จลนศาสตร์ - ง่ายมาก!
หลังจากการขว้างและการบิน แรงโน้มถ่วงจะกระทำต่อร่างกาย ฟุตและแรงต้านอากาศ Fс.
หากร่างกายเคลื่อนที่ด้วยความเร็วต่ำ มักจะไม่คำนึงถึงแรงต้านอากาศเมื่อทำการคำนวณ
ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่ามีเพียงแรงโน้มถ่วงเท่านั้นที่กระทำต่อร่างกาย ซึ่งหมายความว่าร่างกายที่ถูกโยนจะเคลื่อนไหว ฤดูใบไม้ร่วงฟรี.
หากเป็นการตกอย่างอิสระ ความเร่งของร่างกายที่ถูกโยนจะเท่ากับความเร่งของการตกอย่างอิสระ ก.
ที่ระดับความสูงต่ำเมื่อเทียบกับพื้นผิวโลก แรงโน้มถ่วง Ft จะไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นร่างกายจึงเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่
ดังนั้นการเคลื่อนไหวของวัตถุที่ถูกโยนไปในมุมหนึ่งไปยังขอบฟ้าจึงแตกต่างจากการตกอย่างอิสระนั่นคือ การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่และวิถีโคจรโค้ง(เนื่องจากเวกเตอร์ความเร็วและความเร่งไม่ตรงกันในทิศทาง)
สูตรสำหรับการเคลื่อนไหวนี้ในรูปแบบเวกเตอร์: หากต้องการคำนวณการเคลื่อนไหวของร่างกาย ให้เลือก ระบบสี่เหลี่ยมพิกัด XOY เพราะว่า วิถีการเคลื่อนที่ของร่างกายคือพาราโบลาที่วางอยู่ในระนาบที่ผ่านเวกเตอร์ Ft และ Vo
โดยปกติแล้วแหล่งกำเนิดของพิกัดจะถูกเลือกให้เป็นจุดที่วัตถุที่ถูกโยนเริ่มเคลื่อนที่
การเปลี่ยนแปลงความเร็วของการเคลื่อนไหวของร่างกายในทิศทางใด ๆ จะเกิดขึ้นพร้อมกับความเร่ง
เวกเตอร์ความเร็วของวัตถุ ณ จุดใดๆ ของวิถีสามารถแบ่งออกเป็น 2 องค์ประกอบ: เวกเตอร์ V x และเวกเตอร์ V y
ในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่ง ความเร็วของร่างกายจะถูกกำหนดเป็นผลรวมทางเรขาคณิตของเวกเตอร์เหล่านี้:
จากรูปนี้ เส้นโครงของเวกเตอร์ความเร็วบนแกนพิกัด OX และ OY มีลักษณะดังนี้:
การคำนวณความเร็วของร่างกายได้ตลอดเวลา:
การคำนวณการเคลื่อนไหวของร่างกายได้ตลอดเวลา:
แต่ละจุดในวิถีการเคลื่อนที่ของร่างกายสอดคล้องกับพิกัด X และ Y:
สูตรการคำนวณสำหรับพิกัดของวัตถุที่ถูกโยนในเวลาใด ๆ :
จากสมการการเคลื่อนที่ จะได้สูตรมาคำนวณระยะการบินสูงสุด L:
และระดับความสูงสูงสุดของการบิน H:
ป.ล.
1. ด้วยความเร็วเริ่มต้นเท่ากัน Vo ระยะการบิน:
- เพิ่มขึ้นหากมุมการขว้างเริ่มต้นเพิ่มขึ้นจาก 0 o เป็น 45 o
- ลดลงหากมุมการขว้างเริ่มต้นเพิ่มขึ้นจาก 45 o เป็น 90 o
2. ที่มุมขว้างเริ่มต้นที่เท่ากัน ระยะการบิน L จะเพิ่มขึ้นตามความเร็วเริ่มต้น Vo ที่เพิ่มขึ้น 
3. กรณีพิเศษของการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ถูกโยนทำมุมกับแนวนอนคือ การเคลื่อนไหวของร่างกายที่ถูกโยนในแนวนอนในขณะที่มุมการขว้างเริ่มต้นเป็นศูนย์
ปล่อยให้ร่างกายถูกโยนเป็นมุม α ไปยังแนวนอนด้วยความเร็ว เช่นเดียวกับในกรณีก่อนหน้านี้ เราจะละเลยแรงต้านของอากาศ เพื่ออธิบายการเคลื่อนไหว จำเป็นต้องเลือกแกนพิกัดสองแกน - Ox และ Oy (รูปที่ 29)
รูปที่ 29
จุดอ้างอิงเข้ากันได้กับตำแหน่งเริ่มต้นของร่างกาย การฉายภาพความเร็วเริ่มต้นบนแกน Oy และแกน Ox: , . การประมาณการความเร่ง: ,
จากนั้นสมการจะอธิบายการเคลื่อนที่ของร่างกายได้ดังนี้
(8)
(9)
จากสูตรเหล่านี้เป็นไปตามที่ร่างกายเคลื่อนที่ในแนวนอนอย่างสม่ำเสมอและในทิศทางแนวตั้งจะมีความเร่งสม่ำเสมอ
วิถีลำตัวจะเป็นพาราโบลา เมื่อพิจารณาว่าที่จุดสูงสุดของพาราโบลา เราสามารถหาเวลาที่ตัววัตถุจะขึ้นสู่จุดสูงสุดของพาราโบลาได้:
แทนค่าของ t 1 ลงในสมการ (8) เราจะพบความสูงสูงสุดของร่างกาย:
ความสูงในการยกสูงสุดของร่างกาย
เราหาเวลาบินของร่างกายจากเงื่อนไขว่าที่ t=t 2 พิกัด y 2 =0 เพราะฉะนั้น, 
- ดังนั้น - เวลาบินของร่างกาย เมื่อเปรียบเทียบสูตรนี้กับสูตร (10) เราจะเห็นว่า t 2 =2t 1
เวลาในการเคลื่อนที่ของร่างกายจากความสูงสูงสุดคือ t 3 =t 2 -t 1 =2t 1 -t 1 =t 1 ดังนั้นเวลาที่ร่างกายใช้ในการขึ้นสู่ความสูงสูงสุดคือเวลาเดียวกับที่ใช้ในการลงมาจากความสูงนี้ การแทนที่ค่าเวลา t 2 ลงในสมการพิกัด x (6) เราพบว่า:
- ระยะการบินของร่างกาย
ความเร็วชั่วขณะ ณ จุดใดๆ ของวิถีจะถูกกำหนดทิศทางในแนวสัมผัสไปยังวิถี (ดูรูปที่ 29) โมดูลความเร็วจะถูกกำหนดโดยสูตร
ดังนั้นการเคลื่อนไหวของร่างกายที่ถูกโยนในมุมหนึ่งไปยังขอบฟ้าหรือในแนวนอนถือได้ว่าเป็นผลมาจากการเคลื่อนไหวที่เป็นอิสระสองครั้ง - เครื่องแบบแนวนอนและแนวตั้งเร่งความเร็วสม่ำเสมอ (การตกอย่างอิสระโดยไม่มีความเร็วเริ่มต้นหรือการเคลื่อนไหวของร่างกายที่ถูกโยนในแนวตั้ง ขึ้นไป)
ลองพิจารณาว่าอะไรคือเป้าหมายของปัญหาจลนศาสตร์
1. เราอาจสนใจการเปลี่ยนแปลงของปริมาณจลนศาสตร์ใน กระบวนการเคลื่อนไหว, เช่น. รับข้อมูลเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงพิกัด ความเร็ว ความเร่ง รวมถึงค่าเชิงมุมที่สอดคล้องกัน
2. ในปัญหาหลายประการ เช่น ในปัญหาการเคลื่อนที่ของวัตถุในมุมหนึ่งถึงขอบฟ้า จะต้องเรียนรู้เกี่ยวกับค่าของปริมาณทางกายภาพใน เงื่อนไขเฉพาะ: ระยะการบิน, การยกสูงสุด ฯลฯ
3. ในกรณีที่วัตถุมีส่วนร่วมในการเคลื่อนไหวหลายครั้งพร้อมกัน (เช่นการกลิ้งลูกบอล) หรือพิจารณาการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ของวัตถุหลาย ๆ อันจำเป็นต้องสร้างความสัมพันธ์ระหว่างการกระจัด ความเร็ว และความเร่ง (เชิงเส้นและเชิงมุม) เช่น. ค้นหาสมการ การเชื่อมต่อจลนศาสตร์.
แม้จะมีปัญหาทางจลนศาสตร์ที่หลากหลาย แต่สามารถเสนออัลกอริธึมต่อไปนี้สำหรับการแก้ปัญหาได้:
1. เขียนแบบแผนผังโดยแสดงตำแหน่งเริ่มต้นของร่างกายและสถานะเริ่มต้นของพวกเขา เช่น และ .
