Def. เซต w เรียกว่าปริภูมิเชิงเส้นและองค์ประกอบของเซตนั้น -เวกเตอร์ถ้า:
*กฎหมายระบุ (+) ตาม cat. สององค์ประกอบใด ๆ x, y จาก w เชื่อมโยงกับองค์ประกอบที่เรียกว่า ผลรวมของพวกเขา [x + y]
*มีการกำหนดกฎไว้ (* สำหรับตัวเลข a) ตามองค์ประกอบ cat x จาก w และ a มีการเปรียบเทียบองค์ประกอบจาก w เรียกว่าผลคูณของ x และ a [ax];
* สมบูรณ์
ข้อกำหนด (หรือสัจพจน์ต่อไปนี้):
ติดตาม c1 เวกเตอร์ศูนย์ (ctv 0 1 และ 0 2. โดย a3: 0 2 + 0 1 = 0 2 และ 0 1 + 0 2 = 0 1. โดย a1 0 1 + 0 2 = 0 2 + 0 1 => 0 1 = 0 2.)
ค2.
.(ซีทีวี, a4)
c3. 0 เวกเตอร์ (a7)
ค4 ก(ตัวเลข)*0=0.(a6,c3)
c5.
x (*) -1 =0 เวกเตอร์ ตรงข้ามกับ x นั่นคือ (-1)x = -x (a5,a6) ค6 ใน w การกระทำการลบถูกกำหนด: เวกเตอร์ x เรียกว่าผลต่างของเวกเตอร์ b และ a ถ้า x + a = b และแสดงแทน x = b - aตัวเลข n เรียกว่า มิติ ลิน PR-ก มิติ ล ค6 ใน w การกระทำการลบถูกกำหนด: เวกเตอร์ x เรียกว่าผลต่างของเวกเตอร์ b และ a ถ้า x + a = b และแสดงแทน x = b - a, ถ้าเข้า ค6 ใน w การกระทำการลบถูกกำหนด: เวกเตอร์ x เรียกว่าผลต่างของเวกเตอร์ b และ a ถ้า x + a = b และแสดงแทน x = b - aมีระบบของ มิติ= ค6 ใน w การกระทำการลบถูกกำหนด: เวกเตอร์ x เรียกว่าผลต่างของเวกเตอร์ b และ a ถ้า x + a = b และแสดงแทน x = b - aลิน เนซาฟ. เวกเตอร์ และระบบใดๆ ของ มิติ +1 เวกเตอร์ - ลิน ขึ้นอยู่กับ สลัว
- ช่องว่าง เรียกว่า n มิติ
พื้นฐาน ทฤษฎีบท. เวกเตอร์ X แต่ละตัวสามารถแสดงในรูปแบบเส้นตรงที่ไม่ซ้ำกันได้ให้ (1) เป็นพื้นฐานของเส้นตรงขนาด n มิติ PR-VA วี 1.
, เช่น. ชุดของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น เซตของเวกเตอร์จะเป็นเส้นตรง พึ่งได้เพราะว่า ของพวกเขา
n+ เหล่านั้น. มีตัวเลขหลายจำนวนที่ไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน เกี่ยวอะไรกับตัวเลขนั้น (ไม่เช่นนั้น (1) จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง) แล้วการสลายตัวของเวกเตอร์อยู่ที่ไหน
x
ตามพื้นฐาน(1) .
สำนวนนี้มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวเพราะว่า หากมีนิพจน์อื่นอยู่ (**)
ลบความเท่าเทียมกัน (**) จาก (*)
เราได้รับ
เพราะ เป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้น . ชต
นั่นคือเวกเตอร์นั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้น
ดังนั้น สเปซ V จึงเป็น n มิติ และ (1) ฐานของมัน
№4Def.เซตย่อย L lin. การผลิต V เรียกว่า lin เงื่อนไข ของปริภูมินี้ ถ้าเทียบกับการดำเนินการ (+) และ (*a) ที่ระบุใน V ถ้าปริภูมิย่อย L เป็นปริภูมิเชิงเส้น
(ล่วงหน้า) ให้ (1) และ (2) เป็นไปตามเงื่อนไข เพื่อให้ L เป็นสับเปลี่ยนง่าย V ยังคงต้องพิสูจน์ว่าสัจพจน์ทั้งหมดของ lin เป็นไปตามนั้น PR-VA
(-x): -x+x=0 ง- ก(x + y) = ขวาน + ay;
(a-b) และ (e-h) ตามมาจากความถูกต้องของ V;
(ความจำเป็น) ให้แอลเป็นลิน สเปซย่อยของปริภูมินี้ ดังนั้น (1) และ (2) จึงเป็นไปตามนิยามของเส้นตรง PR-VA
