จากการศึกษาคุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิต เราได้พิสูจน์ทฤษฎีบทจำนวนหนึ่ง ในการทำเช่นนั้น ตามกฎแล้ว เราอาศัยทฤษฎีบทที่ได้รับการพิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้ ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทแรกของเรขาคณิตมีพื้นฐานมาจากอะไร? คำตอบสำหรับคำถามนี้คือ: ข้อความบางอย่างเกี่ยวกับคุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิตได้รับการยอมรับว่าเป็นจุดเริ่มต้น โดยขึ้นอยู่กับการพิสูจน์ทฤษฎีบทเพิ่มเติม และโดยทั่วไปแล้ว เรขาคณิตทั้งหมดจะถูกสร้างขึ้น ตำแหน่งเริ่มต้นดังกล่าวเรียกว่า สัจพจน์.
สัจพจน์บางประการได้รับการกำหนดขึ้นในบทแรก (แม้ว่าจะไม่ได้เรียกว่าสัจพจน์ก็ตาม) ยกตัวอย่างมันเป็นสัจพจน์ที่ว่า
สัจพจน์อื่นๆ มากมาย แม้จะไม่ได้เน้นเป็นพิเศษ แต่จริงๆ แล้วถูกนำมาใช้ในการให้เหตุผลของเรา ดังนั้นเราจึงเปรียบเทียบสองส่วนโดยการวางส่วนหนึ่งไว้ทับอีกส่วนหนึ่ง ความเป็นไปได้ของการทับซ้อนกันดังกล่าวเป็นไปตามสัจพจน์ต่อไปนี้:
การเปรียบเทียบสองมุมนั้นขึ้นอยู่กับสัจพจน์ที่คล้ายกัน:
สัจพจน์ทั้งหมดนี้ชัดเจนและไม่ต้องสงสัยเลย คำว่า "สัจพจน์" นั้นมาจากภาษากรีก "axios" ซึ่งแปลว่า "มีคุณค่าและคู่ควร" รายการเต็มสัจพจน์ของแผนผังระนาบที่นำมาใช้ในหลักสูตรเรขาคณิตของเรามีระบุไว้ในตอนท้ายของหนังสือเรียน
วิธีการสร้างเรขาคณิตนี้เมื่อมีการกำหนดตำแหน่งเริ่มต้น - สัจพจน์ - จากนั้นข้อความอื่น ๆ ได้รับการพิสูจน์บนพื้นฐานผ่านการให้เหตุผลเชิงตรรกะซึ่งมีต้นกำเนิดในสมัยโบราณและได้รับการอธิบายไว้ในผลงานที่มีชื่อเสียง "หลักการ" โดยชาวกรีกโบราณ นักวิทยาศาสตร์ยุคลิด สัจพจน์บางประการของ Euclid (บางข้อเขาเรียกว่า สมมุติฐาน) และปัจจุบันใช้ในหลักสูตรเรขาคณิต และเรียกเรขาคณิตนั้นเองซึ่งกำหนดไว้ใน "องค์ประกอบ" เรขาคณิตแบบยุคลิด- ในย่อหน้าถัดไป เราจะมาทำความรู้จักกับสัจพจน์เรขาคณิตที่มีชื่อเสียงที่สุดประการหนึ่ง
ให้เราพิจารณาเส้นตรง a และจุด M ที่ไม่อยู่บนนั้น (รูปที่ 110, a) ให้เราพิสูจน์ว่าผ่านจุด M คุณสามารถวาดเส้นขนานกับเส้น a ได้ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้ลากเส้นตรงสองเส้นผ่านจุด M: เส้นตรงเส้นแรก c ตั้งฉากกับเส้นตรง a จากนั้นเส้นตรง b ตั้งฉากกับเส้นตรง c (รูปที่ 110, (b) เนื่องจากเส้นตรง a และ b ตั้งฉากกับ เส้นตรง c พวกมันขนานกัน
ข้าว. 110
ดังนั้น เมื่อผ่านจุด M ก็จะผ่านเส้น b ขนานกับเส้น a คำถามต่อไปนี้เกิดขึ้น: เป็นไปได้ไหมที่จะลากเส้นอื่นผ่านจุด M ซึ่งขนานกับเส้นตรง a?
สำหรับเราดูเหมือนว่าหากเส้นตรง b "หมุน" แม้จะมีมุมเล็ก ๆ รอบจุด M มันก็จะตัดเส้นตรง a (เส้น b" ในรูปที่ 110.6) กล่าวอีกนัยหนึ่งสำหรับเราแล้วดูเหมือนว่ามันคือ เป็นไปไม่ได้ที่จะลากเส้นตรงอีกเส้นผ่านจุด M ( แตกต่างจาก b) ขนานกับเส้น a เป็นไปได้ไหมที่จะพิสูจน์ข้อความนี้
คำถามนี้มีประวัติอันยาวนาน “องค์ประกอบ” ของยุคลิดประกอบด้วยสมมุติฐาน (สมมุติฐานที่ห้าของยุคลิด) ซึ่งตามมาว่าผ่านจุดที่ไม่อยู่บนเส้นที่กำหนด จะสามารถลากเส้นตรงเพียงเส้นเดียวขนานกับเส้นที่กำหนดได้ นักคณิตศาสตร์หลายคนตั้งแต่สมัยโบราณได้พยายามพิสูจน์สมมุติฐานข้อที่ห้าของยุคลิด ซึ่งก็คือได้รับมาจากสัจพจน์อื่นๆ อย่างไรก็ตาม ความพยายามเหล่านี้ไม่ประสบผลสำเร็จทุกครั้ง และในศตวรรษที่ผ่านมามีการชี้แจงในที่สุดว่าข้อความเกี่ยวกับเอกลักษณ์ของเส้นที่ผ่านจุดที่กำหนดขนานกับเส้นที่กำหนดนั้นไม่สามารถพิสูจน์ได้บนพื้นฐานของสัจพจน์ที่เหลืออยู่ของ Euclid แต่เป็นสัจพจน์
นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียผู้ยิ่งใหญ่ Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856) มีบทบาทสำคัญในการแก้ปัญหาที่ยากลำบากนี้
ดังนั้นเพื่อเป็นจุดเริ่มต้นอีกจุดหนึ่งที่เรายอมรับ สัจพจน์ของเส้นขนาน.
