เวกเตอร์ \(\overrightarrow(AB)\) ถือได้ว่าเป็นการเคลื่อนที่ของจุดจากตำแหน่ง \(A\) (จุดเริ่มต้นของการเคลื่อนที่) ไปยังตำแหน่ง \(B\) (สิ้นสุดการเคลื่อนที่) นั่นคือวิถีการเคลื่อนไหวในกรณีนี้ไม่สำคัญ เฉพาะจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเท่านั้นที่สำคัญ!

\(\blacktriangleright\) เวกเตอร์สองตัวอยู่ในแนวเดียวกันหากอยู่บนเส้นเดียวกันหรือบนเส้นขนานสองเส้น
มิฉะนั้นจะเรียกว่าเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลลิเนียร์

\(\blacktriangleright\) เวกเตอร์คอลลิเนียร์สองตัวจะเรียกว่าโคไดนามิกหากทิศทางตรงกัน
ถ้าทิศตรงกันข้าม เรียกว่าทิศตรงกันข้าม

กฎสำหรับการเพิ่มเวกเตอร์คอลลิเนียร์:

ร่วมกำกับ จบอันดับแรก. จากนั้นผลรวมของพวกเขาคือเวกเตอร์ซึ่งจุดเริ่มต้นตรงกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์แรกและจุดสิ้นสุดด้วยจุดสิ้นสุดของวินาที (รูปที่ 1)

\(\blacktriangleright\) หากต้องการเพิ่มสอง กำกับตรงกันข้ามเวกเตอร์, เราสามารถเลื่อนเวกเตอร์ที่สองออกไปได้ เริ่มอันดับแรก. จากนั้นผลรวมของพวกเขาคือเวกเตอร์ซึ่งจุดเริ่มต้นตรงกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ทั้งสองความยาวเท่ากับความแตกต่างของความยาวของเวกเตอร์ทิศทางเกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางของเวกเตอร์ที่ยาวกว่า (รูปที่ 2)

กฎสำหรับการเพิ่มเวกเตอร์ที่ไม่ใช่เส้นตรง \(\overrightarrow (a)\) และ \(\overrightarrow(b)\) :

\(\blacktriangleright\) กฎสามเหลี่ยม (รูปที่ 3)

จำเป็นต้องแยกเวกเตอร์ \(\overrightarrow (b)\) ออกจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ \(\overrightarrow (a)\) จากนั้นผลรวมคือเวกเตอร์ ซึ่งจุดเริ่มต้นตรงกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ \(\overrightarrow (a)\) และสิ้นสุดด้วยจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ \(\overrightarrow (b)\)

\(\blacktriangleright\) กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน (รูปที่ 4)

จำเป็นต้องแยกเวกเตอร์ \(\overrightarrow (b)\) ออกจากจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ \(\overrightarrow (a)\) แล้วจำนวนเงิน \(\overrightarrow (a)+\overrightarrow (b)\)– เวกเตอร์ที่ตรงกับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ \(\overrightarrow (a)\) และ \(\overrightarrow (b)\) (จุดเริ่มต้นซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ทั้งสอง)

\(\blacktriangleright\) เพื่อหาผลต่างของเวกเตอร์สองตัว \(\overrightarrow (a)-\overrightarrow(b)\)คุณต้องค้นหาผลรวมของเวกเตอร์ \(\overrightarrow (a)\) และ \(-\overrightarrow(b)\) : \(\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(a)+(-\overrightarrow(b))\)(รูปที่ 5)

ภารกิจที่ 1 #2638

ระดับงาน: ยากกว่าการสอบ Unified State

แดน สามเหลี่ยมมุมฉาก\(ABC\) ที่มีมุมขวา \(A\) จุด \(O\) เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมนี้ พิกัดเวกเตอร์ \(\overrightarrow(AB)=\(1;1\)\), \(\overrightarrow(AC)=\(-1;1\)\)- ค้นหาผลรวมของพิกัดของเวกเตอร์ \(\overrightarrow(OC)\)

เพราะ สามเหลี่ยม \(ABC\) เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า จากนั้นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกกำหนดขอบเขตจะอยู่ที่ตรงกลางของด้านตรงข้ามมุมฉาก กล่าวคือ \(O\) อยู่ตรงกลางของ \(BC\)

โปรดทราบว่า \(\overrightarrow(BC)=\overrightarrow(AC)-\overrightarrow(AB)\), เพราะฉะนั้น, \(\overrightarrow(BC)=\(-1-1;1-1\)=\(-2;0\)\).

เพราะ \(\overrightarrow(OC)=\dfrac12 \overrightarrow(BC)\), ที่ \(\overrightarrow(OC)=\(-1;0\)\).

ซึ่งหมายความว่าผลรวมของพิกัดของเวกเตอร์ \(\overrightarrow(OC)\) เท่ากับ \(-1+0=-1\)

คำตอบ: -1

ภารกิจที่ 2 #674

ระดับงาน: ยากกว่าการสอบ Unified State

\(ABCD\) คือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ด้านข้างซึ่งมีเวกเตอร์ \(\overrightarrow(AB)\) , \(\overrightarrow(BC)\) , \(\overrightarrow(CD)\) , \(\overrightarrow( DA) \) . จงหาความยาวของเวกเตอร์ \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA)\).

\(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) = \overrightarrow(AC)\), \(\overrightarrow(AC) + \overrightarrow(CD) = \overrightarrow(AD)\), แล้ว
\(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA) = \overrightarrow(AC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA)= \overrightarrow(AD) + \overrightarrow(DA) = \overrightarrow(AD) - \overrightarrow(AD) = \vec(0)\).
เวกเตอร์ null มีความยาวเท่ากับ \(0\)

เวกเตอร์สามารถถูกมองว่าเป็นการกระจัดได้ \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC)\)– ย้ายจาก \(A\) ไปยัง \(B\) และจาก \(B\) ไปยัง \(C\) – ท้ายที่สุดนี่คือการย้ายจาก \(A\) ไปยัง \(C\)

ด้วยการตีความนี้ ย่อมเห็นชัดว่า \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA) = \vec(0)\)เพราะท้ายที่สุดแล้ว เราย้ายจากจุด \(A\) ไปยังจุด \(A\) นั่นคือ ความยาวของการเคลื่อนที่คือ \(0\) ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ของการเคลื่อนที่นั้นเองคือ \ (\vec(0)\) .

คำตอบ: 0

ภารกิจที่ 3 #1805

ระดับงาน: ยากกว่าการสอบ Unified State

ให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน \(ABCD\) เส้นทแยงมุม \(AC\) และ \(BD\) ตัดกันที่จุด \(O\) ให้แล้ว \(\overrightarrow(OA) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)

\[\overrightarrow(OA) = \frac(1)(2)\overrightarrow(CA) = \frac(1)(2)(\overrightarrow(CB) + \overrightarrow(BA)) = \frac(1)( 2)(\overrightarrow(DA) + \overrightarrow(BA)) = \frac(1)(2)(-\vec(b) - \vec(a)) = - \frac(1)(2)\vec (ก) - \frac(1)(2)\vec(b)\]\(\ลูกศรขวา\) \(x = - \frac(1)(2)\) , \(y = - \frac(1)(2)\) \(\ลูกศรขวา\) \(x + y = - 1\) .

คำตอบ: -1

ภารกิจที่ 4 #1806

ระดับงาน: ยากกว่าการสอบ Unified State

ให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน \(ABCD\) จุด \(K\) และ \(L\) อยู่ที่ด้านข้าง \(BC\) และ \(CD\) ตามลำดับ และ \(BK:KC = 3:1\) และ \(L\) คือ ตรงกลางของ \ (CD\) อนุญาต \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\), แล้ว \(\overrightarrow(KL) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)โดยที่ \(x\) และ \(y\) เป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง ค้นหาจำนวนเท่ากับ \(x + y\)

\[\overrightarrow(KL) = \overrightarrow(KC) + \overrightarrow(CL) = \frac(1)(4)\overrightarrow(BC) + \frac(1)(2)\overrightarrow(CD) = \frac (1)(4)\overrightarrow(AD) + \frac(1)(2)\overrightarrow(BA) = \frac(1)(4)\vec(b) - \frac(1)(2)\vec (ก)\]\(\ลูกศรขวา\) \(x = -\frac(1)(2)\) , \(y = \frac(1)(4)\) \(\ลูกศรขวา\) \(x + y = -0 ,25\) .