2. เลือกระบบอ้างอิงตามการวิเคราะห์สภาพปัญหา ในการดำเนินการนี้ คุณจะต้องเลือกเนื้อหาอ้างอิงและเชื่อมโยงระบบพิกัดเข้ากับระบบพิกัด โดยระบุที่มาของพิกัด ทิศทางของแกนพิกัด และโมเมนต์ของจุดเริ่มต้นของการอ้างอิงเวลา เมื่อเลือกทิศทางเชิงบวก ทิศทางการเคลื่อนที่ (ความเร็ว) หรือทิศทางความเร่งจะชี้นำ
3. ตามกฎการเคลื่อนที่ ให้เขียนระบบสมการในรูปแบบเวกเตอร์สำหรับวัตถุทั้งหมด จากนั้นในรูปแบบสเกลาร์ โดยฉายสมการการเคลื่อนที่เวกเตอร์เหล่านี้ลงบนแกนพิกัด เมื่อเขียนสมการเหล่านี้ คุณควรใส่ใจกับเครื่องหมาย "+" และ "-" ของการประมาณปริมาณเวกเตอร์ที่รวมอยู่ในนั้น
4. คำตอบจะต้องได้รับเป็นสูตรวิเคราะห์ (ป มุมมองทั่วไป) และในตอนท้ายให้ทำการคำนวณเชิงตัวเลข
ตัวอย่างที่ 4ผู้โดยสารที่นั่งริมหน้าต่างรถไฟที่วิ่งด้วยความเร็ว 54 กม./ชม. จะมองเห็นรถไฟที่กำลังแล่นผ่านไปได้นานแค่ไหน โดยมีความเร็ว 36 กม./ชม. และมีความยาว 250 ม.
สารละลาย.เราจะเชื่อมต่อกรอบอ้างอิงคงที่กับโลก และกรอบเคลื่อนที่กับรถไฟที่ผู้โดยสารตั้งอยู่ ตามกฎของการเพิ่มความเร็ว โดยที่ความเร็วของขบวนที่กำลังสวนทางสัมพันธ์กับขบวนแรก ในการฉายภาพบนแกน Ox:
เนื่องจากเส้นทางที่รถไฟที่กำลังวิ่งสวนทางสัมพันธ์กับขบวนแรกจะเท่ากับความยาวของขบวนรถไฟแล้วตามด้วยเวลา
ตัวอย่างที่ 5เรือกลไฟใช้เวลา 5.0 วันจาก Nizhny Novgorod ถึง Astrakhan และ 7.0 วันก่อน แพจะเดินทางจาก Nizhny Novgorod ไปยัง Astrakhan นานแค่ไหน? หลีกเลี่ยงการจอดรถและการจราจรล่าช้า
ให้ไว้: เสื้อ 1 =5 วัน เสื้อ 2 =7 วัน
สารละลาย.เราจะเชื่อมต่อกรอบอ้างอิงคงที่กับชายฝั่ง และกรอบอ้างอิงที่กำลังเคลื่อนที่กับน้ำ เราจะถือว่าความเร็วของน้ำเท่ากันตลอดการเดินทาง และความเร็วของเรือกลไฟสัมพันธ์กับน้ำจะคงที่และเท่ากับโมดูลัสของความเร็วขณะนั้นของเรือกลไฟสัมพันธ์กับน้ำ
เนื่องจากแพเคลื่อนที่สัมพันธ์กับชายฝั่งด้วยความเร็วของแม่น้ำ ดังนั้นเวลาในการเคลื่อนที่คือ โดยที่ s คือระยะห่างระหว่างเมือง เมื่อเรือกลไฟเคลื่อนที่ตามกระแสน้ำ ความเร็วของมันจะเป็นไปตามกฎการเพิ่มความเร็ว หรือในการฉายภาพไปยังแกน Ox:
โดยที่ความเร็วของเรือสัมพันธ์กับฝั่งคือความเร็วของเรือสัมพันธ์กับแม่น้ำ
เมื่อทราบเวลาของการเคลื่อนไหว คุณสามารถค้นหาความเร็วได้:
จากสูตร (1) และ (2) เรามี:
เมื่อเรือเคลื่อนที่ทวนกระแสน้ำหรืออยู่ในเส้นโครงบนแกนวัว โดยที่ความเร็วของเรือสัมพันธ์กับฝั่ง
อีกด้านหนึ่ง.. แล้ว
การแก้ระบบสมการ (3) และ (4) สำหรับ เราได้รับ:
ลองหาเวลาการเคลื่อนที่ของแพ:
ตัวอย่างที่ 6ด้วยการเคลื่อนไหวด้วยความเร่งสม่ำเสมอ ร่างกายจะเคลื่อนที่ในสองคาบเวลาเท่ากันติดต่อกัน ครั้งละ 4.0 วินาที ไปตามเส้นทาง s 1 = 24 ม. และ s 2 = 64 ม. ตามลำดับ กำหนดความเร็วและความเร่งเริ่มต้นของร่างกาย
ให้ไว้: t 1 =t 2 = 4.0 s, s 1 =24 m, s 2 = 64 m
สารละลาย.ให้เราเขียนสมการเส้นทางสำหรับ s 1 และ (s 1 + s 2) ตามลำดับ เนื่องจากความเร็วเริ่มต้นในกรณีนี้จะเท่ากันแล้ว
เนื่องจาก t1=t2 ดังนั้น
แสดงจาก (1) และแทนลงใน (2) เราจะได้:
แล้วความเร็วเริ่มต้น 
ตัวอย่างที่ 7รถยนต์คันหนึ่งเคลื่อนที่ไปตามทางตรงด้วยความเร่งสม่ำเสมอด้วยความเร็วเริ่มต้น 5.0 เมตร/วินาที ครอบคลุมระยะทาง 6.0 เมตรในวินาทีแรก จงหาความเร่งของรถ ความเร็วขณะหนึ่ง ณ จุดสิ้นสุดของวินาทีที่สอง และ การกระจัดใน 2.0 วินาที
สารละลาย.เมื่อรู้เส้นทางที่ร่างกายเดินทางในวินาทีแรก คุณจะพบความเร่งได้:
เราหาความเร็ว ณ สิ้นวินาทีที่สองโดยใช้สูตร
ตัวอย่างที่ 8 เอ็กซ์) มีรูปแบบ x = A + Bt + Ct 3 โดยที่ A = 4 m, B = 2 m/s, C = -0.5 m/s 3
ในช่วงเวลา t 1 =2 วินาที ให้กำหนด: 1) พิกัดของจุด x 1 จุด; 2) ความเร็วทันที ข้อ 1- 3) การเร่งความเร็วทันที 1.
ให้ไว้: x = A + Bt + Ct 3, A = 4 m, B = 2 m/s, C = -0.5 m/s 3, t 1 = 2 s
ค้นหา: x 1 ; วี 1 ; 1.
สารละลาย. 1. แทนที่ค่าเวลาที่ระบุ t 1 ลงในสมการการเคลื่อนที่แทน t: x 1 = A + Bt 1 + Ct 1 3 ลองแทนค่า A, B, C, t 1 ลงในนิพจน์นี้แล้วทำการคำนวณ: x 1 = 4 m
2. ความเร็วทันที: 
จากนั้น ณ เวลา t 1 ความเร็วขณะนั้นคือ v 1 = B + 3Ct 1 2 มาแทนที่กันที่นี่ ค่า B, C, t 1: โวลต์ 1 = – 4 เมตร/วินาที เครื่องหมายลบบ่งชี้ว่า ณ เวลา t 1 =2 วินาที จุดกำลังเคลื่อนที่ไปในทิศทางลบของแกนพิกัด
3. การเร่งความเร็วทันที: 
ความเร่งทันที ณ เวลา t 1 เท่ากับ 1 = 6Сt 1 . ลองแทนค่าของ C, t 1: a 1 = –6 m/s 2 เครื่องหมายลบบ่งชี้ว่าทิศทางของเวกเตอร์ความเร่งเกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางลบของแกนพิกัด และสิ่งนี้จะเกิดขึ้นในช่วงเวลาใดก็ได้ภายใต้เงื่อนไขของปัญหานี้
ตัวอย่างที่ 9สมการจลนศาสตร์ของการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุตามแนวเส้นตรง (แกน เอ็กซ์) มีรูปแบบ x = A + Bt + Ct 2 โดยที่ A = 5 m, B = 4 m/s, C = -1 m/s 2 หาความเร็วเฉลี่ย v xsr สำหรับช่วงเวลาตั้งแต่ t 1 =1 วินาที ถึง t 2 =6 วินาที
ให้ไว้: x = A + Bt + Ct 2, A = 5 m, B = 4 m/s, C = - 1 m/s 2, t 1 = 1 s, t 2 = 6 s
ค้นหา: v xsr -? และ khsr -?
สารละลาย.ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลา t 2 -t 1 ถูกกำหนดโดยนิพจน์ v cf = (x 2 - x 1)/(t 2 - t 1)
x 1 = A + บาท 1 + กะรัต 1 2 = 8 ม., x 2 = A + บาท 2 + กะรัต 2 2 = –7 ม.
