การศึกษาคุณสมบัติของตัวเลขธรรมชาติทำให้ชาวพีทาโกรัสพบกับปัญหา "นิรันดร์" ของเลขคณิตเชิงทฤษฎี (ทฤษฎีตัวเลข) - ปัญหาที่เชื้อโรคปรากฏขึ้นนานก่อนพีทาโกรัสในอียิปต์โบราณและบาบิโลนโบราณและไม่พบวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับสิ่งนี้ วัน. เริ่มจากปัญหากันก่อนซึ่งในแง่สมัยใหม่สามารถกำหนดได้ดังนี้: แก้สมการไม่แน่นอนในจำนวนธรรมชาติ
วันนี้งานนี้เรียกว่า ปัญหาพีทาโกรัสและวิธีแก้ปัญหาของมัน - แฝดของจำนวนธรรมชาติที่เป็นไปตามสมการ (1.2.1) - ถูกเรียกว่า แฝดพีทาโกรัส- เนื่องจากความเชื่อมโยงที่ชัดเจนของทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับปัญหาพีทาโกรัส ทฤษฎีบทหลังจึงสามารถกำหนดสูตรทางเรขาคณิตได้: ค้นหาสามเหลี่ยมมุมฉากทั้งหมดที่มีขาจำนวนเต็ม x, ยและด้านตรงข้ามมุมฉากจำนวนเต็ม z.
วิธีแก้ปัญหาเฉพาะสำหรับปัญหาพีทาโกรัสเป็นที่รู้จักในสมัยโบราณ ในกระดาษปาปิรัสตั้งแต่สมัยฟาโรห์อาเมเนมฮัตที่ 1 (ประมาณ 2,000 ปีก่อนคริสตกาล) ซึ่งเก็บไว้ในพิพิธภัณฑ์อียิปต์ในกรุงเบอร์ลิน เราพบสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีอัตราส่วน () ตามที่นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ชาวเยอรมันผู้ยิ่งใหญ่ที่สุด M. Cantor (1829 - 1920) มีอาชีพพิเศษในอียิปต์โบราณ ฮาร์พีโดแนปเชียน- "ผู้ดึงเชือก" ซึ่งในระหว่างพิธีวางรากฐานของวิหารและปิรามิดได้ทำเครื่องหมายมุมขวาโดยใช้เชือกที่มีปมระยะทางเท่ากัน 12 (= 3 + 4 + 5) วิธีการก่อสร้าง มุมขวา harpedonaptami เห็นได้ชัดเจนจากรูปที่ 36
ต้องบอกว่าผู้เชี่ยวชาญด้านคณิตศาสตร์โบราณอีกคนหนึ่ง Van der Waerden ไม่เห็นด้วยกับคันทอร์อย่างเด็ดขาด แม้ว่าสัดส่วนของสถาปัตยกรรมอียิปต์โบราณจะเป็นพยานสนับสนุนคันทอร์ก็ตาม อาจเป็นไปได้ว่าทุกวันนี้เรียกว่าสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีอัตราส่วนของด้านข้าง ชาวอียิปต์.
ตามที่ระบุไว้ในหน้า 76 ซึ่งเป็นแผ่นดินเหนียวที่มีอายุย้อนกลับไปถึงยุคบาบิโลนโบราณและบรรจุลูกแฝดพีทาโกรัส 15 บรรทัดได้รับการเก็บรักษาไว้ นอกจากเลขสามตัวเล็กๆ น้อยๆ ที่ได้รับจากชาวอียิปต์ (3, 4, 5) โดยการคูณด้วย 15 (45, 60, 75) แล้ว ยังมีแฝดพีทาโกรัสที่ซับซ้อนมาก เช่น (3367, 3456, 4825) และคู่ (12709) , 13500, 18541)! ไม่ต้องสงสัยเลยว่าตัวเลขเหล่านี้ไม่ได้พบโดยการค้นหาง่ายๆ แต่เป็นไปตามกฎที่เหมือนกันบางประการ
อย่างไรก็ตาม คำถามของการแก้สมการทั่วไป (1.2.1) ในจำนวนธรรมชาตินั้นถูกตั้งและแก้โดยชาวพีทาโกรัสเท่านั้น การกำหนดปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยทั่วไปเป็นเรื่องแปลกสำหรับทั้งชาวอียิปต์โบราณและชาวบาบิโลนโบราณ มีเพียงพีทาโกรัสเท่านั้นที่พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ในฐานะวิทยาศาสตร์นิรนัยเริ่มต้นขึ้น และหนึ่งในก้าวแรกบนเส้นทางนี้คือการแก้ปัญหาของแฝดพีทาโกรัส ประเพณีโบราณเชื่อมโยงคำตอบแรกของสมการ (1.2.1) กับชื่อของพีทาโกรัสและเพลโต เรามาลองสร้างโซลูชันเหล่านี้ขึ้นมาใหม่กัน
เห็นได้ชัดว่าพีทาโกรัสคิดถึงสมการ (1.2.1) ไม่ใช่ในรูปแบบการวิเคราะห์ แต่อยู่ในรูปของเลขกำลังสอง ซึ่งภายในนั้นจำเป็นต้องค้นหาเลขกำลังสองและ เป็นเรื่องปกติที่จะแสดงตัวเลขเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านข้าง ยน้อยกว่าหนึ่งด้าน zจัตุรัสเดิมคือ จากนั้น ตามที่เห็นได้ง่ายจากรูปที่ 37 (ดูสิ!) จำนวนกำลังสองที่เหลือจะต้องเป็นไปตามความเท่าเทียมกัน ดังนั้นเราจึงมาถึงระบบสมการเชิงเส้น
ด้วยการบวกและลบสมการเหล่านี้ เราจะพบคำตอบของสมการ (1.2.1):
เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าผลลัพธ์ที่ได้ให้ตัวเลขธรรมชาติสำหรับคี่เท่านั้น ในที่สุดเราก็มี
เป็นต้น ประเพณีเชื่อมโยงการตัดสินใจนี้กับชื่อของพีทาโกรัส
โปรดทราบว่าระบบ (1.2.2) สามารถหาได้อย่างเป็นทางการจากสมการ (1.2.1) ในความเป็นจริง,
จากที่ไหน สมมติว่า เรามาถึงที่ (1.2.2)
เห็นได้ชัดว่าวิธีแก้ปัญหาของพีทาโกรัสอยู่ภายใต้ข้อจำกัดที่ค่อนข้างเข้มงวด () และไม่มีค่าสามเท่าของพีทาโกรัสทั้งหมด ขั้นตอนต่อไปคือใส่ , แล้วก็ เนื่องจากในกรณีนี้เท่านั้นที่มันจะเป็นเลขยกกำลังสอง นี่คือวิธีที่ระบบเกิดขึ้น ซึ่งจะเป็นเลขสามเท่าของพีทาโกรัสด้วย ตอนนี้หลัก
ทฤษฎีบท.ถ้า พีและ ถามจำนวนเฉพาะของความเท่าเทียมกันที่แตกต่างกัน จากนั้นสูตรจะพบจำนวนสามเท่าของพีทาโกรัสดั้งเดิมทั้งหมด
“ศูนย์การศึกษาภูมิภาค”
การพัฒนาระเบียบวิธี
การใช้พีทาโกรัสสามเท่าในการแก้โจทย์
ปัญหาเรขาคณิตและงานตรีโกณมิติของการสอบ Unified State
คาลูกา, 2016
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทหลักและอาจกล่าวได้ว่าเป็นทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุดของเรขาคณิต ความสำคัญของมันอยู่ที่ความจริงที่ว่าทฤษฎีบทเรขาคณิตส่วนใหญ่สามารถอนุมานได้จากทฤษฎีบทนี้หรือด้วยความช่วยเหลือของมัน ทฤษฎีบทพีทาโกรัสก็น่าทึ่งเช่นกัน เพราะในตัวมันเองมันไม่ได้ชัดเจนเลย ตัวอย่างเช่น สามารถดูคุณสมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้โดยตรงในภาพวาด แต่ไม่ว่าคุณจะมองสามเหลี่ยมมุมฉากมากแค่ไหน คุณจะไม่มีวันเห็นว่ามีความสัมพันธ์ที่เรียบง่ายระหว่างด้านต่างๆ ของมัน: เอ2+บี2=ค2- อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่พีทาโกรัสที่ค้นพบทฤษฎีบทที่เป็นชื่อของเขา เป็นที่รู้จักกันก่อนหน้านี้ แต่บางทีอาจเป็นเพียงข้อเท็จจริงที่อนุมานได้จากการวัดเท่านั้น พีทาโกรัสคงรู้เรื่องนี้แต่ก็พบข้อพิสูจน์
