Выпуклое множество точек на плоскости.
Множество точек на плоскости или в трехмерном пространстве называется выпуклым , если любые две точки этого множества можно соединить отрезком прямой, полностью лежащим в данном множестве.
Теорема 1 . Пересечение конечного числа выпуклых множеств является выпуклым множеством.
Следствие. Пересечение конечного числа выпуклых множеств – выпуклое множество.
Угловые точки.
Граничная точка выпуклого множества называется угловой , если через нее можно провести отрезок, все точки которого не принадлежат данному множеству.
Различные по форме множества могут иметь конечное или бесконечное количество угловых точек.
Выпуклый многоугольник.
Многоугольник называется выпуклым , если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Теорема: Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180˚ *(n-2)
6) Решение систем m линейных неравенств с двумя переменными
Дана система т линейных неравенств с двумя переменными
Знаки некоторых или всех неравенств могут быть ≥.
Рассмотрим первое неравенство в системе координат Х1ОХ2. Построим прямую
которая является граничной прямой.
Эта прямая делит плоскость на две полуплоскости 1 и 2 (рис. 19.4).
Полуплоскость 1 содержит начало координат, полуплоскость 2 не содержит начала координат.
Для определения, по какую сторону от граничной прямой расположена заданная полуплоскость, надо взять произвольную точку на плоскости (лучше начало координат) и подставить координаты этой точки в неравенство. Если неравенство справедливо, то полуплоскость обращена в сторону этой точки, если не справедливо, то в противоположную от точки сторону.
Направление полуплоскости на рисунках показываем стрелкой.
Определение 15. Решением каждого неравенства системы является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее.
Определение 16. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью решения системы (ОР).
Определение 17. Область решения системы, удовлетворяющая условиям неотрицательности (xj ≥ 0, j =), называется областью неотрицательных, или допустимых, решений (ОДР).
Если система неравенств совместна, то ОР и ОДР могут быть многогранником, неограниченной многогранной областью или одной точкой.
Если система неравенств несовместна, то ОР и ОДР - пустое множество.
Пример 1. Найти ОР и ОДР системы неравенств и определить координаты угловых точек ОДР
Решение. Найдем ОР первого неравенства: х1 + 3x2 ≥ 3. Построим граничную прямую х1 +3x2 – 3 = 0 (рис. 19.5). Подставим координаты точки (0,0) в неравенство: 1∙0 + 3∙0 > 3; так как координаты точки (0,0) не удовлетворяют ему, то решением неравенства (19.1) является полуплоскость, не содержащая точку (0,0).
Аналогично найдем решения остальных неравенств системы. Получим, что ОР и ОДР системы неравенств является выпуклый многогранник ABCD.
Найдем угловые точки многогранника. Точку А определим как точку пересечения прямых
Решая систему, получим А(3/7, 6/7).
Точку В найдем как точку пересечения прямых
Из системы получим B(5/3, 10/3). Аналогично найдем координаты точек С и D: С(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).
Пример 2. Найти ОР и ОДР системы неравенств
Решение. Построим прямые и определим решения неравенств (19.5)-(19.7). ОР и ОДР являются неограниченные многогранные области ACFM и ABDEKM соответственно (рис. 19.6).
Пример 3. Найти ОР и ОДР системы неравенств
Решение. Найдем решения неравенств (19.8)-(19.10) (рис. 19.7). ОР представляет неограниченную многогранную область ABC; ОДР - точка В.
Пример 4. Найти OP и ОДР системы неравенств
Решение. Построив прямые, найдем решения неравенств системы. ОР и ОДР несовместны (рис. 19.8).
УПРАЖНЕНИЯ
Найти ОР и ОДР систем неравенств
Теорема. Если xn ® a, то .
Доказательство. Из xn ® a следует, что . В то же время:
Т.е. , т.е. . Теорема доказана.
Теорема. Если xn ® a, то последовательность {xn} ограничена.
Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.
Например, последовательность не имеет предела, хотя
Разложение функций в степенные ряды.
Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.
Итого, получаем:
Рассмотрим способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования.
С помощью интегрирования можно разлагать в ряд такую функцию, для которой известно или может быть легко найдено разложение в ряд ее производной.
Находим дифференциал функции и интегрируем его в пределах от 0 до х.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
Как мы используем вашу персональную информацию:
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
В 8 классе на уроках геометрии в школе ученики впервые знакомятся с понятием выпуклого многоугольника. Очень скоро они узнают, что эта фигура обладает очень интересным свойством. Какой бы сложной она ни была, сумма всех внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника принимает строго определенное значение. В данной статье репетитор по математике и физике рассказывает о том, чему равна сумма углов выпуклого многоугольника.
Как доказать эту формулу?
Прежде чем перейти к доказательству этого утверждения, вспомним, какой многоугольник называется выпуклым. Выпуклым называется такой многоугольник, который целиком находится по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону. Например такой, который изображен на этом рисунке:
Если же многоугольник не удовлетворяет указанному условию, то он называется невыпуклым. Например, такой:
Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна , где — количество сторон многоугольника.
Доказательство этого факта основано на хорошо известной всем школьникам теореме о сумме углов в треугольнике. Уверен, что и вам эта теорема знакома. Сумма внутренних углов треугольника равна .
Идея состоит в том, чтобы разбить выпуклый многоугольник на несколько треугольников. Сделать это можно разными способами. В зависимости от того, какой способ мы выберем, доказательства будут немного отличаться.
1. Разобьём выпуклый многоугольник на треугольники всеми возможными диагоналями, проведёнными из какой-нибудь вершины. Легко понять, что тогда наш n-угольник разобьётся на треугольника:
Причём сумма всех углов всех получившихся треугольников равна сумме углов нашего n-угольника. Ведь каждый угол в получившихся треугольниках является частичной какого-то угла в нашем выпуклом многоугольнике. То есть искомая сумма равна .
2. Можно также выбрать точку внутри выпуклого многоугольника и соединить её со всеми вершинами. Тогда наш n-угольник разобьется на треугольников:
Причём сумма углов нашего многоугольника в этом случае будет равна сумме всех углов всех этих треугольников за вычетом центрального угла, который равен . То есть искомая сумма опять же равна .
Зададимся теперь вопросом: «Чему равна сумма внешних углов выпуклого многоугольника?» Ответить на этот вопрос можно следующим образом. Каждый внешний угол является смежным с соответствующим внутренним. Поэтому он равен :
Тогда сумма всех внешних углов равна . То есть она равна .
То есть получается весьма забавный результат. Если отложить последовательно друг за другом все внешние углы любого выпуклого n-угольника, то в результате заполнится ровно вся плоскости.
Этот интересный факт можно проиллюстрировать следующим образом. Давайте пропорциональном уменьшать все стороны какого-нибудь выпуклого многоугольника до тех пор, пока он не сольётся в точку. После того, как это произойдёт, все внешние углы окажутся отложенными один от другого и заполнят таким образом всю плоскость.
Интересный факт, не правда ли? И таких фактов в геометрии очень много. Так что учите геометрию, дорогие школьники!
Материал о том, чему равна сумма углов выпуклого многоугольника, подготовил , Сергей Валерьевич
Определение 1. Ломаной линией называется конечная последовательность отрезков, такая, что один из концов первого отрезка служит концом второго, другой конец второго отрезка служит концом третьего и т. п.
Отрезки, составляющие ломаную линию, называются звеньями. Соседние отрезки не лежат на одной прямой. Если концы ломаной совпадают, то она называется замкнутой . Ломаная может пересекать сама себя, касаться сама себя и налегать сама на себя. Если таких особенностей у ломаной нет, то она называется простой .
Определение 2. Простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, ограниченной ею, называется многоугольником.
Сама ломаная при этом называется границей многоугольника, звенья ломаной – сторонами многоугольника, концы звеньев – вершинами многоугольника. Две соседних стороны многоугольника образуют угол. Число углов в многоугольнике равно числу сторон. У каждого многоугольника есть углы меньше 180°. Стороны и углы многоугольника называют элементами многоугольника.
Отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника, называется диагональю. В любом n-угольнике можно провести n-2 диагонали.
Определение 3. Многоугольник называется выпуклым , если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Многоугольники, не отвечающие этому условию, называются невыпуклыми.
Свойства выпуклых многоугольников.
Свойство 1. У выпуклого многоугольника все углы меньше 180°.
Доказательство: Возьмем любой угол А выпуклого многоугольника Р и его сторону а, идущую из вершины А. Пусть l - прямая, содержащая сторону а. Так как многоугольник Р выпуклый, то он лежит по одну сторону от прямой l. Поэтому угол А лежит по одну сторону от прямой l. Следовательно, угол А меньше развернутого, т. е. ÐA < 180°.
Свойство 2. Отрезок, соединяющий любые две точки выпуклого многоугольника, содержится в этом многоугольнике.
Доказательство: Возьмем любые две точки М и N выпуклого многоугольника Р. Многоугольник Р является пересечением нескольких полуплоскостей. Отрезок MN лежит в каждой из этих полуплоскостей. Поэтому он содержится и в многоугольнике Р.
Свойство 3. Сумма углов выпуклого многоугольника равна (n – 2)∙180°.
Доказательство: Возьмем внутри выпуклого многоугольника Р произвольную точку О и соединим ее со всеми вершинами многоугольника. Образуется n треугольников, сумма углов каждого из которых равна 180°. Углы при вершине О в сумме дают 360° = 2∙180°. Поэтому сумма углов многоугольника равна n∙180° - 2∙180° = (n – 2)∙180°.
Понятие параллелограмма. Свойства параллелограмма.
Определение 1. Четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны, называется параллелограммом.
У каждого параллелограмма четыре вершины, четыре стороны, четыре угла. Две стороны, имеющие общие концы, называются смежными . У каждого параллелограмма две диагонали – отрезки, соединяющие противоположные вершины параллелограмма. Сумма углов параллелограмма равна 360°.
Свойства параллелограмма.
Свойство 1.
У параллелограмма противоположные стороны равны и противоположные углы попарно равны.
Доказательство: Проведем диагональ АС. АС – общая;
ÐВАС = ÐАСD (внутренние накрест лежащие при АВ II BC и секущей АС);
ÐВСА = ÐСАD (внутренние накрест лежащие при АD II BC и секущей АС);
Þ DАВС = DАDС (по 2 признаку).
АВ = CD; BC = AD; ÐВ = ÐD.
ÐА = ÐВАС + ÐСAD; ÐС = ÐАСB + ÐАСD; Þ ÐА = ÐС.
Свойство 2. У параллелограмма углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают 180°.
Доказательство:
ÐВ + ÐА =180° (внутренние односторонние при ВС II AD и секущей АB).
ÐB + ÐС =180° (внутренние односторонние при AВ II CD и секущей BC).
ÐD + ÐC =180° (внутренние односторонние при ВС II AD и секущей CD).
ÐA + ÐD =180° (внутренние односторонние при AВ II CD и секущей AD).
Свойство 3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство: Проведем диагонали АС и BD, пересекающиеся в точке О.
АВ = СD (по первому св-ву параллелограмма);
ÐAВO = ÐODC (внутренние накрест лежащие при АВ II CD и секущей BD);
ÐВАO = ÐOСD (внутренние накрест лежащие при АB II CD и секущей АС);
Þ DАВO = DODС (по 2 признаку).
ВO = OD; AO = OC.
Признаки параллелограмма.
Признак 1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Дано: ABCD – четырехугольник; АD II BC,
Ломаной линией , или короче, ломаной , называется конечная последовательность отрезков, такая, что один из концов первого отрезка служит концом второго, другой конец второго отрезка служит концом третьего и т.д. При этом соседние отрезки не лежат на одной прямой. Эти отрезки называют звеньями ломаной.
Ломаная называется замкнутой , если начало первого отрезка совпадает с концом последнего.
Ломаная может пересекать сама себя, коснуться сама себя, налегать на себя. Если таких особенностей нет, то такая ломаная называется простой .
Простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, ограниченной ею, называется многоугольником .
В каждой вершине многоугольника его стороны задают некоторый угол многоугольника. Он может быть как меньше развернутого, так и больше развернутого.
У каждого многоугольника есть угол, меньший $180^\circ$.
Пусть дан многоугольник $P$.
Проведем какую-нибудь прямую, не пересекающую его. Будем перемещать ее параллельно в сторону многоугольника. В некоторый момент мы впервые получим прямую $a$, имеющую с многоугольником $P$ хотя бы одну общую точку. От этой прямой многоугольник лежит по одну сторону (при этом некоторые его точки лежат на прямой $a$).
На прямой $a$ лежит хотя бы одна вершина многоугольника. В ней сходится две его стороны, расположенные по одну сторону от прямой $a$ (считая и тот случай, когда одна из них лежит на этой прямой). А значит, при этой вершине угол меньше развернутого.
Многоугольник называется выпуклым , если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Если многоугольник не является выпуклым, его называют невыпуклым .
Выпуклый многоугольник является пересечением полуплоскостей, ограниченных прямыми, которые содержат стороны многоугольника.
У выпуклого многоугольника все углы меньше $180^\circ$.
Отрезок, соединяющий любые две точки выпуклого многоугольника (в частности, любая его диагональ), содержится в этом многоугольнике.
Возьмем любой угол $A$ выпуклого многоугольника $P$ и его сторону $a$, идущую из вершины $A$. Пусть $l$ – прямая, содержащая сторону $a$. Так как многоугольник $P$ выпуклый, то он лежит по одну сторону от прямой $l$. Следовательно, и его угол $A$ лежит по одну сторону от этой прямой. Значит угол $A$ меньше развернутого угла, то есть меньше $180^\circ$.
Возьмем любые две точки $A$ и $B$ выпуклого многоугольника $P$. Многоугольник $P$ является пересечением нескольких полуплоскостей. Отрезок $AB$ содержится в каждой из этих полуплоскостей. Поэтому он содержится и в многоугольнике $P$.
Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий его несоседние вершины.
Количество диагоналей выпуклого $n$-угольника вычисляется по формуле $\dfrac{n(n-3)}{2}$.
Из каждой вершины n-угольника можно провести $n-3$ диагонали (нельзя провести диагональ в соседние вершины и в саму эту вершину). Если посчитать все такие возможные отрезки, то их будет $n\cdot(n-3)$, так как вершин $n$. Но каждая диагональ будет посчитана дважды. Таким образом, количество диагоналей n-угольника равно $\dfrac{n(n-3)}{2}$.
Сумма углов выпуклого $n$-угольника равна $180^\circ(n-2)$.
Рассмотрим $n$-угольник $A_1A_2A_3\ldots A_n$.
Возьмём внутри этого многоугольника произвольную точку $O$.
Сумма углов всех треугольников $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_{n-1}OA_n$ равна $180^\circ\cdot n$.
C другой стороны эта сумма складывается из суммы всех внутренних углов многоугольника и полного угла $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$.
Тогда сумма углов рассматриваемого $n$-угольника равна $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.
Сумма углов невыпуклого $n$-угольника равна $180^\circ(n-2)$.
Рассмотрим многоугольник $A_1A_2\ldots A_n$, у которого только угол $\angle A_2$ невыпуклый, то есть $\angle A_2>180^\circ$.
Обозначим сумму его улов $S$.
Соединим точки $A_1A_3$ и рассмотрим многоугольник $A_1A_3\ldots A_n$.
Сумма углов этого многоугольника равна:
$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\angle A_2+\angle 1+\angle 2=S-\angle A_2+180^\circ-\angle A_1A_2A_3=S+180^\circ-(\angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.
Следовательно, $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.
Если у исходного многоугольника более одного невыпуклого угла, то описанную выше операцию можно проделать с каждым таким углом, что и приведет к доказываемому утверждению.
Сумма внешних углов выпуклого $n$-угольника равна $360^\circ$.
Внешний угол при вершине $A_1$ равен $180^\circ-\angle A_1$.
Сумма всех внешних углов равна:
$\sum\limits_{n}(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_{n}A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n-2)=360^\circ$.