ข้อความที่ได้มาจากสัจพจน์หรือทฤษฎีบทโดยตรงเรียกว่า ผลที่ตามมา- ตัวอย่างเช่น ข้อความที่ 1 และ 2 (ดูหน้า 35) เป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทเรื่องเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
ลองพิจารณาข้อพิสูจน์บางประการจากสัจพจน์ของเส้นคู่ขนาน
อันที่จริง ให้เส้นตรง a และ b ขนานกัน และเส้นตรง c ตัดกันเส้นตรง a ที่จุด M (รูปที่ 111, a) ลองพิสูจน์ว่าเส้น c ตัดกับเส้น b ด้วย หากเส้น c ไม่ได้ตัดกันเส้น b ดังนั้นเส้นสองเส้น (เส้น a และ c) ขนานกับเส้น b จะผ่านจุด M (รูปที่ 111, b) แต่สิ่งนี้ขัดแย้งกับสัจพจน์ของเส้นขนาน ดังนั้น เส้น c ตัดกับเส้น b
ข้าว. 111
อันที่จริง ให้เส้นตรง a และ b ขนานกับเส้นตรง c (รูปที่ 112, a) ให้เราพิสูจน์ว่า || ข. สมมติว่าเส้น a และ b ไม่ขนานกัน นั่นคือเส้นตรงตัดกันที่จุดใดจุดหนึ่ง M (รูปที่ 112.6) จากนั้นเส้นสองเส้นจะผ่านจุด M (เส้น a และ b) ขนานกับเส้น c
ข้าว. 112
แต่สิ่งนี้ขัดแย้งกับสัจพจน์ของเส้นคู่ขนาน ดังนั้นสมมติฐานของเราจึงไม่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าเส้น a และ b ขนานกัน
ทุกทฤษฎีบทมีสองส่วน: เงื่อนไขและ บทสรุป- เงื่อนไขของทฤษฎีบทคือสิ่งที่ได้รับ และข้อสรุปคือสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์
ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาทฤษฎีบทที่แสดงเกณฑ์ความขนานของเส้นตรงสองเส้น: ถ้าเมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกับเส้นตัดขวาง มุมนอนจะเท่ากัน แล้วเส้นตรงจะขนานกัน
ในทฤษฎีบทนี้ เงื่อนไขเป็นส่วนแรกของข้อความ: “เมื่อเส้นสองเส้นตัดขวาง มุมโกหกจะเท่ากัน” (ให้ไว้) และข้อสรุปคือส่วนที่สอง: “เส้นขนานกัน” (ความต้องการนี้ ที่ต้องพิสูจน์)
บทสนทนาของทฤษฎีบทนี้เป็นทฤษฎีบทที่เงื่อนไขคือข้อสรุปของทฤษฎีบท และข้อสรุปคือเงื่อนไขของทฤษฎีบท ให้เราพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ขัดแย้งกับทฤษฎีบททั้งสามในย่อหน้าที่ 25
ทฤษฎีบท
การพิสูจน์
ปล่อยให้เส้นขนาน a และ b ตัดกันโดยเส้นตัด MN ให้เราพิสูจน์ว่ามุมที่วางขวางเช่น 1 และ 2 เท่ากัน (รูปที่ 113)
ข้าว. 113
สมมติว่ามุม 1 และ 2 ไม่เท่ากัน ขอให้เราลบมุม PMN เท่ากับมุม 2 ออกจากรังสี MN เพื่อให้ ∠PMN และ ∠2 เป็นมุมขวางที่จุดตัดของเส้น MR และ b ด้วยเส้นตัด MN จากการก่อสร้าง มุมที่ตัดกันเหล่านี้มีค่าเท่ากัน ดังนั้น MR || ข. เราพบว่าเส้นสองเส้นลากผ่านจุด M (เส้น a และ MP) ขนานกับเส้น b แต่สิ่งนี้ขัดแย้งกับสัจพจน์ของเส้นคู่ขนาน ซึ่งหมายความว่าสมมติฐานของเราไม่ถูกต้องและ ∠1 = ∠2 ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
ความคิดเห็น
ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ เราใช้วิธีให้เหตุผลที่เรียกว่า โดยการพิสูจน์โดยขัดแย้ง.
