“วิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้น” - สมการ การแสดงออก. วิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้น โซลูชั่น วิธีการทดแทน ตัวเลข. แก้ระบบ. เราจะพบมัน วิธีการบวก มาแก้ระบบกัน
“วิธีการแยกตัวประกอบ” - การลดเศษส่วนพีชคณิต แก้สมการ แยกตัวประกอบพหุนาม ตัวตน ผลลัพธ์หลัก แยกตัวประกอบพหุนามโดยใช้การรวมกัน ลองพิจารณาสถานการณ์อื่น ลองใช้การแยกตัวประกอบของพหุนามกัน. ตัวหารร่วมมากของสัมประสิทธิ์ แยกตัวประกอบพหุนามโดยใช้สูตร นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ การแยกตัวประกอบเป็นสิ่งที่มีประโยชน์
““ปริญญา” ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7” - แก้สมการ หา K ในสมการ โดยนำเสนอเป็นกำลัง คำนวณ. หมายเลข 625 การนับปากเปล่า จงเขียนนิพจน์เป็นกำลังโดยมีฐานเป็น 7 เขียนให้อยู่ในรูปมาตรฐาน คุณสมบัติของระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ สมการกับโมดูลัส แก้ไขปัญหา. หมายเลข 64 ความคืบหน้าของบทเรียน. วัตถุประสงค์ของบทเรียน หมายเลข 729 งานทดสอบ.
“ รูปแบบมาตรฐานของ monomial” - อ่านสำนวน ลองใช้กฎการสลับและกฎการเชื่อมโยงของการคูณกัน บนกระดาน ผลคูณของตัวเลข คิดว่ามันเป็นปริญญา ระดับของ monomial เรียกว่าอะไร? การรวมวัสดุใหม่ เลขชี้กำลัง ราคาต่อรอง การรวมบัญชี การปฏิบัติงาน เอกพจน์ กรอกตาราง ทักษะการใช้คอมพิวเตอร์ของนักเรียน ทำงานอิสระ. ดูอย่างระมัดระวัง Monomial และรูปแบบมาตรฐาน
“คุณสมบัติของปริญญาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ” - Epigraph ของบทเรียน กรณีของการยกกำลัง เรื่องราว. วัฒนธรรมทางกายภาพ ชีววิทยา. คุณสมบัติของระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ แสดงการแสดงออกเป็นพลัง บทบรรณาธิการ. พีทาโกรัส ภูมิศาสตร์. สื่อการสอนถูกทำซ้ำในชั้นเรียน ยิมนาสติกแห่งจิตใจ
““ การคูณพหุนาม” ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7” - คูณพหุนามด้วยพหุนาม การคูณพหุนาม การบ้าน. วัตถุประสงค์ของบทเรียน อัลกอริทึมสำหรับการคูณพหุนาม การคูณพหุนามด้วยโมโนเมียล กฎ. บทเรียนในหัวข้อ “การคูณพหุนาม” ทำงานตามสมุดปัญหา งานช่องปาก.
ลองพิจารณาหัวข้อของการเปลี่ยนแปลงการแสดงออกด้วยพลัง แต่ก่อนอื่นเรามาดูการเปลี่ยนแปลงจำนวนหนึ่งที่สามารถทำได้ด้วยการแสดงออกใด ๆ รวมถึงพลังด้วย เราจะได้เรียนรู้วิธีเปิดวงเล็บ เพิ่มคำศัพท์ที่คล้ายกัน ทำงานกับฐานและเลขชี้กำลัง และใช้คุณสมบัติของกำลัง
ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1
ในหลักสูตรของโรงเรียน มีเพียงไม่กี่คนที่ใช้วลี "สำนวนอันทรงพลัง" แต่คำนี้พบเห็นได้ทั่วไปในคอลเล็กชันสำหรับการเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State ในกรณีส่วนใหญ่ วลีหมายถึงสำนวนที่มีระดับอยู่ในรายการ นี่คือสิ่งที่เราจะสะท้อนให้เห็นในคำจำกัดความของเรา
คำจำกัดความ 1
การแสดงออกถึงพลังเป็นสำนวนที่มีพลัง
ขอให้เรายกตัวอย่างนิพจน์ยกกำลังโดยเริ่มจากยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติและลงท้ายด้วยยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังจริง
นิพจน์กำลังที่ง่ายที่สุดถือได้ว่าเป็นกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + ก 2, x 3 − 1 , (ก 2) 3 . และยังยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังเป็นศูนย์: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0 และกำลังที่มีกำลังเป็นจำนวนเต็มลบ: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2
มันจะยากขึ้นอีกเล็กน้อยในการทำงานกับระดับที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเหตุเป็นผลและไม่ลงตัว: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 ก - 1 6 · ข 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .
ตัวบ่งชี้สามารถเป็นตัวแปร 3 x - 54 - 7 3 x - 58 หรือลอการิทึม x 2 · ลิตร กรัม x − 5 · x ลิตร กรัม x.
เราได้จัดการกับคำถามที่ว่าการแสดงออกถึงอำนาจคืออะไร ตอนนี้เรามาเริ่มแปลงพวกมันกันดีกว่า
ก่อนอื่น เราจะดูที่การเปลี่ยนแปลงเอกลักษณ์พื้นฐานของการแสดงออกที่สามารถทำได้ด้วยการแสดงออกทางอำนาจ
ตัวอย่างที่ 1
คำนวณค่าของนิพจน์ยกกำลัง 2 3 (4 2 - 12).
สารละลาย
เราจะดำเนินการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดตามลำดับการกระทำ ในกรณีนี้เราจะเริ่มต้นด้วยการดำเนินการในวงเล็บ: เราจะแทนที่ระดับด้วยค่าดิจิทัลและคำนวณผลต่างของตัวเลขสองตัว เรามี 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.
