โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกน (หรือเส้นศูนย์สูตร) ของส่วนสัมพันธ์กับแกนบางแกนเรียกว่ายึดพื้นที่ทั้งหมด เอฟ ดีเอฟโดยกำลังสองของระยะทางจากแกนนี้เช่น
โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของส่วนที่สัมพันธ์กับจุดใดจุดหนึ่ง (ขั้ว) จะถูกยึดครอบคลุมพื้นที่ทั้งหมด เอฟผลรวมของผลิตภัณฑ์ของพื้นที่ประถมศึกษา ดีเอฟโดยกำลังสองของระยะทางจากจุดนี้คือ
โมเมนต์แรงเฉื่อยของจุดศูนย์กลางที่สัมพันธ์กับแกนตั้งฉากกันสองแกนจะเข้าครอบคลุมพื้นที่ทั้งหมด เอฟผลรวมของผลิตภัณฑ์ของพื้นที่ประถมศึกษา ดีเอฟที่ระยะห่างจากแกนเหล่านี้เช่น
โมเมนต์ความเฉื่อยแสดงเป็นซม. 4, ม. 4 เป็นต้น โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนและขั้วจะเป็นค่าบวกเสมอเนื่องจากการแสดงออกภายใต้เครื่องหมายอินทิกรัลรวมถึงค่าของพื้นที่ ดีเอฟ(บวกเสมอ) และกำลังสองของระยะห่างของพื้นที่เหล่านี้จากแกนหรือขั้วที่กำหนด
ข้าว. 2.3. ส่วนที่มีพื้นที่ F
โมเมนต์ความเฉื่อยในแนวแกนของส่วนนี้สัมพันธ์กับแกน ที่และ เอ็กซ์:
ผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยเหล่านี้
เพราะฉะนั้น,
ผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนของส่วนที่สัมพันธ์กับแกนที่ตั้งฉากกันสองแกนจะเท่ากับโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของส่วนนี้สัมพันธ์กับจุดตัดของแกนเหล่านี้
โมเมนต์แรงเฉื่อยของแรงเหวี่ยงอาจเป็นค่าบวกหรือเท่ากับศูนย์ โมเมนต์แรงเฉื่อยของส่วนที่สัมพันธ์กับแกน ซึ่งแกนใดแกนหนึ่งหรือทั้งสองแกนตรงกับแกนสมมาตร จะเท่ากับศูนย์ โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนของส่วนที่ซับซ้อนสัมพันธ์กับแกนใดแกนหนึ่งจะเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนของส่วนประกอบที่สัมพันธ์กับแกนเดียวกัน ในทำนองเดียวกัน โมเมนต์ความเฉื่อยจากแรงเหวี่ยงของส่วนที่ซับซ้อนสัมพันธ์กับแกนตั้งฉากสองแกนใดๆ ก็ตามจะเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยของแรงเหวี่ยงของส่วนที่เป็นส่วนประกอบสัมพันธ์กับแกนเดียวกัน นอกจากนี้ โมเมนต์เชิงขั้วของความเฉื่อยของส่วนที่ซับซ้อนสัมพันธ์กับจุดหนึ่งจะเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของส่วนที่เป็นส่วนประกอบซึ่งสัมพันธ์กับจุดเดียวกัน โปรดทราบว่าไม่สามารถสรุปโมเมนต์ความเฉื่อยที่คำนวณเกี่ยวกับแกนและจุดที่ต่างกันได้
สำหรับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
สำหรับวงกลม
สำหรับแหวนนั้น
บ่อยครั้งเมื่อแก้ไขปัญหาในทางปฏิบัติจำเป็นต้องกำหนดโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนที่สัมพันธ์กับแกนที่มุ่งเน้นในรูปแบบต่างๆในระนาบของมัน ในกรณีนี้จะสะดวกในการใช้ค่าที่ทราบอยู่แล้วของช่วงเวลาความเฉื่อยของส่วนทั้งหมด (หรือส่วนประกอบแต่ละส่วน) เทียบกับแกนอื่น ๆ ที่ให้ไว้ในวรรณกรรมทางเทคนิค หนังสืออ้างอิงพิเศษ และตารางเช่นกัน ตามที่คำนวณโดยใช้สูตรที่มีอยู่ ดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญมากที่จะต้องสร้างความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนเดียวกันที่สัมพันธ์กับแกนที่ต่างกัน
