เทศบาล สถาบันการศึกษา
“ Saltykovskaya รอง โรงเรียนมัธยมศึกษา
เขต Rtishchevsky ภูมิภาค Saratov"
ชั้นเรียนปริญญาโทสาขาคณิตศาสตร์
ในเกรด 11
ในหัวข้อ
“อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ในการใช้งาน"
ดำเนินการโดยครูคณิตศาสตร์
เบโลกลาโซวา แอล.เอส.
2012-2013 ปีการศึกษา
วัตถุประสงค์ของคลาสมาสเตอร์ : พัฒนาทักษะของผู้เรียนในการประยุกต์ความรู้ทางทฤษฎีในหัวข้อ “อนุพันธ์ของฟังก์ชัน” เพื่อแก้ปัญหาการสอบรวมรัฐ
งาน
ทางการศึกษา: สรุปและจัดระบบความรู้ของนักเรียนในหัวข้อ
“อนุพันธ์ของฟังก์ชัน” พิจารณาต้นแบบของปัญหาการสอบ Unified State ในหัวข้อนี้ เปิดโอกาสให้นักเรียนทดสอบความรู้โดยการแก้ปัญหาอย่างอิสระ
ทางการศึกษา:ส่งเสริมการพัฒนาความจำ ความสนใจ ความนับถือตนเอง และทักษะการควบคุมตนเอง การก่อตัวของความสามารถหลักขั้นพื้นฐาน (การเปรียบเทียบ การตีข่าว การจำแนกวัตถุ การกำหนดวิธีที่เพียงพอในการแก้ปัญหางานการศึกษาตามอัลกอริทึมที่กำหนด ความสามารถในการดำเนินการอย่างอิสระในสถานการณ์ที่ไม่แน่นอน ติดตามและประเมินกิจกรรมของตน ค้นหาและกำจัดสาเหตุ ของความยากลำบาก)
ทางการศึกษา:ส่งเสริม:
การพัฒนาทัศนคติที่รับผิดชอบต่อการเรียนรู้ของนักเรียน
การพัฒนาความสนใจทางคณิตศาสตร์อย่างยั่งยืน
สร้างแรงจูงใจภายในที่ดีต่อการเรียนคณิตศาสตร์
เทคโนโลยี: การเรียนรู้ที่แตกต่างเป็นรายบุคคล ICT
วิธีการสอน: วาจา ภาพ การปฏิบัติ ปัญหา
รูปแบบการทำงาน:บุคคล, หน้าผาก, เป็นคู่
อุปกรณ์และสื่อการสอน:โปรเจ็กเตอร์, หน้าจอ, คอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลสำหรับนักเรียนแต่ละคน, เครื่องจำลอง (ภาคผนวกที่ 1)การนำเสนอสำหรับบทเรียน (ภาคผนวกหมายเลข 2)การ์ดที่แตกต่างเป็นรายบุคคลสำหรับ งานอิสระเป็นคู่ (ภาคผนวกหมายเลข 3)รายชื่อเว็บไซต์อินเทอร์เน็ต การบ้านแยกเป็นรายบุคคล (ภาคผนวกหมายเลข 4)
คำอธิบายสำหรับคลาสมาสเตอร์ชั้นเรียนปริญญาโทนี้จัดขึ้นในชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 เพื่อเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State มุ่งประยุกต์ใช้เนื้อหาทางทฤษฎีในหัวข้อ “อนุพันธ์ของฟังก์ชัน” ในการแก้ปัญหาข้อสอบ
ระยะเวลาของคลาสมาสเตอร์– 30 นาที
โครงสร้างระดับปริญญาโท
I. ช่วงเวลาขององค์กร -1 นาที
II . ข้อความของหัวข้อเป้าหมายของชั้นเรียนปริญญาโทแรงจูงใจในกิจกรรมการศึกษา - 1 นาที
III. งานหน้าผาก. การฝึกอบรม “งาน B8 การสอบ Unified State” การวิเคราะห์การทำงานกับเครื่องจำลอง - 6 นาที
IV.Individually - การทำงานที่แตกต่างเป็นคู่ โซลูชันอิสระปัญหา B14 การทบทวนโดยผู้ทรงคุณวุฒิ - 7 นาที
วี. ตรวจการบ้านของแต่ละคน ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์ C5 ของการสอบ Unified State
3 นาที
VI.On – การทดสอบบรรทัด การวิเคราะห์ผลการทดสอบ - 9 นาที
ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว ทีละราย - การบ้านที่แตกต่าง -1 นาที
VIII เกรดบทเรียน - 1 นาที
ทรงเครื่อง สรุปบทเรียน การสะท้อนกลับ -1 นาที
ความก้าวหน้าของคลาสมาสเตอร์
ฉัน . ช่วงเวลาขององค์กร
ครั้งที่สอง .ข้อความของหัวข้อเป้าหมายของชั้นเรียนปริญญาโทแรงจูงใจในกิจกรรมการศึกษา
(สไลด์ 1-2 ภาคผนวกหมายเลข 2)
หัวข้อบทเรียนของเราคือ “อนุพันธ์ของฟังก์ชันใน งานสอบ Unified State- ใครๆ ก็รู้จักคำพูดที่ว่า “เล็กก็เล็กแต่แพง” หนึ่งใน "สปูลวาล์ว" ในทางคณิตศาสตร์คืออนุพันธ์ อนุพันธ์นี้ใช้ในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติมากมายในวิชาคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ เคมี เศรษฐศาสตร์ และสาขาวิชาอื่นๆ ช่วยให้คุณแก้ไขปัญหาต่างๆ ได้อย่างง่ายดาย สวยงาม และน่าสนใจ
หัวข้อ "อนุพันธ์" นำเสนอในงานของส่วน B (B8, B14) ของการสอบแบบครบวงจร ปัญหา C5 บางอย่างสามารถแก้ไขได้โดยใช้อนุพันธ์ แต่การแก้ปัญหาเหล่านี้ต้องอาศัยการฝึกอบรมทางคณิตศาสตร์ที่ดีและความคิดสร้างสรรค์
คุณทำงานกับเอกสารที่ควบคุมโครงสร้างและเนื้อหาของวัสดุการวัดการควบคุมของการสอบแบบครบวงจรในวิชาคณิตศาสตร์ปี 2013 สรุปว่าคุณต้องมีความรู้และทักษะอะไรบ้างในการแก้ปัญหา USE ในหัวข้อ “อนุพันธ์” ให้ประสบความสำเร็จ.
(สไลด์ 3-4 ภาคผนวกหมายเลข 2)
เรา ศึกษา“เครื่องแปลงรหัส องค์ประกอบเนื้อหาในวิชาคณิตศาสตร์เพื่อการเตรียมวัสดุการวัดการควบคุมสำหรับการสอบ Unified State”
“ผู้กำหนดข้อกำหนดสำหรับระดับการฝึกอบรมของผู้สำเร็จการศึกษา”“ข้อมูลจำเพาะ ควบคุมวัสดุการวัด",“เวอร์ชั่นสาธิตควบคุมวัสดุการวัดของการสอบสหพันธรัฐปี 2556” และค้นพบ ความรู้และทักษะเกี่ยวกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จำเป็นในการแก้ปัญหาในหัวข้อ "อนุพันธ์" ได้สำเร็จ
สามารถที่จะ
ดำเนินการกับฟังก์ชัน (อธิบายพฤติกรรมและคุณสมบัติของฟังก์ชันโดยใช้กราฟ ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุด)
ใช้
ได้รับความรู้และทักษะในกิจกรรมภาคปฏิบัติและชีวิตประจำวัน
คุณมีความรู้ทางทฤษฎีในหัวข้อ “อนุพันธ์” วันนี้เราจะเรียนรู้การนำความรู้เกี่ยวกับฟังก์ชันอนุพันธ์มาใช้เพื่อแก้ไขปัญหาการใช้งาน ( สไลด์ที่ 4 ภาคผนวกหมายเลข 2)
มันไม่ใช่โดยไม่มีเหตุผล อริสโตเติลกล่าวไว้อย่างนั้น “จิตใจไม่เพียงแต่อยู่ในความรู้เท่านั้น แต่ยังอยู่ในความสามารถในการนำความรู้ไปใช้ในทางปฏิบัติด้วย”( สไลด์ 5 ภาคผนวกหมายเลข 2)
ในตอนท้ายของบทเรียน เราจะกลับไปสู่เป้าหมายของบทเรียนของเราและดูว่าเราทำสำเร็จหรือไม่?
III - งานหน้าผาก. การฝึกอบรม “งาน B8 การสอบ Unified State” (ภาคผนวกที่ 1) . การวิเคราะห์งานด้วยเครื่องจำลอง
เลือกคำตอบที่ถูกต้องจากทั้งสี่ข้อที่เสนอ
ในความเห็นของคุณ อะไรคือความยากในการทำภารกิจ B8 ให้สำเร็จ?
คุณคิดอย่างไร ข้อผิดพลาดทั่วไปอนุญาตให้บัณฑิตเข้าสอบเพื่อแก้ไขปัญหานี้ได้หรือไม่?