Def.รวบรวมเส้นทุกชนิด การรวมกันขององค์ประกอบบางอย่าง (x j) lin สินค้านี้เรียกว่าเปลือกเชิงเส้น
ทฤษฎีบทชุดของทุกบรรทัดโดยพลการ ผลรวมของเวกเตอร์ V กับจำนวนจริง สัมประสิทธิ์คือ lin ย่อย V (เปลือกเชิงเส้น ระบบเวกเตอร์ lin ที่กำหนด pr คือค่าย่อยเชิงเส้นของ pr นี้ )
โอดีเอ. เซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่าของเวกเตอร์เส้น L การผลิต V เรียกว่า lin สเปซย่อยถ้า:
a) ผลรวมของเวกเตอร์ใดๆ จาก L เป็นของ L
b) ผลคูณของเวกเตอร์แต่ละตัวจาก L ด้วยจำนวนใด ๆ เป็นของ L
ผลรวมของสองสเปซย่อยมิติก็เป็นสับสเปซอีกครั้งมิติ
1) ให้ y 1 +y 2 (L 1 +L 2)<=>y 1 =x 1 +x 2, y 2 =x’ 1 +x’ 2 โดยที่ (x 1,x’ 1) L 1, (x 2,x’ 2) L 2 y 1 +y 2 =(x 1 +x 2)+(x' 1 +x' 2)=(x 1 +x' 1)+(x 2 +x' 2) โดยที่ (x 1 +x' 1 ) L 1 , (x 2 +x' 2) L 2 => ตรงตามเงื่อนไขแรกของสเปซย่อยเชิงเส้น
ay 1 =ax 1 +ax 2 โดยที่ (ax 1) L 1, (ax 2) L 2 => เพราะ (y 1 +y 2) (L 1 +L 2) , (ly 1) (L 1 +L 2) => ตรงตามเงื่อนไข => L 1 +L 2 เป็นพื้นที่ย่อยเชิงเส้น
จุดตัดของสองเขตการปกครองมิติ 1 และมิติ 2 ลิน PR-VAมิติ ยังเป็น subsp ด้วย พื้นที่นี้
พิจารณาเวกเตอร์ใดๆ สองตัว แล้ว,ยที่เป็นของจุดตัดของสเปซย่อยและตัวเลขที่กำหนดเองสองตัว ก,ข:.
ตามคำนิยาม ทางแยกของชุด:
=> ตามคำจำกัดความของสเปซย่อยของปริภูมิเชิงเส้น:,
ที.เค. เวกเตอร์ ขวาน + โดยเป็นของหลาย ๆ คน มิติ 1 และอีกมาก มิติ 2 ตามคำนิยามแล้ว มันเป็นของจุดตัดของเซตเหล่านี้ ดังนั้น:
โอดีเอพวกเขาบอกว่า V คือผลรวมโดยตรงของเขตการปกครอง ถ้า และ b) การสลายตัวนี้มีลักษณะเฉพาะ
ข")ให้เราแสดงว่า b) เทียบเท่ากับ b’)
เมื่อ b) เป็นจริง b')
ทุกประเภท (ม, เอ็น) จาก ตัดกันตามเวกเตอร์ศูนย์เท่านั้น
ให้ ∃ z ∈
ยุติธรรม กลับมิติ=
ความขัดแย้ง
ทฤษฎีบทถึง (*) มีความจำเป็นและเพียงพอสำหรับการรวมฐาน ( เป็นพื้นฐานของพื้นที่
(ที่จำเป็น)ให้ (*) และเวกเตอร์เป็นฐานของเซตย่อย และมีการขยายตัวใน ;
(x ถูกขยายเหนือฐาน L เพื่อยืนยันว่า ( เป็นฐาน จำเป็นต้องพิสูจน์ความเป็นอิสระเชิงเส้นของมัน โดยทั้งหมดมี 0 0=0+...+0 เนื่องจากเอกลักษณ์ของการขยายตัวของ 0 เกิน : => เนื่องจากความเป็นอิสระเชิงเส้นของพื้นฐาน => ( – พื้นฐานต่อ)
ให้ ( เป็นพื้นฐานของ L การสลายตัวที่ไม่ซ้ำกัน (**) มีการสลายตัวอย่างน้อยหนึ่งครั้ง โดยเอกลักษณ์ (*) => เอกลักษณ์ (**)
ความคิดเห็น มิติของผลรวมโดยตรงเท่ากับผลรวมของมิติของสเปซย่อย
เมทริกซ์กำลังสองที่ไม่ใช่เอกพจน์ใดๆ สามารถทำหน้าที่เป็นเมทริกซ์การเปลี่ยนผ่านจากฐานหนึ่งไปอีกฐานหนึ่งได้
ให้มีฐานสองฐานในปริภูมิเชิงเส้น n มิติ V และ
(1) =A โดยที่องค์ประกอบ * และ ** ไม่ใช่ตัวเลข แต่เราจะขยายการดำเนินการบางอย่างบนเมทริกซ์ตัวเลขไปยังแถวดังกล่าว
เพราะ มิฉะนั้นเวกเตอร์ ** จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงกลับ.