ในกรณีทั่วไปส่วนใหญ่ การเปลี่ยนจากจุดใดก็ได้ เก่าไปใดๆ ใหม่ระบบพิกัดถือได้ว่าเป็นการแปลงสองครั้งติดต่อกัน ระบบเก่าพิกัด:
1) โดยการถ่ายโอนแกนพิกัดแบบขนานไปยังตำแหน่งใหม่
2) โดยการหมุนให้สัมพันธ์กับจุดกำเนิดใหม่
เพราะฉะนั้น,
ถ้าเป็นแกน เอ็กซ์ผ่านจุดศูนย์ถ่วงของส่วนแล้วผ่านโมเมนต์คงที่ ส= 0 และ
ในบรรดาโมเมนต์ความเฉื่อยทั้งหมดเกี่ยวกับแกนขนาน โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนมีค่าน้อยที่สุดเกี่ยวกับแกนที่ผ่านจุดศูนย์ถ่วงของส่วนนั้น
โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน ที่
ในกรณีเฉพาะเมื่อแกน / ผ่านจุดศูนย์ถ่วงของส่วน
โมเมนต์ความเฉื่อยจากแรงเหวี่ยง
ในกรณีพิเศษเมื่อกำเนิดของระบบพิกัดแบบเก่า คุณ0хตั้งอยู่ที่จุดศูนย์ถ่วงของส่วน
หากส่วนนั้นสมมาตรและแกนเก่าอันใดอันหนึ่ง (หรือทั้งสองแกน) เกิดขึ้นพร้อมกับแกนสมมาตร ดังนั้น
โมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนต่าง ๆ ต่อไปนี้มีความโดดเด่น: แกน; แรงเหวี่ยง; ขั้วโลก; จุดศูนย์กลางและจุดสำคัญของความเฉื่อย
โมเมนต์ความเฉื่อยจากแรงเหวี่ยงภาพตัดขวางสัมพัทธ์ ที่และ zเรียกว่าอินทิกรัลของรูปแบบ ผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนของส่วนที่สัมพันธ์กับแกนพิกัดสองแกนจะเท่ากับโมเมนต์เชิงขั้วของความเฉื่อยที่สัมพันธ์กับจุดกำเนิด:มิติของโมเมนต์ความเฉื่อยประเภทที่ระบุของส่วน (ความยาว 4) เช่น ม. 4 หรือซม. 4
โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนและขั้วของส่วนนั้นเป็นปริมาณบวก โมเมนต์แรงเฉื่อยของแรงเหวี่ยงอาจเป็นค่าบวก ลบ และเท่ากับศูนย์ (สำหรับแกนบางแกนที่เป็นแกนสมมาตร)
มีการขึ้นต่อกันของโมเมนต์ความเฉื่อยระหว่างการแปลแบบขนานและการหมุนแกนพิกัด
รูปที่ 5.4 – การแปลแบบขนานและการหมุนแกนพิกัดโดยพลการ ภาพตัดขวางไม้
หากทราบโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนดังกล่าว อิซ ฉัน อิซึสัมพันธ์กับแกน zและ ที่จากนั้นโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนที่หมุน ซี 1และ เวลา 1ที่มุม α สัมพันธ์กับแกนดั้งเดิม (รูปที่ 5.4, ข) ถูกกำหนดโดยสูตร:
ด้วยแนวคิด ช่วงเวลาสำคัญของความเฉื่อยเชื่อมโยงตำแหน่งของแกนหลักของความเฉื่อย แกนหลักของความเฉื่อยเรียกว่าแกนตั้งฉากกันสองแกนซึ่งสัมพันธ์กับโมเมนต์แรงเฉื่อยของแรงเหวี่ยงเท่ากับศูนย์และโมเมนต์ตามแนวแกนได้รับค่าที่รุนแรง (สูงสุดและต่ำสุด)
หากแกนหลักผ่านจุดศูนย์ถ่วงของร่างก็จะถูกเรียก แกนกลางหลักของความเฉื่อย
ตำแหน่งของแกนหลักของความเฉื่อยพบได้จากการอ้างอิงต่อไปนี้:เมื่อคำนวณความแข็งแรงขององค์ประกอบโครงสร้างจะใช้แนวคิดเกี่ยวกับลักษณะทางเรขาคณิตเช่น โมดูลัสส่วน.
ให้เราพิจารณาตัวอย่างเช่น ส่วนตัดขวางของคาน (รูปที่ 5.5)
รูปที่ 5.5 – ตัวอย่างหน้าตัดของลำแสง
ระยะทางที่ไกลที่สุด t กจากจุดศูนย์ถ่วงของส่วนต่างๆ เช่น ส เกี่ยวกับสำคัญ ชั่วโมง 1,และระยะทาง t ใน- ผ่าน ชั่วโมง 2.
| (5.16) |
สิ่งที่น่าสนใจในทางปฏิบัติในการคำนวณความแข็งแกร่งคือช่วงเวลาต้านทานที่เล็กที่สุดของส่วนนี้ วมินสอดคล้องกับ t ที่ไกลที่สุด กจากจุดศูนย์ถ่วงของส่วน ชั่วโมง 1 = y สูงสุด.