คำตอบ: -0.25

ภารกิจที่ 5 #1807

ระดับงาน: ยากกว่าการสอบ Unified State

ให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน \(ABCD\) จุด \(M\) และ \(N\) อยู่ที่ด้านข้าง \(AD\) และ \(BC\) ตามลำดับ โดยมี \(AM:MD = 2:3\) และ \(BN:NC = 3: 1\) . อนุญาต \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\), แล้ว \(\overrightarrow(MN) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)

\[\overrightarrow(MN) = \overrightarrow(MA) + \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BN) = \frac(2)(5)\overrightarrow(DA) + \overrightarrow(AB) + \frac(3 )(4)\overrightarrow(BC) = - \frac(2)(5)\overrightarrow(AD) + \overrightarrow(AB) + \frac(3)(4)\overrightarrow(BC) = -\frac(2 )(5)\vec(b) + \vec(a) + \frac(3)(4)\vec(b) = \vec(a) + \frac(7)(20)\vec(b)\ ]\(\Rightarrow\) \(x = 1\) , \(y = \frac(7)(20)\) \(\Rightarrow\) \(x\cdot y = 0.35\)

ตอบ: 0.35

ภารกิจที่ 6 #1808

ระดับงาน: ยากกว่าการสอบ Unified State

ให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน \(ABCD\) จุด \(P\) อยู่บนเส้นทแยงมุม \(BD\) จุด \(Q\) อยู่ที่ด้านข้าง \(CD\) และ \(BP:PD = 4:1\) และ \( คคิว:คิวดี = 1:9\) อนุญาต \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\), แล้ว \(\overrightarrow(PQ) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)โดยที่ \(x\) และ \(y\) เป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง ค้นหาตัวเลขที่เท่ากับ \(x\cdot y\)

\[\begin(รวบรวม) \overrightarrow(PQ) = \overrightarrow(PD) + \overrightarrow(DQ) = \frac(1)(5)\overrightarrow(BD) + \frac(9)(10)\overrightarrow( DC) = \frac(1)(5)(\overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) =\\ = \frac(1)(5) (\overrightarrow(AD) + \overrightarrow(BA)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5)(\overrightarrow(AD) - \overrightarrow(AB)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5)\overrightarrow(AD) + \frac(7)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5) \vec(b) + \frac(7)(10)\vec(a)\end(รวบรวม)\]

\(\Rightarrow\) \(x = \frac(7)(10)\) , \(y = \frac(1)(5)\) \(\Rightarrow\) \(x\cdot y = 0, 14\) . และ \(ABCO\) – สี่เหลี่ยมด้านขนาน; \(AF \ขนาน BE\) และ \(ABOF\) – สี่เหลี่ยมด้านขนาน \(\ลูกศรขวา\) \[\overrightarrow(BC) = \overrightarrow(AO) = \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BO) = \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(AF) = \vec(a) + \vec(b)\ ]\(\ลูกศรขวา\) \(x = 1\) , \(y = 1\) \(\ลูกศรขวา\) \(x + y = 2\)

คำตอบ: 2

นักเรียนมัธยมปลายที่กำลังเตรียมสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์และในเวลาเดียวกันก็ต้องได้คะแนนที่ดีควรทำซ้ำหัวข้อ "กฎสำหรับการบวกและการลบเวกเตอร์หลายตัว" ดังที่เห็นได้จากการปฏิบัติมาหลายปี งานดังกล่าวจะรวมอยู่ในการทดสอบการรับรองทุกปี หากบัณฑิตมีปัญหากับปัญหาจากหัวข้อ “เรขาคณิตระนาบ” เช่น จำเป็นต้องใช้กฎการบวกและการลบเวกเตอร์ เขาควรทำซ้ำหรือทำความเข้าใจเนื้อหาอีกครั้งอย่างแน่นอนเพื่อที่จะผ่านเกณฑ์ได้สำเร็จ การสอบแบบรวมรัฐ

โครงการการศึกษา Shkolkovo นำเสนอแนวทางใหม่ในการเตรียมตัวสำหรับการทดสอบการรับรอง ทรัพยากรของเราสร้างขึ้นในลักษณะที่นักเรียนสามารถระบุส่วนที่ยากที่สุดสำหรับตนเองและเติมเต็มช่องว่างในความรู้ ผู้เชี่ยวชาญของ Shkolkovo เตรียมและจัดระบบทั้งหมด วัสดุที่จำเป็นเพื่อเตรียมความพร้อมสำหรับการผ่านการทดสอบการรับรอง

เพื่อให้แน่ใจว่าปัญหา USE ที่คุณต้องใช้กฎสำหรับการบวกและการลบเวกเตอร์สองตัวจะไม่ทำให้เกิดปัญหา เราขอแนะนำให้คุณรีเฟรชหน่วยความจำเกี่ยวกับแนวคิดพื้นฐานก่อน นักเรียนจะสามารถค้นหาเนื้อหานี้ได้ในส่วน "ข้อมูลเชิงทฤษฎี"

หากคุณจำกฎการลบเวกเตอร์และคำจำกัดความพื้นฐานในหัวข้อนี้ได้แล้ว เราขอแนะนำให้คุณรวบรวมความรู้ของคุณโดยทำแบบฝึกหัดที่เหมาะสมซึ่งได้รับการคัดเลือกโดยผู้เชี่ยวชาญ พอร์ทัลการศึกษา"ชโคลโคโว". สำหรับแต่ละปัญหา เว็บไซต์จะนำเสนออัลกอริธึมวิธีแก้ปัญหาและให้คำตอบที่ถูกต้อง หัวข้อ “กฎสำหรับการบวกเวกเตอร์” นำเสนอแบบฝึกหัดต่างๆ หลังจากทำงานที่ค่อนข้างง่ายสองหรือสามงานเสร็จแล้ว นักเรียนก็สามารถไปยังงานที่ซับซ้อนมากขึ้นได้อย่างต่อเนื่อง

เด็กนักเรียนมีโอกาสที่จะฝึกฝนทักษะของตนเองในงานดังกล่าว เช่น ทางออนไลน์ ขณะอยู่ในมอสโกหรือเมืองอื่น ๆ ในรัสเซีย หากจำเป็น สามารถบันทึกงานได้ในส่วน "รายการโปรด" ด้วยเหตุนี้ คุณจึงสามารถค้นหาตัวอย่างที่สนใจได้อย่างรวดเร็ว และหารือเกี่ยวกับอัลกอริทึมในการหาคำตอบที่ถูกต้องกับครูของคุณ

ความรู้และทักษะที่ได้รับในบทเรียนนี้จะเป็นประโยชน์กับนักเรียนไม่เพียงแต่ในบทเรียนเรขาคณิตเท่านั้น แต่ยังรวมถึงชั้นเรียนในสาขาวิทยาศาสตร์อื่นด้วย ในระหว่างบทเรียน นักเรียนจะได้เรียนรู้การพล็อตเวกเตอร์จากจุดที่กำหนด นี่อาจเป็นบทเรียนเรขาคณิตทั่วไป หรือชั้นเรียนคณิตศาสตร์นอกหลักสูตรหรือวิชาเลือก การพัฒนานี้จะช่วยให้ครูประหยัดเวลาในการเตรียมบทเรียนในหัวข้อ “การหน่วงเวลาเวกเตอร์จากจุดที่กำหนด” มันจะเพียงพอสำหรับเขาที่จะเล่นบทเรียนวิดีโอในชั้นเรียน จากนั้นเสริมเนื้อหาด้วยแบบฝึกหัดที่เขาเลือกเอง

ระยะเวลาของบทเรียนเพียง 1:44 นาที แต่นี่ก็เพียงพอแล้วที่จะสอนเด็กนักเรียนให้วาดเวกเตอร์จากจุดที่กำหนด

บทเรียนเริ่มต้นด้วยการสาธิตเวกเตอร์ซึ่งจุดเริ่มต้นอยู่ที่จุดหนึ่ง พวกเขาบอกว่าเวกเตอร์ถูกเลื่อนออกไป จากนั้นผู้เขียนเสนอให้พิสูจน์ร่วมกับเขาว่าข้อความใดที่คุณสามารถพล็อตเวกเตอร์เท่ากับค่าที่กำหนดและยิ่งไปกว่านั้นคือไม่ซ้ำกัน ในระหว่างการพิสูจน์ ผู้เขียนจะตรวจสอบแต่ละกรณีอย่างละเอียด ประการแรก จะใช้สถานการณ์เมื่อเวกเตอร์ที่กำหนดเป็นศูนย์ และประการที่สอง เมื่อเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ ในระหว่างการพิสูจน์ ภาพประกอบจะใช้ในรูปแบบของภาพวาดและโครงสร้าง สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งก่อให้เกิดความรู้ทางคณิตศาสตร์ในเด็กนักเรียน ผู้เขียนพูดช้าๆ ให้นักเรียนจดบันทึกพร้อมๆ กันขณะแสดงความคิดเห็น โครงสร้างที่ผู้เขียนดำเนินการในระหว่างการพิสูจน์ข้อความที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้แสดงให้เห็นว่าจากจุดหนึ่งเราสามารถสร้างเวกเตอร์เท่ากับเวกเตอร์ที่กำหนดได้อย่างไร