หากคอลัมน์ของ A มีความเป็นอิสระเชิงเส้น => สร้างฐาน และ พิกัด สัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์ , ที่ไหน
องค์ประกอบเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลง
ให้ทราบการสลายตัวขององค์ประกอบของพื้นฐาน "ใหม่" ไปเป็นองค์ประกอบ "เก่า"
แล้วความเท่าเทียมกันก็เป็นจริง
แต่ถ้าผลรวมเชิงเส้นขององค์ประกอบอิสระเชิงเส้นเท่ากับ 0 แล้ว =>
ทฤษฎีบทการพึ่งพาเชิงเส้นขั้นพื้นฐาน ถ้า (*) แสดงเป็นเส้นตรงผ่านค6 ใน w การกระทำการลบถูกกำหนด: เวกเตอร์ x เรียกว่าผลต่างของเวกเตอร์ b และ a ถ้า x + a = b และแสดงแทน x = b - a<= (**) ที่
ม
ให้เราพิสูจน์โดยการเหนี่ยวนำบน m
m=1: ระบบ (*) มี 0 และ lin ผู้จัดการ - เป็นไปไม่ได้
ปล่อยให้เป็นจริงสำหรับ m=k-1
ลองพิสูจน์หา m=k กัน 3.3. ความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์ พื้นฐาน
เชิงเส้น
การผสมผสาน ระบบเวกเตอร์ เรียกว่าเวกเตอร์ โดยที่ 1, 2, ..., n - ตัวเลขที่กำหนดเอง ถ้าทั้งหมดเป็นฉัน = 0 จากนั้นจึงเรียกผลรวมเชิงเส้น
เล็กน้อย - ในกรณีนี้อย่างเห็นได้ชัด
คำจำกัดความที่ 5
ถ้าเป็นระบบเวกเตอร์
มีการรวมกันเชิงเส้นที่ไม่สำคัญ (อย่างน้อยหนึ่งรายการ 0ไง¹
) เท่ากับเวกเตอร์ศูนย์: จากนั้นจึงเรียกระบบเวกเตอร์
เชิงเส้น.
ขึ้นอยู่กับ
หากความเท่าเทียมกัน (1) เป็นไปได้เฉพาะในกรณีที่ทั้งหมด =0ฉัน จากนั้นจึงเรียกระบบเวกเตอร์
จากนั้นจึงเรียกระบบเวกเตอร์
.
เป็นอิสระ
ทฤษฎีบท 2 (เงื่อนไขของการพึ่งพาเชิงเส้น)
คำนิยาม 6 จากทฤษฎีบทที่ 3ตามมาว่าหากมีการกำหนดพื้นฐานในปริภูมิ จากนั้นโดยการเพิ่มเวกเตอร์ใดๆ ลงไป เราจะได้ระบบเวกเตอร์ที่ขึ้นกับเชิงเส้นตรง ตาม ทฤษฎีบท 2 (1) หนึ่งในนั้น (สามารถแสดงให้เห็นว่าเวกเตอร์) สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์อื่น ๆ ได้:
คำนิยาม 7 ตัวเลข ถูกเรียกว่า
พิกัด
(แสดง หากพิจารณาเวกเตอร์บนระนาบ ฐานจะเป็นคู่เรียงลำดับของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลลิเนียร์ และพิกัดของเวกเตอร์บนพื้นฐานนี้คือตัวเลขคู่หนึ่ง: หมายเหตุ 3 ก็สามารถแสดงได้ว่า สำหรับพื้นฐานที่กำหนด พิกัดของเวกเตอร์จะถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกัน
.
โดยเฉพาะจากนี้จึงเป็นไปตามนั้น ถ้าเวกเตอร์เท่ากัน พิกัดที่สอดคล้องกันก็จะเท่ากัน และในทางกลับกัน
.
ดังนั้น หากมีการกำหนดพื้นฐานในช่องว่าง เวกเตอร์แต่ละส่วนของช่องว่างจะสอดคล้องกับตัวเลขสามตัวที่เรียงลำดับ (พิกัดของเวกเตอร์บนพื้นฐานนี้) และในทางกลับกัน: ตัวเลขสามเท่าแต่ละตัวจะสอดคล้องกับเวกเตอร์ บนระนาบ จะมีการสร้างการติดต่อที่คล้ายกันระหว่างเวกเตอร์และคู่ของตัวเลข ทฤษฎีบท 4
(การดำเนินการเชิงเส้นผ่านพิกัดเวกเตอร์) หากเป็นพื้นฐานบางประการ
และ
ก
เป็นจำนวนตามใจชอบแล้วบนพื้นฐานนี้
กล่าวอีกนัยหนึ่ง: เมื่อเวกเตอร์ถูกคูณด้วยตัวเลข พิกัดของเวกเตอร์จะถูกคูณด้วยตัวเลขนั้น
;
เมื่อเพิ่มเวกเตอร์ พิกัดที่เกี่ยวข้องจะถูกเพิ่ม
.