สิ่งที่เราต้องทำคือเปลี่ยนปริญญา 2 3 ความหมายของมัน 8 และคำนวณผลิตภัณฑ์ 8 4 = 32- นี่คือคำตอบของเรา
คำตอบ: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .
ตัวอย่างที่ 2
ลดความซับซ้อนของนิพจน์ด้วยยกกำลัง 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.
สารละลาย
สำนวนที่ให้ไว้ในโจทย์ปัญหามีคำศัพท์ที่คล้ายกันซึ่งเราสามารถให้ได้: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.
คำตอบ: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1
ตัวอย่างที่ 3
แสดงนิพจน์ที่มีกำลัง 9 - b 3 · π - 1 2 เป็นผลคูณ
สารละลาย
ลองนึกภาพเลข 9 ว่าเป็นเลขยกกำลัง 3 2 และใช้สูตรคูณแบบย่อ:
9 - ข 3 π - 1 2 = 3 2 - ข 3 π - 1 2 = = 3 - ข 3 π - 1 3 + ข 3 π - 1
คำตอบ: 9 - ข 3 · π - 1 2 = 3 - ข 3 · π - 1 3 + ข 3 · π - 1 .
ตอนนี้เรามาดูการวิเคราะห์การเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ที่สามารถนำไปใช้กับการแสดงออกทางอำนาจโดยเฉพาะ
ระดับในฐานหรือเลขชี้กำลังสามารถมีตัวเลข ตัวแปร และนิพจน์บางอย่างได้ ตัวอย่างเช่น, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7และ - การทำงานกับบันทึกดังกล่าวเป็นเรื่องยาก การแทนที่นิพจน์ในฐานของดีกรีหรือนิพจน์ในเลขชี้กำลังด้วยนิพจน์ที่เท่ากันนั้นง่ายกว่ามาก
การแปลงระดับและเลขชี้กำลังดำเนินการตามกฎที่เรารู้จักแยกจากกัน สิ่งที่สำคัญที่สุดคือการเปลี่ยนแปลงส่งผลให้มีการแสดงออกที่เหมือนกันกับต้นฉบับ
วัตถุประสงค์ของการแปลงคือเพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ดั้งเดิมหรือรับวิธีแก้ไขปัญหา ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างที่เราให้ไว้ข้างต้น (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 คุณสามารถทำตามขั้นตอนเพื่อไปยังระดับ 4 , 1 1 , 3 - เมื่อเปิดวงเล็บ เราก็สามารถนำเสนอพจน์ที่คล้ายกันที่ฐานของกำลังได้ (ก · (ก + 1) − ก 2) 2 · (x + 1)และได้รับการแสดงออกถึงพลังในรูปแบบที่เรียบง่ายกว่า 2 (x + 1).
คุณสมบัติของกำลังซึ่งเขียนในรูปของความเท่าเทียมกันถือเป็นเครื่องมือหลักอย่างหนึ่งในการแปลงนิพจน์ด้วยกำลัง เรานำเสนอสิ่งสำคัญที่นี่โดยคำนึงถึงสิ่งนั้น กและ ขเป็นจำนวนบวกใดๆ และ รและ ส- จำนวนจริงตามอำเภอใจ:
คำจำกัดความ 2
ในกรณีที่เรากำลังจัดการกับเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม และค่าบวก ข้อจำกัดเกี่ยวกับตัวเลข a และ b อาจจะเข้มงวดน้อยกว่ามาก ตัวอย่างเช่น ถ้าเราพิจารณาถึงความเท่าเทียมกัน เป็น ม · n = เป็น ม + n, ที่ไหน มและ nเป็นจำนวนธรรมชาติ จากนั้นมันจะเป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของ a ทั้งบวกและลบรวมถึงสำหรับด้วย ก = 0.
คุณสมบัติของกำลังสามารถใช้งานได้โดยไม่มีข้อ จำกัด ในกรณีที่ฐานของกำลังเป็นบวกหรือมีตัวแปรที่มีช่วงของค่าที่อนุญาตเพื่อให้ฐานรับเฉพาะค่าบวกเท่านั้น ในความเป็นจริง ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน หน้าที่ของนักเรียนคือการเลือกคุณสมบัติที่เหมาะสมและนำไปใช้อย่างถูกต้อง
เมื่อเตรียมตัวเข้ามหาวิทยาลัย คุณอาจประสบปัญหาซึ่งการใช้คุณสมบัติที่ไม่ถูกต้องจะนำไปสู่การจำกัด DL และปัญหาอื่น ๆ ในการแก้ไข ในส่วนนี้เราจะพิจารณาเพียงสองกรณีดังกล่าวเท่านั้น ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้สามารถพบได้ในหัวข้อ “การแปลงนิพจน์โดยใช้คุณสมบัติของกำลัง”
ตัวอย่างที่ 4
ลองจินตนาการถึงการแสดงออก ก 2 , 5 (ก 2) − 3: ก − 5 , 5ในรูปของอำนาจที่มีฐาน ก.
สารละลาย
ขั้นแรก เราใช้คุณสมบัติของการยกกำลังและแปลงตัวประกอบที่สองโดยใช้มัน (ก 2) - 3- จากนั้นเราใช้คุณสมบัติของการคูณและการหารยกกำลังที่มีฐานเดียวกัน:
a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = ก 2 .
คำตอบ: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2
การแปลงการแสดงออกทางอำนาจตามคุณสมบัติของกำลังสามารถทำได้ทั้งจากซ้ายไปขวาและในทิศทางตรงกันข้าม
ตัวอย่างที่ 5
จงหาค่าของนิพจน์กำลัง 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3
สารละลาย
หากเราใช้ความเท่าเทียมกัน (ก · ข) r = ร · ข rจากขวาไปซ้าย เราได้ผลลัพธ์ในรูปแบบ 3 · 7 1 3 · 21 2 3 แล้ว 21 1 3 · 21 2 3 ลองบวกเลขชี้กำลังเมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21
มีวิธีอื่นในการดำเนินการเปลี่ยนแปลง:
3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21
คำตอบ: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21
ตัวอย่างที่ 6
ด้วยการแสดงออกถึงพลัง 1, 5 − 0, 5 − 6ให้ป้อนตัวแปรใหม่ เสื้อ = ก 0.5.
