในกรณีนี้ไม่รับประกันการบรรจบกันของกระบวนการ ในกรณีทั่วไป การเลือกการประมาณเริ่มต้นจะต้องเป็นไปตามกฎต่อไปนี้: การประมาณเริ่มต้นควรพิจารณาเป็นจุด x 0 О โดยที่ f(x 0)×f''(x 0)>0 นั่นคือสัญญาณของฟังก์ชันและการจับคู่อนุพันธ์อันดับสอง
เงื่อนไขสำหรับการลู่เข้าของวิธีของนิวตันมีการกำหนดไว้ในทฤษฎีบทต่อไปนี้
ถ้ารากของสมการถูกแยกออกจากกัน, และฉ’(x 0) และ ฉ’(x) แตกต่างจากศูนย์และคงสัญญาณไว้เมื่อใด xOแล้วถ้าเราเลือกจุดดังกล่าวเป็นการประมาณเริ่มต้น x 0 โอ , อะไรฉ(x 0).f¢¢(x 0)>0 แล้วจึงเป็นรากของสมการฉ(x)=0 สามารถคำนวณได้อย่างแม่นยำทุกระดับ
การประมาณค่าความผิดพลาดของวิธีของนิวตันถูกกำหนดโดยนิพจน์ต่อไปนี้:
(1.2.3-11)
ค่าที่น้อยที่สุดอยู่ที่ไหน 
ที่ 
มูลค่าสูงสุด 
ที่ 
กระบวนการคำนวณจะหยุดลงหาก 
,
ความแม่นยำที่ระบุอยู่ที่ไหน
นอกจากนี้ นิพจน์ต่อไปนี้สามารถใช้เป็นเงื่อนไขในการบรรลุความแม่นยำที่กำหนดเมื่อปรับแต่งรูทโดยใช้วิธีของนิวตัน:
แผนภาพของอัลกอริธึมวิธีของนิวตันแสดงไว้ในรูปที่ 1 1.2.3-7.
ด้านซ้ายของสมการดั้งเดิม f(x) และอนุพันธ์ของ f’(x) ในอัลกอริทึมได้รับการออกแบบให้เป็นโมดูลซอฟต์แวร์ที่แยกจากกัน
ข้าว. 1.2.3-7. แผนภาพอัลกอริทึมวิธีนิวตัน
ตัวอย่าง 1.2.3-3 ปรับรากของสมการ x-ln(x+2) = 0 โดยใช้วิธีของนิวตัน โดยให้รากของสมการนี้แยกออกจากกันบนส่วน x 1 О[-1.9;-1.1] และ x 2 О [-0.9;2 ].
อนุพันธ์อันดับหนึ่ง f’(x) = 1 – 1/(x+2) ยังคงเครื่องหมายไว้บนแต่ละส่วน:
ฉ'(x)<0 при хÎ [-1.9; -1.1],
f’(x)>0 ที่ xО [-0.9; 2].
อนุพันธ์อันดับสอง f"(x) = 1/(x+2) 2 > 0 สำหรับ x ใดๆ
ดังนั้นจึงเป็นไปตามเงื่อนไขการลู่เข้า เนื่องจาก f""(x)>0 ตลอดช่วงของค่าที่อนุญาตทั้งหมด จากนั้นจึงชี้แจงรากสำหรับการประมาณเริ่มต้น x1เลือก x 0 = -1.9 (เนื่องจาก f(-1.9)×f”(-1.9)>0) เราได้รับลำดับการประมาณ:
ทำการคำนวณต่อไป เราได้ลำดับต่อไปนี้ของการประมาณสี่รายการแรก: -1.9; –1.8552, -1.8421; -1.8414 . ค่าของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x=-1.8414 เท่ากับ f(-1.8414)=-0.00003 .