มีจำนวนธรรมชาตินับไม่ถ้วน ก ข คพึงพอใจในความสัมพันธ์ เอ2+บี2=ค2.. เรียกว่า เลขพีทาโกรัส ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ตัวเลขดังกล่าวสามารถใช้เป็นความยาวของด้านของบางด้านได้ สามเหลี่ยมมุมฉาก– เราจะเรียกพวกมันว่าสามเหลี่ยมพีทาโกรัส
วัตถุประสงค์ของงาน:เพื่อศึกษาความเป็นไปได้และประสิทธิผลของการใช้ Pythagorean triples ในการแก้ปัญหาในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนและงาน Unified State Examination
ตามวัตถุประสงค์ของงาน มีการกำหนดสิ่งต่อไปนี้: งาน:
ศึกษาประวัติและการจำแนกประเภทของแฝดพีทาโกรัส วิเคราะห์ปัญหาโดยใช้ Pythagorean Triples ซึ่งมีอยู่ในหนังสือเรียนของโรงเรียน และพบได้ในสื่อทดสอบและการวัดผลสำหรับการสอบ Unified State ประเมินประสิทธิผลของการใช้พีทาโกรัสทริปเปิ้ลและคุณสมบัติในการแก้ปัญหา
วัตถุประสงค์ของการศึกษา: เลขสามเท่าของพีทาโกรัส
หัวข้อการวิจัย: ปัญหาของวิชาตรีโกณมิติและเรขาคณิตของโรงเรียนที่ใช้แฝดพีทาโกรัส
ความเกี่ยวข้องของการศึกษา- เลขแฝดพีทาโกรัสมักใช้ในเรขาคณิตและตรีโกณมิติ การรู้สิ่งเหล่านี้จะช่วยขจัดข้อผิดพลาดในการคำนวณและประหยัดเวลา
ครั้งที่สอง ส่วนหลัก. การแก้ปัญหาโดยใช้เลขสามเท่าของพีทาโกรัส
2.1.ตารางเลขสามเท่าของเลขพีทาโกรัส (อ้างอิงจาก Perelman)
ตัวเลขพีทาโกรัสมีรูปแบบ ก= นาที, , โดยที่ m และ n เป็นจำนวนคี่เฉพาะบางจำนวน
ตัวเลขพีทาโกรัสมีคุณสมบัติที่น่าสนใจหลายประการ:
หนึ่งใน “ขา” จะต้องเป็นผลคูณของสาม
หนึ่งใน “ขา” จะต้องเป็นผลคูณของสี่
จำนวนพีทาโกรัสตัวใดตัวหนึ่งต้องเป็นจำนวนเท่าของห้า
หนังสือ “Entertaining Algebra” ประกอบด้วยตารางแฝดพีทาโกรัสที่มีตัวเลขมากถึงหนึ่งร้อยซึ่งไม่มีตัวประกอบร่วมกัน
32+42=52 |
||
52+122=132 |
||
72+242=252 |
||
92+402=412 |
||
112+602=612 |
||
132+842=852 |
||
152+82=172 |
||
212 +202=292 |
||
332+562=652 |
||
392+802=892 |
||
352+122=372 |
||
452+282=532 |
||
552+482=732 |
||
652+722=972 |
||
632+162=652 |
||
772+362=852 |
2.2. การจำแนกประเภทของพีทาโกรัสสามเท่าตาม Shustrov
ชูสตอฟค้นพบรูปแบบต่อไปนี้: หากสามเหลี่ยมพีทาโกรัสทั้งหมดถูกกระจายออกเป็นกลุ่ม ดังนั้นสำหรับขาคี่ x เลขคู่ y และด้านตรงข้ามมุมฉาก z สูตรต่อไปนี้จะใช้ได้:
x = (2N-1)·(2n+2N-1); y = 2n·(n+2N-1); z = 2n·(n+2N-1)+(2N-1) 2 โดยที่ N คือจำนวนของตระกูล และ n คือเลขลำดับของรูปสามเหลี่ยมในตระกูล
ด้วยการแทนที่ตัวเลขจำนวนเต็มบวกใดๆ โดยเริ่มจาก 1 ในสูตรแทน N และ n คุณจะได้ตัวเลขแฝดพีทาโกรัสหลักทั้งหมด รวมถึงจำนวนทวีคูณของประเภทใดประเภทหนึ่ง คุณสามารถสร้างตารางแฝดพีทาโกรัสทั้งหมดสำหรับแต่ละครอบครัวได้
2.3. ปัญหาระนาบ
ลองดูปัญหาจากหนังสือเรียนเรขาคณิตต่างๆ และดูว่ารูปสามเหลี่ยมของพีทาโกรัสปรากฏในงานเหล่านี้บ่อยแค่ไหน เราจะไม่พิจารณาปัญหาเล็กๆ น้อยๆ ในการค้นหาองค์ประกอบที่สามจากตารางของ Pythagorean triples แม้ว่าพวกเขาจะพบได้ในหนังสือเรียนก็ตาม เราจะแสดงวิธีลดวิธีแก้ปัญหาข้อมูลที่ข้อมูลไม่แสดงเป็นจำนวนธรรมชาติเป็นแฝดสามของพีทาโกรัส
ลองดูปัญหาจากหนังสือเรียนเรขาคณิตสำหรับเกรด 7-9 กัน
№ 000. ค้นหาด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้ขา ก=, ข=.
สารละลาย. เราคูณความยาวของขาด้วย 7 เราได้สององค์ประกอบจากพีทาโกรัสทริปเปิล 3 และ 4 องค์ประกอบที่หายไปคือ 5 ซึ่งเราหารด้วย 7 คำตอบ
№ 000. ในสี่เหลี่ยม ABCD ให้หา BC ถ้า CD=1.5, AC=2.5
https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" width="240" height="139 src=">
สารละลาย. แก้สามเหลี่ยมมุมฉาก ACD เราคูณความยาวด้วย 2 เราได้สององค์ประกอบจากสามพีทาโกรัส 3 และ 5 องค์ประกอบที่หายไปคือ 4 ซึ่งเราหารด้วย 2 คำตอบ: 2
เมื่อแก้เลขถัดไปให้ตรวจสอบอัตราส่วน เอ2+บี2=ค2เป็นทางเลือกโดยสมบูรณ์ การใช้ตัวเลขพีทาโกรัสและคุณสมบัติก็เพียงพอแล้ว
№ 000. ค้นหาว่ารูปสามเหลี่ยมมีมุมฉากหรือไม่หากด้านข้างแสดงเป็นตัวเลข:
ก) 6,8,10 (พีทาโกรัส ทริปเปิล 3,4.5) – ใช่
ขาข้างหนึ่งของสามเหลี่ยมมุมฉากต้องหารด้วย 4 ลงตัว คำตอบ: ไม่
c) 9,12,15 (พีทาโกรัสสาม 3,4.5) – ใช่;
d) 10,24,26 (พีทาโกรัสสามเท่า 5,12.13) – ใช่
จำนวนพีทาโกรัสตัวใดตัวหนึ่งต้องเป็นจำนวนเท่าของห้า คำตอบ: ไม่.
g) 15, 20, 25 (พีทาโกรัสสามเท่า 3,4.5) – ใช่
จากงาน 39 งานในส่วนนี้ (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) มีงาน 22 งานที่ต้องแก้ด้วยวาจาโดยใช้ตัวเลขพีทาโกรัสและความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของงานเหล่านั้น
พิจารณาภารกิจหมายเลข 000 (จากส่วน "งานเพิ่มเติม"):
จงหาพื้นที่ ABCD ของรูปสี่เหลี่ยม โดย AB=5 cm, BC=13 cm, CD=9 cm, DA=15 cm, AC=12 cm.
ในปัญหาเราต้องตรวจสอบความสัมพันธ์ เอ2+บี2=ค2และพิสูจน์ว่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่กำหนดประกอบด้วยสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป (ทฤษฎีบทกลับ) และความรู้เกี่ยวกับแฝดพีทาโกรัส: 3, 4, 5 และ 5, 12, 13 ช่วยให้คุณประหยัดจากการคำนวณ
เรานำเสนอวิธีแก้ไขปัญหาต่างๆ จากหนังสือเรียนเรขาคณิตสำหรับเกรด 7-9
ปัญหา 156 (ซ) ขาของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 9 และ 40 จงหาค่ามัธยฐานที่ลากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก
สารละลาย . ค่ามัธยฐานที่ลากไปทางด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่ง ทริปเปิลพีทาโกรัสคือ 9,40 และ 41 ดังนั้น ค่ามัธยฐานคือ 20.5
ปัญหา 156 (i) ด้านของสามเหลี่ยมเท่ากัน: ก= 13 ซม. ข =สูง 20 ซม hс = 12 ซม. หาฐาน กับ.