เราสันนิษฐานว่าเมื่อเส้นขนาน a และ b ตัดกับเส้นตัด MN ตามขวาง มุมนอนที่ 1 และ 2 จะไม่เท่ากัน กล่าวคือ เราสันนิษฐานว่าตรงกันข้ามกับสิ่งที่ต้องพิสูจน์ ตามสมมติฐานนี้ ผ่านการให้เหตุผล เราได้ขัดแย้งกับสัจพจน์ของเส้นคู่ขนาน ซึ่งหมายความว่าสมมติฐานของเราไม่ถูกต้อง ดังนั้น ∠1 = ∠2
การใช้เหตุผลแบบนี้มักใช้ในวิชาคณิตศาสตร์ เราใช้มันก่อนหน้านี้ เช่น ในย่อหน้าที่ 12 เมื่อพิสูจน์ว่าเส้นสองเส้นตั้งฉากกับเส้นที่สามไม่ตัดกัน เราใช้วิธีเดียวกันในย่อหน้า 28 เพื่อพิสูจน์ข้อพิสูจน์ 1 0 และ 2 0 จากสัจพจน์ของเส้นคู่ขนาน
ผลที่ตามมา
อันที่จริงให้ || b, c ⊥ a เช่น ∠1 = 90° (รูปที่ 114) เส้น c ตัดกับเส้น a ดังนั้นมันจึงตัดเส้น b ด้วย เมื่อเส้นขนาน a และ b ตัดกับเส้นตัดขวาง c มุมขวางที่เท่ากันจะถูกสร้างขึ้น: ∠1=∠2 เนื่องจาก ∠1 = 90° ดังนั้น ∠2 = 90° นั่นคือ c ⊥ b ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์
ข้าว. 114
ทฤษฎีบท
การพิสูจน์
ให้เส้นขนาน a และ b ตัดกันด้วยเส้นตัด c ให้เราพิสูจน์ว่ามุมที่สอดคล้องกัน เช่น 1 และ 2 เท่ากัน (ดูรูปที่ 102) ตั้งแต่ || b แล้วมุมขวาง 1 และ 3 จะเท่ากัน
มุมที่ 2 และ 3 เท่ากับแนวตั้ง จากความเท่าเทียมกัน ∠1 = ∠3 และ ∠2 = ∠3 จะได้ว่า ∠1 = ∠2 ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
ทฤษฎีบท
การพิสูจน์
ให้เส้นขนาน a และ b ตัดกันด้วยเส้นตัด c (ดูรูปที่ 102) ตัวอย่างเช่น ลองพิสูจน์ว่า ∠1 + ∠4 = 180° ตั้งแต่ || b แล้วมุมที่สอดคล้องกัน 1 และ 2 จะเท่ากัน มุมที่ 2 และ 4 อยู่ติดกัน ดังนั้น ∠2 + ∠4 = 180° จากความเท่าเทียมกัน ∠1 = ∠2 และ ∠2 + ∠4 = 180° จะได้ว่า ∠1 + ∠4 = 180° ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
ความคิดเห็น
ถ้าทฤษฎีบทบางข้อได้รับการพิสูจน์แล้ว ประโยคสนทนาจะไม่เป็นไปตามนั้น ยิ่งกว่านั้น การสนทนาก็ไม่เป็นความจริงเสมอไป ลองยกตัวอย่างง่ายๆ เรารู้ว่าถ้ามุมเป็นแนวตั้ง มุมก็จะเท่ากัน ข้อความตรงกันข้าม: “ถ้ามุมเท่ากัน มุมเหล่านั้นก็จะอยู่ในแนวตั้ง” แน่นอนว่าเป็นเท็จ
ให้เราพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมที่มีด้านขนานกันตามลำดับ
ทฤษฎีบท
การพิสูจน์
ให้ ∠AOB และ ∠A 1 O 1 B 1 เป็นมุมที่กำหนด และ OA || O 1 ก 1 , OB || ประมาณ 1 ใน 1 ถ้ามุม AOB ได้รับการพัฒนา มุม A 1 O 1 B 1 ก็ได้รับการพัฒนาเช่นกัน (อธิบายว่าทำไม) ดังนั้นมุมเหล่านี้จึงเท่ากัน ให้ ∠AOB เป็นมุมที่ยังไม่พัฒนา กรณีที่เป็นไปได้ของตำแหน่งของมุม AOB และ A 1 O 1 B 1 แสดงในรูปที่ 115, a และ b เส้นตรง O 1 B 1 ตัดกับเส้น O 1 A 1 และดังนั้นจึงตัดเส้น OA ขนานกับมันที่จุดใดจุดหนึ่ง M เส้นขนาน OB และ O 1 B 1 ตัดกันโดยเส้นตัด OM ดังนั้นจึงเป็นหนึ่งใน มุมที่เกิดขึ้นที่จุดตัดของเส้นตรง O 1 B 1 และ OA (มุม 1 ในรูปที่ 115) เท่ากับมุม AOB (เช่นมุมขวาง) เส้นขนาน OA และ O 1 A 1 ตัดกันโดยเซแคนต์ O 1 M ดังนั้น ∠1 = ∠A 1 O 1 B 1 (รูปที่ 115, a) หรือ ∠1 + ∠A 1 O 1 B 1 = 180 ° (รูปที่ 115, b) จากความเท่าเทียมกัน ∠1 = ∠AOB และค่าเท่ากันสองตัวสุดท้าย จะตามมาว่า ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 (ดูรูปที่ 115, a) หรือ ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180° (ดูรูปที่ 115, b). ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
ข้าว. 115
ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมที่มีด้านตั้งฉากกันตามลำดับ
ทฤษฎีบท
การพิสูจน์
ให้ ∠AOB และ ∠A 1 O 1 B 1 ได้รับมุม OA ⊥ O 1 A 1 , OB ⊥ O 1 B 1 ถ้ามุม AOB กลับด้านหรือเป็นมุมตรง มุม A 1 O 1 B 1 กลับด้านหรือเป็นมุมตรง (อธิบายว่าทำไม) มุมเหล่านี้จึงเท่ากัน ให้ ∠AOB< 180°, О ∉ О 1 А 1 , О ∉ О 1 В 1 (случаи О ∈ O 1 А 1 , О ∈ О 1 В 1 рассмотрите самостоятельно).
เป็นไปได้สองกรณี (รูปที่ 116)
1 0 . ∠เอโอบี< 90° (см. рис. 116, а). Проведём луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными, а точки В и С лежали по разные стороны от прямой О А. Далее, проведём луч OD так, чтобы прямые ОВ и OD были взаимно перпендикулярными, а точки С и D лежали по одну сторону от прямой О А. Поскольку ∠AOB = 90° - ∠AOD и ∠COD = 90° - ∠AOD, то ∠AOB = ∠COD. Стороны угла COD соответственно параллельны сторонам угла А 1 О 1 В 1 (объясните почему), поэтому либо ∠COD = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠COD + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. Следовательно, либо ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°.