มิติขององค์ประกอบความต้านทาน (ความยาว 3) เช่น ม. 3 ซม. 3
ตารางที่ 5.1 – ค่าโมเมนต์ความเฉื่อยและโมเมนต์ความต้านทานของส่วนที่ง่ายที่สุดที่สัมพันธ์กับแกนกลาง
| ประเภทของชื่อส่วน | ช่วงเวลาแห่งความเฉื่อย | ช่วงเวลาแห่งการต่อต้าน | ||
| สี่เหลี่ยมผืนผ้า |  | |||
| วงกลม |  |  |
ความต่อเนื่องของตาราง 5.1
โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกน (หรือเส้นศูนย์สูตร) ของส่วนที่สัมพันธ์กับแกนคือผลรวมของผลิตภัณฑ์ของพื้นที่ขนาดเล็ก () ที่ยึดพื้นที่ทั้งหมด S คูณด้วยกำลังสองของระยะทางจากพวกมันถึงแกนหมุน:
โมเมนต์เชิงขั้วของความเฉื่อยของส่วนจะถูกระบุโดยสัมพันธ์กับจุดใดจุดหนึ่ง (ขั้ว) โมเมนต์เชิงขั้วของความเฉื่อยของส่วนคือผลรวมของผลคูณของพื้นที่ขนาดเล็ก () ที่ครอบครองพื้นที่ S ของมัน คูณด้วยระยะทางจากพื้นที่เหล่านี้ถึงขั้ว โดยนำมายกกำลังสอง:
ที่ไหน 
ในกรณีของแกนตั้งฉากซึ่งทราบโมเมนต์ความเฉื่อย โมเมนต์เชิงขั้วของความเฉื่อยเทียบกับจุดตัดของแกนเหล่านี้สามารถหาได้ง่ายอันเป็นผลมาจากการรวมโมเมนต์ความเฉื่อยในแนวแกน:
บางครั้งการพิจารณาโมเมนต์แรงเฉื่อยของส่วนซึ่งพบว่าเป็น
การแสดงออก (4) กล่าวว่าโมเมนต์แรงเฉื่อยของส่วนที่สัมพันธ์กับแกนตั้งฉากซึ่งกันและกันคือผลรวมของผลคูณของพื้นที่เบื้องต้น () โดยระยะห่างจากพวกมันถึงแกนที่พิจารณาทั่วทั้งพื้นที่ S
โมเมนต์ความเฉื่อยในแนวแกนและขั้วจะเป็นค่าบวกเสมอ โมเมนต์แรงเหวี่ยงของความเฉื่อยของส่วนต่างๆ อาจมากกว่าหรือน้อยกว่าศูนย์ก็ได้ โมเมนต์แรงเฉื่อยของส่วนที่สัมพันธ์กับแกน ซึ่งหนึ่งในนั้นหรือทั้งสองตรงกับแกนสมมาตรมีค่าเท่ากับศูนย์
โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนของส่วนที่ซับซ้อนสัมพันธ์กับแกนเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนของส่วนของส่วนนี้สัมพันธ์กับแกนเดียวกัน โมเมนต์ความเฉื่อยของแรงเหวี่ยงของส่วนที่ซับซ้อนสัมพันธ์กับแกนสองแกนตั้งฉากกันสามารถพบได้เป็นผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยของแรงเหวี่ยงของชิ้นส่วนที่สัมพันธ์กับแกนเดียวกัน โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วมีคุณสมบัติเหมือนกัน อย่างไรก็ตาม เป็นไปไม่ได้ที่จะเพิ่มโมเมนต์ความเฉื่อยซึ่งสัมพันธ์กับแกนและจุดที่ต่างกัน
ตัวอย่างที่ 1
| ออกกำลังกาย | กำหนดโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนของส่วนสามเหลี่ยมหน้าจั่วรอบแกนที่ผ่านฐาน (รูปที่ 1) ความยาวของฐานของรูปสามเหลี่ยมคือ ความสูงคือ |
| สารละลาย | มาวาดรูปกันเถอะ ให้เราเลือกพื้นที่เบื้องต้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าบนส่วนสามเหลี่ยม (ดูรูปที่ 1) ซึ่งอยู่ห่างจากแกนหมุน โดยด้านหนึ่งยาว อีกด้านเป็น จากรูปที่ 1 มีดังนี้:
จากนั้นเราจะหาพื้นที่ของไซต์ที่จัดสรรดังนี้: โมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนสามเหลี่ยมที่สัมพันธ์กับแกน Z ตามคำจำกัดความเท่ากับ: |
| คำตอบ |
ตัวอย่างที่ 2
| ออกกำลังกาย | ค้นหาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของส่วนในรูปของวงกลมที่สัมพันธ์กับศูนย์กลาง รัศมีของวงกลมคือ |
| สารละลาย | อันดับแรก เรามาค้นหาโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนของวงกลมที่สัมพันธ์กับแกน OZ (ดูรูปที่ 2) ให้เราเลือกพื้นที่เบื้องต้นบนวงกลมในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านข้าง และ . จากรูป 2 ตามมา |
ให้เราแนะนำคาร์ทีเซียน ระบบสี่เหลี่ยมพิกัด O xy ให้เราพิจารณาส่วนที่กำหนดเอง (พื้นที่ปิด) กับพื้นที่ A ในระนาบพิกัด (รูปที่ 1)
ช่วงเวลาที่คงที่
จุด C พร้อมพิกัด (x C , y C)
เรียกว่า จุดศูนย์ถ่วงของส่วน.