เพื่อชี้แจงราก x 2 О[-0.9;2] เราเลือก 0 =2 (f(2)×f”(2)>0) เป็นการประมาณเริ่มต้น จาก x 0 = 2 เราได้ลำดับการประมาณ: 2.0;1.1817; 1.1462; 1.1461. ค่าของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x=1.1461 เท่ากับ f(1.1461)= -0.00006
วิธีการของนิวตันมีอัตราการลู่เข้าสูง แต่ในแต่ละขั้นตอนนั้น ไม่เพียงแต่ต้องคำนวณค่าของฟังก์ชันเท่านั้น แต่ยังต้องคำนวณอนุพันธ์ด้วย
วิธีคอร์ด
การตีความทางเรขาคณิตของวิธีคอร์ดเป็นดังนี้
(รูปที่ 1.2.3-8)
ลองวาดส่วนของเส้นตรงผ่านจุด A และ B การประมาณถัดไป x 1 คือจุดตัดของคอร์ดที่มีแกน 0x มาสร้างสมการส่วนของเส้นตรงกันดีกว่า:
ตั้งค่า y=0 แล้วค้นหาค่า x=x 1 (ค่าประมาณถัดไป):
ทำซ้ำขั้นตอนการคำนวณเพื่อให้ได้ค่าประมาณรากถัดไป - x 2 :
ในกรณีของเรา (รูปที่ 1.2.11) 
และ สูตรการคำนวณวิธีคอร์ดจะมีลักษณะดังนี้
สูตรนี้ใช้ได้เมื่อจุด b เป็นจุดคงที่ และจุด a ทำหน้าที่เป็นการประมาณเริ่มต้น
ลองพิจารณาอีกกรณีหนึ่ง (รูปที่ 1.2.3-9) เมื่อใด 
.
 |
สมการเส้นตรงสำหรับกรณีนี้มีรูปแบบ
การประมาณถัดไป x 1 ที่ y = 0
จากนั้นสูตรเกิดซ้ำของวิธีคอร์ดสำหรับกรณีนี้มีแบบฟอร์ม
ควรสังเกตว่าจุดคงที่ในวิธีคอร์ดถูกเลือกให้เป็นจุดสิ้นสุดของเซกเมนต์ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข f (x)∙f¢¢ (x)>0
ดังนั้น หากจุด a เป็นจุดคงที่ , จากนั้น x 0 = b จะทำหน้าที่เป็นการประมาณเริ่มต้น และในทางกลับกัน
เงื่อนไขที่เพียงพอซึ่งให้การคำนวณรากของสมการ f(x) = 0 โดยใช้สูตรคอร์ด จะเหมือนกับวิธีแทนเจนต์ (วิธีของนิวตัน) เพียงแต่เลือกจุดคงที่แทนการประมาณเริ่มต้นเท่านั้น วิธีคอร์ดเป็นการดัดแปลงวิธีของนิวตัน ความแตกต่างก็คือการประมาณครั้งต่อไปในวิธีของนิวตันคือจุดตัดกันของแทนเจนต์กับแกน 0X และในวิธีคอร์ด - จุดตัดของคอร์ดด้วยแกน 0X - การประมาณมาบรรจบกันที่รากจากด้านต่างๆ .
การประมาณค่าความผิดพลาดสำหรับวิธีคอร์ดถูกกำหนดโดยนิพจน์
(1.2.3-15)
เงื่อนไขสำหรับการสิ้นสุดกระบวนการวนซ้ำโดยใช้วิธีคอร์ด
(1.2.3-16)
ในกรณี ม.1<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n -x n -1 |£จ.