หากนักเรียนดูบทเรียนอย่างระมัดระวังและจดบันทึกไปพร้อมๆ กัน พวกเขาจะเรียนรู้เนื้อหาได้อย่างง่ายดาย นอกจากนี้ผู้เขียนยังบอกรายละเอียดอย่างวัดผลและค่อนข้างครบถ้วนอีกด้วย หากคุณไม่ได้ยินสิ่งใดด้วยเหตุผลบางประการ คุณสามารถกลับไปดูบทเรียนอีกครั้งได้

หลังจากดูบทเรียนวิดีโอแล้ว ขอแนะนำให้เริ่มรวบรวมเนื้อหา แนะนำให้ครูเลือกงานในหัวข้อนี้เพื่อฝึกทักษะการพล็อตเวกเตอร์จากจุดที่กำหนด

บทเรียนนี้สามารถใช้เพื่อให้นักเรียนศึกษาหัวข้อได้อย่างอิสระ แต่หากต้องการรวมกลุ่มคุณต้องติดต่อครูเพื่อให้สามารถเลือกงานที่เหมาะสมได้ ท้ายที่สุดหากไม่รวมเนื้อหาเข้าด้วยกัน เป็นการยากที่จะบรรลุผลการเรียนรู้เชิงบวก

ในที่สุดฉันก็ได้หัวข้อที่กว้างใหญ่และรอคอยมานาน เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์- ก่อนอื่น เล็กน้อยเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ชั้นสูงในส่วนนี้... ตอนนี้คุณจำหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียนที่มีทฤษฎีบทมากมาย การพิสูจน์ ภาพวาด ฯลฯ ได้อย่างแน่นอน สิ่งที่ต้องซ่อน วิชาที่ไม่มีใครรักและมักจะคลุมเครือสำหรับนักเรียนในสัดส่วนที่มีนัยสำคัญ เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ ที่น่าแปลกก็คืออาจดูน่าสนใจและเข้าถึงได้ง่ายกว่า คำว่า “วิเคราะห์” มีความหมายว่าอย่างไร? วลีทางคณิตศาสตร์ที่ซ้ำซากจำเจสองวลีเข้ามาในใจทันที: "วิธีการแก้ปัญหาแบบกราฟิก" และ "วิธีการแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์" วิธีการแบบกราฟิกแน่นอนว่าเกี่ยวข้องกับการสร้างกราฟและภาพวาด เชิงวิเคราะห์เดียวกัน วิธีเกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหา ส่วนใหญ่ผ่านการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต ในเรื่องนี้อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาเกือบทั้งหมดของเรขาคณิตวิเคราะห์นั้นง่ายและโปร่งใส บ่อยครั้งที่การใช้สูตรที่จำเป็นอย่างระมัดระวังก็เพียงพอแล้ว - และคำตอบก็พร้อมแล้ว! ไม่ แน่นอน เราจะไม่สามารถทำได้หากไม่มีภาพวาดเลย และนอกจากนี้ เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้นในเนื้อหา ฉันจะพยายามอ้างอิงสิ่งเหล่านี้โดยไม่จำเป็น

บทเรียนที่เพิ่งเปิดใหม่เกี่ยวกับเรขาคณิตไม่ได้อ้างว่าเสร็จสมบูรณ์ทางทฤษฎี แต่มุ่งเน้นไปที่การแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ ฉันจะรวมเฉพาะสิ่งที่สำคัญในทางปฏิบัติเท่านั้นในการบรรยายของฉัน หากคุณต้องการความช่วยเหลือที่สมบูรณ์เพิ่มเติมในส่วนย่อยใด ๆ ฉันขอแนะนำวรรณกรรมที่เข้าถึงได้ง่ายต่อไปนี้:

1) เรื่องที่คนหลายชั่วอายุคนคุ้นเคยกันดี: หนังสือเรียนเรื่องเรขาคณิตของโรงเรียน, ผู้เขียน – แอล.เอส. Atanasyan และบริษัท- ไม้แขวนเสื้อห้องล็อกเกอร์ของโรงเรียนนี้พิมพ์ซ้ำไปแล้ว 20 (!) ครั้ง ซึ่งแน่นอนว่าไม่ใช่ขีดจำกัด

2) เรขาคณิตใน 2 เล่ม- ผู้เขียน แอล.เอส. อตานาเซียน, บาซีเลฟ วี.ที.- นี่คือวรรณกรรมสำหรับ โรงเรียนมัธยมปลายคุณจะต้องการ เล่มแรก- งานที่ไม่ค่อยพบอาจหลุดจากสายตาของฉันและ คู่มือการฝึกอบรมจะให้ความช่วยเหลืออันล้ำค่า

สามารถดาวน์โหลดหนังสือทั้งสองเล่มได้ฟรีทางออนไลน์ นอกจากนี้คุณยังสามารถใช้ไฟล์เก็บถาวรของฉันด้วย โซลูชั่นสำเร็จรูปซึ่งสามารถพบได้บนหน้า ดาวน์โหลดตัวอย่างในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง.

ในบรรดาเครื่องมือต่างๆ ฉันขอเสนอการพัฒนาของตัวเองอีกครั้ง - แพคเกจซอฟต์แวร์ในเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ ซึ่งจะทำให้ชีวิตง่ายขึ้นอย่างมาก และประหยัดเวลาได้มาก

สันนิษฐานว่าผู้อ่านคุ้นเคยกับแนวคิดและตัวเลขทางเรขาคณิตขั้นพื้นฐาน: จุด เส้น ระนาบ สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมด้านขนาน สี่เหลี่ยมด้านขนาน ลูกบาศก์ ฯลฯ ขอแนะนำให้จำทฤษฎีบทบางทฤษฎีอย่างน้อยก็ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสวัสดีผู้ทำซ้ำ)

และตอนนี้เราจะพิจารณาตามลำดับ: แนวคิดของเวกเตอร์, การกระทำกับเวกเตอร์, พิกัดเวกเตอร์ ฉันแนะนำให้อ่านเพิ่มเติม บทความที่สำคัญที่สุด ผลคูณดอทของเวกเตอร์และยัง เวกเตอร์และผลคูณของเวกเตอร์- งานในท้องถิ่น - การแบ่งส่วนในส่วนนี้ - จะไม่ฟุ่มเฟือยเช่นกัน จากข้อมูลข้างต้น คุณสามารถเชี่ยวชาญได้ สมการของเส้นตรงในระนาบกับ ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดซึ่งจะช่วยให้ เรียนรู้การแก้ปัญหาเรขาคณิต- บทความต่อไปนี้มีประโยชน์เช่นกัน: สมการของเครื่องบินในอวกาศ, สมการของเส้นตรงในอวกาศ,ปัญหาเบื้องต้นเกี่ยวกับเส้นตรงและระนาบ, ส่วนอื่นๆ ของเรขาคณิตวิเคราะห์ โดยปกติแล้ว งานมาตรฐานจะได้รับการพิจารณาไปพร้อมกัน

แนวคิดเรื่องเวกเตอร์ เวกเตอร์ฟรี

ก่อนอื่น เรามาทวนคำจำกัดความของเวกเตอร์แบบโรงเรียนกันก่อน เวกเตอร์เรียกว่า กำกับส่วนที่ระบุจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด:

ในกรณีนี้ จุดเริ่มต้นของส่วนคือจุด จุดสิ้นสุดของส่วนคือจุด เวกเตอร์นั้นเขียนแทนด้วย ทิศทางเป็นสิ่งสำคัญ ถ้าคุณเลื่อนลูกศรไปที่ปลายอีกด้านของเซ็กเมนต์ คุณจะได้เวกเตอร์ และมันก็เป็นเช่นนั้นแล้ว เวกเตอร์ที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง- สะดวกในการระบุแนวคิดของเวกเตอร์ด้วยการเคลื่อนไหวของร่างกาย: คุณต้องยอมรับว่าการเข้าประตูสถาบันหรือการออกจากประตูสถาบันเป็นสิ่งที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง

สะดวกในการพิจารณาแต่ละจุดของเครื่องบินหรือพื้นที่ตามที่เรียกว่า เวกเตอร์เป็นศูนย์- สำหรับเวกเตอร์ดังกล่าว จุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้นตรงกัน

- บันทึก: ที่นี่และต่อไป คุณสามารถสรุปได้ว่าเวกเตอร์อยู่ในระนาบเดียวกันหรือคุณสามารถสันนิษฐานได้ว่าเวกเตอร์นั้นอยู่ในอวกาศ - สาระสำคัญของวัสดุที่นำเสนอนั้นใช้ได้กับทั้งระนาบและอวกาศ

การกำหนด:หลายคนสังเกตเห็นแท่งไม้นั้นทันทีโดยไม่มีลูกศรอยู่ในชื่อ และบอกว่ามีลูกศรอยู่ด้านบนด้วย! จริงอยู่คุณสามารถเขียนด้วยลูกศร: แต่ก็เป็นไปได้เช่นกัน รายการที่ฉันจะใช้ในอนาคต- ทำไม เห็นได้ชัดว่านิสัยนี้พัฒนาขึ้นด้วยเหตุผลในทางปฏิบัติ เพราะนักกีฬาของฉันที่โรงเรียนและมหาวิทยาลัยกลายเป็นคนที่มีขนาดแตกต่างกันเกินไปและมีขนดก ในวรรณกรรมเพื่อการศึกษา บางครั้งพวกเขาไม่สนใจการเขียนอักษรรูปลิ่มเลย แต่เน้นตัวอักษรด้วยตัวหนา: ซึ่งหมายความว่านี่คือเวกเตอร์

นั่นคือโวหาร และตอนนี้เกี่ยวกับวิธีการเขียนเวกเตอร์:

1) เวกเตอร์สามารถเขียนเป็นเวกเตอร์ขนาดใหญ่สองตัวได้ ในตัวอักษรละติน:
และอื่น ๆ ในกรณีนี้คืออักษรตัวแรก จำเป็นหมายถึงจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ และตัวอักษรตัวที่สองหมายถึงจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์

2) เวกเตอร์เขียนด้วยตัวอักษรละตินตัวเล็ก:
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เวกเตอร์ของเราสามารถกำหนดใหม่ให้สั้นลงได้ด้วยอักษรละตินตัวเล็ก

ความยาวหรือ โมดูลเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์เรียกว่าความยาวของเซ็กเมนต์ ความยาวของเวกเตอร์ศูนย์คือศูนย์ ตรรกะ

ความยาวของเวกเตอร์แสดงด้วยเครื่องหมายโมดูลัส: ,

เราจะเรียนรู้วิธีค้นหาความยาวของเวกเตอร์ (หรือเราจะทำซ้ำ ขึ้นอยู่กับว่าใคร) ในภายหลัง

นี่เป็นข้อมูลพื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์ที่เด็กนักเรียนทุกคนคุ้นเคย ในเรขาคณิตวิเคราะห์ที่เรียกว่า เวกเตอร์ฟรี.

พูดง่ายๆ ก็คือ - เวกเตอร์สามารถพล็อตได้จากจุดใดก็ได้:

เราคุ้นเคยกับการเรียกเวกเตอร์ดังกล่าวว่าเท่ากัน (คำจำกัดความของเวกเตอร์ที่เท่ากันจะได้รับด้านล่าง) แต่จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ พวกมันคือ SAME VECTOR หรือ เวกเตอร์ฟรี- ทำไมฟรี? เพราะในการแก้ปัญหา คุณสามารถ "แนบ" เวกเตอร์ "โรงเรียน" นี้หรือนั้นกับจุดใดก็ได้ของระนาบหรือพื้นที่ที่คุณต้องการ นี่เป็นคุณสมบัติที่ยอดเยี่ยมมาก! ลองนึกภาพส่วนที่กำกับซึ่งมีความยาวและทิศทางตามอำเภอใจ - มันสามารถ "โคลน" ได้ไม่จำกัดจำนวนครั้ง และจริงๆ แล้ว ณ จุดใดก็ได้ในอวกาศ มีอยู่ทุกที่ มีนักเรียนคนหนึ่งพูดว่า: อาจารย์ทุกคนต่างให้ความสำคัญกับเวกเตอร์ ท้ายที่สุดมันไม่ได้เป็นเพียงสัมผัสที่มีไหวพริบ แต่ทุกอย่างถูกต้อง - คุณสามารถเพิ่มส่วนที่กำกับไว้ที่นั่นได้เช่นกัน แต่อย่าเพิ่งรีบดีใจไป เพราะนิสิตเองต่างหากที่ต้องทนทุกข์ =)

ดังนั้น, เวกเตอร์ฟรี- นี้ มากมาย ส่วนกำกับที่เหมือนกัน คำจำกัดความของเวกเตอร์ของโรงเรียน ซึ่งให้ไว้ที่ตอนต้นของย่อหน้า: “ส่วนที่กำกับเรียกว่าเวกเตอร์…” โดยนัย เฉพาะเจาะจงส่วนตรงที่นำมาจากชุดที่กำหนด ซึ่งเชื่อมโยงกับจุดเฉพาะในระนาบหรือพื้นที่

ควรสังเกตว่าจากมุมมองของฟิสิกส์ แนวคิดของเวกเตอร์อิสระโดยทั่วไปนั้นไม่ถูกต้อง และประเด็นของการประยุกต์ใช้ก็มีความสำคัญ อันที่จริงการตีโดยตรงด้วยแรงเดียวกันที่จมูกหรือหน้าผากซึ่งเพียงพอที่จะพัฒนาตัวอย่างโง่ ๆ ของฉันนั้นนำมาซึ่งผลที่ตามมาที่แตกต่างกัน อย่างไรก็ตาม, ไม่ว่างเวกเตอร์ยังพบได้ในหลักสูตร vyshmat (อย่าไปที่นั่น :))

การดำเนินการกับเวกเตอร์ เส้นตรงของเวกเตอร์

หลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียนครอบคลุมการกระทำและกฎเกณฑ์หลายประการด้วยเวกเตอร์: การบวกตามกฎสามเหลี่ยม การบวกตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน กฎผลต่างเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ ฯลฯเพื่อเป็นจุดเริ่มต้น ให้เราทำซ้ำกฎสองข้อที่เกี่ยวข้องโดยเฉพาะในการแก้ปัญหาเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์

กฎสำหรับการบวกเวกเตอร์โดยใช้กฎสามเหลี่ยม

พิจารณาเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวโดยพลการและ:

คุณต้องหาผลบวกของเวกเตอร์พวกนี้ เนื่องจากเวกเตอร์ทั้งหมดถือว่าฟรี เราจึงแยกเวกเตอร์นั้นออกไป จบเวกเตอร์:

ผลรวมของเวกเตอร์คือเวกเตอร์ เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้นเกี่ยวกับกฎ ขอแนะนำให้ใส่ความหมายทางกายภาพลงไป: ปล่อยให้ร่างกายบางส่วนเดินทางไปตามเวกเตอร์ แล้วไปตามเวกเตอร์ จากนั้นผลรวมของเวกเตอร์คือเวกเตอร์ของเส้นทางผลลัพธ์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดที่จุดที่มาถึง กฎที่คล้ายกันถูกกำหนดขึ้นสำหรับผลรวมของเวกเตอร์จำนวนเท่าใดก็ได้ ดังที่พวกเขากล่าวกันว่าร่างกายสามารถโน้มตัวไปตามซิกแซกหรืออาจอยู่ในระบบอัตโนมัติ - ตามเวกเตอร์ผลลัพธ์ของผลรวม

ยังไงก็ตามหากเวกเตอร์ถูกเลื่อนออกไป เริ่มเวกเตอร์ แล้วเราจะได้ค่าที่เท่ากัน กฎสี่เหลี่ยมด้านขนานการบวกเวกเตอร์

ประการแรก เกี่ยวกับความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์ เรียกเวกเตอร์สองตัวนี้ว่า คอลลิเนียร์ถ้าพวกมันอยู่บนเส้นเดียวกันหรือเส้นคู่ขนาน พูดคร่าวๆ, เรากำลังพูดถึงเวกเตอร์คู่ขนาน แต่สำหรับคำเหล่านั้น คำคุณศัพท์ "collinear" มักจะถูกใช้เสมอ

ลองนึกภาพเวกเตอร์เชิงเส้นสองตัว หากลูกศรของเวกเตอร์เหล่านี้หันไปในทิศทางเดียวกัน ก็จะเรียกเวกเตอร์ดังกล่าว ร่วมกำกับ- หากลูกศรชี้ไปในทิศทางที่ต่างกัน เวกเตอร์ก็จะเป็นเช่นนี้ ทิศทางตรงกันข้าม.

การกำหนด:ความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์เขียนด้วยสัญลักษณ์ความเท่าเทียมตามปกติ: ในขณะที่รายละเอียดเป็นไปได้: (เวกเตอร์มีทิศทางร่วม) หรือ (เวกเตอร์มีทิศทางตรงกันข้าม)

การทำงานเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์บนตัวเลขคือเวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับ และเวกเตอร์ซึ่งมีทิศทางร่วมและทิศทางตรงกันข้ามที่

กฎสำหรับการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลขนั้นง่ายต่อการเข้าใจด้วยความช่วยเหลือของรูปภาพ:

มาดูรายละเอียดเพิ่มเติม:

1) ทิศทาง หากตัวคูณเป็นลบ แสดงว่าเวกเตอร์ เปลี่ยนทิศทางในทางตรงกันข้าม

2) ความยาว หากตัวคูณอยู่ภายใน หรือ ความยาวของเวกเตอร์ ลดลง- ดังนั้น ความยาวของเวกเตอร์คือครึ่งหนึ่งของความยาวของเวกเตอร์ ถ้าโมดูลัสของตัวคูณมากกว่า 1 แสดงว่าความยาวของเวกเตอร์ เพิ่มขึ้นในบางครั้ง

3) โปรดทราบว่า เวกเตอร์ทั้งหมดอยู่ในแนวเดียวกันในขณะที่เวกเตอร์ตัวหนึ่งแสดงผ่านอีกตัวหนึ่ง ตัวอย่างเช่น สิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน: หากเวกเตอร์ตัวหนึ่งสามารถแสดงผ่านอีกเวกเตอร์หนึ่งได้ เวกเตอร์นั้นจำเป็นต้องอยู่ในแนวเดียวกัน ดังนั้น: ถ้าเราคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข เราจะได้เส้นตรง(สัมพันธ์กับต้นฉบับ) เวกเตอร์.

4) เวกเตอร์มีทิศทางร่วม เวกเตอร์และยังมีกำกับร่วมด้วย เวกเตอร์ใดๆ ของกลุ่มแรกจะมีทิศทางตรงข้ามกับเวกเตอร์ใดๆ ของกลุ่มที่สอง

เวกเตอร์ใดเท่ากัน?

เวกเตอร์สองตัวจะเท่ากันหากอยู่ในทิศทางเดียวกันและมีความยาวเท่ากัน- โปรดทราบว่าความเป็นทิศทางร่วมหมายถึงความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์ คำจำกัดความจะไม่ถูกต้อง (ซ้ำซ้อน) ถ้าเราพูดว่า: “เวกเตอร์สองตัวจะเท่ากันถ้าพวกมันอยู่ในแนวเดียวกัน มีทิศทางร่วม และมีความยาวเท่ากัน”

จากมุมมองของแนวคิดของเวกเตอร์อิสระ เวกเตอร์ที่เท่ากันนั้นเป็นเวกเตอร์เดียวกันดังที่กล่าวไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า

พิกัดเวกเตอร์บนเครื่องบินและในอวกาศ

ประเด็นแรกคือการพิจารณาเวกเตอร์บนเครื่องบิน ให้เราเป็นตัวแทนของคาร์ทีเซียน ระบบสี่เหลี่ยมพิกัดและต้นทางของพิกัดที่เราเลื่อนออกไป เดี่ยวเวกเตอร์ และ :

เวกเตอร์และ ตั้งฉาก- มุมฉาก = ตั้งฉาก ฉันขอแนะนำให้คุณค่อยๆ ทำความคุ้นเคยกับคำศัพท์เหล่านี้: แทนที่จะใช้ความเท่าเทียมและการตั้งฉาก เราใช้คำตามลำดับ ความสอดคล้องกันและ ตั้งฉาก.

การกำหนด:ความตั้งฉากของเวกเตอร์เขียนด้วยสัญลักษณ์ตั้งฉากตามปกติ เช่น:

เวกเตอร์ที่อยู่ระหว่างการพิจารณาเรียกว่า พิกัดเวกเตอร์หรือ ออร์ต- เวกเตอร์เหล่านี้ก่อตัวขึ้น พื้นฐานบนเครื่องบิน ฉันคิดว่าพื้นฐานคืออะไรมีความชัดเจนสำหรับหลาย ๆ คน ข้อมูลโดยละเอียดเพิ่มเติมสามารถพบได้ในบทความ การพึ่งพาเชิงเส้น (ไม่) ของเวกเตอร์ พื้นฐานของเวกเตอร์กล่าวง่ายๆ ก็คือพื้นฐานและที่มาของพิกัดจะกำหนดทั้งระบบ - นี่คือรากฐานชนิดหนึ่งที่ชีวิตทางเรขาคณิตที่สมบูรณ์และสมบูรณ์เดือดพล่าน

บางครั้งเรียกว่าพื้นฐานที่สร้างขึ้น ออร์โธนอร์มอลพื้นฐานของระนาบ: "ortho" - เนื่องจากเวกเตอร์พิกัดตั้งฉาก คำคุณศัพท์ "ทำให้เป็นมาตรฐาน" หมายถึงหน่วย เช่น ความยาวของเวกเตอร์ฐานเท่ากับหนึ่ง

การกำหนด:พื้นฐานมักจะเขียนอยู่ในวงเล็บซึ่งข้างใน ตามลำดับอย่างเคร่งครัดเวกเตอร์พื้นฐานจะถูกแสดงรายการไว้ เช่น: เวกเตอร์พิกัด มันเป็นสิ่งต้องห้ามจัดเรียงใหม่

ใดๆเวกเตอร์เครื่องบิน วิธีเดียวเท่านั้นแสดงเป็น:
, ที่ไหน - ตัวเลขซึ่งเรียกว่า พิกัดเวกเตอร์ในพื้นฐานนี้ และการแสดงออกนั่นเอง เรียกว่า การสลายตัวของเวกเตอร์ตามพื้นฐาน .

เสิร์ฟอาหารค่ำ:

เริ่มจากตัวอักษรตัวแรกของตัวอักษร: . ภาพวาดแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าเมื่อแยกย่อยเวกเตอร์เป็นพื้นฐาน จะใช้สิ่งที่เพิ่งกล่าวถึง:
1) กฎสำหรับการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข: และ ;
2) การบวกเวกเตอร์ตามกฎสามเหลี่ยม: .

ทีนี้ ให้พลอตเวกเตอร์จากจุดอื่นใดบนระนาบทางจิตใจ เห็นได้ชัดว่าความเสื่อมสลายของเขาจะ "ติดตามเขาอย่างไม่ลดละ" นี่คืออิสรภาพของเวกเตอร์ - เวกเตอร์ "นำทุกสิ่งมาด้วยตัวมันเอง" แน่นอนว่าคุณสมบัตินี้เป็นจริงสำหรับเวกเตอร์ใดๆ เป็นเรื่องตลกที่ไม่จำเป็นต้องลงจุดเวกเตอร์พื้นฐาน (ฟรี) จากจุดเริ่มต้น คุณสามารถวาดเวกเตอร์ตัวหนึ่งที่ด้านล่างซ้ายและอีกตัวที่มุมขวาบนและจะไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง! จริงอยู่ คุณไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้ เนื่องจากครูจะแสดงความคิดริเริ่มและดึง "เครดิต" ให้คุณในสถานที่ที่ไม่คาดคิด

เวกเตอร์แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงกฎสำหรับการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข เวกเตอร์นั้นมีทิศทางร่วมกับเวกเตอร์ฐาน เวกเตอร์นั้นอยู่ตรงข้ามกับเวกเตอร์ฐาน สำหรับเวกเตอร์เหล่านี้ พิกัดตัวใดตัวหนึ่งจะเท่ากับศูนย์ คุณสามารถเขียนมันอย่างพิถีพิถันได้ดังนี้:


และเวกเตอร์พื้นฐานก็เป็นดังนี้: (อันที่จริงพวกมันแสดงออกมาผ่านตัวมันเอง)

และสุดท้าย: , . ว่าแต่ การลบเวกเตอร์คืออะไร แล้วทำไมฉันไม่พูดถึงกฎการลบล่ะ ฉันจำไม่ได้ว่าที่ไหนในพีชคณิตเชิงเส้น ฉันสังเกตว่าการลบเป็นกรณีพิเศษของการบวก ดังนั้น การขยายตัวของเวกเตอร์ “de” และ “e” จึงเขียนเป็นผลรวมได้อย่างง่ายดาย: , - ทำตามรูปวาดเพื่อดูว่าการบวกเวกเตอร์แบบเก่าที่ดีตามกฎสามเหลี่ยมใช้ได้ผลในสถานการณ์เหล่านี้อย่างชัดเจนเพียงใด

การพิจารณาสลายตัวของแบบฟอร์ม บางครั้งเรียกว่าการสลายตัวของเวกเตอร์ ในระบบออร์ต(เช่น ในระบบเวกเตอร์หน่วย) แต่นี่ไม่ใช่วิธีเดียวในการเขียนเวกเตอร์ ตัวเลือกต่อไปนี้เป็นเรื่องปกติ:

หรือมีเครื่องหมายเท่ากับ:

เวกเตอร์พื้นฐานเขียนดังนี้: และ

นั่นคือพิกัดของเวกเตอร์จะแสดงอยู่ในวงเล็บ ในปัญหาเชิงปฏิบัติ จะใช้ตัวเลือกสัญลักษณ์ทั้งสามแบบ

ฉันสงสัยว่าจะพูดหรือไม่ แต่ฉันจะพูดต่อไป: พิกัดเวกเตอร์ไม่สามารถจัดเรียงใหม่ได้. อย่างเคร่งครัดเป็นอันดับแรกเราเขียนพิกัดที่สอดคล้องกับเวกเตอร์หน่วย เคร่งครัดเป็นอันดับสองเราเขียนพิกัดที่สอดคล้องกับเวกเตอร์หน่วย แท้จริงแล้ว และ เป็นเวกเตอร์สองตัวที่ต่างกัน

เราหาพิกัดบนเครื่องบินได้ ทีนี้ลองดูเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ เกือบทุกอย่างจะเหมือนกันตรงนี้! มันจะเพิ่มอีกหนึ่งพิกัด การสร้างภาพวาดสามมิติเป็นเรื่องยาก ดังนั้นฉันจะจำกัดตัวเองให้อยู่ที่เวกเตอร์เพียงตัวเดียว ซึ่งเพื่อความง่ายฉันจะแยกออกจากจุดกำเนิด:

ใดๆเวกเตอร์อวกาศ 3 มิติ วิธีเดียวเท่านั้นขยายออกไปตามหลักออร์โธนอร์มอล:
โดยที่พิกัดของเวกเตอร์ (ตัวเลข) อยู่ที่ไหนบนพื้นฐานนี้

ตัวอย่างจากภาพ: - มาดูกันว่ากฎเวกเตอร์ทำงานอย่างไรที่นี่ ขั้นแรก ให้คูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข: (ลูกศรสีแดง) (ลูกศรสีเขียว) และ (ลูกศรราสเบอร์รี่) ประการที่สอง นี่คือตัวอย่างของการเพิ่มเวกเตอร์หลายตัว ในกรณีนี้ สามตัว: เวกเตอร์ผลรวมเริ่มต้นที่จุดเริ่มต้นเริ่มต้น (จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์) และสิ้นสุดที่จุดสุดท้ายที่มาถึง (จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์)

เวกเตอร์ทั้งหมดของพื้นที่สามมิตินั้นเป็นอิสระเช่นกัน พยายามแยกเวกเตอร์ออกจากจุดอื่นในใจแล้วคุณจะเข้าใจว่าการสลายตัวของมัน "จะยังคงอยู่กับมัน"

คล้ายกับเคสแบนนอกเหนือจากการเขียน รุ่นที่มีวงเล็บปีกกาใช้กันอย่างแพร่หลาย: ทั้ง .

หากไม่มีเวกเตอร์พิกัดหนึ่ง (หรือสอง) ตัวในส่วนขยาย ก็จะใส่ศูนย์เข้าไปแทนที่ ตัวอย่าง:
เวกเตอร์ (อย่างพิถีพิถัน ) – มาเขียนกันเถอะ ;
เวกเตอร์ (อย่างพิถีพิถัน ) – มาเขียนกันเถอะ ;
เวกเตอร์ (อย่างพิถีพิถัน ) – มาเขียนกัน

เวกเตอร์พื้นฐานเขียนดังนี้:

นี่อาจเป็นความรู้ทางทฤษฎีขั้นต่ำทั้งหมดที่จำเป็นในการแก้ปัญหาเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ อาจมีคำศัพท์และคำจำกัดความมากมาย ดังนั้น แนะนำให้กาน้ำชาอ่านและทำความเข้าใจข้อมูลนี้อีกครั้ง และจะเป็นประโยชน์สำหรับผู้อ่านที่จะอ้างอิงถึงบทเรียนพื้นฐานเป็นครั้งคราว การดูดซึมดีขึ้นวัสดุ. ความเป็นเส้นตรง, ความตั้งฉาก, พื้นฐาน orthonormal, การสลายตัวของเวกเตอร์ - แนวคิดเหล่านี้และแนวคิดอื่น ๆ มักจะถูกนำมาใช้ในอนาคต ฉันทราบว่าเนื้อหาบนไซต์ไม่เพียงพอที่จะผ่านการทดสอบทางทฤษฎีหรือการประชุมเชิงปฏิบัติการเกี่ยวกับเรขาคณิตเนื่องจากฉันเข้ารหัสทฤษฎีบททั้งหมดอย่างระมัดระวัง (และไม่มีการพิสูจน์) - เพื่อสร้างความเสียหายให้กับรูปแบบการนำเสนอทางวิทยาศาสตร์ แต่เป็นข้อดีต่อความเข้าใจของคุณ เรื่อง หากต้องการรับข้อมูลเชิงทฤษฎีโดยละเอียด โปรดโค้งคำนับศาสตราจารย์อตานาสยาน

และเราไปยังส่วนที่ใช้งานได้จริง:

ปัญหาที่ง่ายที่สุดของเรขาคณิตวิเคราะห์
การดำเนินการกับเวกเตอร์ในพิกัด

ขอแนะนำอย่างยิ่งให้เรียนรู้วิธีการแก้ปัญหางานที่จะได้รับการพิจารณาโดยอัตโนมัติและสูตร จดจำคุณไม่จำเป็นต้องจำมันโดยตั้งใจ แต่พวกเขาจะจำมันเอง =) สิ่งนี้สำคัญมากเนื่องจากปัญหาอื่น ๆ ของเรขาคณิตวิเคราะห์นั้นขึ้นอยู่กับตัวอย่างเบื้องต้นที่ง่ายที่สุดและจะน่ารำคาญที่จะใช้เวลาเพิ่มเติมในการกินเบี้ย . ไม่จำเป็นต้องติดกระดุมบนเสื้อเพราะมีหลายสิ่งที่คุ้นเคยจากโรงเรียน

การนำเสนอเนื้อหาจะดำเนินไปในทิศทางคู่ขนาน - ทั้งสำหรับเครื่องบินและอวกาศ ด้วยเหตุผลที่ว่าทุกสูตร...คุณจะเห็นเอง

จะหาเวกเตอร์จากจุดสองจุดได้อย่างไร?

หากให้จุดสองจุดของระนาบแล้วเวกเตอร์จะมีพิกัดต่อไปนี้:

หากให้จุดสองจุดในอวกาศแล้วเวกเตอร์จะมีพิกัดต่อไปนี้:

นั่นคือ จากพิกัดจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์คุณต้องลบพิกัดที่เกี่ยวข้อง จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์.

ออกกำลังกาย:สำหรับจุดเดียวกัน ให้เขียนสูตรในการหาพิกัดของเวกเตอร์ สูตรในตอนท้ายของบทเรียน

ตัวอย่างที่ 1

ให้จุดสองจุดของระนาบและ. ค้นหาพิกัดเวกเตอร์

สารละลาย:ตามสูตรที่เหมาะสม:

หรืออาจใช้รายการต่อไปนี้:

สุนทรียศาสตร์จะตัดสินสิ่งนี้:

โดยส่วนตัวแล้วฉันคุ้นเคยกับการบันทึกเวอร์ชันแรกแล้ว

คำตอบ:

ตามเงื่อนไขนั้น ไม่จำเป็นต้องสร้างภาพวาด (ซึ่งเป็นเรื่องปกติสำหรับปัญหาของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์) แต่เพื่อที่จะชี้แจงบางจุดสำหรับหุ่นจำลอง ฉันจะไม่ขี้เกียจ:

คุณต้องเข้าใจอย่างแน่นอน ความแตกต่างระหว่างพิกัดจุดและพิกัดเวกเตอร์:

พิกัดจุด– เป็นพิกัดสามัญในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ฉันคิดว่าทุกคนรู้วิธีพล็อตจุดบนระนาบพิกัดตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5-6 แต่ละจุดมีสถานที่ที่เข้มงวดบนเครื่องบินและไม่สามารถเคลื่อนย้ายไปที่ใดก็ได้

พิกัดของเวกเตอร์– นี่คือการขยายตามพื้นฐาน ในกรณีนี้ เวกเตอร์ใดๆ นั้นฟรี ดังนั้นหากต้องการหรือจำเป็น เราสามารถย้ายมันออกจากจุดอื่นบนระนาบได้อย่างง่ายดาย (เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน โดยกำหนดใหม่ เช่น โดย ) สิ่งที่น่าสนใจคือสำหรับเวกเตอร์ คุณไม่จำเป็นต้องสร้างแกนหรือระบบพิกัดสี่เหลี่ยมเลย คุณเพียงต้องการพื้นฐานเท่านั้น ในกรณีนี้คือพื้นฐานออร์โธนอร์มอลของระนาบ

บันทึกพิกัดของจุดและพิกัดของเวกเตอร์ดูเหมือนจะคล้ายกัน: , และ ความหมายของพิกัดอย่างแน่นอน แตกต่างและคุณควรตระหนักดีถึงความแตกต่างนี้ แน่นอนว่าความแตกต่างนี้ใช้ได้กับพื้นที่ด้วย

ท่านสุภาพสตรีและสุภาพบุรุษ เรามาเติมมือกันเถอะ:

ตัวอย่างที่ 2

ก) คะแนนและได้รับ ค้นหาเวกเตอร์และ .
b) ให้คะแนน และ . ค้นหาเวกเตอร์และ .
c) คะแนนและได้รับ ค้นหาเวกเตอร์และ .
d) ให้คะแนน ค้นหาเวกเตอร์ .

บางทีนั่นอาจจะเพียงพอแล้ว นี่เป็นตัวอย่างสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระพยายามอย่าละเลยสิ่งเหล่านั้น มันจะได้ผลตอบแทน ;-) ไม่จำเป็นต้องวาดรูป แนวทางแก้ไขและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

สิ่งสำคัญในการแก้ปัญหาเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์คืออะไร?สิ่งสำคัญคือต้องระมัดระวังเป็นอย่างยิ่งเพื่อหลีกเลี่ยงการทำผิดพลาดแบบ "สองบวกสองเท่ากับศูนย์" อย่างเชี่ยวชาญ ฉันขอโทษทันทีหากฉันทำผิดพลาดที่ไหนสักแห่ง =)

จะหาความยาวของส่วนได้อย่างไร?

ความยาวตามที่ระบุไว้แล้วจะถูกระบุด้วยเครื่องหมายโมดูลัส

หากให้จุดสองจุดของระนาบ และ ความยาวของส่วนสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร

หากมีการกำหนดสองจุดในอวกาศความยาวของส่วนสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร

บันทึก: สูตรจะยังคงถูกต้องหากมีการสลับพิกัดที่เกี่ยวข้อง: และ แต่ตัวเลือกแรกจะเป็นมาตรฐานมากกว่า

ตัวอย่างที่ 3

สารละลาย:ตามสูตรที่เหมาะสม:

คำตอบ:

เพื่อความชัดเจนฉันจะวาดรูป

ส่วน – นี่ไม่ใช่เวกเตอร์และแน่นอนว่าคุณไม่สามารถเคลื่อนย้ายมันไปไหนได้ นอกจากนี้ หากคุณวาดเป็นขนาด: 1 หน่วย = 1 ซม. (เซลล์สมุดบันทึกสองเซลล์) ดังนั้นคำตอบที่ได้จึงสามารถตรวจสอบได้โดยใช้ไม้บรรทัดธรรมดาโดยการวัดความยาวของส่วนนั้นโดยตรง

ใช่ วิธีแก้ปัญหานั้นสั้น แต่ก็มีอีกสองสามข้อในนั้น จุดสำคัญที่ข้าพเจ้าอยากจะชี้แจงว่า

ประการแรก เราใส่มิติข้อมูลลงในคำตอบ: "หน่วย" สภาพไม่ได้บอกว่ามันคืออะไร มิลลิเมตร เซนติเมตร เมตร หรือกิโลเมตร ดังนั้น วิธีแก้ไขที่ถูกต้องทางคณิตศาสตร์คือสูตรทั่วไป: "หน่วย" - เรียกโดยย่อว่า "หน่วย"

ประการที่สอง ให้เราทำซ้ำเนื้อหาของโรงเรียนซึ่งมีประโยชน์ไม่เพียง แต่สำหรับงานที่พิจารณาเท่านั้น:

โปรดทราบ เทคนิคที่สำคัญ – ลบตัวคูณออกจากใต้รูต- จากการคำนวณ เราได้ผลลัพธ์ และรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่ดีคือการลบปัจจัยออกจากใต้ราก (ถ้าเป็นไปได้) รายละเอียดเพิ่มเติมกระบวนการมีลักษณะดังนี้: - แน่นอนว่าการทิ้งคำตอบไว้อย่างที่เป็นอยู่นั้นไม่ใช่ความผิดพลาด แต่แน่นอนว่ามันจะเป็นข้อบกพร่องและเป็นข้อโต้แย้งที่หนักหน่วงสำหรับการพูดเล่นของครู

ต่อไปนี้เป็นกรณีทั่วไปอื่นๆ:

บ่อยครั้งที่รากสร้างจำนวนที่ค่อนข้างมาก เช่น จะทำอย่างไรในกรณีเช่นนี้? ใช้เครื่องคิดเลขตรวจสอบว่าตัวเลขหารด้วย 4 ลงตัวหรือไม่: ใช่แล้ว มันถูกแบ่งแยกโดยสิ้นเชิง ดังนี้: - หรือบางทีตัวเลขสามารถหารด้วย 4 อีกครั้งได้? - ดังนั้น: - หลักสุดท้ายของตัวเลขเป็นเลขคี่ ดังนั้นการหารด้วย 4 เป็นครั้งที่สามจะไม่ได้ผลอย่างเห็นได้ชัด ลองหารด้วยเก้า: . เป็นผลให้:
พร้อม.

บทสรุป:หากเราได้รับตัวเลขที่ไม่สามารถแยกออกมาทั้งหมดได้ภายใต้รูทเราจะพยายามลบตัวประกอบออกจากใต้รูท - ใช้เครื่องคิดเลขเพื่อตรวจสอบว่าตัวเลขหารด้วย: 4, 9, 16, 25, 36 หรือไม่ 49 เป็นต้น

เมื่อแก้ไขปัญหาต่าง ๆ มักพบรากเหง้า พยายามดึงปัจจัยจากใต้รากเสมอเพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาเกรดต่ำกว่าและไม่จำเป็นในการสรุปวิธีแก้ปัญหาตามความคิดเห็นของครู

เรามาทำซ้ำการยกกำลังสองและค่ากำลังอื่นๆ กัน:

กฎสำหรับการดำเนินการที่มีองศาเข้า มุมมองทั่วไปสามารถพบได้ในหนังสือเรียนเกี่ยวกับพีชคณิต แต่ฉันคิดว่าจากตัวอย่างที่ให้มา ทุกอย่างหรือเกือบทุกอย่างก็ชัดเจนอยู่แล้ว

การมอบหมายโซลูชันอิสระพร้อมส่วนในพื้นที่:

ตัวอย่างที่ 4

คะแนนและได้รับ ค้นหาความยาวของส่วน.

คำตอบและคำตอบอยู่ท้ายบทเรียน

จะหาความยาวของเวกเตอร์ได้อย่างไร?

หากให้เวกเตอร์ระนาบมา สูตรจะคำนวณความยาวของเวกเตอร์

หากกำหนดเวกเตอร์อวกาศ ความยาวจะถูกคำนวณโดยสูตร .

สูตรเหล่านี้ (เช่นเดียวกับสูตรสำหรับความยาวของส่วน) สามารถหามาได้ง่ายๆ โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่รู้จักกันดี

หน้า 1 จาก 2 หน้า

คำถามที่ 1.เวกเตอร์คืออะไร? เวกเตอร์ถูกกำหนดอย่างไร?
คำตอบ.เราจะเรียกส่วนที่กำกับว่าเวกเตอร์ (รูปที่ 211) ทิศทางของเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยการระบุจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด ในภาพวาด ทิศทางของเวกเตอร์จะแสดงด้วยลูกศร เพื่อแสดงถึงเวกเตอร์ เราจะใช้อักษรละตินตัวพิมพ์เล็ก a, b, c, .... คุณยังสามารถแสดงเวกเตอร์ได้โดยระบุจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ในกรณีนี้ จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์จะถูกวางไว้ที่ตำแหน่งแรก แทนคำว่า "เวกเตอร์" ด้านบน การกำหนดตัวอักษรบางครั้งเวกเตอร์จะมีเครื่องหมายลูกศรหรือเส้นกำกับไว้ เวกเตอร์ในรูปที่ 211 สามารถแสดงได้ดังนี้:

\(\overline(a)\), \(\overrightarrow(a)\) หรือ \(\overline(AB)\), \(\overrightarrow(AB)\)

คำถามที่ 2.เวกเตอร์ใดที่เรียกว่ากำกับเหมือนกัน (กำกับตรงกันข้าม)
คำตอบ.เวกเตอร์ \(\overline(AB)\) และ \(\overline(CD)\) บอกว่ามีทิศทางเท่ากัน ถ้าครึ่งบรรทัด AB และ CD มีทิศทางเท่ากัน
เวกเตอร์ \(\overline(AB)\) และ \(\overline(CD)\) ถูกกล่าวว่ามีทิศทางตรงกันข้าม ถ้าเส้นครึ่งเส้น AB และ CD มีทิศทางตรงกันข้าม
ในรูปที่ 212 เวกเตอร์ \(\overline(a)\) และ \(\overline(b)\) มีทิศทางเท่ากัน และเวกเตอร์ \(\overline(a)\) และ \(\overline(c)\ ) มีทิศทางตรงกันข้าม

คำถามที่ 3.เวกเตอร์มีขนาดสัมบูรณ์เป็นเท่าใด?
คำตอบ.ค่าสัมบูรณ์ (หรือโมดูลัส) ของเวกเตอร์คือความยาวของส่วนที่เป็นตัวแทนของเวกเตอร์ ค่าสัมบูรณ์ของเวกเตอร์ \(\overline(a)\) เขียนแทนด้วย |\(\overline(a)\)|

คำถามที่ 4.เวกเตอร์ว่างคืออะไร?
คำตอบ.จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์สามารถเกิดขึ้นพร้อมกับจุดสิ้นสุดของมันได้ เราจะเรียกเวกเตอร์นั้นว่าเวกเตอร์ศูนย์ เวกเตอร์ศูนย์จะแสดงด้วยศูนย์ด้วยเครื่องหมายขีดกลาง (\(\overline(0)\)) พวกเขาไม่ได้พูดถึงทิศทางของเวกเตอร์ศูนย์ ค่าสัมบูรณ์ของเวกเตอร์ศูนย์ถือว่าเท่ากับศูนย์

คำถามที่ 5.เวกเตอร์ใดที่เรียกว่าเท่ากัน?
คำตอบ.เวกเตอร์สองตัวจะเท่ากันถ้ารวมกันโดยการแปลแบบขนาน ซึ่งหมายความว่ามีการแปลแบบขนานที่นำจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์หนึ่งไปยังจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์อื่นตามลำดับ

คำถามที่ 6.พิสูจน์ว่าเวกเตอร์ที่เท่ากันมีทิศทางเดียวกันและมีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน และในทางกลับกัน: เวกเตอร์ที่มีทิศทางเหมือนกันซึ่งมีค่าเท่ากันในค่าสัมบูรณ์จะเท่ากัน
คำตอบ.ในระหว่างการแปลแบบขนาน เวกเตอร์จะรักษาทิศทางเช่นเดียวกับค่าสัมบูรณ์ ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ที่เท่ากันมีทิศทางเดียวกันและมีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน
ให้ \(\overline(AB)\) และ \(\overline(CD)\) เป็นเวกเตอร์กำกับเหมือนกัน โดยมีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน (รูปที่ 213) การถ่ายโอนแบบขนานซึ่งนำจุด C ไปยังจุด A จะรวมซีดีแบบครึ่งบรรทัดเข้ากับ AB แบบครึ่งบรรทัด เนื่องจากมีทิศทางเดียวกัน และเนื่องจากกลุ่ม AB และ CD เท่ากัน ดังนั้นจุด D จึงเกิดขึ้นพร้อมกับจุด B นั่นคือ การแปลแบบขนานแปลงเวกเตอร์ \(\overline(CD)\) เป็นเวกเตอร์ \(\overline(AB)\) นี่หมายความว่าเวกเตอร์ \(\overline(AB)\) และ \(\overline(CD)\) เท่ากัน ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

คำถามที่ 7.พิสูจน์ว่าจากจุดใดก็ตาม คุณสามารถพลอตเวกเตอร์เท่ากับเวกเตอร์ที่กำหนดได้เพียงอันเดียวเท่านั้น
คำตอบ.ให้ CD เป็นเส้นตรง และเวกเตอร์ \(\overline(CD)\) เป็นส่วนหนึ่งของเส้น CD ให้ AB เป็นเส้นตรงที่แผ่น CD เส้นตรงผ่านไประหว่างการถ่ายโอนแบบขนาน \(\overline(AB)\) เป็นเวกเตอร์ที่เวกเตอร์ \(\overline(CD)\) ไปถึงระหว่างการถ่ายโอนแบบขนาน และด้วยเหตุนี้ เวกเตอร์ \(\ overline(AB)\) และ \(\overline(CD)\) เท่ากัน และเส้นตรง AB และ CD ขนานกัน (ดูรูปที่ 213) ดังที่เราทราบ ผ่านจุดที่ไม่อยู่บนเส้นที่กำหนด มันเป็นไปได้ที่จะวาดบนระนาบด้วยเส้นตรงขนานกับเส้นที่กำหนดมากที่สุดหนึ่งเส้น (สัจพจน์ของเส้นคู่ขนาน) ซึ่งหมายความว่าเมื่อถึงจุด A หนึ่งบรรทัดสามารถลากขนานกับเส้นซีดีได้ เนื่องจากเวกเตอร์ \(\overline(AB)\) เป็นส่วนหนึ่งของเส้น AB ดังนั้นเมื่อผ่านจุด A จึงสามารถวาดเวกเตอร์ \(\overline(AB)\) ได้หนึ่งตัว ซึ่งเท่ากับเวกเตอร์ \(\overline(CD)\ ).

คำถามที่ 8.พิกัดเวกเตอร์คืออะไร? ค่าสัมบูรณ์ของเวกเตอร์ที่มีพิกัด 1, a 2 คืออะไร?
คำตอบ.ให้เวกเตอร์ \(\overline(a)\) มีจุดเริ่มต้น A 1 (x 1 ; y 1) และจุดสิ้นสุด A 2 (x 2 ; y 2) พิกัดของเวกเตอร์ \(\overline(a)\) จะเป็นตัวเลข a 1 = x 2 - x 1 , a 2 = y 2 - y 1 เราจะใส่พิกัดของเวกเตอร์ไว้ถัดจากการกำหนดตัวอักษรของเวกเตอร์ ในกรณีนี้ \(\overline(a)\) (a 1 ; a 2) หรือเพียงแค่ \((\overline(a 1 ; a 2 ) )\) พิกัดของเวกเตอร์ศูนย์เท่ากับศูนย์
จากสูตรที่แสดงระยะห่างระหว่างจุดสองจุดผ่านพิกัดของมัน จะได้ว่าค่าสัมบูรณ์ของเวกเตอร์ที่มีพิกัด a 1, a 2 เท่ากับ \(\sqrt(a^2 1 + a^2 2)\)

คำถามที่ 9.พิสูจน์ว่าเวกเตอร์ที่เท่ากันมีพิกัดเท่ากันตามลำดับ และเวกเตอร์ที่มีพิกัดเท่ากันตามลำดับจะเท่ากัน
คำตอบ.ให้ A 1 (x 1 ; y 1) และ A 2 (x 2 ; y 2) เป็นจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ \(\overline(a)\) เนื่องจากเวกเตอร์ \(\overline(a)\) เท่ากับได้มาจากเวกเตอร์ \(\overline(a)\) โดยการแปลแบบคู่ขนาน จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของมันจะเป็น A" 1 (x 1 + c; y 1 + d) ตามลำดับ ), A" 2 (x 2 + c; y 2 ​​​​+ d) นี่แสดงว่าทั้งเวกเตอร์ \(\overline(a)\) และ \(\overline(a")\) มี พิกัดเดียวกัน: x 2 - x 1, y 2 - y 1
ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ข้อความสนทนา ให้พิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ \(\overline(A 1 A 2 )\) และ \(\overline(A" 1 A" 2 )\) เท่ากัน ลองพิสูจน์ว่าเวกเตอร์เท่ากัน
ให้ x" 1 และ y" 1 เป็นพิกัดของจุด A" 1 และ x" 2, y" 2 เป็นพิกัดของจุด A" 2 ตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท x 2 - x 1 = x" 2 - x" 1, y 2 - y 1 = y" 2 - y" 1 ดังนั้น x" 2 = x 2 + x" 1 - x 1, y" 2 = y 2 + y" 1 - y 1 การถ่ายโอนแบบขนานที่กำหนดโดยสูตร

x" = x + x" 1 - x 1 , y" = y + y" 1 - y 1 ,

ถ่ายโอนจุด A 1 ไปยังจุด A" 1 และจุด A 2 ไปยังจุด A" 2 เช่น เวกเตอร์ \(\overline(A 1 A 2 )\) และ \(\overline(A" 1 A" 2 )\) เท่ากัน ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

คำถามที่ 10.กำหนดผลรวมของเวกเตอร์
คำตอบ.ผลรวมของเวกเตอร์ \(\overline(a)\) และ \(\overline(b)\) ที่มีพิกัด a 1 , a 2 และ b 1 , b 2 เรียกว่าเวกเตอร์ \(\overline(c)\) ด้วย พิกัด a 1 + b 1, a 2 + b a 2 เช่น

\(\overline(a) (a 1 ; a 2) + \overline(b)(b 1 ; b 2) = \overline(c) (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2)\)