หากแกนพิกัดผ่านจุดศูนย์ถ่วงของส่วน โมเมนต์คงที่ของส่วนนั้นจะเท่ากับศูนย์:
โมเมนต์ความเฉื่อยในแนวแกนส่วนที่สัมพันธ์กับแกน x และ y เรียกว่าอินทิกรัลของแบบฟอร์ม:
โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วส่วนที่สัมพันธ์กับจุดกำเนิดเรียกว่าอินทิกรัลของแบบฟอร์ม:
โมเมนต์ความเฉื่อยจากแรงเหวี่ยงส่วนนี้เรียกว่าอินทิกรัลของแบบฟอร์ม:
แกนหลักของความเฉื่อยของส่วนแกนสองแกนตั้งฉากกันถูกเรียกว่าโดยที่ I xy = 0 หากหนึ่งในแกนตั้งฉากซึ่งกันและกันคือแกนของสมมาตรของส่วน I xy =0 และด้วยเหตุนี้แกนเหล่านี้จึงเป็นแกนหลัก แกนหลักที่ผ่านจุดศูนย์ถ่วงของส่วนเรียกว่า แกนกลางหลักของความเฉื่อยของส่วน
ทฤษฎีบทสไตเนอร์-ไฮเกนส์ (ทฤษฎีบทของสไตเนอร์)
โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนของส่วน I สัมพันธ์กับแกนคงที่โดยพลการ x เท่ากับผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนของส่วน I นี้โดยมีแกนสัมพัทธ์ x * ขนานกับมันโดยผ่านจุดศูนย์กลางมวลของส่วน และผลคูณของพื้นที่หน้าตัด A คูณกำลังสองของระยะห่าง d ระหว่างแกนทั้งสอง
หากทราบช่วงเวลาของความเฉื่อย I x และฉัน y สัมพันธ์กับแกน x และ y ดังนั้นเมื่อเทียบกับแกน ν และ u ที่หมุนด้วยมุม α โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนและแรงเหวี่ยงจะถูกคำนวณโดยใช้สูตร:
จากสูตรข้างต้นจะเห็นได้ว่า
เหล่านั้น. ผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนเมื่อหมุนแกนตั้งฉากซึ่งกันและกันไม่เปลี่ยนแปลงเช่น แกน u และ v สัมพันธ์กับโมเมนต์แรงเฉื่อยของแรงเหวี่ยงของส่วนนั้นเป็นศูนย์และโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกน I u และฉัน v มีความรุนแรงมาก ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดเรียกว่าแกนหลักของส่วน . แกนหลักที่ผ่านจุดศูนย์ถ่วงของส่วนนั้นเรียกว่า แกนกลางหลักของส่วน- สำหรับส่วนสมมาตร แกนสมมาตรจะเป็นแกนกลางหลักเสมอ ตำแหน่งของแกนหลักของส่วนสัมพันธ์กับแกนอื่นถูกกำหนดโดยใช้ความสัมพันธ์:
โดยที่ α 0 คือมุมที่ต้องหมุนแกน x และ y เพื่อให้กลายเป็นแกนหลัก (โดยปกติมุมบวกจะตั้งทวนเข็มนาฬิกา มุมลบจะถูกตั้งตามเข็มนาฬิกา) โมเมนต์ความเฉื่อยในแนวแกนรอบแกนหลักเรียกว่า ช่วงเวลาสำคัญของความเฉื่อย:
เครื่องหมายบวกหน้าเทอมที่สองหมายถึงโมเมนต์ความเฉื่อยสูงสุด ส่วนเครื่องหมายลบคือค่าต่ำสุด
ตามที่ระบุไว้ใน§ 1.5 ลักษณะทางเรขาคณิตของส่วนที่ซับซ้อนถูกกำหนดโดยการแบ่งออกเป็นตัวเลขง่ายๆ จำนวนหนึ่ง ลักษณะทางเรขาคณิตสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรที่เหมาะสมหรือกำหนดโดยใช้ตารางพิเศษ สูตรเหล่านี้ได้มาจากการรวมนิพจน์โดยตรง (8.5)-(10.5) วิธีการได้มาจะกล่าวถึงด้านล่างโดยใช้ตัวอย่างของสี่เหลี่ยม สามเหลี่ยม และวงกลม
ส่วนสี่เหลี่ยม
ให้เรากำหนดโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความสูง h และความกว้าง b สัมพันธ์กับแกนที่ผ่านฐานของมัน (รูปที่ 11.5, a) ให้เราเลือกแถบพื้นฐานที่มีความสูงและความกว้าง b จากสี่เหลี่ยมที่มีเส้นขนานกับแกน
พื้นที่ของแถบนี้ระยะห่างจากแถบถึงแกนเท่ากับพวกมัน ลองแทนปริมาณเหล่านี้เป็นนิพจน์สำหรับโมเมนต์ความเฉื่อย (8.5):
ในทำนองเดียวกัน สำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน เราสามารถรับนิพจน์ได้
เพื่อกำหนดโมเมนต์ความเฉื่อยจากแรงเหวี่ยง เราเลือกจากสี่เหลี่ยมที่มีเส้นขนานกับแกน (รูปที่.