2 0 . ∠AOB > 90° (ดูรูปที่ 116, b) ให้เราวาด ray OS เพื่อให้มุม AOS อยู่ติดกับมุม AOB มุม AOC เป็นแบบเฉียบพลัน และด้านข้างตั้งฉากกับด้านข้างของมุม A 1 O 1 B 1 . ดังนั้น ∠AOC + ∠A 1 O 1 B 1 = 180° หรือ ∠AOC = ∠A 1 O 1 B 1 ในกรณีแรก ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 ในกรณีที่สอง ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180° ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
196. ให้รูปสามเหลี่ยม ABC เส้นตรงที่ขนานกับด้าน AB สามารถลากผ่านจุดยอด C ได้กี่เส้น
197. เส้นตรงสี่เส้นลากผ่านจุดที่ไม่อยู่บนเส้น p มีเส้นตรงกี่เส้นที่ตัดกับเส้น p? พิจารณาทุกกรณีที่เป็นไปได้
198. เส้น a และ b ตั้งฉากกับเส้น p, เส้น c ตัดกับเส้น a เส้น c ตัดกับเส้น b หรือไม่?
199. เส้น p ขนานกับด้าน AB ของสามเหลี่ยม ABC พิสูจน์ว่าเส้น BC และ AC ตัดกันเส้น r
200. ในรูปที่ 117 AD || พี และ PQ || ดวงอาทิตย์. พิสูจน์ว่าเส้น p ตัดกับเส้น AB, AE, AC, BC และ PQ
ข้าว. 117
201. ผลรวมของมุมตามขวางเมื่อเส้นขนานสองเส้นตัดกับเส้นตัดขวางเท่ากับ 210° หามุมเหล่านี้
202. ในรูปที่ 118 เส้นตรง a, b และ c ตัดกันด้วยเส้นตรง d, ∠1 = 42°, ∠2 = 140°, ∠3 = 138° เส้นตรง a, b และ c เส้นใดขนานกัน?
ข้าว. 118
203. จงหามุมทั้งหมดที่เกิดขึ้นเมื่อเส้นขนานสองเส้น a และ b ตัดกับเส้นตัดขวาง c ถ้า:
ก) มุมใดมุมหนึ่งคือ 150°;
b) มุมใดมุมหนึ่งมากกว่ามุมอื่น 70°
204. ส่วนปลายของส่วน AB อยู่บนเส้นคู่ขนาน a และ b เส้นตรงที่ผ่านจุด O ตรงกลางของส่วนนี้ตัดเส้น a และ b ที่จุด C และ D พิสูจน์ว่า CO = OD
205. ใช้ข้อมูลในรูปที่ 119 ค้นหา ∠1
ข้าว. 119
206. ∠ABC = 70° และ ABCD = 110° สามารถสั่ง AB และ CD เป็น:
ก) ขนาน;
b) ตัดกัน?
207. ตอบคำถามในปัญหา 206 ถ้า ∠ABC = 65° และ ∠BCD = 105°
208 ความแตกต่างระหว่างมุมด้านเดียวสองมุมเมื่อเส้นขนานสองเส้นตัดกับเส้นตัดขวางคือ 50° หามุมเหล่านี้
209. ในรูปที่ 120 ก || ข, ค || ง, ∠4 = 45° ค้นหามุม 1, 2 และ 3
ข้าว. 120
210. สองร่าง P 1 และ P 2 ถูกแขวนไว้ที่ปลายด้ายที่โยนข้ามบล็อก A และ B (รูปที่ 121) ตัวที่สาม P 3 ถูกแขวนจากด้ายเดียวกันที่จุด C และปรับสมดุลของตัว P 1 และ P 2 (ในกรณีนี้ AP 1 || BP 2 || CP 3 .) พิสูจน์ว่า ∠ACB = ∠CAP 1 + ∠CBP 2
ข้าว. 121
211. เส้นขนานสองเส้นตัดกันด้วยเส้นตัดขวาง พิสูจน์ว่า: ก) เส้นแบ่งครึ่งของมุมตรงข้ามขนานกัน; b) เส้นแบ่งครึ่งของมุมด้านเดียวตั้งฉากกัน
212. เส้นตรงที่มีความสูง AA 1 และ BB 1 ของสามเหลี่ยม ABC ตัดกันที่จุด H, มุม B เป็นมุมป้าน, ∠C = 20° หามุม ABB
196. เส้นตรงหนึ่งเส้น
197. สามหรือสี่
201. 105°, 105°.
203. b) มุมทั้งสี่มี 55° และอีกสี่มุมมี 125°
206.ก) ใช่; B: ใช่.
207.ก) ไม่; B: ใช่.