ตัวอย่างที่ 1.2.3-4 ชี้แจงรากของสมการ e x – 3x = 0 โดยแยกจากกันบนส่วนด้วยความแม่นยำ 10 -4
ตรวจสอบเงื่อนไขการลู่เข้า:
ดังนั้น ควรเลือก a=0 เป็นจุดคงที่ และ x 0 =1 ควรถือเป็นการประมาณเริ่มต้น เนื่องจาก f(0)=1>0 และ f(0)*f"(0)>0
ในปัญหาการลดขนาดฟังก์ชัน การเลือกการประมาณเริ่มต้นได้สำเร็จมีความสำคัญอย่างยิ่ง แน่นอนว่าเป็นไปไม่ได้ กฎทั่วไปซึ่งจะน่าพอใจสำหรับทุกกรณี เช่น สำหรับฟังก์ชันไม่เชิงเส้นที่เป็นไปได้ทั้งหมด แต่ละครั้งที่คุณต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาของคุณเอง ด้านล่างนี้เราเสนอชุดวิธีการบางอย่างในการค้นหาการประมาณเริ่มต้นแบบคร่าว ๆ ซึ่งในทางปฏิบัติสามารถใช้เป็นจุดเริ่มต้นในการค้นหาการประมาณที่น่าพอใจในปัญหาเฉพาะได้
9.6.1. ค้นหาตาราง วิธีนี้จะได้ผลดีเป็นพิเศษเมื่อมีพารามิเตอร์ไม่เชิงเส้นจริงจำนวนไม่มาก บ่อยครั้งที่ฟังก์ชันได้รับการออกแบบในลักษณะที่เมื่อค่าของพารามิเตอร์บางตัว (ซึ่งเราเรียกว่าไม่เชิงเส้น) ได้รับการแก้ไขแล้ว พารามิเตอร์ที่เหลือจะกลายเป็นเชิงเส้น
หลังจากระบุขอบเขตล่างและบนสำหรับพารามิเตอร์ที่ไม่เชิงเส้นแล้วด้วยขั้นตอนบางอย่างคุณสามารถเรียงลำดับตัวเลือกบนตารางผลลัพธ์ของค่าของพารามิเตอร์ที่ไม่เชิงเส้นเหล่านี้ได้ด้วยตนเองและระบุการถดถอยเชิงเส้นที่นำไปสู่ผลรวมขั้นต่ำของ สี่เหลี่ยม
เป็นตัวอย่าง ให้พิจารณาฟังก์ชัน
ที่นี่พารามิเตอร์ไม่เชิงเส้นจริงจะเป็น เอาเป็นว่ารู้แล้วกัน. ให้ h เป็นขั้นตอนสำหรับพารามิเตอร์ มาคำนวณการถดถอยเชิงเส้นกัน
โดยที่เราหาผลรวมกำลังสองขั้นต่ำสำหรับแต่ละอัน ค่าที่เล็กที่สุดสอดคล้องกับการประมาณเริ่มต้นที่เหมาะสมที่สุด โดยหลักการแล้ว ขั้นตอนที่ "ความหนาแน่น" ของกริดขึ้นอยู่กับอาจแตกต่างกัน ดังนั้นเมื่อลดค่า h ลง จึงสามารถค้นหาค่าพารามิเตอร์ได้อย่างแม่นยำ
บางครั้ง โดยการแปลงบางอย่าง โมเดลสามารถลดลงเป็นเชิงเส้นหรือจำนวนพารามิเตอร์ที่ไม่เชิงเส้นจริงสามารถลดลงได้ (ดูหัวข้อ 6.2.3) ให้เราแสดงให้เห็นว่าสามารถทำได้โดยใช้ตัวอย่างของเส้นโค้งลอจิสติกส์ได้อย่างไร
เราได้รับการแปลงผกผันของสมการถดถอยที่สอดคล้องกัน
ด้วยการแสดงถึงเรามาถึงฟังก์ชันใหม่จำนวนพารามิเตอร์เชิงเส้นที่เพิ่มขึ้นจากหนึ่งเป็นสองตัว สามารถดูการประมาณค่าพารามิเตอร์ในโมเดลใหม่ได้ เช่น โดยใช้วิธีการก่อนหน้า
