Plani:

1. Koncepti si formë e të menduarit. Përmbajtja dhe shtrirja e konceptit.

2. Përkufizimi i konceptit, llojet e përkufizimeve. Klasifikimi i koncepteve.

3. Metodat e studimit të koncepteve në kursin e shkollës së mesme (propedeutikë, hyrje, asimilim, konsolidim, parandalim gabimesh).

1. Njohja e botës përreth kryhet në unitetin dialektik të formave sensuale dhe racionale të të menduarit. Format shqisore të të menduarit përfshijnë: ndjesinë, perceptimin, përfaqësimin. Format racionale të të menduarit përfshijnë: konceptet, gjykimet, përfundimet. Ndjesia dhe perceptimi janë sinjalet e para të realitetit. Mbi bazën e tyre formohen ide të përgjithshme dhe prej tyre, si rezultat i aktivitetit kompleks mendor, kalojmë në koncepte.

Një koncept është një formë e të menduarit që pasqyron veçoritë (vetitë) thelbësore të objekteve në botën reale.

Një pronë është thelbësore nëse është e natyrshme në këtë objekt dhe pa të nuk mund të ekzistojë. Për shembull, koncepti formal i një kubi (kube të ndryshëm, madhësi, ngjyra, materiale). Kur i vëzhgoni ato, lind perceptimi i objektit, prandaj lind ideja e këtyre objekteve në vetëdije. Më pas, duke nxjerrë në pah veçoritë thelbësore, formohet një koncept.

Pra, koncepti është abstraguar nga veçoritë dhe atributet individuale të perceptimeve dhe ideve individuale dhe është rezultat i një përgjithësimi të perceptimeve dhe ideve të një numri shumë të madh fenomenesh dhe objektesh homogjene.

Çdo koncept ka dy karakteristika logjike: përmbajtjen dhe vëllimin.

Shtrirja e një koncepti është një grup objektesh të shënuara me të njëjtin term (emër).

Për shembull, termi (emri) - trapezoid.

1) katërkëndëshi,

2) një palë brinjë të kundërta është paralele,

3) çifti tjetër i anëve të kundërta nuk është paralel,

4) shuma e këndeve ngjitur me anën anësore është .

Qëllimi i konceptit është të gjitha trapezoidet e imagjinueshme.

Ekziston marrëdhënia e mëposhtme midis përmbajtjes së një koncepti dhe fushëveprimit të tij: sa më i madh të jetë qëllimi i një koncepti, aq më i vogël përmbajtja e tij dhe anasjelltas. Kështu, për shembull, shtrirja e konceptit "trekëndësh izosceles" është më e vogël se shtrirja e konceptit "trekëndësh". Dhe përmbajtja e konceptit të parë është më e madhe se përmbajtja e të dytit, sepse një trekëndësh dykëndësh ka jo vetëm të gjitha vetitë e një trekëndëshi, por edhe veti të veçanta të natyrshme vetëm në trekëndëshat izosceles (anët janë të barabarta, këndet në bazë janë të barabartë). Pra, nëse rritni përmbajtjen, atëherë shtrirja e konceptit do të ulet.

Nëse shtrirja e një koncepti përfshihet si pjesë e fushëveprimit të një koncepti tjetër, atëherë koncepti i parë quhet specifik, dhe i dyti i përgjithshëm.

Për shembull, Një romb është një paralelogram në të cilin të gjitha anët janë të barabarta (Pogorelov, klasa 8). Romb - specifik, paralelogram - gjenerik.

Një katror është një drejtkëndësh në të cilin të gjitha anët janë të barabarta (Pogorelov, klasa 8). Sheshi - specifik, drejtkëndësh - i përgjithshëm.

Por, një katror është një romb me një kënd të drejtë.

Kjo do të thotë, koncepti i gjinisë dhe specieve janë relativë.

Çdo koncept shoqërohet me një fjalë-term që korrespondon me këtë koncept. Në matematikë, një koncept shpesh shënohet me simbolin ( ‌ ║). Termat dhe simbolet janë mjete që shërbejnë për të shprehur dhe rregulluar konceptet matematikore, për të transmetuar dhe përpunuar informacione rreth tyre.

2. Përmbajtja e konceptit të çdo objekti matematik përfshin shumë veti të ndryshme thelbësore të këtij objekti. Megjithatë, për të njohur një objekt, për të përcaktuar nëse ai i përket një koncepti të caktuar apo jo, mjafton të kontrollohet nëse ai ka disa veti thelbësore.

Përkufizimi i një koncepti është formulimi i një fjalie që rendit veçoritë e nevojshme dhe të mjaftueshme të konceptit. Kështu, përmbajtja e konceptit zbulohet përmes përkufizimit.

Llojet e përkufizimeve të koncepteve.

1.Përkufizimi përmes gjinisë më të afërt dhe ndryshimit specifik .

Theksojmë se si dallim specifik merret gjithmonë një tipar i parëndësishëm i konceptit gjenerik, i cili tashmë është thelbësor për konceptin që përkufizohet.

Vetitë e një objekti në një përkufizim të tillë zbulohen duke treguar operacionet e ndërtimit të tij.

Shembull, trekëndëshat quhen të barabartë nëse brinjët e tyre përkatëse dhe këndet përkatëse janë të barabarta (Pogorelov, Klasa 7). Ky përkufizim u tregon studentëve se si të ndërtojnë një trekëndësh të barabartë me një të dhënë.

3.Përkufizime - Marrëveshje me kusht . Të njëjtat përkufizime konstruktive, por të bazuara në disa konventa. Përkufizime të tilla përdoren në kursin shkollor të matematikës kur zgjerohet koncepti i numrit.

Për shembull, .

4. Induktive (rekurzive). Tregohen disa objekte bazë të një klase të caktuar dhe rregulla që lejojnë marrjen e objekteve të reja të së njëjtës klasë.

Për shembull . Sekuenca numerike e çdo termi, e cila, duke filluar nga i dyti, është e barabartë me termin paraardhës, shtohet me të njëjtin numër quhet progresion aritmetik.

5. Përkufizime negative. Ata nuk vendosin vetitë e objektit. Ata kryejnë një funksion klasifikimi. Për shembull, drejtëza ndërprerëse janë ato drejtëza që nuk i përkasin një rrafshi dhe nuk priten.

6. Përkufizim aksiomatik . Përkufizimi përmes një sistemi aksiomash. Për shembull, përkufizimi i zonës dhe vëllimit.

Llojet e gabimeve në përcaktimin e koncepteve.

1) Përkufizimi duhet të jetë proporcional - ai duhet të tregojë konceptin gjenerik më të afërt me konceptin që përkufizohet (një paralelogram është një katërkëndësh, një paralelogram është një shumëkëndësh).

2) Përkufizimi nuk duhet të përmbajë një "rreth vicioz" - i pari përcaktohet përmes të dytit, dhe i dyti përmes të parës (një kënd i drejtë është nëntëdhjetë gradë, një shkallë është një e nëntëdhjetë e një këndi të drejtë).

3) Përkufizimi duhet të jetë i mjaftueshëm. Përkufizimi duhet të përmbajë të gjitha shenjat që ju lejojnë të identifikoni pa mëdyshje objektet e konceptit që përcaktohen (quhen kënde ngjitur, të cilat në total japin ).

4) Përkufizimi nuk duhet të jetë i tepërt, domethënë përkufizimi nuk duhet të përmbajë veçori të panevojshme të konceptit që përkufizohet. Për shembull, një romb është një paralelogram në të cilin të gjitha anët janë të barabarta (Pogorelov, klasa 8). Ky përkufizim është i tepërt, pasi mjafton barazia e dy anëve fqinje.

5) Përkufizimi nuk duhet të jetë një tautologji, domethënë, duke përsëritur në çfarëdo forme verbale atë që u tha më parë. Për shembull, trekëndëshat e barabartë janë trekëndësha që janë të barabartë me njëri-tjetrin.

Struktura logjike e dallimeve specifike.

1. Dallimet specifike mund të lidhen me bashkimin "dhe" - struktura lidhore e përkufizimit.

2. Dallimet specifike lidhen me bashkimin "ose" - struktura ndarëse e përkufizimit.

3. Dallimet specifike lidhen me fjalët "nëse ...., atëherë ..." - një strukturë implikative.

Klasifikimi është shpërndarja e objekteve të një koncepti në klasa të ndërlidhura (lloje, lloje) sipas veçorive (vetive) më domethënëse. Shenja (pasuria), sipas së cilës bëhet klasifikimi (ndarja) e konceptit në lloje (klasa), quhet baza e klasifikimit.

Gjatë klasifikimit, duhet të respektohen rregullat e mëposhtme:

1) Si bazë e klasifikimit, ju mund të merrni vetëm një tipar të përbashkët të të gjitha objekteve të një koncepti të caktuar, ai duhet të mbetet i pandryshuar në procesin e klasifikimit.

2) Çdo objekt i konceptit duhet të bjerë në një dhe vetëm një klasë si rezultat i klasifikimit.

3) Klasifikimi duhet të jetë proporcional, d.m.th., bashkimi i klasave të objekteve përbëjnë qëllimin e konceptit (nuk ka objekt që nuk do të hynte në asnjë klasë).

4) Klasifikimi duhet të jetë i vazhdueshëm, domethënë, në procesin e klasifikimit, është e nevojshme të kalohet në konceptin (llojin) gjenerik më të afërt (për këtë).

Aktualisht, termi klasifikim nuk përdoret në tekstet shkollore, kërkesat nuk tregohen. Por kjo nuk do të thotë se mësuesi nuk i klasifikon konceptet. Mund të klasifikoni numra, funksione, shprehje algjebrike, transformime gjeometrike, poligone, poliedra. Mund të hartohet në formën e një diagrami, një tabele.

Nxënësit duhet të përgatiten për të ndërtuar vazhdimisht një klasifikim. Në fazën e parë, studentëve duhet t'u ofrohen skema, tabela të gatshme. Në të dytën, plotësimi i këtyre skemave, tabelave. Në dizajnin e tretë të pavarur.

Llojet e klasifikimeve:

1. Klasifikimi sipas një tipari të modifikuar. Për shembull, një trekëndësh. Baza e klasifikimit: vlera e këndeve të brendshme, anëtarët: drejtkëndëshe, me kënd të mprehtë, me kënd të mpirë.

2. Klasifikimi dikotomik (dicha dhe tome (greqisht) - "seksion në dy pjesë"). Është një ndarje e vëllimit të konceptit të klasifikuar në dy koncepte specifike kontradiktore, njëri prej të cilëve e ka këtë veçori dhe tjetri jo.

Për shembull,

3. Gjatë formimit të një koncepti, duhet të respektohen tre faza: prezantimi, asimilimi, konsolidimi.

I. Hyrja mund të bëhet në dy mënyra:

a) konkret-induktiv - të gjitha tiparet e konceptit merren parasysh në shembuj ose detyra, pas së cilës prezantohet termi dhe përkufizimi.

b) abstrakt-deduktiv - jepet menjëherë një përkufizim, dhe më pas shenjat përpunohen duke përdorur shembuj.

II. Asimilimi.

Këtu ka dy gola:

1) mësoni përkufizimin.

2) Të mësojë studentët të përcaktojnë nëse një objekt i përshtatet koncepteve në shqyrtim apo jo. Kjo fazë kryhet në ushtrime të dizajnuara posaçërisht.

Për të arritur qëllimin e dytë, është e nevojshme:

1) tregoni sistemin e vetive të nevojshme dhe të mjaftueshme të objekteve të kësaj klase.

2) përcaktoni nëse objekti i dhënë ka vetitë e zgjedhura apo jo.

3) të konkludohet se objekti i përket këtij koncepti.

III. Konsolidimi është zgjidhja e problemeve më komplekse, duke përfshirë konceptet në shqyrtim.

Vërejtje 1. Gjatë formulimit të një përkufizimi të një koncepti, duhet kushtuar vëmendje nëse studentët e kuptojnë kuptimin e secilës fjalë të përdorur në përkufizim. Para së gjithash, duhet t'i kushtoni vëmendje fjalëve të mëposhtme: "secila", "jo më", etj.

Vërejtje 2. Në fazën e konsolidimit të konceptit, duhet të ofrohen detyra jo vetëm për njohjen e objekteve, por edhe për gjetjen e pasojave. Për shembull, dihet se një katërkëndësh është një trapez (dhe bazat e tij). Emërtoni pasojat që rrjedhin nga këto kushte në bazë të përkufizimit të një trapezi.

Testov Vladimir Afanasyevich,

Doktor i Shkencave Pedagogjike, Profesor i Departamentit të Matematikës dhe Metodave të Mësimdhënies së Matematikës FSBEI HPE ©Vologda State University, Vologda [email i mbrojtur]

Karakteristikat e formimit të koncepteve themelore matematikore tek nxënësit e shkollës në kushte moderne

Shënim. Artikulli diskuton tiparet e formimit të koncepteve matematikore tek nxënësit e shkollës në paradigmën moderne të arsimit dhe në dritën e kërkesave të paraqitura në konceptin e zhvillimit të arsimit matematikor. Këto kërkesa përfshijnë përditësimin e përmbajtjes së mësimdhënies së matematikës në shkollë, afrimin e saj me seksionet moderne dhe aplikimin praktik, si dhe përdorimin e gjerë të aktiviteteve të projektit. Për të kapërcyer përçarjen ekzistuese të disiplinave të ndryshme matematikore, izolimi i temave dhe seksioneve individuale, për të siguruar integritetin dhe unitetin në mësimdhënien e matematikës është e mundur vetëm në bazë të nxjerrjes në pah të bërthamave kryesore në të. Strukturat matematikore janë shufra të tillë. Një kusht i domosdoshëm për zbatimin e parimit të aksesueshmërisë së të mësuarit është procesi gradual i formimit të koncepteve për strukturat themelore matematikore. Metoda e projekteve mund të jetë një ndihmë e madhe në studimin me faza të strukturave matematikore. Përdorimi i kësaj metode në studimin e strukturave matematikore nga nxënësit e shkollës na lejon të zgjidhim një gamë të tërë detyrash për zgjerimin dhe thellimin e njohurive në matematikë, duke marrë parasysh mundësitë e zbatimit të tyre në aktivitete praktike, përvetësimin e aftësive praktike në punën me produkte moderne softuerike, dhe zhvillimin e gjithanshëm të aftësive individuale të nxënësve të shkollës Fjalët kyçe: përmbajtja e mësimdhënies së matematikës, struktura matematikore, fazat e procesit të formimit të konceptit, metoda e projektit Seksioni: (01) Pedagogji; historia e pedagogjisë dhe arsimit; teoria dhe metodologjia e trajnimit dhe edukimit (sipas fushave lëndore).

Aktualisht po përfundon kalimi në shoqërinë e informacionit, në të njëjtën kohë po formohet një paradigmë e re në arsim, e bazuar në metodologjinë post-joklasike, parimet sinergjike të vetë-edukimit, futjen e teknologjive të rrjetit, aktivitetet e projektit. dhe një qasje e bazuar në kompetenca. Të gjitha këto prirje të reja kërkojnë përditësimin e përmbajtjes së mësimdhënies së matematikës në shkollë, duke e afruar atë me seksionet moderne dhe aplikimet praktike. Veçoritë e materialit arsimor në shoqërinë e informacionit janë teprica themelore e informacionit, natyra jolineare e vendosjes së tij, mundësia e ndryshueshmërisë së materialit arsimor.Roli i arsimit matematikor si bazë e konkurrencës, një element thelbësor i vendit. sigurisë, u njoh nga udhëheqja ruse.Në dhjetor 2013, qeveria miratoi konceptin e zhvillimit të arsimit matematikor. Ky koncept ngre shumë probleme aktuale të edukimit matematik. Problemi kryesor është motivimi i ulët arsimor i nxënësve, i cili shoqërohet me nënvlerësimin e edukimit matematikor që ekziston në mendjen e publikut, si dhe me mbingarkimin e programeve, materialeve vlerësuese dhe metodologjike me elemente teknike dhe përmbajtje të vjetruara. Gjendja aktuale e formimit matematikor të studentëve shkakton shqetësim serioz. Ekziston një formalizëm i njohurive matematikore të maturantëve, mungesa e efektivitetit të tyre; niveli i pamjaftueshëm i kulturës matematikore dhe i të menduarit matematik. Në shumë raste, materiali specifik që studiohet nuk përputhet me një sistem njohurish; studenti e gjen veten të “varrosur” nën masën e informacionit që i bie nga interneti dhe burime të tjera informacioni, duke mos qenë në gjendje ta strukturojë dhe ta kuptojë vetë.

Si rezultat, një pjesë e konsiderueshme e këtij informacioni harrohet shpejt dhe bagazhi matematikor i një pjese të konsiderueshme të maturantëve përbëhet nga një numër më i madh ose më i vogël informacionesh të asimiluara dogmatikisht që janë të ndërlidhura lirshëm dhe aftësi të fiksuara më mirë ose më keq për kryerjen e disa operacionet standarde dhe detyrat tipike. Atyre u mungon ideja e matematikës si një shkencë e vetme me lëndën dhe metodën e saj. Entuziazmi i tepruar për anën thjesht informative të edukimit çon në faktin se shumë nxënës nuk e perceptojnë përmbajtjen e pasur të njohurive matematikore të ngulitura në program.përdorimi i gjerë i modeleve matematikore në shoqërinë moderne. Kështu, vendoset detyra për të afruar përmbajtjen e mësimdhënies së matematikës me shkencën moderne. Për të kapërcyer përçarjen e disiplinave të ndryshme matematikore, izolimin e temave dhe seksioneve individuale, për të siguruar integritetin dhe unitetin në mësimin e matematikës është e mundur vetëm në bazë të nxjerrjes në pah të burimeve të saj, bërthamave kryesore. Shufra të tilla në matematikë, siç vuri në dukje A.N. Kolmogorov dhe shkencëtarë të tjerë të shquar janë struktura matematikore, të cilat sipas N. Bourbaki-t ndahen në algjebrike, rendore dhe topologjike. Disa nga strukturat matematikore mund të jenë modele të drejtpërdrejta të dukurive reale, të tjerat janë të lidhura me fenomene reale vetëm përmes një zinxhiri të gjatë konceptesh dhe strukturash logjike. Strukturat matematikore të tipit të dytë janë produkt i zhvillimit të brendshëm të matematikës. Nga kjo pikëpamje e lëndës së matematikës, rezulton se në çdo lëndë matematikore duhet të studiohen strukturat matematikore. Ideja e strukturave matematikore, e cila doli të ishte shumë e frytshme, shërbeu si një nga motivet për një reformë rrënjësore të arsimit matematikor në vitet 6070. Edhe pse kjo reformë u kritikua më vonë, ideja e saj kryesore mbetet shumë e dobishme për arsimin modern të matematikës. Kohët e fundit, në matematikë janë shfaqur seksione të reja të rëndësishme që kërkojnë pasqyrimin e tyre si në universitet ashtu edhe në kurrikulën shkollore në matematikë (teoria e grafikëve, teoria e kodimit, gjeometria e fraktalit, teoria e kaosit, etj.). Këto drejtime të reja në matematikë kanë potencial të madh metodologjik, zhvillimor dhe aplikativ. Natyrisht, të gjitha këto degë të reja të matematikës nuk mund të studiohen që në fillim me gjithë thellësinë dhe plotësinë e tyre. Siç tregohet në, procesi i mësimdhënies së matematikës duhet të konsiderohet si një sistem me shumë nivele me një mbështetje të detyrueshme në nivelet themelore, më specifike, fazat e njohurive shkencore. Pa një mbështetje të tillë, të mësuarit mund të bëhet formal, duke dhënë njohuri pa kuptim. Procesi hap pas hapi i formimit të koncepteve themelore matematikore është një kusht i domosdoshëm për zbatimin e parimit të aksesueshmërisë së të mësuarit.

Pikëpamjet mbi nevojën për të veçuar fazat e njëpasnjëshme në formimin e koncepteve të strukturave matematikore janë të përhapura në mesin e matematikanëve dhe edukatorëve. Edhe F. Klein, në leksionet e tij për mësuesit, vuri në dukje nevojën e fazave paraprake në studimin e koncepteve themelore matematikore: “Ne duhet t'u përshtatemi prirjeve natyrore të të rinjve, t'i çojmë ata ngadalë në pyetje më të larta dhe vetëm në përfundim t'i njohim. me ide abstrakte; mësimdhënia duhet të ndjekë të njëjtën rrugë përgjatë së cilës i gjithë njerëzimi, nisur nga gjendja e tij primitive naive, ka arritur majat e dijes moderne. ... Sa ngadalë u ngritën të gjitha idetë matematikore, si ato pothuajse gjithmonë shfaqeshin në fillim, më tepër si hamendje, dhe vetëm pas një zhvillimi të gjatë fituan një formë të kristalizuar të palëvizshme të një paraqitjeje sistematikeª. Sipas A.N. Kolmogorov, mësimi i matematikës duhet të përbëhet nga disa faza, të cilat ai i justifikoi me prirjen e qëndrimeve psikologjike të studentëve ndaj diskretit dhe me faktin se "rendi natyror i rritjes së njohurive dhe aftësive ka gjithmonë karakterin e "zhvillimit në një spirale"ª . Parimi i ndërtimit "linear" të një kursi shumëvjeçar, në veçanti matematika, sipas tij, nuk ka përmbajtje të qartë. Megjithatë, logjika e shkencës nuk kërkon që "spiralja" domosdoshmërisht të ndahet në "mbështjellje" të veçanta. Si shembull i një studimi të tillë hap pas hapi, le të shqyrtojmë procesin e formimit të konceptit të një strukture të tillë matematikore si nje grup. Faza e parë në këtë proces mund të konsiderohet edhe mosha parashkollore, kur fëmijët njihen me veprimet algjebrike (mbledhje dhe zbritje), të cilat kryhen drejtpërdrejt në grupe objektesh. Më pas ky proces vazhdon në shkollë. Mund të themi se e gjithë kursi i matematikës shkollore përshkohet me idenë e një grupi. Njohja e nxënësve me konceptin e grupit fillon, në fakt, tashmë në klasën e 15-të. Gjatë kësaj periudhe, në shkollë, tashmë kryhen veprime algjebrike në numra. Materiali numero-teorik është materiali më pjellor në matematikën shkollore për formimin e konceptit të strukturave algjebrike. Një numër i plotë, shtimi i numrave të plotë, futja e zeros, gjetja e të kundërtës së saj për secilin numër, studimi i ligjeve të veprimit - të gjitha këto janë, në thelb, faza në formimin e konceptit të strukturave themelore algjebrike (grupe, unaza, fusha). Në klasat vijuese të shkollës, nxënësit përballen me pyetje që kontribuojnë në zgjerimin e njohurive të kësaj natyre. Në rrjedhën e algjebrës, ka një kalim nga numrat konkretë, të shprehur në numra, në shprehje abstrakte fjalë për fjalë, duke treguar numra specifikë vetëm me një interpretim të caktuar të shkronjave. Veprimet algjebrike kryhen tashmë jo vetëm në numra, por edhe në objekte të një natyre të ndryshme (polinome, vektorë). Nxënësit fillojnë të kuptojnë universalitetin e disa vetive të veprimeve algjebrike. Veçanërisht e rëndësishme për të kuptuar idenë e një grupi është studimi i transformimeve gjeometrike dhe konceptet e përbërjes së transformimeve dhe transformimit të anasjelltë. Sidoqoftë, dy konceptet e fundit nuk janë pasqyruar në kurrikulën aktuale të shkollës (ekzekutimi vijues i lëvizjeve dhe transformimi i kundërt përmenden vetëm shkurtimisht në tekstin shkollor nga A.V. Pogorelov). Në lëndët zgjedhore dhe zgjedhore këshillohet të merren në konsideratë grupet e vetëkombinimeve të disa formave gjeometrike, grupet e rrotullimeve, stolitë, kufijtë, parketet dhe aplikimet e ndryshme të teorisë së grupeve në kristalografi, kimi etj. Këto tema, ku duhet të të njihen me formulimin matematikor të problemave praktike, u shkaktojnë nxënësve interesin më të madh.Kur të njihemi me konceptin e grupit në terma të përgjithshëm, duhet të mbështetemi në njohuritë e marra më parë, të cilat veprojnë si faktor strukturëformues në sistem. të formimit matematikor të studentëve, i cili ju lejon të zgjidhni siç duhet problemin e vazhdimësisë midis matematikës shkollore dhe universitare. Megjithëse studimi i koncepteve moderne të matematikës dhe aplikimet e saj rrit interesin për lëndën, është pothuajse e pamundur që një mësues të gjejë kohë shtesë për këtë në klasë. Prandaj, futja e aktiviteteve të projektit në procesin arsimor mund të ndihmojë këtu. Ky lloj organizimi i punës është gjithashtu një nga format kryesore të zbatimit të qasjes së bazuar në kompetenca në arsim. Ky lloj organizimi i punës, siç vërehet nga A.M. Novikov, kërkon aftësi për të punuar në ekip, shpesh heterogjene, shoqërueshmëri, tolerancë, aftësi vetëorganizuese, aftësi për të vendosur në mënyrë të pavarur qëllime dhe për t'i arritur ato. Për të formuluar shkurtimisht se çfarë është arsimi në një shoqëri post-industriale, është aftësia për të komunikuar, mësuar, analizuar, projektuar, zgjedhur dhe krijuar. Prandaj, kalimi nga paradigma edukative e një shoqërie industriale në paradigmën arsimore të një shoqërie post-industriale. shoqëria industriale do të thotë, sipas një numri shkencëtarësh, para së gjithash, roli kryesor i fillimit projektues, refuzimi i të kuptuarit të arsimit vetëm si përvetësim i njohurive të gatshme, ndryshimi i rolit të mësuesit, përdorimi i rrjetet kompjuterike për të marrë njohuri. Mësuesi mbetet në qendër të procesit të të nxënit, me dy funksione kritike: mbështetjen e motivimit, lehtësimin e formimit të nevojave njohëse dhe modifikimin e procesit të të nxënit të klasës apo studentit individual. Mjedisi elektronik arsimor kontribuon në formimin e rolit të tij të ri. Në një mjedis kaq informativ, mësuesi dhe nxënësi janë të barabartë në aksesin ndaj informacionit, përmbajtjes mësimore, kështu që mësuesi nuk mund të jetë më burimi kryesor apo i vetëm i fakteve, ideve, parimeve dhe informacioneve të tjera. Roli i tij i ri mund të përshkruhet si mentorues. Ai është një udhërrëfyes që i njeh nxënësit me hapësirën arsimore, me botën e dijes dhe me botën e injorancës. Megjithatë, mësuesi ruan shumë nga rolet e vjetra. Në veçanti, gjatë mësimdhënies së matematikës, nxënësi shumë shpesh përballet me problemin e të kuptuarit dhe, siç tregon përvoja, studenti nuk mund ta përballojë atë pa dialog me mësuesin, edhe kur përdor teknologjitë më moderne të informacionit. Arkitektura e njohurive matematikore nuk përshtatet mirë me ndërtesat e rastësishme dhe kërkon një kulturë të veçantë, si asimiluese ashtu edhe mësimore. Prandaj, një mësues matematike ka qenë dhe mbetet interpretues i kuptimeve të teksteve të ndryshme matematikore.Rrjetet kompjuterike në arsim mund të përdoren për të shkëmbyer burime softuerike, për të zbatuar ndërveprim ndërveprues, për të marrë informacion në kohën e duhur, për të monitoruar vazhdimisht cilësinë e njohurive të marra. etj. Një nga llojet e aktiviteteve të projektit të studentëve kur përdorin teknologjinë e rrjeteve është një projekt rrjetëzimi edukativ. Kur studioni matematikën, projektet e rrjetit janë një mjet i përshtatshëm për të praktikuar së bashku aftësitë e zgjidhjes së problemeve, për të kontrolluar nivelin e njohurive dhe gjithashtu për të formuar interes për këtë temë. Projekte të tilla janë veçanërisht të dobishme për studentët e shkencave humane dhe të tjerët që janë larg matematikës.Përsa i përket aktiviteteve të projektit, parakushtet teorike për përdorimin e projekteve në arsim u krijuan që në epokën industriale dhe bazohen në idetë e pedagogëve dhe psikologëve amerikanë të fundi i shekullit të 19-të. J. Dewey dhe W. Kilpatrick. Në fillim të shekullit XX. mësuesit vendas (P.P. Blonsky, P.F. Kapterev, S.T. Shatsky, etj.), të cilët zhvilluan idetë e të mësuarit të bazuar në projekt, vunë në dukje se metoda e projektit mund të përdoret si një mjet për bashkimin e teorisë dhe praktikës në mësimdhënie; zhvillimi i pavarësisë dhe përgatitja e nxënësve për jetën e punës; zhvillimi i gjithanshëm i mendjes dhe të menduarit; formimi i aftësive krijuese. Por edhe atëherë u bë e qartë se mësimi i bazuar në projekte është një alternativë e dobishme për sistemin e klasës, por në asnjë mënyrë nuk duhet ta zëvendësojë atë dhe të bëhet një lloj ilaçi, t'i përvetësojë në mënyrë të pavarur, të lundrojë në hapësirën e informacionit. Studiuesit vërejnë se efektiviteti i zbatimit të projekteve arsimore arrihet nëse ato janë të ndërlidhura, të grupuara sipas karakteristikave të caktuara, dhe gjithashtu i nënshtrohen përdorimit të tyre sistematik në të gjitha fazat e zotërimit të përmbajtjes së lëndës: nga zotërimi i njohurive themelore matematikore në mënyrë të pavarur. përvetësimi i njohurive të reja për një kuptim të thellë të modeleve matematikore dhe përdorimi i tyre në situata të ndryshme Rezultati i zbatimit të projekteve arsimore përfshin krijimin e një produkti subjektivisht të ri, personalisht domethënës, i fokusuar në formimin e njohurive dhe aftësive të forta matematikore, zhvillimi i pavarësisë, rritja e interesit për lëndën. Në përgjithësi pranohet se matematika e shkollës përfshin aktivitet të organizuar posaçërisht për zgjidhjen e problemeve. Megjithatë, gjëja e parë që ju bie në sy kur shqyrtoni projektet "në matematikë" është mungesa pothuajse e plotë e duhur. veprimtari matematikore në shumicën e tyre. Temat e projekteve të tilla janë shumë të kufizuara, kryesisht tema që lidhen me historinë e matematikës ("seksioni i artë", "Numrat e Fibonaçit", "bota e poliedrave", etj.). Në shumicën e projekteve, ka vetëm paraqitjen e matematikës, ka disa aktivitete që lidhen me matematikën vetëm në mënyrë indirekte. Qasja në seksionet moderne të matematikës është e vështirë për shkak të mungesës së as një aluzion të seksioneve të tilla në kurrikulën shkollore. Në aktivitetet e projektit, jo asimilimi i njohurive, por mbledhja dhe organizimi i disa informacioneve. Në të njëjtën kohë, në veprimtarinë matematikore, mbledhja dhe sistematizimi i informacionit është vetëm faza e parë e punës për zgjidhjen e një problemi, dhe më e thjeshta, zgjidhja e një problemi matematikor kërkon veprime të veçanta mendore që janë të pamundura pa asimilimin e njohurive. . Njohuritë matematikore kanë veçori specifike, injorimi i të cilave çon në vulgarizimin e tyre. Njohuritë në matematikë janë kuptime të ripunuara që kanë kaluar fazat e analizës, kontrollet për qëndrueshmëri, përputhshmëri me të gjithë përvojën e mëparshme. Kjo nuk na lejon të kuptojmë “dijen” thjesht si fakte, ta konsiderojmë aftësinë për të reduktuar si një asimilim të plotë.Matematika si lëndë akademike ka një veçori tjetër specifike: në të, zgjidhja e problemeve vepron edhe si objekt studimi edhe si objekt studimi dhe një metodë e zhvillimit të personalitetit. Prandaj, zgjidhja e problemeve duhet të mbetet lloji kryesor i veprimtarisë mësimore në të, veçanërisht për studentët që kanë zgjedhur profilet që lidhen me matematikën.Nxënësi duhet të hyjë, vëren I.I. Melnikov, për të hyrë brenda aftësisë më komplekse që i është dhënë një personi, procesit të vendimmarrjes. Atij i ofrohet të kuptojë se çfarë do të thotë të "zgjidhësh një problem", si të formulosh një problem, si të përcaktosh mjetet për zgjidhjen, si të ndash një problem kompleks në zinxhirë të ndërlidhur problemesh të thjeshta. Zgjidhja e problemeve nxit vazhdimisht ndërgjegjen në zhvillim se nuk ka asgjë mistike, të paqartë, të paqartë në krijimin e njohurive të reja, në zgjidhjen e problemeve, se një personi i është dhënë aftësia të shkatërrojë murin e injorancës dhe kjo aftësi mund të zhvillohet dhe forcohet. . Induksioni dhe deduksioni, dy balenat mbi të cilat mbështetet vendimi, thërrasin për ndihmë me analogji dhe intuitë, pra pikërisht atë që në jetën "e rritur" do t'i japë qytetarit të ardhshëm mundësinë për të përcaktuar sjelljen e tij në një situatë të vështirë.

Siç thotë A.A. Marangoz, mësimdhënia e matematikës përmes detyrave ka qenë prej kohësh një problem i njohur. Problemet duhet të shërbejnë edhe si motiv për zhvillimin e mëtejshëm të teorisë dhe si mundësi për zbatimin efektiv të saj. Duke e konsideruar qasjen e bazuar në detyrë si mjetin më efektiv për zhvillimin e veprimtarisë edukative dhe matematikore të studentëve, ai vendosi detyrën e ndërtimit të një sistemi të përshtatshëm pedagogjik të detyrave, me ndihmën e të cilit do të ishte e mundur që studenti të drejtohej vazhdimisht përmes të gjitha aspektet e veprimtarisë matematikore (identifikimi i situatave dhe detyrave problemore, matematikimi i situatave specifike, zgjidhja e problemeve që motivojnë teoritë e zgjerimit, etj.). Është vërtetuar se zgjidhja e problemeve tradicionale në matematikë i mëson një të riu të mendojë, të modelojë dhe parashikojë në mënyrë të pavarur botën që e rrethon, dmth. në fund ndjek pothuajse të njëjtat qëllime si aktivitetet e projektit, me përjashtim të mundshëm të përvetësimit të aftësive komunikuese, pasi më shumë. shpesh Në përgjithësi, mësuesit nuk vendosin kërkesa për paraqitjen e zgjidhjeve të problemit. Prandaj, në mësimin e matematikës, zgjidhja e problemeve, me sa duket, duhet të mbetet lloji kryesor i veprimtarisë arsimore, dhe projektet janë vetëm një shtesë e saj. Ky lloj më i rëndësishëm i veprimtarisë mësimore i lejon studentët të zotërojnë teorinë matematikore, të zhvillojnë aftësi krijuese dhe të menduarit të pavarur. Si rezultat, efektiviteti i procesit arsimor varet kryesisht nga zgjedhja e detyrave, nga metodat e organizimit të aktiviteteve të studentëve për t'i zgjidhur ato, d.m.th. teknikat e zgjidhjes së problemeve. Mësuesit, psikologët dhe metodologët kanë vërtetuar se për zbatimin efektiv të qëllimeve të edukimit matematik, është e nevojshme të përdoret në procesin arsimor një sistem detyrash me një strukturë të bazuar shkencërisht, në të cilin vendi dhe rendi i secilit element të përcaktohen rreptësisht. dhe pasqyrojnë strukturën dhe funksionet e këtyre detyrave. Prandaj, në veprimtarinë e tij profesionale, mësuesi i matematikës duhet të përpiqet të paraqesë në masë të madhe përmbajtjen e mësimdhënies së matematikës pikërisht përmes sistemeve të detyrave. Për sisteme të tilla vendosen një sërë kërkesash: hierarkia, racionaliteti i vëllimit, kompleksiteti në rritje, plotësia, qëllimi i secilës detyrë, mundësia e zbatimit të një qasjeje individuale, etj.

Nëse një student ka zgjidhur një problem të vështirë, atëherë në parim nuk ka shumë ndryshim se si studenti do të hartojë rezultatin: në formën e një prezantimi, raporti ose thjesht shkarravit zgjidhjen në një fletë në një kafaz. Është konsideruar e mjaftueshme që ai e ka zgjidhur problemin. Prandaj, kërkesat e përgjithshme të paraqitura për paraqitjen e rezultateve të projektit: rëndësia e problemit dhe paraqitja e rezultateve (artistika dhe ekspresiviteti i performancës) nuk janë shumë të përshtatshme për vlerësimin e atyre projekteve në matematikë, të cilat bazohen në zgjidhjen. të problemeve komplekse. Megjithatë, bazuar në kërkesat e shoqërisë moderne, aktiviteti i zgjidhjes së problemeve duhet të përmirësohet, duke i kushtuar më shumë vëmendje fazës fillestare (realizimi i vendit të këtij problemi në sistemin e njohurive matematikore) dhe fazës përfundimtare (prezantimi i zgjidhjen e problemit). Nëse flasim për aktivitetet e projektit, atëherë më i përshtatshmi është përdorimi në praktikë i mësimdhënies së projekteve ndërdisiplinore që zbatojnë një qasje integruese në mësimdhënien e matematikës dhe disa shkencave natyrore ose disiplina humanitare njëherësh. Projekte të tilla kanë tema më të larmishme dhe interesante, projekte të tilla në katër-pesë-gjashtë disiplina janë më afatgjata, pasi krijimi i tyre përfshin përpunimin e një sasie të madhe informacioni. Shembuj të projekteve të tilla ndërdisiplinore janë dhënë në librin e P.M. Gorev dhe O.L. Luneeva. Rezultati i një makroprojekti të tillë mund të jetë një faqe interneti kushtuar temës së projektit, një bazë të dhënash, një broshurë me rezultatet e punës, etj. Kur punon në makroprojekte të tilla, studenti kryen aktivitete edukative në bashkëpunim me përdoruesit e tjerë të rrjetit, d.m.th. aktivitetet edukative bëhen jo individuale, por të përbashkëta. Për shkak të kësaj, ne duhet ta shohim këtë mësim si një proces që ndodh në komunitetin e të mësuarit. Në një komunitet në të cilin nxënësit dhe mësuesit kryejnë funksionet e tyre të mirëpërcaktuara. Dhe rezultati i të mësuarit mund të konsiderohet pikërisht nga këndvështrimi i kryerjes së këtyre funksioneve, dhe jo sipas një ose një tjetër parametri të jashtëm, formal që karakterizon njohuritë thjesht lëndore të studentëve individualë. Duhet pranuar se praktika e përdorimit të "metodës së projektit" në mësimdhënien e matematikës në shkollë është ende mjaft e dobët, shpesh gjithçka vjen në gjetjen e disa informacioneve në internet për një temë të caktuar dhe në hartimin e një "projekti". Në shumë raste, rezulton vetëm një imitim i aktiviteteve të projektit. Për shkak të këtyre veçorive, shumë mësues janë shumë skeptikë në lidhje me përdorimin e metodës së projektit për t'u mësuar nxënësve lëndën e tyre: dikush thjesht nuk mund ta kuptojë domethënien e një aktiviteti të tillë studentor, dikush nuk e sheh efektivitetin e kësaj teknologjie arsimore në lidhje me disiplinën e tyre. Megjithatë, efektiviteti i metodës së projektit për shumicën e lëndëve shkollore është tashmë i pamohueshëm, prandaj është shumë e rëndësishme që përmbajtja e projekteve të mos lidhet vetëm me matematikën, por të kontribuojë në tejkalimin e izolimit të temave dhe pjesëve individuale në të, duke siguruar integriteti dhe uniteti në mësimdhënien e matematikës, i cili është i mundur vetëm në bazë të nxjerrjes në pah të saj përmban bërthamat e strukturave matematikore.Le të shqyrtojmë më në detaje zbatimin e metodës së projektit në studimin e materialit matematik nga nxënësit më të vegjël. Për shkak të karakteristikave të moshës së studentëve të tillë, studimi i materialit matematikor, në veçanti gjeometrik, është thjesht eksplorues në natyrë. Në të njëjtën kohë, projektet u mundësojnë studentëve të rinj të kuptojnë rolin e gjeometrisë në situatat e jetës reale, për të ngjallur interes për studimin e mëtejshëm të gjeometrisë. Gjatë kryerjes së këtyre projekteve është mjaft e mundur përdorimi i softuerëve të ndryshëm për qëllime edukative.Ambjente të ndryshme kompjuterike janë të përshtatshme për realizimin e shumicës së projekteve në materialin gjeometrik. Në shkollën fillore këshillohet përdorimi i mjedisit të integruar kompjuterik PervoLogo, programi Microsoft Office PowerPoint, si dhe teksti elektronik "Matematika dhe Dizajni" dhe IISS "Dizajni gjeometrik në aeroplan dhe në hapësirë", të cilat janë paraqitur në Koleksion elektronik i burimeve arsimore dixhitale dhe janë të destinuara për përdorim pa pagesë në procesin arsimor Zgjedhja e këtyre produkteve softuerike justifikohet me faktin se ato korrespondojnë me karakteristikat e moshës së nxënësve të shkollave fillore, janë të disponueshme për përdorim në procesin arsimor dhe ofrojnë mundësi të mëdha për zbatimin e metodës së projektit.Mësuesi i Kolegjit Pedagogjik Vologda ON Kostrova zhvilloi një program aktivitetesh jashtëshkollore që përmban një sërë projektesh mbi materialin gjeometrik dhe rekomandime metodologjike për mësuesit për organizimin e punës në projekte. Qëllimi kryesor i programit shembullor është formimi i paraqitjeve gjeometrike të studentëve më të rinj bazuar në përdorimin e metodës së projekteve edukative. Puna për zbatimin e një grupi projektesh ka për qëllim thellimin dhe zgjerimin e njohurive të studentëve për materialin gjeometrik, të kuptuarit e botës përreth tyre nga pozicionet gjeometrike, zhvillimin e aftësisë për të zbatuar njohuritë e fituara gjatë zgjidhjes së problemeve arsimore, njohëse dhe praktike. duke përdorur softuer, formimin e të menduarit hapësinor dhe logjik. Një program shembullor parashikon një studim të thelluar të temave të tilla si "Poligonat", "Rrethi". Krugª, ©Plan. Shkallaª, "Figura tredimensionale", studimi i temave shtesë njohja me simetrinë boshtore, paraqitja e të dhënave numerike të sipërfaqes dhe vëllimit në formë diagrame. Puna në disa projekte përfshin përdorimin e materialit historik dhe lokal historik, i cili kontribuon në rritjen e interesit njohës për studimin e materialit gjeometrik. Grupi i projekteve përfaqësohet nga temat e mëposhtme: ©World of Linesª, Njësitë e vjetra të matjes së gjatësisëª , Bukuria e modeleve nga shumëkëndëshatª, © Flamujt e rajoneve të Vologdësª, © Përrallë gjeometrikeª(klasa e dytë); ©Zbukurimet e rajonit të Vologdësª, ©Parketª, ©Një shënim në gazetë për një rreth ose një rrethª, ©Meanderª, ©Dachny komplotª(klasa e tretë);©Anglesª, ©Misteri i Piramidësª, ndërtimª, punë me projektues (klasa e 4-të).

Në procesin e punës në projekte nxënësit ndërtojnë forma gjeometrike të sheshta dhe tredimensionale, ndërtojnë dhe modelojnë forma të tjera, objekte të ndryshme nga forma gjeometrike, kryejnë studime të vogla mbi materialin gjeometrik.Përdorimi i metodës së projektit në studimin e materialit gjeometrik përfshin përdorimin e njohurive dhe aftësive nga fusha të tjera lëndore, të cilat kontribuojnë në zhvillimin e gjithanshëm të nxënësve. Kjo metodë zbaton një qasje aktiviteti ndaj të nxënit, pasi mësimi zhvillohet në procesin e veprimtarisë së studentëve më të rinj; kontribuon në zhvillimin e aftësive në planifikimin e aktiviteteve të tyre arsimore, zgjidhjen e problemeve, kompetencën për të punuar me informacionin, kompetencën komunikuese. Kështu, përdorimi i metodës së projektit në mësimin e materialit gjeometrik për nxënësit e shkollës bën të mundur zgjidhjen e një sërë detyrash për zgjerimin dhe thellimin e njohurive të elementeve të gjeometrisë, duke marrë parasysh mundësitë e zbatimit të tyre në praktikë, përvetësimin e aftësive praktike për të punuar me produkte moderne softuerike dhe zhvillimi gjithëpërfshirës i aftësive individuale të nxënësve të shkollës.Materiali matematikor për nxënësit më të vegjël përfaqëson vetëm fazën e parë të aktiviteteve të projektit në matematikë. Në fazat vijuese të edukimit është i nevojshëm vazhdimi i këtij aktiviteti, duke zhvilluar dhe thelluar njohuritë e nxënësve të shkollës për strukturat themelore matematikore.Përveç kësaj, duke përdorur metodën e projektit në mësimdhënien e matematikës, nuk duhet harruar se zgjidhja e problemeve duhet të mbetet kryesore. lloji i veprimtarisë edukative. Kjo veçori specifike e lëndës duhet të merret parasysh gjatë zhvillimit të projekteve, kështu që projektet arsimore duhet të jenë një mjet që studentët të zhvillojnë aftësitë e tyre në zgjidhjen e problemeve, kontrollimin e nivelit të njohurive dhe formimin e një interesi njohës për lëndën.

Lidhje me burimet 1. Testov V. A. Përditësimi i përmbajtjes së mësimdhënies së matematikës: aspekte historike dhe metodologjike: monografi. Vologda, VSPU, 2012. 176 f. 2. Testov V. A. Strukturat matematikore si bazë shkencore dhe metodologjike për ndërtimin e lëndëve matematikore në sistemin e mësimit të vazhdueshëm (universitar shkollor): dis. ... zvarrit ped. shkencat. Vologda, 1998.3 Kolmogorov AN Për të diskutuar punën për problemin "Perspektivat për zhvillimin e shkollës sovjetike për tridhjetë vitet e ardhshme" // Matematika në shkollë. 1990. Nr. 5. S. 5961.4 Novikov A. M. Arsimi post-industrial. M.: Izdvo ©Egvesª, 2008.5 Edukimi që mund të humbasim: Sht. / nën total ed. Rektori i Universitetit Shtetëror të Moskës, Akademiku V.A. Sadovnichy M.: Universiteti Shtetëror i Moskës. M. V. Lomonosov, 2002. S. 72.6 Stolyar A. A. Pedagogjia e matematikës: një kurs leksionesh. Minsk: Më e larta. Shkolla, 1969.7 Gorev P.M., Luneeva O.L. Projektet ndërdisiplinore të nxënësve të shkollave të mesme. Ciklet e shkencave matematikore dhe natyrore: teksti mësimor.metoda.shtesë. Kirov: Izdvo MCITO, 2014. 58 f. 8. Po aty 9. Kostrova O.N. Mjetet softuerike në zbatimin e metodës së projektit në studimin e elementeve të gjeometrisë nga studentët më të rinj // Rishikimi Shkencor: Teori dhe Praktikë. 2012. nr 2. S.4148.

Vladimir Testov,

Doktor i Shkencave Padagogjike, Profesor në katedrën e Matematikës dhe Metodave të Mësimdhënies së Matematikës, Universiteti Shtetëror Vologda, Vologda, Rusi [email i mbrojtur] Formimi i nocioneve kryesore matematikore të nxënësve në kushtet moderne Abstrakt. Punimi diskuton veçoritë e nocioneve matematikore të nxënësve formimi në paradigmën moderne të arsimit dhe në dritën e kërkesave, të bëra në konceptin e edukimit matematikor. Këto kërkesa nënkuptojnë përditësimin e përmbajtjes së mësimdhënies së matematikës në shkollë, afrimin e saj me seksionet moderne dhe aplikimet praktike, përdorimin e gjerë të aktiviteteve të projektit. Për të kapërcyer fragmentimin ekzistues të disiplinave të ndryshme matematikore dhe izolimin e seksioneve individuale, për të siguruar integritetin dhe unitetin në mësimin e matematikës është e mundur vetëm duke caktuar linjat kryesore në të. Strukturat matematikore janë therods, linjat kryesore të ndërtimit të kurseve matematikore. Procesi me faza i formimit të koncepteve për strukturat themelore matematikore është një parakusht për zbatimin e parimit të disponueshmërisë së trajnimit. Metoda e projekteve mund të jetë një ndihmë e madhe në një studim me faza të strukturave matematikore. Zbatimi i kësaj metode në studimin e strukturave matematikore ju lejon të zgjidhni një sërë detyrash për të zgjeruar dhe thelluar njohuritë e matematikës, të merrni parasysh mundësitë e zbatimit të tyre në praktikë, përvetësimin e aftësive praktike për të punuar me produkte softuerike moderne, zhvillimin e plotë. të aftësive individuale të nxënësve.Fjalë kyçe: përmbajtja e mësimdhënies së matematikës, struktura matematikore, procesi me faza i formimit të nocioneve, metoda e projektit.

Referencat1.Testov,V. A. (2012) Obnovlenie soderzhanija obuchenija matematike: istoricheskie i metodologicheskie aspekty: monografija, VGPU, Vologda, 176 f.(në rusisht).2.Testov,V. A. (1998) Matematicheskie struktury kak nauchnometodicheskaja osnova postroenija matematicheskih kursov v sisteme nepreryvnogo obuchenija (shkola vuz): dis. …e mbështjellë. nauk, Vologda(në rusisht).3.Kolmogorov,A. N. (1990) “K obsuzhdeniju raboty po probleme 'Perspektivy razvitija sovetskoj shkoly na blizhajshie tridcat" let'”, Matematika v shkole, nr. 5, fq. 5961(në rusisht).4.Novikov,AM(2008) Postindustrial ". noe obrazovanie, Izdvo "Jegves",Moska(në rusisht).5.V. A. Sadovnichij (red.)(2002) Obrazovanie, kotoroe my mozhem poterjat": sb. MGU im. MV Lomonosova, Moskë, f.72(në rusisht). 6. Stoljar, AA (1969) Pedagogika matematiki: kurs lekcij, Vyshjejsh. shk., Minsk(në rusisht). "nikami", Nauchnoe obozrenie: teorija i praktika, Nr. 2, fq.4148 (në rusisht).

Nekrasova G.N., doktor i shkencave pedagogjike, profesor, anëtar i bordit redaktues të revistës "Concept"

Leksioni 7. Konceptet matematikore

1. Grupe konceptesh të studiuara në kursin fillestar të matematikës. Veçoritë e koncepteve matematikore.

2. Shtrirja dhe përmbajtja e konceptit.

3. Marrëdhëniet ndërmjet koncepteve.

4. Veprimet me konceptet: përgjithësimi, kufizimi, përkufizimi dhe ndarja e një koncepti.

5. Rregullat e nevojshme për formulimin e përkufizimit të koncepteve përmes gjinisë dhe dallimit specifik.

6. Përkufizime kontekstuale dhe të dukshme. Përshkrimi, krahasimi.

Grupe konceptesh të studiuara në kursin fillestar të matematikës. Veçoritë e koncepteve matematikore.

Konceptet që studiohen në lëndën elementare të matematikës zakonisht paraqiten në formën e katër grupeve. Së pari përfshihen konceptet që lidhen me numrat dhe veprimet mbi to: numër, mbledhje, mbledh, më shumë etj. Së dyti përfshin konceptet algjebrike: shprehje, barazi, ekuacion etj. Së treti përbëjnë koncepte gjeometrike: një drejtëz, një segment, një trekëndësh etj. e katërta grupi formohet nga koncepte që lidhen me sasitë dhe matjen e tyre.

Si të studiojmë një bollëk të tillë konceptesh të ndryshme?

Para së gjithash, duhet të keni një ide për konceptin si kategori logjike dhe veçoritë e koncepteve matematikore.

Në logjikën e konceptit konsideroni si formë e të menduarit, objekte që pasqyrojnë(objekte ose dukuri) në vetitë e tyre thelbësore dhe të përgjithshme. Forma gjuhësore e konceptit është fjalë ose grup fjalësh.

Bëni një koncept për objektin- do të thotë të jesh në gjendje ta dallosh atë nga objektet e tjera të ngjashme me të.

Konceptet matematikore kanë një sërë veçorish. Kryesorja është se objektet matematikore për të cilat është e nevojshme të formohet një koncept nuk ekzistojnë në realitet. Objektet matematikore krijohen nga mendja e njeriut. Këto janë objekte ideale që pasqyrojnë objekte ose dukuri reale. Për shembull, në gjeometri studiohen forma dhe madhësia e objekteve, pa marrë parasysh vetitë e tjera të tyre: ngjyra, masa, fortësia, etj. Nga e gjithë kjo ata janë të hutuar, të abstraguar. Prandaj, në gjeometri në vend të fjalës "objekt" thonë "figurë gjeometrike".

Rezultati i abstraksionit janë gjithashtu koncepte të tilla matematikore si "numri" dhe "vlera".

fare objektet matematikore ekzistojnë vetëm në të menduarit njerëzor dhe në ato shenja dhe simbole që formojnë gjuhën matematikore.

Mund t'i shtohet asaj që u tha studimi i formave hapësinore dhe i marrëdhënieve sasiore bota materiale, matematika jo vetëm përdor të ndryshme teknikat e abstraksionit, por vetë abstraksioni vepron si një proces me shumë faza. Në matematikë merren parasysh jo vetëm konceptet që janë shfaqur në studimin e objekteve reale, por edhe konceptet që kanë lindur në bazë të të parës. Për shembull, koncepti i përgjithshëm i një funksioni si korrespondencë është një përgjithësim i koncepteve të funksioneve specifike, d.m.th. abstragimi nga abstraksionet.

Për të zotëruar qasjet e përgjithshme për studimin e koncepteve në kursin fillestar të matematikës, mësuesi ka nevojë për njohuri për shtrirjen dhe përmbajtjen e konceptit, për marrëdhëniet midis koncepteve dhe për llojet e përkufizimeve të koncepteve.

2. Fusha dhe përmbajtja e konceptit

Çdo objekt matematikor ka veti të caktuara. Për shembull, një katror ka katër anë, katër kënde të drejta të barabarta me diagonalen. Mund të specifikoni edhe prona të tjera.

Ndër vetitë e objektit të dallojë domethënëse Dhe jo thelbësore.

Ndjenja e pronës thelbësore për një objekt nëse është i natyrshëm në këtë objekt dhe pa të nuk mund të ekzistojë. Për shembull, për një katror, ​​të gjitha vetitë e përmendura më sipër janë thelbësore. Vetia "ana AD është horizontale" nuk është thelbësore për katrorin ABCD. Nëse katrori rrotullohet, atëherë ana AD do të vendoset ndryshe (Fig. 26). Prandaj, për të kuptuar se çfarë është një objekt i caktuar matematikor, duhet të njihen vetitë thelbësore të tij.

Kur flasim për një koncept matematikor, ata zakonisht nënkuptojnë një grup objektesh të shënuara me një term (një fjalë ose një grup fjalësh). Pra, duke folur për një katror, ​​ata nënkuptojnë të gjitha format gjeometrike që janë katrore. Besohet se grupi i të gjithë katrorëve është qëllimi i konceptit të "katrorit".

Çdo koncept karakterizohet nga një fjalë, vëllim dhe përmbajtje.

Shtrirja e konceptit por është bashkësia e të gjitha objekteve që mund të quhen një fjalë e dhënë (term)

Shembull. Le të theksojmë shtrirjen dhe përmbajtjen e konceptit të "drejtkëndëshit".

Shtrirja e konceptitështë një grup drejtkëndëshash të ndryshëm, dhe në të përmbajtjen përfshin veti të tilla të drejtkëndëshave si "kanë katër kënde të drejta", "kanë brinjë të kundërta të barabarta", "kanë diagonale të barabarta" etj.

Ekziston një marrëdhënie midis fushëveprimit të një koncepti dhe përmbajtjes së tij.: nëse vëllimi i një koncepti rritet, atëherë përmbajtja e tij zvogëlohet dhe anasjelltas. Kështu, për shembull, shtrirja e konceptit "katror" është pjesë e fushëveprimit të konceptit "drejtkëndësh", dhe përmbajtja e konceptit "katror" përmban më shumë veti sesa përmbajtja e konceptit "drejtkëndësh". ("të gjitha anët janë të barabarta", "diagonalet janë pingule reciproke", etj.). ).

Asnjë koncept nuk mund të asimilohet pa e kuptuar marrëdhënien e tij me konceptet e tjera. Prandaj, është e rëndësishme të dini se në çfarë marrëdhëniesh mund të jenë konceptet dhe të jeni në gjendje të vendosni këto lidhje.

Leksioni 5. Konceptet matematikore

1. Shtrirja dhe përmbajtja e konceptit. Marrëdhëniet ndërmjet koncepteve

2. Përkufizimi i koncepteve. Koncepte të përcaktuara dhe të papërcaktuara.

3. Metodat për përcaktimin e koncepteve.

4. Gjetjet kryesore

Konceptet që studiohen në lëndën elementare të matematikës zakonisht paraqiten në formën e katër grupeve. E para përfshin konceptet që lidhen me numrat dhe veprimet mbi to: numër, mbledhje, term, më shumë, etj. E dyta përfshin konceptet algjebrike: shprehje, barazi, ekuacione etj. Grupi i tretë përbëhet nga konceptet gjeometrike: drejtëz, segment, trekëndësh. , etj .d. Grupi i katërt formohet nga konceptet që lidhen me sasitë dhe matjen e tyre.

Për të studiuar të gjithë larminë e koncepteve, duhet të keni një ide për konceptin si një kategori logjike dhe veçoritë e koncepteve matematikore.

Në logjikë konceptet konsiderohet si formë e të menduarit pasqyrimi i objekteve (objekteve dhe dukurive) në vetitë e tyre thelbësore dhe të përgjithshme. Forma gjuhësore e konceptit është fjalë (term) ose grup fjalësh.

Të kompozosh një koncept për një objekt do të thotë të jesh në gjendje ta dallosh atë nga objektet e tjera të ngjashme me të. Konceptet matematikore kanë një sërë veçorish. Kryesorja është se objektet matematikore për të cilat është e nevojshme të formohet një koncept nuk ekzistojnë në realitet. Objektet matematikore krijohen nga mendja e njeriut. Këto janë objekte ideale që pasqyrojnë objekte ose dukuri reale. Për shembull, në gjeometri, forma dhe madhësia e objekteve studiohen pa marrë parasysh vetitë e tjera: ngjyra, masa, fortësia, etj. E gjithë kjo abstraktohet. Prandaj, në gjeometri në vend të fjalës "objekt" thonë "figurë gjeometrike".

Rezultati i abstraksionit janë gjithashtu koncepte të tilla matematikore si "numri" dhe "vlera".

Në përgjithësi, objektet matematikore ekzistojnë vetëm në të menduarit njerëzor dhe në ato shenja dhe simbole që formojnë gjuhën matematikore.

Ajo që u tha, mund t'i shtohet duke studiuar format hapësinore dhe marrëdhëniet sasiore të botës materiale Matematika jo vetëm që përdor metoda të ndryshme të abstraksionit, por vetë abstraksioni vepron si një proces me shumë faza. Në matematikë, merren parasysh jo vetëm konceptet që janë shfaqur në studimin e objekteve reale, por edhe konceptet që kanë lindur në bazë të të parës. Për shembull, koncepti i përgjithshëm i një funksioni si korrespondencë është një përgjithësim i koncepteve të funksioneve specifike, d.m.th. abstragimi nga abstraksionet.

1. Shtrirja dhe përmbajtja e konceptit. Marrëdhëniet ndërmjet koncepteve

Çdo objekt matematikor ka veti të caktuara. Për shembull, një katror ka katër anë, katër kënde të drejta të barabarta me diagonalen. Mund të specifikoni edhe prona të tjera.

Ndër vetitë e një objekti, ekzistojnë thelbësore dhe jo thelbësore. Ndjenja e pronës thelbësore për një objekt nëse ai është i natyrshëm në këtë objekt dhe pa të nuk mund të ekzistojë. Për shembull, për një katror, ​​të gjitha vetitë e përmendura më sipër janë thelbësore. Vetia "ana AB është horizontale" nuk është thelbësore për katrorin ABCD.

Kur flasim për një koncept matematikor, ata zakonisht nënkuptojnë një grup objektesh të shënuara me një afati(fjalë ose grup fjalësh). Pra, duke folur për një katror, ​​ata nënkuptojnë të gjitha format gjeometrike që janë katrore. Besohet se grupi i të gjithë katrorëve është qëllimi i konceptit të "katrorit".

fare, shtrirja e një koncepti është grupi i të gjitha objekteve të shënuara me një term të vetëm.

Çdo koncept nuk ka vetëm shtrirje, por edhe përmbajtje.

Konsideroni, për shembull, konceptin e një "drejtkëndësh".

Qëllimi i konceptit është një grup drejtkëndëshash të ndryshëm, dhe përmbajtja e tij përfshin veti të tilla të drejtkëndëshave si "kanë katër kënde të drejta", "kanë anët e kundërta të barabarta", "kanë diagonale të barabarta", etj.

Midis fushëveprimit të një koncepti dhe përmbajtjes së tij, ekziston marrëdhënie: nëse vëllimi i një koncepti rritet, atëherë përmbajtja e tij zvogëlohet dhe anasjelltas. Kështu, për shembull, shtrirja e konceptit "katror" është pjesë e fushëveprimit të konceptit "drejtkëndësh", dhe përmbajtja e konceptit "katror" përmban më shumë veti sesa përmbajtja e konceptit "drejtkëndësh". ("të gjitha anët janë të barabarta", "diagonalet janë pingule reciproke", etj.). ).

Asnjë koncept nuk mund të asimilohet pa e kuptuar marrëdhënien e tij me konceptet e tjera. Prandaj, është e rëndësishme të dini se në çfarë marrëdhëniesh mund të jenë konceptet dhe të jeni në gjendje të vendosni këto lidhje.

Marrëdhëniet ndërmjet koncepteve janë të lidhura ngushtë me marrëdhëniet ndërmjet vëllimeve të tyre, d.m.th. grupe.

Le të biem dakord të caktojmë konceptet me shkronja të vogla të alfabetit latin: a, b, c, d, ..., z.

Le të jepen dy koncepte a dhe b. Le t'i shënojmë vëllimet e tyre si A dhe B, përkatësisht.

Nëse A ⊂ B (A ≠ B), atëherë ata thonë se koncepti a është specifik në lidhje me konceptin b, dhe koncepti b është i përgjithshëm në lidhje me konceptin a.

Për shembull, nëse a është një "drejtkëndësh" dhe b është një "katërkëndësh", atëherë vëllimet e tyre A dhe B janë në lidhje me përfshirjen (A ⊂ B dhe A ≠ B), kështu që çdo drejtkëndësh është një katërkëndësh. Prandaj, mund të argumentohet se koncepti "drejtkëndësh" është specifik në lidhje me konceptin "katërkëndësh", dhe koncepti "katërkëndësh" është i përgjithshëm në lidhje me konceptin "drejtkëndësh".

Nëse A = B, atëherë konceptet A dhe B thuhet se janë identike.

Për shembull, konceptet e "trekëndëshit barabrinjës" dhe "trekëndëshit izosceles" janë identikë, pasi vëllimet e tyre janë të njëjta.

Le të shqyrtojmë më në detaje lidhjen e gjinisë dhe specieve midis koncepteve.

1. Së pari, konceptet gjini dhe specie janë relative: i njëjti koncept mund të jetë i përgjithshëm në lidhje me një koncept dhe specie në lidhje me një tjetër. Për shembull, koncepti "drejtkëndësh" është i përgjithshëm në lidhje me konceptin "katror" dhe specifik në lidhje me konceptin "katërkëndësh".

2. Së dyti, për një koncept të caktuar, shpesh është e mundur të specifikohen disa koncepte të përgjithshme. Pra, për konceptin "drejtkëndësh" konceptet "katërkëndësh", "paralelogram", "poligoni" janë të përgjithshme. Midis tyre, ju mund të specifikoni më të afërtin. Për konceptin "drejtkëndësh" më i afërti është koncepti "paralelogram".

3. Së treti, koncepti specifik ka të gjitha vetitë e konceptit gjenerik. Për shembull, një katror, ​​duke qenë një koncept specifik në lidhje me konceptin e një "drejtkëndësh", ka të gjitha vetitë e natyrshme në një drejtkëndësh.

Meqenëse qëllimi i një koncepti është një grup, është e përshtatshme, kur vendosni marrëdhënie midis fushëveprimit të koncepteve, t'i përshkruani ato duke përdorur rrathët Euler.

Le të vendosim, për shembull, marrëdhënien midis çifteve të mëposhtme të koncepteve a dhe b nëse:

1) a - "drejtkëndësh", b - "romb";

2) a - "poligonin", b - "paralelogram";

3) a - "drejt", b - "segment".

Marrëdhëniet ndërmjet grupeve janë paraqitur përkatësisht në figurë.

2. Përkufizimi i koncepteve. Koncepte të përcaktuara dhe të papërcaktuara.

Shfaqja në matematikë e koncepteve të reja, dhe si rrjedhojë e termave të rinj që tregojnë këto koncepte, presupozon përkufizimin e tyre.

Përkufizimi zakonisht quhet një fjali që shpjegon thelbin e një termi (ose emërtimi) të ri. Si rregull, kjo bëhet në bazë të koncepteve të prezantuara më parë. Për shembull, një drejtkëndësh mund të përkufizohet si më poshtë: "Një drejtkëndësh është një katërkëndësh në të cilin të gjitha qoshet janë të drejta". Ky përkufizim ka dy pjesë - konceptin e përcaktuar (drejtkëndësh) dhe konceptin përcaktues (një katërkëndësh me të gjitha këndet e drejta). Nëse konceptin e parë e shënojmë me a, dhe konceptin e dytë me b, atëherë ky përkufizim mund të përfaqësohet si më poshtë:

a është (sipas përkufizimit) b.

Fjalët "është (sipas përkufizimit)" zakonisht zëvendësohen me simbolin ⇔, dhe më pas përkufizimi duket si ky:

Ata lexojnë: "a është ekuivalente me b sipas përkufizimit". Ju gjithashtu mund ta lexoni këtë hyrje si kjo: “dhe nëse dhe vetëm nëse b.

Përkufizimet me këtë strukturë quhen eksplicite. Le t'i shqyrtojmë ato në më shumë detaje.

Le të kalojmë në pjesën e dytë të përkufizimit të "drejtkëndëshit".

Mund të dallohet:

1) koncepti i "katërkëndëshit", i cili është i përgjithshëm në lidhje me konceptin "drejtkëndësh".

2) vetia "të kesh të gjitha këndet e drejta", e cila ju lejon të zgjidhni një lloj nga të gjithë katërkëndëshat e mundshëm - drejtkëndësha; prandaj quhet dallim speciesh.

Në përgjithësi, një ndryshim i specieve është një pronë (një ose më shumë) që ju lejon të zgjidhni objektet e përcaktuara nga qëllimi i konceptit të përgjithshëm.

Rezultatet e analizës sonë mund të paraqiten në formën e një diagrami:

Shenja "+" përdoret si zëvendësim për grimcën "dhe".

Ne e dimë se çdo koncept ka një shtrirje. Nëse koncepti a përcaktohet përmes gjinisë dhe ndryshimit specifik, atëherë vëllimi i tij - bashkësia A - mund të thuhet se ai përmban objekte të tilla që i përkasin grupit C (vëllimi i konceptit gjenerik c) dhe kanë vetinë P:

A = (x/ x ∈ C dhe P(x)).

Meqenëse përkufizimi i një koncepti për sa i përket gjinisë dhe ndryshimit specifik është në thelb një marrëveshje e kushtëzuar për futjen e një termi të ri për të zëvendësuar çdo grup termash të njohur, është e pamundur të thuhet për përkufizimin nëse ai është i vërtetë apo i rremë; as nuk vërtetohet dhe as nuk përgënjeshtrohet. Por kur formulojnë përkufizime, ata i përmbahen një sërë rregullash. Le t'i thërrasim.

1. Përkufizimi duhet të jetë proporcionale. Kjo do të thotë se qëllimi i koncepteve të përcaktuara dhe përcaktuese duhet të përputhet.

2. Në përkufizim (ose sistemin e tyre) nuk duhet të ketë rreth vicioz. Kjo do të thotë se një koncept nuk mund të përkufizohet në terma të vetvetes.

3. Përkufizimi duhet të jetë qartë. Kërkohet, për shembull, që kuptimet e termave të përfshirë në konceptin përcaktues të jenë të njohura deri në momentin kur futet përkufizimi i konceptit të ri.

4. Përcaktoni të njëjtin koncept përmes gjinisë dhe ndryshimit specifik, duke respektuar rregullat e formuluara më sipër, mund të jetë në mënyra të ndryshme. Pra, një katror mund të përkufizohet si:

a) një drejtkëndësh, brinjët ngjitur të të cilit janë të barabarta;

b) një drejtkëndësh, diagonalet e të cilit janë pingul;

c) një romb që ka kënd të drejtë;

d) një paralelogram në të cilin të gjitha brinjët janë të barabarta dhe këndet janë të drejta.

Përkufizime të ndryshme të të njëjtit koncept janë të mundshme për shkak të numrit të madh të vetive të përfshira në përmbajtjen e konceptit, vetëm disa janë përfshirë në përkufizim. Dhe pastaj zgjidhet një nga përkufizimet e mundshme, duke u nisur nga cili prej tyre është më i thjeshtë dhe më i përshtatshëm për ndërtimin e mëtejshëm të teorisë.

Le të emërtojmë sekuencën e veprimeve që duhet të ndjekim nëse duam të riprodhojmë përkufizimin e një koncepti të njohur ose të ndërtojmë një përkufizim të një të ri:

1. Emërtoni konceptin (termin) që përkufizohet.

2. Tregoni konceptin gjenerik më të afërt (në raport me atë të përcaktuar).

3. Renditni vetitë që dallojnë objektet që përcaktohen nga vëllimi i gjenerikut, pra formuloni ndryshimin specifik.

4. Kontrolloni nëse respektohen rregullat për përcaktimin e konceptit (nëse është proporcionale, nëse ka një rreth vicioz, etj.).

Prezantimi

Koncepti është një nga komponentët kryesorë në përmbajtjen e çdo lënde akademike, përfshirë matematikën.

Një nga konceptet e para matematikore që një fëmijë has në shkollë është koncepti i numrit. Nëse ky koncept nuk përvetësohet, studentët do të kenë probleme serioze në studimin e mëtejshëm të matematikës.

Që në fillim, studentët ndeshen me koncepte gjatë studimit të disiplinave të ndryshme matematikore. Pra, duke filluar të studiojnë gjeometrinë, studentët takohen menjëherë me konceptet: pikë, vijë, kënd dhe më pas me një sistem të tërë konceptesh që lidhen me llojet e objekteve gjeometrike.

Detyra e mësuesit është të sigurojë asimilimin e plotë të koncepteve. Mirëpo, në praktikën shkollore, ky problem nuk zgjidhet me aq sukses sa kërkohet nga qëllimet e shkollës së arsimit të përgjithshëm.

"Puna kryesore e asimilimit të koncepteve në shkollë është formalizmi," thotë psikologu N.F. Talyzina. Thelbi i formalizmit është se studentët, duke riprodhuar saktë përkufizimin e një koncepti, domethënë duke realizuar përmbajtjen e tij, nuk dinë ta përdorin atë kur zgjidhin probleme për zbatimin e këtij koncepti. Prandaj, formimi i koncepteve është i rëndësishëm, të përditësuar problem.

Objekti i studimit: procesi i formimit të koncepteve matematikore në klasat 5-6.

Objektiv: të hartojë udhëzime për studimin e koncepteve matematikore në klasat 5-6.

Detyrat e punës:

1. Studioni literaturën matematikore, metodike, pedagogjike për këtë temë.

2. Identifikoni mënyrat kryesore të përcaktimit të koncepteve në tekstet e klasave 5-6.

3. Përcaktoni veçoritë e formimit të koncepteve matematikore në klasat 5-6.

Hipoteza e hulumtimit : Nëse në procesin e formimit të koncepteve matematikore në klasat 5-6 merren parasysh veçoritë e mëposhtme:

konceptet kryesisht përcaktohen nga ndërtimi dhe shpesh formimi i një kuptimi të saktë të konceptit tek nxënësit arrihet me ndihmën e përshkrimeve shpjeguese;

konceptet futen në mënyrë konkrete-induktive;

· Gjatë gjithë procesit të formimit të konceptit i kushtohet shumë vëmendje dukshmërisë, atëherë ky proces do të jetë më efektiv.

Metodat e hulumtimit:

studimi i literaturës metodologjike dhe psikologjike për këtë temë;

krahasimi i teksteve të ndryshme në matematikë;

Mësimdhënie me përvojë.

Bazat e metodologjisë për studimin e koncepteve matematikore

Konceptet matematikore, përmbajtja dhe shtrirja e tyre, klasifikimi i koncepteve

Një koncept është një formë e të menduarit për një grup integral të vetive thelbësore dhe jo thelbësore të një objekti.

Konceptet matematikore kanë karakteristikat e tyre: ato shpesh lindin nga nevoja e shkencës dhe nuk kanë analoge në botën reale; kanë një shkallë të lartë abstraksioni. Për shkak të kësaj, është e dëshirueshme që studentëve t'u tregohet shfaqja e konceptit që studiohet (qoftë nga nevoja për praktikë ose nga nevoja për shkencë).

Çdo koncept karakterizohet nga vëllimi dhe përmbajtja. përmbajtja - shumë tipare thelbësore të konceptit. Vëllimi - një grup objektesh për të cilat zbatohet ky koncept. Merrni parasysh marrëdhënien midis fushëveprimit dhe përmbajtjes së konceptit. Nëse përmbajtja është e vërtetë dhe nuk përfshin veçori kontradiktore, atëherë vëllimi nuk është një grup bosh, gjë që është e rëndësishme t'u tregohet studentëve gjatë prezantimit të konceptit. Përmbajtja përcakton plotësisht volumin dhe anasjelltas. Kjo do të thotë që një ndryshim në njërën sjell një ndryshim në tjetrin: nëse përmbajtja rritet, atëherë vëllimi zvogëlohet.

o duhet të kryhet në një bazë;

o klasat duhet të mos mbivendosen;

o bashkimi i të gjitha klasave duhet të japë të gjithë grupin;

o klasifikimi duhet të jetë i vazhdueshëm (klasat duhet të jenë konceptet specifike më të afërta në lidhje me konceptin që i nënshtrohet klasifikimit).

Ekzistojnë llojet e mëposhtme të klasifikimit:

1. Në bazë të modifikuar. Objektet që do të klasifikohen mund të kenë disa veçori, kështu që ato mund të klasifikohen në mënyra të ndryshme.

Shembull. Koncepti i një trekëndëshi.

2. Dikotomike. Ndarja e shtrirjes së konceptit në dy koncepte specifike, njëri prej të cilëve e ka këtë veçori dhe tjetri jo.

Shembull .

Le të veçojmë qëllimet e klasifikimit të trajnimit:

1) zhvillimi i të menduarit logjik;

2) duke studiuar dallime specifike, ne marrim një ide më të qartë të konceptit gjenerik.

Të dy llojet e klasifikimit përdoren në shkollë. Si rregull, së pari dikotomike, dhe më pas në një bazë të modifikuar.