ตัวอย่างที่ 1
. เวกเตอร์บนพื้นฐานบางอย่างมีพิกัด แสดงว่าเวกเตอร์สร้างฐานและค้นหาพิกัดของเวกเตอร์บนพื้นฐานนี้ เวกเตอร์จะสร้างพื้นฐานหากไม่ใช่ระนาบร่วม ดังนั้น (ตามโดยทฤษฎีบท 3(2) ) เป็นอิสระเชิงเส้น ตามคำจำกัดความ 5 นี่หมายถึงความเท่าเทียมกันนั้น เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อx =
ย =
z = 0.
อนุญาต มิติ
– พื้นที่เชิงเส้นเหนือสนาม ร
- อนุญาต А1, а2, …, อัน
(*) ระบบจำกัดของเวกเตอร์จาก มิติ
- เวกเตอร์ ใน
= a1× A1
+a2× A2
+ … + และ× หนึ่ง
(16) เรียกว่า ผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ (
*),
หรือเขาบอกว่าเวกเตอร์ ใน
แสดงเป็นเส้นตรงผ่านระบบเวกเตอร์ (*) คำนิยาม 14.
เรียกว่าระบบเวกเตอร์ (*) ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น
, ถ้าหากว่ามีเซตสัมประสิทธิ์ a1, a2, … ที่ไม่เป็นศูนย์อยู่ จะทำให้ a1× A1
+a2× A2
+ … + และ× หนึ่ง
= 0.
ถ้า a1× A1
+a2× A2
+ … + และ× หนึ่ง
= 0
Û a1 = a2 = … = an = 0 จากนั้นระบบ (*) จะถูกเรียก เป็นอิสระเชิงเส้น
คุณสมบัติของการพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระ 10. ถ้าระบบเวกเตอร์มีเวกเตอร์เป็นศูนย์ มันจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง แน่นอนถ้าอยู่ในระบบ (*) เวกเตอร์ A1 = 0,
นั่นคือ 1× 0
+ 0× A2 + … + 0
× อัน = 0
. 20. ถ้าระบบเวกเตอร์มีเวกเตอร์สัดส่วนสองตัว มันจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง อนุญาต A1 =
มิติ×a2.
แล้ว 1× A1
–ล× A2
+ 0× A3
+ … + 0× ก
น= 0.
30. ระบบจำกัดของเวกเตอร์ (*) สำหรับ n ³ 2 จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์อย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ที่เหลืออยู่ของระบบนี้ Þ ให้ (*) เป็นอิสระเชิงเส้น จากนั้นจะมีชุดสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์ a1, a2, …, an โดยที่ a1× A1
+a2× A2
+ … + และ× หนึ่ง
= 0 .
โดยไม่สูญเสียลักษณะทั่วไป เราสามารถสรุปได้ว่า a1 ¹ 0 แล้วก็มีอยู่ A1 =
×a2× A2
+ … + ×× ก
น. ดังนั้น, เวกเตอร์ A1
คือผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ที่เหลือ Ü ให้เวกเตอร์ตัวหนึ่ง (*) เป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ตัวอื่น เราสามารถสรุปได้ว่านี่คือเวกเตอร์ตัวแรก นั่นคือ A1 =
บี2 A2+
… + พันล้าน ก
N ดังนั้น (–1)× A1
+ b2 A2+
… + พันล้าน ก
น= 0
นั่นคือ (*) ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง ความคิดเห็น
เมื่อใช้คุณสมบัติสุดท้าย เราสามารถกำหนดการพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระของระบบเวกเตอร์อนันต์ได้ คำนิยาม 15.
ระบบเวกเตอร์ А1, а2, …, อัน
, … (**) เรียกว่า ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น
ถ้าเวกเตอร์อย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์อื่นจำนวนจำกัด มิฉะนั้นระบบ (**) จะถูกเรียก เป็นอิสระเชิงเส้น
40. ระบบจำกัดของเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้นก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ของมันไม่สามารถแสดงเป็นเส้นตรงในรูปของเวกเตอร์ที่เหลืออยู่ได้ 50. ถ้าระบบเวกเตอร์เป็นอิสระเชิงเส้น ระบบย่อยใดๆ ของมันก็จะเป็นอิสระเชิงเส้นเช่นกัน 60. ถ้าระบบย่อยบางระบบของระบบเวกเตอร์ที่กำหนดนั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ดังนั้นทั้งระบบก็ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นด้วย ให้ระบบเวกเตอร์สองระบบได้รับ А1, а2, …, อัน
, … (16) และ В1, В2, …, Вs, …
(17) หากเวกเตอร์ของระบบ (16) แต่ละตัวสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์จำนวนจำกัดของระบบ (17) แล้วระบบ (17) ก็จะถูกแสดงเป็นเส้นตรงผ่านระบบ (16) คำนิยาม 16.