208. 115° และ 65°
209. ∠1 = 135°, ∠2 = 45°, ∠3=135°
210. คำสั่ง พิจารณาความต่อเนื่องของลำแสง CP 3
นอกจากนี้เรายังใช้สัจพจน์อื่นๆ แม้ว่าเราจะไม่ได้เน้นย้ำถึงสัจพจน์เหล่านั้นเป็นพิเศษก็ตาม ดังนั้นเราจึงเปรียบเทียบสองส่วนโดยใช้การซ้อนทับ ความเป็นไปได้ของการทับซ้อนกันดังกล่าวตามมาจากสัจพจน์ "ในรังสีใด ๆ ตั้งแต่เริ่มต้นคุณสามารถละทิ้งส่วนที่เท่ากับรังสีที่กำหนดและเพียงรังสีเดียวเท่านั้น"
สัจพจน์เหล่านี้ไม่ต้องสงสัยเลยและด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา ข้อความอื่น ๆ ก็ได้รับการพิสูจน์แล้ว วิธีการนี้มีต้นกำเนิดเมื่อนานมาแล้วและได้รับการอธิบายไว้ในงาน "องค์ประกอบ" โดยนักวิทยาศาสตร์ Euclid สัจพจน์ - สมมุติฐานบางประการของ Euclid ปัจจุบันใช้ในเรขาคณิต และเรขาคณิตเองซึ่งกำหนดไว้ใน "องค์ประกอบ" เรียกว่าเรขาคณิตแบบยุคลิด
ทฤษฎีบทเรื่องมุมที่เกิดจากเส้นขนานสองเส้นและเส้นตัดขวาง เงื่อนไขคือสิ่งที่ได้รับ บทสรุปคือสิ่งที่ต้องพิสูจน์ ทฤษฎีบทที่ผกผันกับทฤษฎีบทที่กำหนดคือทฤษฎีบทที่เงื่อนไขคือข้อสรุปของทฤษฎีบทที่กำหนด และข้อสรุปคือเงื่อนไขของทฤษฎีบทที่กำหนด
ความคิดเห็น ถ้าทฤษฎีบทบางข้อได้รับการพิสูจน์แล้ว ประโยคสนทนาจะไม่เป็นไปตามนั้น ยิ่งกว่านั้น การสนทนาก็ไม่เป็นความจริงเสมอไป เช่น “มุมแนวตั้งเท่ากัน” ข้อความตรงกันข้าม: “ถ้ามุมเท่ากัน มุมเหล่านั้นก็จะอยู่ในแนวตั้ง” แน่นอนว่าเป็นเท็จ
จบโดยนักเรียนเกรด 7 "G" MBOU "OK "Lyceum No. 3" Gavrilov Dmitry
สัจพจน์
มาจากภาษากรีก "axios" ซึ่งหมายถึง "มีคุณค่า สมควร" ตำแหน่งที่ยอมรับโดยไม่มีข้อพิสูจน์เชิงตรรกะเนื่องจากการโน้มน้าวใจในทันทีคือตำแหน่งเริ่มต้นที่แท้จริงของทฤษฎี (โซเวียต พจนานุกรมสารานุกรม)
หากต้องการใช้ตัวอย่างการนำเสนอ ให้สร้างบัญชีสำหรับตัวคุณเอง ( บัญชี) Google และเข้าสู่ระบบ: https://accounts.google.com
สัจพจน์ของเส้นคู่ขนานเสร็จสมบูรณ์โดยนักเรียนเกรด 7 "G" MBOU "ตกลง" สถานศึกษาหมายเลข 3" Gavrilov Dmitry ปีการศึกษา 2558-2559 (อาจารย์ Konareva T.N. )
คำจำกัดความและข้อเท็จจริงที่ทราบ จบประโยค. 1. เส้น x เรียกว่าเส้นตัดขวางสัมพันธ์กับเส้น a และ b ถ้า... 2. เมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกัน เส้นตัดขวางจะเกิดเป็นมุมที่ยังไม่พัฒนา 3. ถ้าเส้น AB และ C D ตัดกันด้วยเส้น B D แล้วเส้น B D จะเรียกว่า... 4. ถ้าจุด B และ D อยู่ในระนาบครึ่งระนาบที่ต่างกันสัมพันธ์กับเส้นตัดกระแสสลับ AC มุม BAC และ DCA จะถูกเรียกว่า... 5. ถ้าจุด B และ D อยู่ในระนาบครึ่งระนาบสัมพันธ์กับเส้นตัดกระแส AC มุมภายในของอีกคู่หนึ่งจะเรียกว่า... 6. ถ้ามุมภายในของคู่หนึ่งเท่ากัน มุมภายในของอีกคู่หนึ่งจะเรียกว่า... เท่ากัน... D C A C B D A B
การตรวจสอบงาน 1. ...ถ้าตัดกันที่จุดสองจุด 2. 8 3. ... เส้นตัด 4. ... นอนขวาง 5. ... ด้านเดียว 6. ... เท่ากัน
จับคู่ a) a b m 1) a | - b เนื่องจากมุมขวางภายในมีค่าเท่ากัน b) 2) a | - b เนื่องจากมุมที่สอดคล้องกันเท่ากัน c) a b 3) a | - b เนื่องจากผลรวมของมุมด้านเดียวภายในเท่ากับ 180° 50 º 130 º 45 º 45 º m a b m a 150 º 150º
เกี่ยวกับสัจพจน์ของเรขาคณิต
Axiom มาจากภาษากรีก "axios" ซึ่งแปลว่า "มีคุณค่าและคู่ควร" ตำแหน่งที่ยอมรับโดยไม่มีการพิสูจน์เชิงตรรกะเนื่องจากการโน้มน้าวใจในทันทีคือตำแหน่งเริ่มต้นที่แท้จริงของทฤษฎี พจนานุกรมสารานุกรมโซเวียต
เส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุดใดก็ได้ และมีเพียงเส้นเดียวเท่านั้นที่สามารถลากผ่านจุดสองจุดใดๆ ก็ตามที่วางอยู่บนระนาบได้
ในรังสีใดๆ ตั้งแต่เริ่มต้น เราสามารถวางส่วนที่เท่ากับรังสีที่กำหนดได้ และยิ่งไปกว่านั้น มีเพียงส่วนเดียวเท่านั้นที่สามารถปลดออกจากจุดเริ่มต้นของรังสีได้
จากรังสีใดๆ ในทิศทางที่กำหนด เป็นไปได้ที่จะพล็อตมุมเท่ากับมุมที่ยังไม่ได้พัฒนา และมีเพียงมุมเดียวเท่านั้นที่สามารถพล็อตจากรังสีที่กำหนดไปยังครึ่งระนาบที่กำหนดได้
สัจพจน์ ทฤษฎีบท การใช้เหตุผลเชิงตรรกะ บทความชื่อดังเรื่อง “ปรินชิเปีย” เรขาคณิตแบบยุคลิด การสร้างตรรกะของเรขาคณิต
สัจพจน์ของเส้นขนาน
M a ขอให้เราพิสูจน์ว่าผ่านจุด M มันเป็นไปได้ที่จะวาดเส้นขนานกับเส้น a c b a ┴ c b ┴ c a II c
เป็นไปได้ไหมที่จะลากเส้นอีกเส้นผ่านจุด M ขนานกับเส้น a? a M in 1 เป็นไปได้ไหมที่จะพิสูจน์สิ่งนี้?