ปัญหา (การตรวจสอบ Unified State ของ KIMY) ค้นหารัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในสามเหลี่ยมเฉียบพลัน ABC ถ้าความสูง BH เท่ากับ 12 และทราบว่า บาป A=,บาป С=ซ้าย"> 
สารละลาย.เราแก้สี่เหลี่ยม ∆ ASK: sin A=, BH=12 ดังนั้น AB=13,AK=5 (พีทาโกรัสสามเท่า 5,12,13) เราแก้สี่เหลี่ยม ∆ ВСH: ВH =12, sin С===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (พีทาโกรัสสามเท่า 3,4,5)รัศมีหาได้จากสูตร r ===4
2.4. พีทาโกรัสมีค่าเป็นสามเท่าในวิชาตรีโกณมิติ
อัตลักษณ์ตรีโกณมิติหลักเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทพีทาโกรัส: sin2a + cos2a = 1; (มี/ค) 2 + (ข/ค)2 =1 ดังนั้น ปัญหาตรีโกณมิติบางอย่างสามารถแก้ไขได้ง่ายด้วยวาจาโดยใช้แฝดพีทาโกรัส
ปัญหาที่คุณต้องค้นหาค่าของฟังก์ชันที่เหลือโดยใช้ค่าที่กำหนดของฟังก์ชัน ฟังก์ชันตรีโกณมิติสามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องยกกำลังสองและแยกออก รากที่สอง- งานประเภทนี้ทั้งหมดในหนังสือเรียนพีชคณิตของโรงเรียน (10-11) โดย Mordkovich (หมายเลข 000- หมายเลข 000) สามารถแก้ไขได้ด้วยวาจาโดยรู้เพียงไม่กี่เท่าของพีทาโกรัส: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 - ลองพิจารณาวิธีแก้ปัญหาสำหรับสองงาน
เลขที่ 000ก) บาป t = 4/5, π/2< t < π.
สารละลาย- พีทาโกรัสสามเท่า: 3, 4, 5 ดังนั้น cos t = -3/5; สีแทน เสื้อ = -4/3,
หมายเลข 000ข) ตาล เสื้อ = 2.4, π< t < 3π/2.
สารละลาย.ทีก เสื้อ = 2.4=24/10=12/5 พีทาโกรัสสามเท่า 5,12,13 เมื่อคำนึงถึงสัญญาณ เราได้ sin t = -12/13, cos t = -5/13, cot t = 5/12
3. การทดสอบและการวัดวัสดุสำหรับการตรวจสอบ Unified State
ก) cos (อาร์คซิน 3/5)=4/5 (3, 4, 5)
b) บาป (อาร์คคอส 5/13)=12/13 (5, 12, 13)
ค) tg (อาร์คซิน 0.6)=0.75 (6, 8, 10)
ง) CTG (อาร์คคอส 9/41) =9/40 (9, 40, 41)
e) 4/3 tg (π–อาร์คซิน (–3/5))= 4/3 tg (π+อาร์คซิน 3/5)= 4/3 tg อาร์กซิน 3/5=4/3 3/4=1
f) ตรวจสอบความเท่าเทียมกัน:
อาร์คซิน 4/5 + อาร์คซิน 5/13 + อาร์คซิน 16/65 = π/2
สารละลาย. อาร์คซิน 4/5 + อาร์คซิน 5/13 + อาร์คซิน 16/65 = π/2
อาร์คซิน 4/5 + อาร์คซิน 5/13 = π/2 - อาร์คซิน 16/65
บาป (อาร์คซิน 4/5 + อาร์คซิน 5/13) = บาป (อาร์คซิน 16/65)
บาป (อาร์คซิน 4/5) cos (อาร์คซิน 5/13) + cos (อาร์คซิน 4/5) บาป (อาร์คซิน 5/13) = 63/65
4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65
III. บทสรุป
ในโจทย์เรขาคณิต คุณมักจะต้องแก้รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก บางครั้งหลายครั้ง เมื่อวิเคราะห์การมอบหมายงานในตำราเรียนของโรงเรียนและสื่อการสอบ Unified State แล้วเราสามารถสรุปได้ว่าส่วนใหญ่จะใช้แฝดสาม: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; ซึ่งง่ายต่อการจดจำ เมื่อแก้ไขปัญหาตรีโกณมิติการแก้ปัญหาแบบคลาสสิกโดยใช้สูตรตรีโกณมิติและการคำนวณจำนวนมากต้องใช้เวลาและความรู้เกี่ยวกับพีทาโกรัสทริปเปิลจะกำจัดข้อผิดพลาดในการคำนวณและประหยัดเวลาในการแก้ปัญหาที่ยากขึ้นในการสอบ Unified State
บรรณานุกรม
1. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10-11 เวลา 14.00 น. ตอนที่ 2 สมุดปัญหาสำหรับ สถาบันการศึกษา/ [ฯลฯ]; แก้ไขโดย - – ฉบับที่ 8, ลบออก. – อ.: Mnemosyne, 2550. – 315 น. : ป่วย.
2. พีชคณิตเพเรลมาน – อ.: วีเอพี, 2537. – 200 น.
3. Roganovsky: หนังสือเรียน สำหรับเกรด 7-9 ด้วยความลึก เรียนคณิตศาสตร์ในระดับการศึกษาทั่วไป โรงเรียน จากรัสเซีย ภาษา การฝึกอบรม - ฉบับที่ 3 – ม.; นาร์ Asveta, 2000. – 574 หน้า: ป่วย
4. คณิตศาสตร์: นักอ่านประวัติศาสตร์ วิธีการ การสอน / คอมพ์ - – อ.: สำนักพิมพ์ URAO, 2544. – 384 หน้า
5. นิตยสาร “คณิตศาสตร์ในโรงเรียน” ฉบับที่ 1, 2508
6. การทดสอบและการวัดวัสดุสำหรับการตรวจสอบ Unified State
7. เรขาคณิต, 7-9: หนังสือเรียน. สำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไป / ฯลฯ - ฉบับที่ 13 - ม.: การศึกษา, 2546. – 384 น. : ป่วย.
8. เรขาคณิต: หนังสือเรียน. สำหรับเกรด 10-11 เฉลี่ย โรงเรียน/ ฯลฯ – ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2 – อ.: การศึกษา, 2536, - 207 หน้า: ป่วย
พีชคณิตเพเรลมาน – อ.: วีเอพี, 2537. – 200 น.
นิตยสาร "คณิตศาสตร์ในโรงเรียน" ฉบับที่ 1 พ.ศ. 2508
เรขาคณิต 7-9: หนังสือเรียน. สำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไป / ฯลฯ - ฉบับที่ 13 - ม.: การศึกษา, 2546. – 384 น. : ป่วย.
Roganovsky: หนังสือเรียน. สำหรับเกรด 7-9 ด้วยความลึก เรียนคณิตศาสตร์ในระดับการศึกษาทั่วไป โรงเรียน จากรัสเซีย ภาษา การฝึกอบรม - ฉบับที่ 3 – ม.; นาร์ Asveta, 2000. – 574 หน้า: ป่วย
พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10-11 เวลา 2 ชั่วโมง ตอนที่ 2 หนังสือปัญหาสำหรับสถาบันการศึกษา / [และอื่นๆ]; แก้ไขโดย - – ฉบับที่ 8, ลบออก. – อ.: Mnemosyne, 2550. – 315 น. : ป่วย น.18.