ในที่นี้ เป็นการเหมาะสมที่จะกล่าวถึงการเปลี่ยนแปลงของตัวแบบการถดถอยดังต่อไปนี้ โปรดทราบว่าข้อผิดพลาดที่บวกในสมการดั้งเดิม โดยทั่วไปแล้วจะไม่มีการบวกอีกต่อไปหลังการแปลง
การใช้ส่วนขยายอนุกรมของ Taylor และแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงโดยเราได้รับโดยละเลยเงื่อนไขการสั่งซื้อ
มันเป็นไปตามนั้น
ความเท่าเทียมกันสุดท้ายสามารถใช้เป็นพื้นฐานในการวิเคราะห์ปัญหาด้วยแบบจำลองที่แปลงแล้ว
หากต้องการค้นหาค่าประมาณเริ่มต้น คุณสามารถแบ่งตัวอย่างทั้งหมดออกเป็นกลุ่มตัวอย่างย่อย (โดยมีปริมาตรเท่ากันโดยประมาณ) โดยที่คือจำนวนพารามิเตอร์ที่ไม่ทราบ สำหรับแต่ละตัวอย่างย่อย เราจะหาค่าเฉลี่ยส่วน y และส่วน X ซึ่งเราแสดงด้วย m ตามลำดับ ให้เราแก้ระบบสมการไม่เชิงเส้นเพื่อหา
วิธีแก้ไขของระบบนี้คือการประมาณค่าพารามิเตอร์เบื้องต้น เห็นได้ชัดว่าเพื่อที่จะ วิธีนี้ในการ "ทำงาน" จำเป็นต้องแก้ระบบสมการไม่เชิงเส้นนี้ค่อนข้างง่าย เช่น ในเชิงวิเคราะห์
พื้นฐานของการลดผลรวมของกำลังสองแบบวนซ้ำคือการขยายฟังก์ชันการถดถอยในชุดข้อมูล Taylor ไปเป็นเงื่อนไขเชิงเส้นในพารามิเตอร์ หากต้องการค้นหาการประมาณเริ่มต้นแบบคร่าวๆ ขั้นตอนการประมาณการถดถอยโดยการขยายออกเป็นอนุกรม Taylor ในตัวแปรอิสระบางครั้งก็มีประโยชน์ เพื่อความง่าย เราจะถือว่ามันเป็นมิติเดียว ให้เป็นค่าเฉลี่ยแล้วประมาณนั้น
เราแสดงว่า ดังนั้นเราจึงมาถึงแบบจำลองเชิงเส้น
อนุญาต เป็นค่าประมาณกำลังสองน้อยที่สุดของพารามิเตอร์ของการถดถอยเชิงเส้นนี้ ในการประมาณเบื้องต้น เราจะหาคำตอบของระบบสมการไม่เชิงเส้นเทียบกับ
เช่นเดียวกับการประมาณ บางครั้งคำว่า P. ถูกใช้ในความหมายของการนำวัตถุเข้ามาใกล้มากขึ้น (เช่น ชื่อย่อ P.) ... สารานุกรมคณิตศาสตร์
วิธีการของนิวตัน- วิธีของนิวตัน อัลกอริธึมของนิวตัน (หรือเรียกอีกอย่างว่าวิธีแทนเจนต์) เป็นวิธีตัวเลขแบบวนซ้ำสำหรับการค้นหาราก (ศูนย์) ของฟังก์ชันที่กำหนด วิธีการนี้เสนอครั้งแรกโดยนักฟิสิกส์ นักคณิตศาสตร์ และนักดาราศาสตร์ชาวอังกฤษ ไอแซก นิวตัน... ... Wikipedia
วิธีแทนเจนต์วิธีหนึ่ง
วิธีเกาส์-นิวตัน- วิธีของนิวตัน (หรือเรียกอีกอย่างว่าวิธีแทนเจนต์) เป็นวิธีตัวเลขแบบวนซ้ำสำหรับการค้นหาราก (ศูนย์) ของฟังก์ชันที่กำหนด วิธีการนี้เสนอครั้งแรกโดยนักฟิสิกส์นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวอังกฤษชื่อไอแซกนิวตัน (1643 1727) ภายใต้ชื่อ ... ... Wikipedia