11.5, b) พื้นที่เบื้องต้นที่มีขนาด ก่อนอื่นให้เราพิจารณาโมเมนต์ความเฉื่อยของแรงเหวี่ยงไม่ใช่ของสี่เหลี่ยมทั้งหมด แต่เฉพาะแถบแนวตั้งที่มีความสูง h และความกว้างซึ่งอยู่ห่างจากแกน
ผลิตภัณฑ์ถูกวางไว้นอกเครื่องหมายอินทิกรัล เนื่องจากพื้นที่ทั้งหมดที่เป็นของแถบแนวตั้งที่พิจารณาจะเป็นค่าคงที่
ให้เรารวมนิพจน์ในช่วงตั้งแต่ถึง
ตอนนี้ให้เรากำหนดโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนของสี่เหลี่ยมที่สัมพันธ์กับ y และแกนที่ผ่านจุดศูนย์ถ่วงขนานกับด้านข้างของสี่เหลี่ยม (รูปที่ 12.5) ในกรณีนี้ ขีดจำกัดของการผสานรวมจะเป็นตั้งแต่ ถึง
โมเมนต์ความเฉื่อยของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่สัมพันธ์กับแกน (รูปที่ 12.5) มีค่าเท่ากับศูนย์เนื่องจากแกนเหล่านี้ตรงกับแกนสมมาตร
ส่วนสามเหลี่ยม
ให้เราพิจารณาโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนของสามเหลี่ยมสัมพันธ์กับแกนขนานสามแกนที่ผ่านฐานของมัน (รูปที่ 13.5, a) จุดศูนย์ถ่วง (รูปที่ 13.5, b) และจุดยอด (รูปที่ 13.5, e)
สำหรับกรณีที่แกนผ่านฐานของสามเหลี่ยม (รูปที่ 13.5, a)
สำหรับกรณีที่แกนผ่านจุดศูนย์ถ่วงของสามเหลี่ยมขนานกับฐาน (รูปที่ 13.5, b)
ในกรณีที่แกนผ่านจุดยอดของสามเหลี่ยมขนานกับฐาน (รูปที่ 13.5, c)
โมเมนต์ความเฉื่อยมีค่ามากกว่าโมเมนต์ความเฉื่อยอย่างมีนัยสำคัญ (สามเท่า) เนื่องจากส่วนหลักของพื้นที่ของสามเหลี่ยมอยู่ห่างจากแกนมากกว่าจากแกน
ได้รับนิพจน์ (17.5) - (19.5) สำหรับสามเหลี่ยมหน้าจั่ว อย่างไรก็ตาม สิ่งเหล่านี้ก็เป็นจริงสำหรับสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่หน้าจั่วด้วย ตัวอย่างเช่น การเปรียบเทียบรูปสามเหลี่ยมที่แสดงในรูปที่ 1 13.5, a และ 13.5, d โดยอันแรกคือหน้าจั่วและอันที่สองไม่ใช่หน้าจั่ว เรากำหนดว่าขนาดของพื้นที่และขีดจำกัดที่ y แปรผัน (ตั้งแต่ 0 ถึง) จะเท่ากันสำหรับสามเหลี่ยมทั้งสอง ดังนั้นโมเมนต์ความเฉื่อยสำหรับพวกมันก็เหมือนกันเช่นกัน ในทำนองเดียวกัน แสดงให้เห็นว่าโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนของทุกส่วนดังแสดงในรูปที่ 1 14.5 เหมือนกัน. โดยทั่วไป การกระจัดของชิ้นส่วนของส่วนขนานกับแกนใดแกนหนึ่งจะไม่ส่งผลต่อค่าของโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนที่สัมพันธ์กับแกนนี้
เห็นได้ชัดว่าผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนของสามเหลี่ยมสัมพันธ์กับแกนที่แสดงในรูปที่ 1 13.5, a และ 13.5, b ควรเท่ากับโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนของสี่เหลี่ยมที่สัมพันธ์กับแกนที่แสดงในรูปที่ 1 11.5 ก. สิ่งนี้ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าสี่เหลี่ยมถือได้ว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมสองรูปโดยอันหนึ่งแกนผ่านฐานและอีกอันผ่านจุดยอดขนานกับฐาน (รูปที่ 15.5)
แท้จริงแล้วตามสูตร (17.5) และ (19.5)
ซึ่งตรงกับการแสดงออกของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าตามสูตร (12.5)
ส่วนที่เป็นรูปทรงวงกลม
ให้เราพิจารณาโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนของวงกลมที่สัมพันธ์กับแกนใดๆ ที่ผ่านจุดศูนย์ถ่วง จากรูป 16.5 แต่ควร
แน่นอนว่าสำหรับแกนใดๆ ที่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม โมเมนต์ความเฉื่อยในแนวแกนจะเท่ากัน ดังนั้น
ใช้สูตร (11.5) เราค้นหาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของวงกลมที่สัมพันธ์กับศูนย์กลาง:
สูตรหาโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนของวงกลมหาได้มากกว่านี้ ด้วยวิธีง่ายๆหากคุณได้สูตรหาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วเทียบกับจุดศูนย์กลาง (จุด O) ก่อน ในการทำเช่นนี้เราเลือกวงแหวนพื้นฐานจากวงกลมที่มีความหนารัศมีและพื้นที่ (รูปที่ 16.5, b)
โมเมนต์เชิงขั้วของความเฉื่อยของวงแหวนปฐมภูมิที่สัมพันธ์กับศูนย์กลางของวงกลม เนื่องจากพื้นที่พื้นฐานทั้งหมดที่วงแหวนนี้ประกอบด้วยนั้นอยู่ในระยะห่างเท่ากันจากศูนย์กลางของวงกลม เพราะฉะนั้น,
ผลลัพธ์นี้สอดคล้องกับผลลัพธ์ที่ได้รับข้างต้น
โมเมนต์ความเฉื่อย (ขั้วและแนวแกน) ของส่วนที่มีรูปร่างเหมือนวงแหวนวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกและภายใน d (รูปที่ 17.5) สามารถกำหนดได้ว่าเป็นความแตกต่างระหว่างโมเมนต์ความเฉื่อยที่สอดคล้องกันของวงกลมด้านนอกและด้านใน
โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของวงแหวนตามสูตร (21.5)
หรือถ้าเรากำหนด
ในทำนองเดียวกัน สำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนของวงแหวน
เมื่อกำหนดส่วน โครงสร้างอาคารบ่อยครั้งที่จำเป็นต้องทราบช่วงเวลาของความเฉื่อยและช่วงเวลาของการต้านทานสำหรับหน้าตัดของโครงสร้างที่อยู่ระหว่างการพิจารณา โมเมนต์ของการต่อต้านคืออะไรและเกี่ยวข้องกับโมเมนต์ความเฉื่อยอย่างไร โดยมีการอธิบายแยกกัน นอกจากนี้ สำหรับโครงสร้างแบบอัดได้ คุณจำเป็นต้องทราบค่ารัศมีของการหมุนด้วย โมเมนต์ความต้านทานและโมเมนต์ความเฉื่อย และบางครั้งรัศมีของการหมุนสำหรับส่วนตัดขวางส่วนใหญ่ของรูปทรงเรขาคณิตธรรมดาสามารถกำหนดได้โดยใช้สูตรที่รู้จักกันดี:
โดยปกติแล้ว สูตรเหล่านี้จะเพียงพอสำหรับการคำนวณส่วนใหญ่ แต่ก็มีหลายกรณี และหน้าตัดของโครงสร้างอาจไม่มีรูปร่างทางเรขาคณิตแบบง่ายๆ หรือตำแหน่งของแกนที่ต้องการโมเมนต์ความเฉื่อยหรือโมเมนต์ความต้านทาน ที่จะกำหนดอาจจะไม่เหมือนกันก็ใช้สูตรได้ดังนี้
ดังที่เห็นได้จากตารางที่ 2 การคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยและโมเมนต์ความต้านทานสำหรับมุมที่ไม่เท่ากันนั้นค่อนข้างยาก แต่ก็ไม่จำเป็นสำหรับสิ่งนี้ สำหรับมุมการรีดของหน้าแปลนที่ไม่เท่ากันและเท่ากันตลอดจนช่อง, I-beams และ ท่อโปรไฟล์มีหลากหลาย ใน การแบ่งประเภท ค่าของโมเมนต์ความเฉื่อยและโมเมนต์ความต้านทานจะได้รับสำหรับแต่ละโปรไฟล์
อาจจำเป็นต้องใช้สูตรจากตารางที่ 3 เพื่อคำนวณองค์ประกอบหลังคาเอียง
คงจะดีถ้าอธิบาย ตัวอย่างที่ชัดเจนสำหรับผู้ที่มีความสามารถพิเศษอย่างฉัน โมเมนต์แห่งความเฉื่อยคืออะไร และใช้กับอะไร ในไซต์พิเศษทุกอย่างสับสนมาก แต่หมอมีความสามารถที่ชัดเจนในการถ่ายทอดข้อมูลอาจจะไม่ซับซ้อนที่สุด แต่มีความสามารถและเข้าใจได้มาก
โดยหลักการแล้ว ช่วงเวลาของความเฉื่อยคืออะไรและมาจากไหนนั้น มีการอธิบายอย่างละเอียดเพียงพอในบทความ “ปัจจัยพื้นฐานของความแข็งแกร่ง ความแข็งแกร่ง สูตรการคำนวณ” ที่นี่ฉันจะทำซ้ำ: “ W คือโมเมนต์ความต้านทานของส่วนตัดขวางของลำแสงหรืออีกนัยหนึ่งคือพื้นที่ของส่วนที่บีบอัดหรือแรงดึงของส่วนลำแสงคูณด้วยแขนของ พลังอันเป็นผล” ต้องทราบโมเมนต์ความต้านทานเพื่อคำนวณความแข็งแรงของโครงสร้างเช่น ตามความเครียดขั้นสูงสุด ต้องทราบโมเมนต์ความเฉื่อยเพื่อกำหนดมุมการหมุนของหน้าตัดและการโก่งตัว (การกระจัด) ของจุดศูนย์ถ่วงของหน้าตัดเนื่องจากการเสียรูปสูงสุดเกิดขึ้นในชั้นบนสุดและต่ำสุดของโครงสร้างการดัดในขณะนั้น ความเฉื่อยสามารถกำหนดได้โดยการคูณโมเมนต์ความต้านทานด้วยระยะห่างจากจุดศูนย์กลางแรงโน้มถ่วงไปยังชั้นบนหรือชั้นล่าง ดังนั้นสำหรับ ส่วนสี่เหลี่ยมผม=Wh/2. เมื่อพิจารณาโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนต่างๆ ของรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อน อันดับแรกร่างที่ซับซ้อนจะถูกแบ่งออกเป็นแบบง่าย ๆ จากนั้นจึงกำหนดพื้นที่หน้าตัดของตัวเลขเหล่านี้และโมเมนต์ความเฉื่อยของตัวเลขที่ง่ายที่สุดจากนั้นจึงกำหนดพื้นที่ที่ง่ายที่สุด ตัวเลขจะถูกคูณด้วยกำลังสองของระยะห่างจากจุดศูนย์ถ่วงทั่วไปของส่วนนั้นถึงจุดศูนย์ถ่วงของรูปที่ง่ายที่สุด โมเมนต์ความเฉื่อยของรูปที่ง่ายที่สุดซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของส่วนที่ซับซ้อนจะเท่ากับโมเมนต์ความเฉื่อยของรูป + กำลังสองของระยะทางคูณด้วยพื้นที่ จากนั้นโมเมนต์ความเฉื่อยที่ได้รับจะถูกรวมเข้าด้วยกัน และรับโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนที่ซับซ้อน แต่นี่เป็นสูตรที่ง่ายที่สุด (แม้ว่าฉันเห็นด้วย แต่ก็ยังดูค่อนข้างยุ่งยาก)
โมเมนต์ความเฉื่อยและโมเมนต์ต่อต้าน - ดร.ลม
ส่วนที่เรียบใดๆ มีลักษณะทางเรขาคณิตหลายประการ: พื้นที่, พิกัดของจุดศูนย์ถ่วง, โมเมนต์คงที่, โมเมนต์ความเฉื่อย ฯลฯ
ช่วงเวลาคงที่เกี่ยวกับแกน เอ็กซ์และ ยเท่าเทียมกัน:
โมเมนต์คงที่มักจะแสดงเป็นลูกบาศก์เซนติเมตรหรือเมตร และสามารถมีทั้งค่าบวกและ ค่าลบ- แกนที่โมเมนต์คงที่เป็นศูนย์เรียกว่า ศูนย์กลางเรียกว่าจุดตัดของแกนกลาง จุดศูนย์ถ่วงของส่วน- สูตรกำหนดพิกัดจุดศูนย์ถ่วง x คและ ใช่ซีส่วนที่ซับซ้อนแบ่งออกเป็นองค์ประกอบง่ายๆ ซึ่งทราบพื้นที่ ฉันและตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วง xciและ ใช่,มีแบบฟอร์ม
ขนาดของโมเมนต์ความเฉื่อยเป็นลักษณะของความต้านทานของแท่งต่อการเสียรูป (แรงบิด, การดัดงอ) ขึ้นอยู่กับขนาดและรูปร่างของหน้าตัด มีช่วงเวลาแห่งความเฉื่อย:
– แนวแกน กำหนดโดยอินทิกรัลของรูปแบบ
โมเมนต์ความเฉื่อยในแนวแกนและขั้วจะเป็นค่าบวกเสมอและไม่ใช่
ไปที่ศูนย์ โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว ไอพีเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกน ฉัน xและ ฉันสัมพันธ์กับแกนตั้งฉากซึ่งกันและกันคู่ใดๆ เอ็กซ์และ ที่:
โมเมนต์ความเฉื่อยจากแรงเหวี่ยงอาจเป็นค่าบวก ลบ หรือศูนย์ก็ได้ มิติของโมเมนต์ความเฉื่อยคือ cm 4 หรือ m 4 สูตรสำหรับกำหนดโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนอย่างง่ายที่สัมพันธ์กับแกนกลางมีอยู่ในหนังสืออ้างอิง เมื่อคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนที่ซับซ้อน มักใช้สูตรสำหรับการเปลี่ยนจากแกนกลางของส่วนอย่างง่ายไปเป็นแกนอื่นที่ขนานกับแกนกลาง
โมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนง่าย ๆ สัมพันธ์กับแกนกลางอยู่ที่ไหน
ม– ระยะห่างระหว่างแกน (รูปที่ 18)
ข้าว. 18. เพื่อกำหนดโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน
แกนกลางหลักของส่วนมีความสำคัญ แกนกลางหลักคือแกนตั้งฉากกันสองแกนที่ผ่านจุดศูนย์ถ่วงของส่วนนั้น สัมพันธ์กับโมเมนต์แรงเฉื่อยของแรงเหวี่ยงเป็นศูนย์ และโมเมนต์ความเฉื่อยของแกนมีค่ามาก ระบุช่วงเวลาหลักของความเฉื่อย ฉันคุณ(สูงสุด) และ IV(นาที) และถูกกำหนดโดยสูตร
ตำแหน่งของแกนหลักถูกกำหนดโดยมุม α ซึ่งหาได้จากสูตร
มุม α ถูกปลดออกจากแกนโดยมีโมเมนต์ความเฉื่อยที่ไม่ใช่แกนหลักขนาดใหญ่ ค่าบวกคือทวนเข็มนาฬิกา
หากส่วนใดส่วนหนึ่งมีแกนสมมาตร แกนนี้จะเป็นแกนหลัก แกนหลักอีกแกนตั้งฉากกับแกนสมมาตร ในทางปฏิบัติมักใช้ส่วนที่ประกอบด้วยโปรไฟล์แบบม้วนหลายอัน (I-beam, ช่อง, มุม) ลักษณะทางเรขาคณิตของโปรไฟล์เหล่านี้มีระบุไว้ในตารางการจัดประเภท สำหรับมุมที่ไม่เท่ากันและด้านเท่ากันหมด โมเมนต์ความเฉื่อยจากแรงเหวี่ยงสัมพันธ์กับแกนกลางที่ขนานกับหน้าแปลนจะถูกกำหนดโดยสูตร
ให้ความสนใจกับการกำหนดแกนกลางหลักในตารางการจัดประเภทสำหรับมุม เข้าสู่ระบบ ฉัน xyการเข้าโค้งขึ้นอยู่กับตำแหน่งในส่วนนั้น รูปที่ 19 แสดงตำแหน่งที่เป็นไปได้ของมุมในส่วนนั้นและแสดงป้ายบอกทาง ฉัน xy.
ข้าว. 19. ตำแหน่งที่เป็นไปได้ของมุมในส่วนนั้น
กำหนด อิอุ, ไอวีและตำแหน่งของแกนกลางหลักของส่วน
ส่วนที่ซับซ้อนประกอบด้วยโปรไฟล์แบบรีดสองโปรไฟล์ สารสกัดจากตารางการจัดประเภท (ภาคผนวก 5) แสดงไว้ในรูปที่ 1 21.
เราจะนำแกนที่ผ่านไปด้านนอกเป็นตัวช่วย
ด้านข้างของช่อง (แกน x บี, คุณบีดูรูป 20).พิกัดจุดศูนย์ถ่วงของส่วน:
(คำนวณตัวเอง).
ข้าว. 20. ตำแหน่งของแกนกลางหลักของความเฉื่อย
คุณและ วีส่วนที่ซับซ้อน
ตัวอย่างเช่น เราสามารถเลือกแกนกลางของช่องสัญญาณเป็นแกนเสริมได้ จากนั้นจำนวนการคำนวณจะลดลงเล็กน้อย
โมเมนต์ความเฉื่อยในแนวแกน:
โปรดทราบว่ามีมุมที่ไม่เท่ากันในส่วนนี้
แตกต่างจากที่แสดงในตารางการจัดประเภท คำนวณมูลค่าด้วยตัวเอง
เบอร์ 24 180 x 110 x 12
ข้าว. 21. ค่าลักษณะทางเรขาคณิตของโปรไฟล์แบบรีด:
ก– ช่องหมายเลข 24 ข– มุมไม่เท่ากัน 180 x 110 x 12
โมเมนต์ความเฉื่อยจากแรงเหวี่ยง:
– สำหรับช่อง (มีแกนสมมาตร)
- สำหรับมุม
เครื่องหมายลบ – เนื่องจากตำแหน่งของมุมในส่วนนั้น
– สำหรับทั้งส่วน:
ปฏิบัติตามวัตถุประสงค์ของป้าย nและ ม- จากแกนกลางของช่องเราย้ายไปยังแกนกลางทั่วไปของส่วน ดังนั้น + ม. 2
ช่วงเวลาหลักของความเฉื่อยของส่วน:
ตำแหน่งของแกนกลางหลักของส่วน:
- α = 55 หรือ 48 ′;
ตรวจสอบความถูกต้องของการคำนวณปริมาณ ฉันคุณ, IVและ α ถูกสร้างขึ้นโดยสูตร
มุม α สำหรับสูตรนี้วัดจากแกน คุณ.
ส่วนที่พิจารณามีความต้านทานต่อการดัดงอสัมพันธ์กับแกนมากที่สุด คุณและเล็กที่สุด – สัมพันธ์กับแกน โวลต์.