เรียกระบบเวกเตอร์ทั้งสองนี้ว่า เทียบเท่า
ถ้าแต่ละรายการแสดงเป็นเส้นตรงผ่านอีกรายการหนึ่ง ทฤษฎีบท 9
(ทฤษฎีบทการพึ่งพาเชิงเส้นพื้นฐาน) ช่างมัน
– สองระบบจำกัดของเวกเตอร์จาก มิติ
- ถ้าระบบแรกเป็นอิสระเชิงเส้นและแสดงเป็นเส้นตรงผ่านระบบที่สอง ดังนั้น เอ็นปอนด์ การพิสูจน์.สมมุติว่า เอ็น>
ส.ตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท เนื่องจากระบบมีความเป็นอิสระเชิงเส้น ความเท่าเทียมกัน (18) Û X1=x2=…=xยังไม่มีข้อความ= 0.ให้เราแทนที่นิพจน์ของเวกเตอร์ที่นี่: …+=0 (19) ดังนั้น (20) เงื่อนไข (18), (19) และ (20) เทียบเท่ากันอย่างเห็นได้ชัด แต่ (18) จะพอใจก็ต่อเมื่อ X1=x2=…=xยังไม่มีข้อความ= 0.มาดูกันว่าเมื่อใดที่ความเสมอภาค (20) เป็นจริง ถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นศูนย์ แสดงว่ามันเป็นจริงอย่างเห็นได้ชัด เมื่อเท่ากับศูนย์เราจะได้ระบบ (21) เนื่องจากระบบนี้มีศูนย์แล้ว ข้อต่อ เนื่องจากจำนวนสมการมากกว่าจำนวนไม่ทราบ ระบบจึงมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน ดังนั้นจึงมีค่าไม่เป็นศูนย์ X10, x20, …, xN0- สำหรับค่าเหล่านี้ ความเท่าเทียมกัน (18) จะเป็นจริง ซึ่งขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่าระบบเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้นสมมติฐานของเราจึงผิด เพราะฉะนั้น, เอ็นปอนด์ ผลที่ตามมาหากระบบเวกเตอร์ที่เทียบเท่ากันสองระบบมีขอบเขตจำกัดและเป็นอิสระเชิงเส้น ระบบทั้งสองจะมีจำนวนเวกเตอร์เท่ากัน คำนิยาม 17.
เรียกว่าระบบเวกเตอร์ ระบบเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นตรงสูงสุด
พื้นที่เชิงเส้น มิติ
ถ้ามันเป็นอิสระเชิงเส้น แต่เมื่อบวกกับเวกเตอร์ใดๆ จาก มิติ
ซึ่งไม่รวมอยู่ในระบบนี้ แต่จะกลายเป็นแบบพึ่งพาเชิงเส้น ทฤษฎีบท 10
ระบบเวกเตอร์เชิงเส้นสูงสุดอันจำกัดสูงสุดสองตัวใดๆ มิติ
มีเวกเตอร์จำนวนเท่ากัน การพิสูจน์ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าระบบเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสูงสุดสองตัวใด ๆ มีค่าเท่ากัน .