วิธีนิวตัน-ราฟสัน- วิธีของนิวตัน (หรือเรียกอีกอย่างว่าวิธีแทนเจนต์) เป็นวิธีตัวเลขแบบวนซ้ำสำหรับการค้นหาราก (ศูนย์) ของฟังก์ชันที่กำหนด วิธีการนี้เสนอครั้งแรกโดยนักฟิสิกส์นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวอังกฤษชื่อไอแซกนิวตัน (1643 1727) ภายใต้ชื่อ ... ... Wikipedia
วิธีนิวตัน-ราฟสัน- วิธีของนิวตัน (หรือเรียกอีกอย่างว่าวิธีแทนเจนต์) เป็นวิธีตัวเลขแบบวนซ้ำสำหรับการค้นหาราก (ศูนย์) ของฟังก์ชันที่กำหนด วิธีการนี้เสนอครั้งแรกโดยนักฟิสิกส์นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวอังกฤษชื่อไอแซกนิวตัน (1643 1727) ภายใต้ชื่อ ... ... Wikipedia
วิธีแทนเจนต์- วิธีของนิวตัน (หรือเรียกอีกอย่างว่าวิธีแทนเจนต์) เป็นวิธีตัวเลขแบบวนซ้ำสำหรับการค้นหาราก (ศูนย์) ของฟังก์ชันที่กำหนด วิธีการนี้เสนอครั้งแรกโดยนักฟิสิกส์นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวอังกฤษชื่อไอแซกนิวตัน (1643 1727) ภายใต้ชื่อ ... ... Wikipedia
วิธีแทนเจนต์ (วิธีของนิวตัน)- วิธีของนิวตัน (หรือเรียกอีกอย่างว่าวิธีแทนเจนต์) เป็นวิธีตัวเลขแบบวนซ้ำสำหรับการค้นหาราก (ศูนย์) ของฟังก์ชันที่กำหนด วิธีการนี้เสนอครั้งแรกโดยนักฟิสิกส์นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวอังกฤษชื่อไอแซกนิวตัน (1643 1727) ภายใต้ชื่อ ... ... Wikipedia
วิธีแทนเจนต์- วิธีของนิวตัน (หรือเรียกอีกอย่างว่าวิธีแทนเจนต์) เป็นวิธีตัวเลขแบบวนซ้ำสำหรับการค้นหาราก (ศูนย์) ของฟังก์ชันที่กำหนด วิธีการนี้เสนอครั้งแรกโดยนักฟิสิกส์นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวอังกฤษชื่อไอแซกนิวตัน (1643 1727) ภายใต้ชื่อ ... ... Wikipedia
การแก้สมการเชิงตัวเลข- และระบบของพวกเขาประกอบด้วยการกำหนดรากหรือรากของสมการหรือระบบสมการโดยประมาณและใช้ในกรณีที่เป็นไปไม่ได้หรือลำบากมากในการคำนวณค่าที่แน่นอน สารบัญ 1 คำชี้แจงปัญหา 2 วิธีการเชิงตัวเลข ... Wikipedia
วิธีการประมาณต่อเนื่อง- วิธีการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยใช้ลำดับของการประมาณที่บรรจบกันเป็นวิธีแก้ปัญหาและสร้างขึ้นซ้ำ (เช่น การประมาณใหม่แต่ละรายการจะถูกคำนวณตามลำดับก่อนหน้า การประมาณเริ่มต้นจะถูกเลือกใน ... ... สารานุกรมผู้ยิ่งใหญ่แห่งสหภาพโซเวียต