» โดยศาสตราจารย์เกียรติคุณสาขาคณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัย Warwick ผู้มีชื่อเสียงด้านวิทยาศาสตร์ Ian Stewart ซึ่งอุทิศให้กับบทบาทของตัวเลขในประวัติศาสตร์ของมนุษยชาติและความเกี่ยวข้องของการศึกษาในยุคของเรา
สามเหลี่ยมพีทาโกรัสมีมุมฉากและด้านจำนวนเต็ม ที่ง่ายที่สุดมีด้านที่ยาวที่สุด 5 ส่วนที่เหลือ - 3 และ 4 มีทั้งหมด 5 รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ สมการระดับที่ 5 ไม่สามารถแก้ไขได้โดยใช้รากที่ 5 หรือรากอื่นใด โครงตาข่ายบนระนาบและในพื้นที่สามมิติไม่มีสมมาตรในการหมุนแบบห้าแฉก ดังนั้นจึงไม่มีความสมมาตรดังกล่าวในผลึก อย่างไรก็ตาม พวกมันสามารถพบได้ในโครงตาข่ายในพื้นที่สี่มิติและในโครงสร้างที่น่าสนใจที่เรียกว่าควอซิคริสตัล
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสระบุว่าด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมมุมฉาก (ด้านตรงข้ามมุมฉากฉาวโฉ่) สัมพันธ์กับอีกสองด้านของสามเหลี่ยมนี้ด้วยวิธีที่เรียบง่ายและสวยงามมาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก อีกสองด้าน
ตามเนื้อผ้า เราเรียกทฤษฎีบทนี้ว่าพีธากอรัส แต่ในความเป็นจริงแล้ว ประวัติของมันค่อนข้างคลุมเครือ แผ่นจารึกดินเหนียวแนะนำว่าชาวบาบิโลนโบราณรู้จักทฤษฎีบทของพีทาโกรัสมานานก่อนพีทาโกรัสเอง ชื่อเสียงของผู้ค้นพบถูกนำมาหาเขาโดยลัทธิทางคณิตศาสตร์ของชาวพีทาโกรัสซึ่งผู้สนับสนุนเชื่อว่าจักรวาลนั้นมีพื้นฐานมาจากกฎตัวเลข ผู้เขียนสมัยโบราณกล่าวถึงทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ที่หลากหลายว่าเป็นของพีทาโกรัส - และดังนั้นจึงเป็นของพีทาโกรัส แต่ในความเป็นจริงเราไม่รู้ว่าพีทาโกรัสทางคณิตศาสตร์ประเภทใดเกี่ยวข้องกับอะไร เราไม่รู้ด้วยซ้ำว่าชาวพีทาโกรัสสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้หรือไม่ หรือแค่เชื่อว่าทฤษฎีนั้นเป็นจริง หรือเป็นไปได้มากว่าพวกเขามีหลักฐานที่น่าเชื่อถือเกี่ยวกับความจริงซึ่งยังคงไม่เพียงพอสำหรับสิ่งที่เราพิจารณาเป็นหลักฐานในปัจจุบัน
หลักฐานแรกที่ทราบเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสพบได้ในองค์ประกอบของยุคลิด นี่เป็นข้อพิสูจน์ที่ค่อนข้างซับซ้อน โดยใช้ภาพวาดที่เด็กนักเรียนชาววิกตอเรียจะจำได้ทันทีว่าเป็น "กางเกงพีทาโกรัส" ภาพวาดนี้ดูคล้ายกับกางเกงในที่แห้งเป็นเส้นจริงๆ มีหลักฐานอื่นๆ อีกหลายร้อยข้อ ซึ่งส่วนใหญ่ทำให้ข้อยืนยันชัดเจนยิ่งขึ้น
// ข้าว. 33. กางเกงพีทาโกรัส
การพิสูจน์ที่ง่ายที่สุดอย่างหนึ่งคือปริศนาทางคณิตศาสตร์ชนิดหนึ่ง นำสามเหลี่ยมมุมฉากมาทำสำเนาสี่ชุดแล้วประกอบเข้าในจัตุรัส ในการจัดเรียงครั้งหนึ่ง เราเห็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก กับอีกอัน - สี่เหลี่ยมที่อีกสองด้านของรูปสามเหลี่ยม เป็นที่ชัดเจนว่าพื้นที่ในทั้งสองกรณีเท่ากัน
// ข้าว. 34. ซ้าย: ยกกำลังสองบนด้านตรงข้ามมุมฉาก (บวกสามเหลี่ยมสี่อัน) ขวา: ผลรวมของกำลังสองบนอีกสองด้าน (บวกสามเหลี่ยมสี่อันที่เหมือนกัน) ตอนนี้กำจัดสามเหลี่ยมออก
การผ่าของ Perigal เป็นอีกหนึ่งข้อพิสูจน์ปริศนา
// ข้าว. 35. การผ่าของ Perigal
นอกจากนี้ยังมีข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยใช้การจัดเรียงสี่เหลี่ยมบนระนาบอีกด้วย บางทีนี่อาจเป็นวิธีที่ชาวพีทาโกรัสหรือบรรพบุรุษที่ไม่รู้จักค้นพบทฤษฎีบทนี้ ถ้าคุณดูว่าสี่เหลี่ยมเอียงซ้อนทับกับสี่เหลี่ยมอีกสองอันอย่างไร คุณสามารถดูวิธีตัดสี่เหลี่ยมขนาดใหญ่เป็นชิ้นๆ แล้วนำมาต่อกันเป็นสี่เหลี่ยมเล็กๆ สองอัน คุณยังสามารถเห็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งด้านข้างบอกขนาดของสี่เหลี่ยมทั้งสามที่เกี่ยวข้อง
// ข้าว. 36. พิสูจน์ด้วยการปู
มีข้อพิสูจน์ที่น่าสนใจโดยใช้สามเหลี่ยมที่คล้ายกันในตรีโกณมิติ ทราบหลักฐานที่แตกต่างกันอย่างน้อยห้าสิบข้อ
ในทฤษฎีจำนวน ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกลายเป็นที่มาของแนวคิดที่ได้ผล นั่นคือ การค้นหาคำตอบจำนวนเต็มของสมการพีชคณิต ทริปเปิลพีทาโกรัสคือเซตของจำนวนเต็ม a, b และ c ในลักษณะนั้น
ในเชิงเรขาคณิต ทริปเปิลดังกล่าวกำหนดสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านจำนวนเต็ม
ด้านตรงข้ามมุมฉากที่เล็กที่สุดของค่าสามเท่าของพีทาโกรัสคือ 5
อีกสองด้านของสามเหลี่ยมนี้คือ 3 และ 4 ตรงนี้
32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.
ด้านตรงข้ามมุมฉากที่ใหญ่ที่สุดถัดไปคือ 10 เพราะว่า
62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.
อย่างไรก็ตาม นี่คือสามเหลี่ยมอันเดียวกันที่มีด้านสองด้าน ด้านตรงข้ามมุมฉากที่ใหญ่ที่สุดและแตกต่างอย่างแท้จริงรองลงมาคือ 13 ซึ่งในกรณีนี้
52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.
ยุคลิดรู้ว่าแฝดพีทาโกรัสมีรูปแบบต่างๆ มากมายนับไม่ถ้วน และเขาได้ให้สิ่งที่เรียกว่าสูตรในการค้นหาพวกมันทั้งหมด ต่อมา ไดโอแฟนทัสแห่งอเล็กซานเดรียเสนอสูตรอาหารง่ายๆ ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วจะเหมือนกับสูตรในยุคลิด
นำจำนวนธรรมชาติสองตัวมาคำนวณ:
ผลิตภัณฑ์คู่ของพวกเขา
ความแตกต่างของกำลังสอง;
ผลรวมของกำลังสองของพวกเขา
ตัวเลขผลลัพธ์ทั้งสามตัวจะเป็นด้านข้างของสามเหลี่ยมพีทาโกรัส
ยกตัวอย่างเช่น ตัวเลข 2 และ 1 มาคำนวณกัน:
ผลิตภัณฑ์คู่: 2 × 2 × 1 = 4;
ผลต่างของกำลังสอง: 22 - 12 = 3;
ผลรวมของกำลังสอง: 22 + 12 = 5,
และเราได้สามเหลี่ยม 3-4-5 อันโด่งดัง หากเราใช้ตัวเลข 3 และ 2 แทน เราจะได้:
ผลิตภัณฑ์คู่: 2 × 3 × 2 = 12;
ผลต่างของกำลังสอง: 32 - 22 = 5;
ผลรวมของกำลังสอง: 32 + 22 = 13,
และเราจะได้สามเหลี่ยมที่มีชื่อเสียงที่สุดถัดไป 5 - 12 - 13 ลองหาตัวเลข 42 และ 23 และรับ:
ผลิตภัณฑ์คู่: 2 × 42 × 23 = 1932;
ผลต่างของกำลังสอง: 422 - 232 = 1235;
ผลรวมของกำลังสอง: 422 + 232 = 2293
ไม่มีใครเคยได้ยินเกี่ยวกับสามเหลี่ยม 1235–1932–2293 มาก่อน
แต่ตัวเลขเหล่านี้ก็ใช้ได้เช่นกัน:
12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.