มันง่ายที่จะพิสูจน์ว่าระบบเวกเตอร์อวกาศใดๆ ที่มีความเป็นอิสระเชิงเส้น มิติ
สามารถขยายเป็นระบบเวกเตอร์เชิงเส้นตรงสูงสุดในพื้นที่นี้ได้ ตัวอย่าง: 1. ในชุดของเวกเตอร์เรขาคณิตเชิงคอลลิเนียร์ทั้งหมด ระบบใดๆ ที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์หนึ่งตัวจะเป็นอิสระเชิงเส้นสูงสุด 2. ในชุดของเวกเตอร์เรขาคณิตโคพลานาร์ทั้งหมด เวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลลิเนียร์สองตัวใดๆ จะประกอบกันเป็นระบบอิสระเชิงเส้นสูงสุด 3. ในเซตของเวกเตอร์เรขาคณิตที่เป็นไปได้ทั้งหมดของปริภูมิยูคลิดสามมิติ ระบบใดๆ ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ระนาบระนาบทั้งสามจะมีความเป็นอิสระเชิงเส้นสูงสุด 4. ในชุดพหุนามทั้งหมด องศาจะต้องไม่สูงกว่า เอ็นด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนจริง (เชิงซ้อน) ซึ่งเป็นระบบพหุนาม 1, x, x2, … , xnมีความเป็นอิสระเชิงเส้นสูงสุด 5. ในชุดพหุนามทั้งหมดที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนจริง (เชิงซ้อน) ตัวอย่างของระบบอิสระเชิงเส้นสูงสุดคือ ก) 1, x, x2, ... , xn, ... ; ข) 1,
(1 – x), (1 – x)2, … , (1 – x)เอ็น... 6. เซตของเมทริกซ์มิติ ม´
เอ็นเป็นปริภูมิเชิงเส้น (ตรวจสอบสิ่งนี้) ตัวอย่างของระบบอิสระเชิงเส้นสูงสุดในพื้นที่นี้คือระบบเมทริกซ์ E11= , E12 =, …, อีมน = . ให้ระบบเวกเตอร์ได้รับ C1, c2, …, อ้างอิง
- เรียกว่าระบบย่อยของเวกเตอร์จาก (*) อิสระเชิงเส้นสูงสุด ระบบย่อยระบบ (
*)
ถ้ามันเป็นอิสระเชิงเส้น แต่เมื่อบวกเวกเตอร์อื่นๆ ของระบบนี้เข้าไป มันก็จะกลายเป็นเชิงเส้นตรง ถ้าระบบ (*) มีจำนวนจำกัด ดังนั้นระบบย่อยอิสระเชิงเส้นสูงสุดใดๆ ของระบบจะมีจำนวนเวกเตอร์เท่ากัน (พิสูจน์ด้วยตัวเอง). เรียกจำนวนเวกเตอร์ในระบบย่อยอิสระเชิงเส้นสูงสุดของระบบ (*) อันดับ
ระบบนี้. แน่นอนว่าระบบเวกเตอร์ที่เทียบเท่ามีอันดับเท่ากัน ฟังก์ชันต่างๆ จะถูกเรียกว่า เป็นอิสระเชิงเส้นถ้า (อนุญาตให้ใช้เฉพาะการรวมฟังก์ชันเชิงเส้นเล็กน้อยที่เท่ากับศูนย์เท่านั้น) ตรงกันข้ามกับความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์ ในที่นี้ผลรวมเชิงเส้นจะเหมือนกันกับศูนย์ และไม่เท่ากัน สิ่งนี้สามารถเข้าใจได้ เนื่องจากค่าใด ๆ ของอาร์กิวเมนต์จะต้องเป็นไปตามความเท่าเทียมกันของชุดค่าผสมเชิงเส้นถึงศูนย์ ฟังก์ชันต่างๆ จะถูกเรียกว่า ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหากมีชุดค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ (ค่าคงที่ไม่ทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์) เช่นนั้น (มีชุดฟังก์ชันเชิงเส้นที่ไม่ไม่สำคัญซึ่งเท่ากับศูนย์เหมือนกัน) ทฤษฎีบท.เพื่อให้ฟังก์ชันขึ้นอยู่กับเชิงเส้น จำเป็นและเพียงพอที่ฟังก์ชันใดๆ จะต้องแสดงเป็นเส้นตรงผ่านฟังก์ชันอื่นๆ (แสดงเป็นผลรวมเชิงเส้น) พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ด้วยตัวเอง มันถูกพิสูจน์ในลักษณะเดียวกับทฤษฎีบทที่คล้ายกันเกี่ยวกับการพึ่งพาเชิงเส้นของเวกเตอร์ ดีเทอร์มิแนนต์ของวรอนสกี ดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski สำหรับฟังก์ชันถูกนำมาใช้เป็นดีเทอร์มิแนนต์ซึ่งมีคอลัมน์เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ตั้งแต่ศูนย์ (ตัวฟังก์ชันเอง) จนถึงลำดับที่ n-1 ทฤษฎีบท- ถ้าฟังก์ชั่น การพิสูจน์. ตั้งแต่ฟังก์ชั่น ตัวตนสามารถแยกแยะได้ดังนั้น จากนั้นคอลัมน์แรกของดีเทอร์มิแนนต์ Wronski จะแสดงเป็นเส้นตรงผ่านคอลัมน์ที่เหลือ ดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์ Wronski จึงมีค่าเท่ากับศูนย์เหมือนกัน ทฤษฎีบท.