สารละลาย
ลองจินตนาการถึงปริญญา เอ 1, 5ยังไง ก 0.5 3- การใช้สมบัติขององศาต่อองศา (มี r) s = มี r · sจากขวาไปซ้ายและเราได้ (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6 = (a 0 , 5) 3 − a 0 , 5 − 6 คุณสามารถแนะนำตัวแปรใหม่ให้กับนิพจน์ผลลัพธ์ได้อย่างง่ายดาย เสื้อ = ก 0.5: เราได้รับ เสื้อ 3 − เสื้อ − 6.
คำตอบ:เสื้อ 3 − เสื้อ − 6 .
โดยปกติเราจะจัดการกับนิพจน์ยกกำลังที่มีเศษส่วนสองเวอร์ชัน ได้แก่ นิพจน์แทนเศษส่วนที่มีกำลังหรือมีเศษส่วนดังกล่าว การแปลงเศษส่วนพื้นฐานทั้งหมดใช้ได้กับนิพจน์ดังกล่าวโดยไม่มีข้อจำกัด พวกมันสามารถลดทอน หารด้วยตัวส่วนใหม่ หรือแยกกันโดยใช้ตัวเศษและตัวส่วนก็ได้ เรามาอธิบายเรื่องนี้ด้วยตัวอย่างกัน
ตัวอย่างที่ 7
ลดความซับซ้อนของนิพจน์ยกกำลัง 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2
สารละลาย
เรากำลังจัดการกับเศษส่วน ดังนั้นเราจะทำการแปลงทั้งตัวเศษและตัวส่วน:
3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2
วางเครื่องหมายลบไว้หน้าเศษส่วนเพื่อเปลี่ยนเครื่องหมายตัวส่วน: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2
คำตอบ: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2
เศษส่วนที่มีกำลังจะลดลงเป็นตัวส่วนใหม่ในลักษณะเดียวกับเศษส่วนตรรกยะ ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องค้นหาตัวประกอบเพิ่มเติมและคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย จำเป็นต้องเลือกปัจจัยเพิ่มเติมในลักษณะที่ไม่ไปที่ศูนย์สำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปรจากตัวแปร ODZ สำหรับนิพจน์ดั้งเดิม
ตัวอย่างที่ 8
ลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนใหม่: a) a + 1 a 0, 7 ถึงตัวส่วนใหม่ ก, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 ถึงตัวส่วน x + 8 · y 1 2 .
สารละลาย
ก) มาเลือกปัจจัยที่จะช่วยให้เราลดตัวส่วนใหม่ได้ 0, 7 0, 3 = 0, 7 + 0, 3 = ก,ดังนั้นเราจึงจะต้องคำนึงถึงปัจจัยเพิ่มเติม 0 , 3- ช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร a รวมถึงชุดของจำนวนจริงบวกทั้งหมด ปริญญาในสาขานี้ 0 , 3ไม่ได้ไปที่ศูนย์
ลองคูณทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย 0 , 3:
ก + 1 ก 0, 7 = ก + 1 ก 0, 3 ก 0, 7 ก 0, 3 = ก + 1 ก 0, 3 ก
b) ให้ความสนใจกับตัวส่วน:
x 2 3 - 2 x 1 3 ปี 1 6 + 4 ปี 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 ปี 1 6 + 2 ปี 1 6 2
ลองคูณนิพจน์นี้ด้วย x 1 3 + 2 · y 1 6 เราจะได้ผลรวมของลูกบาศก์ x 1 3 และ 2 · y 1 6 เช่น x + 8 · ปี 1 2 . นี่คือตัวส่วนใหม่ที่เราจะต้องลดเศษส่วนเดิมลงไป.
นี่คือวิธีที่เราพบปัจจัยเพิ่มเติม x 1 3 + 2 · y 1 6 . อยู่ในช่วงค่าที่อนุญาตของตัวแปร xและ ยนิพจน์ x 1 3 + 2 y 1 6 จะไม่หายไปดังนั้นเราจึงสามารถคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนได้:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 ปี 1 6 + 4 ปี 1 3 = = x 1 3 + 2 ปี 1 6 x 1 3 + 2 ปี 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 ปี 1 6 + 4 ปี 1 3 = = x 1 3 + 2 ปี 1 6 x 1 3 3 + 2 ปี 1 6 3 = x 1 3 + 2 ปี 1 6 x + 8 ปี 1 2
คำตอบ:ก) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 ปี 1 6 + 4 ปี 1 3 = x 1 3 + 2 ปี 1 6 x + 8 · ปี 1 2 .
ตัวอย่างที่ 9
ลดเศษส่วน: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - ข 1 4 1 2 - ข 1 2.
สารละลาย
ก) เราใช้ตัวส่วนร่วมมาก (GCD) ซึ่งเราสามารถลดตัวเศษและส่วนได้ สำหรับหมายเลข 30 และ 45 คือ 15 เราก็สามารถลดได้ด้วย x0.5+1และบน x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .
เราได้รับ:
30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)
b) การปรากฏตัวของปัจจัยที่เหมือนกันที่นี่ไม่ชัดเจน คุณจะต้องทำการแปลงบางอย่างเพื่อให้ได้ตัวประกอบในตัวเศษและส่วนเท่ากัน ในการทำเช่นนี้ เราขยายตัวส่วนโดยใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง:
ก 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - ข 1 4 = 1 ถึง 1 4 + ข 1 4
คำตอบ:ก) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , ข) ก 1 4 - ข 1 4 ก 1 2 - ข 1 2 = 1 ก 1 4 + ข 1 4 .
การดำเนินการพื้นฐานเกี่ยวกับเศษส่วน ได้แก่ การแปลงเศษส่วนเป็นตัวส่วนใหม่และการลดเศษส่วน การกระทำทั้งสองดำเนินการตามกฎหลายข้อ เมื่อบวกและลบเศษส่วน อันดับแรกเศษส่วนจะถูกลดให้เป็นตัวส่วนร่วม หลังจากนั้นจึงดำเนินการ (บวกหรือลบ) ด้วยตัวเศษ ตัวส่วนยังคงเหมือนเดิม ผลลัพธ์ของการกระทำของเราคือเศษส่วนใหม่ ซึ่งตัวเศษเป็นผลคูณของตัวเศษ และตัวส่วนเป็นผลคูณของตัวส่วน
ตัวอย่างที่ 10
ทำตามขั้นตอน x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .
สารละลาย
เริ่มต้นด้วยการลบเศษส่วนที่อยู่ในวงเล็บ ลองนำมาเป็นตัวส่วนร่วม:
x 1 2 - 1 x 1 2 + 1
ลองลบตัวเศษ:
x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2
ตอนนี้เราคูณเศษส่วน:
4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2
มาลดพลังกันเถอะ x 1 2เราจะได้ 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .
นอกจากนี้ คุณยังสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ยกกำลังในตัวส่วนโดยใช้ผลต่างของสูตรกำลังสอง: กำลังสอง: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1
คำตอบ: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1
ตัวอย่างที่ 11
ลดความซับซ้อนของนิพจน์กฎกำลัง x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3
สารละลาย
เราสามารถลดเศษส่วนได้ (x 2 , 7 + 1) 2- เราได้เศษส่วน x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1
มาแปลงกำลังของ x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 กันต่อ ตอนนี้คุณสามารถใช้คุณสมบัติของการหารยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .
เราย้ายจากผลคูณสุดท้ายไปเป็นเศษส่วน x 1 3 8 x 2, 7 + 1
คำตอบ: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.
ในกรณีส่วนใหญ่ จะสะดวกกว่าในการถ่ายโอนแฟกเตอร์ที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบจากตัวเศษไปยังตัวส่วนและด้านหลัง โดยเปลี่ยนเครื่องหมายของเลขชี้กำลัง การดำเนินการนี้ช่วยให้คุณตัดสินใจได้ง่ายขึ้น ลองยกตัวอย่าง: นิพจน์ยกกำลัง (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 สามารถแทนที่ด้วย x 3 · (x + 1) 0, 2
ในปัญหาต่างๆ มีนิพจน์ยกกำลังที่ไม่เพียงแต่มีเลขยกกำลังที่เป็นเศษส่วนเท่านั้น แต่ยังมีรากด้วย ขอแนะนำให้ลดการแสดงออกดังกล่าวเฉพาะกับรากหรือเฉพาะกับพลังเท่านั้น การไปเรียนต่อปริญญาจะดีกว่าเพราะทำงานง่ายกว่า การเปลี่ยนแปลงนี้เหมาะกว่าเป็นพิเศษเมื่อ ODZ ของตัวแปรสำหรับนิพจน์ดั้งเดิมช่วยให้คุณสามารถแทนที่รากด้วยกำลังโดยไม่จำเป็นต้องเข้าถึงโมดูลัสหรือแยก ODZ ออกเป็นหลายๆ ช่วง
ตัวอย่างที่ 12
เขียนนิพจน์ x 1 9 · x · x 3 6 เป็นรูปยกกำลัง
สารละลาย
ช่วงของค่าตัวแปรที่อนุญาต xถูกกำหนดโดยอสมการสองประการ x ≥ 0และ x x 3 ≥ 0 ซึ่งกำหนดเซต [ 0 , + ∞) .
ในชุดนี้เรามีสิทธิ์ที่จะย้ายจากรากไปสู่พลัง:
x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6
การใช้คุณสมบัติของกำลัง เราทำให้การแสดงออกพลังงานผลลัพธ์ง่ายขึ้น
x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3
คำตอบ: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .
การแปลงเหล่านี้ทำได้ค่อนข้างง่ายหากคุณใช้คุณสมบัติของดีกรีอย่างถูกต้อง ตัวอย่างเช่น, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.
เราสามารถแทนที่ด้วยผลคูณของกำลัง ซึ่งเลขชี้กำลังคือผลรวมของตัวแปรบางตัวและตัวเลข ทางด้านซ้ายสามารถทำได้โดยใช้เงื่อนไขแรกและเงื่อนไขสุดท้ายของด้านซ้ายของนิพจน์:
5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0
ทีนี้ลองหารทั้งสองข้างของความเท่าเทียมกันด้วย 7 2 x- นิพจน์สำหรับตัวแปร x นี้รับเฉพาะค่าบวกเท่านั้น:
5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0
ลองลดเศษส่วนด้วยกำลัง เราจะได้: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0
ในที่สุด อัตราส่วนของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเท่ากันจะถูกแทนที่ด้วยกำลังของอัตราส่วน ส่งผลให้สมการ 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 ซึ่งเท่ากับ 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .
ให้เราแนะนำตัวแปรใหม่ t = 5 7 x ซึ่งจะลดคำตอบของสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลเดิมลงเป็นคำตอบของสมการกำลังสอง 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0
นิพจน์ที่มีพลังและลอการิทึมก็พบได้ในปัญหาเช่นกัน ตัวอย่างของนิพจน์ดังกล่าวคือ: 1 4 1 - 5 · บันทึก 2 3 หรือ บันทึก 3 27 9 + 5 (1 - บันทึก 3 5) · บันทึก 5 3 การแปลงนิพจน์ดังกล่าวดำเนินการโดยใช้แนวทางและคุณสมบัติของลอการิทึมที่กล่าวถึงข้างต้น ซึ่งเราได้พูดคุยกันโดยละเอียดในหัวข้อ "การแปลงนิพจน์ลอการิทึม"
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
นิพจน์การแปลงนิพจน์
ในบทความนี้ เราจะพูดถึงการแปลงนิพจน์ที่มีพลัง อันดับแรก เราจะเน้นที่การแปลงที่ดำเนินการด้วยนิพจน์ใดๆ รวมถึงนิพจน์ที่ยกกำลัง เช่น วงเล็บเปิดและการนำคำที่คล้ายกันมาใช้ จากนั้นเราจะวิเคราะห์การแปลงที่มีอยู่ในนิพจน์ที่มีองศาโดยเฉพาะ เช่น การทำงานกับฐานและเลขชี้กำลัง โดยใช้คุณสมบัติขององศา เป็นต้น
การนำทางหน้า
คำว่า "การแสดงออกถึงอำนาจ" ในทางปฏิบัติไม่ปรากฏในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ของโรงเรียน แต่ปรากฏค่อนข้างบ่อยในคอลเลกชันของปัญหา โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่มีไว้สำหรับการเตรียมสอบ Unified State และ Unified State Exam เป็นต้น หลังจากวิเคราะห์งานที่จำเป็นในการดำเนินการใดๆ ด้วยการแสดงออกถึงอำนาจ จะเห็นได้ชัดว่าการแสดงออกถึงอำนาจนั้นถูกเข้าใจว่าเป็นการแสดงออกที่มีพลังในรายการของพวกเขา ดังนั้น คุณสามารถยอมรับคำจำกัดความต่อไปนี้ได้ด้วยตนเอง:
คำนิยาม.
การแสดงออกถึงพลังเป็นสำนวนที่มีพลัง
ให้กันเถอะ ตัวอย่างการแสดงออกถึงอำนาจ- นอกจากนี้ เราจะนำเสนอตามพัฒนาการของมุมมองจากดีกรีที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติไปจนถึงดีกรีที่มีเลขชี้กำลังจริงเกิดขึ้นได้อย่างไร
ดังที่ทราบกันดีอยู่แล้ว ขั้นแรกจะทำความคุ้นเคยกับกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ ในขั้นนี้ นิพจน์ยกกำลังที่ง่ายที่สุดประเภท 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) 4, 3 a 2 ปรากฏ −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 เป็นต้น
หลังจากนั้นไม่นาน จะมีการศึกษากำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม ซึ่งนำไปสู่การปรากฏของนิพจน์กำลังที่มีกำลังจำนวนเต็มลบ ดังต่อไปนี้: 3 −2, 
, a −2 +2 b −3 +c 2 .
ในโรงเรียนมัธยมปลายพวกเขากลับไปสู่ระดับปริญญา มีการแนะนำระดับที่มีเลขชี้กำลังเชิงตรรกยะซึ่งนำมาซึ่งลักษณะของการแสดงออกทางอำนาจที่สอดคล้องกัน: 
, , 
ฯลฯ ในที่สุด องศาที่มีเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัวและนิพจน์ที่มีพวกมันจะได้รับการพิจารณา: , .
เรื่องนี้ไม่ได้จำกัดอยู่เพียงนิพจน์กำลังที่ระบุไว้: ตัวแปรจะแทรกเข้าไปในเลขชี้กำลังเพิ่มเติม และตัวอย่าง นิพจน์ต่อไปนี้เกิดขึ้น: 2 x 2 +1 หรือ 
- และหลังจากทำความคุ้นเคยกับ นิพจน์ที่มีกำลังและลอการิทึมก็เริ่มปรากฏขึ้น เช่น x 2·lgx −5·x lgx
ดังนั้นเราจึงต้องจัดการกับคำถามที่ว่าการแสดงออกถึงอำนาจหมายถึงอะไร ต่อไปเราจะเรียนรู้ที่จะเปลี่ยนแปลงพวกเขา
ด้วยนิพจน์กำลัง คุณสามารถดำเนินการแปลงข้อมูลประจำตัวพื้นฐานของนิพจน์ใดก็ได้ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถเปิดวงเล็บ แทนที่นิพจน์ตัวเลขด้วยค่าของมัน เพิ่มคำที่คล้ายกัน เป็นต้น โดยปกติแล้วในกรณีนี้จำเป็นต้องปฏิบัติตามขั้นตอนที่ยอมรับในการดำเนินการ ลองยกตัวอย่าง
ตัวอย่าง.
คำนวณค่านิพจน์ยกกำลัง 2 3 ·(4 2 −12)
สารละลาย.
ตามลำดับการดำเนินการ ให้ดำเนินการในวงเล็บก่อน อันดับแรกเราแทนที่กำลัง 4 2 ด้วยค่าของมัน 16 (หากจำเป็น โปรดดู) และประการที่สอง เราคำนวณความแตกต่าง 16−12=4 เรามี 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.
ในนิพจน์ผลลัพธ์ เราจะแทนที่กำลัง 2 3 ด้วยค่าของมันคือ 8 หลังจากนั้นเราคำนวณผลคูณ 8·4=32 นี่คือค่าที่ต้องการ
ดังนั้น, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.
คำตอบ:
2 3 ·(4 2 −12)=32.
ตัวอย่าง.
ลดความซับซ้อนของนิพจน์ด้วยพลัง 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.
สารละลาย.
แน่นอนว่า สำนวนนี้มีคำศัพท์ที่คล้ายกัน 3·a 4 ·b −7 และ 2·a 4 ·b −7 และเราสามารถนำเสนอได้:
คำตอบ:
3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.
ตัวอย่าง.
แสดงการแสดงออกที่มีอำนาจเป็นผลิตภัณฑ์
สารละลาย.
คุณสามารถรับมือกับงานได้โดยแสดงเลข 9 เป็นกำลังของ 3 2 จากนั้นใช้สูตรการคูณแบบย่อ - ผลต่างของกำลังสอง: 
คำตอบ:
นอกจากนี้ยังมีการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันจำนวนหนึ่งซึ่งมีอยู่ในการแสดงออกทางอำนาจโดยเฉพาะ เราจะวิเคราะห์เพิ่มเติม
มีพลังที่ฐานและ/หรือเลขยกกำลังไม่ใช่แค่ตัวเลขหรือตัวแปร แต่ยังมีบางนิพจน์ด้วย ตามตัวอย่าง เราใส่ค่า (2+0.3·7) 5−3.7 และ (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1)
เมื่อทำงานกับนิพจน์ดังกล่าว คุณสามารถแทนที่ทั้งนิพจน์ในฐานของดีกรีและนิพจน์ในเลขชี้กำลังด้วยนิพจน์ที่เท่ากันใน ODZ ของตัวแปร กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตามกฎที่เราทราบ เราสามารถแยกการแปลงฐานของดีกรีและแยกเลขยกกำลังออกจากกัน เป็นที่ชัดเจนว่าจากการเปลี่ยนแปลงนี้จะได้รับการแสดงออกที่เหมือนกันกับต้นฉบับ
การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวช่วยให้เราสามารถลดความซับซ้อนของการแสดงออกด้วยพลังหรือบรรลุเป้าหมายอื่นๆ ที่เราต้องการ ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์ยกกำลังที่กล่าวถึงข้างต้น (2+0.3 7) 5−3.7 คุณสามารถดำเนินการกับตัวเลขในฐานและเลขชี้กำลังได้ ซึ่งจะช่วยให้คุณสามารถเลื่อนไปยกกำลัง 4.1 1.3 ได้ และหลังจากเปิดวงเล็บแล้วนำพจน์ที่คล้ายกันมาไว้ที่ฐานของดีกรี (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) เราจะได้นิพจน์กำลังที่มีรูปแบบง่ายกว่า a 2·(x+1) ) .
หนึ่งในเครื่องมือหลักในการเปลี่ยนแปลงการแสดงออกด้วยพลังคือความเท่าเทียมกันที่สะท้อนให้เห็น ให้เราจำหลักๆ สำหรับจำนวนบวก a และ b และจำนวนจริงใดๆ r และ s ใดๆ คุณสมบัติของกำลังต่อไปนี้จะเป็นจริง:
โปรดทราบว่าสำหรับเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม และบวก ข้อจำกัดเกี่ยวกับตัวเลข a และ b อาจไม่เข้มงวดมากนัก ตัวอย่างเช่น สำหรับจำนวนธรรมชาติ m และ n ความเท่าเทียมกัน a m ·a n =a m+n เป็นจริงไม่เพียงแต่สำหรับบวก a เท่านั้น แต่ยังสำหรับลบ a และสำหรับ a=0 ด้วย
ที่โรงเรียน เมื่อเปลี่ยนการแสดงออกทางอำนาจ จุดสนใจหลักคือความสามารถในการเลือกคุณสมบัติที่เหมาะสมและนำไปใช้อย่างถูกต้อง ในกรณีนี้ ฐานขององศามักจะเป็นค่าบวก ซึ่งทำให้สามารถใช้คุณสมบัติขององศาได้โดยไม่มีข้อจำกัด เช่นเดียวกับการเปลี่ยนแปลงนิพจน์ที่มีตัวแปรในฐานของกำลัง - ช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปรมักจะเป็นเช่นนั้นซึ่งฐานจะใช้เฉพาะค่าบวกเท่านั้นซึ่งช่วยให้คุณสามารถใช้คุณสมบัติของกำลังได้อย่างอิสระ . โดยทั่วไปคุณต้องถามตัวเองอยู่เสมอว่าในกรณีนี้เป็นไปได้หรือไม่ที่จะใช้คุณสมบัติขององศาใด ๆ เนื่องจากการใช้คุณสมบัติที่ไม่ถูกต้องอาจนำไปสู่การลดคุณค่าทางการศึกษาและปัญหาอื่น ๆ ประเด็นเหล่านี้จะกล่าวถึงโดยละเอียดพร้อมตัวอย่างในบทความ การแปลงนิพจน์โดยใช้คุณสมบัติขององศา ที่นี่เราจะจำกัดตัวเองให้พิจารณาตัวอย่างง่ายๆ สองสามตัวอย่าง
ตัวอย่าง.
เขียนนิพจน์ a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 เป็นกำลังที่มีฐาน a
สารละลาย.
ขั้นแรก เราแปลงปัจจัยที่สอง (a 2) −3 โดยใช้คุณสมบัติของการเพิ่มกำลังเป็นยกกำลัง: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6- การแสดงออกยกกำลังดั้งเดิมจะอยู่ในรูปแบบ 2.5 ·a −6:a −5.5 แน่นอนว่าเรายังคงใช้คุณสมบัติการคูณและการหารยกกำลังที่มีฐานเดียวกันอยู่
ก 2.5 ·ก −6:a −5.5 =
ก 2.5−6:a −5.5 =a −3.5:a −5.5 =
ก −3.5−(−5.5) =a 2
คำตอบ:
a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 =a 2.
คุณสมบัติของพลังเมื่อแปลงนิพจน์พลังจะใช้ทั้งจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้าย
ตัวอย่าง.
ค้นหาค่าของการแสดงออกยกกำลัง
สารละลาย.
ความเท่าเทียมกัน (a·b) r =a r ·b r ใช้จากขวาไปซ้าย ช่วยให้เราสามารถย้ายจากนิพจน์ดั้งเดิมไปสู่ผลคูณของแบบฟอร์มและต่อไป และเมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะรวมกันเป็น: 
.
เป็นไปได้ที่จะแปลงการแสดงออกดั้งเดิมด้วยวิธีอื่น: 
คำตอบ:
.
ตัวอย่าง.
เมื่อพิจารณานิพจน์ยกกำลัง 1.5 −a 0.5 −6 ให้แนะนำตัวแปรใหม่ t=a 0.5
สารละลาย.
ยกกำลัง a 1.5 สามารถแสดงเป็น 0.5·3 จากนั้นขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของระดับของกำลัง (a r) s =a r·s เมื่อใส่จากขวาไปซ้าย ให้แปลงเป็นรูปแบบ (a 0.5) 3 . ดังนั้น, ก 1.5 −ก 0.5 −6=(ก 0.5) 3 −ก 0.5 −6- ตอนนี้เป็นเรื่องง่ายที่จะแนะนำตัวแปรใหม่ t=a 0.5 เราได้ t 3 −t−6
คำตอบ:
เสื้อ 3 −t−6 .
นิพจน์ยกกำลังสามารถมีหรือแสดงเศษส่วนด้วยกำลังได้ การแปลงเศษส่วนขั้นพื้นฐานใดๆ ที่มีอยู่ในเศษส่วนชนิดใดก็ตามสามารถนำไปใช้กับเศษส่วนดังกล่าวได้อย่างสมบูรณ์ นั่นคือเศษส่วนที่มีกำลังสามารถลดลง ลดเหลือตัวส่วนใหม่ ทำงานแยกกันโดยมีตัวเศษและแยกกันกับตัวส่วน เป็นต้น เพื่ออธิบายคำเหล่านี้ ให้พิจารณาวิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างต่างๆ
ตัวอย่าง.
ลดความซับซ้อนของการแสดงออกถึงพลัง 
.
สารละลาย.
การแสดงออกยกกำลังนี้เป็นเศษส่วน ลองใช้ตัวเศษและส่วนของมันกัน. ในตัวเศษเราจะเปิดวงเล็บและทำให้นิพจน์ผลลัพธ์ง่ายขึ้นโดยใช้คุณสมบัติของกำลังและในตัวส่วนเราจะนำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกัน: 
และลองเปลี่ยนเครื่องหมายของตัวส่วนโดยใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าเศษส่วน: 
.
คำตอบ:
.
การลดเศษส่วนที่มีพลังให้กับตัวส่วนใหม่นั้นจะดำเนินการในลักษณะเดียวกันกับการลดเศษส่วนที่เป็นตรรกยะให้ตัวส่วนใหม่ ในกรณีนี้ จะพบปัจจัยเพิ่มเติมและตัวเศษและส่วนของเศษส่วนจะถูกคูณด้วย เมื่อดำเนินการนี้ ควรจำไว้ว่าการลดตัวส่วนใหม่อาจทำให้ VA แคบลงได้ เพื่อป้องกันไม่ให้สิ่งนี้เกิดขึ้น จำเป็นที่ปัจจัยเพิ่มเติมจะต้องไม่เป็นศูนย์สำหรับค่าใดๆ ของตัวแปรจากตัวแปร ODZ สำหรับนิพจน์ดั้งเดิม
ตัวอย่าง.
ลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนใหม่: a) เป็นตัวส่วน a, b) 
ถึงตัวส่วน
สารละลาย.
ก) ในกรณีนี้ มันค่อนข้างง่ายที่จะพิจารณาว่าตัวคูณเพิ่มเติมตัวใดที่ช่วยให้ได้ผลลัพธ์ตามที่ต้องการ นี่คือตัวคูณของ 0.3 เนื่องจาก 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a โปรดทราบว่าในช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร a (นี่คือเซตของจำนวนจริงบวกทั้งหมด) กำลังของ 0.3 จะไม่หายไป ดังนั้นเราจึงมีสิทธิ์ที่จะคูณตัวเศษและส่วนของค่าที่กำหนด เศษส่วนตามปัจจัยเพิ่มเติมนี้: 
b) เมื่อพิจารณาตัวส่วนให้ละเอียดยิ่งขึ้น คุณจะพบว่า 
และการคูณนิพจน์นี้ด้วยจะให้ผลรวมของลูกบาศก์ และ นั่นคือ . และนี่คือตัวส่วนใหม่ที่เราจะต้องลดเศษส่วนเดิมลงไป.
นี่คือวิธีที่เราพบปัจจัยเพิ่มเติม ในช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร x และ y นิพจน์จะไม่หายไปดังนั้นเราจึงสามารถคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนได้: 
คำตอบ:
ก) 
, ข) 
.
ไม่มีอะไรใหม่ในการลดเศษส่วนที่มีพลัง: ตัวเศษและส่วนจะแสดงเป็นจำนวนตัวประกอบ และตัวประกอบเดียวกันของตัวเศษและตัวส่วนจะลดลง
ตัวอย่าง.
ลดเศษส่วน: ก) 
, ข) .
สารละลาย.
ก) ประการแรก ตัวเศษและส่วนสามารถลดจำนวนลงได้ 30 และ 45 ซึ่งเท่ากับ 15 เห็นได้ชัดว่าเป็นไปได้ที่จะลดลง x 0.5 +1 และทีละ 
- นี่คือสิ่งที่เรามี: 
b) ในกรณีนี้ จะไม่เห็นตัวประกอบในตัวเศษและส่วนที่เหมือนกันในทันที เพื่อให้ได้มาคุณจะต้องทำการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น ในกรณีนี้ ประกอบด้วยการแยกตัวประกอบตัวส่วนโดยใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง: 
คำตอบ:
ก) 
ข) 
.
การแปลงเศษส่วนเป็นตัวส่วนใหม่และเศษส่วนตัวลดมักใช้ในการทำเศษส่วน การดำเนินการจะดำเนินการตามกฎที่ทราบ เมื่อบวก (ลบ) เศษส่วน เศษส่วนจะถูกลดให้เหลือตัวส่วนร่วม หลังจากนั้นตัวเศษจะถูกบวก (ลบ) แต่ตัวส่วนยังคงเท่าเดิม ผลลัพธ์ที่ได้คือเศษส่วนที่ตัวเศษเป็นผลคูณของตัวเศษ และตัวส่วนเป็นผลคูณของตัวส่วน การหารด้วยเศษส่วนคือการคูณด้วยการผกผัน
ตัวอย่าง.
ทำตามขั้นตอน 
.
สารละลาย.
ขั้นแรก เราลบเศษส่วนในวงเล็บ ในการทำสิ่งนี้ เรานำพวกมันมาเป็นตัวส่วนร่วมซึ่งก็คือ 
หลังจากนั้นเราก็ลบตัวเศษ: 
ตอนนี้เราคูณเศษส่วน: 
แน่นอน มันเป็นไปได้ที่จะลดลงยกกำลัง x 1/2 หลังจากนั้นเราก็ได้ 
.
คุณยังสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ยกกำลังในตัวส่วนได้โดยใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง: 
.
คำตอบ:
ตัวอย่าง.
ลดความซับซ้อนของการแสดงออกถึงพลัง 
.
สารละลาย.
แน่นอนว่าเศษส่วนนี้สามารถลดลงได้ (x 2.7 +1) 2 ซึ่งจะได้เศษส่วน 
- เห็นได้ชัดว่าจำเป็นต้องทำอย่างอื่นด้วยกำลังของ X ในการทำเช่นนี้ เราจะแปลงเศษส่วนผลลัพธ์ให้เป็นผลคูณ นี่ทำให้เรามีโอกาสที่จะใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติของการแบ่งอำนาจที่มีฐานเดียวกัน: 
- และในตอนท้ายของกระบวนการ เราย้ายจากผลคูณสุดท้ายไปเป็นเศษส่วน.
คำตอบ:
.
และให้เราเพิ่มเติมด้วยว่าเป็นไปได้ และในหลายกรณี เป็นเรื่องที่พึงประสงค์ในการโอนแฟกเตอร์ที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบจากตัวเศษไปยังตัวส่วน หรือจากตัวส่วนเป็นตัวเศษ โดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของเลขชี้กำลัง การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวมักจะทำให้การดำเนินการเพิ่มเติมง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น นิพจน์ยกกำลังสามารถแทนที่ได้ด้วย
บ่อยครั้ง ในนิพจน์ที่จำเป็นต้องมีการแปลงบางอย่าง รากที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนก็ปรากฏพร้อมกับยกกำลังด้วย หากต้องการแปลงการแสดงออกให้เป็นรูปแบบที่ต้องการ ในกรณีส่วนใหญ่ ไปที่รากหรือเฉพาะพลังเท่านั้นก็เพียงพอแล้ว แต่เนื่องจากสะดวกกว่าในการทำงานกับพลัง พวกเขาจึงมักจะย้ายจากรากไปสู่พลัง อย่างไรก็ตาม ขอแนะนำให้ดำเนินการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเมื่อ ODZ ของตัวแปรสำหรับนิพจน์ดั้งเดิมอนุญาตให้คุณแทนที่รากด้วยกำลังโดยไม่จำเป็นต้องอ้างอิงถึงโมดูลหรือแยก ODZ ออกเป็นหลายช่วง (เราได้กล่าวถึงรายละเอียดในเรื่องนี้แล้ว การเปลี่ยนบทความจากรากไปสู่พลังและด้านหลัง หลังจากทำความคุ้นเคยกับดีกรีด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะแล้ว ก็มีการแนะนำดีกรีด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว ซึ่งช่วยให้เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับปริญญาด้วยเลขชี้กำลังจริงตามอำเภอใจ ในขั้นตอนนี้ มันเริ่มที่จะเป็น เรียนที่โรงเรียน ฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งได้รับการวิเคราะห์โดยยกกำลัง ฐานเป็นตัวเลข และเลขยกกำลังเป็นตัวแปร ดังนั้นเราจึงต้องเผชิญกับนิพจน์กำลังที่มีตัวเลขอยู่ในฐานของกำลังและในเลขชี้กำลัง - นิพจน์ที่มีตัวแปรและโดยธรรมชาติแล้วความจำเป็นในการแปลงนิพจน์ดังกล่าวจะเกิดขึ้น
ควรจะกล่าวว่าเมื่อทำการแก้ไขจะต้องทำการเปลี่ยนแปลงนิพจน์ประเภทที่ระบุ สมการเลขชี้กำลังและ อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลและการแปลงเหล่านี้ค่อนข้างง่าย ในกรณีส่วนใหญ่อย่างล้นหลาม พวกมันจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของปริญญาและมีเป้าหมายส่วนใหญ่ในการแนะนำตัวแปรใหม่ในอนาคต สมการจะทำให้เราสามารถสาธิตพวกมันได้ 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.
ประการแรก กำลังซึ่งอยู่ในเลขยกกำลังซึ่งก็คือผลรวมของตัวแปรบางตัว (หรือนิพจน์ที่มีตัวแปร) และตัวเลข จะถูกแทนที่ด้วยผลคูณ สิ่งนี้ใช้กับเงื่อนไขแรกและสุดท้ายของนิพจน์ทางด้านซ้าย:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.
ต่อไปความเท่าเทียมกันทั้งสองด้านจะถูกหารด้วยนิพจน์ 7 2 x ซึ่งใน ODZ ของตัวแปร x สำหรับสมการดั้งเดิมจะใช้เฉพาะค่าบวก (นี่เป็นเทคนิคมาตรฐานสำหรับการแก้สมการประเภทนี้เราไม่ได้ พูดถึงมันตอนนี้ ดังนั้นให้มุ่งเน้นไปที่การเปลี่ยนแปลงนิพจน์ที่ตามมาด้วยพลัง ): 
ตอนนี้เราสามารถหักล้างเศษส่วนด้วยยกกำลังซึ่งให้ได้ 
.
ในที่สุด อัตราส่วนของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเท่ากันจะถูกแทนที่ด้วยกำลังของความสัมพันธ์ ทำให้เกิดสมการขึ้นมา 
ซึ่งเทียบเท่ากัน 
- การแปลงที่ทำขึ้นทำให้เราแนะนำตัวแปรใหม่ ซึ่งจะช่วยลดการแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลเดิมไปเป็นการแก้สมการกำลังสอง
