วิธีหาระยะทางจากจุดหนึ่งถึงระนาบ ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังเครื่องบิน ทฤษฎีโดยละเอียดพร้อมตัวอย่าง (2020) ทาง. วิธีการประสานงาน

, การแข่งขัน "การนำเสนอบทเรียน"

ระดับ: 11

การนำเสนอสำหรับบทเรียน

กลับไปข้างหน้า

ความสนใจ! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้น และอาจไม่ได้แสดงถึงคุณลักษณะทั้งหมดของการนำเสนอ หากคุณสนใจ งานนี้กรุณาดาวน์โหลดเวอร์ชันเต็ม

เป้าหมาย:

ลักษณะทั่วไปและการจัดระบบความรู้และทักษะของนักเรียน
การพัฒนาทักษะในการวิเคราะห์ เปรียบเทียบ สรุปผล

อุปกรณ์:

เครื่องฉายมัลติมีเดีย
คอมพิวเตอร์;
แผ่นงานที่มีปัญหาข้อความ

ความก้าวหน้าของชั้นเรียน

I. ช่วงเวลาขององค์กร

ครั้งที่สอง ขั้นตอนการอัพเดตความรู้(สไลด์ 2)

เราทำซ้ำวิธีการกำหนดระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ

III. บรรยาย(สไลด์ 3-15)

ในชั้นเรียนเราจะดู วิธีต่างๆการหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ

วิธีแรก: การคำนวณทีละขั้นตอน

ระยะทางจากจุด M ถึงระนาบ α:
– เท่ากับระยะห่างถึงระนาบ α จากจุดใดก็ได้ P ที่วางอยู่บนเส้นตรง a ซึ่งผ่านจุด M และขนานกับระนาบ α
– เท่ากับระยะห่างถึงระนาบ α จากจุดใดก็ได้ P ที่วางอยู่บนระนาบ β ซึ่งผ่านจุด M และขนานกับระนาบ α

เราจะแก้ไขปัญหาต่อไปนี้:

№1. ในลูกบาศก์ A...D 1 หาระยะทางจากจุด C 1 ถึงระนาบ AB 1 C

ยังคงคำนวณค่าความยาวของส่วน O 1 N

№2. ในปริซึมหกเหลี่ยมปกติ A...F 1 ซึ่งขอบทั้งหมดเท่ากับ 1 ให้หาระยะห่างจากจุด A ถึงระนาบ DEA 1

วิธีถัดไป: วิธีปริมาตร.

หากปริมาตรของพีระมิด ABCM เท่ากับ V ดังนั้นระยะทางจากจุด M ถึงระนาบ α ที่มี ∆ABC จะถูกคำนวณโดยสูตร ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
เมื่อแก้ไขปัญหา เราใช้ปริมาตรที่เท่ากันของรูปหนึ่งซึ่งแสดงออกมาในสองวิธีที่แตกต่างกัน

มาแก้ไขปัญหาต่อไปนี้:

№3. ขอบ AD ของพีระมิด DABC ตั้งฉากกับระนาบฐาน ABC ค้นหาระยะทางจาก A ถึงระนาบที่ผ่านจุดกึ่งกลางของขอบ AB, AC และ AD ถ้า

เมื่อแก้ไขปัญหา วิธีการประสานงานระยะทางจากจุด M ถึงระนาบ α สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร ρ(M; α) = โดยที่ M(x 0; y 0; z 0) และระนาบจะได้รับจากสมการ ax + by + cz + d = 0

มาแก้ไขปัญหาต่อไปนี้:

№4. ในลูกบาศก์หน่วย A...D 1 ให้หาระยะทางจากจุด A 1 ถึงระนาบ BDC 1

ขอแนะนำระบบพิกัดที่มีจุดเริ่มต้นที่จุด A แกน y จะวิ่งไปตามขอบ AB แกน x จะวิ่งไปตามขอบ AD และแกน z จะวิ่งไปตามขอบ AA 1 จากนั้นพิกัดของจุด B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
มาสร้างสมการสำหรับเครื่องบินที่ผ่านจุด B, D, C 1 กัน

จากนั้น – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0 ดังนั้น ρ =

วิธีการต่อไปนี้สามารถใช้เพื่อแก้ไขปัญหาได้ ประเภทนี้ – วิธี งานสนับสนุน.

แอปพลิเคชัน วิธีนี้ประกอบด้วยการประยุกต์ใช้ปัญหาอ้างอิงที่ทราบซึ่งกำหนดเป็นทฤษฎีบท

มาแก้ไขปัญหาต่อไปนี้:

№5. ในลูกบาศก์หน่วย A...D 1 ให้หาระยะทางจากจุด D 1 ถึงระนาบ AB 1 C

ลองพิจารณาใบสมัคร วิธีเวกเตอร์

№6. ในลูกบาศก์หน่วย A...D 1 ให้หาระยะทางจากจุด A 1 ถึงระนาบ BDC 1

ดังนั้นเราจึงดูวิธีการต่างๆ ที่สามารถใช้เพื่อแก้ไขปัญหาประเภทนี้ได้ การเลือกวิธีใดวิธีหนึ่งขึ้นอยู่กับงานเฉพาะและความชอบของคุณ

IV. งานกลุ่ม

ลองแก้ไขปัญหาด้วยวิธีต่างๆ

№1. ขอบของลูกบาศก์ A...D 1 เท่ากับ ค้นหาระยะทางจากจุดยอด C ถึงระนาบ BDC 1

№2. ในรูปทรงสี่หน้า ABCD ปกติที่มีขอบ ให้หาระยะห่างจากจุด A ถึงระนาบ BDC

№3. ในปริซึมสามเหลี่ยมปกติ ABCA 1 B 1 C 1 ขอบทุกด้านเท่ากับ 1 ให้หาระยะห่างจาก A ถึงระนาบ BCA 1

№4. ในพีระมิดรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนปกติ SABCD ขอบทุกด้านมีค่าเท่ากับ 1 ให้ค้นหาระยะห่างจาก A ถึงระนาบ SCD

V. สรุปบทเรียน การบ้านการสะท้อน

ให้เราพิจารณาระนาบที่แน่นอน π และจุดใดก็ได้ M 0 ในอวกาศ มาเลือกเครื่องบินกันดีกว่า เวกเตอร์ปกติของหน่วยและด้วย จุดเริ่มต้นณ จุดหนึ่ง M 1 ∈ π และให้ p(M 0 ,π) เป็นระยะทางจากจุด M 0 ถึงระนาบ π จากนั้น (รูปที่ 5.5)

р(М 0 ,π) = | ราคา M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)

ตั้งแต่ |n| = 1.

ถ้าให้ระนาบ π เข้าไป ระบบสี่เหลี่ยมพิกัดตามสมการทั่วไป Ax + By + Cz + D = 0 จากนั้นเวกเตอร์ปกติของมันคือเวกเตอร์ที่มีพิกัด (A; B; C) และเราสามารถเลือกได้

ให้ (x 0 ; y 0 ; z 0) และ (x 1 ; y 1 ; z 1) เป็นพิกัดของจุด M 0 และ M 1 . จากนั้นความเท่าเทียมกัน Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 ถือไว้เนื่องจากจุด M 1 เป็นของระนาบและสามารถหาพิกัดของเวกเตอร์ M 1 M 0 ได้: M 1 M 0 = (x 0 - x 1; y 0 -y 1 ; การบันทึก ผลิตภัณฑ์ดอทเราได้รับ nM 1 M 0 ในรูปแบบพิกัดและการแปลง (5.8)

เนื่องจาก Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D ดังนั้น ในการคำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ คุณจะต้องแทนที่พิกัดของจุดนั้นลงในสมการทั่วไปของระนาบ แล้วหารค่าสัมบูรณ์ของ ผลลัพธ์โดยปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานเท่ากับความยาวของเวกเตอร์ปกติที่สอดคล้องกัน

เงื่อนไขของการขนานและตั้งฉาก

1° เงื่อนไขสำหรับระนาบร่วมของเครื่องบินสองลำ

ให้เครื่องบินสองลำได้รับ:

ก 1 x + บี 1 ย + ค 1 z + ดี 1 = 0, n 1 = {ก 1 ; บี 1 ; ค 1 } ≠ 0 ;(1)

ก 2 x + บี 2 ย + ค 2 z + ดี 2 = 0, n 2 = {ก 2 ; บี 2 ; ค 2 } ≠ 0 .(2)

พวกมันจะเกิดขึ้นเมื่อใด (เช่น ขนานกันหรือบังเอิญ)? แน่นอนว่าจะเป็นเช่นนี้ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ปกติของพวกมันอยู่ในแนวเดียวกันเท่านั้น เราได้รับการใช้เกณฑ์ coplanarity

ประโยคที่ 1ระนาบสองระนาบเป็นระนาบเดียวกันก็ต่อเมื่อผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ปกติของพวกมันเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์:

[n 1 , n 2 ] = 0 .

2° เงื่อนไขแห่งความบังเอิญของเครื่องบินสองลำ

ข้อเสนอ 2.ระนาบ (1) และ (2) เกิดขึ้นพร้อมกันก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ทั้งสี่เป็นสัดส่วน กล่าวคือ มีจำนวน lam ในลักษณะที่

ก 2 = แล ก 1 , บี 2 = แล บี 1 , ค 2 = แล ค 1 , ดี 2 = แล ดี 1 . (3)

การพิสูจน์.ปล่อยให้เงื่อนไข (3) เป็นไปตามนั้น จากนั้นสมการของระนาบที่สองสามารถเขียนได้ดังนี้:

λ ก 1 x + λ บี 1 ย + λ ค 1 z + λ ดี 1 = 0.

แล ≠ 0 ไม่เช่นนั้นก็จะเป็น ก 2 = บี 2 = ค 2 = ดี 2 = 0 ซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไข n 2 ≠ 0 - ดังนั้นสมการสุดท้ายจึงเทียบเท่ากับสมการ (1) ซึ่งหมายความว่าระนาบทั้งสองตรงกัน

ในทางกลับกัน ให้เราทราบว่าเครื่องบินเหล่านี้เกิดขึ้นพร้อมกัน จากนั้นเวกเตอร์ปกติของพวกมันจะเป็นเส้นตรง กล่าวคือ มีตัวเลข แล อยู่จำนวนหนึ่ง

ก 2 = แล ก 1 , บี 2 = แล บี 1 , ค 2 = แล ค 1 .

สมการ (2) สามารถเขียนใหม่ได้เป็น:

λ ก 1 x + λ บี 1 ย + λ ค 1 z + ดี 2 = 0.

การคูณสมการ (1) ด้วย แล เราได้สมการที่เทียบเท่าของระนาบแรก (ตั้งแต่ แล ≠ 0):

λ ก 1 x + λ บี 1 ย + λ ค 1 z + λ ดี 1 = 0.

มาดูประเด็นกันบ้าง ( x 0 , ย 0 , z 0) จากระนาบแรก (และดังนั้นจึงเป็นระนาบที่สอง) และแทนที่พิกัดของมันลงในสมการสองสมการสุดท้าย เราได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง:

λ ก 1 x 0 + λ บี 1 ย 0 + λ ค 1 z 0 + ดี 2 = 0 ;

λ ก 1 x 0 + λ บี 1 ย 0 + λ ค 1 z 0 + λ ดี 1 = 0.

เราจะได้ลบอันล่างจากบน ดี 2 − แล ดี 1 = 0 เช่น ดี 2 = แล ดี 1, คิวอีดี.

3° เงื่อนไขความตั้งฉากของระนาบทั้งสอง

แน่นอนว่าเวกเตอร์ปกติตั้งฉากกันจึงจำเป็นและเพียงพอ

ข้อเสนอ 3.ระนาบสองระนาบจะตั้งฉากก็ต่อเมื่อผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ปกติเป็นศูนย์:

(n 1 , n 2) = 0 .

ให้สมการระนาบมา

ขวาน + โดย + ซีซี + ดี = 0, n = {ก; บี; ค} ≠ 0 ,

และช่วงเวลา ม 0 = (x 0 , ย 0 , z 0) ให้เราหาสูตรสำหรับระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ:

ลองใช้จุดใดก็ได้ ถาม = (x 1 , ย 1 , z 1) นอนอยู่บนเครื่องบินลำนี้ พิกัดของมันเป็นไปตามสมการระนาบ:

ขวาน 1 + โดย 1 + ซีซี 1 + ดี = 0.

ให้เราทราบว่าระยะทางที่ต้องการ งเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของการฉายภาพเวกเตอร์ ไปยังทิศทางของเวกเตอร์ n (ในที่นี้เราใช้การฉายภาพเป็นปริมาณตัวเลข ไม่ใช่เวกเตอร์) ต่อไป เราใช้สูตรในการคำนวณการฉายภาพ:

สูตรที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับระยะทาง งจากจุด ม 0 = (x 0 , ย 0) ระนาบเป็นเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการทั่วไป ขวาน + โดย + ค = 0.

การกำหนดระยะห่างระหว่าง: 1 - จุดและระนาบ 2 - ตรงและแบน; 3 - เครื่องบิน; 4 - พิจารณาการข้ามเส้นตรงร่วมกัน เนื่องจากอัลกอริธึมการแก้ปัญหาสำหรับปัญหาเหล่านี้ทั้งหมดจะเหมือนกันโดยพื้นฐานและประกอบด้วยโครงสร้างทางเรขาคณิตที่จำเป็นต้องดำเนินการเพื่อกำหนดระยะห่างระหว่างจุด A และระนาบ α ที่กำหนด หากมีความแตกต่างใด ๆ ประกอบด้วยในกรณีที่ในกรณีที่ 2 และ 3 ก่อนที่จะเริ่มแก้ไขปัญหาคุณควรทำเครื่องหมายจุด A ตามอำเภอใจบนเส้นตรง m (กรณีที่ 2) หรือระนาบ β (กรณีที่ 3) ระยะห่างระหว่างเส้นตัดกัน ก่อนอื่นเราจะล้อมมันไว้ในระนาบขนาน α และ β แล้วจึงหาระยะห่างระหว่างระนาบเหล่านี้

ให้เราพิจารณาแต่ละกรณีของการแก้ปัญหาที่ระบุไว้

1. การกำหนดระยะห่างระหว่างจุดกับระนาบ

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบถูกกำหนดโดยความยาวของส่วนตั้งฉากที่ลากจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหานี้จึงประกอบด้วยการดำเนินการทางกราฟิกต่อไปนี้ตามลำดับ:

1) จากจุด A เราลดตั้งฉากกับระนาบα (รูปที่ 269)

2) ค้นหาจุด M ของจุดตัดของฉากตั้งฉากกับระนาบ M = a ∩ α;

3) กำหนดความยาวของส่วน

ถ้าระนาบ α ตำแหน่งทั่วไปจากนั้นเพื่อที่จะลดแนวตั้งฉากลงบนระนาบนี้ จำเป็นต้องกำหนดทิศทางของการฉายภาพแนวนอนและด้านหน้าของระนาบนี้ก่อน การหาจุดบรรจบของฉากตั้งฉากกับเครื่องบินยังต้องมีโครงสร้างทางเรขาคณิตเพิ่มเติมอีกด้วย

การแก้ปัญหาจะง่ายขึ้นถ้าระนาบ α ครอบครองตำแหน่งเฉพาะที่สัมพันธ์กับระนาบการฉายภาพ ในกรณีนี้ทั้งการฉายภาพตั้งฉากและการค้นหาจุดพบกับเครื่องบินจะดำเนินการโดยไม่มีสิ่งก่อสร้างเสริมเพิ่มเติม

ตัวอย่าง 1. กำหนดระยะห่างจากจุด A ไปยังระนาบที่ฉายด้านหน้า α (รูปที่ 270)

สารละลาย. ผ่าน A" เราวาดเส้นโครงแนวนอนของเส้นตั้งฉาก l" ⊥ h 0α และผ่าน A" - เส้นโครงด้านหน้า l" ⊥ f 0α เราทำเครื่องหมายจุด M" = l" ∩ f 0α . ตั้งแต่เช้า || π 2 จากนั้น [A" M"] == |AM| = ง.

จากตัวอย่างที่พิจารณา เป็นที่ชัดเจนว่าปัญหาจะได้รับการแก้ไขอย่างไรเมื่อเครื่องบินอยู่ในตำแหน่งที่ฉาย ดังนั้น หากมีการระบุระนาบตำแหน่งทั่วไปในข้อมูลต้นฉบับ ก่อนที่จะดำเนินการแก้ไขปัญหา ควรย้ายระนาบไปยังตำแหน่งที่ตั้งฉากกับระนาบการฉายภาพใดๆ

ตัวอย่าง 2. หาระยะทางจากจุด K ถึงระนาบที่ระบุโดย ΔАВС (รูปที่ 271)

1. เราถ่ายโอนเครื่องบิน ΔАВС ไปยังตำแหน่งที่ฉาย * ในการทำเช่นนี้เราย้ายจากระบบ xπ 2 /π 1 เป็น x 1 π 3 /π 1: ทิศทางของแกน x 1 ใหม่ถูกเลือกตั้งฉากกับการฉายภาพแนวนอนของระนาบแนวนอนของรูปสามเหลี่ยม

2. ฉาย ΔABC บนระนาบใหม่ π 3 (ระนาบ ΔABC ถูกฉายลงบน π 3 ใน [ C " 1 B " 1 ])

3. ฉายจุด K ลงบนระนาบเดียวกัน (K" → K" 1)

4. ผ่านจุด K" 1 เราวาด (K" 1 M" 1)⊥ ส่วน [C" 1 B" 1] ระยะทางที่ต้องการ d = |K" 1 M" 1 |

การแก้ปัญหาจะง่ายขึ้นหากระนาบถูกกำหนดโดยการติดตาม เนื่องจากไม่จำเป็นต้องวาดเส้นโครงระดับ

ตัวอย่าง 3 กำหนดระยะห่างจากจุด K ถึงระนาบ α ที่ระบุโดยราง (รูปที่ 272)

* วิธีที่สมเหตุสมผลที่สุดในการถ่ายโอนระนาบสามเหลี่ยมไปยังตำแหน่งที่ฉายคือการเปลี่ยนระนาบการฉายภาพ เนื่องจากในกรณีนี้ การสร้างส่วนฉายเสริมเพียงอันเดียวก็เพียงพอแล้ว

สารละลาย. เราแทนที่ระนาบ π 1 ด้วยระนาบ π 3 ด้วยเหตุนี้เราจึงวาดแกนใหม่ x 1 ⊥ f 0α บน h 0α เราทำเครื่องหมายจุดใดก็ได้ 1" และกำหนดเส้นโครงแนวนอนใหม่บนระนาบ π 3 (1" 1) ผ่านจุด X α 1 (X α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) และ 1" 1 เราวาด h 0α 1 เรากำหนดเส้นโครงแนวนอนใหม่ของจุด K → K" 1 จากจุด K" 1 เราลดตั้งฉากลงเป็น h 0α 1 และทำเครื่องหมายจุดตัดด้วย h 0α 1 - M" 1 ความยาวของส่วน K" 1 M" 1 จะระบุระยะทางที่ต้องการ

2. การกำหนดระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับระนาบ

ระยะห่างระหว่างเส้นและระนาบถูกกำหนดโดยความยาวของส่วนตั้งฉากที่ตกลงจากจุดใดก็ได้ของเส้นไปยังระนาบ (ดูรูปที่ 248)

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาการกำหนดระยะห่างระหว่างเส้นตรง m และระนาบ α จึงไม่แตกต่างจากตัวอย่างที่กล่าวถึงในย่อหน้าที่ 1 เพื่อกำหนดระยะห่างระหว่างจุดกับระนาบ (ดูรูปที่ 270 ... 272) โดยจุดหนึ่ง คุณสามารถรับจุดใดๆ ที่เป็นของเส้น m ได้

3. การกำหนดระยะห่างระหว่างระนาบ

ระยะห่างระหว่างระนาบถูกกำหนดโดยขนาดของส่วนตั้งฉากที่ตกลงจากจุดที่ถ่ายบนระนาบหนึ่งไปยังอีกระนาบหนึ่ง

จากคำจำกัดความนี้เป็นไปตามว่าอัลกอริทึมในการแก้ปัญหาการหาระยะห่างระหว่างระนาบ α และ β แตกต่างจากอัลกอริทึมที่คล้ายกันในการแก้ปัญหาการกำหนดระยะห่างระหว่างเส้น m และระนาบ α เฉพาะในเส้นตรงนั้น m จะต้องเป็นของระนาบ α กล่าวคือ เพื่อกำหนดระยะห่างระหว่างระนาบ α และ β ดังนี้:

1) ใช้เส้นตรง m ในระนาบ α;

2) เลือกจุด A บนบรรทัด m;

3) จากจุด A ลดแนวตั้งฉาก l ลงกับระนาบ β;

4) กำหนดจุด M - จุดนัดพบของตั้งฉาก l กับระนาบ β;

5) กำหนดขนาดของส่วน

ในทางปฏิบัติ ขอแนะนำให้ใช้อัลกอริธึมการแก้ปัญหาอื่น ซึ่งจะแตกต่างจากอัลกอริทึมที่ให้ไว้เท่านั้น ก่อนที่จะดำเนินการในขั้นตอนแรก ควรย้ายระนาบไปยังตำแหน่งฉายภาพ

การรวมการดำเนินการเพิ่มเติมนี้ในอัลกอริทึมทำให้การดำเนินการจุดอื่นๆ ทั้งหมดง่ายขึ้นโดยไม่มีข้อยกเว้น ซึ่งท้ายที่สุดจะนำไปสู่โซลูชันที่ง่ายกว่า

ตัวอย่าง 1. หาระยะห่างระหว่างระนาบ α และ β (รูปที่ 273)

สารละลาย. เราย้ายจากระบบ xπ 2 /π 1 ถึง x 1 π 1 /π 3 ด้วยความเคารพต่อระนาบใหม่ π 3 ระนาบ α และ β ครอบครองตำแหน่งที่ยื่นออกมา ดังนั้น ระยะห่างระหว่างร่องรอยหน้าผากใหม่ f 0α 1 และ f 0β 1 จึงเป็นระยะห่างที่ต้องการ

ในการปฏิบัติงานด้านวิศวกรรม มักจำเป็นต้องแก้ปัญหาในการสร้างเครื่องบินขนานกับระนาบที่กำหนดและนำออกจากระนาบนั้นในระยะทางที่กำหนด ตัวอย่างที่ 2 ด้านล่างแสดงวิธีแก้ไขปัญหาดังกล่าว

ตัวอย่าง 2 จำเป็นต้องสร้างเส้นโครงของระนาบ β ขนานกับระนาบที่กำหนด α (m || n) หากรู้ว่าระยะห่างระหว่างพวกมันคือ d (รูปที่ 274)

1. ในระนาบ α ให้วาดเส้นแนวนอน h (1, 3) และเส้นหน้า f (1,2) ใดๆ ก็ได้

2. จากจุดที่ 1 เราจะคืนค่าตั้งฉาก l ไปยังระนาบ α(l" ⊥ h", l" ⊥ f")

3. ในแนวตั้งฉาก l เราทำเครื่องหมายจุด A โดยพลการ

4. กำหนดความยาวของส่วน - (ตำแหน่งระบุบนแผนภาพถึงทิศทางที่ไม่บิดเบี้ยวของเส้นตรง l)

5. จัดวางส่วน = d บนเส้นตรง (1"A 0) จากจุดที่ 1"

6. ทำเครื่องหมายบนเส้นโครง l" และ l" จุด B" และ B" ซึ่งสอดคล้องกับจุด B 0

7. ผ่านจุด B เราวาดระนาบ β (h 1 ∩ f 1) ถึงβ || α จำเป็นต้องปฏิบัติตามเงื่อนไข h 1 || ชั่วโมง และ ฉ 1 || ฉ.

4. การกำหนดระยะห่างระหว่างเส้นตัดกัน

ระยะห่างระหว่างเส้นตัดกันถูกกำหนดโดยความยาวของเส้นตั้งฉากที่ล้อมรอบระหว่างระนาบขนานซึ่งมีเส้นตัดกันอยู่

เพื่อที่จะวาดระนาบที่ขนานกัน α และ β ผ่านเส้นตรงที่ตัดกัน m และ f ก็เพียงพอแล้วที่จะลากผ่านจุด A (A ∈ m) ซึ่งเป็นเส้นตรง p ขนานกับเส้นตรง f และผ่านจุด B (B ∈ f) เส้นตรง k ขนานกับเส้นตรง m เส้นที่ตัดกัน m และ p, f และ k กำหนดระนาบขนานกัน α และ β (ดูรูปที่ 248, e) ระยะห่างระหว่างระนาบ α และ β เท่ากับระยะห่างที่ต้องการระหว่างเส้นตัดกัน m และ f

สามารถเสนอวิธีอื่นเพื่อกำหนดระยะห่างระหว่างเส้นตัดกันซึ่งประกอบด้วยความจริงที่ว่าเมื่อใช้วิธีการบางอย่างในการเปลี่ยนการฉายภาพมุมฉากเส้นที่ตัดกันเส้นใดเส้นหนึ่งจะถูกถ่ายโอนไปยังตำแหน่งที่ฉาย ในกรณีนี้ เส้นโครงหนึ่งเส้นจะเสื่อมลงเป็นจุดหนึ่ง ระยะห่างระหว่างเส้นโครงใหม่ของเส้นตัดกัน (จุด A" 2 และส่วน C" 2 D" 2) เป็นสิ่งที่จำเป็น

ในรูป 275 แสดงวิธีแก้ปัญหาการกำหนดระยะห่างระหว่างเส้นตัดกัน a และ b โดยกำหนดให้เซกเมนต์ [AB] และ [CD] การแก้ปัญหาจะดำเนินการตามลำดับต่อไปนี้:

1. โอนเส้นตัดขวางเส้นใดเส้นหนึ่ง (a) ไปยังตำแหน่งขนานกับระนาบ π 3 เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้ย้ายจากระบบของระนาบการฉายภาพ xπ 2 /π 1 ไปยัง x 1 π 1 /π 3 ใหม่ โดยแกน x 1 จะขนานกับการฉายภาพแนวนอนของเส้นตรง a กำหนด a" 1 [A" 1 B" 1 ] และ b" 1

2. โดยการแทนที่ระนาบ π 1 ด้วยระนาบ π 4 เราจะแปลเส้นตรง

และเพื่อวางตำแหน่ง a" 2 ซึ่งตั้งฉากกับระนาบ π 4 (แกน x 2 ใหม่จะถูกวาดตั้งฉากกับ a" 1)

3. สร้างเส้นโครงแนวนอนใหม่ของเส้นตรง b" 2 - [ C" 2 D" 2 ]

4. ระยะห่างจากจุด A" 2 ถึงเส้นตรง C" 2 D" 2 (ส่วน (A" 2 M" 2 ] (เป็นส่วนที่ต้องการ

ควรระลึกไว้ว่าการถ่ายโอนเส้นตัดขวางเส้นใดเส้นหนึ่งไปยังตำแหน่งที่ฉายนั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าการถ่ายโอนระนาบของการขนานซึ่งสามารถปิดล้อมเส้น a และ b ได้รวมถึงตำแหน่งที่ฉายด้วย

ในความเป็นจริง โดยการย้ายเส้น a ไปยังตำแหน่งที่ตั้งฉากกับระนาบ π 4 เรามั่นใจว่าระนาบใดๆ ที่มีเส้น a จะตั้งฉากกับระนาบ π 4 รวมถึงระนาบ α ที่กำหนดโดยเส้น a และ m (a ∩ m, m | |.ข ). หากตอนนี้เราลากเส้น n ขนานกับ a และเส้นที่ตัดกัน b แล้วเราจะได้ระนาบ β ซึ่งเป็นระนาบที่สองของการขนานซึ่งมีเส้นที่ตัดกัน a และ b ตั้งแต่ β || α แล้วก็ β ⊥ π 4 .

ให้มีเครื่องบิน - มาวาดแบบปกติกันเถอะ
ผ่านที่มาของพิกัด O. ให้
– มุมที่เกิดขึ้นจากเส้นปกติ ด้วยแกนพิกัด
- อนุญาต – ความยาวของส่วนปกติ
จนกระทั่งมันตัดกับเครื่องบิน สมมติว่าทราบทิศทางโคไซน์ของเส้นปกติ เราได้รับสมการของระนาบ .

อนุญาต
) เป็นจุดใดก็ได้บนเครื่องบิน เวกเตอร์ปกติของหน่วยมีพิกัด ลองหาเส้นโครงของเวกเตอร์กัน
ให้เป็นปกติ

ตั้งแต่จุด มเป็นของเครื่องบินแล้ว

นี่คือสมการของระนาบที่กำหนดเรียกว่า ปกติ .

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ

ให้เครื่องบินได้รับ ,ม*
– จุดในอวกาศ ง – ระยะทางจากเครื่องบิน

คำนิยาม. การเบี่ยงเบน คะแนน ม*จากเครื่องบินเรียกว่าหมายเลข ( + ง), ถ้า ม* อยู่อีกด้านหนึ่งของระนาบซึ่งมีทิศทางบวกของจุดปกติ และหมายเลข (- ง) หากจุดนั้นอยู่อีกด้านหนึ่งของระนาบ:

ทฤษฎีบท. ให้เครื่องบิน พร้อมตัวเครื่องปกติ ได้มาจากสมการปกติ:

อนุญาต ม*
– จุดเบี่ยงเบนในอวกาศ t. ม* จากระนาบจะได้รับจากนิพจน์

การพิสูจน์.การฉายภาพ
* เราแสดงตามปกติ ถาม. จุดเบี่ยงเบน ม*จากเครื่องบินก็เท่ากัน

กฎ.เพื่อค้นหา ส่วนเบี่ยงเบน ต. ม* จากระนาบ คุณต้องแทนที่พิกัด t ลงในสมการปกติของระนาบ ม* - ระยะห่างจากจุดหนึ่งถึงระนาบคือ .

การลดสมการระนาบทั่วไปให้อยู่ในรูปปกติ

ให้ระนาบเดียวกันถูกกำหนดโดยสองสมการ:

สมการทั่วไป

สมการปกติ

เนื่องจากสมการทั้งสองกำหนดระนาบเดียวกัน ค่าสัมประสิทธิ์จึงเป็นสัดส่วน:

ลองยกกำลังสองความเท่าเทียมกันสามรายการแรกแล้วบวกเข้าด้วยกัน:

จากนี้เราจะพบกับ – ปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐาน:

. (10)

โดยการคูณสมการทั่วไปของระนาบด้วยปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐาน เราจะได้สมการปกติของระนาบ:

ตัวอย่างปัญหาในหัวข้อ “เครื่องบิน”

ตัวอย่างที่ 1สร้างสมการของระนาบ ผ่านจุดที่กำหนด
(2,1,-1) และขนานกับระนาบ

สารละลาย- ปกติกับเครื่องบิน :
- เนื่องจากระนาบขนานกันจึงเป็นเส้นปกติ เป็นเรื่องปกติของระนาบที่ต้องการด้วย - เมื่อใช้สมการของเครื่องบินที่ผ่านจุดที่กำหนด (3) เราได้มาจากเครื่องบิน สมการ:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2ฐานของฉากตั้งฉากตกลงจากจุดกำเนิดไปยังระนาบ คือประเด็น
- ค้นหาสมการของระนาบ .

สารละลาย- เวกเตอร์
เป็นเรื่องปกติของเครื่องบิน - จุด ม 0 เป็นของเครื่องบิน คุณสามารถใช้สมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนด (3):

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 3สร้างเครื่องบิน ,ผ่านจุดต่างๆ

และตั้งฉากกับระนาบ :.

ดังนั้นในบางจุด ม (x, ย, z) อยู่ในเครื่องบิน จำเป็นต้องมีเวกเตอร์สามตัว
เป็นระนาบเดียวกัน:

=0.

ยังคงเปิดเผยดีเทอร์มิแนนต์และนำนิพจน์ผลลัพธ์มาสู่รูปสมการทั่วไป (1)

ตัวอย่างที่ 4เครื่องบิน ได้รับจากสมการทั่วไป:

ค้นหาส่วนเบี่ยงเบนจุด
จากเครื่องบินที่กำหนด

สารละลาย- ให้เรานำสมการของระนาบมาสู่รูปแบบปกติ

ให้เราแทนพิกัดของจุดลงในสมการปกติที่ได้ ม*.

คำตอบ:
.

ตัวอย่างที่ 5เครื่องบินตัดส่วนดังกล่าวหรือไม่?

สารละลาย- ที่จะตัด เอบีข้ามระนาบการเบี่ยงเบน และ จากเครื่องบิน จะต้องมีสัญญาณที่แตกต่างกัน:

ตัวอย่างที่ 6จุดตัดของเครื่องบินสามลำ ณ จุดหนึ่ง

ระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ดังนั้น ระนาบทั้งสามจึงมีจุดร่วมเพียงจุดเดียว

ตัวอย่างที่ 7การค้นหาเส้นแบ่งครึ่งของมุมไดฮีดรัลที่เกิดจากระนาบที่กำหนดสองระนาบ

อนุญาต และ -เบี่ยงเบนไปบางจุด
จากเครื่องบินลำแรกและลำที่สอง

บนระนาบเส้นแบ่งครึ่งอันใดอันหนึ่ง (ตรงกับมุมที่จุดกำเนิดของพิกัดอยู่) การเบี่ยงเบนเหล่านี้มีขนาดและเครื่องหมายเท่ากัน และอีกอันมีขนาดเท่ากันและมีเครื่องหมายตรงกันข้าม

นี่คือสมการของระนาบเส้นแบ่งครึ่งอันแรก

นี่คือสมการของระนาบเส้นแบ่งครึ่งอันที่สอง

ตัวอย่างที่ 8การกำหนดตำแหน่งของจุดที่กำหนดสองจุด และ สัมพันธ์กับมุมไดฮีดรัลที่เกิดจากระนาบเหล่านี้