ลองแทนค่า x 1, x 2, t 1, t 2 และทำการคำนวณ: v xsr = -3 m/s
ตัวอย่างที่ 10มีการทิ้งสิ่งของลงจากเฮลิคอปเตอร์ซึ่งอยู่ที่ระดับความสูง h = 300 ม. จะต้องใช้เวลานานเท่าใดก่อนที่สินค้าจะถึงพื้น หาก: ก) เฮลิคอปเตอร์อยู่กับที่; b) เฮลิคอปเตอร์ลงจอดด้วยความเร็ว v 0 =5 m/s; 3) เฮลิคอปเตอร์ขึ้นด้วยความเร็ว v 0 =5 m/s อธิบายการเคลื่อนที่ที่สอดคล้องกันของโหลดในแกน s(t), v(t) และ a(t) เป็นภาพกราฟิก
สารละลาย.ก) สิ่งของที่ออกจากเฮลิคอปเตอร์ที่อยู่กับที่จะตกลงอย่างอิสระ เช่น เคลื่อนที่สม่ำเสมอด้วยความเร่งของแรงโน้มถ่วง g เราจะหาเวลาของการเคลื่อนไหวจากความสัมพันธ์จาก: 
กราฟการเคลื่อนที่ของวัตถุมีเครื่องหมาย 1 ในรูป
b) การเคลื่อนที่ของสิ่งของที่ออกจากเฮลิคอปเตอร์ซึ่งเคลื่อนลงด้วยความเร็วคงที่ v 0 = 5 m/s เป็นการเคลื่อนที่ที่มีความเร่งสม่ำเสมอโดยมีความเร่งคงที่ g และอธิบายได้ด้วยสมการ
การแทนที่ค่าตัวเลขจะได้สมการ 9.8t 2 +10t-600=0
ผลลัพธ์เชิงลบไม่มีความหมายทางกายภาพ ดังนั้นเวลาในการเคลื่อนที่คือ t=7.57 วินาที
กราฟการเคลื่อนที่ของวัตถุมีเครื่องหมาย 2 อยู่ในภาพ
3) การเคลื่อนตัวของสินค้าออกจากเฮลิคอปเตอร์ซึ่งเพิ่มขึ้นด้วยความเร็วคงที่ v 0 =5 m/s ประกอบด้วยสองขั้นตอน ในระยะแรก ภาระจะเคลื่อนที่ช้าเท่าๆ กันด้วยความเร่งคงที่ g ซึ่งอยู่ตรงข้ามกับความเร็ว และอธิบายได้ด้วยสมการ
ที่จุดสูงสุดของวิถี ความเร็วจะกลายเป็นศูนย์
เราได้แทนสมการที่สองของระบบไปเป็นสมการแรก
ในระยะที่สอง - การตกจากที่สูงอย่างอิสระ h 0 =h+h 1 =300+1.28=301.28 ม.
เนื่องจาก
กราฟการเคลื่อนที่ของวัตถุมีเครื่องหมาย 3 อยู่ในภาพ
ตัวอย่างที่ 11สิ่งของถูกโยนขึ้นในแนวตั้งจากบอลลูนที่ตกลงมาด้วยความเร็วคงที่ 2 เมตรต่อวินาที ด้วยความเร็ว 18 เมตรต่อวินาที เทียบกับพื้น กำหนดระยะห่างระหว่างลูกบอลกับน้ำหนัก ณ เวลาที่น้ำหนักบรรทุกถึงจุดสูงสุดที่เพิ่มขึ้น จะต้องใช้เวลานานเท่าใดกว่าภาระจะบินผ่านลูกบอลและล้มลง?
ให้ไว้: v 01 = 2 m/s, v 02 = 18 m/s
ค้นหา: s-? τ -?
สารละลาย.ให้เรากำหนดทิศทางแกน 0Y ขึ้นในแนวตั้งโดยจุดเริ่มต้นเข้ากันได้กับจุด 0 ซึ่งลูกบอลอยู่ในขณะที่โยนภาระ
ดังนั้นสมการการเคลื่อนที่ของสินค้าและบอลลูนคือ:
ความเร็วการเคลื่อนที่ของโหลดเปลี่ยนแปลงไปตามกฎหมาย v 2 = v 02 – gt
ที่จุดสูงสุด B ของการยกโหลด v 2 =0 แล้วเวลาขึ้นถึงจุดนี้ พิกัดโหลดที่จุด B
ในช่วงเวลานี้ บอลลูนลดลงไปที่จุด A; พิกัดของมัน
ระยะห่างระหว่างจุด A และ B:
หลังจากช่วงระยะเวลาหนึ่ง τ เมื่อก้อนหินลอยผ่านลูกบอล พิกัดของวัตถุจะเหมือนกัน: y 1C = y 2C;
ตัวอย่างที่ 12เครื่องบินควรบินด้วยความเร็วเท่าใดและในเส้นทางใดเพื่อที่จะบินไปทางเหนือ 300 กม. ในเวลาสองชั่วโมง หากในระหว่างการบินมีลมตะวันตกเฉียงเหนือพัดทำมุม 30° ถึงเส้นลมปราณด้วยความเร็ว 27 กม./ชม.
ให้ไว้: t=7.2∙10 3 วินาที; ล=3∙10 5 ม.; α=30° data 0.52 ราด; โวลต์ 2 หยาบคาย7.2 ม./วินาที
ค้นหา: v 2 -? φ -?
สารละลาย.ให้เราพิจารณาการเคลื่อนที่ของเครื่องบินในกรอบอ้างอิงที่เกี่ยวข้องกับพื้นดิน
ลองวาดแกน OX ไปทางทิศตะวันออก และแกน OY ไปทางทิศเหนือกัน จากนั้นความเร็วของเครื่องบินในหน้าต่างอ้างอิงที่เลือก
โดยที่ v= ล/ที (2)
สมการ (1) ในการฉายภาพบนแกน
OX: 0=v 1 ∙sinα – v 2 ∙sinφ;
OY: v= v 2 ∙cosφ - v 1 ∙cosα หรือ v 1 ∙sinα = v 2 ∙sinφ, v 2 ∙cosφ=v 1 ∙cosα + v (3)
เมื่อหารสมการเหล่านี้ทีละเทอม เราจะได้ tanφ=v 1 sinα/(v 1 cosα+ v)
หรือคำนึงถึง (2)
tgφ=v 1 ∙sinα/(v 1 ∙cosα+ ล/ที);
φ=arctgv 1 ∙sinα/(v 1 ∙cosα+ ล/t) หยาบคาย 0.078 rad
เราจะพบโดยการยกกำลังสองด้านขวาและด้านซ้ายของสมการ (3) และเพิ่มสมการผลลัพธ์
v 2 2 ∙sin 2 φ + v 2 2 ∙cos 2 φ = v 1 2 sin 2 α+ (v 1 ∙cosα + v) 2 ,
จากที่ไหน หรือคำนึงถึง (2)
ตัวอย่างที่ 13วัตถุที่ถูกโยนขึ้นในแนวตั้งจะกลับสู่พื้นหลังจาก t=3 วินาที ค้นหาความสูงของร่างกายและความเร็วเริ่มต้น
สารละลาย.การเคลื่อนไหวร่างกายขึ้นจะช้าและเร่งพอๆ กัน - กและเกิดขึ้นตามกาลเวลา ที 1 และการเคลื่อนที่ลงมีความเร่งสม่ำเสมอด้วยความเร่ง g และเกิดขึ้นเมื่อเวลาผ่านไป ที 2. สมการที่อธิบายการเคลื่อนไหวในส่วน AB และ BA ก่อให้เกิดระบบ:
เนื่องจาก v B =0 ดังนั้น v 0 =gt 1 เมื่อแทน v 0 ลงในสมการแรกของระบบ เราจะได้ หากเราเปรียบเทียบนิพจน์นี้กับสมการที่สามของระบบ เราก็สรุปได้ว่าเวลาขึ้นเท่ากับเวลาลง t 1 =t 2 =t/2=1.5s ความเร็วเริ่มต้นและความเร็วลงจอดเท่ากันและมีค่าเป็น v 0 =v A =gt 1 =9.8∙1.5=14.7 m/s
ความสูงในการยกของร่างกาย
ตัวอย่างที่ 14ในวินาทีสุดท้ายของการเคลื่อนไหว ร่างที่ตกลงมาอย่างอิสระได้ผ่านไปครึ่งระยะแล้ว ค้นหาความสูงที่มันถูกโยนและเวลาของการเคลื่อนไหว
สารละลาย.การขึ้นอยู่กับระยะทางที่เดินทางตรงเวลาสำหรับวัตถุที่ตกลงมาอย่างอิสระ เนื่องจากส่วน BC ซึ่งประกอบขึ้นเป็นครึ่งหนึ่งของเส้นทางทั้งหมด มีระยะเวลาเท่ากับ 1 วินาที จากนั้นครึ่งแรกของเส้นทาง AB จึงถูกครอบคลุมด้วยเวลา (t-1) s จากนั้นการเคลื่อนที่ในส่วนเครื่องบินสามารถอธิบายได้ดังนี้
แก้ระบบ
เราได้ t 2 -4t+2=0 รากของสมการนี้คือ t 1 =3.41 s และ t 2 = 0.59 s รากที่สองไม่เหมาะเพราะ เวลาการเคลื่อนไหวตามเงื่อนไขของปัญหาจะต้องเกินหนึ่งวินาที ส่งผลให้ร่างตกลงไปเป็นเวลา 3.41 วินาที และครอบคลุมระยะทางในช่วงเวลานี้ 
ตัวอย่างที่ 15ก้อนหินถูกโยนในแนวนอนจากหอคอยสูง 25 เมตร ด้วยความเร็ว 15 เมตร/วินาที
ค้นหา: 1) หินจะเคลื่อนที่นานแค่ไหน 2) หินจะตกลงสู่พื้นเป็นระยะทางเท่าใด 3) หินจะตกลงสู่พื้นด้วยความเร็วเท่าใด 4) วิถีของหินจะทำมุมเท่าใด เส้นขอบฟ้า ณ จุดที่ตกลงสู่พื้น ละเว้นแรงต้านของอากาศ
ให้ไว้: H=25 m, v o =15 m/s
ค้นหา: t-? ส x - ? วี - ? φ- ?
สารละลาย.การเคลื่อนที่ของก้อนหินที่ถูกโยนออกไปในแนวนอนสามารถแบ่งได้เป็นสองส่วน: แนวนอน สเอ็กซ์และแนวตั้ง ใช่:
โดยที่ t คือเวลาของการเคลื่อนไหว
2) s x =v o t= 33.9 ม.;
3) y =gt=22.1m/s;
4) ซินφ= v และ y /v=0.827;
ตัวอย่างที่ 16วัตถุถูกโยนในแนวนอนจากหอคอยสูง 25 เมตร ด้วยความเร็ว v x = 10 เมตร/วินาที
ค้นหา: 1) เวลา t ของร่างกายล้ม 2) ระยะทางเท่าใด ลมันจะตกลงมาจากฐานของหอคอย 3) ความเร็ว v เมื่อสิ้นสุดการตก 4) มุมที่วิถีของร่างกายจะทำกับพื้นดิน ณ จุดที่ลงจอด
สารละลาย.การเคลื่อนไหวของร่างกายมีความซับซ้อน มันมีส่วนร่วมในการเคลื่อนที่สม่ำเสมอในแนวนอนและมีความเร่งสม่ำเสมอด้วยความเร่ง g ในแนวตั้ง ดังนั้นส่วน AB จึงอธิบายได้ด้วยสมการ:
สำหรับจุด A สมการเหล่านี้อยู่ในรูปแบบ:
แล้ว ล=10∙2.26=22.6 ม. และ v y =9.8∙2.26=22.15 ม./วินาที
ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา
มุมที่วิถีทำกับพื้นเท่ากับมุม φ ในรูปสามเหลี่ยมของความเร็วในจุด A ซึ่งเป็นค่าแทนเจนต์ที่ 
ดังนั้น φ=68.7°
ตัวอย่างที่ 17สำหรับวัตถุที่ขว้างด้วยความเร็วแนวนอน v x =10 m/s หลังจากผ่านไป t=2 วินาทีหลังจากเริ่มการเคลื่อนที่ ให้ค้นหา: ความเร่งปกติ วงสัมผัส และความเร่งรวม รวมถึงรัศมีความโค้งของวิถีวิถี ณ จุดนี้ .
สารละลาย.องค์ประกอบความเร็วแนวตั้ง v y =gt=9.8∙2=19.6 m/s
ความเร็วที่จุด A:
เวกเตอร์สร้างรูปสามเหลี่ยมของความเร็ว และเวกเตอร์สร้างรูปสามเหลี่ยมของความเร่ง ดังที่เห็นได้จากรูป สามเหลี่ยมเหล่านี้คล้ายกัน ซึ่งหมายความว่าด้านของพวกมันเป็นสัดส่วน: .
ความเร่งปกติ ดังนั้น รัศมีความโค้งของวิถี
ตัวอย่างที่ 18ขว้างลูกบอลด้วยความเร็ว 10 เมตร/วินาที โดยทำมุม 40° กับแนวนอน
ค้นหา: 1) ลูกบอลจะสูงขึ้นเท่าใด; 2) ลูกบอลจะตกลงสู่พื้นห่างจากจุดขว้างเท่าใด 3) ลูกบอลจะเคลื่อนที่นานแค่ไหน
ให้ไว้: v o =10 m/s, α=40 o
ค้นหา: s y - ? ส x - ? ที - ?
สารละลาย. 1) ให้เราค้นหาความสูงที่มากที่สุด s y สูงสุด ที่วัตถุถูกโยนด้วยความเร็ว v o ที่มุม α ถึงขอบฟ้าสูงขึ้น เรามี (ดูรูป):
v y =v หรือsinα – gt; (1)
s y =v o t∙sinα – gt 2 /2. (2)
ที่จุดสูงสุด v y = 0 และจาก (1) เราจะได้ v o ∙sin𝛼 = gt 1 ดังนั้นเวลาในการยกลูกบอล t 1 =v o ∙sinα/g แทน t 1 ไปเป็น (2) เราจะได้
s y max = v o 2 ∙sin 2 α/(2g)= 2.1 m.
2) จงหาระยะการบิน s x max ของวัตถุที่ถูกโยนออกไปในมุมหนึ่งจนถึงขอบฟ้า
เรามี: v x = v โอ∙cosα , (3)
s x =v x t=v หรือ t∙cosα (4)
ร่างกายจะตกลงไปบนระนาบแนวนอนหลังจากผ่านไป t 2 =2t 1 =2v o sinα/g
เมื่อแทน t 2 ลงใน (4) เราจะได้ s xmax = v o 2 sin2α/ ก.= 10.0 ม.
3) เสื้อ 2 =2t 1 =2v หรือ sinα/g=1.3 วิ
ตัวอย่างที่ 19วัตถุถูกขว้างด้วยความเร็ว v 0 =10 m/s 2 ที่มุม α=30° ไปยังแนวนอน ร่างกายจะสูงขึ้นไปถึงไหน? มันจะกระแทกพื้นจากจุดไหน? เขาจะเคลื่อนไหวได้นานแค่ไหน?
สารละลาย.ส่วนประกอบแนวนอนและแนวตั้งของความเร็วเริ่มต้น
การเคลื่อนไหวในส่วน OA สามารถแบ่งได้เป็น 2 การเคลื่อนไหวง่ายๆ: สม่ำเสมอในแนวนอนและสม่ำเสมอในแนวตั้งช้า:
ที่จุด A
แล้ว 
และ
หากร่างกายมีส่วนร่วมในการเคลื่อนไหวหลายครั้งพร้อมกัน มันก็จะมีส่วนร่วมในการเคลื่อนไหวแต่ละครั้งโดยอิสระจากกัน ดังนั้นเวลาของการเคลื่อนไหวในส่วน AB จะถูกกำหนดตามเวลาของการเคลื่อนไหวลง - เสื้อ 2 เวลาในการเลื่อนขึ้นเท่ากับเวลาในการเลื่อนลงซึ่งหมายถึง
ด้วยการเคลื่อนที่ในแนวนอนสม่ำเสมอในช่วงเวลาเท่ากัน ร่างกายจะผ่านส่วนเส้นทางที่เท่ากัน ดังนั้น
ช่วงการบิน
ความสูงในการยกของร่างกาย
ตัวอย่างที่ 20จุดเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงบนระนาบตามกฎ x=4(t-2) 2 ความเร็วเริ่มต้น v 0 และความเร่งของจุดเป็นเท่าใด ก- จงหาความเร็วชั่วขณะของจุด v t =5 ที่จุดเริ่มต้นของวินาทีที่ห้าของการเคลื่อนที่
สารละลาย.
1) เพราะ v=x' จากนั้น v 0 =(4∙(t-2) 2)'=(4∙(t 2 -4t+4))'=(4t 2 -16t+16)'=8t-16
ที่ t=0 โวลต์ 0 =-16 เมตร/วินาที
2) เพราะ a= แล้ว a=(8t-16)’=8 m/s
3) ที่ t=4 เพราะ 4 วินาทีผ่านไปก่อนที่จะเริ่ม 5 วินาที
โวลต์ เสื้อ =5 =8t-16=8∙4-16=32 ม./วินาที
คำตอบ:ความเร็วเริ่มต้นของจุดคือ v 0 = -16 m/s ความเร่งคือ a = 8 m/s ความเร็วของจุดที่เริ่มต้นวินาทีที่ห้าคือ v t = 5 = 32 m/s
ตัวอย่างที่ 21การเคลื่อนที่ของจุดวัสดุอธิบายได้ด้วยสมการ: a) s=αt 3 ; b) s=αt 2 +βt เปรียบเทียบความเร็วเฉลี่ยและค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความเร็วเริ่มต้นและความเร็วสุดท้าย โวลต์ cf ในช่วงเวลา 0 - t โดยที่ α และ β เป็นค่าคงที่ที่เป็นบวก
สารละลาย.ให้เราจำคำจำกัดความของความเร็วเฉลี่ยและความเร็วชั่วขณะ:
นิพจน์สำหรับความเร็วขณะหนึ่งได้มาจากการสร้างความแตกต่างของสมการการเคลื่อนที่
นิพจน์สำหรับความเร็วเฉลี่ยจะพบได้จากอัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงพิกัดเส้นโค้งต่อเวลา:
เราได้รับนิพจน์สำหรับความเร็วเฉลี่ยเลขคณิต:
มาตอบคำถามเกี่ยวกับเงื่อนไขของปัญหากัน จะเห็นได้ว่าในกรณี “a” ความเร็วเฉลี่ยและค่าเฉลี่ยเลขคณิตไม่ตรงกัน แต่ในกรณี “b” จะตรงกัน
ตัวอย่างที่ 22จุดวัสดุเคลื่อนที่สม่ำเสมอไปตามเส้นทางโค้ง ความเร่งสูงสุด ณ จุดใดของวิถีโคจร?
สารละลาย.เมื่อเคลื่อนที่ไปตามทางโค้ง ความเร่งประกอบด้วยเส้นสัมผัสและเส้นปกติ ความเร่งในวงโคจรแสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของขนาด (โมดูล) ของความเร็ว ถ้าขนาดของความเร็วไม่เปลี่ยนแปลง ความเร่งในวงสัมผัสจะเป็นศูนย์ ความเร่งปกติขึ้นอยู่กับรัศมีความโค้งของวิถี a n = โวลต์ 2/ร. ความเร่งจะสูงสุด ณ จุดที่มีรัศมีความโค้งน้อยที่สุดคือ ที่จุด C
ตัวอย่างที่ 23จุดสำคัญเคลื่อนที่ตามกฎหมาย: 
1) หาพิกัดเริ่มต้น ความเร็วเริ่มต้น และความเร่งโดยเปรียบเทียบกับกฎการเคลื่อนที่ที่มีความเร่งคงที่ เขียนสมการของการฉายภาพความเร็วลงไป.
สารละลาย.กฎการเคลื่อนที่ที่มีความเร่งคงที่จะมีรูปแบบ
เมื่อเปรียบเทียบสมการนี้กับสมการของสภาพปัญหาที่เราได้รับ
x 0 = - 1 ม.
โวลต์ 0 x = 1 เมตร/วินาที
ก x = - 0.25 เมตร/วินาที 2 .
คำถามเกิดขึ้น: ความหมายของเครื่องหมายลบคืออะไร? เมื่อใดที่เส้นโครงของเวกเตอร์เป็นลบ? เฉพาะในกรณีที่เวกเตอร์หันเข้าหาแกนพิกัดเท่านั้น
ให้เราพรรณนาในรูปเวกเตอร์พิกัดเริ่มต้นความเร็วและความเร่ง
ให้เราเขียนสมการความเร็วในรูปแบบ
และแทนที่ข้อมูลที่ได้รับ (เงื่อนไขเริ่มต้น) ลงไป
2) ค้นหาความขึ้นต่อกันของความเร็วและความเร่งตรงเวลา โดยใช้คำจำกัดความของปริมาณเหล่านี้
สารละลาย.ให้เราใช้คำจำกัดความสำหรับค่าความเร็วและความเร่งทันที:
เราได้รับความแตกต่าง โวลต์ x =1-0.25t, ax = - 0.25 ม./วินาที 2.
จะเห็นได้ว่าความเร่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับเวลา
3) วาดกราฟของ v x (t) และ a x (t) ระบุลักษณะการเคลื่อนไหวในแต่ละส่วนของกราฟ
สารละลาย.การขึ้นอยู่กับความเร็วตรงเวลาเป็นเส้นตรง กราฟเป็นเส้นตรง
ที่ t = 0 v x = 1 เมตร/วินาที ที่ t = 4 โดยมี v x = 0
จากกราฟเป็นที่ชัดเจนว่าในส่วน "a" การฉายภาพความเร็วจะเป็นค่าบวก และค่าของมันจะลดลง เช่น จุดจะเคลื่อนที่ช้าๆ ในทิศทางแกน x ในส่วน “b” การฉายภาพความเร็วจะเป็นลบ และโมดูลจะเพิ่มขึ้น จุดเคลื่อนที่ด้วยความเร่งในทิศทางตรงข้ามกับแกน x ดังนั้น ณ จุดตัดของกราฟกับแกนแอบซิสซา การหมุนจึงเกิดขึ้น ทิศทางการเคลื่อนที่จึงเปลี่ยนไป
4) กำหนดพิกัดของจุดเลี้ยวและเส้นทางสู่จุดเลี้ยว
สารละลาย.โปรดทราบอีกครั้งว่าเมื่อถึงจุดเปลี่ยน ความเร็วจะเป็นศูนย์ สำหรับสถานะนี้ เราได้มาจากสมการการเคลื่อนที่:
จากสมการที่สองที่เราได้รับ ทีพีวี = 4 วิ (เห็นได้ชัดว่าเพื่อให้ได้ค่านี้ ไม่จำเป็นต้องสร้างและวิเคราะห์กราฟ) ลองแทนค่านี้เป็นสมการแรก: x surface = -1+4-4 2 /8 = 1 m.
เส้นทางสู่ทางเลี้ยวดังที่เห็นจากรูป เท่ากับการเปลี่ยนแปลงพิกัด: s Turn =x Turn -x 0 =1-(-1)=2 m
5) จุดหนึ่งผ่านจุดกำเนิด ณ จุดใดในเวลาใด
สารละลาย.ในสมการการเคลื่อนที่ เราควรใส่ x = 0 เราได้สมการกำลังสอง 0=-1+t-t 2 /8 หรือ t 2 -8t+8=0 สมการนี้มีสองราก: 
- เสื้อ 1 = 1.17 วิ เสื้อ 2 = 6.83 วิ อันที่จริงจุดหนึ่งจะผ่านจุดกำเนิดของพิกัดสองครั้ง: เมื่อเคลื่อนที่ "ที่นั่น" และ "ย้อนกลับ"
6) ค้นหาเส้นทางที่เดินทางโดยจุดใน 5 วินาทีหลังจากเริ่มการเคลื่อนที่ และการกระจัดในช่วงเวลานี้ รวมถึงความเร็วพื้นดินเฉลี่ยบนเส้นทางส่วนนี้
สารละลาย.ก่อนอื่น เรามาค้นหาพิกัดที่จุดสิ้นสุดหลังจากการเคลื่อนไหวไป 5 วินาทีแล้วทำเครื่องหมายไว้ในรูป
x(5)=-1+5-5 2 /8= 0.875 ม.
เนื่องจากในสถานะนี้จุดจะอยู่หลังจากการเลี้ยว ระยะทางที่เดินทางจึงไม่เท่ากับการเปลี่ยนแปลงพิกัด (การเคลื่อนไหว) อีกต่อไป แต่ประกอบด้วยสองเทอม: เส้นทางก่อนเลี้ยว
s 1 = x พื้นผิว - x 0 = 1 - (-1) = 2 ม
และหลังเลี้ยว
s 2 = x พื้นผิว - x(5) = 1 - 0.875 = 0.125 ม.
s = ส 1 + ส 2 = 2.125 ม.
การกระจัดของจุดคือ
s x = x(5) - x 0 = 0.875 - (-1) = 1.875 ม.
ความเร็วภาคพื้นดินเฉลี่ยคำนวณโดยสูตร
ปัญหาที่พิจารณาอธิบายปัญหาหนึ่งได้มากที่สุด ประเภทง่ายๆการเคลื่อนไหว - การเคลื่อนไหวด้วยความเร่งคงที่ อย่างไรก็ตาม วิธีการวิเคราะห์ธรรมชาติของการเคลื่อนไหวนี้เป็นแนวทางสากล
ตัวอย่างที่ 24ในการเคลื่อนที่ในมิติเดียวด้วยความเร่งคงที่ การขึ้นต่อกันของพิกัดและความเร็วของอนุภาคตรงเวลาจะอธิบายโดยความสัมพันธ์:
สร้างการเชื่อมโยงระหว่างพิกัดของอนุภาคกับความเร็ว
สารละลาย.เราแยกเวลา t ออกจากสมการเหล่านี้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราใช้วิธีทดแทน จากสมการที่สองเราแสดงเวลา และแทนลงในสมการแรก:
หากการเคลื่อนไหวเริ่มต้นจากจุดกำเนิด ( เอ็กซ์ 0 =0) จากการพักผ่อน ( โวลต์ 0 x =0) จากนั้นผลการพึ่งพาอาศัยกันจะเกิดขึ้น
รู้จักกันดีจากวิชาฟิสิกส์โรงเรียนของฉัน
ตัวอย่างที่ 25การเคลื่อนที่ของจุดวัสดุอธิบายได้ด้วยสมการ โดยที่ i และ j เป็นเวกเตอร์หน่วยของแกน x และ y ส่วน α และ β เป็นค่าคงที่ที่เป็นบวก ในช่วงเวลาเริ่มต้น อนุภาคอยู่ที่จุด x 0 = y 0 = 0 ค้นหาสมการวิถีโคจรของอนุภาค y(x)
สารละลาย.เงื่อนไขของปัญหาถูกกำหนดโดยใช้วิธีเวกเตอร์ในการอธิบายการเคลื่อนที่ เรามาต่อกันที่ วิธีการประสานงาน- ค่าสัมประสิทธิ์สำหรับเวกเตอร์หน่วยคือเส้นโครงของเวกเตอร์ความเร็ว กล่าวคือ:
อันดับแรก เราได้ค่าการขึ้นต่อกัน x(t) และ y(t) โดยการแก้ปัญหาระดับเฟิร์สคลาส
ตัวอย่างที่ 28จากหอคอยสูง ชม.ขว้างก้อนหินด้วยความเร็ว โวลต์ 0 ที่มุม α ถึงแนวนอน หา:
1) หินจะเคลื่อนที่นานแค่ไหน
2) มันจะตกลงสู่พื้นเป็นระยะทางเท่าใด
3) มันจะตกลงสู่พื้นด้วยความเร็วเท่าใด
4) มุมใดที่จะทำโดยวิถีของหินโดยที่ขอบฟ้า ณ จุดที่ตกลงมา
5) ความเร่งปกติและวงสัมผัสของหิน ณ จุดนี้ตลอดจนรัศมีความโค้งของวิถี
6) ความสูงสูงสุดในการยกหิน
ละเลยความต้านทานอากาศ
สารละลาย.โดยใช้ปัญหานี้เป็นตัวอย่าง เราจะแสดงให้เห็นว่าอัลกอริทึมที่กำหนดสำหรับการแก้ปัญหาใดๆ ของคลาสนี้สามารถสร้างในรูปแบบทั่วไปได้อย่างไร
1. ปัญหาพิจารณาการเคลื่อนที่ของจุดวัตถุ (หิน) ในสนามแรงโน้มถ่วงของโลก ดังนั้น นี่คือการเคลื่อนไหวที่มีความเร่งแรงโน้มถ่วง g คงที่ โดยมุ่งลงด้านล่างในแนวตั้ง
เหลือเวลาอีก 3 วินาทีก่อนสิ้นสุดการแข่งขันนัดสุดท้ายของการแข่งขันบาสเก็ตบอลโอลิมปิกมิวนิกปี 1972 ชาวอเมริกัน - ทีมสหรัฐฯ - ต่างเฉลิมฉลองชัยชนะกันแล้ว! ทีมของเรา - ทีมชาติสหภาพโซเวียต - ชนะประมาณ 10 คะแนนจากทีมในฝันอันยิ่งใหญ่...
ไม่กี่นาทีก่อนจบการแข่งขัน แต่หลังจากสูญเสียความได้เปรียบทั้งหมดไปในที่สุด เธอก็เสียไปหนึ่งแต้มแล้ว 49:50 แล้วเรื่องเหลือเชื่อก็เกิดขึ้น! Ivan Edeshko ขว้างบอลจากหลังเส้นหลังไปทั่วทั้งสนามใต้ห่วงอเมริกันซึ่ง Alexander Belov เซ็นเตอร์ของเรารับบอลโดยมีคู่ต่อสู้สองคนรายล้อมอยู่และใส่ลงในตะกร้า 51:50 – เราเป็นแชมป์โอลิมปิก!!!
เมื่อตอนเป็นเด็ก ฉันมีประสบการณ์ด้านอารมณ์ที่รุนแรงที่สุด ครั้งแรกคือความผิดหวังและความขุ่นเคือง จากนั้นจึงมีความสุขอย่างบ้าคลั่ง! ความทรงจำทางอารมณ์ของตอนนี้ฝังอยู่ในจิตสำนึกของฉันไปตลอดชีวิต! ดูวิดีโอบนอินเทอร์เน็ตตามคำขอของ "การโยนทองของ Alexander Belov" คุณจะไม่เสียใจ
ชาวอเมริกันไม่ยอมรับความพ่ายแพ้และปฏิเสธที่จะรับเหรียญเงิน เป็นไปได้ไหมที่จะทำสิ่งที่ผู้เล่นของเราทำภายในสามวินาที? มาจำฟิสิกส์กัน!
ในบทความนี้เราจะดูการเคลื่อนไหวของวัตถุที่ถูกโยนในมุมหนึ่งไปยังขอบฟ้าสร้างโปรแกรมใน Excel เพื่อแก้ไขปัญหานี้ด้วยการผสมผสานข้อมูลอินพุตต่างๆ และพยายามตอบคำถามที่กล่าวข้างต้น
นี่เป็นปัญหาที่รู้จักกันดีในวิชาฟิสิกส์ ในกรณีของเรา ลำตัวที่โยนทำมุมกับแนวนอนคือลูกบาสเก็ตบอล เราจะคำนวณความเร็ว เวลา และวิถีเริ่มต้นของลูกบอลที่โยนไปทั่วทั้งสนามโดย Ivan Edeshko และตกไปอยู่ในมือของ Alexander Belov
สูตรและการคำนวณที่นำเสนอด้านล่างนี้คือเก่งเป็นสากลสำหรับปัญหาต่างๆ มากมายเกี่ยวกับวัตถุที่ถูกโยนในมุมหนึ่งไปยังขอบฟ้าและการบินไปตามวิถีโคจรพาราโบลาโดยไม่คำนึงถึงอิทธิพลของการเสียดสีอากาศ
แผนภาพการคำนวณแสดงในรูปด้านล่าง เปิด MS Excel หรือ OOo Calc
1. เนื่องจากเราอยู่บนดาวเคราะห์โลกและกำลังพิจารณาปัญหาเกี่ยวกับขีปนาวุธ - การเคลื่อนที่ของวัตถุในสนามโน้มถ่วงของโลก สิ่งแรกที่เราจะทำคือเขียนลักษณะสำคัญของสนามโน้มถ่วง - ความเร่งของการตกอย่างอิสระ กเป็นเมตร/วินาที 2
ไปที่เซลล์ D3: 9,81
2. ขนาดของสนามบาสเก็ตบอล ยาว 28 เมตร กว้าง 15 เมตร ระยะห่างแนวนอนของลูกบอลจากเกือบทั้งสนามถึงวงแหวนจากเส้นฐานตรงข้าม xเขียนเป็นเมตร
ไปที่เซลล์ D4: 27,000
3. หากเราสมมติว่า Edeshko ขว้างจากความสูงประมาณสองเมตรและ Belov จับลูกบอลที่ไหนสักแห่งที่ระดับห่วงจากนั้นด้วยความสูงของห่วงบาสเก็ตบอล 3.05 เมตร ซึ่งเป็นระยะห่างแนวตั้งระหว่างจุดเริ่มต้นและการมาถึง ของลูกบอลจะสูง 1 เมตร ลองเขียนการกระจัดในแนวดิ่งลงไป ยเป็นเมตร
ไปที่เซลล์ D5: 1,000
4. จากการวัดของฉันในวิดีโอ มุมพุ่งขึ้นของลูกบอลคือ α 0 จากมือของ Edeshko ไม่เกิน 20° มาใส่ค่านี้กัน
ไปที่เซลล์ D6: 20,000
สมการพื้นฐานที่อธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ถูกโยนในมุมหนึ่งไปยังขอบฟ้าโดยไม่คำนึงถึงแรงต้านของอากาศ:
x =โวลต์ 0*เพราะ α 0 *ต
ย =โวลต์ 0*บาป α 0 *t -g *t 2 /2
5. มาแสดงเวลากันเถอะ ทีจากสมการแรก ให้แทนที่สมการที่สองแล้วคำนวณความเร็วเริ่มต้นของลูกบอล โวลต์ 0 เป็นเมตร/วินาที
ในเซลล์ D8: =(D3*D4^2/2/COS (เรเดียน(D6))^2/(D4*TAN (เรเดียน(D6)) -D5))^0.5 =21,418
โวลต์ 0 =(ก *x 2 /(2*(cosα 0 ) 2 *(x *tgα 0 -ป )) 0.5
6. เวลาบินบอลจากมือของ Edeshko ถึงมือของ Belov ทีมาคำนวณกันในไม่กี่วินาทีรู้แล้ว โวลต์ 0 , จากสมการแรก
ในเซลล์ D9: =D4/D8/COS (เรเดียน(D6)) =1,342
ที = x /(โวลต์ 0 * เพราะα 0 )
7. ลองหามุมทิศทางของความเร็วในการบินของลูกบอลกัน α ฉันที่จุดวิถีที่เราสนใจ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เขียนสมการคู่เริ่มต้นในรูปแบบต่อไปนี้:
ย =x *tgα 0 -g *x 2 /(2*วี 0 2*(เนื่องจากα 0 ) 2)
นี่คือสมการของพาราโบลา - เส้นทางการบิน
เราจำเป็นต้องค้นหามุมเอียงของแทนเจนต์กับพาราโบลา ณ จุดที่เราสนใจ - นี่จะเป็นมุม α ฉัน- เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้ใช้อนุพันธ์ซึ่งเป็นแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์:
คุณ' =ทีจีα 0 -g *x /(วี 0 2*(เนื่องจากα 0 ) 2)
ลองคำนวณมุมที่ลูกบอลมาสู่มือของ Belov α ฉันเป็นองศา
ในเซลล์ D10: =ATAN (TAN (เรเดียน(D6)) -D3*D4/D8^2/COS (เรเดียน(D6))^2)/PI()*180 =-16,167
α ฉัน = อาร์คจีย ’ = อาร์คจี(ทีจีα 0 — ก * x /(โวลต์ 0 2 *(เพราะα 0 ) 2))
โดยทั่วไปการคำนวณใน Excel จะเสร็จสมบูรณ์
เมื่อใช้โปรแกรมที่เขียนขึ้น คุณสามารถคำนวณร่วมกับข้อมูลเริ่มต้นอื่นๆ ได้อย่างรวดเร็วและง่ายดาย
ให้กำหนดแนวนอน x = 27 เมตร , แนวตั้ง ย = ระยะการบิน 1 เมตร และความเร็วเริ่มต้น โวลต์ 0 = 25 เมตร/วินาที
เราต้องหาเวลาบิน ทีและมุมออกเดินทาง α 0 และการมาถึง α ฉัน
มาใช้บริการ MS Excel "การเลือกพารามิเตอร์" ฉันได้อธิบายรายละเอียดวิธีใช้งานซ้ำแล้วซ้ำเล่าในบทความบล็อกหลายบทความ คุณสามารถอ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับการใช้บริการนี้ได้
เราตั้งค่าในเซลล์ D8 เป็น 25,000 โดยการเปลี่ยนค่าในเซลล์ D6 โดยการเลือก ผลลัพธ์อยู่ในภาพด้านล่าง
ข้อมูลต้นฉบับในการคำนวณเวอร์ชันนี้ใน Excel (เช่นเดียวกับข้อมูลก่อนหน้า) จะถูกเน้นในกรอบสีน้ำเงิน และผลลัพธ์จะระบุไว้ในกรอบสี่เหลี่ยมสีแดง!
การตั้งค่าในตารางเอ็กเซลค่าที่น่าสนใจในเซลล์ใดเซลล์หนึ่งที่มีการเติมสีเหลืองอ่อนโดยการเลือกค่าที่เปลี่ยนแปลงในเซลล์ใดเซลล์หนึ่งที่มีการเติมสีเทอร์ควอยซ์อ่อน โดยทั่วไปคุณจะได้สิบ ตัวเลือกต่างๆแก้ปัญหาการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ถูกโยนทำมุมถึงขอบฟ้าด้วยชุดข้อมูลเริ่มต้นที่แตกต่างกันถึง 10 ชุด!!!
มาตอบคำถามที่อยู่ตอนต้นของบทความกันดีกว่า ตามการคำนวณของเรา ลูกบอลที่ Ivan Edeshko ส่งมาบินไปที่ Belov ใน 1.342 วินาที อเล็กซานเดอร์ เบลอฟ จับบอล ลงพื้น กระโดด และขว้าง เขามีเวลามากสำหรับเรื่องทั้งหมดนี้ - 1.658 วินาที! นี่เป็นเวลาเพียงพอจริงๆ! การตรวจสอบโดยละเอียดของวิดีโอช่วยยืนยันสิ่งข้างต้น ผู้เล่นของเรามีเวลาเพียงสามวินาทีในการส่งบอลจากเส้นหลังไปยังกระดานหลังของฝ่ายตรงข้ามแล้วโยนลงห่วง โดยเขียนชื่อของพวกเขาด้วยทองคำในประวัติศาสตร์ของบาสเก็ตบอล!
โปรด ด้วยความเคารพ งานของผู้เขียน ดาวน์โหลดไฟล์ หลังจากสมัครสมาชิก สำหรับประกาศบทความ!
ให้เราพิจารณาเป็นตัวอย่างของการประยุกต์ใช้สูตรที่ได้รับ การเคลื่อนที่ของวัตถุที่ถูกโยนในมุมหนึ่งไปยังขอบฟ้าโดยไม่มีแรงต้านอากาศ สมมติว่าบนภูเขาที่สูงกว่าระดับน้ำทะเล มีปืนใหญ่คอยปกป้องน่านน้ำชายฝั่ง ปล่อยให้กระสุนปืนถูกยิงในมุมหนึ่งถึงขอบฟ้าด้วยความเร็วเริ่มต้นจากจุดหนึ่งซึ่งตำแหน่งจะถูกกำหนดโดยเวกเตอร์รัศมี (รูปที่ 2.16)
ข้าว. 2.16. การเคลื่อนไหวของร่างกายโดยทำมุมกับแนวนอน
ส่วนที่เพิ่มเข้าไป.
ที่มาของสมการการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุในสนามแรงโน้มถ่วง
มาเขียนสมการการเคลื่อนที่กัน (สมการของกฎข้อที่สองของนิวตัน):
ซึ่งหมายความว่าวัตถุซึ่งเป็นจุดวัสดุของมวลใดๆ ภายใต้สภาวะเริ่มต้นเดียวกันจะเคลื่อนที่ในสนามโน้มถ่วงที่สม่ำเสมอในลักษณะเดียวกัน เรามาสร้างสมการ (2.7.2) บนแกนของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนกันดีกว่า แกนนอน โอ้แสดงในรูปที่. เส้นประ 13 เส้น แกน โอ้มาวาดผ่านจุดกัน เกี่ยวกับในแนวตั้งขึ้นและแกนนอน ออนซ์ผ่านจุดนั้นด้วย เกี่ยวกับให้ตั้งฉากกับเวกเตอร์เข้าหาเรา เราได้รับ:
|
ทิศทางแนวตั้งตามคำนิยามคือทิศทางของเวกเตอร์ ดังนั้นเส้นโครงของมันจึงไปบนแกนนอน วัวและ โอ้มีค่าเท่ากับศูนย์ สมการที่สองคำนึงถึงว่าเวกเตอร์ชี้ลงและแกนลง โอ้- ขึ้น.
.png)
ข้าว. 2.17. การเคลื่อนที่ของลำตัวทำมุมกับแนวนอน
เรามาเพิ่มเงื่อนไขเริ่มต้นให้กับสมการการเคลื่อนที่ซึ่งกำหนดตำแหน่งและความเร็วของร่างกาย ณ ช่วงเวลาเริ่มต้น เสื้อ 0, อนุญาต เสื้อ0 = 0- แล้วตามรูป.. 2.7.4
หากอนุพันธ์ของฟังก์ชันบางอย่างมีค่าเท่ากับศูนย์ แสดงว่าฟังก์ชันนั้นคงที่ตามลำดับจากสมการที่หนึ่งและสาม (2.7.3) ที่เราได้รับ:
ในสมการที่สอง (2.7.3) อนุพันธ์มีค่าเท่ากับค่าคงที่ ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันขึ้นอยู่กับอาร์กิวเมนต์เชิงเส้นตรง นั่นคือ
เมื่อรวม (2.7.7) และ (2.7.9) เราจะได้นิพจน์สุดท้ายสำหรับการพึ่งพาของการประมาณความเร็วบนแกนพิกัดตรงเวลา:
สมการที่สาม (2.7.11) แสดงว่าวิถีของร่างกายแบนและอยู่ในระนาบทั้งหมด เอ็กซ์อยคือระนาบแนวตั้งที่กำหนดโดยเวกเตอร์ และ เห็นได้ชัดว่าข้อความสุดท้ายเป็นเรื่องทั่วไป: ไม่ว่าจะเลือกทิศทางของแกนพิกัดอย่างไร วิถีของวัตถุที่ถูกโยนไปที่มุมหนึ่งถึงขอบฟ้าจะแบนราบ มันจะอยู่ในระนาบที่กำหนดโดยเวกเตอร์ความเร็วเริ่มต้นและอิสระเสมอ เวกเตอร์การเร่งความเร็วตก
หากสมการทั้งสาม (2.7.10) ถูกคูณด้วยเวกเตอร์หน่วยของแกน , และ และบวก จากนั้นจึงทำเช่นเดียวกันกับสมการทั้งสาม (2.7.11) เราจะได้การพึ่งพาเวลาของความเร็วอนุภาค เวกเตอร์และเวกเตอร์รัศมี โดยคำนึงถึงเงื่อนไขเริ่มต้นที่เรามี:
|
|
สูตร (2.7.12) และ (2.7.13) สามารถรับได้ทันทีโดยตรงจาก (2.7.2) หากเราคำนึงว่าความเร่งของแรงโน้มถ่วงเป็นเวกเตอร์คงที่ หากความเร่งซึ่งเป็นอนุพันธ์ของเวกเตอร์ความเร็วมีค่าคงที่ ดังนั้นเวกเตอร์ความเร็วจะขึ้นอยู่กับเวลาเป็นเส้นตรง และเวกเตอร์รัศมี ซึ่งเป็นอนุพันธ์ของเวลาซึ่งเป็นเวกเตอร์ความเร็วที่ขึ้นอยู่กับเวลาเป็นเส้นตรงจะขึ้นอยู่กับเวลาแบบกำลังสอง สิ่งนี้เขียนด้วยความสัมพันธ์ (2.7.12) และ (2.7.13) พร้อมค่าคงที่ - เวกเตอร์คงที่ - เลือกตามเงื่อนไขเริ่มต้นในรูปแบบ (2.7.4)
โดยเฉพาะจาก (2.7.13) จะเห็นได้ชัดว่าเวกเตอร์รัศมีคือผลรวมของเวกเตอร์สามตัวที่รวมกันตามกฎปกติซึ่งแสดงไว้ในรูปที่ 1 อย่างชัดเจน 2.18.
ข้าว. 2.18. การแทนเวกเตอร์รัศมี r(t) ณ เวลาใดก็ได้ t โดยเป็นผลรวมของเวกเตอร์ 3 ตัว
เวกเตอร์เหล่านี้คือ:
นี่คือหลักการของความเป็นอิสระของการเคลื่อนไหวซึ่งเป็นที่รู้จักในด้านฟิสิกส์อื่น ๆ หลักการซ้อนทับ(ซ้อนทับ) โดยทั่วไปแล้ว ตามหลักการของการซ้อนทับ ผลลัพธ์ที่เป็นผลลัพธ์ของอิทธิพลหลายอย่างคือผลรวมของผลกระทบของแต่ละอิทธิพลแยกจากกัน มันเป็นผลมาจากความเป็นเส้นตรงของสมการการเคลื่อนที่
วิดีโอ 2.3 ความเป็นอิสระของแนวนอนและ การเคลื่อนไหวในแนวตั้งเมื่อเคลื่อนที่ไปในสนามแรงโน้มถ่วง
ให้เราวางจุดกำเนิดไว้ที่จุดขว้าง ตอนนี้ =0 แกนจะหมุนเช่นเดิมเพื่อให้แกน 0xเป็นแนวนอนแกน 0ปี- แนวตั้งและความเร็วเริ่มต้นอยู่ในระนาบ x0y(รูปที่ 2.19)
ข้าว. 2.19. การฉายภาพความเร็วเริ่มต้นบนแกนพิกัด
ลองฉายภาพลงบนแกนพิกัด (ดู (2.7.11)):
เส้นทางบิน- ถ้าเวลาถูกแยกออกจากระบบสมการที่ได้รับ ทีจากนั้นเราจะได้สมการวิถี:
|
นี่คือสมการของพาราโบลาที่มีกิ่งก้านชี้ลง
ระยะการบินเมื่อยิงจากที่สูง ชม. - ในขณะที่ร่างกายตกลงมา (กระสุนปืนกระทบเป้าหมายที่อยู่บนพื้นผิวทะเล) ระยะแนวนอนจากปืนถึงเป้าหมายเท่ากับ . การทดแทน; ในสมการวิถีโคจร เราได้สมการกำลังสองสำหรับระยะการบิน:
สมการกำลังสองมีสองคำตอบ (ในกรณีนี้ คือ บวกและลบ) เราต้องการทางออกเชิงบวก นิพจน์มาตรฐานสำหรับรากของสมการกำลังสองของปัญหาของเราสามารถลดลงได้ในรูปแบบ:
สามารถทำได้ที่ ถ้า ชั่วโมง = 0.
ระยะการบินสูงสุด- เมื่อถ่ายภาพจากภูเขาสูง จะไม่เป็นเช่นนั้นอีกต่อไป ลองหามุมที่สามารถบรรลุระยะการบินสูงสุดได้ การขึ้นต่อกันของระยะการบินกับมุมนั้นค่อนข้างซับซ้อน และแทนที่จะหาความแตกต่างเพื่อหาค่าสูงสุด เราจะดำเนินการดังนี้ ลองจินตนาการว่าเราเพิ่มมุมเริ่มต้น ขั้นแรก ระยะการบินเพิ่มขึ้น (ดูสูตร (2.7.15)) ถึง ค่าสูงสุดและเริ่มตกลงอีกครั้ง (เป็นศูนย์เมื่อยิงขึ้นในแนวตั้ง) ดังนั้น สำหรับแต่ละระยะการบิน ยกเว้นความเร็วสูงสุด จะมีความเร็วเริ่มต้นสองทิศทาง
ให้เรากลับมาที่สมการกำลังสองของสัมพัทธภาพของระยะการบินอีกครั้งและพิจารณาว่าเป็นสมการของมุม เมื่อพิจารณาแล้วว่า
มาเขียนมันใหม่ในรูปแบบ:
เราได้สมการกำลังสองอีกครั้ง คราวนี้เป็นปริมาณที่ไม่ทราบค่า สมการนี้มีรากสองอัน ซึ่งสอดคล้องกับมุมสองมุมซึ่งมีระยะการบินเท่ากับ แต่เมื่อใด รากทั้งสองจะต้องตรงกัน ซึ่งหมายความว่าการแบ่งแยกสมการกำลังสองมีค่าเท่ากับศูนย์:
ผลลัพธ์จะตามมาที่ไหน?
เมื่อผลลัพธ์นี้เกิดสูตร (2.7.16)
โดยปกติแล้วระดับความสูงจะน้อยกว่าระยะการบินบนที่ราบมาก ที่ รากที่สองสามารถประมาณได้จากเทอมแรกของการขยายอนุกรม Taylor และเราได้นิพจน์โดยประมาณ
นั่นคือ ระยะการยิงจะเพิ่มขึ้นโดยประมาณตามความสูงของระดับความสูงของปืน
เมื่อไร ล = ลแม็กซ์และ a = สูงสุด ,ตามที่ระบุไว้แล้ว การแบ่งแยกของสมการกำลังสองเท่ากับศูนย์ ตามลำดับ วิธีการแก้ปัญหามีรูปแบบ:
เนื่องจากแทนเจนต์มีค่าน้อยกว่าหนึ่ง มุมซึ่งบรรลุระยะการบินสูงสุดจึงน้อยกว่า
ความสูงในการยกสูงสุดเหนือจุดเริ่มต้นค่านี้สามารถกำหนดได้จากความเท่าเทียมกันถึงศูนย์ขององค์ประกอบแนวตั้งของความเร็วที่จุดสูงสุดของวิถี
ในกรณีนี้ องค์ประกอบแนวนอนของความเร็วจึงไม่เท่ากับศูนย์
ทฤษฎี
หากวัตถุถูกโยนในมุมหนึ่งจนถึงขอบฟ้า ขณะบินวัตถุนั้นจะถูกกระทำโดยแรงโน้มถ่วงและแรงต้านอากาศ หากละเลยแรงต้านทาน แรงเดียวที่เหลืออยู่คือแรงโน้มถ่วง ดังนั้นเนื่องจากกฎข้อที่ 2 ของนิวตัน ร่างกายจึงเคลื่อนที่ด้วยความเร่งเท่ากับความเร่งของแรงโน้มถ่วง เส้นโครงความเร่งบนแกนพิกัดเท่ากัน เอ็กซ์ = 0, และคุณ= -ก.
การเคลื่อนไหวที่ซับซ้อนใดๆ ของจุดวัสดุสามารถแสดงเป็นการซ้อนทับของการเคลื่อนไหวอิสระตามแนวแกนพิกัด และประเภทของการเคลื่อนที่อาจแตกต่างกันไปในทิศทางของแกนต่างๆ ในกรณีของเรา การเคลื่อนไหวของวัตถุที่บินได้สามารถแสดงเป็นการซ้อนทับของการเคลื่อนไหวอิสระสองแบบ: การเคลื่อนไหวสม่ำเสมอตามแนวแกนนอน (แกน X) และการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอตามแนวแกนตั้ง (แกน Y) (รูปที่ 1)
การคาดคะเนความเร็วของร่างกายจึงเปลี่ยนไปตามเวลาดังนี้
,
โดยที่ความเร็วเริ่มต้นคือ α คือมุมการขว้าง
พิกัดของร่างกายจึงเปลี่ยนไปดังนี้:
ด้วยการเลือกที่มาของพิกัดพิกัดเริ่มต้น (รูปที่ 1) จากนั้น
ค่าครั้งที่สองที่ความสูงเป็นศูนย์จะเป็นศูนย์ซึ่งสอดคล้องกับช่วงเวลาของการขว้างนั่นคือ ค่านี้ยังมีความหมายทางกายภาพด้วย
เราได้ระยะการบินจากสูตรแรก (1) ระยะการบินคือค่าพิกัด เอ็กซ์เมื่อสิ้นสุดเที่ยวบินเช่น ในแต่ละครั้งเท่ากับ เสื้อ 0- แทนค่า (2) ลงในสูตรแรก (1) เราจะได้:
| . | (3) |
จากสูตรนี้จะเห็นได้ว่าระยะการบินสูงสุดอยู่ที่มุมการขว้าง 45 องศา
ความสูงในการยกสูงสุดของตัวโยนสามารถรับได้จากสูตรที่สอง (1) ในการทำเช่นนี้ คุณต้องแทนที่ค่าเวลาเท่ากับครึ่งหนึ่งของเวลาการบิน (2) ลงในสูตรนี้ เนื่องจาก ระดับความสูงของการบินอยู่ที่จุดกึ่งกลางของวิถีโคจร เราได้รับการคำนวณ