มีคุณลักษณะอีกอย่างหนึ่งของกฎไดโอแฟนไทน์ที่ได้รับการบอกเป็นนัยแล้ว: เมื่อได้รับตัวเลขสามตัว เราก็สามารถนำตัวเลขอื่นมาคูณกันเองได้ ดังนั้น สามเหลี่ยมขนาด 3–4–5 สามารถแปลงเป็นสามเหลี่ยมขนาด 6–8–10 ได้โดยการคูณทุกด้านด้วย 2 หรือให้เป็นสามเหลี่ยมขนาด 15–20–25 โดยคูณทั้งหมดด้วย 5
หากเราเปลี่ยนมาเป็นภาษาพีชคณิต กฎจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้ ให้ u, v และ k เป็นตัวเลขธรรมชาติ จากนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านข้าง
2kuv และ k (u2 - v2) มีด้านตรงข้ามมุมฉาก
มีวิธีอื่นในการนำเสนอแนวคิดหลัก แต่ทั้งหมดก็เหลือเพียงแนวคิดที่อธิบายไว้ข้างต้น วิธีนี้ช่วยให้คุณได้รับเลขสามเท่าของพีทาโกรัสทั้งหมด
มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติห้าแบบพอดี รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ (หรือรูปทรงหลายเหลี่ยม) คือรูปทรงสามมิติที่มีหน้าแบนจำนวนจำกัด ใบหน้าพบกันบนเส้นที่เรียกว่าขอบ ขอบมาบรรจบกันที่จุดที่เรียกว่าจุดยอด
จุดสุดยอดของปรินซิเปียของยุคลิดเป็นข้อพิสูจน์ว่าสามารถมีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติได้เพียงห้ารูปทรงเท่านั้น กล่าวคือ รูปทรงหลายเหลี่ยมที่แต่ละหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ (ด้านเท่ากัน มุมเท่ากัน) ใบหน้าทุกด้านจะเหมือนกัน และจุดยอดทั้งหมดล้อมรอบด้วยค่าเท่ากัน จำนวนหน้าที่มีระยะห่างเท่ากัน นี่คือรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติห้าแบบ:
จัตุรมุขที่มีหน้าสามเหลี่ยมสี่หน้า จุดยอดสี่จุดและขอบหกด้าน
ลูกบาศก์หรือหกเหลี่ยม มีหน้าสี่เหลี่ยม 6 หน้า จุดยอด 8 จุด และขอบ 12 ด้าน
ทรงแปดหน้ามีหน้าสามเหลี่ยม 8 หน้า 6 จุดยอดและ 12 ขอบ
สิบสองหน้าที่มีหน้าห้าเหลี่ยม 12 หน้า จุดยอด 20 จุด และขอบ 30 ด้าน
รูปทรงสามมิติที่มีหน้าสามเหลี่ยม 20 หน้า จุดยอด 12 จุด และขอบ 30 ด้าน
// ข้าว. 37. ห้ารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ
รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติสามารถพบได้ในธรรมชาติ ในปี 1904 Ernst Haeckel ตีพิมพ์ภาพวาดของสิ่งมีชีวิตเล็กๆ ที่เรียกว่า radiolarians; หลายอันมีรูปร่างเหมือนรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติห้าแบบเดียวกัน อย่างไรก็ตาม บางทีเขาอาจจะแก้ไขธรรมชาติเล็กน้อย และภาพวาดก็ไม่ได้สะท้อนรูปร่างของสิ่งมีชีวิตที่เฉพาะเจาะจงได้ครบถ้วน โครงสร้างสามตัวแรกนั้นพบได้ในผลึกเช่นกัน คุณจะไม่พบรูปทรงสิบสองหน้าและไอโคซาฮีดรอนในผลึก แม้ว่าบางครั้งจะพบรูปทรงสิบสองหน้าและไอโคซาฮีดรอนที่ไม่สม่ำเสมอก็ตาม รูปทรงสิบสองหน้าที่แท้จริงสามารถเกิดขึ้นได้ในรูปของผลึกควอซิกคริสตัล ซึ่งคล้ายกับผลึกในทุกด้าน ยกเว้นว่าอะตอมของพวกมันจะไม่ก่อตัวเป็นโครงตาข่ายเป็นระยะ
// ข้าว. 38. ภาพวาดของ Haeckel: radiolarians ในรูปแบบของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ
// ข้าว. 39. การพัฒนารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ
อาจเป็นเรื่องที่น่าสนใจที่จะสร้างแบบจำลองของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติจากกระดาษโดยการตัดชุดของใบหน้าที่เชื่อมต่อถึงกันออกก่อน ซึ่งเรียกว่าการพัฒนารูปทรงหลายเหลี่ยม การพัฒนาจะพับไปตามขอบและขอบที่เกี่ยวข้องจะติดกาวเข้าด้วยกัน การเพิ่มแผ่นกาวเพิ่มเติมที่ซี่โครงด้านใดด้านหนึ่งของแต่ละคู่นั้นมีประโยชน์ ดังแสดงในรูปที่ 1 39. หากไม่มีแพลตฟอร์มดังกล่าว คุณสามารถใช้เทปกาวได้
ไม่มีสูตรพีชคณิตในการแก้สมการขั้นที่ 5
ใน มุมมองทั่วไปสมการระดับที่ห้ามีลักษณะดังนี้:
ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + อดีต + f = 0
ปัญหาคือการหาสูตรสำหรับการแก้สมการดังกล่าว (สามารถมีได้ถึงห้าคำตอบ) ประสบการณ์กับสมการกำลังสองและลูกบาศก์ตลอดจนสมการระดับที่สี่แสดงให้เห็นว่าสูตรดังกล่าวควรมีอยู่ในสมการระดับที่ห้าด้วย และในทางทฤษฎีแล้ว รากของระดับที่ห้า สาม และสองควรปรากฏอยู่ในนั้น อีกครั้ง เราสามารถสรุปได้อย่างปลอดภัยว่าสูตรดังกล่าว ถ้ามีอยู่ จะซับซ้อนมาก
ในที่สุดสมมติฐานนี้กลับกลายเป็นว่าผิด ในความเป็นจริงไม่มีสูตรดังกล่าวอยู่ อย่างน้อยที่สุดก็ไม่มีสูตรใดที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ a, b, c, d, e และ f โดยใช้การบวก ลบ การคูณหาร และการหยั่งราก มีบางสิ่งที่พิเศษมากเกี่ยวกับหมายเลข 5 สาเหตุของพฤติกรรมที่ผิดปกติของทั้งห้านั้นลึกซึ้งมากและต้องใช้เวลามากในการทำความเข้าใจพวกเขา
สัญญาณแรกของปัญหาก็คือ ไม่ว่านักคณิตศาสตร์จะพยายามค้นหาสูตรดังกล่าวอย่างหนักเพียงใด ไม่ว่าพวกเขาจะฉลาดแค่ไหน พวกเขาก็ล้มเหลวอยู่เสมอ ในบางครั้ง ทุกคนเชื่อว่าเหตุผลนั้นเกิดจากความซับซ้อนอันเหลือเชื่อของสูตร เชื่อกันว่าไม่มีใครสามารถเข้าใจพีชคณิตนี้ได้อย่างถูกต้อง อย่างไรก็ตาม เมื่อเวลาผ่านไป นักคณิตศาสตร์บางคนเริ่มสงสัยว่าสูตรดังกล่าวมีอยู่จริง และในปี 1823 Niels Hendrik Abel ก็สามารถพิสูจน์สิ่งที่ตรงกันข้ามได้ ไม่มีสูตรดังกล่าว หลังจากนั้นไม่นาน เอวาริสต์ กาลัวส์ก็พบวิธีที่จะระบุได้ว่าสมการระดับหนึ่งหรืออีกระดับหนึ่ง เช่น ระดับที่ 5, 6, 7 หรือแบบใดๆ สามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรประเภทนี้
ข้อสรุปทั้งหมดนี้ง่ายมาก: เลข 5 นั้นพิเศษ คุณสามารถแก้สมการพีชคณิตได้ (โดยใช้ราก ระดับที่ nสำหรับ ความหมายที่แตกต่างกัน n) สำหรับองศา 1, 2, 3 และ 4 แต่ไม่ใช่สำหรับระดับ 5 นี่คือจุดที่รูปแบบที่ชัดเจนสิ้นสุดลง
ไม่มีใครแปลกใจที่สมการขององศาที่มากกว่า 5 จะมีพฤติกรรมแย่ลงไปอีก โดยเฉพาะพวกเขามีปัญหาเดียวกัน: ไม่ สูตรทั่วไปเพื่อแก้ปัญหาพวกเขา นี่ไม่ได้หมายความว่าสมการไม่มีคำตอบ นี่ไม่ได้หมายความว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะค้นหาค่าตัวเลขที่แม่นยำมากสำหรับวิธีแก้ปัญหาเหล่านี้ มันคือทั้งหมดที่เกี่ยวกับข้อจำกัดของเครื่องมือพีชคณิตแบบเดิมๆ สิ่งนี้ชวนให้นึกถึงความเป็นไปไม่ได้ของการตัดมุมโดยใช้ไม้บรรทัดและเข็มทิศ คำตอบมีอยู่ แต่วิธีการที่ระบุไว้ยังไม่เพียงพอและไม่อนุญาตให้เราระบุได้ว่าคืออะไร