เมื่อตอบคำถามในงาน B8 คุณควรจะสามารถอธิบายพฤติกรรมและคุณสมบัติของฟังก์ชันโดยใช้กราฟอนุพันธ์ และพฤติกรรมและคุณสมบัติของฟังก์ชันอนุพันธ์โดยใช้กราฟฟังก์ชันได้ และสำหรับสิ่งนี้ คุณต้องมีความรู้ทางทฤษฎีที่ดีในหัวข้อต่อไปนี้: “ความหมายทางเรขาคณิตและเชิงกลของอนุพันธ์ แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน การประยุกต์อนุพันธ์ในการศึกษาฟังก์ชัน”
วิเคราะห์งานใดที่ทำให้คุณลำบาก?
ประเด็นทางทฤษฎีใดบ้างที่คุณจำเป็นต้องรู้?
IV. เป็นรายบุคคล - การทำงานที่แตกต่างเป็นคู่ การแก้ปัญหาอิสระ Q14 เพียร์รีวิว (ภาคผนวกที่ 3)
จำอัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหา (B14 Unified State Exam) เพื่อค้นหาจุดสุดขีด, สุดขีดของฟังก์ชัน, ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาโดยใช้อนุพันธ์
แก้ปัญหาโดยใช้อนุพันธ์
นักเรียนจะได้รับปัญหา:
“ลองคิดดู เป็นไปได้ไหมที่จะแก้ไขปัญหาบางอย่างในบี 14 ด้วยวิธีอื่นโดยไม่ต้องใช้อนุพันธ์”
1คู่(Lucyanova D. , Gavryushina D. )
1)B14. ค้นหาจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน y = 10x-ln (x+9)+6
2)B14.หา มูลค่าสูงสุดฟังก์ชั่นย =
- พยายามแก้ไขปัญหาที่สองด้วยสองวิธี
2คู่(Saninskaya T. , Sazanov A. )
1)B14.ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน y=(x-10) บนส่วน
2)B14. ค้นหาจุดสูงสุดของฟังก์ชัน y= - 
(นักเรียนปกป้องวิธีแก้ปัญหาของตนเองโดยจดขั้นตอนหลักของการแก้ปัญหาไว้บนกระดาน นักเรียน 1 คู่ (Lucyanova D. , Gavryushina D. )ให้สองวิธีในการแก้ปัญหาข้อที่ 2)
การแก้ไขปัญหา ข้อสรุปที่นักเรียนควรทำ:
“ปัญหา B14 Unified State Exam บางประการในการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันสามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องใช้อนุพันธ์ โดยอาศัยคุณสมบัติของฟังก์ชัน”
วิเคราะห์ว่าคุณทำผิดพลาดอะไรในงาน?
คุณต้องทบทวนคำถามเชิงทฤษฎีอะไรบ้าง
วี. ตรวจการบ้านของแต่ละคน ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์ C5 (USE) ( สไลด์ 7-8 ภาคผนวกหมายเลข 2)
Lukyanova K. ได้รับการบ้านเป็นการส่วนตัว: จากหนังสือเรียนเพื่อเตรียมสอบ Unified State เลือกปัญหาด้วยพารามิเตอร์ (C5) และแก้ไขโดยใช้อนุพันธ์
(นักเรียนจัดเตรียมวิธีแก้ปัญหาโดยอาศัยวิธีฟังก์ชันกราฟิกซึ่งเป็นหนึ่งในวิธีการแก้ปัญหา C5 ของการสอบ Unified State และให้ คำอธิบายสั้น ๆวิธีนี้)
ความรู้ใดบ้างเกี่ยวกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จำเป็นในการแก้ปัญหา C5 Unified State Examination
V I. การทดสอบออนไลน์สำหรับงาน B8, B14 การวิเคราะห์ผลการทดสอบ
เว็บไซต์สำหรับทดสอบในชั้นเรียน:
ใครไม่เคยทำผิดบ้าง?
ใครมีปัญหาในการทดสอบ? ทำไม
มีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นในงานใดบ้าง?
สรุปประเด็นทางทฤษฎีใดบ้างที่คุณต้องรู้
วี ฉัน. การบ้านที่แตกต่างเฉพาะบุคคล
(สไลด์ 9 ใบสมัครหมายเลข 2), (ภาคผนวกหมายเลข 4)
ฉันได้เตรียมรายชื่อเว็บไซต์อินเทอร์เน็ตสำหรับการเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State คุณยังสามารถเยี่ยมชมเว็บไซต์เหล่านี้เกี่ยวกับn – เส้นการทดสอบ สำหรับบทเรียนถัดไป คุณต้อง: 1) ทำซ้ำเนื้อหาทางทฤษฎีในหัวข้อ "อนุพันธ์ของฟังก์ชัน";
2) บนเว็บไซต์ " เปิดธนาคารงานคณิตศาสตร์" ( ) ค้นหาต้นแบบของงาน B8 และ B14 และแก้ไขปัญหาอย่างน้อย 10 ข้อ
3) Lukyanova K. , Gavryushina D. แก้ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์ นักเรียนที่เหลือควรแก้ปัญหาข้อ 1-8 (ตัวเลือก 1)
หกครั้งที่สอง คะแนนบทเรียน
คุณจะให้ตัวเองเกรดเท่าไหร่สำหรับบทเรียน?
คุณคิดว่าคุณจะทำได้ดีกว่านี้ในชั้นเรียนหรือไม่ เพราะเหตุใด
ทรงเครื่อง สรุปบทเรียน การสะท้อนกลับ
มาสรุปผลงานของเรากันดีกว่า จุดประสงค์ของบทเรียนคืออะไร? คุณคิดว่ามันประสบความสำเร็จหรือไม่?
ดูที่กระดานและในหนึ่งประโยค เลือกส่วนต้นของวลี ดำเนินการต่อประโยคที่เหมาะกับคุณที่สุด
ฉันรู้สึก...
ฉันเรียนรู้...
ฉันทำ...
ฉันสามารถ...
ฉันจะลอง…
ฉันรู้สึกประหลาดใจที่ …
ฉันต้องการ...
คุณบอกได้ไหมว่าในระหว่างบทเรียนความรู้ของคุณเพิ่มขึ้น?
คุณได้ทวนคำถามทางทฤษฎีเกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันแล้ว ใช้ความรู้ของพวกเขาเมื่อแก้ไขต้นแบบของงาน Unified State Examination (B8, B14) และ Lukyanova K. ทำงาน C5 ให้สำเร็จด้วยพารามิเตอร์ซึ่งเป็นงานที่มีความซับซ้อนเพิ่มขึ้น
เรารู้สึกยินดีเป็นอย่างยิ่งที่ได้ร่วมงานกับคุณและ ฉันหวังว่าคุณจะสามารถใช้ความรู้ที่ได้รับในบทเรียนคณิตศาสตร์ได้สำเร็จไม่เพียงแต่เมื่อผ่านการสอบ Unified State แต่ยังรวมถึงการศึกษาในอนาคตของคุณด้วย
ฉันอยากจะจบบทเรียนด้วยคำพูดของนักปรัชญาชาวอิตาลี โทมัส อไควนัส“ความรู้เป็นสิ่งที่ล้ำค่ามาก ซึ่งการได้รับมาจากแหล่งใดๆ ก็ไม่มีความละอายเลย” (สไลด์ 10 ภาคผนวกหมายเลข 2)
ฉันขอให้คุณประสบความสำเร็จในการเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State!
ชั้นเรียนปริญญาโทสาขาคณิตศาสตร์
ในเกรด 11
ในหัวข้อ
“อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ในการใช้งาน"
ครูคณิตศาสตร์
มาร์ตีเนนโก อี.เอ็น.
ปีการศึกษา 2560-2561
วัตถุประสงค์ของคลาสมาสเตอร์: พัฒนาทักษะของนักเรียนการประยุกต์ความรู้ทางทฤษฎีหัวข้อ “อนุพันธ์ของฟังก์ชัน” เพื่อแก้ปัญหาการสอบสถานะรวม
งาน
ทางการศึกษา:สรุปและจัดระบบความรู้ของนักเรียนในหัวข้อ
“อนุพันธ์ของฟังก์ชัน” พิจารณาต้นแบบของปัญหาการสอบ Unified State ในหัวข้อนี้ เปิดโอกาสให้นักเรียนทดสอบความรู้โดยการแก้ปัญหาอย่างอิสระ
ทางการศึกษา: ส่งเสริมการพัฒนาความจำ ความสนใจ ความนับถือตนเอง และทักษะการควบคุมตนเอง การก่อตัวของความสามารถหลักขั้นพื้นฐาน (การเปรียบเทียบ การตีข่าว การจำแนกวัตถุ การกำหนดวิธีที่เพียงพอในการแก้ปัญหางานการศึกษาตามอัลกอริทึมที่กำหนด ความสามารถในการดำเนินการอย่างอิสระในสถานการณ์ที่ไม่แน่นอน ติดตามและประเมินกิจกรรมของตน ค้นหาและกำจัดสาเหตุ ของความยากลำบาก)
ทางการศึกษา: ส่งเสริม:
การสร้างทัศนคติที่รับผิดชอบต่อการเรียนรู้ของนักเรียน
การพัฒนาความสนใจทางคณิตศาสตร์อย่างยั่งยืน
สร้างแรงจูงใจภายในที่ดีต่อการเรียนคณิตศาสตร์
เทคโนโลยี : การเรียนรู้ที่แตกต่างเป็นรายบุคคล ICT
วิธีการสอน: วาจา ภาพ การปฏิบัติ ปัญหา
รูปแบบการทำงาน: บุคคล, หน้าผาก, เป็นคู่
อุปกรณ์และสื่อการสอน:โปรเจ็กเตอร์, หน้าจอ, คอมพิวเตอร์ส่วนบุคคล, เครื่องจำลอง(ภาคผนวกที่ 1) การนำเสนอสำหรับบทเรียน(ภาคผนวกหมายเลข 2) เป็นรายบุคคล - การ์ดที่แตกต่างสำหรับงานอิสระเป็นคู่(ภาคผนวกหมายเลข 3) รายชื่อเว็บไซต์อินเทอร์เน็ต การบ้านแยกเป็นรายบุคคล(ภาคผนวกหมายเลข 4)
คำอธิบายสำหรับคลาสมาสเตอร์
ชั้นเรียนปริญญาโทนี้จัดขึ้นในชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 เพื่อเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State มุ่งประยุกต์ใช้เนื้อหาทางทฤษฎีในหัวข้อ “อนุพันธ์ของฟังก์ชัน” ในการแก้ปัญหาข้อสอบ
ระยะเวลาของคลาสมาสเตอร์– 20 นาที
โครงสร้างระดับปริญญาโท
I. ช่วงเวลาขององค์กร -1 นาที
II. ข้อความของหัวข้อ เป้าหมายของชั้นเรียน แรงจูงใจในกิจกรรมการศึกษา - 1 นาที
III. งานหน้าผาก. การฝึกอบรม “งานหมายเลข 14 ฐาน หมายเลข 7 ใช้โปรไฟล์” การวิเคราะห์การทำงานกับเครื่องจำลอง - 7 นาที
IV.Individually - การทำงานที่แตกต่างเป็นคู่ การแก้ปัญหาอย่างเป็นอิสระหมายเลข 12 (โปรไฟล์) การทบทวนโดยผู้ทรงคุณวุฒิ - 9 นาที การทดสอบออนไลน์ (BASE) การวิเคราะห์ผลการทดสอบ - 8 นาที
V. ตรวจการบ้านของแต่ละคน -1 นาที
วี. ทีละราย - การบ้านที่แตกต่าง -1 นาที
ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว การทดสอบการควบคุม 20 นาที (4 ตัวเลือก)
ความก้าวหน้าของคลาสมาสเตอร์
ฉัน . ช่วงเวลาขององค์กร
ครั้งที่สอง .ข้อความของหัวข้อเป้าหมายของชั้นเรียนปริญญาโทแรงจูงใจในกิจกรรมการศึกษา
(สไลด์ 1-2 ภาคผนวกหมายเลข 2)
หัวข้อของบทเรียนของเราคือ "อนุพันธ์ของฟังก์ชันในงาน Unified State Examination" ใครๆ ก็รู้จักคำพูดที่ว่า “เล็กก็เล็กแต่แพง” หนึ่งใน "สปูลวาล์ว" ในทางคณิตศาสตร์คืออนุพันธ์ อนุพันธ์นี้ใช้ในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติมากมายในวิชาคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ เคมี เศรษฐศาสตร์ และสาขาวิชาอื่นๆ ช่วยให้คุณแก้ไขปัญหาต่างๆ ได้อย่างง่ายดาย สวยงาม และน่าสนใจ
หัวข้อ "อนุพันธ์" นำเสนอในงานหมายเลข 14 ของระดับพื้นฐานและในงานของโปรไฟล์ระดับ 7, 12, 18 และการสอบแบบครบวงจร
คุณทำงานกับเอกสารที่ควบคุมโครงสร้างและเนื้อหาของวัสดุการวัดการควบคุมของการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ปี 2018 สรุปเกี่ยวกับความรู้และทักษะที่คุณต้องการในการแก้ปัญหา Unified State Examination ในหัวข้อ "อนุพันธ์" ได้สำเร็จ
(สไลด์ 3-4 ภาคผนวกหมายเลข 2)
คุณเคยเรียน “ตัวเข้ารหัสองค์ประกอบเนื้อหาในวิชาคณิตศาสตร์สำหรับการรวบรวมวัสดุการวัดการควบคุมสำหรับการสอบ Unified State”
“ตัวประมวลข้อกำหนดสำหรับระดับการฝึกอบรมของผู้สำเร็จการศึกษา”, “ข้อกำหนดของวัสดุการวัดการควบคุม”, “รุ่นสาธิตของวัสดุการวัดการควบคุมของการสอบแบบรวมรัฐปี 2018” และค้นพบ ความรู้และทักษะเกี่ยวกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จำเป็นในการแก้ปัญหาในหัวข้อ "อนุพันธ์" ได้สำเร็จ
จำเป็น
กฎการคำนวณอนุพันธ์
อนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้น
ความหมายทางเรขาคณิตและฟิสิกส์ของอนุพันธ์
สมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน
การศึกษาฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์ของมัน
ดำเนินการกับฟังก์ชัน (อธิบายพฤติกรรมและคุณสมบัติของฟังก์ชันโดยใช้กราฟ ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุด)
ได้รับความรู้และทักษะในกิจกรรมภาคปฏิบัติและชีวิตประจำวัน
คุณมีความรู้ทางทฤษฎีในหัวข้อ “อนุพันธ์” วันนี้เราจะเรียนรู้การนำความรู้เกี่ยวกับฟังก์ชันอนุพันธ์มาใช้เพื่อแก้ไขปัญหาการใช้งาน(สไลด์ที่ 4 ภาคผนวกหมายเลข 2)
มันไม่ใช่โดยไม่มีเหตุผล อริสโตเติลกล่าวไว้อย่างนั้น“จิตใจไม่เพียงแต่อยู่ในความรู้เท่านั้น แต่ยังอยู่ในความสามารถในการนำความรู้ไปใช้ในทางปฏิบัติด้วย”(สไลด์ 5 ภาคผนวกหมายเลข 2)
ในตอนท้ายของบทเรียน เราจะกลับไปสู่เป้าหมายของบทเรียนของเราและดูว่าเราทำสำเร็จหรือไม่?
III - งานหน้าผาก.การฝึกอบรม “งานหมายเลข 14 ฐานหมายเลข 7 ใช้โปรไฟล์” (ภาคผนวกที่ 1) การวิเคราะห์งานด้วยเครื่องจำลอง
เลือกคำตอบที่ถูกต้องจากทั้งสี่ข้อที่เสนอ
ในความเห็นของคุณ อะไรคือความยากในการทำภารกิจที่ 7 ให้สำเร็จ?
คุณคิดว่าข้อผิดพลาดทั่วไปที่ผู้สำเร็จการศึกษาทำในการสอบเมื่อแก้ไขปัญหานี้คืออะไร
เมื่อตอบคำถามในงานมอบหมายหมายเลข 14 BASE และหมายเลข 7 PROFILE คุณควรจะสามารถอธิบายพฤติกรรมและคุณสมบัติของฟังก์ชันโดยใช้กราฟของอนุพันธ์ และพฤติกรรมและคุณสมบัติของฟังก์ชันอนุพันธ์โดยใช้กราฟของฟังก์ชัน . และสำหรับสิ่งนี้ คุณต้องมีความรู้ทางทฤษฎีที่ดีในหัวข้อต่อไปนี้: “ความหมายทางเรขาคณิตและเชิงกลของอนุพันธ์ แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน การประยุกต์อนุพันธ์ในการศึกษาฟังก์ชัน”
วิเคราะห์งานใดที่ทำให้คุณลำบาก?
ประเด็นทางทฤษฎีใดบ้างที่คุณจำเป็นต้องรู้?
IV. การทดสอบออนไลน์สำหรับงานหมายเลข 14 (BASE)การวิเคราะห์ผลการทดสอบ
เว็บไซต์สำหรับทดสอบในชั้นเรียน:http://www.mathb-ege.sdamgia.ru/
ใครไม่เคยทำผิดบ้าง?
ใครมีปัญหาในการทดสอบ? ทำไม
มีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นในงานใดบ้าง?
สรุปประเด็นทางทฤษฎีใดบ้างที่คุณต้องรู้
เป็นรายบุคคล - การทำงานที่แตกต่างเป็นคู่ การแก้ปัญหาอิสระหมายเลข 12 (ประวัติโดยย่อ)เพียร์รีวิว(ภาคผนวกที่ 3)
จำอัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาหมายเลข 12 ของการสอบ Unified State เพื่อค้นหาจุดสุดขีด, สุดขีดของฟังก์ชัน, ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาโดยใช้อนุพันธ์
แก้ปัญหาโดยใช้อนุพันธ์
นักเรียนจะได้รับปัญหา:
“ลองคิดดูว่าจะแก้ปัญหาข้อ 12 ด้วยวิธีอื่นโดยไม่ใช้อนุพันธ์ได้ไหม?”
1คู่
2คู่
3คู่
4คู่
(นักเรียนปกป้องวิธีแก้ปัญหาของตนเองโดยจดขั้นตอนหลักของการแก้ปัญหาไว้บนกระดาน นักเรียนเตรียมวิธีแก้ปัญหาข้อ 2 ไว้สองวิธี)
การแก้ไขปัญหา ข้อสรุปที่นักเรียนควรทำ:
“ปัญหาบางประการข้อ 12 ของการตรวจสอบ Unified State ในการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันสามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องใช้อนุพันธ์ โดยอาศัยคุณสมบัติของฟังก์ชัน”
วิเคราะห์ว่าคุณทำผิดพลาดอะไรในงาน?
คุณต้องทบทวนคำถามเชิงทฤษฎีอะไรบ้าง
V. ตรวจการบ้านของแต่ละคน -สไลด์ 7-8 ภาคผนวกหมายเลข 2)
Vegelman V. ได้รับการบ้านเป็นรายบุคคล: จากคู่มือการเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State หมายเลข 18
(นักเรียนจัดเตรียมวิธีแก้ปัญหาโดยใช้วิธีเชิงฟังก์ชันกราฟิกซึ่งเป็นหนึ่งในวิธีการแก้ปัญหาหมายเลข 18 ของการตรวจสอบ Unified State และให้คำอธิบายสั้น ๆ เกี่ยวกับวิธีนี้)
ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว การบ้านที่แตกต่างเฉพาะบุคคล
(สไลด์ 9 ใบสมัครหมายเลข 2), (ภาคผนวกหมายเลข 4)
ฉันได้เตรียมรายชื่อเว็บไซต์อินเทอร์เน็ตสำหรับการเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State คุณยังสามารถทำการทดสอบออนไลน์บนเว็บไซต์เหล่านี้ได้ สำหรับบทเรียนถัดไป คุณต้อง: 1) ทำซ้ำเนื้อหาทางทฤษฎีในหัวข้อ "อนุพันธ์ของฟังก์ชัน";
2) บนเว็บไซต์ “เปิดธนาคารงานคณิตศาสตร์” (http://mathege.ru/ ) ค้นหาต้นแบบของงานหมายเลข 14 BASE และหมายเลข 7 และ 12 PROFILE และแก้ไขปัญหาโปรไฟล์อย่างน้อย 10 ข้อ
3) Vegelman V. แก้ปัญหาด้วยพารามิเตอร์ (ภาคผนวก 4) ภารกิจ 1-8 (ตัวเลือก 1)ระดับพื้นฐาน
8. คะแนนบทเรียน
คุณจะให้ตัวเองเกรดเท่าไหร่สำหรับบทเรียน?
คุณคิดว่าคุณจะทำได้ดีกว่านี้ในชั้นเรียนหรือไม่ เพราะเหตุใด
ทรงเครื่อง สรุปบทเรียน การสะท้อนกลับ
มาสรุปผลงานของเรากันดีกว่า จุดประสงค์ของบทเรียนคืออะไร? คุณคิดว่ามันประสบความสำเร็จหรือไม่?
ดูที่กระดานและในหนึ่งประโยค เลือกส่วนต้นของวลี ดำเนินการต่อประโยคที่เหมาะกับคุณที่สุด
ฉันรู้สึก...
ฉันเรียนรู้...
ฉันทำ...
ฉันสามารถ...
ฉันจะลอง…
ฉันรู้สึกประหลาดใจที่ …
ฉันต้องการ...
คุณบอกได้ไหมว่าในระหว่างบทเรียนความรู้ของคุณเพิ่มขึ้น?
ดังนั้น คุณถามคำถามทางทฤษฎีซ้ำเกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ใช้ความรู้ของคุณเมื่อแก้ต้นแบบของการสอบ Unified State (หมายเลข 14 ระดับพื้นฐานหมายเลข 7,12 ระดับโปรไฟล์) และนักเรียน V. Vegelman ทำงานหมายเลข 18 สำเร็จด้วย พารามิเตอร์ซึ่งเป็นงานที่มีความซับซ้อนระดับสูง
เรารู้สึกยินดีเป็นอย่างยิ่งที่ได้ร่วมงานกับคุณ และฉันหวังว่าคุณจะสามารถนำความรู้ที่ได้รับในบทเรียนคณิตศาสตร์ไปใช้ได้อย่างประสบความสำเร็จ ไม่เพียงแต่เมื่อผ่านการสอบ Unified State เท่านั้น แต่ยังรวมถึงการศึกษาในอนาคตของคุณด้วย
ฉันอยากจะจบบทเรียนด้วยคำพูดของนักปรัชญาชาวอิตาลีโทมัส อไควนัส“ความรู้เป็นสิ่งที่ล้ำค่ามาก ซึ่งการได้รับมาจากแหล่งใดๆ ก็ไม่มีความละอายเลย”(สไลด์ 10 ภาคผนวกหมายเลข 2)
ฉันขอให้คุณประสบความสำเร็จในการเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State!
หากต้องการใช้ตัวอย่างการนำเสนอ ให้สร้างบัญชีสำหรับตัวคุณเอง ( บัญชี) Google และเข้าสู่ระบบ: https://accounts.google.com
การเตรียมความพร้อมสำหรับ Unified State Exam SIMULATOR ในหัวข้อ “DERIVATIVE” งานหมายเลข 14 ระดับพื้นฐาน หมายเลข 7 ระดับโปรไฟล์ 12
f(x) f / (x) x รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f (x) ที่กำหนดในช่วงเวลา (- 8; 8) มาสำรวจคุณสมบัติของกราฟกัน แล้วเราจะสามารถตอบคำถามมากมายเกี่ยวกับคุณสมบัติของฟังก์ชันได้ แม้ว่าจะไม่มีการนำเสนอกราฟของฟังก์ชันก็ตาม! y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x 6 3 0 -5 ค้นหา จุด ซึ่ง f / (x) =0 (นี่คือศูนย์ของฟังก์ชัน) -
ภารกิจที่ 14 ระดับพื้นฐานคณิตศาสตร์
รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) และมีเครื่องหมายจุด A, B, C และ D บนแกน Ox ใช้กราฟจับคู่แต่ละจุดกับคุณลักษณะของฟังก์ชันและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน A B C D 1) ค่าของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งเป็นลบ และค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดนั้นเป็นบวก 2) ค่าของฟังก์ชันที่จุดนั้นเป็นบวก และค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ที่จุดนั้นเป็นลบ 3) ค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนั้นเป็นลบ และค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดนั้นเป็นลบ 4) ค่าของฟังก์ชันที่จุดนั้นเป็นค่าบวก และค่าของ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งเป็นค่าบวก
ลำดับที่ 1 รูปแสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) และมีเครื่องหมายจุด A, B, C และ D บนแกน Ox ใช้กราฟจับคู่แต่ละจุดกับคุณลักษณะของฟังก์ชันและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน 1) ค่าของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งเป็นค่าบวก และค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดนั้นเป็นลบ 2) ค่าของฟังก์ชันที่จุดนั้นเป็นลบ และค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดนั้น จุดเป็นลบ 3) ค่าของฟังก์ชันที่จุดเป็นค่าบวก และค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดนั้นเป็นบวก 4) ค่าของฟังก์ชันที่จุดเป็นลบ และค่าของอนุพันธ์ของ ฟังก์ชัน ณ จุดนั้นเป็นบวก A B C D
รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) จุด a, b, c, d และ e กำหนดช่วงเวลาบนแกน Ox ใช้กราฟจับคู่แต่ละช่วงกับคุณลักษณะของฟังก์ชันหรืออนุพันธ์ของฟังก์ชัน A) (a; b) B) (b; c) C) (c; d) D) (d; e) 1) ค่าของฟังก์ชันเป็นค่าบวกในแต่ละจุดของช่วงเวลา 2) ค่า ของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นลบที่แต่ละจุดของช่วงเวลา 3) ค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นบวกที่แต่ละจุดของช่วงเวลา 4) ค่าของฟังก์ชันเป็นลบที่แต่ละจุดของช่วงเวลา
รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) ตัวเลข a, b, c, d และ e กำหนดช่วงเวลาบนแกน Ox ใช้กราฟจับคู่แต่ละช่วงกับคุณลักษณะของฟังก์ชันหรืออนุพันธ์ของฟังก์ชัน A) (a;b) B) (b;c) C) (c;d) D) (d;e) 1) ค่าของฟังก์ชันเป็นบวกในแต่ละจุดของช่วงเวลา 2) ค่า ของฟังก์ชันเป็นลบที่แต่ละจุดของช่วง 3) ค่าของฟังก์ชันอนุพันธ์เป็นลบที่แต่ละจุดของช่วง 4) ค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นบวกที่แต่ละจุดของช่วง
รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันและแทนเจนต์ที่ลากไปที่จุดที่มีแอบซิสซา A, B, C และ D เอ บี ซี ดี 1) - 1.5 2) 0.5 3) 2 4) - 0.3
รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันและแทนเจนต์ที่ลากไปที่จุดที่มีแอบซิสซา A, B, C และ D เอ บี ซี ดี 1) 23 2) − 12 3) − 113 4) 123
ภารกิจที่ 7 ระดับโปรไฟล์คณิตศาสตร์
ปัญหาเกี่ยวกับความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์
1) รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) และแทนเจนต์ของฟังก์ชันที่จุดที่มี abscissa x 0 ค้นหาค่าของอนุพันธ์ที่จุด x 0 -2 -0.5 2 0.5 คิดสิ! คิดดูสิ! ขวา! คิดดูสิ! x 0 ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์: k = tan α มุมเอียงของแทนเจนต์กับแกน Ox จะเป็นมุมป้าน ซึ่งหมายถึง k
5 11 8 2) ฟังก์ชันต่อเนื่อง y = f(x) ให้ไว้ในช่วงเวลา (-6; 7) รูปนี้แสดงกราฟ ค้นหาจำนวนจุดที่เส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชันขนานกับเส้นตรง y = 6 ตรวจสอบ y = f(x) y x 3 คิดดูสิ! คิดดูสิ! คิดดูสิ! ขวา! - 6 7 ปี = 6 . จุดแตกหัก. ณ จุดนี้อนุพันธ์ไม่มีอยู่! โอ -4 3 5 1.5
ปัญหาในการกำหนดคุณลักษณะของฟังก์ชันจากกราฟของอนุพันธ์
3) รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f / (x) ที่กำหนดในช่วงเวลา (- 6; 8) ตรวจสอบฟังก์ชัน y = f (x) เพื่อหาจุดปลายสุดและระบุจำนวนจุดปลายสุดของมัน 2 1 4 5 ไม่จริง! ไม่จริง! ขวา! ไม่จริง! ตรวจสอบ (2) f(x) f / (x) -2 + – y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 - 1 -2 -3 -4 -5 ปี x -5 + นาที สูงสุด O
4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x 5) รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุในช่วงเวลา [-5;5] ตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับความซ้ำซากจำเจและระบุจุดสูงสุดที่ใหญ่ที่สุด 3 2 4 5 คิด! คิดดูสิ! ขวา! คิดดูสิ! y = f / (x) + + + - - О - f / (x) - + - + - + f(x) -4 -2 0 3 4 จากจุดสูงสุดสองจุด จุดสูงสุด x สูงสุด = สูงสุด 3 จุด ย
7) รูปนี้แสดงกราฟอนุพันธ์ของฟังก์ชัน จงหาความยาวของช่วงที่เพิ่มขึ้นของฟังก์ชันนี้ เช็ค O -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 4 2 3 5 คิด! + คิด! ขวา! คิด! ปี x 3 ปี = f / (x)
4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x 6) รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุในช่วงเวลา [-5;5] ตรวจสอบฟังก์ชัน y = f (x) เพื่อหาความซ้ำซ้อนและระบุจำนวนช่วงเวลาที่ลดลง 3 2 4 1 คิดสิ! คิดดูสิ! ขวา! คิดดูสิ! y = f / (x) ฉ(x) -4 -2 0 4 f / (x) - + - + - + + O - - - y
ปัญหาในการกำหนดคุณลักษณะของอนุพันธ์จากกราฟของฟังก์ชัน
รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันหาอนุพันธ์ y = f (x) มีจุดเก้าจุดที่ทำเครื่องหมายไว้บนแกนแอบซิสซา: x 1, x 2, ..., x 9 ค้นหาจุดที่ทำเครื่องหมายไว้ทั้งหมดซึ่งมีอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เป็นลบ ในคำตอบของคุณ ให้ระบุจำนวนคะแนนเหล่านี้
รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = f (x) ที่กำหนดในช่วงเวลา (a; b) กำหนดจำนวนจุดจำนวนเต็มที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นบวก ก) ข) ตัดสินใจด้วยตัวเอง! สารละลาย. ถ้ามันเพิ่มขึ้น คำตอบจำนวนเต็มสำหรับ: x=-2; x=-1; x=5; x=6. จำนวนของพวกเขาคือ 4 คำตอบจำนวนเต็มสำหรับ: x=2; x=3; x=4; x=10; x=11. หมายเลขของพวกเขาคือ 5 คำตอบ: 4. คำตอบ: 5.
ปัญหาเกี่ยวกับความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์
คำตอบ: 3 คำตอบ: 14
ภารกิจที่ 12 ระดับโปรไฟล์คณิตศาสตร์
งานอิสระเป็นคู่ งานหมายเลข 12 ระดับโปรไฟล์
ภาคผนวก 3 ไพ่แต่ละใบหมายเลข 12
1. ค้นหาจุดสูงสุดของฟังก์ชัน1 ค้นหาจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน
2. ค้นหาจุดสูงสุดของฟังก์ชัน
2ค้นหาจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน
ลินนิค ดี. วอฟเนนโก ไอ
1. จงหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน
1. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน
บนส่วน 
บนส่วน 
เวเกลแมน วี.
ล็อกวินยุก เอ.
1. ค้นหาจุดสูงสุดของฟังก์ชัน
1. ค้นหาจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน
2. ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน
2. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน
บนส่วน 
บนส่วน 
เลออนตีเยวา เอ. ไอเซนโก เค.
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นหนึ่งในหัวข้อที่ยากใน หลักสูตรของโรงเรียน- ไม่ใช่ผู้สำเร็จการศึกษาทุกคนจะตอบคำถามว่าอนุพันธ์คืออะไร
บทความนี้จะอธิบายอย่างเรียบง่ายและชัดเจนว่าอนุพันธ์คืออะไร และเหตุใดจึงต้องมี- ตอนนี้เราจะไม่มุ่งมั่นเพื่อความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ในการนำเสนอ สิ่งที่สำคัญที่สุดคือการเข้าใจความหมาย
จำคำจำกัดความ:
อนุพันธ์คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน
รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันทั้งสาม คุณคิดว่าอันไหนเติบโตเร็วกว่ากัน?
คำตอบนั้นชัดเจน - ข้อที่สาม มีอัตราการเปลี่ยนแปลงสูงสุด นั่นคือ อนุพันธ์ที่ใหญ่ที่สุด
นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่ง
Kostya, Grisha และ Matvey ได้งานในเวลาเดียวกัน มาดูกันว่ารายได้ของพวกเขาเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรในระหว่างปี:
กราฟแสดงทุกอย่างพร้อมกันใช่ไหม? รายได้ของ Kostya เพิ่มขึ้นกว่าสองเท่าในช่วงหกเดือน และรายได้ของ Grisha ก็เพิ่มขึ้นเช่นกันแต่เพียงเล็กน้อย และรายได้ของ Matvey ลดลงเหลือศูนย์ เงื่อนไขการเริ่มต้นจะเหมือนกัน แต่อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันก็คือ อนุพันธ์, - แตกต่าง. สำหรับ Matvey โดยทั่วไปอนุพันธ์ของรายได้ของเขาจะเป็นลบ
โดยสัญชาตญาณ เราสามารถประมาณอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันได้อย่างง่ายดาย แต่เราจะทำอย่างไร?
สิ่งที่เรากำลังดูอยู่จริงๆ คือกราฟของฟังก์ชันจะขึ้น (หรือลง) ชันแค่ไหน กล่าวอีกนัยหนึ่ง y เปลี่ยนเร็วแค่ไหนเมื่อ x เปลี่ยน? แน่นอนว่าฟังก์ชันเดียวกันที่จุดต่างกันสามารถมีได้ ความหมายที่แตกต่างกันอนุพันธ์ - นั่นคือสามารถเปลี่ยนเร็วขึ้นหรือช้าลงได้
อนุพันธ์ของฟังก์ชันแสดงไว้
เราจะแสดงวิธีค้นหาโดยใช้กราฟ
มีการวาดกราฟของฟังก์ชันบางอย่างแล้ว มาดูประเด็นที่มีแอบซิสซากัน ให้เราวาดแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ เราต้องการประมาณว่ากราฟของฟังก์ชันเพิ่มขึ้นชันเพียงใด ความคุ้มค่าที่สะดวกสำหรับสิ่งนี้คือ แทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์.
อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งจะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์ที่ลากไปยังกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนี้
โปรดทราบว่าเนื่องจากมุมเอียงของแทนเจนต์ เราจะใช้มุมระหว่างแทนเจนต์กับทิศทางบวกของแกน
บางครั้งนักเรียนถามว่าค่าแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันคืออะไร นี่คือเส้นตรงที่มีเพียงเส้นเดียว จุดทั่วไปด้วยกราฟและดังแสดงในรูปของเรา ดูเหมือนเส้นสัมผัสกันของวงกลม
มาหากันเถอะ เราจำได้ว่าแทนเจนต์ของมุมแหลมเข้า สามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด จากรูปสามเหลี่ยม:
เราพบอนุพันธ์โดยใช้กราฟโดยไม่รู้สูตรของฟังก์ชันด้วยซ้ำ ปัญหาดังกล่าวมักพบในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ตามหมายเลข
มีความสัมพันธ์ที่สำคัญอีกอย่างหนึ่ง จำได้ว่าเส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ
ปริมาณในสมการนี้เรียกว่า ความชันของเส้นตรง- มันเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรงกับแกน
.
เราเข้าใจแล้ว
เรามาจำสูตรนี้กัน เป็นการแสดงออกถึงความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์
อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งจะเท่ากับความชันของแทนเจนต์ที่ลากไปยังกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้น
กล่าวอีกนัยหนึ่ง อนุพันธ์จะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์
เราได้บอกไปแล้วว่าฟังก์ชันเดียวกันสามารถมีอนุพันธ์ต่างกันที่จุดต่างกันได้ เรามาดูกันว่าอนุพันธ์เกี่ยวข้องกับพฤติกรรมของฟังก์ชันอย่างไร
ลองวาดกราฟของฟังก์ชันบางอย่างกัน ปล่อยให้ฟังก์ชันนี้เพิ่มขึ้นในบางพื้นที่และลดในบางพื้นที่และในอัตราที่ต่างกัน และให้ฟังก์ชันนี้มีจุดสูงสุดและต่ำสุด
เมื่อถึงจุดหนึ่งฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น แทนเจนต์ของกราฟที่วาดที่จุดจะสร้างมุมแหลมโดยมีทิศทางบวกของแกน ซึ่งหมายความว่าอนุพันธ์ ณ จุดนั้นเป็นบวก
เมื่อถึงจุดที่ฟังก์ชันของเราลดลง แทนเจนต์ ณ จุดนี้ก่อให้เกิดมุมป้านโดยมีทิศทางบวกของแกน เนื่องจากแทนเจนต์ของมุมป้านเป็นลบ อนุพันธ์ ณ จุดนั้นจึงเป็นลบ
นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น:
หากฟังก์ชันเพิ่มขึ้น อนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเป็นค่าบวก
ถ้ามันลดลง อนุพันธ์ของมันจะเป็นลบ
จะเกิดอะไรขึ้นที่จุดสูงสุดและต่ำสุด? เราจะเห็นว่าที่จุด (จุดสูงสุด) และ (จุดต่ำสุด) เส้นสัมผัสกันเป็นแนวนอน ดังนั้นแทนเจนต์ของแทนเจนต์ที่จุดเหล่านี้จึงเป็นศูนย์ และอนุพันธ์ก็เป็นศูนย์เช่นกัน
จุด - จุดสูงสุด ณ จุดนี้ การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันจะถูกแทนที่ด้วยการลดลง ดังนั้น เครื่องหมายของอนุพันธ์จึงเปลี่ยน ณ จุดจาก "บวก" เป็น "ลบ"
ณ จุด - จุดต่ำสุด - อนุพันธ์ก็เป็นศูนย์เช่นกัน แต่เครื่องหมายเปลี่ยนจาก "ลบ" เป็น "บวก"
สรุป: การใช้อนุพันธ์ทำให้เราสามารถค้นหาทุกสิ่งที่เราสนใจเกี่ยวกับพฤติกรรมของฟังก์ชันได้
หากอนุพันธ์เป็นบวก ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น
ถ้าอนุพันธ์เป็นลบ ฟังก์ชันจะลดลง
ที่จุดสูงสุด อนุพันธ์จะเป็นศูนย์และเปลี่ยนเครื่องหมายจาก "บวก" เป็น "ลบ"
ที่จุดต่ำสุด อนุพันธ์ยังเป็นศูนย์และเปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวก
มาเขียนข้อสรุปเหล่านี้ในรูปแบบของตาราง:
| เพิ่มขึ้น | จุดสูงสุด | ลดลง | จุดต่ำสุด | เพิ่มขึ้น | |
| + | 0 | - | 0 | + |
ขอชี้แจงเล็กๆ น้อยๆ สองเรื่อง คุณจะต้องมีหนึ่งในนั้นเมื่อแก้ไขปัญหา USE อีกอย่างคือในปีแรกที่มีการศึกษาฟังก์ชันและอนุพันธ์อย่างจริงจังมากขึ้น
เป็นไปได้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่งจะเท่ากับศูนย์ แต่ฟังก์ชันนั้นไม่มีค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด ณ จุดนี้ นี่คือสิ่งที่เรียกว่า :
ณ จุดหนึ่ง แทนเจนต์ของกราฟจะเป็นแนวนอนและอนุพันธ์เป็นศูนย์ อย่างไรก็ตาม ก่อนถึงจุด ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น - และหลังจากจุดนั้น ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นต่อไป เครื่องหมายของอนุพันธ์ไม่เปลี่ยนแปลง แต่ยังคงเป็นบวกเหมือนเดิม
นอกจากนี้ยังเกิดขึ้นว่า ณ จุดสูงสุดหรือต่ำสุดไม่มีอนุพันธ์อยู่ บนกราฟ สิ่งนี้สอดคล้องกับการหักกะทันหัน เมื่อไม่สามารถวาดเส้นสัมผัสกัน ณ จุดที่กำหนดได้
จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไรถ้าฟังก์ชันไม่ได้ถูกกำหนดโดยกราฟ แต่ถูกกำหนดโดยสูตร? ในกรณีนี้จะใช้ได้
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน $y = f(x)$ ที่จุดที่กำหนด $x_0$ คือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ที่สอดคล้องกัน โดยมีเงื่อนไขว่าค่าหลังมีแนวโน้มเป็นศูนย์:
$f"(x_0)=(ลิม)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$
ความแตกต่างคือการดำเนินการค้นหาอนุพันธ์
ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานบางส่วน
| การทำงาน | อนุพันธ์ |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $nx^(n-1)$ |
| $(1)/(x)$ | $-(1)/(x^2)$ |
| $√x$ | $(1)/(2√x)$ |
| $อี^x$ | $อี^x$ |
| $lnx$ | $(1)/(x)$ |
| $บาป$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | $(1)/(คอส^2x)$ |
| $ctgx$ | $-(1)/(บาป^2x)$ |
1. อนุพันธ์ของผลรวม (ผลต่าง) เท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของอนุพันธ์
$(ฉ(x) ± ก(x))"= ฉ"(x)±g"(x)$
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$
อนุพันธ์ของผลรวม (ผลต่าง) เท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของอนุพันธ์
$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$
2. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์
$(ฉ(x) ก(x)"= ฉ"(x) ก(x)+ ฉ(x) ก(x)"$
หาอนุพันธ์ $f(x)=4x cosx$
$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$
3. อนุพันธ์ของผลหาร
$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $
หาอนุพันธ์ $f(x)=(5x^5)/(e^x)$
$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5 อี^x)/((อี^x)^2)$
4. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกและอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน
$f(g(x))"=f"(g(x)) ก"(x)$
$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-บาป(5x)·5= -5sin(5x)$
หากจุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงและพิกัดของมันเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎหมาย $x(t)$ ดังนั้น ความเร็วชั่วขณะของจุดนี้จะเท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
จุดเคลื่อนที่ไปตามเส้นพิกัดตามกฎหมาย $x(t)= 1.5t^2-3t + 7$ โดยที่ $x(t)$ คือพิกัด ณ เวลา $t$ ความเร็วของจุดจะเท่ากับ $12$ ณ เวลาใด
1. ความเร็วเป็นอนุพันธ์ของ $x(t)$ ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดกัน
$วี(เสื้อ) = x"(เสื้อ) = 1.5 2t -3 = 3t -3$
2. หากต้องการค้นหา ณ เวลาใดที่ $t$ ความเร็วเท่ากับ $12$ เราสร้างและแก้สมการ:
จำไว้ว่าสมการของเส้นตรงไม่ใช่ ขนานกับแกนพิกัดสามารถเขียนได้ในรูปแบบ $y = kx + b$ โดยที่ $k$ คือความชันของเส้นตรง ค่าสัมประสิทธิ์ $k$ เท่ากับแทนเจนต์ของมุมเอียงระหว่างเส้นตรงกับทิศทางบวกของแกน $Ox$
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f(x)$ ที่จุด $x_0$ เท่ากับความชัน $k$ ของเส้นสัมผัสกราฟ ณ จุดนี้:
ดังนั้นเราจึงสามารถสร้างความเท่าเทียมกันโดยทั่วไปได้:
$f"(x_0) = k = tanα$
ในรูป ค่าแทนเจนต์ของฟังก์ชัน $f(x)$ จะเพิ่มขึ้น ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ $k > 0$ เนื่องจาก $k > 0$ แล้ว $f"(x_0) = tanα > 0$ มุม $α$ ระหว่างทิศทางแทนเจนต์กับทิศทางบวก $Ox$ เป็นแบบเฉียบพลัน
ในรูป ค่าแทนเจนต์ของฟังก์ชัน $f(x)$ จะลดลง ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ $k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.
ในรูป ค่าแทนเจนต์ของฟังก์ชัน $f(x)$ ขนานกับแกน $Ox$ ดังนั้นสัมประสิทธิ์ $k = 0$ ดังนั้น $f"(x_0) = tan α = 0$ ชี้ $x_0$ โดยที่ $f "(x_0) = 0$ ถูกเรียก สุดขั้ว.
รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน $y=f(x)$ และค่าแทนเจนต์ของกราฟนี้ที่วาด ณ จุดที่มีพิกัด $x_0$ ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f(x)$ ที่จุด $x_0$
ค่าแทนเจนต์ของกราฟจะเพิ่มขึ้น ดังนั้น $f"(x_0) = tan α > 0$
ในการหา $f"(x_0)$ เราจะหาค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงระหว่างค่าแทนเจนต์กับทิศทางบวกของแกน $Ox$ เพื่อทำสิ่งนี้ เราสร้างค่าแทนเจนต์ให้กับสามเหลี่ยม $ABC$
ลองหาแทนเจนต์ของมุม $BAC$ กัน (ค่าแทนเจนต์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด)
$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=$0.25
$f"(x_0) = tg BAC = 0.25$
คำตอบ: $0.25$
อนุพันธ์ยังใช้เพื่อค้นหาช่วงเวลาของฟังก์ชันเพิ่มและลด:
ถ้า $f"(x) > 0$ ในช่วงเวลาหนึ่ง ฟังก์ชัน $f(x)$ จะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลานี้
ถ้า $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.
รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน $y = f(x)$ ค้นหาจากจุดต่างๆ $х_1,х_2,х_3...х_7$ จุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นลบ
เพื่อเป็นการตอบสนอง ให้เขียนจำนวนคะแนนเหล่านี้
ขั้นแรก ให้ลองค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน:
ทุกอย่างถูกต้องหรือไม่? ทำได้ดี!
ทีนี้ลองค้นหาช่วงของค่าของฟังก์ชัน:
เข้าใจแล้ว? ทำได้ดี!
มาทำงานกับกราฟอีกครั้งตอนนี้มันซับซ้อนขึ้นนิดหน่อย - ค้นหาทั้งโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันและช่วงของค่าของฟังก์ชัน
นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น:
ฉันคิดว่าคุณคงเข้าใจกราฟแล้ว ทีนี้ลองค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันตามสูตร (หากคุณไม่ทราบวิธีการทำเช่นนี้ โปรดอ่านหัวข้อเกี่ยวกับ):
คุณจัดการหรือไม่? มาตรวจสอบกัน คำตอบ:
ฉันจะย้ำคำจำกัดความอีกครั้งและเน้นย้ำ:
คุณสังเกตเห็นไหม? คำว่าเท่านั้นก็มากมาก องค์ประกอบที่สำคัญคำจำกัดความของเรา ฉันจะพยายามอธิบายให้คุณฟังด้วยมือของฉัน
สมมติว่าเรามีฟังก์ชันที่กำหนดโดยเส้นตรง - ที่ เราแทนที่ค่านี้เป็น "กฎ" ของเราแล้วได้สิ่งนั้น ค่าหนึ่งสอดคล้องกับค่าเดียว เรายังจัดโต๊ะได้ ความหมายที่แตกต่างกันและพล็อตกราฟของฟังก์ชันนี้เพื่อตรวจสอบสิ่งนี้
"ดู! - คุณพูดว่า "" เกิดขึ้นสองครั้ง!" บางทีพาราโบลาไม่ใช่ฟังก์ชันใช่ไหม? ไม่มันเป็น!
ความจริงที่ว่า “ ” ปรากฏขึ้นสองครั้งไม่ใช่เหตุผลที่จะกล่าวหาพาราโบลาของความคลุมเครือ!
ความจริงก็คือเมื่อคำนวณเราได้รับหนึ่งเกม และเมื่อคำนวณด้วย เราได้รับหนึ่ง igrek ถูกต้อง พาราโบลาก็คือฟังก์ชัน ดูกราฟ:
เข้าใจแล้ว? ถ้าไม่เช่นนั้น นี่คือตัวอย่างชีวิตที่อยู่ห่างไกลจากคณิตศาสตร์มาก!
สมมติว่าเรามีกลุ่มผู้สมัครที่พบกันขณะยื่นเอกสาร ซึ่งแต่ละคนเล่าในการสนทนาว่าเขาอาศัยอยู่ที่ไหน:
เห็นด้วย เป็นไปได้ทีเดียวที่ผู้ชายหลายคนจะอาศัยอยู่ในเมืองเดียว แต่เป็นไปไม่ได้ที่คนๆ เดียวจะอาศัยอยู่ในหลายเมืองพร้อมกัน นี่เป็นเหมือนการนำเสนอเชิงตรรกะของ "พาราโบลา" ของเรา - X ที่แตกต่างกันหลายอันสอดคล้องกับเกมเดียวกัน
ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างที่การพึ่งพาไม่ใช่ฟังก์ชัน สมมติว่าคนกลุ่มเดียวกันนี้บอกเราว่าพวกเขาสมัครอะไรเป็นพิเศษ:
ที่นี่เรามีสถานการณ์ที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง: บุคคลหนึ่งสามารถส่งเอกสารสำหรับทิศทางเดียวหรือหลายทิศทางได้อย่างง่ายดาย นั่นก็คือ องค์ประกอบหนึ่งชุดจะถูกใส่ลงในจดหมาย องค์ประกอบหลายประการฝูงชน ตามลำดับ นี่ไม่ใช่ฟังก์ชัน
มาทดสอบความรู้ของคุณในทางปฏิบัติ
เข้าใจแล้ว? และนี่คือ คำตอบ:
คุณถามว่าทำไม? ใช่ นี่คือเหตุผล:
ในทุกภาพยกเว้น. ใน)และ จ)มีหลายอันต่อหนึ่ง!
ฉันแน่ใจว่าตอนนี้คุณสามารถแยกแยะฟังก์ชันออกจากฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันได้อย่างง่ายดาย บอกว่าอาร์กิวเมนต์คืออะไรและตัวแปรตามคืออะไร และยังกำหนดช่วงของค่าที่อนุญาตของอาร์กิวเมนต์และช่วงคำจำกัดความของฟังก์ชันได้ . เรามาดูส่วนถัดไปกันดีกว่า - จะตั้งค่าฟังก์ชั่นอย่างไร?
คุณคิดว่าคำเหล่านี้หมายถึงอะไร? "ตั้งค่าฟังก์ชั่น"- ถูกต้อง นี่หมายถึงการอธิบายให้ทุกคนฟังว่าเรากำลังพูดถึงฟังก์ชันอะไรในกรณีนี้ และอธิบายให้ทุกคนเข้าใจคุณได้อย่างถูกต้อง และกราฟฟังก์ชันที่ผู้คนวาดตามคำอธิบายของคุณก็เหมือนกัน
สิ่งนี้สามารถทำได้อย่างไร? จะตั้งค่าฟังก์ชั่นได้อย่างไร?วิธีที่ง่ายที่สุดซึ่งมีการใช้มากกว่าหนึ่งครั้งในบทความนี้คือ โดยใช้สูตรเราเขียนสูตร และโดยการแทนที่ค่าลงไป เราจะคำนวณค่า และอย่างที่คุณจำได้ สูตรก็คือกฎ ซึ่งเป็นกฎเกณฑ์ที่เราและอีกฝ่ายจะเข้าใจอย่างชัดเจนว่า X กลายเป็น Y ได้อย่างไร
โดยปกติแล้วนี่คือสิ่งที่พวกเขาทำ - ในงานเราเห็นฟังก์ชันสำเร็จรูปที่ระบุโดยสูตรอย่างไรก็ตามมีวิธีอื่นในการตั้งค่าฟังก์ชันที่ทุกคนลืมไปดังนั้นคำถาม "คุณจะตั้งค่าฟังก์ชันได้อย่างไร" แผ่นกั้น ลองคิดตามลำดับแล้วเริ่มด้วยวิธีการวิเคราะห์
วิธีการวิเคราะห์คือการระบุฟังก์ชันโดยใช้สูตร นี่เป็นวิธีการที่เป็นสากล ครอบคลุม และไม่คลุมเครือที่สุด หากคุณมีสูตรคุณก็รู้ทุกอย่างเกี่ยวกับฟังก์ชันอย่างแน่นอน - คุณสามารถสร้างตารางค่าจากนั้นคุณสามารถสร้างกราฟกำหนดตำแหน่งที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นและตำแหน่งที่ลดลงโดยทั่วไปศึกษา อย่างเต็มที่
ลองพิจารณาฟังก์ชันดู ความแตกต่างคืออะไร?
"มันหมายความว่าอะไร?" - คุณถาม ฉันจะอธิบายตอนนี้
ฉันขอเตือนคุณว่าในสัญกรณ์นิพจน์ในวงเล็บเรียกว่าอาร์กิวเมนต์ และข้อโต้แย้งนี้สามารถเป็นนิพจน์ใดก็ได้ ไม่จำเป็นต้องเรียบง่ายเสมอไป ดังนั้น ไม่ว่าอาร์กิวเมนต์จะเป็นเช่นไร (นิพจน์ในวงเล็บ) เราจะเขียนมันลงในนิพจน์แทน
ในตัวอย่างของเรา มันจะมีลักษณะดังนี้:
หาค่าของนิพจน์ได้ที่
ฉันแน่ใจว่าในตอนแรกคุณกลัวเมื่อเห็นสีหน้าแบบนั้น แต่ก็ไม่มีอะไรน่ากลัวเลย!
ทุกอย่างเหมือนกับในตัวอย่างก่อนหน้า ไม่ว่าอาร์กิวเมนต์จะเป็นเช่นไร (นิพจน์ในวงเล็บ) เราจะเขียนมันลงในนิพจน์แทน ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชัน
จะต้องทำอะไรในตัวอย่างของเรา? คุณต้องเขียนแทนและแทน -:
ย่อนิพจน์ผลลัพธ์ให้สั้นลง:
แค่นั้นแหละ!
ทีนี้ลองค้นหาความหมายของสำนวนต่อไปนี้ด้วยตัวเอง:
คุณจัดการหรือไม่? ลองเปรียบเทียบคำตอบของเรากัน: เราคุ้นเคยกับความจริงที่ว่าฟังก์ชันมีรูปแบบ
แม้แต่ในตัวอย่างของเรา เราก็กำหนดฟังก์ชันในลักษณะนี้ทุกประการ แต่ในเชิงวิเคราะห์แล้ว ก็เป็นไปได้ที่จะกำหนดฟังก์ชันในรูปแบบโดยนัย เป็นต้น
ลองสร้างฟังก์ชั่นนี้ด้วยตัวเอง
คุณจัดการหรือไม่?
นี่คือวิธีที่ฉันสร้างมัน
ในที่สุดเราก็ได้สมการอะไรมา?
ขวา! เชิงเส้น ซึ่งหมายความว่ากราฟจะเป็นเส้นตรง มาสร้างตารางเพื่อพิจารณาว่าจุดใดเป็นของเส้นของเรา:
นั่นคือสิ่งที่เรากำลังพูดถึง... สิ่งหนึ่งสอดคล้องกับหลาย ๆ อย่าง
ลองวาดสิ่งที่เกิดขึ้น:
สิ่งที่เราได้ฟังก์ชันคืออะไร?
ถูกต้อง ไม่! ทำไม พยายามตอบคำถามนี้ด้วยความช่วยเหลือของรูปวาด คุณได้อะไร?
“เพราะว่าค่าหนึ่งสอดคล้องกับหลายค่า!”
เราจะได้ข้อสรุปอะไรจากเรื่องนี้?
ถูกต้อง ฟังก์ชันไม่สามารถแสดงออกได้อย่างชัดเจนเสมอไป และสิ่งที่ "ปลอมตัว" เป็นฟังก์ชันก็ไม่ใช่ฟังก์ชันเสมอไป!
ตามชื่อ วิธีนี้เป็นสัญญาณง่ายๆ ใช่ใช่ เช่นเดียวกับที่คุณและฉันได้ทำไปแล้ว ตัวอย่างเช่น:
ที่นี่คุณสังเกตเห็นรูปแบบทันที - Y มีขนาดใหญ่กว่า X ถึงสามเท่า และตอนนี้งานที่ต้อง "คิดให้รอบคอบ": คุณคิดว่าฟังก์ชันที่กำหนดในรูปแบบของตารางเทียบเท่ากับฟังก์ชันหรือไม่?
ไม่คุยกันนาน แต่มาวาดกันเถอะ!
ดังนั้น. เราวาดฟังก์ชั่นที่ระบุโดยวอลเปเปอร์ด้วยวิธีต่อไปนี้:
คุณเห็นความแตกต่างหรือไม่? มันไม่ได้เกี่ยวกับจุดที่ทำเครื่องหมายไว้เท่านั้น! ลองดูให้ละเอียดยิ่งขึ้น:
คุณเคยเห็นมันตอนนี้หรือไม่? เมื่อเรากำหนดฟังก์ชันในลักษณะตาราง เราจะแสดงบนกราฟเฉพาะจุดที่เรามีในตารางและเส้น (เช่นในกรณีของเรา) ผ่านไปเท่านั้น เมื่อเรากำหนดฟังก์ชันในเชิงวิเคราะห์ เราสามารถหาจุดใดก็ได้ และฟังก์ชันของเราไม่ได้จำกัดอยู่เพียงจุดนั้น นี่คือลักษณะเฉพาะ จดจำ!
วิธีการสร้างฟังก์ชันแบบกราฟิกนั้นสะดวกไม่น้อย เราวาดฟังก์ชันของเรา แล้วผู้สนใจอีกคนสามารถหาค่า y เท่ากับค่า x ใดค่าหนึ่งได้ เป็นต้น วิธีการเชิงกราฟิกและการวิเคราะห์เป็นวิธีที่พบได้บ่อยที่สุด
อย่างไรก็ตามที่นี่คุณต้องจำสิ่งที่เราพูดถึงในตอนเริ่มต้น - ไม่ใช่ทุก "squiggle" ที่วาดในระบบพิกัดจะเป็นฟังก์ชัน! คุณจำได้ไหม? ในกรณีนี้ ผมจะคัดลอกคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้มาไว้ที่นี่:
ตามกฎแล้ว ผู้คนมักจะตั้งชื่อสามวิธีในการระบุฟังก์ชันที่เราได้พูดคุยอย่างชัดเจน - เชิงวิเคราะห์ (โดยใช้สูตร) แบบตารางและแบบกราฟิก โดยลืมไปเลยว่าฟังก์ชันสามารถอธิบายได้ด้วยวาจา เป็นยังไงบ้าง? ใช่ ง่ายมาก!
จะอธิบายฟังก์ชั่นด้วยวาจาได้อย่างไร? ลองใช้ตัวอย่างล่าสุดของเรา - . ฟังก์ชันนี้สามารถอธิบายได้ว่า “ค่าจริงทุกค่าของ x สอดคล้องกับค่าสามเท่าของมัน” แค่นั้นแหละ. ไม่มีอะไรซับซ้อน แน่นอนว่าคุณจะคัดค้าน -“ มีฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนจนไม่สามารถระบุด้วยวาจาได้!” ใช่ มีฟังก์ชันดังกล่าว แต่มีฟังก์ชันที่อธิบายด้วยวาจาได้ง่ายกว่าการกำหนดด้วยสูตร ตัวอย่างเช่น: “ค่าธรรมชาติแต่ละค่าของ x สอดคล้องกับความแตกต่างระหว่างตัวเลขที่ประกอบด้วยตัวเลขนั้น ในขณะที่ตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดที่มีอยู่ในสัญลักษณ์ของตัวเลขนั้นจะถูกถือเป็นเครื่องหมายลบ” ทีนี้เรามาดูวิธีการของเรากันดีกว่า คำอธิบายด้วยวาจามีการนำฟังก์ชันต่างๆ ไปใช้ในทางปฏิบัติ:
หลักที่ใหญ่ที่สุดในจำนวนที่กำหนดคือเครื่องหมายลบ จากนั้น:
ตอนนี้เรามาดูส่วนที่น่าสนใจที่สุดกันดีกว่า - เรามาดูฟังก์ชันประเภทหลักที่คุณเคยทำงาน/กำลังทำงานอยู่และจะทำงานในวิชาคณิตศาสตร์ของโรงเรียนและวิทยาลัยนั่นคือมาทำความรู้จักกับพวกมันกันดีกว่า และให้พวกเขา คำอธิบายสั้น ๆ- อ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับแต่ละฟังก์ชันในส่วนที่เกี่ยวข้อง
หน้าที่ของแบบฟอร์ม โดยที่ - ตัวเลขจริง.
กราฟของฟังก์ชันนี้เป็นเส้นตรง ดังนั้นการสร้างฟังก์ชันเชิงเส้นจึงต้องลงมาเพื่อหาพิกัดของจุดสองจุด
ตำแหน่งของเส้นตรงบนระนาบพิกัดขึ้นอยู่กับค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม
ขอบเขตของฟังก์ชัน (หรือที่เรียกว่าขอบเขตของค่าอาร์กิวเมนต์ที่ถูกต้อง) คือ
ช่วงของค่า - .
หน้าที่ของแบบฟอร์มอยู่ที่ไหน
กราฟของฟังก์ชันจะเป็นพาราโบลา เมื่อกิ่งก้านของพาราโบลาชี้ลง เมื่อกิ่งก้านชี้ขึ้น
คุณสมบัติหลายประการของฟังก์ชันกำลังสองขึ้นอยู่กับค่าของตัวแยกแยะ การแบ่งแยกจะคำนวณโดยใช้สูตร
ตำแหน่งของพาราโบลาบนระนาบพิกัดสัมพันธ์กับค่าและสัมประสิทธิ์แสดงในรูป:
โดเมนของคำจำกัดความ
ช่วงของค่าขึ้นอยู่กับส่วนปลายสุดของฟังก์ชันที่กำหนด (จุดยอดของพาราโบลา) และค่าสัมประสิทธิ์ (ทิศทางของกิ่งก้านของพาราโบลา)
ฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร โดยที่
ตัวเลขนี้เรียกว่าสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนผกผัน กิ่งก้านของไฮเปอร์โบลาจะอยู่ในสี่เหลี่ยมที่แตกต่างกัน ขึ้นอยู่กับค่า:
ขอบเขตคำจำกัดความ - .
ช่วงของค่า - .
1. ฟังก์ชันคือกฎเกณฑ์ที่แต่ละองค์ประกอบของเซตเชื่อมโยงกับองค์ประกอบเดียวของเซต
2. ค่าอาร์กิวเมนต์ที่ถูกต้องหรือโดเมนของฟังก์ชัน คือสิ่งที่เชื่อมโยงกับความเป็นไปได้ที่ฟังก์ชันนั้นสมเหตุสมผล
3. ช่วงฟังก์ชัน- นี่คือค่าที่ต้องการ โดยพิจารณาจากค่าที่ยอมรับได้
4. การตั้งค่าฟังก์ชั่นมี 4 วิธี:
5. ประเภทฟังก์ชันหลัก:
