Stoga je jedan od načina razvoja testiranja statističkih hipoteza bio put „empirijske“ konstrukcije kriterijuma, kada se konstruisana statistika kriterijuma zasniva na određenom principu, genijalnoj ideji ili zdrav razum, ali njegova optimalnost nije zagarantovana. Kako bi se opravdala upotreba takve statistike pri testiranju hipoteza na određenu klasu alternativa, najčešće metodom...
Ova disertacija konstruiše i proučava kriterijume dobrote uklapanja i simetrije na osnovu karakterizacionih svojstava distribucija, a takođe izračunava njihovu asimptotičku relativnu efikasnost za brojne alternative.
Izgradnja statističkih kriterijuma i proučavanje njihovih asimptotičkih svojstava jedan je od najvažnijih problema matematičke statistike. Prilikom testiranja jednostavne hipoteze naspram jednostavne alternative, problem se rješava korištenjem Neyman-Pearsonove leme, koja, kao što je poznato, daje optimalni (najmoćniji) kriterij u klasi svih kriterija datog nivoa. Ovo je test omjera vjerovatnoće.
Međutim, za teže i praktičnije probleme testiranja hipoteza koji uključuju ili testiranje složenih hipoteza ili razmatranje složenih alternativa, jednolično najmoćniji testovi rijetko postoje, a uloga testa omjera vjerovatnoće se značajno mijenja. Statistika omjera vjerovatnoće se obično ne može eksplicitno izračunati, gubi svojstvo optimalnosti, a njegova distribucija je nestabilna u odnosu na promjene u statističkom modelu. Štaviše, statističar često uopšte ne može da odredi vrstu alternative, bez koje konstrukcija parametarskih kriterijuma postaje besmislena.
Stoga je jedan od načina razvoja testiranja statističkih hipoteza bio put „empirijske“ konstrukcije kriterijuma, kada se konstruisana statistika kriterijuma zasniva na određenom principu, genijalnoj ideji ili zdravom razumu, ali njegova optimalnost nije garantovano.
Tipični primjeri takve statistike su statistika znakova, Pearsonova x2 statistika (1900), statistika Kolmogorova (1933), koja mjeri ujednačenu udaljenost između empirijske i prave funkcije distribucije, Kendallov koeficijent korelacije ranga (1938) ili Bikel- Rosenblatt statistika (1973), zasnovana na kvadratnom riziku procjene nuklearne gustoće. Trenutno, matematička statistika ima na desetine „empirijskih“ statistika za testiranje hipoteza o slaganju, simetriji, homogenosti, slučajnosti i nezavisnosti, a sve više statistika ovog tipa se stalno predlaže u literaturi. Ogromna literatura posvećena je proučavanju njihovih tačnih i graničnih distribucija, procjenama stope konvergencije, velikim devijacijama, asimptotičkim proširenjima itd.
Da bi se opravdala upotreba takve statistike pri testiranju hipoteza u odnosu na određenu klasu alternativa, njihova se snaga najčešće izračunava pomoću statističkog modeliranja. Međutim, za bilo koji konzistentan kriterij, snaga teži jedinstvu kako se veličina uzorka povećava, te stoga nije uvijek informativna. Dublja analiza komparativnih svojstava statistike može se izvršiti na osnovu koncepta asimptotske relativne efikasnosti (ARE). Različite pristupe izračunavanju AOE predložili su E. Pitman, J. Hodges i E. Lehman, R. Bahadur, G. Chernov i W. Kallenberg sredinom 20. stoljeća, rezultati razvoja teorije AOE do sredine 20. stoljeća; Devedesete su sažete u monografiji. Općeprihvaćeno je mišljenje da sintezu novih kriterija treba pratiti ne samo analizu njihovih svojstava, već i proračun AOE kako bi se ocijenio njihov kvalitet i dale informirane preporuke za njihovu primjenu u praksi.
Ovaj rad koristi ideju konstruisanja kriterijuma na osnovu karakterizacije distribucija svojstvom ekvidistributivnosti. Teorija karakterizacije potiče iz rada D. Polya, objavljenog 1923. godine. Zatim je razvijena u radovima I. Martsinkevič, S. N. Bernstein, E. Lukach, Yu. V. Linnik, A.A. Singer, J. Darmois, V.P. Skitovich, S.R. Pao, A.M. Kagan, J. Galambos, S. Kotz, L. B. Klebanov i mnogi drugi matematičari. Literatura o ovoj temi je velika, a trenutno postoji nekoliko monografija posvećenih karakterizaciji, na primjer, , , , , , , .
Ideja o konstruisanju statističkih kriterijuma na osnovu karakterizacije po svojstvu ekvidistribucije pripada Yu. Na kraju svog opsežnog rada napisao je: „. može se postaviti pitanje konstruisanja kriterijuma za slaganje uzorka sa kompleksnom hipotezom, na osnovu identične raspodele dve odgovarajuće statistike gi (xi> .xr) i g2(x, ¦¦¦xr) i na taj način redukuje pitanje kriterija homogenosti.”
Vratimo se klasičnoj Polyinoj teoremi da na konkretnom primjeru objasnimo kako ovaj pristup može funkcionirati. U svom najjednostavnijem obliku, ova teorema je formulirana na sljedeći način.
Polyin teorem. Neka su X i Y dva nezavisna i identično raspoređena centrirana s. V. Zatim s. V. (X + Y)//2 i X su identično raspoređeni ako i samo ako je zakon raspodjele X normalan.
Pretpostavimo da imamo uzorak centriranih nezavisnih opservacija Xi, ., Xn i želimo da testiramo (kompleksnu) nultu hipotezu da je distribucija ovog uzorka normalna sa srednjom 0 i nekom varijansom. Koristeći naš uzorak, konstruirajmo uobičajenu empirijsku funkciju raspodjele (d.f.) n
Fn (t) = n-^VD
Gn(t) = n~2? VD + Xj< iv^}, t <= R1. i, j=l
Na osnovu Glivenko-Cantellijeve teoreme, koja vrijedi i za V-statističke empirijske d.f. , za velike n funkcija Fn(t) jednoliko se približava d.f. F (t) = P (X< t), а функция Gn (t) равномерно сближается с G (t) = ЦХ + У < tV2). Поскольку при нулевой гипотезе F = G, то Fn (t) близка к Gn (t), и критерий значимости можно основывать на подходящем функционале Тп от разности Fn (t) — Gn (t). Напротив, при альтернативе (то есть при нарушении нормальности) по теореме Пойа F ф G, что приводит к большим значениям Тп и позволяет отвергнуть нулевую гипотезу, обеспечивая состоятельность критерия.
Međutim, ovaj dizajn, zasnovan na ideji Yu. V. Linnika, nije dobio skoro nikakav razvoj, možda zbog tehničkih poteškoća u konstruisanju i analizi rezultujućih kriterijuma. Drugi razlog je vjerovatno taj što su karakterizacije distribucija svojstvom ekvidistribucije rijetke i daleke.
Znamo za samo nekoliko radova koji su u jednom ili drugom stepenu posvećeni razvoju ideje Yu. To su radovi Baringhousea i Henzea i Mulierea i Nikitina, o kojima će biti riječi u nastavku. Postoje i radovi u kojima se kriteriji dobrote uklapanja za specifične distribucije također konstruiraju na osnovu karakterizacija, ali ne i na osnovu ekvidistribucije, na primjer, , , , , , , , .
Najčešća upotreba u literaturi je karakterizacija eksponencijalne distribucije koristeći različite varijante svojstva bez memorije , , , , , , .
Treba napomenuti da se u gotovo svim ovim radovima (osim možda) AOE kriterija koji se razmatraju ne izračunavaju niti raspravljaju. U ovoj tezi ne samo da proučavamo asimptotička svojstva poznatih i naših predloženih kriterija baziranih na karakterizaciji, već i izračunavamo njihov lokalni egzaktni (ili približni) AOE prema Bahaduru.
Hajde da sada definišemo koncept AOE. Neka su (Tn) i (1^) dva slijeda statistike konstruirane iz uzorka X,., Xn sa raspodjelom Pd, gdje je u € 0 C R1, a nulta hipoteza Ho je testirana: 9 € u C protiv alternative A: u € ©-x = ©-6o. Neka je Mm (a, P,0) minimalna veličina uzorka X[,., Xn, za koju sekvenca (Tn) sa datim nivoom značajnosti, a > 0 dostiže snagu /3< 1 при альтернативном значении параметра в € (c)1- Аналогично вводится в). Относительной эффективностью критерия, основанного на статистике Тп, по отношению к критерию, основанному на Уп, называется величина равная обратному отношению указанных выборочных объемов:
Budući da se relativna efikasnost kao funkcija tri argumenta ne može eksplicitno izračunati čak ni za najjednostavniju statistiku, uobičajeno je uzeti u obzir granice:
Ptet, y (a,/?, 0), Ntet, y (a,/3,0).
U prvom slučaju dobija se AOE prema Bahaduru, druga granica određuje AOE prema Hodges-Lehmanu, a treća vodi do određivanja AOE prema Pitmanu. Budući da su u praktičnim primjenama najzanimljiviji slučajevi niskog nivoa značaja, velikih moći i bliskih alternativa, sve tri definicije izgledaju razumno i prirodno.
U ovom radu, da bismo uporedili kriterijume, koristićemo AOE prema Bahaduru. Postoji nekoliko razloga za to. Prvo, Pitmanova efikasnost je pogodna uglavnom za asimptotski normalne statistike, i pod ovim uslovom se poklapa sa lokalnom Bach-Dur efikasnošću , . Uzimamo u obzir ne samo asimptotski normalnu statistiku, već i statistiku kvadratnog tipa, za koju se granična raspodjela pod nultom hipotezom oštro razlikuje od normalne, tako da Pitmanova efikasnost nije primjenjiva. Drugo, Hodges-Lehman AOE nije pogodan za proučavanje dvostranih kriterija, jer se svi ispostavljaju asimptotski optimalni, a za jednostrane kriterije ovaj AOE se obično lokalno poklapa sa Bahadur AOE. Treće, nedavno je napravljen značajan napredak u oblasti velikih odstupanja za statistiku testova, što je ključno pri izračunavanju Bahadur AOE. Mislimo na velika odstupanja U- i V-statistike opisane u novijim radovima i.
Pređimo sada na pregled sadržaja disertacije. Prvo poglavlje je pomoćne prirode. U njemu su iznesene potrebne teorijske i tehničke informacije iz teorije 11-statistike, teorije velikih devijacija i teorije asimptotske efikasnosti prema Bahaduru.
Poglavlje 2 posvećeno je konstrukciji i proučavanju kriterijuma za testiranje hipoteze simetrije. Baringhouse i Henze su predložili ideju izgradnje kriterija simetrije na osnovu sljedeće elementarne karakterizacije.
Neka su X i Y n.o.s.v.s koji imaju kontinuiranu d.f. Tada |X| i |max (X, Y)| identično raspoređeni ako i samo ako su X i Y simetrično raspoređeni oko nule.
Koristimo ovu karakterizaciju da konstruišemo nove kriterijume simetrije. Podsjetimo se da je nekoliko klasičnih kriterija simetrije (vidi Poglavlje 4) zasnovano na karakterizaciji simetrije još jednostavnijim svojstvom ekvidistribucije X i -X.
Vratimo se na Baringhouse-Hentzeovu karakterizaciju. Neka zapažanja X, ., Xn imaju kontinuiranu d.f.<7. Рассмотрим проверку гипотезы симметрии:
H0: OD = 1 —<3(-:г) V я (Е Я1. Это сложная гипотеза, поскольку вид С? не уточняется. В качестве альтернатив мы рассмотрим параметрическую альтернативу сдвига, т. е. G (x-0) = F (x — в), в >0-kosa alternativa, tj. d(x-b) = 2f(x)F ($x), c > 0-Leman alternativa, tj. G(x-, 6) = F1+ e (x), 6 > 0 i alternativa zagađenja , tj. G(x-6) = (1 - 6) F(x) + 6Fr+1(x), u > 0, r > 0, gdje su F (x) i f (x) d.f. i gustina neke simetrične distribucije.
U skladu sa gornjom karakterizacijom, empirijski df se konstruiše na osnovu |Xj|,., Xn, n
Hn (t) = n~2 J2 Tmax (X^Xk)<г}. На основе этих функций составляются статистики: лоо ):
Neka je X uY nenegativan i nedegenerisan n.o.s.v.s koji ima d.f. F, i neka je 0< а < 1. Тогда X и min (^, —) одинаково распределены тогда и только тогда, когда F есть ф.р. экспоненциального закона.
Pored konstruisanja samog kriterijuma slaganja i proučavanja njegovih asimptotičkih svojstava, od interesa je izračunati AOE novog kriterijuma i proučavati njegovu zavisnost od parametra a.
Druga generalizacija ove karakterizacije pripada Des. Formuliramo ga na osnovu novijih radova:
Neka su Xi, ., Xm, m ^ 2 nenegativni i nedegenerisani i.s. r.v.s koji ima d.f. diferenciran na nuli. F. Tada su statistike X i m minpfi, ., Xm) identično raspoređene ako i samo ako je F d.f. eksponencijalni zakon.
Neka su Xx,., Xn nezavisna opažanja koja imaju d.f. Na osnovu gore formulisanih karakterizacija, možemo testirati eksponencijalnu hipotezu Ho, koja se sastoji u činjenici da je (7 je d.f. eksponencijalnog zakona. P, protiv alternative H, koja se sastoji u činjenici da je C f? pod slabim dodatnim uslovima.
U skladu sa ovim karakterizacijama, konstruiše se empirijski df. p = pVD< О (°-0−3) 1 и -статистические ф.р. п-2 ± (* ^ < 4} + ^{тш (?, < «}), 1 П
Predlažemo da se kriterijumi za proveru eksponencijalnosti zasnivaju na statistici: pkp = - c&bdquo-(*)] aop(1).
Kao alternative biramo standardne alternative koje se koriste u literaturi o eksponencijalnom testiranju: Weibullova alternativa sa d(x) = (β + 1)xx(-x1+β), x ^ 0- Makehama alternativa sa d(x) = ( 1 + 0(1 - exp (-x))) exp (-x - 0(exp (-x) - 1 + x)), x ^ 0 - alternativa linearnosti funkcije stope otkaza sa d (x) = (1 + bx) exp[—x—^bx2], x^O.
Za dvije gore predložene statistike, granične distribucije pod nultom hipotezom su zapisane:
Teorema 3.2.1 Za statistiku Uε za n -* oo vrijedi relacija: gdje je Dz(a) definisan u (3.2.2). Teorema 3.3.1 Za statistiku n kao n -> oo vrijedi relacija
U0,(t + 1)2A1(t)), gdje je D4 (t) definirano u (3.3.6).
Budući da obje statistike zavise od parametara a i m, utvrđujemo pri kojim vrijednostima parametara AOE prema Bahaduru dostiže svoj maksimum i nalazimo te vrijednosti. Osim toga, konstruiramo alternativu u kojoj se maksimum postiže u tački i φ ½.
Četvrto poglavlje je posvećeno testiranju hipoteze normalnosti. Postoje mnoge karakteristike normalnog zakona kao jednog od centralnih zakona teorije vjerovatnoće i matematičke statistike, te dvije monografije posvećene isključivo ovom pitanju. Razmotrit ćemo malo pojednostavljenu verziju dobro poznate karakterizacije i:
Neka su Xr, X2, ., Xm centrirani n.o.s.v.s koji imaju d.f. o konstante a, a-2,., am su takve da je 0< а* < 1 и = 1. Тогда статистики Х и одинаково распределены тогда и только тогда, когда F (x) = Ф (х/а), то есть F — ф.р. нормального закона с нулевым средним и некоторой дисперсией, а > 0.
Neka je X, ., Xn uzorak sa d.f. G. Na osnovu ove karakterizacije možemo testirati glavnu hipotezu R0, a to je da je G d.f. normalni zakon Fa (x) = F (x/a), protiv alternative Hi, a to je da je G φ Fa. Konstruiše se uobičajeni empirijski df. Gn i V-statistički d.f. n^
Bm, n (t) = n~t (E 1 + - +< *}),
1.¿-t=1 s
U nastavku, simbol a znači sumiranje svih permutacija indeksa. Kriterijumi za testiranje normalnosti mogu se zasnivati na sljedećim statistikama:
B, n = G dGn (t), J -00 oo
BmAt)-Gn (t)]dGn (t), oo
Bin = G je konačan u intervalu \t\< Н /28/).
Ostalo je otvoreno pitanje vjerovatnoće velikih odstupanja statistike od neograničenog broja jele, kao i proizvoljnih odvojivih statistika koje ne zadovoljavaju Cramerov uslov. To nam nije omogućilo da konačno riješimo problem konstruisanja kriterijuma za testiranje hipoteza u generalizovanim šemama plasmana sa najvećom stopom težnje ka nuli verovatnoće greške prve vrste sa nepribližavajućim alternativama u klasi kriterijuma zasnovanih na statistika oblika (0.4). Relevantnost istraživanja disertacije određena je potrebom da se dovrši rješenje navedenog problema.
Svrha rada disertacije je da se konstruišu kriterijumi dobrote uklapanja sa najvećom vrednošću indeksa kriterijuma (subscript od kriterijuma) za testiranje hipoteza u šemi selekcije bez povratka u klasu kriterijuma koji odbacuju hipotezu U(n). , N) za $.<>,■ ■)><*. (0-7) где ф - функция от счетного количества аргументов, и параметры п, N изменяются в центральной области.
U skladu sa svrhom studije postavljeni su sljedeći zadaci:
Istražiti svojstva entropije i informacijske udaljenosti Kull-Bak - Leibler - Sanov za diskretne distribucije sa prebrojivim brojem ishoda;
Istražiti vjerovatnoće velikih odstupanja statistike oblika (0,4);
Istražiti vjerovatnoće velikih odstupanja simetričnih odvojivih statistika (0.3) koje ne zadovoljavaju Cramerov uslov;
Naći statistiku takvu da kriterijum dobrote uklapanja konstruisan na osnovu njega za testiranje hipoteza u generalizovanim šemama plasmana ima najveću vrednost indeksa u klasi kriterijuma oblika (0,7).
Naučna novina:
Naučna i praktična vrijednost. Rad rješava niz pitanja o ponašanju vjerovatnoća velikih odstupanja u generaliziranim shemama postavljanja. Dobijeni rezultati mogu se koristiti u obrazovnom procesu na specijalnostima matematička statistika i teorija informacija, u proučavanju statističkih postupaka za analizu diskretnih nizova, a korišćeni su u /3/, /21/ za opravdanje sigurnosti jednog klasa informacionih sistema. Odredbe za odbranu:
Smanjenje problema testiranja za jedan niz boja kuglica hipoteza da je ovaj niz dobijen kao rezultat izbora bez vraćanja sve dok se kuglice ne iscrpe iz urne koja sadrži kuglice dvije boje, a svaki takav izbor ima istu vjerovatnoću , na konstrukciju kriterijuma dobrote uklapanja za testiranje hipoteza u odgovarajućem generalizovanom izgledu;
Kontinuitet entropijskih i Kullback-Leibler-Sanov informacijskih funkcija udaljenosti na beskonačno-dimenzionalnom simpleksu s uvedenom logaritamskom generaliziranom metrikom;
Teorema o gruboj (do logaritamske ekvivalencije) asimptotici vjerovatnoća velikih odstupanja simetričnih odvojivih statistika koje ne zadovoljavaju Cramerov uslov u generaliziranoj shemi smještaja u polueksponencijalnom slučaju;
Teorema o gruboj (do logaritamske ekvivalencije) asimptotici vjerovatnoća velikih odstupanja za statistiku oblika (0.4);
Konstrukcija kriterijuma dobrote uklapanja za testiranje hipoteza u generalizovanim izgledima sa najvećom vrednošću indeksa u klasi kriterijuma oblika (0,7).
Provjera rada. Rezultati su predstavljeni na seminarima Katedre za diskretnu matematiku Matematičkog instituta im. V. A. Steklov RAS, odeljenje za bezbednost informacija ITM&VT po imenu. S. A. Lebedev RAS i na:
Peti sveruski simpozijum o primenjenoj i industrijskoj matematici. Proljetna sesija, Kislovodsk, 2. - 8. maj 2004;
Šesta međunarodna konferencija u Petrozavodsku "Probabilističke metode u diskretnoj matematici" 10. - 16. juna 2004.;
Druga međunarodna konferencija "Informacioni sistemi i tehnologije (IST" 2004)", Minsk, 8-10. novembar 2004.;
Međunarodna konferencija "Savremeni problemi i novi trendovi u teoriji vjerovatnoće", Černivci, Ukrajina, 19. - 26. juna 2005.
Glavni rezultati rada korišćeni su u istraživačkom radu "Izvinjenje", koji je sproveo ITMiVT RAS. S. A. Lebedeva u interesu Federalne službe za tehničku i izvoznu kontrolu Ruske Federacije, a uključeni su u izvještaj o realizaciji faze istraživanja /21/. Neki rezultati disertacije uključeni su u istraživački izvještaj "Razvoj matematičkih problema kriptografije" Akademije kriptografije Ruske Federacije za 2004. godinu /22/.
Autor izražava duboku zahvalnost naučnom rukovodiocu, doktoru fizičko-matematičkih nauka A. F. Ronžinu i naučnom savetniku, doktoru fizičko-matematičkih nauka, višem istraživaču A. V. Knjazevu. Autor se zahvaljuje doktoru fizičko-matematičkih nauka, profesoru Zubkovu. i kandidatu fizičko-matematičkih nauka matematičkih nauka I. A. Kruglovu na pažnji prema radu i nizu vrijednih komentara.
Struktura i sadržaj rada.
Prvo poglavlje ispituje svojstva entropije i informacijske udaljenosti za distribucije na skupu nenegativnih cijelih brojeva.
U prvom pasusu prvog poglavlja uvode se oznake i daju se potrebne definicije. Posebno se koristi sljedeća notacija: x = (xq,x\, . ) - beskonačno-dimenzionalni vektor sa prebrojivim brojem komponenti;
H(x) - -Ex^oXvlnx,-, truncm(x) = (x0,x1,.,xm,0,0,.)] f2* = (x, xi > 0, zy = 0,1,. , Oh "< 1}; Q = {х, х, >0,u = 0,1,., o xv = 1); = (x GO, ££L0 = 7);
Ml = o Ue>1|5 € o< Ml - 7МГ1 < 00}. Понятно, что множество £1 соответствует семейству вероятностных распределений на множестве неотрицательных целых чисел, П7 - семейству вероятностных распределений на множестве неотрицательных целых чисел с математическим ожиданием 7.
Ako je y 6E P, tada će za e > 0 skup biti označen sa Oe(y)
Oe(y) - (x^< уие£ для всех v = 0,1,.}.
U drugom paragrafu prvog poglavlja dokazana je teorema o ograničenosti entropije diskretnih distribucija sa ograničenim matematičkim očekivanjima.
Teorema 1. O ograničenosti entropije diskretnih distribucija s ograničenim matematičkim očekivanjem.
Za bilo koje 6 P7
H(x) Ako x € fly odgovara geometrijskoj distribuciji sa matematičkom definicijom 7, odnosno 7 x„ = (1- r)r\ v = 0,1,., gdje je r = --, 1 + 7 onda vrijedi jednakost H(x) = F(<7). Izjava teoreme može se posmatrati kao rezultat formalne primjene Lagrangeove metode uslovnih množitelja u slučaju beskonačnog broja varijabli. Teorema da je jedina raspodjela na skupu (k, k + 1, k + 2,.) sa datim matematičkim očekivanjem i maksimalnom entropijom geometrijska raspodjela sa datim matematičkim očekivanjem data je (bez dokaza) u /47/. Autor je, međutim, dao strogi dokaz. Treći paragraf prvog poglavlja daje definiciju generalizovane metrike – metrike koja dozvoljava beskonačne vrednosti. Za x,y € Q funkcija p(x,y) je definirana kao minimalno e > O sa svojstvom yie~£<хи< уиее для всех и = 0,1,. Если такого е не существует, то полагается, что р(х,у) = оо. Dokazano je da je funkcija p(x,y) generalizirana metrika na familiji distribucija na skupu nenegativnih cijelih brojeva, kao i na cijelom skupu Cl*. Umjesto e u definiciji metrike p(x,y), možete koristiti bilo koji drugi pozitivan broj osim 1. Rezultirajuća metrika će se razlikovati po multiplikativnoj konstanti. Označimo sa J(x, y) informacijsku udaljenost 00 £ J(x,y) = E In-. Ovdje i ispod pretpostavlja se da je 0 In 0 = 0,0 In jj = 0. Informacijska udaljenost je definirana za takve x, y da je x„ = 0 za sve i takvo da je y = 0. Ako ovaj uvjet nije ispunjen, onda ćemo pretpostaviće da je J(x,ij) = oo. Neka L SP. Tada ćemo označiti J (A Y) = |nf J(x,y). Četvrti paragraf prvog poglavlja daje definiciju kompaktnosti funkcija definiranih na skupu Q*. Kompaktnost funkcije sa prebrojivim brojem argumenata znači da se sa bilo kojim stepenom tačnosti vrednost funkcije može aproksimirati vrednostima ove funkcije u tačkama u kojima je samo konačan broj argumenata različit od nule. Dokazana je kompaktnost funkcija entropije i informacijske udaljenosti. 1. Za bilo koje 0< 7 < оо функция Н(х) компактна на 2. Ako je za nekih 0< 70 < оо R e tada za bilo koje 0<7<оо,г>0 funkcija x) = J(x,p) je kompaktna na skupu Peti paragraf prvog poglavlja razmatra svojstva informacijske udaljenosti definirane na beskonačno-dimenzionalnom prostoru. U poređenju sa konačnodimenzionalnim slučajem, situacija s kontinuitetom funkcije informacijske udaljenosti se kvalitativno mijenja. Pokazano je da funkcija udaljenosti informacija nije kontinuirana na skupu ni u jednoj metrici Pl&V) = E\Xi~Y»\, u=0 E (xv - Ui)2 v=Q Rz(h,u) = 8Up\xu-yv\. v Za entropijske funkcije H(x) i informacijsku udaljenost J(x,p) dokazana je valjanost sljedećih nejednakosti: 1. Za bilo koje x, x" € fi N(x) - N(x")\< - 1){Н{х) + Н{х")). 2. Ako za neko x,p e P postoji e > 0 tako da je x 6 0 £(p), tada za bilo koje x" £ Q J(x,p) - J(x",p)|< (е"М - 1){Н{х) + Н{х") + ееН(р)). Iz ovih nejednakosti, uzimajući u obzir teoremu 1, slijedi da su funkcije entropije i informacijske udaljenosti ravnomjerno kontinuirane na odgovarajućim podskupovima Q u metrici p(x,y)t, naime, 1. Za bilo koje 7 takvih da je 0< 7 < оо, функция Н(х) равномерно непрерывна на Г2 в метрике р(ж,у); 2. Ako za nekih 70, 0< 70 < оо TO za bilo koje 0<7<оои£>0 funkcija L p(x) = J(x,p) je uniformno kontinuiran na skupu Π Oe(p) u metrici p(x,y). Dana je definicija neekstremalne funkcije. Neekstremalni uvjet znači da funkcija nema lokalne ekstreme, ili funkcija uzima iste vrijednosti na lokalnim minimumima (lokalni maksimumi). Neekstremno stanje slabi zahtjev odsustva lokalnih ekstrema. Na primjer, funkcija sin x na skupu realnih brojeva ima lokalne ekstreme, ali zadovoljava neekstremalni uvjet. Neka je za neko 7 > 0, oblast A data uslovom A = (x € VLv4>(x) > a), (0.9) gdje je φ(x) funkcija realne vrijednosti, a je neka realna konstanta, inf φ(x)< а < inf ф(х). Proučavano je pitanje pod kojim uslovima na funkciju φ pri promjeni parametara n,N u središnjem području, ^ -; 7, za sve dovoljno velike vrijednosti postoje nenegativni cijeli brojevi ko, k\,., kn takvi da je k0 + ki + . + kn = N, k\ + 2k2. + kontrolna tabla - N i F(ko k\ kp -£,0,0 ,.)>a. Dokazano je da je za to dovoljno zahtijevati da funkcija φ bude neekstremalna, kompaktna i kontinuirana u metrici p(x,y), kao i da za barem jednu tačku x koja zadovoljava (0.9), za neki e > 0 postoji konačan moment stepena 1 + e i x„ > 0 za bilo koji v = 0.1. U drugom poglavlju proučavamo grubu (do logaritamske ekvivalencije) asimptotiku vjerovatnoće velikih odstupanja funkcija od D = (^0) ■ ) Ts "n, 0, .) - broja ćelija sa datim punjenjem u središnjem području promjene parametara N, n. Grubo Asimptotika vjerovatnoća velikih odstupanja je dovoljna za proučavanje indeksa kriterija slaganja. Neka su slučajne varijable ^ u (0.2) identično raspoređene i P(z) - generirajuća funkcija slučajne varijable - konvergira u krug radijusa 1< R < оо. Следуя /38/, для 0 < z < R обозначим через £(z) случайную величину такую, что Ml+£ = £ i1+ex„< 00. 0,10) k] = Pk, k = 0,1,. Označimo Ako postoji rješenje jednačine m Z(z) = ʺ onda je ono jedinstveno /38/. U nastavku ćemo pretpostaviti da je pk > O,A; = 0,1,. Prvi pasus prvog paragrafa drugog poglavlja sadrži asimptotiku logaritama vjerovatnoća oblika 1pR(/x0 = ko,.,tsp = kp). Dokazana je sljedeća teorema. Teorema 2. Gruba lokalna teorema o vjerovatnoći velikih odstupanja. Neka je n, N -» oo tako da je jj ->7.0<7 < оо, существует z7 - корень уравнения M£(z) = 7, с. в. £(г7) имеет положительную дисперсию. Тогда для любого k G Cl(n,N) 1nP(D = k) = JftpK)) + O(^lniV). Izjava teoreme slijedi direktno iz formule za zajedničku raspodjelu fii,. fin u /26/ i sljedeću procjenu: ako su nenegativne cjelobrojne vrijednosti, Np zadovoljava uslov Hi + 2d2 + + PNn = n, tada je broj nenultih vrijednosti među njima 0 (l/n). Ovo je gruba procjena i ne tvrdi se da je nova. Broj CG različitih od nule u generalizovanim šemama rasporeda ne prelazi vrednost maksimalnog popunjavanja ćelija, koja u centralnom regionu, sa verovatnoćom koja teži 1, ne prelazi vrednost O(lnn) /25/, / 27/. Ipak, rezultirajuća procjena 0(y/n) zadovoljava vjerovatnoću 1 i dovoljna je da dobije grubu asimptotiku. U drugom paragrafu prvog paragrafa drugog poglavlja nalazi se vrijednost granice gdje je adg niz realnih brojeva koji konvergiraju nekom a G R, φ(x) je funkcija realne vrijednosti. Dokazana je sljedeća teorema. Teorema 3. Gruba integralna teorema o vjerovatnoćama velikih odstupanja. Neka su ispunjeni uslovi teoreme 2, za neke r > 0, C > 0 realna funkcija φ(x) je kompaktna, uniformno neprekidna u metrici p na skupu A = 0r+<;(p(z7)) П Ц7+с] и удовлетворяет условию неэкстремальности на множестве fly. Если для некоторой константы а такой, что inf ф(х) < а < sup ф(х). xeily существует вектор ра € fi7 П 0r(p(z7)); такой, что F(ra) > a i j(( (x) >a,xe P7),p(2;7)) = 7(pa,p(*y)) mo za bilo koji niz a^ koji konvergira u a, Jim -vbPW%%,.)>aN) = J(pa,p(2h)). (0.11) Uz dodatna ograničenja na funkciju φ(x), informacijska udaljenost J(pa,p(z7)) u (2.3) može se preciznije izračunati. Naime, tačna je sljedeća teorema. Teorema 4. O informacijskoj udaljenosti. Neka za nekih 0< 7 < оо для некоторвх г >0, C > 0, realna funkcija φ(x) i njeni parcijalni derivati prvog reda su kompaktni i uniformno kontinuirani u generaliziranoj metrici p(x, y) na skupu p G A = Og(p) P %+c] postoji T > 0, R > 0 takvi da za sve \t\<Т,0 < z < R,x е А E^exp^-f(x))< оо, 0(a;)exp(t-< со, i/=o oxv 0X1/ для некоторого е >O oo Q pvv1+£zu exp(t-ph(x))< оо, (0.13) и существует единственный вектор x(z,t), удовлетворяющий системе уравнений xv(z, t) = pvzv ехр {Ь-ф(х(г, t))}, v = 0,1,. функция ф(х) удовлетворяет на множестве А условию неэкстремальности, а - некоторая константа, ф(р) < а < sup ф(:x)(z,t), 0 00 vpv(za,ta) = 7, 1/=0 0(p(*aL)) = a, gdje Tada je p(za, ta) € i J((x e A,f(h) = a),r) = J(p(za, ta),p) 00 d 00 d = l\nza + taYl ir- Ako je funkcija f(x) linearna funkcija, a funkcija f(x) je definirana pomoću jednakosti (0.5), tada se uvjet (0.12) pretvara u Cramerov uvjet za slučajnu varijablu f(£(z)). Uvjet (0.13) je oblik uvjeta (0.10) i koristi se za dokazivanje prisutnosti u domenima oblika (x G f(x) > a) najmanje jedne tačke iz 0(n, N) za sve dovoljno velike n, N. Neka je ^)(n, N) = (hi,., /gdr) vektor frekvencije u generaliziranoj šemi smještaja (0.2). Kao posledica teorema 3 i 4, formulisana je sledeća teorema. Teorema 5. Gruba integralna teorema o vjerovatnoćama velikih odstupanja simetrične odvojive statistike u generaliziranoj shemi postavljanja. Neka je n, N -» oo tako da je ^ - 7, 0< 7 < оо, существует z1 - корень уравнения М£(,г) = 7, с. в. £(27) имеет положительную дисперсию и максимальный шаг распределения 1, а - некоторая константа, f(x) - действительная функция, а < Mf(^(z1)), существуют Т >0,R > 0 tako da za sve |t|<Т,0 < z < R, 00 oo, u=0 postoje takvi ta\ E vVi/("01 ta) = b gdje je f(v)p"(za,ta) = a, 1/=0 Tada za bilo koji niz adg koji konvergira na a, Jim - - InF»(- £ f(h„) > aN) = J(p(za,ta),p(z7)) 00 7 In 2a + taa - In £ p^/e^M i/=0 Ovu teoremu je prvi dokazao A.F. Ronzhin u /38/ koristeći metodu sedla. U drugom pasusu drugog poglavlja, proučavaju se vjerovatnoće velikih odstupanja odvojivih statistika u generalizovanim pozicijama cxj^iax u slučaju neuspjeha da se zadovolji Cramerov uslov za slučajnu varijablu f(€(z)). Cramerov uslov za slučajnu varijablu f(£(z)) nije zadovoljen, posebno ako je £(z) Poissonova slučajna varijabla i f(x) je x2. Imajte na umu da je Cramerov uslov za samu odvojivu statistiku u generaliziranim shemama alokacije uvijek zadovoljen, budući da je za bilo koje fiksno n, N broj mogućih ishoda u ovim šemama konačan. Kao što je navedeno u /2/, ako nije zadovoljen Cramerov uslov, tada su potrebne dodatne za pronalaženje asimptotike vjerovatnoća velikih odstupanja suma identično raspoređenih slučajnih varijabli. f V and. . I uvjeti ispravne promjene na distribuciji termina. U toku j O, 5 razmatra se slučaj koji odgovara ispunjenju uslova (3) u /2/, odnosno sedmoeksponencijalni slučaj. Neka je P(£i = k) > 0 za sve k = 0,1. a funkcija p(k) = -\nP(^ = k), može se proširiti na funkciju kontinuiranog argumenta - redovno promjenjivu funkciju reda p, 0< р < со /45/, то есть положительной функции такой, что при t ->oo p(tx) xr. Neka funkcija f(x) za dovoljno velike vrijednosti argumenta bude pozitivna striktno rastuća, redovno promjenjiva funkcija reda definirajmo funkciju cp(x) postavljanjem za dovoljno veliko x φ) = p(Γ\. x)). Na ostatku numeričke ose, ip(x) se može specificirati na proizvoljan ograničen mjerljiv način. Zatim s. V. /(£i) ima momente bilo kojeg reda i ne zadovoljava Cramerov uslov, p(x) = o(x) kao x -> ω, a sljedeća teorema 6 je važeća. Neka je funkcija ip(x) monotona neopadajući za dovoljno veliki x, fg^ction ne raste monotono, n, N -> oo tako da je jj - A, 0< Л < оо; гд - единственный корень уравнения M^i(^) = Л, тогда для любого с >b(z\), gdje je b(z) = M/(£i(.z)), postoji granica CN) = -(c - b(z\))4. Iz teoreme b slijedi da ako nije ispunjen Cramerov uslov, granica lim 1 InP(LN(h(n, N)) > cN) = 0, ^ ^ iv-too iv što dokazuje valjanost hipoteze navedene u / 39/. Dakle, vrijednost indeksa kriterija dogovora u generaliziranim šemama plasmana i neispunjavanju Cramerovog uvjeta uvijek je jednaka nuli. U ovom slučaju, u klasi kriterijuma, kada je Cramerov uslov zadovoljen, konstruišu se kriterijumi sa nenultom vrednošću indeksa. Iz ovoga možemo zaključiti da korištenjem kriterija čija statistika ne zadovoljava Cramerov uvjet, na primjer, hi-kvadrat test u polinomskoj shemi, konstruirati testove dobrote uklapanja za testiranje hipoteza za nekonvergentne alternative u naznačenom smislu je asimptotski neefikasna. Sličan zaključak donesen je u /54/ na osnovu rezultata poređenja statistike hi-kvadrata i maksimalne vjerovatnoće u polinomskoj šemi. Treće poglavlje rješava problem konstruiranja kriterija dobrote uklapanja s najvećom vrijednošću indeksa kriterija (najvećom vrijednošću indeksa kriterija) za testiranje hipoteza u generaliziranim šemama postavljanja. Na osnovu rezultata prvog i drugog poglavlja o svojstvima entropijskih funkcija, informacijskoj udaljenosti i vjerovatnoćama velikih odstupanja, u trećem poglavlju je pronađena funkcija oblika (0.4) tako da je konstruiran kriterij dobrote na svojoj osnovi ima najveću vrijednost egzaktnog indeksa u klasi kriterija koji se razmatra. Dokazana je sljedeća teorema. Teorema 7. O postojanju indeksa. Neka su ispunjeni uslovi teoreme 3: 0< /3 < 1, Н = Hp(i),Hp(2>,. je niz alternativnih distribucija, a,f((3, N) je maksimalni broj za koji, pod hipotezom Nr<ло выполнено неравенство существует предел lim^-оо о>φ(P, N) - a. Tada u tački (/3, H) postoji kriterijski indeks φ Zff, H) = 3((φ(x) > a, x £ ^.PW). stidljiva)<ШН)>gdje je w/fo fh h v^l ^ U Zaključku se iznose dobijeni rezultati u njihovom odnosu sa opštim ciljem i konkretnim zadacima postavljenim u disertaciji, formulišu se zaključci na osnovu rezultata istraživanja disertacije, ukazuje se na naučnu novinu, teorijsku i praktičnu vrednost rada, kao i specifične naučnih zadataka koje je autor identifikovao i čije se rešavanje čini relevantnim. Kratka recenzija literaturu na temu istraživanja. U radu se ispituje problem konstruisanja kriterijuma saglasnosti u generalizovanim šemama postavljanja sa najvećom vrednošću indeksa kriterijuma u klasi funkcija oblika (0.4) sa nekonvergirajućim alternativama. Generalizirane sheme rasporeda uveo je V.F. Kolchin u /24/. Količine u polinomskoj shemi nazvane su broj ćelija sa g peleta i detaljno su proučavane u monografiji V. F. Kolčina, B. A. Sevastjanova, V. P. Čistjakova /27/. Vrijednosti jele u generaliziranim rasporedima proučavao je V.F. Kolchin u /25/, /26/. Statistiku oblika (0,3) prvi je razmatrao Yu I. Medvedev u /30/ i nazvana je odvojivom (aditivno odvojivom) statistikom. Ako funkcije /„ u (0.3) ne zavise od u, takve statistike su nazvane u /31/ simetričnim odvojivim statistikama. Asimptotičko ponašanje momenata odvojivih statistika u generalizovanim alokacionim šemama dobio je G. I. Ivčenko u /9/. Granične teoreme za generalizovanu shemu rasporeda takođe su razmatrane u /23/. Preglede rezultata graničnih teorema i kriterija slaganja u diskretnim vjerovatnoćama tipa (0.2) dali su V. A. Ivanov, G. I. Ivchenko, Yu. I. Medvedev u /8/ i G. I. Ivchenko, Yu /14/. Kriterijume sporazuma za generalizovane rasporede razmatrao je A.F. Ronzhin u /38/. Poređenje svojstava statističkih kriterijuma u ovim radovima izvršeno je sa stanovišta relativne asimptotske efikasnosti. Razmatran je slučaj konvergirajućih (kontigualnih) hipoteza - efikasnost u smislu Pitmana i nekonvergentne hipoteze - efikasnost u smislu Bahadura, Hodgesa - Lehmana i Chernova. Odnos između različitih tipova statističkih testova relativnih performansi razmatra se, na primjer, u /49/. Kao što slijedi iz rezultata 10. I. Medvedeva u /31/ o raspodjeli odvojivih statistika u polinomskoj shemi, najveću asimptotičku moć pod konvergentnim hipotezama u klasi odvojivih statistika o učestalostima ishoda u polinomskoj shemi ima kriterijum zasnovan na hi-kvadrat statistici. Ovaj rezultat je generalizovao A.F. Ronzhin za kola tipa (0.2) u /38/. I. I. Viktorova i V. P. Čistjakov u /4/ konstruisali su optimalni kriterijum za polinomsku šemu u klasi linearnih funkcija od /xr. A.F. Ronzhin u /38/ je konstruisao kriterijum koji, s obzirom na niz alternativa koje nisu bliske nultoj hipotezi, minimizira logaritamsku stopu pri kojoj verovatnoća greške prve vrste teži nuli, u klasi statistike oblik (0.6). Poređenje relativne performanse hi-kvadrata i statistike omjera maksimalne vjerovatnoće prema približnim i neaproksimativnim hipotezama izvršeno je u /54/. U tezi je razmatran slučaj nekonvergirajućih hipoteza. Proučavanje relativne statističke efikasnosti kriterijuma pod nekonvergentnim hipotezama zahteva proučavanje verovatnoće izuzetno velikih odstupanja - reda 0(i/n). Prvi put je takav problem za polinomsku distribuciju sa fiksnim brojem ishoda riješio I. N. Sanov u /40/. U /48/ je razmatrana asimptotička optimalnost testova dobrosti za testiranje jednostavnih i složenih hipoteza za multinomijalnu distribuciju u slučaju konačnog broja ishoda sa nekonvergirajućim alternativama. Svojstva informacione distance su prethodno razmatrali Kullback, Leibler /29/,/53/ i I. II. Sanov /40/, kao i Hoeffding /48/. U ovim radovima razmatran je kontinuitet informacijske udaljenosti na konačnodimenzionalnim prostorima u euklidskoj metrici. Jedan broj autora razmatrao je niz prostora sa rastućom dimenzijom, na primjer, u radu Yu V. Prokhorova /37/ ili u radu V. I. Bogacheva, A. V. Kolesnikova /1/. Grube (do logaritamske ekvivalencije) teoreme o vjerovatnoćama velikih odstupanja odvojivih statistika u generalizovanim šemama alokacije pod Cramerovim uslovom dobio je A.F. Ronzhin u /38/. A. N. Timashev u /42/,/43/ dobio je egzaktne (do ekvivalencije) višedimenzionalne integralne i lokalne granične teoreme o vjerovatnoćama velikih odstupanja vektora fir^n, N),., iir.(n,N), gdje je s, r\,., rs - fiksni cijeli brojevi, O<П < . Proučavanje vjerovatnoća velikih odstupanja kada nije ispunjen Cramerov uslov za slučaj nezavisnih slučajnih varijabli sprovedeno je u radovima A. V. Nagaeva /35/. Metodu konjugiranih raspodjela opisuje Feller /45/. Statističke probleme testiranja hipoteza i procene parametara u šemi selekcije bez povratka u nešto drugačijoj formulaciji razmatrali su G. I. Ivčenko, V. V. Levin, E. E. Timonina /10/, /15/, gde su problemi procene rešavani za konačnu populaciju, kada je broj njegovih elemenata je nepoznata veličina, dokazana je asimptotička normalnost multivarijantne S - statistike iz s nezavisnih uzoraka u šemi selekcije bez reverzije. Problem proučavanja slučajnih varijabli povezanih sa ponavljanjima u nizovima nezavisnih ispitivanja proučavali su A. M. Zubkov, V. G. Mihajlov, A. M. Šoitov u /6/, /7/, /32/, /33/, /34/ . Analizu glavnih statističkih problema procjene i testiranja hipoteza u okviru opšteg modela Markov-Pólya izvršili su G. I. Ivchenko, Yu I. Medvedev u /13/, čija je vjerovatnoća analiza data u /11 /. Metoda za određivanje neujednačenih mjera vjerovatnoće na skupu kombinatornih objekata, koja se ne svodi na generaliziranu šemu smještaja (0.2), opisana je u G. I. Ivchenko, I. Medvedev /12/. Brojne probleme u teoriji vjerovatnoće, u kojima se odgovor može dobiti kao rezultat proračuna pomoću rekurentnih formula, ukazao je A. M. Zubkov u /5/. Nejednakosti za entropiju diskretnih distribucija dobijene su u /50/ (citirano iz sažetka A. M. Zubkova u RZhMat). Ako je (pn)^Lo distribucija vjerovatnoće, oo Rp = E Rk, k=tg A = supp^Pn+i< оо (0.14) п>0 i F(x) = (x + 1) In (x + 1) - x In x, onda za entropiju I ove distribucije vjerovatnoće 00 i = - 5Z Rk^Rk k=0 nejednakosti su važeće -L 1 00 00 R I + (In -f-) £ (Arn - Rn+1)< F(А) < Я + £ (АРп - P„+i)(ln L D p=P -t str.4-1 i nejednakosti se pretvaraju u jednakosti ako Rp= (xf1)n+vn>Q. (0.15) Imajte na umu da je ekstremna distribucija (0.15) geometrijska distribucija sa matematičkim očekivanjem A, a funkcija F(A) parametra (0.14) se poklapa sa funkcijom matematičkog očekivanja iz teoreme 1. 3.4. zaključci U ovom poglavlju, na osnovu rezultata prethodnih poglavlja, bilo je moguće konstruisati kriterijum dobrote uklapanja za testiranje hipoteza u generalizovanim šemama plasmana sa najvećom logaritamskom stopom težnje ka nuli verovatnoće greške prvog tipa, sa fiksna vjerovatnoća greške prve vrste i nepribližne alternative. ~" Zaključak Svrha rada na disertaciji bila je da se konstruišu kriterijumi dobrote uklapanja za testiranje hipoteza u selekcionoj šemi bez vraćanja iz urne koja sadrži kuglice 2 boje. Autor je odlučio da proučava statistiku zasnovanu na frekvencijama udaljenosti između kuglica iste boje. U ovoj formulaciji problem je sveden na problem testiranja hipoteza u odgovarajućem generaliziranom rasporedu. Uključen je rad na disertaciji Proučavana su svojstva entropije i informacijske udaljenosti diskretnih distribucija s neograničenim brojem ishoda i ograničenim matematičkim očekivanjima; Dobijeno je grubo (do logaritamske ekvivalencije) asimptotičko ponašanje vjerovatnoća velikih odstupanja široke klase statistike u generaliziranoj šemi plasmana; Na osnovu dobijenih rezultata konstruisana je kriterijumska funkcija sa najvećom logaritamskom stopom težnje ka nuli verovatnoće greške prvog tipa sa fiksnom verovatnoćom greške drugog tipa i nepribližavajućim alternativama; Dokazano je da statistike koje ne zadovoljavaju Cramerov uslov imaju nižu stopu konvergencije na nulu vjerovatnoće velikih odstupanja u poređenju sa statistikama koje zadovoljavaju ovaj uslov. Naučna novina rada je sljedeća. Dat je koncept generalizirane metrike - funkcije koja dopušta beskonačne vrijednosti i zadovoljava aksiome identiteta, simetrije i nejednakosti trokuta. Pronađena je generalizirana metrika i naznačeni skupovi na kojima su entropijske i informacijske funkcije udaljenosti, definirane na porodici diskretnih distribucija s prebrojivim brojem ishoda, kontinuirane u ovoj metrici; U generaliziranoj shemi postavljanja, pronađena je gruba (do logaritamske ekvivalencije) asimptotika za vjerovatnoće velikih odstupanja statistike oblika (0.4) koja zadovoljava odgovarajući oblik Cramerovog uslova; U generaliziranoj shemi postavljanja, gruba (do logaritamske ekvivalencije) asimptotika je pronađena za vjerovatnoće velikih odstupanja simetričnih odvojivih statistika koje ne zadovoljavaju Cramerov uslov; U klasi kriterijuma oblika (0.7) konstruiše se kriterijum sa najvećom vrednošću indeksa kriterijuma. Rad rješava niz pitanja o ponašanju vjerovatnoća velikih odstupanja u generaliziranim shemama postavljanja. Dobijeni rezultati mogu se koristiti u obrazovnom procesu na specijalnostima matematička statistika i teorija informacija, u proučavanju statističkih postupaka za analizu diskretnih nizova, a korišćeni su u /3/, /21/ za opravdanje sigurnosti jednog klasa informacionih sistema. Međutim, brojna pitanja ostaju otvorena. Autor se ograničio na razmatranje centralne zone promena parametara n, N generalizovanih šema za smeštaj n čestica u N ćelija. Ako nosilac distribucije slučajnih varijabli koja generira generaliziranu shemu uređenja (0.2) nije skup oblika r, r + 1, r + 2,., onda kada se dokazuje kontinuitet funkcije informacijske udaljenosti i proučavaju vjerovatnoće velikih odstupanja, potrebno je uzeti u obzir aritmetičku strukturu takvog nosača koja nije razmatrana u autorskom radu. Za praktičnu primenu kriterijuma izgrađenih na osnovu predložene funkcije sa maksimalnom vrednošću indeksa, potrebno je proučiti njenu distribuciju kako pod nultom hipotezom, tako i pod alternativama, uključujući i konvergirajuće. Takođe je od interesa da se razvijene metode prenesu i dobijeni rezultati generalizuju na druge probabilističke šeme osim generalizovanih šema postavljanja. Ako je - frekvencije udaljenosti između brojeva ishoda 0 u binomskoj shemi sa vjerovatnoćama ishoda po> 1 - Po, onda se može pokazati da u ovom slučaju Pb = kh.t fin = kn) = I(± iki = n)(kl + --, (3.3) v=\ K\ \ . Kn\ gdje je O* = Po~1(1 ~Po),v = Iz analize formule za zajedničku raspodelu vrednosti cg u generalizovanoj shemi rasporeda, dokazane u /26/, proizilazi da se raspodela (3.3), uopšteno govoreći, ne može predstaviti u opštem slučaju kao zajednička raspodela. vrijednosti cg u bilo kojem generaliziranom rasporedu čestica po ćelijama. Ova raspodjela je poseban slučaj distribucija na skupu kombinatornih objekata uvedenih u /12/. Čini se hitnim zadatkom da se rezultati rada na disertaciji za generalizovane šeme plasmana prenesu na ovaj slučaj, o kojem je bilo reči u /52/. Ako je broj ishoda u šemi izbora-bez povrata ili polinomske alokacije veći od dva, tada se zajednička frekvencijska raspodjela udaljenosti između susjednih identičnih ishoda više ne može predstaviti na tako jednostavan način. Do sada je jedino moguće izračunati matematičko očekivanje i disperziju broja takvih udaljenosti /51/. 1. Bogačev V.I., Kolesnikov A.V. Nelinearne transformacije konveksnih mjera i entropije Radon-Nikodymovih gustoća // Izvještaji Akademije nauka. - 2004. - T. 207. - 2. - Str. 155 - 159. 2. Vidyakin V.V., Kolodzei A.V. Statistička detekcija skrivenih kanala u mrežama za prijenos podataka // Proc. izvještaj II International konf. "Informacioni sistemi i tehnologije IST" 2004" (Minsk, 8-10. oktobar 2004.) Minsk: BSU, 2004. - 1. deo. - str. 116 - 117. 3. Viktorova I. I., Chistyakov V. P. Neke generalizacije kriterija praznog okvira // Theory Probab. i njegove primjene. - 1966. - T. XI. - 2. P. 306-313. 4. Zubkov A. M. Rekurentne formule za izračunavanje funkcionalnosti ods diskretnih slučajnih varijabli // Review of Appl. i industrijski math. 1996. - T. 3. - 4. - P. 567 - 573. 5. G. Zubkov A. M., Mikhailov V. G. Granične distribucije slučajnih varijabli povezanih s dugim ponavljanjima u nizu nezavisnih testova // Theory Probab. i njegove primjene. - 1974. - T. XIX. 1. - str. 173 - 181. 6. Zubkov A. M., Mikhailov V. G. O ponavljanjima s - lanaca u nizu nezavisnih veličina // Theory Probab. i njegova primjena - 1979. T. XXIV. - 2. - Str. 267 - 273. 7. Ivanov V. A., Ivchenko G. I., Medvedev I. Diskretni problemi u teoriji vjerojatnosti // Rezultati nauke i tehnologije. Ser. teorija vjerovatnoće, matematika. stat., teor. cybern. T. 23. - M.: VINITI, 1984. P. 3 -60. 8. Ivchenko G. I. O trenucima odvojive statistike u generaliziranoj shemi alokacije // Mat. bilješke. 1986. - T. 39. - 2. - Str. 284 - 293. 9. Ivchenko G. I., Levin V. V. Asimptotička normalnost u shemi odabira bez povratka // Theory Probab. i primenjuje se. - 1978.- T. XXIII. 1. - str. 97 - 108. 10. Ivchenko G.I., Medvedev Yu.I. O shemi urne Markov-Polya: od 1917. do danas // Primijenjeni pregled. i industrijski math. - 1996. - T. 3. 4. - P. 484-511. 11. Ivchenko G.I., Medvedev Yu.I. Slučajni kombinatorni objekti // Reports of the Academy of Sciences. 2004. - T. 396. - 2. - Str. 151 - 154. 12. Ivchenko G. I., Medvedev Yu I. Statistički problemi povezani s organizacijom kontrole nad procesima generiranja diskretnih slučajnih nizova // Diskretn. math. - 2000. - T. 12. - 2. S. 3 - 24. 13. Ivchenko G. I., Medvedev I., Ronzhin A. F. Odvojiva statistika i kriteriji dobrote za polinomske uzorke // Proceedings of Mathematics. Institut Akademije nauka SSSR-a. 1986. - T. 177. - Str. 60 - 74. 14. Ivchenko G. I., Timonina E. E. O procjeni pri izboru iz konačne populacije // Mat. bilješke. - 1980. - T. 28. - 4. - Str. 623 - 633. 15. Kolodzei A. V. Teorema o vjerovatnoćama velikih odstupanja za odvojive statistike koje ne zadovoljavaju Cramerov uslov // Diskretn. math. 2005. - T. 17. - 2. - Str. 87 - 94. 16. Kolodzei A. V. Entropija diskretnih distribucija i vjerojatnost velikih odstupanja funkcija od popunjavanja ćelija u generaliziranim rasporedima // Review of Appl. i industrijski math. - 2005. - T. 12. 2. - Str. 248 - 252. 17. Kolodzey A. V. Statistički kriteriji za identifikaciju skrivenih kanala na temelju promjene redoslijeda poruka // Istraživački rad "Izvinjenje": Izvještaj / FSTEC Ruske Federacije, voditelj A. V. Knyazev. Inv. 7 iverica - M., 2004. - Str. 96 - 128. 18. Kolodzei A.V., Ronzhin A.F. O nekim statistikama vezanim za provjeru homogenosti nasumičnih diskretnih nizova // Istraživački rad "Razvoj matematičkih problema kriptografije" N 4 2004.: Izvještaj / AK RF, - M., 2004. 19. Kolchin A. V. Granične teoreme za generaliziranu shemu rasporeda // Diskretn. math. 2003. - T. 15. - 4. - Str. 148 - 157. 20. Kolčin V.F. Jedna klasa graničnih teorema za uvjetne distribucije // Lit. math. Sat. - 1968. - T. 8. - 1. - Str. 111 - 126. 21. Kolčin V. F. Slučajni grafovi. 2nd ed. - M.: FIZMATLIT, 2004. - 256 str. 22. Kolchin V. F. Slučajna preslikavanja. - M.: Nauka, 1984. - 208 str. 23. Kolčin V.F., Sevastjanov B.A., Čistjakov V.P. M.: Nauka, 1976. - 223 str. 24. Kramer G. // Uspekhi Matem. nauke. - 1944. - visoko. 10. - str. 166 - 178. 25. Kulbak S. Teorija informacija i statistika. - M.: Nauka, 1967. - 408 str. 26. Medvedev Yu I. Neke teoreme o asimptotičkoj distribuciji hi-kvadrat statistike // Dokl. Akademija nauka SSSR-a. - 1970. - T. 192. 5. - Str. 997 - 989. 27. Medvedev Yu I. Odvojiva statistika u polinomskoj šemi I; II. // Theory Prob. i njegovu upotrebu. - 1977. - T. 22. - 1. - Str. 3 - 17; 1977. T. 22. - 3. - Str. 623 - 631. 28. Mikhailov V. G. Granične distribucije slučajnih varijabli povezanih s višestrukim dugim ponavljanjima u nizu nezavisnih testova // Theory Probab. i njegove primjene. - 1974. T. 19. - 1. - Str. 182 - 187. 29. Mikhailov V. G. Centralna granična teorema za broj nepotpunih dugih ponavljanja // Teorija vjerojatnosti. i njegove primjene. - 1975. - T. 20. 4. - Str. 880 - 884. 30. Mikhailov V. G., Shoitov A. M. Strukturna ekvivalencija s - lanaca u slučajnim diskretnim nizovima // Discrete. math. 2003. - T. 15, - 4. - Str. 7 - 34. 31. Nagaev A.V. Integralne granične teoreme koje uzimaju u obzir vjerovatnoće velikih odstupanja. I. // Theory Probab. i primenjuje se. -1969. T. 14. 1. - str. 51 - 63. 32. Petrov V. V. Zbroji nezavisnih slučajnih varijabli. - M.: Nauka, 1972. 416 str. 33. Prokhorov Yu V. Granične teoreme za sume slučajnih vektora čija dimenzija teži beskonačnosti // Theory Probab. i njegove primjene. 1990. - T. 35. - 4. - Str. 751 - 753. 34. Ronzhin A.F. Kriteriji za generalizirane sheme smještaja čestica // Theory Probab. i njegove primjene. - 1988. - T. 33. - 1. - Str. 94 - 104. 35. Ronzhin A.F. Teorema o vjerojatnosti velikih odstupanja za odvojive statistike i njena statistička primjena // Mat. bilješke. 1984. - T. 36. - 4. - P. 610 - 615. 36. Sanov I. N. O vjerojatnosti velikih odstupanja slučajnih varijabli // Mat. Sat. 1957. - T. 42. - 1 (84). - S.I - 44. 37. Seneta E. Ispravno mijenjanje funkcija. M.: Nauka, 1985. - 144 str. 38. Timashev A. N. Multidimenzionalni integralni teorem o velikim odstupanjima u shemi jednakovjerovatnog smještaja // Diskret, Mat. - 1992. T. 4. - 4. - Str. 74 - 81. 39. Timashev A. N. Višedimenzionalni lokalni teorem o velikim odstupanjima u shemi jednakovjerovatnog smještaja // Diskretn. math. - 1990. T. 2. - 2. - Str. 143 - 149. 40. Fedorjuk M.V. Metoda prolaza. M.: Nauka, 1977. 368 str. 41. Feller V. Uvod u teoriju vjerovatnoće i njene primjene. T. 2. - M.: Mir, 1984. 738 str. 42. Shannon K. Matematička teorija komunikacije // Radovi o teoriji informacija i kibernetici: Transl. sa engleskog / M., IL, 1963, str. 243 - 332. 43. Conrad K. Distribucija vjerovatnoće i maksimalna entropija // http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/entropypost.pdf 44. Hoeffding W. Asimptotski optimalni testovi za multinomijsku distribuciju // Ann. Math. statist. 1965. - T. 36. - str. 369 - 408. 45. Inglot T,. Rallenberg W. S. M., Ledwina T. Nedostatak nestajanja i asimptotska relativna efikasnost // Ann. statist. - 2000. - T. 28. - Str. 215 238. 46. Jurdas C., Pecarić J., Roki R., Sarapa N., O nejednakosti za entropiju distribucije vjerovatnoće // Math. Nejednako. i Appl. - 2001. T. 4. - 2. - P. 209 - 214. (RŽMat. - 2005. - 05.07-13B.16). 47. Kolodzey A. V., Ronzhin A. F., Testovi ispravnosti za slučajne kombinatoričke objekte // Proc. izvještaj intl. konf. Savremeni problemi i novi trendovi u teoriji verovatnoće, (Černivci, 19. - 26. juna 2005.) - Kijev: Institut za matematiku, 2005. Deo 1. P. 122. 48. Kullback S. i Leibler R. A. O informacijama i dovoljnosti // Ann. Math. statist. 1951. - T. 22. - str. 79 - 86. 49. Quine M.P., Robinson J. Efikasnost hi-kvadrata i omjera vjerovatnoće dobrote testova uklapanja // Ann. statist. 1985. - T. 13. - 2. - str. 727 -742. Napominjemo da su gore navedeni naučni tekstovi objavljeni samo u informativne svrhe i da su dobijeni putem prepoznavanja originalnog teksta disertacije (OCR). Stoga mogu sadržavati greške povezane s nesavršenim algoritmima za prepoznavanje. Nema takvih grešaka u PDF datotekama disertacija i sažetaka koje dostavljamo. Za odeljak 7 Autokovarijanca - za stacionarni niz Xt, kovarijansa slučajnih varijabli Xt9 Xt+T9 y(t) Cov(Xn Xt+T). Autokorelacioni spoj -ACF - za stacionarni niz Xt - niz njegovih autokorelacija p(t) = Corr(Xt9 Xt+ r), r = 0,1, 2,... Autokorelacija, koeficijent autokorelacije - za stacionarni niz Xt, koeficijent korelacije slučajnih varijabli Xn Xt+T, p(t) = Corr(Xt, Xt+T). Bijeli šum, proces bijelog šuma - stacionarni slučajni proces Xt sa nultom srednjom i nenultom varijansom, za koji je Corr(Xt, Xs) = 0 na t F s. „Štedljiviji“ modeli spadaju u određeni skup alternativnih modela vremenskih serija, modele sa najmanjim brojem koeficijenata za procenu. Vremenske serije - niz vrijednosti neke varijable mjerene u uzastopnim vremenskim tačkama. Pod vremenskim nizom se podrazumijeva i slučajni proces sa diskretnim vremenom (slučajni niz), čija je implementacija posmatrani niz vrijednosti. Funkcija autokorelacije uzorka (SACF - uzorak ACF) - niz uzoraka autokorelacija r (k), & = 0, 1,2, izgrađen iz postojeće implementacije vremenske serije. Analiza ovog niza pomaže da se identifikuje proces pokretnog proseka i njegov redosled. Funkcija parcijalne autokorelacije uzorka (SPACF-uzorak PACF) - niz uzoraka parcijalnih autokorelacija rpart(k), k = 0, 1, 2, konstruisan iz postojeće implementacije vremenske serije. Analiza ovog niza pomaže da se identifikuje proces pokretnog proseka i njegov redosled. Autokorelacije uzorka su procjene autokorelacija p(k) slučajnog procesa, konstruirane iz postojeće implementacije vremenske serije. Jedna od opcija za procjenu autokorelacije p(k) ima oblik: T-kf?x " I)U t+k I) u (k) 1 t gdje je p = x = - ^xt - procjena za p = E(Xt), ] tk y(k) = y](xt p)(xt+k p) - procjena autokovarijance y(k). Uzorci parcijalnih autokorelacija su procjene parcijalnih autokorelacija prap(t) slučajnog procesa, konstruirane iz postojeće implementacije vremenske serije. Gausov proces bijelog šuma je proces bijelog šuma čije su jednodimenzionalne distribucije normalne distribucije sa nultim matematičkim očekivanjem. Gausov slučajni proces - slučajni proces za koji je za bilo koji cijeli broj m > O i bilo koji skup vremena tx< t2 < ... < tm совместные распределения случайных величин Xti, Xtm
являются m-мерными нормальными распределениями. Inovacija je trenutna vrijednost slučajne greške na desnoj strani odnosa koja određuje proces autoregresije Xr Inovacija nije u korelaciji sa zaostalim vrijednostima Xt_k9 k= 1, 2, ... Uzastopne vrijednosti inovacija (inovacijski niz) formiraju proces bijelog šuma. Akaike informacioni kriterijum (AIC) je jedan od kriterijuma za odabir „najboljeg” modela među nekoliko alternativnih modela. Među alternativnim vrijednostima reda autoregresivnog modela, odabrana je vrijednost koja minimizira vrijednost o 2k A1C(£) = 1n0£2+y, Procjena disperzije inovacija êg u AR modelu je uredna. Akaike kriterijum asimptotski precenjuje (precenjuje) pravu vrednost k0 sa verovatnoćom različitom od nule. Hannan-Quinn informacioni kriterijum (HQC) jedan je od kriterijuma za odabir „najboljeg” modela među nekoliko alternativnih modela. Među alternativnim vrijednostima reda autoregresivnog modela, odabrana je vrijednost koja minimizira vrijednost UQ(k) = U a2k + k - , gdje je T broj zapažanja; (t£ - procjena disperzije inovacija st u AR modelu A>-tog reda. Kriterijum ima prilično brzu konvergenciju na pravu vrijednost k0 na T -» oo. Međutim, za male vrijednosti T, ovaj kriterij podcjenjuje red autoregresije. Schwarzov informacioni kriterijum (SIC) je jedan od kriterijuma za odabir „najboljeg” modela među nekoliko alternativnih modela. Među alternativnim vrijednostima reda autoregresivnog modela, odabrana je vrijednost koja minimizira vrijednost SIC(£) = lno>2+Ar-, gdje je T broj zapažanja; A? - procjena disperzije inovacija st u AR modelu A: reda. Korelogram - za stacionarni niz: graf ovisnosti vrijednosti autokorelacije p(t) stacionarne serije od t Korelogram se naziva i par grafova datih u protokolima za analizu podataka u različitim paketima statističke analize: a. graf uzorka autokorelacijske funkcije i graf uzorka djelomične autokorelacijske funkcije. Prisustvo ova dva dijagrama pomaže da se identifikuje ARMA model koji generiše dostupni skup zapažanja. Backcasting je tehnika za dobijanje preciznije aproksimacije funkcije uslovne vjerovatnoće pri procjeni modela pokretnog prosjeka MA(q): Xt = et + bxst_x + b2st_2 + ... + bqet_q9 bq F0, prema zapažanjima xl9..., xt. Rezultat maksimiziranja (bez bx, bl9 ..., bq) funkcije uslovne vjerovatnoće koja odgovara uočenim vrijednostima xH9h29 ...9ht za fiksne vrijednosti ê09 ê_H9 ê_d+H9 zavisi od odabranih vrijednosti b*0, e_ê_d+1. Ako je proces MA(q) reverzibilan, tada možemo staviti 6*0 = ê_h = ... = s_q+x = 0. Ali da bismo poboljšali kvalitet procjene, možemo koristiti metodu obrnute prognoze za „procjenu“ vrijednosti ê09 e_H9 ê_d+h i koristiti procijenjene vrijednosti u funkciji uslovne vjerovatnoće. Operator zaostajanja (L)9 Operator povratnog pomaka - operator definiran relacijom: LXt = Xt_x. Pogodan za kompaktno snimanje modela vremenskih serija i za formulisanje uslova koji obezbeđuju određena svojstva serije. Na primjer, koristeći ovaj operator, jednačina koja definira ARMA(p, q) model Xt = Z ajxt-j + Z bj£t-j ><*Р*ъ>ych* Oh, može se zapisati kao: a(L) Xt = b(b)êp gdje a(L) = 1 (axL + a2L2 + ... + apLp b(L)=l+blL + b2L2 + ... + bqLq. Problem zajedničkih faktora je prisustvo zajedničkih faktora u polinomima a(L) i b(L)9 koji odgovaraju AR i MA komponentama ARMA modela: Prisustvo zajedničkih faktora u specifikaciji ARMA modela otežava praktičnu identifikaciju modela kroz niz opservacija. Autoregresivni proces prvog reda (AR(1)) je slučajni proces čija je trenutna vrijednost zbir linearne funkcije vrijednosti procesa zaostajanja za jedan korak i slučajne greške koja nije u korelaciji s prošlim vrijednostima procesa. U ovom slučaju, niz slučajnih grešaka formira proces bijelog šuma. Autoregresivni proces reda p (autoregresivni proces pth-reda - AR(p)) je slučajni proces čija je trenutna vrijednost zbir linearne funkcije vrijednosti procesa zaostalih za p koraka ili manje i slučajne greške nije u korelaciji sa prošlim procesnim vrijednostima. U ovom slučaju, niz slučajnih grešaka formira proces bijelog šuma. Proces pokretnog prosjeka reda q (qth-order pokretni prosjek procesa - MA(g)) je slučajni proces čija je trenutna vrijednost linearna funkcija trenutne vrijednosti nekog procesa bijelog šuma i vrijednosti ovog proces bijelog šuma zaostaje za p koraka ili manje. Woldova dekompozicija - prikaz stacionarnog u širem smislu proces sa nultim matematičkim očekivanjem u obliku sume procesa pokretnog prosjeka beskonačnog reda i linearno determinističkog procesa. Sezonska autoregresija prvog reda (SAR(l) - sezonska auto-regresija prvog reda) je slučajni proces čija je trenutna vrijednost linearna funkcija vrijednosti ovog procesa sa zaostatkom za S koraka i slučajne greške koja nije u korelaciji sa prethodne vrijednosti procesa. U ovom slučaju, niz slučajnih grešaka formira proces bijelog šuma. Ovdje je S = 4 za kvartalne podatke, S = 12 za mjesečne podatke. Sezonski pokretni prosek prvog reda (SMA(l) - sezonski pokretni prosek prvog reda) je slučajni proces čija je trenutna vrednost jednaka zbiru linearne funkcije trenutne vrednosti nekog procesa belog šuma i vrednosti ovog procesa bijelog šuma zaostaje za S koraka. U ovom slučaju, niz slučajnih grešaka formira proces bijelog šuma. Ovdje 5 = 4 za kvartalne podatke, 5 = 12 za mjesečne podatke. Yule - Walkerov sistem jednačina je sistem jednačina koji povezuje autokorelacije stacionarnog autoregresivnog procesa reda p sa njegovim koeficijentima. Sistem vam omogućava dosljedno pronalaženje vrijednosti autokorelacija i omogućava, koristeći prve p jednačine, da izrazite koeficijente procesa stacionarne autoregresije kroz vrijednosti prvih p autokorelacija, koje se mogu direktno koristiti kada odabir modela autoregresije na stvarne statističke podatke. Slučajni proces sa diskretnim vremenom (diskretno-vremenski stohastički proces, slučajni proces diskretnog vremena) je niz slučajnih varijabli koje odgovaraju zapažanjima obavljenim u uzastopnim trenucima vremena, koji imaju određenu vjerovatnoću strukturu. Mješoviti autoregresivni pokretni prosjek, autoregresivni proces sa rezidualima u obliku pokretnog prosjeka (autoregresivni pokretni prosjek, mješoviti autoregresivni pokretni prosjek - ARMA(p, q)) je slučajni proces čija je trenutna vrijednost zbir linearna funkcija koraka koji zaostaju za p ili manje vrijednosti procesa i linearna funkcija od trenutne vrijednosti nekog procesa bijelog šuma i vrijednosti ovog procesa bijelog šuma zaostaju za q koraka ili manje. Box-Pierce Q-statistic - jedna od opcija g-statistike: Ê = r£g2(*), Ljung-Box Q-statistika je jedna od opcija g-statistike, poželjnija od Box-Pierce statistike: gdje je T broj zapažanja; r (k) - autokorelacije uzorka. Koristi se za testiranje hipoteze da su posmatrani podaci realizacija procesa bijelog šuma. Široki stacionarni, slabo stacionarni, slabo stacionarni, stacionarni drugog reda, kovarijansno-stacionarni stohastički proces - slučajni proces sa konstantnim matematičkim očekivanjem, konstantnom varijansom i invarijantnim slučajnim varijablama Xt,Xt+T: Cov(Xt,Xt+T) = r(r). Strogo stacionaran, stacionaran u užem smislu (strogo stacionaran, strict-sense stacionaran) slučajni proces (stohastički proces) - slučajni proces sa zajedničkim distribucijama slučajnih varijabli Xh + T, ..., + T invarijantnih u r. Uslov za reverzibilnost procesa MA(q) i ARMA(p, q) (uslov invertibilnosti) - za procese Xt oblika MA(g): Xt = b(L)st ili ARMA(p, q): a(L )(Xt ju ) = = b(L)st - uslov na korijenima jednadžbe b(z) = O, koji osigurava postojanje ekvivalentne reprezentacije procesa Xt u obliku autoregresivnog procesa beskonačnog reda AR( oo): Uslov reverzibilnosti: svi korijeni jednačine b(z) = O leže izvan jedinične kružnice |z|< 1. Uslov stacionarnosti za procese AR(p) i ARMA(p, q) - za procese Xt oblika AR(p): a(L)(Xt ju) = et ili ARMA(p, q) a(L)( Xt ju) = = b(L)st - uvjet na korijenima jednadžbe a(z) = 0, osiguravajući stacionarnost procesa Xg Uslov stacionarnosti: svi korijeni jednačine b(z) = O leže izvan jediničnog kruga |z|< 1. Если многочлены a(z)
и b(L) не имеют zajedničkim korenima, onda je ovaj uslov neophodan i dovoljan uslov za stacionarnost procesa Xg Parcijalna autokorelacija funkcija (PACF - parcijalna autokorelacija funkcija) - za stacionarni niz, niz parcijalnih autokorelacija prap(r), m = 0, 1,2,... Djelomična autokorelacija (PAC - parcijalna autokorelacija) - za stacionarnu seriju vrijednost ppart(r) koeficijenta korelacije između slučajnih varijabli Xt nXt+k, očišćena od utjecaja srednjih slučajnih varijabli Xt+l9...9Xt+k_Y. Faza dijagnostičke provjere modela - dijagnostika procijenjenog ARMA modela, odabranog na osnovu dostupne serije zapažanja. Faza identifikacije modela - izbor modela generisanja serije na osnovu dostupnih serija posmatranja, određivanje p i q reda ARMA modela. Faza evaluacije modela (etapa procjene) - procjena koeficijenata ARMA modela, odabranih na osnovu dostupnih serija zapažanja. (Q-statistics) - statistika testiranja koja se koristi za testiranje hipoteze da su posmatrani podaci implementacija procesa bijelog šuma. Za odeljak 8 Vektorska autoregresija reda p (ph-order vector autoregression - VAR(p)) je model za generisanje grupe vremenskih serija, u kojoj se trenutna vrijednost svake serije sastoji od konstantne komponente, linearne kombinacije zaostalih (do reda p) vrijednosti ove serije i drugih serija i slučajne greške. Slučajne greške u svakoj jednadžbi nisu u korelaciji sa zaostalim vrijednostima svih serija koje se razmatraju. Slučajni vektori formirani greškama u različitim serijama u isto vreme su nezavisni, identično raspoređeni slučajni vektori sa nultim srednjim vrednostima. Dugoročni odnos je određeni odnos uspostavljen tokom vremena između varijabli, u odnosu na koji se javljaju prilično brze oscilacije. Dugoročni množitelji (dugoročni množitelji, ravnotežni množitelji) - u dinamičkom modelu sa autoregresivnim distribuiranim kašnjenjima - koeficijenti cx,cs dugoročne zavisnosti varijable od egzogenih varijabli xi, xst. Koeficijent Cj odražava promjenu vrijednosti yt kada se trenutna i sve prethodne vrijednosti varijable xjt promijene za jedan. Multiplikatori impulsa (množitelj uticaja, kratkoročni množitelj) - u dinamičkom modelu sa autoregresivno raspoređenim kašnjenjima - vrijednosti koje pokazuju utjecaj jednokratnih (impulsnih) promjena vrijednosti egzogenih varijabli chi, xst na trenutne i sljedeće vrijednosti varijable jr Unakrsne kovarijanse su koeficijenti korelacije između vrijednosti različitih komponenti vektorske serije u podudarnim ili divergentnim vremenskim točkama. Funkcija unakrsne kovarijanse je niz unakrsnih korelacija dviju komponenti stacionarnog vektorskog niza. Modeli sa autoregresivnim distribuiranim modelima kašnjenja (ADL) su modeli u kojima je trenutna vrijednost objašnjene varijable zbir linearne funkcije nekoliko zaostalih vrijednosti ove varijable, linearne kombinacije struje i nekoliko zaostalih vrijednosti objašnjenih varijabli i slučajna greška. Prijenosna funkcija je matrična funkcija koja utvrđuje učinak promjena jedinica u egzogenim varijablama na endogene varijable. Proces generiranja podataka (DGP) je vjerojatnostni model koji generiše vidljive statističke podatke. Proces generisanja podataka obično je nepoznat istraživaču koji analizira podatke. Izuzetak su situacije kada istraživač sam bira proces generisanja podataka i dobija veštačke statističke podatke simulacijom odabranog procesa generisanja podataka. Statistički model (SM) je model odabran za evaluaciju, čija struktura se pretpostavlja da odgovara procesu generisanja podataka. Izbor statističkog modela vrši se na osnovu postojeće ekonomske teorije, analize dostupnih statističkih podataka i analize rezultata ranijih studija. Stacionarni vektorski (AG-dimenzionalni) niz (K-dimenzionalni stacionarni vremenski niz) - niz slučajnih vektora dimenzije K, koji imaju iste vektore matematičkih očekivanja i iste matrice kovarijanse, za koje postoje unakrsne korelacije (unakrsne korelacije) između vrijednost k-te komponente serije u trenutku t i vrijednost 1. komponente serije u trenutku (t + s) zavise samo od s. Za odeljak 9 Hipoteza jediničnog korijena (UR - hipoteza jediničnog korijena) - hipoteza formulirana unutar ARMA(^, q) modela: a(L)Xt = b(L)cr Hipoteza da autoregresivni polinom a(L) ARMA modela ima najmanje jedan korijen jednak 1. U ovom slučaju se obično pretpostavlja da polinom a(L) nema korijen čiji je modul manji od 1. Diferencijacija – prelazak sa serije nivoa Xt na seriju razlika Xt Xt_v Konzistentna diferencijacija serije omogućava da se eliminiše stohastički trend prisutan u originalnoj seriji. Integrisana reda k serije - serija Xn koja nije stacionarna ili stacionarna u odnosu na deterministički trend (tj. nije TS-serija) i za koju je serija dobijena kao rezultat ^-struke diferencijacije serije Xn stacionarna , ali serija dobijena kao rezultat (k 1)-struke diferencijacije serije Xr nije HY-serija. Kointegracioni odnos je dugoročan odnos između nekoliko integrisanih serija, koji karakteriše ravnotežno stanje sistema ovih serija. Model ispravljanja grešaka je kombinacija kratkoročnih i dugoročnih modela dinamičke regresije u prisustvu kointegracijskog odnosa između integriranih serija. Operator diferencijacije - operator A, transformira niz nivoa Xt u niz razlika: Prekomjerno diferencirane vremenske serije - serija dobivena kao rezultat diferencijacije G5-serije. Dosljedna diferencijacija serije GO pomaže eliminirati deterministički polinomski trend. Međutim, diferencijacija T-serije ima neke nepoželjne posljedice pri odabiru modela iz statističkih podataka i korištenju odabranog modela u svrhu predviđanja budućih vrijednosti serije. Razlika stacionarna, LU-serija (DS - diferencijalna stacionarna vremenska serija) - integrisani nizovi raznih redova k = 1,2, ... Svode se na stacionarni niz jednostrukim ili višestrukim diferencijacijom, ali se ne mogu svesti na stacionarni niz oduzimanjem determinističkog trenda. Niz tipa ARIMA(p, A, q) (ARIMA - autoregresivni integrisani pokretni prosek) je vremenska serija koja se, kao rezultat ^-struke diferencijacije, svodi na stacionarni niz ARMA(p, q). Serija stacionarna u odnosu na deterministički trend, G5-serija (TS - trend-stacionarne vremenske serije) - serije koje postaju stacionarne nakon što se od njih oduzme deterministički trend. Klasa takvih serija uključuje i stacionarne serije bez determinističkog trenda. Slučajno hodanje, proces slučajnog hoda - slučajni proces čiji koraci formiraju proces bijelog šuma: AXt st, pa Xt = Xt_ x + êg Slučajno hodanje sa pomakom, nasumično hodanje sa pomakom (nasumično hodanje sa pomakom) je slučajni proces, čiji su priraštaji zbir konstante i procesa belog šuma: AXt = Xt Xt_ x = a + st, tako da je Xt = Xt_x + a + npr. Konstanta a karakterizira drift putanja slučajnog hoda koji je stalno prisutan tokom prijelaza u sljedeći trenutak u vremenu, na koji je nasumična komponenta superponirana. Stohastički trend - vremenska serija Zt za koju Z, = êh + ê2 + ... + et. Vrijednost slučajnog hoda u trenutku t je t Xt = H0 + ^ ê8, pa Xt H0 = êh + ê2 + ... + êg Drugim riječima, model stohastički trend - proces nasumičnog hoda, „izlazi iz početka koordinata“ (za njega je X0 = 0). Šok inovacija je jednokratna (impulsna) promjena u inovaciji. Slutsky efekt je učinak formiranja lažne periodičnosti pri diferenciranju serije koja je stacionarna u odnosu na deterministički trend. Na primjer, ako je originalni niz zbir determinističkog linearnog trenda i bijelog šuma, tada diferencirani niz nema deterministički trend, već se ispostavlja da je autokoreliran. ^-hipoteza (TS hipoteza) - hipoteza da je vremenska serija koja se razmatra stacionarna ili stacionarna u odnosu na deterministički trend. Za odeljak 10 Dugoročna odstupanja - za seriju sa nultim matematičkim očekivanjima definirana je kao granica Var(ux +... + it) G-jus T T-+OD Dickey-Fuller testovi su grupa statističkih kriterija za testiranje hipoteze jediničnog korijena u okviru modela koji pretpostavljaju nulto ili različito od nule matematičko očekivanje vremenske serije, kao i moguće prisustvo determinističkog trenda u seriji. Prilikom primjene Dickey-Fuller kriterija najčešće se evaluiraju statistički modeli pAxt = a + (3t + cpxt_x + +ê*> t = P + h---,T, Axt =a + cpxt_x + ^0jAxt_j +£*, t = /7 + 1,..., G, Axt = cpxt_x + ]T 6j Axt_j +êp t = p +1,..., T. /-statistike/vrijednosti dobijene tokom evaluacije ovih statističkih modela za testiranje hipoteze H0: cp = O upoređuju se sa kritičnim vrijednostima /crit, u zavisnosti od izbora statističkog modela. Hipoteza jediničnog korijena se odbacuje ako je f< /крит. Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin test (KPSS test) je kriterijum za razlikovanje DS i G5-serije, u kojem se ha-hipoteza uzima kao nulta jedinica. Leybourneov test je kriterij za testiranje hipoteze jediničnog korijena, čija je statistika jednaka maksimalnoj od dvije vrijednosti Dickey-Fullerove statistike dobivene iz originalne serije i iz vremenski obrnute serije. Perronov test - kriterij za testiranje nulte hipoteze da serija pripada DS klasi, generalizirajući Dickey-Fullerov postupak na situacije u kojima tokom perioda posmatranja dolazi do strukturnih promjena u modelu u nekom trenutku vremena Tb u obliku bilo kojeg pomeranje nivoa (model „kolapsa”) ili promena nagiba trenda (model „promena rasta”), ili kombinacija ove dve promene. Pretpostavlja se da je trenutak Tb određen egzogeno - u smislu da se ne bira na osnovu vizuelnog pregleda grafa serije, već je povezan sa trenutkom poznate velike promene ekonomske situacije, koja značajno utiče na ponašanje dotične serije. Hipoteza jediničnog korena se odbacuje ako je posmatrana vrednost statistike ta testa ispod kritičnog nivoa, tj. Ako Asimptotske distribucije i kritične vrijednosti za statistiku ta9 koju je prvobitno dao Perron vrijede za modele s inovacijama. Phillips-Perronov test - kriterij koji svodi testiranje hipoteze da serija xt pripada klasi DS-serije na testiranje hipoteze R0: av = O u okviru statističkog modela SM: kxt=a + f3t + (pxt_x+un t = 2,...,T, gdje se, kao u Dickey-Fullerovom kriteriju, parametri an p mogu uzeti jednakim nuli. Međutim, za razliku od Dickey-Fullerovog kriterija, šira klasa vremenskih serija je dozvoljena za razmatranje. Kriterijum se zasniva na G-statistici za testiranje hipoteze H0:<р = О, но использует вариант этой статистики Zn скорректированный на
возможную автокоррелированность и гетероскедастичность ряда иг Schmidt-Phillipsov test - kriterij za testiranje hipoteze jediničnog korijena unutar modela gdje je wt = jSwt_x + st; t - 2,G; y/ - parametar koji predstavlja nivo; £ je parametar koji predstavlja trend. DF-GLS kriterij (DF-GLS test) je kriterij koji je asimptotski moćniji od Dickey-Fullerovog kriterija. Kurtoza je koeficijent distribucije vrhunca. Model aditivnog outlier-a je model u kojem, nakon prolaska kroz datum prekida Tb, yt serija odmah počinje da oscilira oko novog nivoa (ili nove linije trenda). Inovacijski outlier model je model u kojem, nakon prolaska kroz datum prekida Tv, proces yt tek postepeno dostiže novi nivo (ili novu liniju trenda), oko koje trajektorija serije počinje oscilirati. Multivarijantni postupak za testiranje hipoteze jediničnog korijena (Dolado, Jenkinson, Sosvilla-Rivero) - formalizirani postupak za korištenje Dickey-Fullerovih kriterija uz sekvencijalnu provjeru mogućnosti redukcije originalnog statističkog modela, kojim se model smatra PAxt = a + fit + (pxt_x + ^0jAxt-j +£7> t = P + h---9T. Preduvjet za korištenje formalizirane multivarijantne procedure je mala snaga jediničnih korijenskih testova. U tom smislu, multivarijantna procedura omogućava ponovljene testove hipoteze jediničnog korijena na više jednostavni modeli sa manje procijenjenih parametara. Ovo povećava vjerovatnoću ispravnog odbacivanja hipoteze jediničnog korijena, ali je praćeno gubitkom kontrole nad nivoom značaja procedure. Generalizirani Perronov test - bezuvjetni kriterij koji su predložili Zivot i Andrews (vezano za inovativne emisije), u kojem se datiranje tačke promjene režima provodi u „automatskom režimu“, pretraživanjem svih mogućih opcija datiranja i izračunavanjem za svako datiranje opcija / -statistics ta za testiranje hipoteze jediničnog korijena; Za procijenjeni datum se uzima onaj za koji je vrijednost ta minimalna. Cochrane postupak, test omjera varijance - postupak za razlikovanje TS i /)5-serije, na osnovu specifičnog ponašanja ovih serije relacije VRk = -, gdje je Vk = -D(Xt -Xt_k). Standardno Brownovo kretanje je slučajni proces W(r) s kontinuiranim vremenom, koji je kontinuirani analog diskretnog slučajnog hoda. Ovo je proces za koji: inkrementi (W(r2) W(r()),(W(rk) W(rk_x)) su kolektivno nezavisni ako je 0< rx < г2 < ... < гк и W(s) W(r) ~ N(0, s г) при s >G; realizacije procesa W(r) su kontinuirane sa vjerovatnoćom 1. Veličina prozora je broj autokovarijanci uzorka serije koji se koristi u Newey-West estimatoru za dugoročnu varijansu serije. Nedovoljna širina prozora dovodi do odstupanja od nominalne veličine kriterijuma (nivoa značajnosti). Istovremeno, povećanje širine prozora kako bi se izbjegla odstupanja od nominalne veličine kriterija dovodi do smanjenja snage kriterija. Dvodimenzionalni Gausov bijeli šum je niz nezavisnih, identično raspoređenih slučajnih vektora koji imaju dvodimenzionalnu normalnu distribuciju sa nultim matematičkim očekivanjem. Deterministička kointegracija (stohastička kointegracija) je postojanje za grupu integrisanih nizova njihove linearne kombinacije, poništavajući stohastičke i determinističke trendove. Niz predstavljen ovom linearnom kombinacijom je stacionaran. Identifikacija kointegrirajućih vektora je odabir osnove za kointegrirajući prostor, koji se sastoji od kointegrirajućih vektora koji imaju razumnu ekonomsku interpretaciju. Kointegrirajući prostor je skup svih mogućih kointegrirajućih vektora za kointegrirajući sistem nizova. Kointegrisane vremenske serije, kointegrisane vremenske serije u užem smislu, je grupa vremenskih serija za koje postoji netrivijalna linearna kombinacija ovih serija, a to je stacionarni niz. Kointegrirajući vektor je vektor koeficijenata netrivijalne linearne kombinacije nekoliko serija, koji je stacionarni niz. Test maksimalne svojstvene vrijednosti je kriterij koji se, u Johansenovom postupku za procjenu kointegracijskog ranga g sistema integriranih (red 1) nizova, koristi za testiranje hipoteze H0: r = r* u odnosu na alternativnu hipotezu HA: r = r* + 1. Test praćenja je kriterijum koji se, u Johansenovom postupku za procenu kointegracijskog ranga g sistema integrisanih (red 1) nizova, koristi za testiranje hipoteze H0: r = r* u odnosu na alternativnu hipotezu HA: r > g* . Uobičajeni trendovi su grupa serija koje kontrolišu stohastičku nestacionarnost sistema kointegrisanih serija. Grangerova kauzalnost je činjenica poboljšanja kvaliteta prognoze vrijednosti yt varijable Y u trenutku t na osnovu ukupnosti svih prošlih vrijednosti ove varijable, uzimajući u obzir prošle vrijednosti neke druge varijable. Pet situacija u Johansenovoj proceduri - pet situacija od kojih zavise kritične vrednosti statistike kriterijuma omjera verovatnoće koja se koristi u Johansenovoj proceduri za procenu kointegracijskog ranga sistema integrisanih (red 1) serija: H2(d): nema determinističkih trendova u podacima, ni konstanta ni trend nisu uključeni u SE; H*(g): nema determinističkih trendova u podacima, CE uključuje konstantu, ali ne uključuje trend; Hx (g): podaci imaju deterministički linearni trend, CE uključuje konstantu, ali ne uključuje trend; N*(r) postoji deterministički linearni trend u podacima, konstantni i linearni trend su uključeni u SE; N(g): podaci imaju deterministički kvadratni trend, CE uključuje konstantan i linearni trend. (Ovdje je CE kointegracijska jednačina.) Za fiksni rang r, navedenih 5 situacija čine lanac ugniježđenih hipoteza: H2(g) sa H*(g) sa I, (g) sa Ng) sa H(g). Ovo omogućava da se, koristeći kriterijum omjera vjerovatnoće, testira ispunjenje hipoteze koja se nalazi lijevo u ovom lancu u okviru hipoteze koja se nalazi odmah desno. Kointegrirajući rang je maksimalni broj linearno nezavisnih kointegrirajućih vektora za datu grupu serija, rang kointegrirajućeg prostora. Stohastička kointegracija je postojanje za grupu integrisanih serija linearne kombinacije koja poništava stohastički trend. Serija predstavljena ovom linearnom kombinacijom ne sadrži stohastički trend, ali može imati deterministički trend. Phillipsov trokutasti sistem je reprezentacija TV sistema kointegrisanih serija sa kointegracionim rangom r u obliku sistema jednačina, od kojih prvi r opisuje zavisnost r odabranih varijabli od preostalih (N r) varijabli (opći trendovi) , a preostale jednačine opisuju modele za generiranje općih trendova. TV-dimenzionalni Gausov bijeli šum (N-dimenzionalni Gausov bijeli šum) je niz nezavisnih, identično raspoređenih slučajnih vektora koji imaju TV-dimenzionalnu normalnu distribuciju sa nultim matematičkim očekivanjem. asimptotski optimalan Mathematical Encyclopedia Mathematical Encyclopedia Mathematical Encyclopedia Mathematical Encyclopedia Referentni komercijalni rječnik Veliki ekonomski rječnik Velika sovjetska enciklopedija Moderna enciklopedija Veliki enciklopedijski rječnik Pravopisni rječnik-priručnik Pravopisni rječnik-priručnik Pravopisni rječnik-priručnik Pravopisni rječnik-priručnik Pravopisni rječnik-priručnik Pravopisni rječnik-priručnik Optimalni vizualni kontrast (OVC) Zamislite crno odijelo obasjano suncem i bijelu košulju obasjanu mjesecom. Ako instrumentom izmjerimo njihovu svjetlinu, ispada da je pod ovim uvjetima crno odijelo višestruko svjetlije od bijele košulje, a ipak znamo da Koja je optimalna skala? Autor koncepta optimalne skale je nemačko-britanski filozof Fric Šumaher, autor knjige „Manje je bolje: Ekonomija kao ljudska suština“, rekao je da kapitalistička sklonost ka „gigantizmu“ nije samo 8.4.2. Optimalni put rasta Pretpostavimo da cijene resursa ostaju nepromijenjene, dok budžet preduzeća stalno raste. Povezivanjem tangentnih tačaka izokvanti sa izokostama dobijamo liniju 0G – „put razvoja“ (puta rasta). Ova linija pokazuje stopu rasta omjera Najbolja opcija U vatri bitaka 1928. rođen je prvi petogodišnji plan. Počevši od 1926. godine, dvije institucije, Gosplan i VSNKh, pripremale su različite nacrte planova jedan za drugim. Njihov razvoj pratile su kontinuirane rasprave. Kao jedna šema Optimalni redosled Kada koristite prefikse pretraživača, važno je voditi računa o redosledu po kojem su svojstva navedena. Možda ćete primijetiti da su u prethodnom primjeru prvo napisana svojstva prefiksa, a zatim svojstvo bez prefiksa Zašto staviti original Optimalna osoba Autor: Vladimir Guriev Neke teme koje su bile popularne prije četrdesetak godina danas izgledaju toliko marginalno da se o njima gotovo i ne razgovara ozbiljno. U isto vrijeme - sudeći po tonu članaka u popularnim časopisima - djelovali su relevantno i čak Optimalna opcija Analiza mogućih scenarija razvoja događaja neminovno navodi na razmišljanje o izboru optimalne opcije. Ne može se reći da razne “ljetne” opcije, odnosno alternative vezane za maj-juni-juli 1941. godine, ulijevaju optimizam. Ne, oni Optimalna opcija Analiza mogućih scenarija razvoja događaja neminovno navodi na razmišljanje o izboru optimalne opcije. Ne može se reći da različite “ljetne” opcije, odnosno alternative vezane za maj – jun – juli 1941., ulijevaju optimizam. Ne, oni Optimalna kontrola Šta znači držati umjereno čvrsto? To morate sami utvrditi na osnovu poznavanja vlastitog djeteta i uslova sredine u kojoj živite. U većini slučajeva roditelji tinejdžera pokušavaju zaštititi svoju djecu od pušenja, pijenje alkohola, Optimalni put Stalno smo bombardirani savršenstvom. Adonis krasi naslovnicu Men’s Healtha, Elena The Beautiful krasi naslovnicu Voguea; žene i muškarci na velikom ekranu, za sat-dva, rješavaju svoje sukobe, glume idealan zaplet, prepuštaju se idealnoj ljubavi. Svi smo čuli Optimalan pristup Sergej Kostjajev, kandidat političkih nauka, v Istraživač INION RAS Ministarstvo odbrane SAD potrošilo je milijardu dolara na nefunkcionalni kompjuterski program Foto: EPA Od 1. marta potrošnja Pentagona će vjerovatno biti smanjena za 43 milijarde Optimalna opcija - Recite mi, da li je pametno igrati na nekoliko frontova odjednom? - pitali su novinari Bazilevič i Lobanovski na samom početku sezone '75 "Nerazumno je, naravno", odgovorili su. - Ali neophodno je. Vjerujemo da je imperativ razlikovati značaj Optimalna kontrola >> Kod optimalne kontrole sve troškove dijelimo u dvije velike grupe: – „obične“ – redovne troškove, – jednokratne ili nestandardne troškove. Optimalna kontrola se može koristiti tek nakon višemjesečne detaljne kontrole.Slične disertacije na specijalnosti "Teorija verovatnoće i matematička statistika", 01.01.05 šifra VAK
Asimptotska efikasnost eksponencijalnih testova bez parametara skale 2005, Kandidat fizičkih i matematičkih nauka Chirina, Anna Vladimirovna
Neki problemi u teoriji vjerovatnoće i matematičkoj statistici vezani su za Laplaceovu distribuciju 2010, Kandidat fizičko-matematičkih nauka Lyamin, Oleg Olegovich
Granične teoreme u problemima gustog ugrađivanja i gustih nizova u diskretnim slučajnim nizovima 2009, Kandidat fizičko-matematičkih nauka Mezhennaya, Natalya Mikhailovna
Granične teoreme za broj sjecišta trake nasumičnim hodanjem 2006, kandidat fizičko-matematičkih nauka Orlova, Nina Gennadievna
Optimizacija strukture trenutnih procjena tačnosti normalne aproksimacije za distribucije suma nezavisnih slučajnih varijabli 2013, doktor fizičko-matematičkih nauka Shevtsova, Irina Gennadievna
Zaključak disertacije na temu „Teorija verovatnoće i matematička statistika“, Kolodzei, Aleksandar Vladimirovič
Spisak referenci za istraživanje disertacije Kandidat fizičkih i matematičkih nauka Kolodzei, Aleksandar Vladimirovič, 2006.
Glossary
"asimptotski optimalan" u knjigama
Optimalni vizualni kontrast (OVC)
Iz knjige Boja i kontrast. Tehnologija i kreativni izbor autor Železnjakov Valentin Nikolajevič
Koja je optimalna skala?
Iz knjige Twitonomics. Sve što trebate znati o ekonomiji, ukratko i konkretno od Compton Nicka
8.4.2. Optimalni put rasta
Iz knjige Ekonomska teorija: Udžbenik autor Makhovikova Galina Afanasjevna
Najbolja opcija
Iz knjige SSSR: od propasti do svjetske sile. Sovjetski proboj od Boffa Giuseppea
OPTIMALNA OPCIJA
Iz knjige Ruski rok. Mala enciklopedija autor Bushueva Svetlana
Optimalno
Iz knjige Velika sovjetska enciklopedija (OP) autora TSB
Optimalan red
Iz knjige CSS3 za web dizajnere od Siderholma Dan
Optimalna osoba
Iz knjige Computerra Magazin br.40 od 31.10.2006 autor Computerra magazine
Najbolja opcija
Iz knjige Staljinov prvi udar 1941. [Zbirka] autor Kremlev Sergey
Najbolja opcija
Iz knjige Velika patriotska alternativa autor Isaev Aleksej Valerijevič
Optimalna kontrola
Iz knjige Samopoštovanje kod djece i adolescenata. Knjiga za roditelje od Eyestad Gyru
Optimalan način
Iz knjige Perfekcionistički paradoks od Ben-Shahar Tal
Optimalan pristup
Iz knjige Ekspert br. 07 (2013) autorski stručni časopis
Najbolja opcija
Iz knjige Two Seasons autor Arsenjev L
Optimalna kontrola
Iz knjige Upravljanje ličnim (porodičnim) finansijama. Sistemski pristup autor Steinbock Mikhail
Tematski materijali:
Ažurirano: 7.1.2023
103583
Ako primijetite grešku, odaberite dio teksta i pritisnite Ctrl+Enter