คริสตัลในสองและสามมิติไม่มีความสมมาตรในการหมุนแบบ 5 รังสี
อะตอมในคริสตัลก่อตัวเป็นโครงตาข่ายซึ่งก็คือโครงสร้างที่ทำซ้ำเป็นระยะ ๆ ในทิศทางอิสระหลายทิศทาง ตัวอย่างเช่นลวดลายบนวอลเปเปอร์ถูกทำซ้ำตามความยาวของม้วน นอกจากนี้ มักจะทำซ้ำในแนวนอน บางครั้งอาจมีการเปลี่ยนจากวอลเปเปอร์ชิ้นหนึ่งไปยังอีกชิ้นหนึ่ง โดยพื้นฐานแล้ววอลเปเปอร์เป็นคริสตัลสองมิติ
รูปแบบวอลเปเปอร์บนเครื่องบินมี 17 แบบ (ดูบทที่ 17) พวกมันต่างกันในประเภทของความสมมาตร กล่าวคือ ในวิธีการเคลื่อนย้ายรูปแบบอย่างเข้มงวดเพื่อให้มันวางอยู่บนตัวมันเองในตำแหน่งดั้งเดิม ประเภทของความสมมาตรได้แก่ โดยเฉพาะ ตัวเลือกต่างๆสมมาตรแบบหมุน ซึ่งควรหมุนภาพวาดในมุมหนึ่งรอบจุดใดจุดหนึ่ง - ศูนย์กลางของสมมาตร
ลำดับของสมมาตรในการหมุนคือจำนวนครั้งที่ร่างกายสามารถหมุนเป็นวงกลมได้ เพื่อให้รายละเอียดทั้งหมดของรูปแบบกลับสู่ตำแหน่งเดิม ตัวอย่างเช่น การหมุน 90° คือสมมาตรการหมุนลำดับที่ 4* รายการประเภทสมมาตรในการหมุนที่เป็นไปได้ในโครงตาข่ายคริสตัลชี้ให้เห็นถึงความผิดปกติของหมายเลข 5 อีกครั้ง: ไม่มีอยู่ตรงนั้น มีตัวเลือกที่มีสมมาตรการหมุนลำดับที่ 2, 3, 4 และ 6 แต่ไม่มีรูปแบบวอลเปเปอร์ใดที่มีสมมาตรการหมุนลำดับที่ 5 ความสมมาตรในการหมุนของลำดับที่มากกว่า 6 ยังไม่มีอยู่ในผลึก แต่การละเมิดลำดับครั้งแรกยังคงเกิดขึ้นที่หมายเลข 5
สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นกับระบบผลึกศาสตร์ในพื้นที่สามมิติ ตรงนี้โครงตาข่ายจะซ้ำตัวเองในสามทิศทางที่เป็นอิสระ มี 219 ประเภทต่างๆสมมาตรหรือ 230 ถ้าเราพิจารณาการสะท้อนของกระจกของภาพวาดเป็นตัวแปรที่แยกจากกัน - แม้ว่าในกรณีนี้จะไม่มีความสมมาตรของกระจกก็ตาม ขอย้ำอีกครั้งว่ามีความสมมาตรในการหมุนของอันดับ 2, 3, 4 และ 6 ที่ถูกสังเกต แต่ไม่ใช่ 5 ข้อเท็จจริงนี้เรียกว่าการกักขังผลึกศาสตร์
ในพื้นที่สี่มิติ มีโครงตาข่ายที่มีความสมมาตรลำดับที่ 5 อยู่ โดยทั่วไป สำหรับโครงตาข่ายที่มีมิติสูงเพียงพอ ลำดับสมมาตรในการหมุนที่กำหนดไว้ล่วงหน้าใดๆ ก็เป็นไปได้
// ข้าว. 40. ตาข่ายคริสตัลเกลือแกง ลูกบอลสีเข้มเป็นตัวแทนของอะตอมโซเดียม ลูกบอลแสงเป็นตัวแทนของอะตอมของคลอรีน
แม้ว่าสมมาตรในการหมุนลำดับที่ 5 จะไม่สามารถทำได้ในโครงตาข่าย 2 มิติหรือ 3 มิติ แต่ก็สามารถมีอยู่ในโครงสร้างปกติน้อยกว่าเล็กน้อยที่เรียกว่าควอซิคริสตัล โรเจอร์ เพนโรสค้นพบระบบแบนๆ ด้วยการใช้ภาพร่างของเคปเลอร์ ประเภททั่วไปสมมาตรห้าเท่า พวกมันถูกเรียกว่าควอซิคริสตัล
Quasicrystal มีอยู่ในธรรมชาติ ในปี 1984 Daniel Shechtman ค้นพบว่าโลหะผสมของอลูมิเนียมและแมงกานีสสามารถก่อตัวเป็นผลึกควอซิกได้ ในขั้นต้น นักผลึกศาสตร์ทักทายรายงานของเขาด้วยความสงสัย แต่การค้นพบนี้ได้รับการยืนยันในภายหลัง และในปี 2011 Shechtman ได้รับรางวัลโนเบลสาขาเคมี ในปี 2009 ทีมนักวิทยาศาสตร์ที่นำโดย Luca Bindi ค้นพบควอซิคริสตัลในแร่ธาตุจากที่ราบสูง Koryak ของรัสเซีย ซึ่งเป็นสารประกอบของอะลูมิเนียม ทองแดง และเหล็ก ปัจจุบันแร่นี้เรียกว่า icosahedrite นักวิทยาศาสตร์ได้แสดงให้เห็นว่าแร่ธาตุนี้ไม่ได้กำเนิดบนโลกด้วยการวัดปริมาณไอโซโทปออกซิเจนต่างๆ ในแร่โดยใช้แมสสเปกโตรมิเตอร์ มันก่อตัวขึ้นเมื่อประมาณ 4.5 พันล้านปีก่อน ซึ่งเป็นช่วงเวลาที่ ระบบสุริยะเพิ่งเกิดขึ้นและใช้จ่ายไป ส่วนใหญ่เวลาในแถบดาวเคราะห์น้อยซึ่งโคจรรอบดวงอาทิตย์ จนกระทั่งสิ่งรบกวนบางอย่างเปลี่ยนวงโคจรและนำมันมายังโลกในที่สุด
// ข้าว. 41. ซ้าย: หนึ่งในสองโครงตาข่ายควอซิคริสตัลไลน์ที่มีความสมมาตรห้าเท่าพอดี ขวา: แบบจำลองอะตอมของควอซิคริสตัลอะลูมิเนียม-แพลเลเดียม-แมงกานีสแบบไอโคซาฮีดรัล
ตั้งแต่สมการ x 2 + ย 2 = z 2 เป็นเนื้อเดียวกันเมื่อคูณ x , ยและ zสำหรับจำนวนเดียวกัน คุณจะได้สามเท่าของพีทาโกรัสอีก เรียกว่า เลขสามพีทาโกรัส ดั้งเดิมถ้าหาไม่ได้ด้วยวิธีนี้ก็คือเลขโคไพรม์
เลขสามเท่าของพีทาโกรัสบางตัว (เรียงลำดับจากน้อยไปมากของจำนวนสูงสุด โดยเน้นค่าดั้งเดิม):
(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…
แฝดพีทาโกรัสเป็นที่รู้จักมาเป็นเวลานานมาก ในสถาปัตยกรรมของศิลาหลุมศพเมโสโปเตเมียโบราณ พบสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ซึ่งประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอันที่มีด้านขนาด 9, 12 และ 15 ศอก ปิรามิดของฟาโรห์สโนฟรู (ศตวรรษที่ XXVII ก่อนคริสต์ศักราช) ถูกสร้างขึ้นโดยใช้สามเหลี่ยมที่มีด้าน 20, 21 และ 29 รวมถึง 18, 24 และ 30 สิบศอกอียิปต์
X All-Russian Symposium เรื่องคณิตศาสตร์ประยุกต์และอุตสาหกรรม เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก 19 พฤษภาคม 2552
รายงาน: อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการไดโอแฟนไทน์
บทความนี้กล่าวถึงวิธีการศึกษาสมการไดโอแฟนไทน์และนำเสนอแนวทางแก้ไขต่อไปนี้: - ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์; - ค้นหาพีทาโกรัสสามเท่า ฯลฯ http://referats.protoplex.ru/referats_show/6954.html
มูลนิธิวิกิมีเดีย
ดูว่า "แฝดพีทาโกรัส" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:
ในทางคณิตศาสตร์ ตัวเลขพีทาโกรัส (สามเท่าของพีทาโกรัส) คือสิ่งทูเพิลของจำนวนเต็มสามตัวที่เป็นไปตามความสัมพันธ์ของพีทาโกรัส: x2 + y2 = z2 สารบัญ 1 คุณสมบัติ ... Wikipedia จำนวนสามเท่าของจำนวนธรรมชาติ เช่น สามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านเป็นสัดส่วน (หรือเท่ากัน) กับตัวเลขเหล่านี้จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เช่น เลขสามตัว: 3, 4, 5...
พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่ จำนวนสามเท่าของจำนวนธรรมชาติ เช่น สามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านเป็นสัดส่วน (หรือเท่ากับ) กับตัวเลขเหล่านี้จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ตามทฤษฎีบทให้แปลงกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส (ดูทฤษฎีบทพีทาโกรัส) เพียงเท่านี้ก็เพียงพอแล้วที่... ...
สารานุกรมผู้ยิ่งใหญ่แห่งสหภาพโซเวียต จำนวนเต็มบวกสามเท่า x, y, z เป็นไปตามสมการ x2+y 2=z2 ผลเฉลยทั้งหมดของสมการนี้และจำนวนเศษส่วนทั้งหมดแสดงด้วยสูตร x = a 2 b2, y = 2ab, z = a2 + b2 โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็มบวกตามต้องการ (a>b) พ...
สารานุกรมคณิตศาสตร์ จำนวนสามเท่าของจำนวนธรรมชาติ เช่น สามเหลี่ยมที่ความยาวด้านเป็นสัดส่วน (หรือเท่ากับ) กับตัวเลขเหล่านี้จะเป็นสี่เหลี่ยม เป็นต้น เลขสามตัว: 3, 4, 5...
วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ พจนานุกรมสารานุกรม เลขธรรมชาติสามเท่าโดยที่สามเหลี่ยมซึ่งความยาวด้านเป็นสัดส่วน (หรือเท่ากับ) กับตัวเลขเหล่านี้จะเป็นสี่เหลี่ยม เช่น เลขสามตัว: 3, 4, 5 * * * ตัวเลข PYTHAGOREAN ตัวเลข PYTHAGOREAN ตัวเลขแฝดสามของตัวเลขธรรมชาติ เช่น ที่... ...
ในทางคณิตศาสตร์ ทริปเปิลพีทาโกรัสคือสิ่งทูเพิลของจำนวนธรรมชาติสามจำนวนที่เป็นไปตามความสัมพันธ์ของพีทาโกรัส ในกรณีนี้ ตัวเลขที่ก่อให้เกิดทริปเปิลพีทาโกรัสเรียกว่า ตัวเลขพีทาโกรัส สารบัญ 1 แฝดสามดั้งเดิม ... Wikipedia
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทพื้นฐานของเรขาคณิตยุคลิด ซึ่งสร้างความสัมพันธ์ระหว่างด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก สารบัญ 1 ... วิกิพีเดีย
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทพื้นฐานของเรขาคณิตยุคลิด ซึ่งสร้างความสัมพันธ์ระหว่างด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก สารบัญ 1 ข้อความ 2 หลักฐาน ... Wikipedia
นี่คือสมการในรูปแบบโดยที่ P เป็นฟังก์ชันจำนวนเต็ม (เช่น พหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม) และตัวแปรใช้ค่าจำนวนเต็ม ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ ไดโอแฟนทัส สารบัญ 1 ตัวอย่าง ... Wikipedia
ตัวอย่างที่สำคัญของสมการไดโอแฟนไทน์ได้จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซึ่งเชื่อมโยงความยาว x และ y ของขาของสามเหลี่ยมมุมฉากกับความยาว z ของด้านตรงข้ามมุมฉาก:
แน่นอนว่าคุณได้เจอหนึ่งในคำตอบที่ยอดเยี่ยมของสมการนี้เป็นจำนวนธรรมชาติแล้ว นั่นก็คือ เลขสามเท่าของพีทาโกรัส x = 3, y = 4, z = 5มีแฝดสามแบบนี้อีกไหม?
ปรากฎว่ามีพีทาโกรัสสามเท่าจำนวนอนันต์และทั้งหมดถูกค้นพบเมื่อนานมาแล้ว สามารถรับได้โดยใช้สูตรที่รู้จักกันดีซึ่งคุณจะได้เรียนรู้จากย่อหน้านี้
หากสมการไดโอแฟนไทน์ของดีกรีที่ 1 และ 2 ได้รับการแก้ไขแล้ว คำถามของการแก้สมการของดีกรีที่สูงกว่ายังคงเปิดอยู่ แม้ว่านักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดจะพยายามอย่างเต็มที่ก็ตาม ตัวอย่างเช่น ในปัจจุบัน การคาดเดาอันโด่งดังของแฟร์มาต์ที่ว่าค่าจำนวนเต็มใดๆ ยังไม่ได้รับการพิสูจน์หรือหักล้างอย่างแน่ชัด n2สมการ
ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม
สำหรับการแก้สมการไดโอแฟนไทน์บางประเภทที่เรียกว่า จำนวนเชิงซ้อนมันคืออะไร? ให้ตัวอักษร i แสดงถึงวัตถุบางอย่างที่ตรงตามเงื่อนไข ฉัน 2 = -1(เห็นได้ชัดว่าไม่มีจำนวนจริงเพียงตัวเดียวที่ตรงตามเงื่อนไขนี้) พิจารณาการแสดงออกของแบบฟอร์ม α + iβ,โดยที่ α และ β อยู่ ตัวเลขจริง- เราจะเรียกนิพจน์ดังกล่าวว่าจำนวนเชิงซ้อน โดยกำหนดการดำเนินการของการบวกและการคูณกับพวกมัน เช่นเดียวกับทวินาม แต่มีความแตกต่างเพียงอย่างเดียวที่นิพจน์ ฉัน 2เราจะแทนที่หมายเลข -1 ทุกที่:
7.1. หนึ่งสามก็มากเกินไป
พิสูจน์ว่าถ้า x 0 , ย 0 , z 0- พีทาโกรัสสามเท่า แล้วก็สามเท่า ย 0 , x 0 , z 0และ x 0 k, y 0 k, z 0 kสำหรับค่าใดๆ ของพารามิเตอร์ธรรมชาติ k ก็ถือเป็นพีทาโกรัสเช่นกัน
7.2. สูตรเฉพาะ
ตรวจสอบว่ามีค่าทางธรรมชาติหรือไม่ ม>นประเภทสามคน
คือพีทาโกรัส ทริปเปิลพีทาโกรัสใดๆ x, y, zมันสามารถแสดงในรูปแบบนี้ได้หรือไม่ถ้าเรายอมให้ตัวเลข x และ y ในสามค่าสับเปลี่ยนกัน?
7.3. แฝดสามที่ลดไม่ได้
จำนวนสามเท่าของพีทาโกรัสที่ไม่มีตัวหารร่วมมากกว่า 1 เรียกว่าลดไม่ได้ พิสูจน์ว่าจำนวนสามเท่าของพีทาโกรัสไม่สามารถลดได้ก็ต่อเมื่อจำนวนสองตัวในจำนวนทั้งสามนั้นเป็นจำนวนเฉพาะเท่านั้น
7.4. คุณสมบัติของสามเท่าลดไม่ได้
พิสูจน์ว่าในค่าสามเท่าของพีทาโกรัสที่ลดไม่ได้ใดๆ, y, z, ตัวเลข z และตัวเลข x หรือ y ตัวใดตัวหนึ่งนั้นเป็นเลขคี่
7.5. แฝดสามที่ลดไม่ได้ทั้งหมด
พิสูจน์ว่าค่าสามเท่าของจำนวน x, y, z เป็นค่าสามเท่าของพีทาโกรัสที่ลดไม่ได้ ถ้าหากมันเกิดขึ้นพร้อมกับค่าสามเท่าตามลำดับของตัวเลขสองตัวแรก 2 นาที, ม. 2 - n 2, ม. 2 + n 2,ที่ไหน ม>น- จำนวนไพรม์ธรรมชาติของพาร์ติชั่นต่างๆ ที่เป็นไพรม์ร่วมกัน
7.6. สูตรทั่วไป
พิสูจน์ว่าคำตอบทั้งหมดของสมการ
ในจำนวนธรรมชาติจะได้รับลำดับของสิ่งที่ไม่รู้จัก x และ y ตามสูตร
โดยที่ m>n และ k เป็นพารามิเตอร์ธรรมชาติ (เพื่อขจัดความซ้ำซ้อนของแฝดสามใดๆ ก็เพียงพอแล้วที่จะเลือกจำนวนประเภท coprime และยิ่งกว่านั้น จากความเท่าเทียมกันที่ต่างกัน)
7.7. 10 ทริปแรก
ค้นหาสามเท่าของพีทาโกรัสทั้งหมด x, y, z,เป็นไปตามเงื่อนไข x
7.8. คุณสมบัติของพีทาโกรัสสามเท่า
พิสูจน์ว่าสำหรับทริปเปิลพีทาโกรัสใดๆ x, y, zข้อความต่อไปนี้เป็นจริง:
ก) อย่างน้อยหนึ่งในตัวเลข x หรือ y เป็นผลคูณของ 3
b) อย่างน้อยหนึ่งในตัวเลข x หรือ y เป็นผลคูณของ 4;
c) อย่างน้อยหนึ่งในตัวเลข x, y หรือ z เป็นผลคูณของ 5
7.9. การประยุกต์จำนวนเชิงซ้อน
โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน α + iβเรียกว่าเป็นจำนวนไม่ลบ
ตรวจดูว่ามีจำนวนเชิงซ้อนใดๆ หรือไม่ α + iβและ γ + ฉันδทรัพย์สินเป็นที่พอใจ
การใช้คุณสมบัติของจำนวนเชิงซ้อนและมอดูลิของจำนวนนั้น พิสูจน์ว่าจำนวนเต็มสองตัว m และ n เป็นไปตามความเท่าเทียมกัน
กล่าวคือระบุคำตอบของสมการ
จำนวนเต็ม (เปรียบเทียบกับปัญหา 7.5)
7.10. ทริปเปิ้ลที่ไม่ใช่พีทาโกรัส
การใช้คุณสมบัติของจำนวนเชิงซ้อนและโมดูลัส (ดูปัญหา 7.9) ค้นหาสูตรสำหรับการแก้จำนวนเต็มใดๆ ของสมการ:
ก) x 2 + y 2 = z 3; ข) x 2 + y 2 = z 4
7.1. ถ้า x 0 2 + y 0 2 = z 0 2,ที่ y 0 2 + x 0 2 = z 0 2,และสำหรับค่าธรรมชาติของ k ที่เรามี
Q.E.D.
7.2. จากความเท่าเทียมกัน
เราสรุปได้ว่าสามข้อที่ระบุในปัญหาเป็นไปตามสมการ x 2 + y 2 = z 2ในจำนวนธรรมชาติ อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกสามเท่าของพีทาโกรัส x, y, zสามารถแสดงในรูปแบบนี้ ตัวอย่างเช่น เลขสาม 9, 12, 15 เป็นเลขพีทาโกรัส แต่เลข 15 ไม่สามารถแทนเป็นผลรวมของกำลังสองของเลขธรรมชาติสองตัว m และ n ได้
7.3. หากมีตัวเลขสองตัวจากเลขสามตัวของพีทาโกรัส x, y, zมีตัวหารร่วม d แล้วก็จะเป็นตัวหารของเลขตัวที่สาม (ในกรณีนี้. x = x 1 วัน, y = y 1 วันเรามี ซี 2 = x 2 + y 2 = (x 1 2 + y 1 2)ง 2 ,โดยที่ z 2 หารด้วย d 2 ลงตัว และ z หารด้วย d ลงตัว) ดังนั้น เพื่อที่จะลดจำนวนสามของพีทาโกรัสให้ลดลงไม่ได้ จึงจำเป็นที่จำนวนสองตัวใดๆ ของจำนวนทั้งสามนั้นจะต้องเป็นโคไพรม์
7.4. โปรดทราบว่าหนึ่งในตัวเลข x หรือ y เช่น x ของเลขสามเท่าของพีทาโกรัสที่ลดไม่ได้ x, y, zเป็นเลขคี่ เพราะไม่เช่นนั้นตัวเลข x และ y ก็จะไม่ใช่จำนวนเฉพาะ (ดูปัญหา 7.3) ถ้าอีกจำนวน y เป็นเลขคี่ด้วย แสดงว่าทั้งสองจำนวน
จะเหลือเศษ 1 เมื่อหารด้วย 4 และจำนวน ซี 2 = x 2 + y 2ให้เศษเป็น 2 เมื่อหารด้วย 4 กล่าวคือ หารด้วย 2 ลงตัว แต่หารด้วย 4 ลงตัวไม่ได้ ซึ่งหารไม่ได้ ดังนั้น ตัวเลข y ต้องเป็นเลขคู่ และตัวเลข z ต้องเป็นเลขคี่
7.5. ปล่อยให้พีทาโกรัสเป็นสามเท่า x, y, zลดไม่ได้ และเพื่อความแน่นอน ตัวเลข x เป็นเลขคู่ และตัวเลข y, z เป็นเลขคี่ (ดูปัญหา 7.4) แล้ว
ตัวเลขอยู่ที่ไหน 
มีทั้ง ให้เราพิสูจน์ว่าจำนวน a และ b เป็นจำนวนเฉพาะ อันที่จริง ถ้าพวกเขามีตัวหารร่วมมากกว่า 1 ตัวเลขเหล่านั้นก็จะมีตัวหารเหมือนกัน z = ก + ข, y = ก - ขนั่นคือ ทริปเปิลจะลดไม่ได้ (ดูปัญหา 7.3) ตอนนี้ เมื่อขยายตัวเลข a และ b ไปเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ เราจะสังเกตเห็นว่าต้องรวมตัวประกอบเฉพาะใดๆ ไว้ในผลคูณด้วย 4ab = x 2ในระดับเลขคู่เท่านั้น และถ้ารวมไว้ในส่วนขยายของจำนวน a ก็จะไม่รวมอยู่ในส่วนขยายของจำนวน b และในทางกลับกัน ดังนั้น ตัวประกอบเฉพาะใดๆ จะเข้าสู่การขยายตัวของตัวเลข a หรือ b แยกจากกันในระดับเลขคู่เท่านั้น ซึ่งหมายความว่าตัวเลขเหล่านี้เองเป็นจำนวนเต็มกำลังสอง มาใส่กันเถอะ 
แล้วเราจะได้ความเท่าเทียมกัน
ยิ่งไปกว่านั้น พารามิเตอร์ทางธรรมชาติ m>n เป็นโคไพรม์ (เนื่องจากโคไพรม์เนสของตัวเลข a และ b) และมีพาริตีต่างกัน (เนื่องจากความคี่ของตัวเลข z = ม. 2 + น 2).
ทีนี้ ให้จำนวนธรรมชาติ m>n ของความเท่าเทียมกันเป็นจำนวนเฉพาะ แล้วสาม x = 2 นาที, y = ม. 2 - n 2, z = ม. 2 + n 2ตามข้อความของปัญหา 7.2 คือพีทาโกรัส ให้เราพิสูจน์ว่ามันลดไม่ได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เพียงตรวจสอบว่าตัวเลข y และ z ไม่มีตัวหารร่วมก็เพียงพอแล้ว (ดูปัญหา 7.3) ที่จริงแล้ว ตัวเลขทั้งสองนี้เป็นเลขคี่ เนื่องจากตัวเลขประเภทมีความเท่าเทียมกันต่างกัน ถ้าตัวเลข y และ z มีตัวหารร่วมธรรมดาบางตัว (ก็ต้องเป็นเลขคี่) ดังนั้นตัวเลขแต่ละตัวและตัวเลข m และ n แต่ละตัวจะมีตัวหารเหมือนกัน ซึ่งขัดแย้งกับความเรียบง่ายร่วมกัน
7.6. เนื่องมาจากข้อความที่กำหนดไว้ในปัญหา 7.1, 7.2 สูตรเหล่านี้จึงให้คำจำกัดความเฉพาะค่าสามเท่าของพีทาโกรัสเท่านั้น ในทางกลับกัน ทริปเปิลพีทาโกรัสใดๆ x, y, zหลังจากที่หารด้วยตัวหารร่วมมาก k แล้ว คู่ของตัวเลข x และ y จะลดไม่ได้ (ดูปัญหา 7.3) ดังนั้นจึงสามารถแทนค่าได้ตามลำดับของตัวเลข x และ y ในรูปแบบที่อธิบายไว้ในปัญหา 7.5 . ดังนั้นค่าสามเท่าของพีทาโกรัสจึงได้รับจากสูตรที่ระบุสำหรับค่าที่แน่นอนของพารามิเตอร์
7.7. จากความไม่เท่าเทียมกัน z และสูตรของปัญหา 7.6 เราได้ค่าประมาณ ม. 2 เช่น ม≤5- เชื่อ ม. = 2, n = 1และ เค = 1, 2, 3, 4, 5,เราได้รับสาม 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. เชื่อ ม. = 3, n = 2และ เค = 1, 2,เราได้รับสาม 5, 12, 13; 10, 24, 26. เชื่อ ม. = 4, n = 1, 3และ เค = 1,เราได้รับสาม 8, 15, 17; 7, 24, 25. สุดท้ายก็เชื่อ. ม. = 5, n = 2และ เค = 1,เราได้สาม 20, 21, 29.