เพื่อให้การแก้สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ n เป็นอิสระเชิงเส้น มีความจำเป็นและเพียงพอที่. การพิสูจน์. ความจำเป็นตามมาจากทฤษฎีบทที่แล้ว ความเพียงพอ มาแก้ไขบางจุดกัน เนื่องจาก คอลัมน์ของดีเทอร์มิแนนต์ที่คำนวณ ณ จุดนี้จะเป็นเวกเตอร์ที่ขึ้นต่อเชิงเส้น เนื่องจากผลรวมเชิงเส้นของคำตอบของสมการเอกพันธ์เชิงเส้นคือคำตอบของมัน เราจึงสามารถแนะนำคำตอบของรูปแบบได้ ผลรวมเชิงเส้นของคำตอบที่มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากัน โปรดทราบว่าวิธีแก้ปัญหานี้เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นศูนย์ ซึ่งตามมาจากระบบสมการข้างต้น แต่คำตอบเล็กๆ น้อยๆ ของสมการเอกพันธ์เชิงเส้นยังเป็นไปตามเงื่อนไขตั้งต้นที่เป็นศูนย์เช่นเดียวกัน ดังนั้น จากทฤษฎีบทของ Cauchy จึงเป็นไปตามว่าวิธีแก้ปัญหาที่เสนอนั้นมีค่าเท่ากับวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อย ดังนั้น ดังนั้นคำตอบจึงขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง ผลที่ตามมาหากดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski ซึ่งสร้างขึ้นจากคำตอบของสมการเอกพันธ์เชิงเส้น หายไปอย่างน้อยที่จุดหนึ่ง มันจะเท่ากับศูนย์เหมือนกัน การพิสูจน์. ถ้า ดังนั้นคำตอบจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง ดังนั้น ทฤษฎีบท.1. สำหรับการพึ่งพาเชิงเส้นของการแก้ปัญหาจำเป็นและเพียงพอ(หรือ ). 2. เพื่อความเป็นอิสระเชิงเส้นของการแก้ปัญหา จำเป็นและเพียงพอ การพิสูจน์. ข้อความแรกต่อจากทฤษฎีบทและข้อพิสูจน์ที่พิสูจน์แล้วข้างต้น ข้อความที่สองสามารถพิสูจน์ได้ง่ายโดยมีข้อขัดแย้ง ปล่อยให้คำตอบเป็นอิสระเชิงเส้น ถ้า ดังนั้นคำตอบจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง ความขัดแย้ง เพราะฉะนั้น, .
อนุญาต .
ถ้าคำตอบนั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นแล้ว ,
จึงมีความขัดแย้งกัน ดังนั้นผลเฉลยจึงเป็นอิสระเชิงเส้น ผลที่ตามมาการหายไปของดีเทอร์มิแนนต์ Wronski อย่างน้อยหนึ่งจุดเป็นเกณฑ์สำหรับการพึ่งพาเชิงเส้นของคำตอบของสมการเอกพันธ์เชิงเส้น ความแตกต่างระหว่างดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski และศูนย์คือเกณฑ์สำหรับความเป็นอิสระเชิงเส้นของการแก้สมการเอกพันธ์เชิงเส้น ทฤษฎีบท.มิติของปริภูมิของคำตอบของสมการเอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ n เท่ากับ n การพิสูจน์. ก) ให้เราแสดงให้เห็นว่ามีวิธีแก้ที่ไม่เป็นอิสระเชิงเส้นของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ n อยู่ ลองพิจารณาวิธีแก้ปัญหา ........................................................... วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวมีอยู่จริง ตามทฤษฎีบทของ Cauchy ผ่านจุดนั้นจริงๆ คำตอบเหล่านี้มีความเป็นอิสระเชิงเส้น เนื่องจาก b) ให้เราแสดงว่าคำตอบใดๆ ของสมการเอกพันธ์เชิงเส้นจะแสดงเป็นเส้นตรงผ่านคำตอบเหล่านี้ (คือผลรวมเชิงเส้นของสมการเหล่านี้) ลองพิจารณาสองวิธี หนึ่ง - วิธีแก้ปัญหาตามอำเภอใจพร้อมเงื่อนไขเริ่มต้น เลมมา 1
: ถ้าในเมทริกซ์ขนาด n n อย่างน้อยหนึ่งแถว (คอลัมน์) เป็นศูนย์ แถว (คอลัมน์) ของเมทริกซ์จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง การพิสูจน์:ให้บรรทัดแรกเป็นศูนย์แล้ว
ที่ไหน 1 0- นั่นคือสิ่งที่จำเป็น คำนิยาม:
เรียกว่าเมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบที่อยู่ต่ำกว่าเส้นทแยงมุมหลักเท่ากับศูนย์ สามเหลี่ยม:
และไอ = 0, ฉัน>เจ บทแทรก 2:
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สามเหลี่ยมเท่ากับผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลัก การพิสูจน์ทำได้ง่ายโดยการเหนี่ยวนำมิติของเมทริกซ์ ทฤษฎีบท
เรื่องความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์ ก)ความจำเป็น:
ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ด=0 . การพิสูจน์:ปล่อยให้พวกมันขึ้นอยู่กับเชิงเส้น เจ=, นั่นคือมี j ไม่เท่ากับศูนย์ทั้งหมด เจ= ,อะไร ก 1 A 1 + ก 2 A 2 + ... ก ก ก n = , ก –คอลัมน์เมทริกซ์ ก.ยกตัวอย่างว่า n¹0. เรามี a j * = a j / a n , j£ n-1a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... a n -1 * A n -1 + A n = . ลองแทนที่คอลัมน์สุดท้ายของเมทริกซ์กัน กบน ก n * = ก 1 * ก 1 + ก 2 * ก 2 + ... ก n -1 ก n -1 + ก n = . ตามคุณสมบัติที่ได้รับการพิสูจน์แล้วข้างต้นของดีเทอร์มิแนนต์ (จะไม่เปลี่ยนแปลงหากมีการเพิ่มคอลัมน์อื่นในเมทริกซ์ลงในคอลัมน์ใด ๆ คูณด้วยตัวเลข) ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ใหม่จะเท่ากับดีเทอร์มิแนนต์ของ อันเดิม แต่ในเมทริกซ์ใหม่ คอลัมน์หนึ่งเป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่า เมื่อขยายดีเทอร์มิแนนต์ไปเหนือคอลัมน์นี้ เราจะได้ ด=0, Q.E.D. ข)ความเพียงพอ:เมทริกซ์ขนาด ไม่โดยมีแถวที่เป็นอิสระเชิงเส้นตรงสามารถลดให้เป็นรูปแบบสามเหลี่ยมได้เสมอโดยใช้การแปลงที่ไม่เปลี่ยนค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์ ยิ่งไปกว่านั้น จากความเป็นอิสระของแถวของเมทริกซ์ดั้งเดิม ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จะเท่ากับศูนย์ 1. ถ้าอยู่ในเมทริกซ์ขนาด ไม่โดยมีองค์ประกอบแถวที่เป็นอิสระเชิงเส้น 11เท่ากับศูนย์ ตามด้วยคอลัมน์ที่มีองค์ประกอบ 1 เจ ¹ 0- ตามบทแทรกที่ 1 มีองค์ประกอบดังกล่าวอยู่ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ถูกแปลงอาจแตกต่างจากดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดั้งเดิมในเครื่องหมายเท่านั้น 2. จากบรรทัดที่มีตัวเลข ฉัน>1ลบบรรทัดแรกคูณด้วยเศษส่วน คือ ฉัน 1 /a 11- นอกจากนี้ในคอลัมน์แรกของแถวที่มีตัวเลข ฉัน>1จะส่งผลให้องค์ประกอบเป็นศูนย์ 3. มาเริ่มคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ผลลัพธ์โดยการแยกย่อยในคอลัมน์แรก เนื่องจากองค์ประกอบทั้งหมดในนั้นยกเว้นองค์ประกอบแรกมีค่าเท่ากับศูนย์ D ใหม่ = 11 ใหม่ (-1) 1+1 D 11 ใหม่ ที่ไหน วันที่ 11 ใหม่คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่มีขนาดเล็กกว่า ต่อไปจะคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ ง 11ทำซ้ำขั้นตอนที่ 1, 2, 3 จนกระทั่งตัวกำหนดสุดท้ายกลายเป็นตัวกำหนดขนาดเมทริกซ์ 1 1.
เนื่องจากขั้นตอนที่ 1 เปลี่ยนเพียงเครื่องหมายของดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ที่กำลังแปลงเท่านั้น และขั้นตอนที่ 2 จะไม่เปลี่ยนค่าของดีเทอร์มิแนนต์เลย ดังนั้น ในที่สุดเราก็จะได้ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดั้งเดิมจนถึงเครื่องหมาย ในกรณีนี้ เนื่องจากความเป็นอิสระเชิงเส้นของแถวของเมทริกซ์ดั้งเดิม ขั้นตอนที่ 1 จึงเป็นที่น่าพอใจเสมอ องค์ประกอบทั้งหมดของเส้นทแยงมุมหลักจะกลายเป็นไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นปัจจัยสุดท้ายตามอัลกอริทึมที่อธิบายไว้จะเท่ากับผลคูณขององค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์บนเส้นทแยงมุมหลัก ดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดั้งเดิมจึงไม่เท่ากับศูนย์ Q.E.D. ภาคผนวก 2
.
(21)
.
จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงแล้วเป็นอิสระเชิงเส้น จากนั้นอันใดอันหนึ่งก็แสดงเป็นเชิงเส้นผ่านอันอื่น ๆ เช่น
ว่าความสัมพันธ์เป็นที่พอใจเป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้นต่อไปนี้:
ผ่านเส้นโค้งอินทิกรัลเส้นเดียว นั่นคือคำตอบ ผ่านจุด 
สารละลายจะผ่านจุดนั้น
- การแก้ปัญหาผ่านจุด 
- สารละลาย .
.
- อัตราส่วนที่ยุติธรรม
วัสดุเฉพาะเรื่อง:
