จงหาระยะทางจากลูกสาวถึงระนาบนี้ สมการระนาบปกติ ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังเครื่องบิน การลดสมการระนาบทั่วไปให้อยู่ในรูปปกติ

ระนาบในอวกาศได้มาจากสมการ 3x-4y+2z+5=0 จงหาระยะห่างจากระนาบนั้นถึงจุด M(3;-2;6)
ที่ให้ไว้:
$$ x_0 = 3, \ควอด y_0 = -2, \ควอด z_0 = 6 $$

$$ A = 3, \ควอด B = -4, \ควอด C = 2, \ควอด D = 5 $$
สารละลาย:
ในการแก้ปัญหา เราใช้สูตรในการหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ ซึ่งเท่ากับความยาวของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดนี้ไปยังระนาบ:

$$ p = (| A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D|) \over \sqrt((A^2 + B^2 + C^2)) $$

โดยที่ A, B, C, D คือสัมประสิทธิ์ของสมการระนาบ และ x0, y0, z0 คือพิกัดของจุด

มาทำการทดแทนกัน:

$$ \frac(|3 \cdot 3 + (-4) \cdot (-2)+2 \cdot 6 + 5 |)( \sqrt((3^2 + (-4)^2 + 2^2) ) ) = \frac(|9+8+12+5|)(\sqrt((9+16+4))) =6.314$$ (หน่วยเชิงเส้น)
คำตอบ:
ให้ลูกบาศก์ ABCDA1B1C1D1 ที่มีขอบเท่ากับ 1 ซม. คำนวณระยะทางจากจุด A1 ถึงระนาบที่กำหนดโดยจุด B, D และ C1
สารละลาย:
เพื่อแก้ปัญหาที่เรานำไปใช้ วิธีการประสานงาน- ลองวางจุดกำเนิดของระบบพิกัดไว้ที่จุด A แกน x เข้ากันได้กับ Edge AD แกน y เข้ากันได้กับ Edge AB และแกน z เข้ากันได้กับ Edge AA1

จากนั้นพิกัดของจุด A1 (0;0;1), จุด B (0; 1; 0), D (1; 0; 0), C1(1; 1; 1; 1) โดยการใส่พิกัดของแต่ละจุดลงในสมการทั่วไปของระนาบ A·x+B·y+C·z+D=0 เราจะได้ระบบสมการสามสมการ การแก้โจทย์เราจะหาค่าสัมประสิทธิ์และสมการของ ระนาบ x+y-z-1=0

$$ p = \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( \sqrt((A^2 + B^2 + C^2)) ) $$ มาทำกัน การทดแทน :

$$ p = \frac( |1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 - 1| )( \sqrt((1+1+1)) ) = 1.155 ซม.$$
คำตอบ:
$$ R = 1.155 ซม. $$
จงหาระยะห่างของจุด M (2;4;-7) ไปยังระนาบ XOY
สารละลาย:
สมการของระนาบ XOY เป็นกรณีพิเศษ สมการของมันคือ z=0 ลองใช้สูตร:

$$ p = \frac( | A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( (A^2 + B^2 + C^2) ) $$ โดยที่ A=0, B =0, C=1, D=0, x0=2, y0=4, z0=-7

มาทำการทดแทนกัน:

$$ p = \frac( |0 \cdot 2 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot (-7)) + 0| )( \sqrt((0^2 + 0^2 + 1^2)) ) = 7$$
คำตอบ:
ระนาบถูกกำหนดโดยจุดอ้างอิงสามจุดที่มีพิกัดอยู่ ระบบสี่เหลี่ยม A1 (0;2;1), B1(2;6;1), C1(4;0;-1) กำหนดระยะห่างจากจุดที่มีพิกัด M (5;-3;10)
สารละลาย:
เพื่อกำหนดระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ เราใช้สูตร

$$ p= \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( sqrt( (A^2 + B^2 + C^2) ) ) $$

หากต้องการใช้งานจำเป็นต้องได้รับสมการของระนาบที่กำหนดโดยจุด A1, B1 และ C1 รูปแบบทั่วไปของสมการนี้คือ A·x+B·y+C·z+D=0 เมื่อใช้วิธีใดวิธีหนึ่งในการหาสมการระนาบ (ระบบสมการที่มีพิกัดของจุดหรือดีเทอร์มิแนนต์) เราจะพบสมการระนาบ เราจะได้ $$2x-y+5z-3=0$$

ลองแทนค่าสัมประสิทธิ์ที่ได้รับของสมการและพิกัดของจุดลงในสูตร:

$$ p = \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( \sqrt( (A^2 + B^2 + C^2) ) ) = \frac( | 2 \cdot 5 - (-3) + 5 \cdot 10 - 3|)( \sqrt( (2^2 + (-1)^2 + 5^2) ) ) = 10.95 $$
คำตอบ:
จงหาระยะทางจากระนาบ 4x-6y-4z+7=0 ถึงจุดกำเนิดของระบบพิกัดของจุด O
ที่ให้ไว้:
$$ x_0 = 0, \ควอด y_0 = 0, \ควอด z_0 = 0 $$

$$ A = 4, \ควอด B = -6, \ควอด C = -4, \ควอด D = 7 $$
สารละลาย:
พิกัดต้นกำเนิดของระบบพิกัดคือ O(0;0;0) ลองใช้สูตร:

$$ p= \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( sqrt( (A^2 + B^2 + C^2) ) ) $$ สำหรับเครื่องบิน $$4 x-6y-4z+7=0$$,

$$ ก=4, $$
$$ ข=-6, $$
$$ C=-4, $$
$$D=7. -

ลองแทนค่า:

$$ p = \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( \sqrt( (A^2 + B^2 + C^2) ) ) = \frac( | 4 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 7|)( \sqrt( (4^2 + (-6)^2 + (-4)^2) ) ) = 0.85 $$
คำตอบ:

บทความนี้พูดถึงการกำหนดระยะห่างจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ มาวิเคราะห์โดยใช้วิธีพิกัดซึ่งจะช่วยให้เราค้นหาระยะทางจากจุดที่กำหนดในปริภูมิสามมิติ เพื่อเน้นย้ำสิ่งนี้ เรามาดูตัวอย่างงานต่างๆ กัน

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปอีกระนาบหนึ่งจะพบได้โดยใช้ระยะทางที่ทราบจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง โดยที่จุดหนึ่งถูกกำหนดไว้ และอีกจุดหนึ่งคือการฉายภาพลงบนระนาบที่กำหนด

เมื่อระบุจุด M 1 ที่มีระนาบ χ ในอวกาศ จะสามารถลากเส้นตรงที่ตั้งฉากกับระนาบผ่านจุดนั้นได้ H 1 คือจุดตัดร่วมกัน จากนี้เราพบว่าส่วน M 1 H 1 เป็นเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุด M 1 ไปยังระนาบ χ โดยที่จุด H 1 คือฐานของเส้นตั้งฉาก

คำจำกัดความ 1

เรียกว่าระยะทางจากจุดที่กำหนดไปยังฐานของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดที่กำหนดไปยังระนาบที่กำหนด

คำจำกัดความสามารถเขียนได้หลายสูตร

คำจำกัดความ 2

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบคือความยาวของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดที่กำหนดไปยังระนาบที่กำหนด

ระยะทางจากจุด M 1 ถึงระนาบ χ ถูกกำหนดดังนี้: ระยะทางจากจุด M 1 ถึงระนาบ χ จะน้อยที่สุดจากจุดที่กำหนดไปยังจุดใด ๆ บนระนาบ หากจุด H 2 อยู่ในระนาบ χ และไม่เท่ากับจุด H 2 เราก็จะได้ สามเหลี่ยมมุมฉากแบบ M 2 H 1 H 2 ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยมีขา M 2 H 1, M 2 H 2 – ด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งหมายความว่าเป็นไปตามนั้น M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 ถือว่ามีความโน้มเอียงซึ่งดึงจากจุด M 1 ถึงระนาบ χ เราพบว่าเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดที่กำหนดไปยังระนาบนั้นน้อยกว่าเส้นเอียงที่ลากจากจุดไปยังระนาบที่กำหนด ลองดูกรณีนี้ในรูปด้านล่าง

ระยะทางจากจุดหนึ่งถึงระนาบ - ทฤษฎี ตัวอย่าง วิธีแก้ไข

มีปัญหาทางเรขาคณิตจำนวนหนึ่งซึ่งคำตอบจะต้องมีระยะห่างจากจุดหนึ่งไปยังระนาบหนึ่ง อาจมีวิธีที่แตกต่างในการระบุสิ่งนี้ ในการแก้ปัญหา ให้ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสหรือความคล้ายคลึงของรูปสามเหลี่ยม เมื่อตามเงื่อนไขที่จำเป็นต้องคำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบที่กำหนดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมของปริภูมิสามมิติ จะได้รับการแก้ไขด้วยวิธีพิกัด ย่อหน้านี้กล่าวถึงวิธีการนี้

ตามเงื่อนไขของปัญหา เรามีจุดในพื้นที่สามมิติที่มีพิกัด M 1 (x 1, y 1, z 1) โดยมีระนาบ χ จำเป็นต้องกำหนดระยะห่างจาก M 1 ถึง เครื่องบิน χ มีการใช้วิธีการแก้ไขปัญหาหลายวิธีเพื่อแก้ไขปัญหานี้

วิธีแรก

วิธีการนี้อาศัยการหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบหนึ่งโดยใช้พิกัดของจุด H 1 ซึ่งเป็นฐานของตั้งฉากจากจุด M 1 ถึงระนาบ χ ถัดไปคุณต้องคำนวณระยะห่างระหว่าง M 1 ถึง H 1

ในการแก้ปัญหาแบบที่สอง ให้ใช้สมการปกติของระนาบที่กำหนด

วิธีที่สอง

ตามเงื่อนไข เรามีว่า H 1 เป็นฐานของตั้งฉากซึ่งลดลงจากจุด M 1 ถึงระนาบ χ จากนั้นเราจะกำหนดพิกัด (x 2, y 2, z 2) ของจุด H 1 ระยะทางที่ต้องการจาก M 1 ถึงระนาบ χ พบได้จากสูตร M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 โดยที่ M 1 (x 1, y 1, z 1) และ H 1 (x 2, y 2, z 2) ในการแก้ปัญหาคุณต้องทราบพิกัดของจุด H 1

เรามีว่า H 1 คือจุดตัดของระนาบ χ กับเส้น a ซึ่งผ่านจุด M 1 ซึ่งตั้งฉากกับระนาบ χ ตามมาว่าจำเป็นต้องรวบรวมสมการสำหรับเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งตั้งฉากกับระนาบที่กำหนด เมื่อถึงตอนนั้นเราจะสามารถกำหนดพิกัดของจุด H 1 ได้ จำเป็นต้องคำนวณพิกัดของจุดตัดของเส้นและระนาบ

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาระยะทางจากจุดที่มีพิกัด M 1 (x 1, y 1, z 1) ถึงระนาบ χ:

คำจำกัดความ 3

วาดสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด M 1 และในเวลาเดียวกัน
ตั้งฉากกับระนาบ χ;
ค้นหาและคำนวณพิกัด (x 2 , y 2 , z 2) ของจุด H 1 ซึ่งเป็นจุด
จุดตัดของเส้นตรง a กับระนาบ χ ;
คำนวณระยะทางจาก M 1 ถึง χ โดยใช้สูตร M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2

วิธีที่สาม

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนด O x y z มีระนาบ χ จากนั้นเราจะได้สมการปกติของระนาบในรูปแบบ cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 จากที่นี่เราได้รับว่าระยะทาง M 1 H 1 พร้อมจุด M 1 (x 1 , y 1 , z 1) วาดไปที่ระนาบ χ คำนวณโดยสูตร M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ ซ - พี . สูตรนี้ใช้ได้ เนื่องจากสูตรนี้สร้างขึ้นด้วยทฤษฎีบท

ทฤษฎีบท

หากให้จุด M 1 (x 1, y 1, z 1) ไว้ในปริภูมิสามมิติ โดยมีสมการปกติของระนาบ χ อยู่ในรูปแบบ cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 จากนั้นคำนวณระยะทางจากจุดถึงระนาบ M 1 H 1 ได้มาจากสูตร M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p เนื่องจาก x = x 1, y = y 1 , z = z 1

การพิสูจน์

การพิสูจน์ทฤษฎีบทนั้นต้องใช้เพื่อหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง จากนี้เราจะได้ว่าระยะทางจาก M 1 ถึงระนาบ χ คือโมดูลัสของความแตกต่างระหว่างการฉายภาพเชิงตัวเลขของเวกเตอร์รัศมี M 1 กับระยะห่างจากจุดกำเนิดถึงระนาบ χ จากนั้นเราจะได้นิพจน์ M 1 H 1 = n p n → O M → - p เวกเตอร์ปกติของระนาบ χ มีรูปแบบ n → = cos α, cos β, cos γ และความยาวของมันเท่ากับ 1, n p n → OM → คือเส้นโครงตัวเลขของเวกเตอร์ OM → = (x 1, y 1 , z 1) ในทิศทางที่กำหนดโดยเวกเตอร์ n → .

ลองใช้สูตรคำนวณเวกเตอร์สเกลาร์กันดีกว่า จากนั้นเราจะได้นิพจน์สำหรับการค้นหาเวกเตอร์ในรูปแบบ n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → เนื่องจาก n → = cos α , cos β , cos γ · z และ OM → = (x 1 , y 1 , z 1) . รูปแบบพิกัดของบันทึกจะอยู่ในรูปแบบ n → , OM → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 จากนั้น M 1 H 1 = n p n → OM → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

จากตรงนี้ เราจะได้ว่าระยะทางจากจุด M 1 (x 1, y 1, z 1) ถึงระนาบ χ คำนวณโดยการแทนที่ cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 ลงใน ด้านซ้ายของสมการปกติของระนาบแทนพิกัด x, y, z x 1, y 1 และ ซี 1ที่เกี่ยวข้องกับจุด M 1 โดยรับค่าสัมบูรณ์ของค่าที่ได้รับ

ลองดูตัวอย่างการหาระยะทางจากจุดที่มีพิกัดไปยังระนาบที่กำหนด

ตัวอย่างที่ 1

คำนวณระยะทางจากจุดด้วยพิกัด M 1 (5, - 3, 10) ถึงระนาบ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

สารละลาย

มาแก้ไขปัญหาด้วยสองวิธี

วิธีแรกเริ่มต้นด้วยการคำนวณเวกเตอร์ทิศทางของเส้น a ตามเงื่อนไข เราจะได้ว่าสมการที่กำหนด 2 x - y + 5 z - 3 = 0 เป็นสมการของระนาบ มุมมองทั่วไปและ n → = (2, - 1, 5) คือเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบที่กำหนด มันถูกใช้เป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง a ซึ่งตั้งฉากกับระนาบที่กำหนด จำเป็นต้องเขียนสมการทางบัญญัติของเส้นในอวกาศที่ผ่าน M 1 (5, - 3, 10) ด้วยเวกเตอร์ทิศทางที่มีพิกัด 2, - 1, 5

สมการจะกลายเป็น x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5

ต้องกำหนดจุดตัด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ค่อยๆ รวมสมการเข้ากับระบบเพื่อย้ายจากสมการมาตรฐานไปเป็นสมการของเส้นตัดกันสองเส้น ลองเอาจุดนี้เป็น H 1 กัน เราเข้าใจแล้ว

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

หลังจากนั้นคุณจะต้องเปิดใช้งานระบบ

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

ให้เราหันไปใช้กฎการแก้ปัญหาระบบเกาส์เซียน:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1

เราได้ H 1 (1, - 1, 0)

เราคำนวณระยะทางจากจุดที่กำหนดไปยังระนาบ เราใช้คะแนน M 1 (5, - 3, 10) และ H 1 (1, - 1, 0) และรับ

ม 1 ชม 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

แนวทางที่สองคือนำสมการที่กำหนด 2 x - y + 5 z - 3 = 0 มาสู่รูปแบบปกติก่อน เรากำหนดปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานและรับ 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 จากตรงนี้ เราจะได้สมการของระนาบ 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 ด้านซ้ายของสมการคำนวณโดยการแทนที่ x = 5, y = - 3, z = 10 และคุณต้องใช้ระยะห่างจาก M 1 (5, - 3, 10) ถึง 2 x - y + 5 z - 3 = 0 โมดูโล เราได้รับการแสดงออก:

ม 1 ชม 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

คำตอบ: 2 30.

เมื่อระบุระนาบ χ ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งในส่วนวิธีการระบุระนาบ ขั้นแรกคุณต้องได้รับสมการของระนาบ χ และคำนวณระยะทางที่ต้องการโดยใช้วิธีใดก็ได้

ตัวอย่างที่ 2

ในพื้นที่สามมิติจะมีการระบุจุดที่มีพิกัด M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1) คำนวณระยะทางจาก M 1 ถึงระนาบ A B C

สารละลาย

ก่อนอื่นคุณต้องเขียนสมการของเครื่องบินที่ผ่านจุดสามจุดที่กำหนดด้วยพิกัด M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C ( 4, 0, - 1) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

ตามมาว่าปัญหามีแนวทางแก้ไขคล้ายกับครั้งก่อน ซึ่งหมายความว่าระยะทางจากจุด M 1 ถึงระนาบ A B C มีค่าเท่ากับ 2 30

คำตอบ: 2 30.

การหาระยะทางจากจุดที่กำหนดบนระนาบหรือไปยังระนาบที่จุดนั้นขนานกันนั้นสะดวกกว่าโดยใช้สูตร M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . จากนี้เราพบว่าสมการปกติของระนาบได้มาในหลายขั้นตอน

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาระยะทางจากจุดที่กำหนดด้วยพิกัด M 1 (- 3, 2, - 7) ไปยังระนาบพิกัด O x y z และระนาบที่กำหนดโดยสมการ 2 y - 5 = 0

สารละลาย

ระนาบพิกัด O y z สอดคล้องกับสมการในรูปแบบ x = 0 สำหรับระนาบ O y z มันเป็นเรื่องปกติ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องแทนที่ค่า x = - 3 ทางด้านซ้ายของนิพจน์และนำค่าสัมบูรณ์ของระยะทางจากจุดด้วยพิกัด M 1 (- 3, 2, - 7) ไปยังระนาบ เราได้ค่าเท่ากับ - 3 = 3

หลังการแปลง สมการปกติของระนาบ 2 y - 5 = 0 จะอยู่ในรูป y - 5 2 = 0 จากนั้นคุณสามารถค้นหาระยะทางที่ต้องการจากจุดด้วยพิกัด M 1 (- 3, 2, - 7) ถึงระนาบ 2 y - 5 = 0 การทดแทนและการคำนวณเราจะได้ 2 - 5 2 = 5 2 - 2

คำตอบ:ระยะทางที่ต้องการจาก M 1 (- 3, 2, - 7) ถึง O y z มีค่าเป็น 3 และถึง 2 y - 5 = 0 มีค่าเป็น 5 2 - 2

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

, การแข่งขัน "การนำเสนอบทเรียน"

ระดับ: 11

การนำเสนอสำหรับบทเรียน

กลับไปข้างหน้า

ความสนใจ! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้น และอาจไม่ได้แสดงถึงคุณลักษณะทั้งหมดของการนำเสนอ หากคุณสนใจ งานนี้กรุณาดาวน์โหลดเวอร์ชันเต็ม

เป้าหมาย:

ลักษณะทั่วไปและการจัดระบบความรู้และทักษะของนักเรียน
การพัฒนาทักษะในการวิเคราะห์ เปรียบเทียบ สรุปผล

อุปกรณ์:

เครื่องฉายมัลติมีเดีย
คอมพิวเตอร์;
แผ่นงานที่มีปัญหาข้อความ

ความก้าวหน้าของชั้นเรียน

I. ช่วงเวลาขององค์กร

ครั้งที่สอง ขั้นตอนการอัพเดตความรู้(สไลด์ 2)

เราทำซ้ำวิธีการกำหนดระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ

III. บรรยาย(สไลด์ 3-15)

ในชั้นเรียนเราจะดู วิธีต่างๆการหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ

วิธีแรก: การคำนวณทีละขั้นตอน

ระยะทางจากจุด M ถึงระนาบ α:
– เท่ากับระยะห่างถึงระนาบ α จากจุดใดก็ได้ P ที่วางอยู่บนเส้นตรง a ซึ่งผ่านจุด M และขนานกับระนาบ α
– เท่ากับระยะห่างถึงระนาบ α จากจุดใดก็ได้ P ที่วางอยู่บนระนาบ β ซึ่งผ่านจุด M และขนานกับระนาบ α

เราจะแก้ไขปัญหาต่อไปนี้:

№1. ในลูกบาศก์ A...D 1 หาระยะทางจากจุด C 1 ถึงระนาบ AB 1 C

ยังคงคำนวณค่าความยาวของส่วน O 1 N

№2. ในปริซึมหกเหลี่ยมปกติ A...F 1 ซึ่งขอบทั้งหมดเท่ากับ 1 ให้หาระยะห่างจากจุด A ถึงระนาบ DEA 1

วิธีถัดไป: วิธีปริมาตร.

หากปริมาตรของพีระมิด ABCM เท่ากับ V ดังนั้นระยะทางจากจุด M ถึงระนาบ α ที่มี ∆ABC จะถูกคำนวณโดยสูตร ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
เมื่อแก้ไขปัญหา เราใช้ปริมาตรที่เท่ากันของรูปหนึ่งซึ่งแสดงออกมาในสองวิธีที่แตกต่างกัน

มาแก้ไขปัญหาต่อไปนี้:

№3. ขอบ AD ของพีระมิด DABC ตั้งฉากกับระนาบฐาน ABC ค้นหาระยะทางจาก A ถึงระนาบที่ผ่านจุดกึ่งกลางของขอบ AB, AC และ AD ถ้า

เมื่อแก้ไขปัญหา วิธีการประสานงานระยะทางจากจุด M ถึงระนาบ α สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร ρ(M; α) = โดยที่ M(x 0; y 0; z 0) และระนาบจะได้รับจากสมการ ax + by + cz + d = 0

มาแก้ไขปัญหาต่อไปนี้:

№4. ในลูกบาศก์หน่วย A...D 1 ให้หาระยะห่างจากจุด A 1 ถึงระนาบ BDC 1

ขอแนะนำระบบพิกัดที่มีจุดเริ่มต้นที่จุด A แกน y จะวิ่งไปตามขอบ AB แกน x จะวิ่งไปตามขอบ AD และแกน z จะวิ่งไปตามขอบ AA 1 จากนั้นพิกัดของจุด B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
มาสร้างสมการสำหรับเครื่องบินที่ผ่านจุด B, D, C 1 กัน

จากนั้น – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0 ดังนั้น ρ =

วิธีการต่อไปนี้สามารถใช้เพื่อแก้ไขปัญหาได้ ประเภทนี้ – วิธี งานสนับสนุน.

แอปพลิเคชัน วิธีนี้ประกอบด้วยการประยุกต์ใช้ปัญหาอ้างอิงที่ทราบซึ่งกำหนดเป็นทฤษฎีบท

มาแก้ไขปัญหาต่อไปนี้:

№5. ในลูกบาศก์หน่วย A...D 1 ให้หาระยะทางจากจุด D 1 ถึงระนาบ AB 1 C

ลองพิจารณาใบสมัคร วิธีเวกเตอร์

№6. ในลูกบาศก์หน่วย A...D 1 ให้หาระยะทางจากจุด A 1 ถึงระนาบ BDC 1

ดังนั้นเราจึงดูวิธีการต่างๆ ที่สามารถใช้เพื่อแก้ไขปัญหาประเภทนี้ได้ การเลือกวิธีใดวิธีหนึ่งขึ้นอยู่กับงานเฉพาะและความชอบของคุณ

IV. งานกลุ่ม

ลองแก้ไขปัญหาด้วยวิธีต่างๆ

№1. ขอบของลูกบาศก์ A...D 1 เท่ากับ ค้นหาระยะทางจากจุดยอด C ถึงระนาบ BDC 1

№2. ในรูปทรงสี่หน้า ABCD ปกติที่มีขอบ ให้หาระยะห่างจากจุด A ถึงระนาบ BDC

№3. ในปริซึมสามเหลี่ยมปกติ ABCA 1 B 1 C 1 ขอบทุกด้านเท่ากับ 1 ให้หาระยะห่างจาก A ถึงระนาบ BCA 1

№4. ในพีระมิดรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนปกติ SABCD ขอบทุกด้านมีค่าเท่ากับ 1 ให้ค้นหาระยะห่างจาก A ถึงระนาบ SCD

V. สรุปบทเรียน การบ้านการสะท้อน

ให้เราพิจารณาระนาบที่แน่นอน π และจุดใดก็ได้ M 0 ในอวกาศ มาเลือกเครื่องบินกันดีกว่า เวกเตอร์ปกติของหน่วยและด้วย จุดเริ่มต้นณ จุดหนึ่ง M 1 ∈ π และให้ p(M 0 ,π) เป็นระยะทางจากจุด M 0 ถึงระนาบ π จากนั้น (รูปที่ 5.5)

р(М 0 ,π) = | ราคา M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)

ตั้งแต่ |n| = 1.

ถ้าให้ระนาบ π เข้าไป ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมพร้อมสมการทั่วไป Ax + By + Cz + D = 0 จากนั้นเวกเตอร์ปกติของมันคือเวกเตอร์ที่มีพิกัด (A; B; C) และเราสามารถเลือกได้

ให้ (x 0 ; y 0 ; z 0) และ (x 1 ; y 1 ; z 1) เป็นพิกัดของจุด M 0 และ M 1 . จากนั้นความเท่าเทียมกัน Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 ถือไว้เนื่องจากจุด M 1 เป็นของระนาบและสามารถหาพิกัดของเวกเตอร์ M 1 M 0 ได้: M 1 M 0 = (x 0 - x 1; y 0 -y 1 ; การบันทึก ผลิตภัณฑ์ดอทเราได้รับ nM 1 M 0 ในรูปแบบพิกัดและการแปลง (5.8)

เนื่องจาก Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D ดังนั้น ในการคำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ คุณจะต้องแทนที่พิกัดของจุดนั้นลงในสมการทั่วไปของระนาบ แล้วหารค่าสัมบูรณ์ของ ผลลัพธ์โดยปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานเท่ากับความยาวของเวกเตอร์ปกติที่สอดคล้องกัน

ให้มีเครื่องบิน - มาวาดแบบปกติกันเถอะ
ผ่านที่มาของพิกัด O. ให้
– มุมที่เกิดขึ้นจากเส้นปกติ ด้วยแกนพิกัด
- อนุญาต – ความยาวของส่วนปกติ
จนกระทั่งมันตัดกับเครื่องบิน สมมติว่าทราบทิศทางโคไซน์ของเส้นปกติ เราได้รับสมการของระนาบ .

อนุญาต
) เป็นจุดใดก็ได้บนเครื่องบิน เวกเตอร์ปกติของหน่วยมีพิกัด ลองหาเส้นโครงของเวกเตอร์กัน
ให้เป็นปกติ

ตั้งแต่จุด มเป็นของเครื่องบินแล้ว

นี่คือสมการของระนาบที่กำหนดเรียกว่า ปกติ .

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ

ให้เครื่องบินได้รับ ,ม*
– จุดในอวกาศ ง – ระยะทางจากเครื่องบิน

คำนิยาม. การเบี่ยงเบน คะแนน ม*จากเครื่องบินเรียกว่าหมายเลข ( + ง), ถ้า ม* อยู่อีกด้านหนึ่งของระนาบซึ่งมีทิศทางบวกของจุดปกติ และหมายเลข (- ง) หากจุดนั้นอยู่อีกด้านหนึ่งของระนาบ:

ทฤษฎีบท. ให้เครื่องบิน พร้อมตัวเครื่องปกติ ได้มาจากสมการปกติ:

อนุญาต ม*
– จุดเบี่ยงเบนในอวกาศ t. ม* จากระนาบจะได้รับจากนิพจน์

การพิสูจน์.การฉายภาพ
* เราแสดงตามปกติ ถาม. จุดเบี่ยงเบน ม*จากเครื่องบินก็เท่ากัน

กฎ.เพื่อค้นหา ส่วนเบี่ยงเบน ต. ม* จากระนาบ คุณต้องแทนที่พิกัด t ลงในสมการปกติของระนาบ ม* - ระยะห่างจากจุดหนึ่งถึงระนาบคือ .

การลดสมการระนาบทั่วไปให้อยู่ในรูปปกติ

ให้ระนาบเดียวกันถูกกำหนดโดยสองสมการ:

สมการทั่วไป

สมการปกติ

เนื่องจากสมการทั้งสองกำหนดระนาบเดียวกัน ค่าสัมประสิทธิ์จึงเป็นสัดส่วน:

ลองยกกำลังสองความเท่าเทียมกันสามรายการแรกแล้วบวกเข้าด้วยกัน:

จากนี้เราจะพบกับ – ปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐาน:

. (10)

โดยการคูณสมการทั่วไปของระนาบด้วยปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐาน เราจะได้สมการปกติของระนาบ:

ตัวอย่างปัญหาในหัวข้อ “เครื่องบิน”

ตัวอย่างที่ 1สร้างสมการของระนาบ ผ่านจุดที่กำหนด
(2,1,-1) และขนานกับระนาบ

สารละลาย- ปกติกับเครื่องบิน :
- เนื่องจากระนาบขนานกันจึงเป็นเส้นปกติ เป็นเรื่องปกติของระนาบที่ต้องการด้วย - เมื่อใช้สมการของเครื่องบินที่ผ่านจุดที่กำหนด (3) เราได้มาจากเครื่องบิน สมการ:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2ฐานของฉากตั้งฉากตกลงจากจุดกำเนิดไปยังระนาบ คือประเด็น
- ค้นหาสมการของระนาบ .

สารละลาย- เวกเตอร์
เป็นเรื่องปกติของเครื่องบิน - จุด ม 0 เป็นของเครื่องบิน คุณสามารถใช้สมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนด (3):

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 3สร้างเครื่องบิน ,ผ่านจุดต่างๆ

และตั้งฉากกับระนาบ :.

ดังนั้นในบางจุด ม (x, ย, z) อยู่ในเครื่องบิน จำเป็นต้องมีเวกเตอร์สามตัว
เป็นระนาบเดียวกัน:

=0.

ยังคงเปิดเผยดีเทอร์มิแนนต์และนำนิพจน์ผลลัพธ์มาสู่รูปสมการทั่วไป (1)

ตัวอย่างที่ 4เครื่องบิน ได้รับจากสมการทั่วไป:

ค้นหาส่วนเบี่ยงเบนจุด
จากเครื่องบินที่กำหนด

สารละลาย- ให้เรานำสมการของระนาบมาสู่รูปแบบปกติ

ให้เราแทนพิกัดของจุดลงในสมการปกติที่ได้ ม*.

คำตอบ:
.

ตัวอย่างที่ 5เครื่องบินตัดส่วนดังกล่าวหรือไม่?

สารละลาย- ที่จะตัด เอบีข้ามระนาบการเบี่ยงเบน และ จากเครื่องบิน จะต้องมีสัญญาณที่แตกต่างกัน:

ตัวอย่างที่ 6จุดตัดของเครื่องบินสามลำ ณ จุดหนึ่ง

ระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ดังนั้น ระนาบทั้งสามจึงมีจุดร่วมเพียงจุดเดียว

ตัวอย่างที่ 7การค้นหาเส้นแบ่งครึ่งของมุมไดฮีดรัลที่เกิดจากระนาบที่กำหนดสองระนาบ

อนุญาต และ -เบี่ยงเบนไปบางจุด
จากเครื่องบินลำแรกและลำที่สอง

บนระนาบเส้นแบ่งครึ่งอันใดอันหนึ่ง (ตรงกับมุมที่จุดกำเนิดของพิกัดอยู่) การเบี่ยงเบนเหล่านี้มีขนาดและเครื่องหมายเท่ากัน และอีกอันมีขนาดเท่ากันและมีเครื่องหมายตรงกันข้าม

นี่คือสมการของระนาบเส้นแบ่งครึ่งอันแรก

นี่คือสมการของระนาบเส้นแบ่งครึ่งอันที่สอง

ตัวอย่างที่ 8การกำหนดตำแหน่งของจุดที่กำหนดสองจุด และ สัมพันธ์กับมุมไดฮีดรัลที่เกิดจากระนาบเหล่านี้