ตั้งแต่สมัยโบราณนักคณิตศาสตร์หลายคนได้พยายามพิสูจน์ข้อความนี้ และในองค์ประกอบของยุคลิด ข้อความนี้เรียกว่าสมมุติฐานที่ห้า ความพยายามที่จะพิสูจน์สมมุติฐานที่ห้าของยุคลิดไม่ประสบผลสำเร็จ และเฉพาะในศตวรรษที่ 19 เท่านั้นที่มีการชี้แจงในที่สุดว่าข้อความเกี่ยวกับความเป็นเอกลักษณ์ของเส้นที่ลากผ่านจุดที่กำหนดขนานกับเส้นที่กำหนดนั้นไม่สามารถพิสูจน์ได้บนพื้นฐานของสัจพจน์ที่เหลือของยุคลิด แต่ตัวมันเองเป็นสัจพจน์ นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย นิโคไล อิวาโนวิช โลบาเชฟสกี มีบทบาทสำคัญในการแก้ปัญหานี้
สมมุติฐานที่ห้าของยุคลิด พ.ศ. 2335-2399 นิโคไล อิวาโนวิช
“เมื่อผ่านจุดที่ไม่อยู่บนเส้นที่กำหนด มีเพียงเส้นเดียวที่ขนานกับเส้นที่กำหนดเท่านั้นที่ผ่านไป” “จุดที่ไม่อยู่บนเส้นที่กำหนด ก็สามารถลากเส้นขนานกับจุดที่กำหนดได้” ข้อความใดต่อไปนี้เป็นสัจพจน์ ข้อความข้างต้นแตกต่างกันอย่างไร?
เมื่อผ่านจุดที่ไม่อยู่บนเส้นที่กำหนดก็จะผ่านไปเพียงเส้นเดียวขนานกับเส้นที่กำหนด ข้อความที่ได้มาจากสัจพจน์หรือทฤษฎีบทเรียกว่าข้อพิสูจน์ 1 หากเส้นตรงตัดเส้นขนานเส้นใดเส้นหนึ่งจากสองเส้น เส้นนั้นจะตัดกันอีกเส้นด้วย a II b , c b ⇒ c a สัจพจน์ของการขนานและผลที่ตามมา ข้อพิสูจน์ 2. ถ้าเส้นสองเส้นขนานกับเส้นที่สาม เส้นทั้งสองก็จะขนานกัน ก II c, b II c a II b a b c c b
การรวมความรู้ ทดสอบ ทำเครื่องหมายข้อความที่ถูกต้องด้วยเครื่องหมาย “+” และข้อความที่ไม่ถูกต้องด้วยเครื่องหมาย “-” ตัวเลือกที่ 1 1. สัจพจน์คือข้อความทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับคุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิตที่ต้องมีการพิสูจน์ 2. เส้นตรงลากผ่านจุดสองจุดใดๆ 3. ในรังสีใดๆ ตั้งแต่จุดเริ่มต้น คุณสามารถพล็อตส่วนที่เท่ากับส่วนที่กำหนดให้และมากเท่าที่คุณต้องการ 4. ผ่านจุดที่ไม่อยู่บนเส้นที่กำหนด จะมีเส้นขนานกับเส้นที่กำหนดเพียงเส้นเดียวเท่านั้นที่ผ่านไป 5. หากเส้นตรงสองเส้นขนานกับหนึ่งในสาม เส้นนั้นจะขนานกัน ตัวเลือกที่ 2 1. สัจพจน์คือข้อความทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับคุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิตที่ยอมรับโดยไม่มีการพิสูจน์ 2. เส้นตรงลากผ่านจุดสองจุดใดๆ และมีเพียงจุดเดียวเท่านั้น 3. ผ่านจุดที่ไม่อยู่บนเส้นที่กำหนด มีเพียง 2 เส้นที่ขนานกับเส้นที่กำหนดเท่านั้นที่ผ่านไปได้ 4. หากเส้นหนึ่งตัดกับเส้นขนานเส้นใดเส้นหนึ่งจากสองเส้น เส้นนั้นจะตั้งฉากกับเส้นอีกเส้นหนึ่ง 5. ถ้าเส้นตรงตัดเส้นขนานเส้นใดเส้นหนึ่งจากสองเส้น เส้นนั้นจะตัดกันอีกเส้นหนึ่งด้วย
คำตอบทดสอบ ตัวเลือกที่ 1 1. “-” 2. “-” 3. “-” 4. “+” 5. “+” ตัวเลือกที่ 2 “+” “+” “-” “-” “+”
“เรขาคณิตเต็มไปด้วยการผจญภัย เพราะเบื้องหลังทุกปัญหามีการผจญภัยของความคิดอยู่ การแก้ปัญหาหมายถึงประสบการณ์การผจญภัย” (วี. โปรอิซโวลอฟ)
ก่อนอื่น เรามาดูความแตกต่างระหว่างแนวคิดเรื่องเครื่องหมาย ทรัพย์สิน และสัจพจน์กันก่อน
คำจำกัดความ 1
เข้าสู่ระบบพวกเขาเรียกข้อเท็จจริงบางอย่างซึ่งสามารถกำหนดความจริงของการตัดสินเกี่ยวกับวัตถุที่น่าสนใจได้
ตัวอย่างที่ 1
เส้นจะขนานกันถ้าเส้นตัดขวางมีมุมขวางเท่ากัน
คำจำกัดความ 2
คุณสมบัติกำหนดไว้ในกรณีที่มีความเชื่อมั่นในความเป็นธรรมของคำพิพากษา
ตัวอย่างที่ 2
เมื่อเส้นขนานขนานกัน เส้นตัดขวางจะเกิดมุมขวางเท่ากัน
คำจำกัดความ 3
สัจพจน์พวกเขาเรียกข้อความที่ไม่ต้องมีหลักฐานและเป็นที่ยอมรับว่าเป็นความจริงหากไม่มี
วิทยาศาสตร์แต่ละอย่างมีสัจพจน์ที่ใช้การตัดสินและการพิสูจน์ในภายหลัง
บางครั้งสัจพจน์ของเส้นขนานได้รับการยอมรับว่าเป็นหนึ่งในคุณสมบัติของเส้นคู่ขนาน แต่ในขณะเดียวกัน การพิสูจน์ทางเรขาคณิตอื่นๆ ก็ขึ้นอยู่กับความถูกต้องของมัน
ทฤษฎีบท 1
ผ่านจุดที่ไม่อยู่บนเส้นที่กำหนด สามารถวาดเส้นตรงได้เพียงเส้นเดียวบนระนาบซึ่งจะขนานกับเส้นที่กำหนด
สัจพจน์ไม่ต้องการการพิสูจน์
ทฤษฎีบท 2
คุณสมบัติ1. คุณสมบัติการผ่านของเส้นขนาน:
เมื่อเส้นขนานหนึ่งในสองเส้นขนานกับเส้นที่สาม เส้นที่สองจะขนานกัน
คุณสมบัติต้องมีการพิสูจน์
การพิสูจน์:
ให้มีเส้นขนานสองเส้น $a$ และ $b$ เส้น $c$ ขนานกับเส้น $a$ ให้เราตรวจสอบว่าในกรณีนี้เส้นตรง $c$ จะขนานกับเส้นตรง $b$ หรือไม่
เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เราจะใช้ข้อเสนอที่ตรงกันข้าม:
ลองจินตนาการว่าเป็นไปได้ที่เส้น $c$ จะขนานกับเส้นใดเส้นหนึ่ง เช่น เส้น $a$ และตัดกับอีกเส้นหนึ่ง เส้น $b$ ที่จุดใดจุดหนึ่ง $K$
เราได้รับความขัดแย้งตามสัจพจน์ของเส้นคู่ขนาน ซึ่งส่งผลให้เกิดสถานการณ์ที่เส้นสองเส้นตัดกันที่จุดหนึ่ง ยิ่งไปกว่านั้น ขนานกับเส้น $a$ เดียวกัน สถานการณ์นี้เป็นไปไม่ได้ ดังนั้น เส้น $b$ และ $c$ ไม่สามารถตัดกันได้
ดังนั้น ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าหากเส้นขนานเส้นใดเส้นหนึ่งจากสองเส้นขนานกับเส้นที่สาม เส้นที่สองก็จะขนานกับเส้นที่สาม
ทฤษฎีบท 3
คุณสมบัติ 2.
ถ้าเส้นคู่ขนานเส้นใดเส้นหนึ่งจากสองเส้นตัดกันด้วยหนึ่งในสาม เส้นที่สองก็จะตัดกันด้วย
การพิสูจน์:
ให้มีเส้นขนานสองเส้น $a$ และ $b$ นอกจากนี้ ให้มีเส้นตรง $c$ ที่ตัดกับเส้นคู่ขนานเส้นใดเส้นหนึ่ง เช่น เส้น $a$ จำเป็นต้องแสดงว่าเส้น $c$ ตัดกับเส้นที่สองเช่นกัน นั่นคือเส้น $b$
ลองสร้างหลักฐานโดยขัดแย้งกัน
สมมติว่าเส้น $c$ ไม่ตัดกับเส้น $b$ จากนั้นเส้นสองเส้น $a$ และ $c$ ผ่านจุด $K$ ซึ่งไม่ได้ตัดกับเส้น $b$ นั่นคือขนานกัน แต่สถานการณ์นี้ขัดแย้งกับสัจพจน์ของเส้นคู่ขนาน ซึ่งหมายความว่าสมมติฐานไม่ถูกต้อง และเส้น $c$ จะตัดกันเส้น $b$
ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
คุณสมบัติของมุมซึ่งประกอบเป็นเส้นขนานสองเส้นและเส้นตัดฉาก: มุมตรงข้ามเท่ากันมุมที่ตรงกันจะเท่ากัน * ผลรวมของมุมด้านเดียวคือ $180^(\circ)$
ตัวอย่างที่ 3
ให้เส้นขนานสองเส้นและเส้นที่สามตั้งฉากกับหนึ่งในนั้น พิสูจน์ว่าเส้นนี้ตั้งฉากกับเส้นขนานอีกเส้นหนึ่ง
การพิสูจน์.
ขอให้เรามีเส้นตรง $a \parallel b$ และ $c \perp a$
เนื่องจากเส้น $c$ ตัดกับเส้น $a$ ดังนั้น ตามคุณสมบัติของเส้นคู่ขนาน เส้นก็จะตัดเส้น $b$ ด้วย
เส้นตัดขวาง $c$ ซึ่งตัดกับเส้นขนาน $a$ และ $b$ ทำให้เกิดมุมภายในที่เท่ากัน
เพราะ $c \perp a$ จากนั้นมุมจะเป็น $90^(\circ)$
ดังนั้น $c \perp b$
หลักฐานเสร็จสมบูรณ์
§ 1 สัจพจน์ของเส้นคู่ขนาน
เรามาดูกันว่าข้อความใดเรียกว่าสัจพจน์ ยกตัวอย่างสัจพจน์ กำหนดสัจพจน์ของเส้นคู่ขนาน และพิจารณาผลที่ตามมาบางประการ
เมื่อศึกษารูปทรงเรขาคณิตและคุณสมบัติของพวกมัน จำเป็นต้องพิสูจน์ข้อความ - ทฤษฎีบทต่างๆ ในการพิสูจน์ พวกเขามักจะอาศัยทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้ คำถามเกิดขึ้น: อะไรคือข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทแรกสุดที่มีพื้นฐานมาจาก? ในเรขาคณิต สมมติฐานเบื้องต้นบางประการได้รับการยอมรับ และทฤษฎีบทต่อไปนี้ได้รับการพิสูจน์ตามพื้นฐานแล้ว ข้อกำหนดเบื้องต้นดังกล่าวเรียกว่าสัจพจน์ สัจพจน์ได้รับการยอมรับโดยไม่มีการพิสูจน์ คำว่าสัจพจน์มาจากคำภาษากรีกว่า "axios" ซึ่งแปลว่า "มีคุณค่าและคู่ควร"
เราคุ้นเคยกับสัจพจน์บางประการแล้ว ตัวอย่างเช่น สัจพจน์คือข้อความ: ผ่านจุดสองจุดใดๆ เส้นตรงจะผ่านจุดเดียวและมีเพียงจุดเดียวเท่านั้น
เมื่อเปรียบเทียบส่วนของเส้นตรงสองเส้นกับมุมสองมุม เราจะวางส่วนหนึ่งไว้บนอีกมุมหนึ่ง และซ้อนมุมไว้ที่อีกมุมหนึ่ง ความเป็นไปได้ของการกำหนดดังกล่าวเป็นไปตามสัจพจน์ต่อไปนี้:
· บนรังสีใดๆ จากจุดเริ่มต้น คุณสามารถพล็อตส่วนที่เท่ากับส่วนที่กำหนดและเพียงส่วนเดียวเท่านั้น
· จากรังสีใดๆ ในทิศทางที่กำหนด คุณสามารถเลื่อนมุมเท่ากับมุมที่ยังไม่ได้พัฒนาที่กำหนด และยิ่งไปกว่านั้น มีเพียงมุมเดียวเท่านั้น
เรขาคณิต - วิทยาศาสตร์โบราณ- เป็นเวลาเกือบสองพันปีที่เรขาคณิตได้รับการศึกษาตามงาน "องค์ประกอบ" อันโด่งดังของนักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณ Euclid Euclid กำหนดจุดเริ่มต้นเป็นครั้งแรก - สมมุติฐาน จากนั้นจึงพิสูจน์ข้อความอื่นๆ ผ่านทางการให้เหตุผลเชิงตรรกะ เรขาคณิตที่นำเสนอในปรินซิเปียเรียกว่าเรขาคณิตแบบยุคลิด ในต้นฉบับของนักวิทยาศาสตร์มีข้อความที่เรียกว่าสมมุติฐานที่ห้าซึ่งมีอยู่มากมาย เป็นเวลานานความขัดแย้งปะทุขึ้น นักคณิตศาสตร์หลายคนพยายามพิสูจน์สมมุติฐานที่ห้าของยุคลิด กล่าวคือ ได้มาจากสัจพจน์อื่น แต่ทุกครั้งที่การพิสูจน์ไม่สมบูรณ์หรือถึงทางตัน มีเพียงในศตวรรษที่ 19 เท่านั้นที่ชี้แจงได้ในที่สุดว่าสมมุติฐานที่ห้าไม่สามารถพิสูจน์ได้บนพื้นฐานของสัจพจน์ที่เหลืออยู่ของ Euclid และตัวมันเองก็เป็นสัจพจน์ด้วย นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856) มีบทบาทสำคัญในการแก้ปัญหานี้ ดังนั้น สมมุติฐานที่ห้าคือสัจพจน์ของเส้นคู่ขนาน
สัจพจน์: ผ่านจุดที่ไม่อยู่บนเส้นที่กำหนด จะมีเพียงเส้นเดียวที่ขนานกับเส้นที่กำหนด
§ 2 ข้อพิสูจน์จากสัจพจน์ของเส้นคู่ขนาน
ข้อความที่ได้มาจากสัจพจน์หรือทฤษฎีบทโดยตรงเรียกว่าข้อพิสูจน์ ลองพิจารณาข้อพิสูจน์บางประการจากสัจพจน์ของเส้นคู่ขนาน
ข้อพิสูจน์ 1. ถ้าเส้นตรงตัดเส้นขนานเส้นใดเส้นหนึ่งจากสองเส้น เส้นนั้นจะตัดกันอีกเส้นหนึ่งด้วย
ให้ไว้: เส้น a และ b ขนานกัน เส้น c ตัดกับเส้น a ที่จุด A
พิสูจน์: เส้น c ตัดกับเส้น b
พิสูจน์: หากเส้น c ไม่ได้ตัดกับเส้น b แล้วเส้นตรง a และ c สองเส้นจะผ่านจุด A ซึ่งขนานกับเส้น b แต่สิ่งนี้ขัดแย้งกับสัจพจน์ของเส้นขนาน: ผ่านจุดที่ไม่อยู่บนเส้นที่กำหนด มีเพียงเส้นเดียวที่ขนานกับเส้นที่กำหนดเท่านั้นที่ผ่านไป ซึ่งหมายความว่าเส้น c ตัดกับเส้น b
ข้อพิสูจน์ 2. ถ้าเส้นสองเส้นขนานกับเส้นที่สาม เส้นทั้งสองก็จะขนานกัน
ให้ไว้: เส้น a และ b ขนานกับเส้น c (ก||ค, ข||ค)
พิสูจน์: เส้น a ขนานกับเส้น b
พิสูจน์: สมมติว่าเส้น a และ b ไม่ขนานกัน กล่าวคือ ตัดกันที่จุด A จากนั้นเส้นตรง a และ b สองเส้นผ่านจุด A ขนานกับเส้น c แต่ตามสัจพจน์ของเส้นคู่ขนานนั้น มีเพียงเส้นตรงเส้นเดียวที่ผ่านจุดนั้นโดยขนานกับจุดที่กำหนดผ่านจุดที่ไม่อยู่บนเส้นที่กำหนด ซึ่งหมายความว่าสมมติฐานของเราไม่ถูกต้อง ดังนั้น เส้น a และ b จึงขนานกัน
รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้:
รูปภาพที่ใช้:
